Unidade I - Resumo 1

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Centro Universitário de João Pessoa
UNIPÊ Aula 1 - 1o Estágio
Cálculo Numérico
Significado e Origem
Aula 1
1 Cálculo Numérico: Significado e Origem
1.1 Introdução
O Cálculo Numérico é um ramo da Matemática que estuda a solução de problemas através
de algoritmos que geram resultados aproximados da solução. Estes resultados são obtidos através
do Cálculo de um número finito de operações, e tem como objetivo encontrar resultados que se
aproximem cada vez mais da solução exata. Este ramo da Matemática foi concebido antes dos
computadores, mas com a chegada destes e sua evolução, passou a ser largamente utilizado por
físicos e engenheiros.
Com a descoberta do Cálculo Diferencial e integral no final do século XVII, os cientistas pas-
saram a ter novos instrumentos para calcular. O primeiro foi descoberto por BROOK TAYLOR e
publicado em 1715. Este resultado é conhecido como Teorema de TAYLOR, o qual a firma que,
muitas funções podem ser expandidas numa série infinita de potência da variável, isto é,
f (x+a)= f (a)+ f ′(a)x+ f
′′(a)
2!
x2+ f
′′′(a)
3!
x3+ . . .+ f
n(a)
n!
xn + . . .
Este teorema foi aperfeiçoado por J. L. Lagrange , H. Abel e A. L. Cauchy nos primeiros anos
do século XIX, tornando-se base de um dos mais antigos métodos de aproximação.
Uma outra ferramenta matemática largamente utilizada, é o cálculo de diferenças finitas,
que iniciou-se com uma fórmula de interpolação desenvolvida independentemente por Newton e
Gregory em 1670. Após a participação de Brook Taylor no desenvolvimento das diferenças finitas,
esta foi amplamente estudada por Laplace e Lagrange, mas o primeiro artigo sobre o assunto foi
feito por George Boole em 1860, e a partir daí, aperfeiçoado por outros. Tecnicamente a diferença
finita baseia-se, no fato que se f é uma função contínua no intervalo a ≤ x ≤ b derivável em
a < x < b e se x 6= x0 i.ferença finita de primeira ordem de f , em relação a x em x0 é definida
como
f (x)− f (x0)
x−x0
que esta expressão é uma aproximação para a primeira derivada de f em
x0. É natural a extensão do conceito para ordens superiores de derivação.
A maior parte das técnicas usadas baseia-se nas diferenças finitas. Como exemplo citamos
o método de Dams -Bashford, o de Runge-Kutta e o de Milne, usados para encontrar a solução de
Curso de Engenharia
©2014
1 Prof. Roberto Capistrano
Prof José Vicente
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uma equação diferencial ordinária. Existem outras técnicas analíticas, entre elas citamos: Séries
de Fourier, Série de Laurent, Séries Assintóticas, prolongamento analítico.
Na falta de soluções analíticas para uma boa parte de problemas matemáticos, os métodos
numéricos tem atuado de forma decisiva. Lembramos que, a essência dos métodos numéricos,
está na discretização do contínuo, o que viabiliza usar os recursos computacionais. O crescente
desenvolvimento dos computadores, tem favorecido em muito, a utilização destes métodos.
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