Equações de Maxwell

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2018
UTFPR - CAMPUS PONTA GROSSA
Sumário
 Revisão
 Lei de Gauss (Eletricidade e Magnetismo)
 Lei de Faraday
 Lei de Ampère
 Corrente de deslocamento
 Contribuição de Maxwell
 As Equações de Maxwell
Revisão
 Eletricidade
 Lei de Coulomb
 Lei de Gauss
 Sendo
 ε0 a permissividade elétrica do vácuo (éter)

r
r
qq
F ˆ
4
1
2
21
0


 
0
.

q
AdE

2212
0 ./108541878176,8 mNC

Revisão
 Magnetismo
 Lei de Biot-Savart
 Lei de Ampère
 Sendo
 μ0 a permeabilidade magnética do vácuo (éter)

2
0
ˆ
4 r
rsid
Bd





isdB  0. 

AmT /.1032566370614,1 60

Revisão
 Eletromagnetismo
 Lei de Faraday: campo magnético 
variável induz campo elétrico.
 Sendo 

 A partir da lei de Faraday a 
eletricidade e o magnetismo 
começam a ser considerados 
manifestações de um único 
fenômeno
dt
d
sdE B



.
 AdBB

.
Simetria: Lei de Gauss
 Consideremos uma região do espaço na qual não estão 
presentes cargas ou correntes
 Desenhando uma superfície fechada qualquer nesta 
região e aplicando a lei de Gauss obtemos
 Perceba a simetria entre o campo elétrico e o campo 
magnético nestas duas equações. 
  0. AdE

  0. AdB

Lei de Faraday e Ampère
 Escolhendo um caminho fechado qualquer nesta 
região podemos escrever
 Note que não há mais simetria nestas duas equações.
 Questão:
 Seria possível um campo elétrico variável estabelecer 
um campo magnético?
  dt
d
sdE B

.
  0. sdB

James Clerck Maxwell
 Maxwell percebeu que estas leis eram 
gerais, no entanto, a Lei de Ampère não se 
aplicava à correntes descontínuas
 Ex: um capacitor carregando e descarregando.
 Proposta de Maxwell:
 Inserção da corrente de deslocamento
 Consequência:
 Restaurou a simetria entre E e B nas 
equações.
 Proporcionou a descoberta das ondas 
eletromagnéticas. 
1831-1879
Problema do capacitor
isdB  0. 

isdB  0. 

  0. sdB

Problema do capacitor
isdB  0. 

isdB  0. 

  0. sdB

Corrente de deslocamento
 A medida que o capacitor é carregado o campo 
elétrico em seu interior varia.
 Por analogia à lei de Faraday o complemento para a 
lei de Ampère deve ser
 Portanto, a lei de Ampère-Maxwell é dada por
dt
d
sdB E
 00. 

dt
d
isdB E
 000. 

Corrente de deslocamento
 Na física 3 aprendemos que a carga nas placas de um 
capacitor é dada por
 Derivando em relação ao tempo obtemos
 Como EA representa o fluxo elétrico obtemos
EAq 0
dt
EAd
dt
dq )(
0
dt
d
i E

 0
Exemplo 1
Um capacitor de placas paralelas com placas circulares está
sendo carregado. (a) Derive uma expressão para o campo
magnético induzido na região entre as placas, em função
de r. Considere tanto r ≤ R como r ≥ R. (b) Determine B em
r = R para dE/dt = 1012 V/m.s e R = 5,0 cm.
Exemplo 2
 Qual deve ser a taxa de variação da diferença de 
potencial entre as placas de um capacitor de placas 
paralelas com uma capacitância de 2µF para que seja 
produzida uma corrente de deslocamento de 1,5 A?
Exemplo 3
O circuito da figura é formado por uma chave S, uma fonte 
ideal de 12,0 V, um resistor de 20,0 MΩ e um capacitor cujo 
dielétrico é o ar. O capacitor tem placas paralelas com 5,00 cm 
de raio, separadas por uma distância de 3,00 mm. No instante 
t=0 a chave S é fechada e o capacitor começa a se carregar. O 
campo elétrico entre as placas é uniforme. No instante t = 250 
µs qual é o módulo do campo magnético no interior do 
capacitor, a uma distância radial de 3,00 cm?