Unidade I - Resumo 2

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Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula 2 - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Erros em procedimentos numéricos
Aula 2
1 Erros em procedimentos Numéricos
1.1 Introdução
Em geral, a resolução de um problema em tecnologia, passa inicialmente por uma fase de
observação e entendimento do fenômeno físico envolvido na qual, usando conhecimento já es-
tabelecidos buscamos através de simplificações, quando necessárias,a construção de um modelo
matemático que represente, com a maior fidelidade possível, o problema que desejamos tratar.
Esta etapa é conhecida como fase “ fase da modelagem ” do modelo matemático.
Com problemas descrito na forma matemática, buscamos soluções através de um método
exato se possível, ou quando não, um método aproximado.
Mesmo quando utilizamos um método exato, isto é, um método que apresenta a solução
exata para o modelo, pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elementa-
res (adição, subtração, multiplicação e divisão) e, sendo estas processadas em equipamento com
capacidade limitada para armazenar dados, podemos cometer erros.
Por outro lado, quando optamos por um método numérico além dos erros no processa-
mento anteriormente mencionados, podemos também cometer erros provenientes do fato de
utilizarmos, para a resolução do modelo matemático, um algoritmo aproximado. Esta etapa é co-
nhecida como "‘fase da resolução” do modelo matemático. Os principais erros que podem ocorrer
na solução de um problema, são :
i) erros devido à mudança de base do processamento;
ii) erros de representação, devido ao sistema utilizados pelos computadores para armazenar da-
dos numéricos;
iii) erros de arredondamento e truncamento; e
iv) erros absolutos e relativos.
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©2014
1 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
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Erros em procedimentos numéricos
ERROS
((
ERROS
))
PROBLEMA
REAL
//
��
MODELO MATEMÁTICO
��
// SOLUÇÃO PARA O
MODELO MATEMÁTICO
FASE DA
MODELAGEM
77
FASE DA
RESOLUÇÃO
66
1.2 Definições e Exemplos
Definição 1.1 Erros na fase da modelagem : são os provenientes de simplificações. muitas vezes
necessárias apra que o fenômeno que estivermos observando, possa ser representado por um modelo
matemático, e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis.
Definição 1.2 Erros na fase de resolução : são os erros advindos da utilização de algum equipa-
mento, com por exemplo, um computador, para processarmos os cálculos necessários à obtenção de
uma solução para o modelo matemático. Estes erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos
terem capacidade limitada para armazenar os dígitos significativos de valores numéricos usados
na utilização nas operações elementares. Estes erros nesta fase podem ser classificados como erros
computacionais.
Uma grande parte dos computadores representa os valores numéricos no sistema binário. Os
dados de entrada são e são transformados em uma outra base de representação e muitas vezes esta
transformação pode ser cometida de erros devido a limitação do computador que você esta usando.
A sustentação matemática deste procedimento é dado por um número real, N , e sempre possível
representá-lo em qualquer base b , da seguinte forma :
Nb =
m∑
i=n
ai ·bi , onde ai ∈ {0,1,2,3, , (b−1)} , com m e m ∈Z
Por exemplo :
BINÁRIA;N2 = m∑
i=n
ai ·2i , onde i ∈ {0,1}
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DECIMAL;N10 = m∑
i=n
ai ·10i , onde i ∈ {0,2,3, · · · ,9}
Definição 1.3 Erro de arredondamento : São os provenientes de arredondamentos computacionais
ao executar as operações entre números e aqueles nos quais nós aproximamos os valores numéricos
a ser usados
Definição 1.4 Erro absoluto : é definido por
Eabs =
∣∣∣aex −aapr ox∣∣∣≤ ε,
onde aex é o valor exato da grandeza a ser considerada e aapr ox é o valor aproximado da mesma
grandeza. Em geral o valor exato não é disponível e aí trabalhamos com uma margem ² > 0, esti-
mado. Assim , ∣∣∣aex −aapr ox∣∣∣≤ ε,
onde
−ε≤ aex −aapr ox ≤ ε
Definição 1.5 Erro relativo : é definido por
Er el =
∣∣∣aex −aapr ox∣∣∣∣∣∣aex∣∣∣
Este erro fornece informações sobre a qualidade do erro que estamos comentendo em determinado
cálculo, uma vez que no erro absoluto não é levado em consideração a ordem de grandeza do valor
calculado, enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada.
Por exemplo:
a) Considere os valores: aex = 2345,713 e aapr ox = 2345
Logo, Eabs = 0,713 e Er el = 0,00030396
b) Considere aex = 1,713 e aapr ox = 1
Logo, Eabs = 0,713 e Er el = 0,416229
Nota: Nos dois exemplos o erro absoluto é o mesmo, mas no exemplo b este erro é mais significa-
tivo. Em a o erro relativo é da ordem de 0,03% e no b é de 41,6%
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Atenção: De forma geral, nos procedimentos numéricos, geramos uma sequência de soluções apro-
ximadas que convergem ou não para a solução procurada do problema. Os erros absolutos e relati-
vos são usados como critério de parada destas sequências de aproximações, com preferência ao “erro
relativo”
No processo, xn+1 = f (xn), escolhemos uma tolerância ε> 0 e fazemos o teste∣∣∣xn+1−xn∣∣∣∣∣∣xn+1∣∣∣ ≤ ε,
se OK, xn+1 é a solução que queremos.
Caso contrário, continuamos com a iteração.
Definição 1.6 Erro de Truncamento : cometemos este tipo de erro quando representamos funções
através de uma série infinita, e por limitações computacionais( do computador em uso). Considere-
mos um número finito de termos.
Por exemplo
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1+x+ x
2
2!
+ x
3
3!
+ x
4
4!
+·· ·
Se a limitação é para 5 termos, colocamos
ex ∼=
5∑
n=0
xn
n!
= 1+x+ x
2
2
+ x
3
6
+ x
4
24
e o erro absoluto é :
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
.
1.3 Propagação dos Erros
Em procedimentos numéricos normalmente tem presente um número muito grande de
operações elementares. Na maioria das vezes, o erro cometido em uma operação isolada pode
não ser muito significativo para o resultado obtido. mas é necessário analisar como os “erros se
propagam” quando um número grande de operações fazem parte do processamento.
Nesta situação, precisamos saber como os erros se propagam, isto é, caso estejam se acu-
mulando a uma taxa crescente, dizemos que o erro é “ilimitado”, e a sequência de operações é
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“instável”. Se os erros se acumulam a uma taxa decrescente, dizemos que o erro é “limitado” e a
sequência de operações é “estável”.
Exemplo 1 O dono de um posto deveria vender a gasolina a R$ 2,73687, mas arredonda para R$
2,74 o litro. A sua empresa vende 1.000.000 litros por ano. Temos então :
No 1o litro: Eabs =
∣∣∣2,73687−2,74∣∣∣ = 0,00313
No 2ol i tr o : Eabs = 2×0,00313 = 0,00626
No 3ol i tr o : Eabs = 3×0,00313 = 0,00939
...
...
...
...
No 1.000.000ol i tr o Eabs = 10
6×0,00313 = 3.130,00
Assim, ele fatura a mais por ano R$ 3.130,00.
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