APOSTILA-GEOMETRIA-PLANA

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
1 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 7 
2 A MATEMÁTICA NA GRÉCIA ................................................................................... 8 
2.1 Origens da matemática grega ................................................................................ 8 
2.2 Tales de Mileto ...................................................................................................... 9 
2.3 Pitágoras .............................................................................................................. 10 
2.4 Platão................................................................................................................... 11 
2.5 Aristóteles ............................................................................................................ 13 
2.6 Álgebra e geometria na Grécia Antiga ................................................................. 14 
2.7 Euclides ............................................................................................................... 15 
2.8 Arquimedes .......................................................................................................... 16 
2.9 Diofante ............................................................................................................... 17 
2.10 Ptolomeu .............................................................................................................. 18 
2.11 Declínio da matemática grega ............................................................................. 19 
2.12 Técnicas da matemática grega na sala de aula ................................................... 20 
2.13 O desafio da pirâmide .......................................................................................... 20 
2.14 Triângulo pitagórico ............................................................................................. 22 
3 MATEMÁTICA NOS SÉCULOS XVII A XIX ............................................................. 24 
3.1 As eras Bernoulli e Euler ..................................................................................... 24 
3.2 A família Bernoulli ................................................................................................ 24 
3.3 Leonhard Euler .................................................................................................... 28 
3.4 A matemática na Revolução Francesa e no século XIX ...................................... 30 
 
2 
 
 
3.5 Influências em sala de aula ................................................................................. 35 
3.6 Interpretação do teorema do valor médio ............................................................ 35 
4 DESENVOLVIMENTO DA MATEMÁTICA NO SÉCULO XX ................................... 37 
4.1 A matemática entre os séculos XIX e XX ............................................................ 37 
4.2 Jules Henri Poincaré ............................................................................................ 37 
4.3 Conjectura de Poincaré ....................................................................................... 38 
4.4 David Hilbert ........................................................................................................ 38 
4.5 Matemáticos de destaque no século XX .............................................................. 40 
4.6 Kurt Gödel ............................................................................................................ 40 
4.7 Alan Turing .......................................................................................................... 41 
4.8 As máquinas podem pensar? .............................................................................. 43 
4.9 Benoît Mandelbrot ............................................................................................... 44 
4.10 Quanto mede o litoral da Grã-Bretanha? ............................................................. 44 
4.11 Cálculo da dimensão fractal ................................................................................. 45 
4.12 A matemática do século XX na sala de aula ........................................................ 46 
5 A BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR E O ENSINO DE MATEMÁTICA ..... 49 
5.1 Educação matemática e BNCC ........................................................................... 49 
5.2 BNCC para os anos finais do ensino fundamental e para o ensino médio .......... 51 
5.3 Anos finais do ensino fundamental ...................................................................... 51 
5.4 Ensino médio ....................................................................................................... 53 
5.5 Currículo escolar e BNCC .................................................................................... 54 
6 DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA, ANÁLISE E ÁLGEBRA .......................... 57 
 
3 
 
 
6.1 Desenvolvimento da geometria ........................................................................... 57 
6.2 Gaspar Monge ..................................................................................................... 57 
6.3 Jean Victor Poncelet ............................................................................................ 58 
6.4 Princípio da dualidade e princípio da continuidade .............................................. 59 
6.5 Michel Chasles .................................................................................................... 60 
6.6 Cross-ratio ........................................................................................................... 61 
6.7 Jakob Steiner ....................................................................................................... 61 
6.8 Elipse de Steiner .................................................................................................. 61 
6.9 Bernhard Riemann ............................................................................................... 64 
6.10 Felix Klein ............................................................................................................ 64 
6.11 Desenvolvimento da análise e álgebra ................................................................ 66 
6.12 Voltando a Riemann ............................................................................................ 66 
6.13 Karl Weierstrass .................................................................................................. 67 
6.14 George Cantor ..................................................................................................... 67 
6.15 Julius Wilhelm Richard Dedekind ........................................................................ 69 
6.16 George Boole ....................................................................................................... 69 
6.17 Augustus de Morgan ............................................................................................ 70 
6.18 William Rowan Hamilton ...................................................................................... 70 
6.19 Hermann Günter Grassmann ............................................................................... 71 
6.20 Arthur Cayley ....................................................................................................... 71 
6.21 James Joseph Sylvester ...................................................................................... 72 
6.22 Geometria descritiva em sala de aula .................................................................. 73 
 
4 
 
 
6.23 Elementos básicos da geometria descritiva ......................................................... 74 
6.24 Método Mongeano ...............................................................................................76 
6.25 Espaços projetivos ............................................................................................... 76 
7 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS E O ENSINO DE MATEMÁTICA
 ................................................................................................................................78 
7.1 PCN: matemática no ensino fundamental ............................................................ 83 
7.2 PCN: matemática no ensino médio ..................................................................... 88 
7.3 Tema 1. Álgebra: números e funções .................................................................. 91 
7.4 Tema 2. Geometria e medidas ............................................................................ 91 
7.5 Tema 3. Análise de dados ................................................................................... 92 
8 SEGMENTOS E ÂNGULOS .................................................................................... 93 
8.1 Semirreta e segmento de reta ............................................................................. 93 
8.2 Tipos de ângulos ................................................................................................. 96 
8.3 Teoremas envolvendo segmentos e ângulos ...................................................... 99 
9 POSIÇÕES RELATIVAS À INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS .............................. 104 
9.1 Interseção entre retas ........................................................................................ 104 
9.2 Classificação de retas ........................................................................................ 106 
9.3 Paralelismo e coincidentes ................................................................................ 106 
9.4 Concorrentes e reversas .................................................................................... 109 
9.5 Retas planares e coplanares ............................................................................. 111 
10 ESTUDO DA RETA NO PLANO ............................................................................ 115 
10.1 Equação de reta no plano .................................................................................. 115 
 
5 
 
 
10.2 Representação de retas no plano cartesiano .................................................... 117 
10.3 Retas paralelas aos eixos cartesianos .............................................................. 118 
10.4 Avaliação das posições das retas em função do coeficiente angular ................ 119 
11 DISTÂNCIA ENTRE PONTOS, RETAS E PLANO ................................................ 119 
11.1 Dois pontos ........................................................................................................ 119 
11.2 Um ponto e uma reta ......................................................................................... 120 
11.3 Um ponto e um plano......................................................................................... 121 
11.4 Duas retas ......................................................................................................... 121 
11.5 Reta e plano ...................................................................................................... 123 
11.6 Dois planos ........................................................................................................ 123 
12 ÂNGULOS NO ESPAÇO ....................................................................................... 124 
12.1 Retas coplanares ............................................................................................... 124 
12.2 Retas reversas ................................................................................................... 124 
12.3 Planos ................................................................................................................ 125 
13 ÂNGULOS E INTERSEÇÕES ............................................................................... 126 
13.1 Ângulo entre retas ............................................................................................. 126 
13.2 Interseção entre planos ..................................................................................... 130 
14 TRIÂNGULOS ........................................................................................................ 134 
14.1 Triângulos e suas linhas transversais ................................................................ 134 
14.2 Classificação dos triângulos .............................................................................. 135 
14.3 Elementos notáveis de um triângulo .................................................................. 138 
15 TEOREMAS SOBRE TRIÂNGULOS ..................................................................... 142 
 
6 
 
 
15.1 Teorema da base média .................................................................................... 142 
15.2 Desigualdade triangular ..................................................................................... 142 
15.3 Cálculos e demonstrações ................................................................................. 144 
16 TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................. 149 
16.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo .................................................. 149 
17 POLÍGONOS ......................................................................................................... 153 
17.1 O que são os polígonos? ................................................................................... 153 
17.2 Polígonos convexos, côncavos e regulares ....................................................... 155 
17.3 Propriedades dos polígonos .............................................................................. 155 
17.4 Diagonais de um polígono ................................................................................. 156 
17.5 Soma dos ângulos internos de um polígono ...................................................... 157 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 158 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
Prezado aluno! 
 
O grupo educacional Faveni, esclarece que o material virtual é semelhante ao da sala de 
aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno se levantar, 
interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para que seja 
esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça a pergunta 
em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, é a mesma 
coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de 
atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância exigem do 
aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um horário 
destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A vantagem é 
que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A organização 
é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos definidos 
para as atividades. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
2 A MATEMÁTICA NA GRÉCIA 
 
2.1 Origens da matemática grega 
Por volta do século VI a.C., houve um elevado desenvolvimento comercial entre 
o Egito e a Grécia, possibilitando que o conhecimento dos egípcios ficasse acessível aos 
gregos. Assim, a matemática, nas mãos dos gregos, começava a assumir uma nova 
forma (ARAGÃO, 2009). 
 
Fonte: www.pt.sodiummedia.com.br 
A matemática dedutiva passou a vigorar e muito do que sabemos hoje se deve 
às descobertas e aprimoramentos dos gregos. Muitos dos pensadores que se 
destacaram nessa disciplina no mundo antigo eram da civilização grega, especialmente 
durante o período que vai de 800 a.C. a 336 a.C. Foi nessa épocaque a civilização grega 
teve um elevado crescimento cultural, intelectual e cientifico, considerado por muitos 
historiadores como o período de maior evolução nessas áreas. Dentre muitos pensadores 
importantes dessa época, podemos citar os filósofos Sócrates, Platão e Aristóteles, que 
em torno de 400 a.C. chamavam a atenção com suas ideais e pensamentos (ZANARDINI, 
2017). 
 
9 
 
 
A seguir, examinaremos as contribuições de alguns pensadores importantes para 
o desenvolvimento matemático em ordem cronológica, destacando Tales, Pitágoras, 
Platão e Aristóteles. 
2.2 Tales de Mileto 
Tales, nascido na cidade de Mileto (624 a.C.–548 a.C.), uniu o estudo da 
astronomia ao da geometria e da teoria dos números, fundando a chamada Escola 
Ioniana. Desenvolveu um dos trabalhos mais importantes no estudo das proporções. Ele 
observou que a cada instante a altura dos objetos e o comprimento de suas respectivas 
sombras projetadas mantinham uma razão constante. Sendo comerciante, fazia muitas 
viagens e tinha contato com muitos povos diferentes. Numa de suas viagens ao Egito, foi 
desafiado a medir a altura da grande pirâmide de Quéops. Com o uso de um bastão, 
aplicou seus conhecimentos sobre segmentos proporcionais, comparando a altura do 
bastão e de sua sombra com a altura da pirâmide e sua sobra (ARAGÃO, 2009). 
Matematicamente, Tales de Mileto desenvolveu a proporção para os segmentos de 
duas retas transversais a um feixe de retas paralelas, conforme exemplifica a Figura 1. 
 
 
10 
 
 
Nesse caso, a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma 
delas é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondente da outra, ou seja: 
 
Tales de Mileto é considerado por muitos pesquisadores o criador da geometria 
dedutiva, sendo a ele atribuídas as primeiras demonstrações matemáticas, incluindo os 
resultados ou as tentativas de demonstração dos seguintes resultados sobre figuras 
planas: 
 todo círculo é dividido em duas partes iguais por seu diâmetro; 
 os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; 
 o ângulo inscrito em um semicírculo é reto; 
 quando duas retas se interceptam, os ângulos opostos são iguais; 
 os lados de triângulos semelhantes são proporcionais; 
 dois triângulos são congruentes se possuem dois ângulos e um lado iguais. 
Vale lembrar que tanto a geometria quanto a aritmética praticada na 
Mesopotâmia e no Egito nessa época se preocupavam apenas em resolver problemas 
práticos, sem se preocupar com os princípios filosóficos matemáticos (BOYER; 
MERZBACH, 2018). 
2.3 Pitágoras 
Pitágoras (580 a.C–500 a.C) nasceu na cidade Samos, próxima à cidade de 
Mileto, e foi aluno de Tales. Após se estabelecer na cidade de Crotona, na atual Itália, 
teve início a formação de uma irmandade religiosa, filosófica e científica chamada Escola 
Pitagórica, onde foram abertas as portas pela primeira vez às mulheres. 
Na Escola Pitagórica, em que os conhecimentos eram transmitidos de forma oral, 
dava-se grande destaque aos estudos de aritmética, música, geometria e astronomia. 
 
11 
 
 
Seus membros tinham a ideia de que o universo era aritmético e que, no fundo, todas as 
coisas são números (BOYER; MERZBACH, 2018). 
São atribuídas a Pitágoras a definição do ponto como unidade com posição, a 
classificação dos ângulos e a concepção geométrica do espaço como entidade 
homogênea, contínua e limitada. Além disso, foi o primeiro a desenhar poliedros 
regulares convexos e demonstrou que não existe qualquer fração racional cujo quadrado 
é dois, sendo um dos mais belos raciocínios matemáticos (ARAGÃO, 2009). 
Mas talvez o trabalho mais famoso atribuído a Pitágoras seja o teorema de 
Pitágoras, segundo o qual as medidas dos catetos de um triângulo retângulo, b e c, e a 
medida do maior lado do triângulo, chamado de hipotenusa, representado por a, são 
relacionadas pela equação: 
 
É importante frisar que esse resultado já era conhecido na geometria da 
Mesopotâmia e do Egito e que não existem evidências de que Pitágoras ou os pitagóricos 
tenham trabalhado nele (MOL, 2013). 
A escola de Pitágoras foi destruída após uma rebelião popular e a irmandade 
pitagórica deixou de existir como um grupo organizado, mas muitos dos seguidores ainda 
mantiveram seus estudos e atividades por mais dois séculos. 
2.4 Platão 
Por volta do século V a.C., a cidade de Atenas consolidou-se como o principal 
centro econômico e cultural do mundo helênico, tornando-se referência com em seu estilo 
de governo, a democracia. Nesse período, o debate público era a base para esse sistema 
democrático, o que levou ao compartilhamento de conhecimento e ideias. Assim, a 
primeira grande escola filosófica ateniense foi a dos sofistas, que eram professores que 
vendiam seus conhecimentos e treinavam cidadãos para os confrontos verbais. Nesse 
ambiente de debates verbais e assembleias públicas, a cidade de Atenas teve a maior 
 
12 
 
 
contribuição para a estruturação da matemática na Grécia Antiga dada pelo filósofo 
Platão (427 a.C.–347 a.C.). 
A escola chamada de Academia foi fundada por Platão e durante um século 
dominou a vida filosófica da cidade. A Academia pode ser considerada como o primeiro 
exemplo de instituição de ensino e pesquisa de alto nível. Era uma escola destinada ao 
estudo, pesquisa e ensino da filosofia e da ciência, e tinha na matemática sua principal 
disciplina, sendo considerada indispensável para a formação intelectual do cidadão. 
Dessa forma, a Academia se tornou o centro dos trabalhos matemáticos mais importantes 
do seu tempo, apesar de não se ter provas de contribuições técnicas de Platão para a 
matemática (MOL, 2013). 
Segundo o autor, Platão foi influenciado por Pitágoras na visão de como a 
matemática estruturava o universo, porém diferenciava-se na concepção geométrica, 
contrastando com a concepção aritmética pitagórica. Para Platão, a matemática era um 
domínio autônomo e autossuficiente, cujas verdades podem ser conhecidas a priori, 
independentemente dos sentidos. Essa maneira de pensar influenciou a própria 
concepção de demonstração, pois apenas o uso do raciocínio dedutivo passou a ser 
permitido, não sendo admitido o recurso à experiência sensível. 
Para Platão, os objetos sensíveis são suscetíveis a mutações, enquanto seus 
modelos abstratos são imutáveis, eternos e universais. Assim, exigia-se na matemática 
o uso do método analítico das demonstrações com a identificação clara da tese que se 
deseja provar. 
Platão criou novos modelos para compreender e desenvolver a estrutura e a 
natureza da matemática. Sabia do caráter abstrato dos objetos matemáticos ao distinguir 
o “mundo real”, onde vivem os objetos sensíveis, do “mundo das ideias”, alcançado pela 
razão. Pode-se dizer que a maior contribuição de Platão para a matemática foi a 
concepção da matemática pura. Talvez pela falta de registros, muitos historiadores 
acreditam que Platão era obcecado pela matemática, embora não fosse um matemático 
em si, sendo muito provável que nunca tenha resolvido uma questão geométrica. Suas 
contribuições à geometria estão mais no melhoramento de seu método do que em 
adições a seu conteúdo. De qualquer forma, sendo considerado efetivamente um 
 
13 
 
 
matemático ou não, é inegável que Platão contribuiu para o desenvolvimento da 
matemática grega, em especial da geometria, o que levou a uma das maiores obras da 
antiguidade, os Elementos de Euclides (BICUDO, 1998). 
2.5 Aristóteles 
Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.) estudou e trabalhou na Academia de Platão, sendo 
considerado seu discípulo mais famoso. Em sua trajetória, Aristóteles foi professor de 
Alexandre, o Grande, e professor de outro futuro rei, que teve um papel importante na 
ciência do mundo clássico, Ptolomeu Sóter. Em suas concepções matemáticas, 
Aristóteles discordava de seu mestre em relação à natureza da matemática e de seus 
objetos. Acreditava queas formas geométricas e numéricas não existem como entidades 
independentes do mundo real, ou seja, os objetos matemáticos existem como abstração 
dos objetos reais, mas sua existência depende da existência do próprio objeto. Ao 
contrário da visão racionalista de Platão, Aristóteles tinha uma visão empirista, segundo 
a qual os elementos matemáticos têm vida independente no “mundo das ideias” (MOL, 
2013). 
Aristóteles entendia a matemática como uma ciência dedutiva, como um edifício 
estruturado por verdades encadeadas por relações lógicas, fundado sobre alguns 
pressupostos básicos não demonstrados. Para Aristóteles, era fundamental produzir um 
discurso capaz de explicá-lo de acordo com certas regras, estabelecidas por meio da 
lógica formal, criada e sistematizada por ele mesmo. Esse modelo de lógica, chamado 
de modelo aristotélico, dominou o Ocidente até meados do século XIX, quando foi 
incorporado à lógica formal moderna (MOL, 2013). 
Conforme explica Mol (2013), entre seus estudos, Aristóteles analisou a noção de 
infinito, distinguindo infinito atual e infinito potencial. Além disso, contribuiu para as 
noções matemáticas fundamentais, como de axioma, definição, hipótese e 
demonstração. 
Aristóteles (Figura 2) fez uma síntese organizada de todo o saber do seu tempo, 
interessando-se pela matemática como método de raciocínio e formulando o primeiro 
 
14 
 
 
sistema de lógica. Contudo, tampouco produziu resultados ou teorias matemáticas ele 
próprio. Seja como for, suas contribuições acabaram influenciando como a matemática 
seria construída nos séculos seguintes (MOL, 2013). 
 
2.6 Álgebra e geometria na Grécia Antiga 
No século IV a.C., Felipe II da Macedônia conquistou a Grécia, dando fim à 
autonomia e à democracia das cidades gregas. Seu filho, Alexandre, o Grande, expandiu 
e unificou o império, chegando a conquistar desde a atual Grécia até o Afeganistão, 
passando pela Turquia e Oriente Médio. Quando conquistou o Egito, Alexandria acabou 
se tornando o centro intelectual do mundo. Após a morte de Alexandre, em 323 a.C., 
Ptolemeu Sóter (323 a.C.–283 a.C), que era um cientista grego e um de seus generais, 
estabeleceu-se como rei do Egito, dando início a uma dinastia (MOL, 2013). 
Nesse momento da história, Ptolemeu Sóter fundou a Escola de Alexandria, com o 
intuito de proporcionar um ambiente favorável ao saber, onde a cultura grega e cultura 
egípcia viriam a se ligar, sendo lar de alguns dos maiores matemáticos da Antiguidade, 
como Euclides e Arquimedes, entre outros (ARAGÃO, 2009). 
 
15 
 
 
Segundo Mol (2013), o sistema de funcionamento da Escola de Alexandria era muito 
semelhante ao das nossas universidades atuais. Muitos estudiosos iam para a Escola de 
Alexandria fazer pesquisas, pois o local possuía uma biblioteca que chegou a ter 700 mil 
rolos de papiro em seu acervo, proporcionando um status para a cidade de metrópole 
intelectual da época. Assim, é nesse cenário que veremos alguns dos ilustres 
matemáticos que viriam a contribuir para a evolução da matemática, como Euclides, que 
foi escolhido para ser chefe do departamento de matemática da Escola de Alexandria, 
além de Arquimedes, Diofante e Ptolomeu. 
2.7 Euclides 
O livro Elementos, escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria, por volta 
de 300 a.C., é um tratado matemático e geométrico composto por 13 livros. A obra trata 
da geometria plana conhecida da época, da teoria dos números, dos incomensuráveis e 
da geometria espacial, sendo considerado a mais brilhante obra matemática grega e um 
dos textos que mais influenciaram o desenvolvimento da matemática e da ciência em 
todos os tempos (MOL, 2013). 
Nele, são abordados aspectos da geometria plana ou, como ficou conhecida, 
geometria euclidiana plana, segundo um processo já dedutivo, sem nenhuma 
preocupação com aplicação em situações reais ou práticas. Euclides definiu objetos 
geométrico cujas propriedades desejava estudar, totalizando 23 definições. Temos como 
exemplo as definições de ponto, reta, círculo, triângulo, etc. 
O método utilizado por Euclides é o método axiomático. Esse método consiste em 
mostrar que uma afirmação é verdadeira por meio de outra afirmação que se acredita ser 
verdadeira. Assim, se quisermos provar que P1 é uma afirmação verdadeira, utilizamos 
uma afirmação P2 que seja verdadeira, e mostramos logicamente, por P2, que P1 é 
verdadeira. Nesse processo, existem duas condições que devem ser cumpridas para que 
uma prova esteja correta: 
 
 
16 
 
 
 aceitar como verdadeiras certas afirmações, chamadas de axiomas ou 
postulados, sem a necessidade de prova; 
 saber como e quando uma afirmação segue logicamente de outra. 
Assim, os axiomas podem ser entendidos como afirmações que foram tantas vezes 
provadas na prática que é muito pouco improvável que alguém duvide delas. No trabalho 
de Euclides, com apenas cinco postulados ele foi capaz de deduzir 465 proposições, 
muitas com alto grau de complexidade e não intuitivas (ZANARDINI, 2017). 
Sobre a vida de Euclides pouco se sabe, apenas que viveu no século III a.C. em 
Alexandria e que foi um dos estudiosos que trabalhou no museu da cidade. 
2.8 Arquimedes 
Após Euclides, outro importante matemático grego foi Arquimedes (c. 287 a.C.–212 
a.C.), que nasceu e viveu na cidade de Siracusa, na Sicília, mas estudou em Alexandria. 
Sua obra apresentava o rigor que a matemática exigia com a preocupação para a 
aplicação. Arquimedes foi muito conhecido entre os gregos por suas invenções. As 
máquinas de guerra que construiu, usadas para defender a cidade de Siracusa, eram 
famosas. Pode-se dizer que foi um pioneiro na área da física e da mecânica teórica. Em 
sua obra que trata do equilíbrio do plano, escreveu de maneira de formal e com estrutura 
semelhante à dos Elementos de Euclides, partindo de definições e postulados simples 
para chegar a resultados mais complexos. Foi Arquimedes quem descobriu a primeira lei 
da hidrostática. Na sua obra Sobre corpos flutuantes, prova duas proposições que 
compõem o chamado princípio hidrostático de Arquimedes, que afirma que, quando um 
corpo é mergulhado em um fluido, recebe um empuxo de intensidade igual ao peso do 
volume de água deslocado (ZANARDINI, 2017). 
Também contribuiu para o desenvolvimento de métodos rudimentares de cálculo 
diferencial e integral em estudos relacionados à geometria espacial sobre esferas, 
cilindros e cones. No seu trabalho chamado Sobre a medida do círculo, avaliou a razão 
entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. Começou com um hexágono regular 
inscrito e um hexágono circunscrito a um determinado círculo, para então ir 
 
17 
 
 
progressivamente dobrando o número de lados, até chegar a um polígono de 96 lados. 
Como resultado de seus cálculos, chegou a uma aproximação de π com enorme precisão 
para a época: 3,1408 < π < 3,1428 (MOL, 2013). 
No início do século XX, foi descoberto um dos mais importantes tratados de 
Arquimedes, chamado de O método. Nele, há uma série de cartas escritas por 
Arquimedes ao matemático Erastóstenes de Cirene, que era chefe da Biblioteca de 
Alexandria. Nessa obra, Arquimedes comenta que a existência de indicações sobre a 
validade de um resultado facilitaria sua demonstração. Essas indicações eram obtidas 
por meio de investigações mecânicas, ou seja, pesos teóricos dos objetos matemáticos 
envolvidos, em que uma prova rigorosa deveria ser construída pelo método geométrico 
tradicional (MOL, 2013). 
2.9 Diofante 
Vários estudiosos da matemática acreditam que Diofante de Alexandria viveu no 
século III a.C., mas seu período de vida não é preciso. Pouco se sabe sobre sua vida 
com exatidão, apenas que morreu aos 84 anos, fato que foi descrito em um poema da 
antologia grega que serviu de epitáfio a Diofante. Das obras de Diofante, a mais 
importante é intitulada Aritmética, um tratado analítico de teoria algébrica dos números,composta de 13 livros. É bem provável que o a obra Aritmética seja uma compilação e 
sistematização dos conhecimentos da época, assim como os Elementos de Euclides. Tal 
obra possui problemas de aritmética com enunciados abstratos e gerais, sendo os dados 
numéricos especificados apenas a posteriori. Já na resolução desses problemas, não 
utiliza as referências geométrica, diferenciando-se assim da álgebra geométrica grega 
tradicional. 
De certa forma, é um trabalho muito diferente dos demais trabalhos gregos da 
época, pois não apresenta uma exposição sistemática de proposições, apenas uma 
centena de problemas formulados em termos de exemplos, cujas demonstrações são 
apenas ilustrações, em alguns casos particulares concretos (MOL, 2013). 
 
18 
 
 
Entre os assuntos abordados por Diofante, estão as chamadas equações 
indeterminadas, cujos coeficientes, assim como suas soluções, eram sempre números 
racionais positivos, quase sempre inteiros. Desse modo, não tinha preocupação na 
obtenção de soluções gerais, apenas buscava soluções particulares com exemplos 
numéricos. Diofante incorporou símbolos, notações e abreviações em seus trabalhos, 
contribuindo para o primeiro passo da álgebra simbólica, que seria desenvolvida apenas 
no século XVII, sobretudo por René Descartes. Muitos estudiosos consideram Diofante o 
pai da álgebra, mas avaliando seus trabalhos talvez seja mais adequado tratá-lo como 
precursor da moderna teoria dos números, que deslancharia com o trabalho de Fermat 
no século XVII (BOYER; MERZBACH, 2018). 
2.10 Ptolomeu 
Cláudio Ptolomeu (90 d.C.–168 d.C.), também conhecido como Ptolomeu de 
Alexandria, foi um astrônomo, geógrafo e matemático de origem grega. Nasceu em 
Ptolemaida Hérmia, no Egito, na época de domínio romano. Foi um importante cientista 
grego, contribuindo de forma significativa nas áreas da matemática, geografia, 
cartografia, astrologia, astronomia, óptica e teoria musical. Também vale ressaltar que 
não possui parentesco com os reis da dinastia ptolemaica (MOL, 2013). 
Ptolomeu se esforçou muito para sintetizar os trabalhos de seus antecessores e 
também escreveu uma série de trabalhos matemáticos, mas foram as teorias sobre 
trigonometria esférica e sobre o movimento do Sol e da Lua e a catalogação dos corpos 
celestes que o tornaram reconhecido. Escreveu um tratado astronômico e matemático 
sobre o movimento estelar e planetário segundo um modelo geocêntrico do universo, 
tornando-se um dos textos científicos de maior influência de todos os tempos. Esse 
tratado é composto por 13 livros, sob o título de Síntese Matemática, mas ficou conhecido 
como Almagesto, que em árabe significa “o maior”, destacando-se de outros tratados de 
astronomia. Nele, Ptolomeu mostra o conceito da esfericidade do céu e a descoberta da 
forma esférica da Terra, aplicados à geometria do círculo e da esfera, contribuindo 
 
19 
 
 
significativamente para trigonometria da Antiguidade e criando ferramentas que dariam 
suporte para lidar com essa geometria. 
De acordo com Mol (2013), Ptolomeu estendeu os trabalhos de Hiparco e de 
Menelau, criando uma maneira de calcular as cordas subentendidas por arcos de um 
círculo. Na Grécia, já se fazia uso da divisão de um círculo em 360°, mas a prática foi 
incorporada de vez por Ptolomeu. Também construiu uma tabela de cordas de arcos, 
com os ângulos variando de 0,5° a 180°, em intervalos de 0,5°. Essa tabela de cordas 
serviria de referência para os astrônomos por mais de mil anos. O que Ptolomeu construiu 
é equivalente a construir uma tabela de senos de 1/4° a 90° e, uma vez que cos θ = sen 
(90° − θ), indiretamente também fornecia uma tabela de cossenos. 
2.11 Declínio da matemática grega 
Com o início do domínio romano no Egito por volta de 30 a.C., temos o fim da 
dinastia ptolemaica. Quando Roma assumiu a administração da região, houve uma série 
de conflitos sociais, fazendo com que o progresso do conhecimento científico ficasse 
adormecido. Alguns matemáticos, como Ptolomeu de Alexandria, atuaram nesse período, 
mas sem o apoio de seus antigos patronos. O último tratado matemático significativo que 
se tem registro da Antiguidade Clássica, chamado de Coleção, foi escrito por Papos de 
Alexandria, em torno de 320 d.C. Junto com o domínio do Império Romano, o cristianismo 
vinha crescendo e dificultando ainda mais a produção científica. 
O imperador romano Teodósio I publicou no ano 391 d.C. um decreto que bania o 
paganismo. A Biblioteca e o Museu de Alexandria, sendo considerados templos pagãos, 
tiveram seu fechamento ordenado. O imperador romano do Oriente, Justiniano, acusou 
a escola de Atenas de ensinar uma filosofia pagã que ameaçava o cristianismo, sendo 
fechada em 529 d.C. Assim, muitos filósofos fugiram de Atenas e se exilaram na Pérsia, 
o que foi um marco para o fim do desenvolvimento da matemática grega da Antiguidade 
(MOL, 2013). 
 
20 
 
 
2.12 Técnicas da matemática grega na sala de aula 
Ao examinarmos a história da matemática, podemos perceber a evolução dessa 
ciência. A matemática não é uma ciência pronta e acabada, e muitos alunos, por exemplo, 
se enganam quando veem a matemática como um mero monte fórmulas. Com a ajuda 
da história da matemática, é possível transpor essa barreira e promover uma 
aprendizagem para os alunos que faça mais sentido. Nesta seção, serão apresentadas 
duas técnicas da matemática grega antiga que podem ser usadas em sala de aula para 
os alunos de ensino básico, dando uma ideia de como os matemáticos da época 
pensavam e como aplicavam os conhecimentos matemáticos (MOL, 2013). 
2.13 O desafio da pirâmide 
Tales de Mileto, em uma de suas viagens ao Egito, foi desafiado a medir a altura da 
grande pirâmide de Quéops. Com o uso de um bastão, aplicou seus conhecimentos sobre 
segmentos proporcionais, comparando a altura do bastão e da sua respectiva sombra 
com a altura da pirâmide (Figura 3). Dessa forma, Tales estimou que a altura da pirâmide 
de Quéops era de 158,8 metros. Originalmente, a altura da pirâmide era de 146,5 metros, 
mas com o passar do tempo e devido à erosão e a vandalismos, sua altura hoje é de 
138,8 metros. 
 
 
21 
 
 
Podemos aplicar esse mesmo conceito pedindo para os alunos de uma turma 
determinarem a altura de um poste usando apenas um bastão (MOL, 2013). Em certo 
momento do dia, o poste projeta uma sombra de um certo comprimento. Fixando o bastão 
próximo ao poste, podemos notar que este também fará uma sombra (Figura 4). 
 
 
 
Comparando a altura do bastão e de sua sombra com a altura do poste e de sua 
sombra, aplicamos o teorema de Tales, que determina que altura do poste está para o 
tamanho da sombra do poste assim como a altura do bastão está para o tamanho da 
sombra do bastão. Matematicamente, temos: 
 
 
Fazendo as medições do tamanho de cada sombra e altura do bastão, consegue-
se chegar à altura aproximada do poste — aproximada pois há os erros que podem ser 
cometidos ao realizar as medições, podendo ser de milímetros. Está é uma tarefa fácil e 
que pode ser explorada em sala de aula sem a exigência de recursos sofisticados. O 
 
22 
 
 
aluno pode perceber que Tales de Mileto, mediante um processo matemático e uma 
forma simples, conseguiu medir a altura de uma pirâmide colossal por volta do ano 600 
a.C. 
2.14 Triângulo pitagórico 
Talvez a maioria dos estudantes já tenha ouvido falar do famoso teorema de 
Pitágoras. Pitágoras e seus discípulos, os pitagóricos, abordavam entre seus estudos a 
matemática (MOL, 2013). Na área de figuras, uma delas está relacionada ao triângulo 
retângulo, importante figura, que tem inúmeras aplicações no nosso cotidiano. Pode-se 
mostrar o teorema de Pitágoras já no ensino fundamental com a demonstração por 
semelhança de triângulos ou com a demonstração de Perigal, em que a ideia de que a 
soma de quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa é demonstradacom 
o recurso geométrico das áreas. Também pode-se utilizar um dos triângulos retângulos 
mais conhecidos, chamado triângulo pitagórico, que possui os lados medindo 3, 4 e 5 
unidades, e que sempre formará um triângulo com um dos ângulos retos (Figura 5). 
 
 
A atividade que se propõe é pedir para os alunos traçarem uma linha reta que 
seja ortogonal a uma das paredes da sala usando um barbante. Primeiro, deve-se dar 
nós no barbante espaçados a distâncias iguais. Ao todo, devemos fazer 13 nós. Com 
 
23 
 
 
esse barbante, desenhamos a forma de um triângulo, no caso um triângulo pitagórico 
com os lados 3, 4 e 5 unidades (Figura 6). 
 
 
Dessa forma, basta colocar o lado menor do triângulo, que possui três espaços, 
paralelamente à parede e formar o triângulo pitagórico, com o outro cateto com quatro 
espaços, formando um ângulo de 90° com a parede. Desse modo, com material de fácil 
acesso e sem muito custo é possível mostrar o triângulo pitagórico e como pode ser 
utilizado na prática (MOL, 2013). É muito provável que os alunos vão gostar da 
experiência, entendendo o conceito e a história por trás dele. Assim, foram apresentadas 
duas técnicas da matemática grega a serem aplicadas em sala de aula como apoio ao 
professor. Há muitas outras que podem ser aplicadas, ajudando na aprendizagem do 
aluno. Esse olhar diferenciado para a matemática, para sua evolução e como os antigos 
faziam para determinar e resolver problemas, ajuda na construção do saber e no 
entendimento do assunto. 
 
 
 
24 
 
 
3 MATEMÁTICA NOS SÉCULOS XVII A XIX 
 
3.1 As eras Bernoulli e Euler 
Os séculos XVII e XVIII estão marcados pelo estabelecimento de duas eras na 
história da matemática: a era da família Bernoulli, com início no século XVII, e de 
Leonhard Euler, no século XVIII. Podemos entende-las como eras devido às vastas 
contribuições e avanços dos Bernoulli e de Euler em diversas áreas da matemática, que 
são ensinadas e aplicadas até os dias de hoje. 
O cenário da matemática no século XVII era efervescente, devido ao 
desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton e Gottfried Leibniz e 
pela melhor compreensão de alguns processos envolvendo o infinito, como as séries 
infinitas e o limite. Além disso, os avanços eram descentralizados geograficamente, isto 
é, encontramos ao longo desse período matemático influentes em diversos países 
europeus, como França, Alemanha, Inglaterra, Suíça e Holanda. Mais do que isso, a 
grande maioria desses pensadores estava em constante comunicação. Esse contexto 
favoreceu o surgimento das importantes eras dos Bernoulli e de Euler, e por que não 
dizer o estabelecimento do que chamamos de era moderna da matemática. 
3.2 A família Bernoulli 
A família Bernoulli ficou conhecida por possuir diversos matemáticos renomados 
e influentes. De fato, cerca de 12 membros da família tiveram contribuições significativas 
na matemática ou em áreas correlatas, como a física. A família se estabeleceu na 
Basiléia, Suíça, em 1576, após fugir dos Países Baixos devido a perseguições religiosas 
(BOYER; MERZBACH, 2018). 
Na primeira geração de matemáticos da família, estão os irmãos Jacques 
Bernoulli (1654–1705) e Jean Bernoulli (1667–1748). O mais velho, Jacques, mergulhou 
no estudo do cálculo infinitesimal por meio da leitura de artigos de Leibniz, além de obras 
dos ingleses Isaac Barrow (1630–1677) e John Wallis (1616–1703). Devemos a ele o 
 
25 
 
 
termo “integral” na linguagem do cálculo, termo que sugeriu a Leibniz e que foi adotado 
pelo alemão. 
Após certo tempo, Jacques Bernoulli já estava contribuindo para o cálculo com 
publicações na Acta eruditorum, a revista matemática que Leibniz ajudou a fundar e na 
qual publicava frequentemente. Apesar de seu interesse pelo cálculo infinitesimal e por 
séries infinitas, Jacques Bernoulli obteve avanços em diversas áreas. Uma desigualdade 
importante na matemática, conhecida como desigualdade de Bernoulli, foi desenvolvida 
por ele: 
 
 
Vamos analisar a desigualdade de Bernoulli para o caso particular em que n = 2, 
isto é: 
 
Observe que essa desigualdade em particular pode ser verificada expandindo-se 
o termo do lado esquerdo da desigualdade (quadrado d da soma), ou seja: 
 
 
uma vez que 
 
O gráfico exibido na Figura 1 mostra a desigualdade de Bernoulli para n = 3. 
Observe que a curva está acima da curva 
 
26 
 
 
 
Além de diversas publicações no Acta eruditorum, Jacques Bernoulli escreveu 
um influente tratado, o Ars conjectandi (A arte de conjecturar) (Figura 2), que foi publicado 
postumamente em 1713 e que aborda problemas de contagem envolvendo permutações 
e combinações e principalmente problemas relacionados à teoria das probabilidades. 
 
 
 
27 
 
 
Nessa obra aparece um importante teorema da área, chamado de lei dos grandes 
números, que enuncia que, se um evento com probabilidade de ocorrência p ocorre m 
vezes em uma sequência de n experimentos, então: 
 
 
Isto é, a probabilidade da frequência relativa de ocorrências deste evento tornar-
se arbitrariamente próxima da probabilidade p à medida que o número de experimentos 
aumenta tende a 1, ou seja, 100%. Na área de equações diferenciais, Jacques Bernoulli, 
em parceria com seu irmão Jean e com Leibniz, contribuiu para o desenvolvimento da 
hoje conhecida equação de Bernoulli: 
 
 
onde p(x) e g(x) e são funções quaisquer de x. A solução proposta para essa equação 
consiste na transformação v = y1-n. A equação obtida ao substituir tal transformação na 
equação diferencial original é linear, e portanto, passível de solução pelo método do fator 
integrante, por exemplo. 
O irmão de Jacques, Jean Bernoulli, também obteve resultados importantes na 
matemática. Escreveu livros didáticos sobre cálculo diferencial e integral e, enquanto 
esteve em Paris, ensinou esse então novo ramo da matemática para um marquês, que 
possuía grande interesse pela área, o marquês de L’Hospital (1661–1704). Além dos 
ensinamentos, Jean Bernoulli enviava ao marquês artigos e descobertas recentes da 
matemática. Numa dessas descobertas feitas por Jean Bernoulli está a conhecida regra 
de L’Hospital, extremamente utilizada no cálculo diferencial. Se f(x) e g(x) são 
diferenciáveis em x = a e f(a) = g(a) = 0, então: 
 
 
28 
 
 
Caso o limite do lado direito da equação exista. Logo, a regra de L’Hospital é 
amplamente aplicada em problemas envolvendo indeterminações no cálculo de limites. 
Essa regra foi colocada por L’Hospital em seu livro Analyse des infinement petit, 
publicado em 1696 e considerado o primeiro livro didático impresso de cálculo diferencial. 
Os filhos de Jean Bernoulli, Nicholas (1695–1726), Daniel (1700–1782) e Jean II (1710–
1790) também se tornaram professores de matemática, com destaque para Daniel 
Bernoulli, que fez importantes avanços em hidrodinâmica (princípio de Bernoulli), na 
teoria das probabilidades, entre outras áreas, quando professor da Academia de Ciências 
de São Petersburgo, na Rússia. 
3.3 Leonhard Euler 
Considerado um dos matemáticos mais produtivos da história, com mais de 500 
artigos publicados em diversas áreas, o suíço Leonhard Euler (1707–1783) (Figura 3) 
influenciou gerações com o desenvolvimento e a fundamentação da análise matemática. 
Sua obra Introductio in analysin infinitorum, de 1748, é considerada a fonte inicial dos 
fundamentos da análise e proporcionou o avanço da área posteriormente por outros 
matemáticos. 
 
 
29 
 
 
Euler estudou com Jean Bernoulli e fez grandes amizades com seus filhos 
Nicholas e, principalmente, Daniel. Tinha imensa habilidade em outras áreas do saber, 
como medicina, línguas, astronomia e teologia. 
Tais conhecimentos permitiram sua entrada na cadeira de medicina da Academia 
de São Petersburgo, na Rússia, onde os irmãos Nicholas e Daniel Bernoulli estavam 
trabalhando, porém como professores de matemática.Certo tempo depois, Euler 
conseguiu transferência para a cadeira de filosofia natural da academia. Construiu grande 
reputação na instituição e em toda a Europa, onde ganhou diversas premiações 
acadêmicas. 
Fez parte da Academia de Berlim a convite de Frederico, o Grande, onde ficou 
por 25 anos, até retornar à Rússia. Mesmo com graves problemas de visão, que o 
levaram à completa cegueira, Euler permaneceu produzindo e pesquisando até sua 
morte, em 1783 (FLOOD; WILSON, 2013). 
A influência de Euler já é evidente com as notações matemáticas definidas por 
ele e utilizadas até os dias de hoje. Para citar alguns exemplos, a utilização da letra grega 
∑ para representar somatórios, a notação f(x) para funções da variável x, a aplicação de 
letras maiúsculas para ângulos internos de um triângulo e minúsculas para seus lados, 
além da letra i para unidade imaginária de um número complexo. 
Por fim, a definição da letra e para a base dos logaritmos naturais, constante 
conhecida como número de Euler. Com essas notações, pode-se estabelecer a famosa 
identidade de Euler: 
 
Que relaciona alguns dos números mais importantes da matemática, como 0, 1 e 
π, e ainda apresenta todo um leque de operações básicas, incluindo soma, 
potenciação, multiplicação e igualdade. Como já mencionado, uma das principais 
contribuições de Euler foi a fundamentação da análise matemática, que estuda 
processos e metodologias associados ao infinito, como o comportamento de 
sequências, limites de funções, convergência de séries infinitas, entre outros. 
 
30 
 
 
De fato, com o avanço da análise, diversos resultados oriundos do cálculo 
diferencial e integral foram formalmente demonstrados com ferramentas da análise. A 
família Bernoulli e Leonhard Euler foram os personagens principais de uma era na 
matemática. Entretanto, diversos matemáticos importantes foram contemporâneos 
dos Bernoulli e de Euler, responsáveis por grandes avanços em áreas como cálculo 
diferencial e integral, análise matemática e teoria dos números. 
Nesse âmbito, podemos destacar Colin Maclaurin (1698–1746), Brook Taylor 
(1683–1731) e Michel Rolle (1652–1719) com importantes trabalhos no cálculo, 
Gabriel Cramer (1704–1752) e Jean Le Rond D’Alembert (1717–1783) na álgebra e 
Alexis Clairaut (1713–1765) nas equações diferenciais (BOYER; MERZBACH, 2018; 
ROONEY, 2017). 
 
3.4 A matemática na Revolução Francesa e no século XIX 
O período da Revolução Francesa, no final do século XVIII, trouxe vários grupos 
de matemáticos responsáveis por avanços em diversas áreas, principalmente na própria 
França. Matemáticos como Lagrange, Laplace, Legendre, entre outros, são 
personalidades tanto na matemática quanto, alguns deles, na revolução em si. 
Nesse período, os matemáticos começam a propor maior rigor e formalidade no 
pensamento matemático, o que se solidificou principalmente no século seguinte Joseph-
Louis Lagrange (1736–1813), italiano, mas com ascendência francesa, contribuiu 
significativamente para o cálculo diferencial e integral. Formulou o teorema do valor 
médio, que enuncia que, se uma função f é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), 
então existe tal que: 
 
Além disso, Lagrange propôs a utilização dos atualmente conhecidos 
multiplicadores de Lagrange para obtenção de máximos e mínimos de funções com 
 
31 
 
 
restrições em seu domínio, além de ter sido o autor do método da variação de parâmetro 
na resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas. Ficou conhecido pela 
elegância de seus métodos, além da preocupação com o rigor analítico de suas 
proposições. 
Assim como Lagrange, o francês Adrien-Marie Legendre (1752–1833) foi 
importante no cálculo, por meio de estudos em equações diferenciais, integrais elípticas 
e na escrita do tratado Exercices du calcul integral, produzido entre 1811–1819, com 
grande impacto na análise matemática. O formalismo e o rigor matemático defendidos 
por Lagrange também são encontrados em Legendre, cuja obra Éléments de géometrie, 
de 1794, ficou famosa pela clareza e pelo rigor aplicados nos conceitos abordados 
(BOYER; MERZBACH, 2018). 
O século XVIII foi marcante pelos primeiros desenvolvimentos na teoria das 
probabilidades, com participações fundamentais dos franceses Abraham De Moivre 
(1667–1754) e Pierre-Simon Laplace (1749–1827) (Figura 4). 
O primeiro foi o autor da influente obra Doctrine of chances, de 1718, com 
abordagem em diversos problemas probabilísticos envolvendo jogos de dados e retiradas 
de bolas em urnas, além de estabelecer uma teoria para permutações e combinações. 
Segundo Boyer e Merzbach (2018), foi o primeiro a trabalhar com a expressão 
da curva gaussiana ou distribuição normal 
 
Que também fora estudada por Laplace e utilizada por Gauss na sua teoria dos 
erros. Laplace, inclusive, foi o autor de diversos artigos na área de teoria das 
probabilidades. Reuniu seus resultados na obra Théorie analytique des probabilités, de 
1812, considerada clássica na área. Por fim, escreveu Essai philosophique des 
probabilités, de 1814, em que considera toda a teoria desenvolvida sobre a área até 
então, além de introduzir o assunto para o público leigo. 
 
 
32 
 
 
 
A matemática do século XIX evoluiu tanto em aspectos técnicos — com o 
surgimento de novos conceitos, como geometria não euclidiana, espaços n-dimensionais 
e álgebras não comutativas — quanto em aspectos filosóficos, em que o rigor lógico-
dedutivo passava a ter papel central nas demonstrações dos resultados. A matemática 
pura recebeu mais atenção, com maiores incentivos à pesquisa e à divulgação. Foi esse 
o século que testemunhou o auge de Gauss, considerado o principal matemático do 
período. 
Carl Friedrich Gauss (1777–1855) nasceu na Alemanha e desde criança já 
demonstrava habilidades com a matemática. Pesquisas importantes na geometria, na 
álgebra e na teoria dos números foram conduzidas, com resultados de destaques obtidos 
por Gauss ainda jovem. 
Apresentou demonstrações do teorema fundamental da álgebra, que afirma que 
uma equação de grau n possui exatamente n raízes (reais ou complexas). Descobriu o 
famoso método dos mínimos quadrados, fundamental na estatística, por ser um método 
de otimização que visa obter a melhor aproximação ou, em linguagem estatística, melhor 
ajuste, considerando a minimização da soma dos quadrados das distâncias entre o ajuste 
e as observações (ROONEY, 2017). 
 
33 
 
 
Em teoria dos números, Gauss publicou a influente obra Disquisitiones 
arithmeticae (Figura 6), publicada em 1801, em que reuniu diversos avanços na área 
obtidos por matemáticos como Euler, Lagrange e Legendre, além de resultados 
alcançados por ele mesmo (ROONEY, 2017). 
 
 
Em teoria de probabilidades, Gauss aplicou a curva hoje conhecida como curva 
gaussiana ou distribuição normal, apresentada na Figura 7, para modelar erros de 
medição em dados astronômicos. Postulou que a frequência dos erros distribuía-se 
simetricamente ao redor de zero, que era o valor modal. A expressão analítica da curva 
gaussiana já fora estudada por De Moivre e Laplace, mas sua aplicação por Gauss no 
âmbito da teoria dos erros foi fundamental para seu desenvolvimento e popularidade. 
 
34 
 
 
 
Apesar do destacado papel de Gauss na matemática do século XIX, diversos 
matemáticos devem ser mencionados por suas importantes contribuições no período. 
Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), por exemplo, estabeleceu o termo “determinante” 
e realizou diversos trabalhos sobre o assunto, que hoje é essencial em estudos sobre 
matrizes. Entre outras contribuições, generalizou de certa forma o teorema do valor médio 
no cálculo, em que, se f e g satisfazem as condições mencionadas anteriormente quando 
introduzido o teorema, então: 
 
 
O prussiano Carl Cristov Jacobi (1804–1851), o norueguês Niels Henrik Abel 
(1802–1829) e o francês Évariste Galois (1811–1832), apesardo pouco período em que 
viveram (Galois, por exemplo, faleceu em um duelo aos 20 anos), foram responsáveis 
por avanços na teoria dos números, no cálculo diferencial e integral, na álgebra, entre 
outras (BOYER; MERZBACH, 2018) 
 
35 
 
 
3.5 Influências em sala de aula 
Os avanços realizados em todas as áreas da matemática entre os séculos XVII 
e XIX estão presentes atualmente nas salas de aula, a começar pelas notações, muitas 
delas introduzidas por Euler no século XVIII para funções matemáticas, para a unidade 
imaginária e para a base do logaritmo natural, por exemplo. As ferramentas de cálculo, 
amplamente estudadas naquele período, podem ser vistas em diversos assuntos. Ao 
abordar esses conceitos em sala de aula, o professor pode fazer conexões com o 
contexto histórico e com os matemáticos que os desenvolveram. O exemplo a seguir 
interpreta o teorema do valor médio em termos de retas secantes e tangentes (BOYER; 
MERZBACH, 2018). 
3.6 Interpretação do teorema do valor médio 
A partir do teorema do valor médio, temos que: 
 
Note que o lado esquerdo da equação representa o coeficiente angular da reta 
secante ao gráfico da função de f que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). O teorema 
diz que existe um ponto (c, f(c)) cuja reta tangente ao gráfico neste ponto possui o mesmo 
coeficiente angular que o da reta secante em (a, f(a)) e (b, f(b)), isto é, as retas secantes 
em (a, f(a)) e (b, f(b)) e tangente em (c, f(c)) são paralelas. Para ilustrar, considere a 
função: 
 
Vamos considerar também a = 1 e b = 6. É fácil verificar que a função é contínua 
e diferenciável em [1, 6]. Pelo teorema do valor médio, existe tal que: 
 
 
36 
 
 
 
Esse valor c pode ser encontrado sabendo-se que f’(x) = 2x – 5. Assim: 
 
 
A Figura 8 apresenta o gráfico de f com as retas secante em 
 , em vermelho, e tangente em em verde. 
Observe que as retas são paralelas, com coeficiente angular igual a 2 pelo teorema do 
valor médio (BOYER; MERZBACH, 2018). 
 
Conceitos trabalhados no ensino básico, como matrizes, determinantes e 
equações também apresentam fortes influências dos trabalhos dos matemáticos dos 
séculos XVII a XIX. Os exemplos a seguir ilustram esta Por fim, o incentivo ao rigor 
matemático em demonstrações e raciocínios também é fruto do período histórico 
estudado nesta seção. Com os exemplos examinados, fica evidente que a matemática 
 
37 
 
 
ensinada e aplicada atualmente é resultado de séculos de árduas pesquisas, 
experimentos e pensamentos desenvolvidos por diversos matemáticos em várias partes 
do mundo. Além disso, seus conceitos são desenvolvidos e aperfeiçoados gradualmente, 
assim como ocorre na ciência de forma geral. Entender o contexto histórico do 
pensamento de um dado conceito matemático é fundamental para sua completa 
compreensão. 
4 DESENVOLVIMENTO DA MATEMÁTICA NO SÉCULO XX 
 
4.1 A matemática entre os séculos XIX e XX 
O século XIX foi bastante fértil para a matemática, com desenvolvimento de 
ideias muito originais, fundamentando novos campos de pesquisa em várias seções da 
disciplina. Historicamente, o final do século foi marcado pela guerra franco-prussiana, um 
evento que redundou na anexação da Alsácia-Lorena pela Prússia, na unificação da 
Alemanha, na estipulação de um pesado pagamento de indenização pela França e na 
ocupação de territórios franceses por forças alemãs, com a manutenção de um processo 
de enfrentamento que levou às duas guerras mundiais já no século XX (CONSTANT, 
2020). No campo da matemática, vamos conhecer as atividades da virada daquele 
século, examinando a trajetória de dois gênios: Jules Henri Poincaré e David Hilbert 
4.2 Jules Henri Poincaré 
Poincaré nasceu em Nancy, França, em 1854, filho de um médico que lecionava 
na faculdade de medicina da cidade. Formou-se em engenharia, partindo em seguida 
para o doutorado em matemática, abrindo as portas para a docência, lecionando 
probabilidade, mecânica celeste, análise e astronomia (HENRI..., [2021]). 
Seus trabalhos iniciais foram dedicados à teoria das equações diferenciais (criou 
um método geral de resolução), à teoria geral das funções analíticas de uma ou duas 
variáveis, bem como a mecânica analítica, mecânica celeste, álgebra e teoria dos 
números e teoria das funções fuchsianas, que permitem expressar as soluções de 
 
38 
 
 
qualquer equação diferencial linear por meio coeficientes algébricos e, 
concomitantemente, resolver o problema da uniformização das funções algébricas 
(HENRI..., [2021b? ]). 
Além disso, o matemático estabeleceu a existência das funções kleinianas e 
iniciou o ramo de estudo conhecido como topologia algébrica, descobrindo em uma 
pesquisa sobre o sistema solar a influência das condições iniciais, tornando-se pioneiro 
da teoria do caos. Poincaré morreu em 17 de julho de 1912. 
4.3 Conjectura de Poincaré 
A conjectura de Poincaré, datada de 1904, afirma que qualquer variedade 
tridimensional fechada é topologicamente equivalente à esfera S3, que é uma 
generalização de uma esfera comum para uma dimensão superior. Segundo Hosch 
(2013), o próprio Poincaré mais tarde generalizou sua conjectura para qualquer 
dimensão, afirmando que a n-esfera é o único espaço n-dimensional limitado que não 
contém buracos, implicando que, para n = 3 voltamos à conjectura original. 
Segundo Mackenzie (2006), para n = 2 a prova ocorreu no século XIX. Mais tarde, 
em 1961, Stephen Smale provou que a conjectura é verdadeira para n ≥ 5, e em 1983 
Michael Freedman mostrou que é verdadeira para n = 4. Finalmente, o matemático russo 
Grigori Perelman provou que a conjectura de Poincaré é verdadeira para n = 3. Os três 
matemáticos foram agraciados com a medalha Fields, recusada por Perelman, que 
também recusou um prêmio de um milhão de dólares pela prova. 
4.4 David Hilbert 
David Hilbert foi um matemático alemão, nascido numa cidade famosa por sua 
ligação com a história da matemática devido às suas pontes, Königsberg, em 23 de 
janeiro de 1862, e morreu em outra cidade que deve muito de sua fama aos grandes 
mestres da ciência que passaram por sua universidade, como Carl Friedrich Gauss, Felix 
Klein, e o próprio Hilbert. Estamos nos referindo à Göttingen, onde David morreu em 14 
de fevereiro de 1943 (UNIVERSITÄTSGESCHICHTE, (2021). 
 
39 
 
 
Em 1895, Hilbert foi trabalhar em Göttingen, lecionando teoria algébrica dos 
números, noções básicas de geometria, análise, física teórica e noções básicas de 
matemática. Em 1900, apresentou 23 problemas no Congresso Internacional de 
Matemáticos de Paris, os quais nortearam muitas buscas durante os séculos XX e XXI. 
Como exemplo, podemos citar o 8º problema, que é a hipótese de Riemann 
(DAVID...,2021). 
Entre vários trabalhos produzidos por Hilbert, destacam-se a teoria invariante, a 
criação de um método direto para provar teoremas de finitude (fundamentais para a 
álgebra moderna), o teorema da irredutibilidade de Hilbert, investigações sobre a 
representação de polinômios definidos como somas de quadrados, a solução das 
equações de 9º grau por funções algébricas de quatro variáveis, a teoria dos campos de 
números algébricos, a axiomatização da álgebra e da topologia, o resgate do princípio de 
Dirichlet, o reconhecimento da importância do que hoje é denominado de espaço de 
Hilbert e uma prova da conjectura de Waring (DAVID..., [2021?]). 
David Hilbert propôs uma curva fractal que preenche o espaço, derivada da curva 
de Peano, denominada curva de Hilbert, exibida na Figura 1. 
 
 
 
40 
 
 
4.5 Matemáticos de destaque no século XX 
Analisar a matemática do século XX não é tarefa simples, pois a proximidade dos 
anos ainda nos leva a ter várias dúvidas sobre as principais descobertas. É possível que 
nas próximas décadas (ou séculos) possa haver uma opinião discordante da nossa, até 
porque novos avanços podem surgir na ciência em virtude de descobertas recentese 
aplicações que sequer imaginamos que possam existir. Nossa lista de pesquisadores 
inclui Alan Turing, Kurt Gödel e Benoit Mandelbrot 
 
4.6 Kurt Gödel 
Gödel nasceu na Áustria em 1906, e tinha o apelido familiar de “senhor por quê”, 
pela curiosidade que o levava a perguntar sobre diferentes assuntos. Quando entrou na 
Universidade de Viena, aos 18 anos, já tinha tanto conhecimento sobre matemática que 
os cursos regulares nada podiam oferecer como acréscimo, e seu se interesse ficou 
concentrado na lógica matemática (QUEM..., 2018). 
Antes de Gödel, havia uma opinião recorrente entre os matemáticos de que os 
problemas da área seriam cedo ou tarde resolvidos, até mesmo os que constavam na 
lista de 23 problemas que Hilbert apresentou no Congresso de Matemática em 1900. Em 
1930, Kurt Gödel anunciou ter provado que era impossível demonstrar todas as verdades 
de uma teoria, e que sempre haveria afirmações verdadeiras que não seriam passíveis 
de demonstração a partir de axiomas propostos — esse é o primeiro teorema da 
incompletude de Gödel (PIÑEIRO, 2017). 
Quando os nazistas assumiram o poder na Alemanha, em 1933, a situação ficou 
difícil para todos os judeus, inclusive para grandes cientistas, como Einstein e Gödel. Em 
1938, Gödel teve negado uma solicitação para um cargo remunerado na Universidade 
de Viena e passou a temer ser recrutado pelo exército nazista, resolvendo fugir com sua 
esposa. Eles atravessaram a União Soviética pela ferrovia transiberiana e pegaram um 
navio para San Francisco, nos Estados Unidos, indo em seguida se estabelecer em 
Princeton, onde Gödel morreu em 1978 (KURT, c2021). 
 
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4.7 Alan Turing 
Segundo Hodges (1995), Alan Mathison Turing nasceu em 23 de junho de 1912, 
e desde a infância mostrava sinais de muita inteligência, tendo oportunidade de estudar 
na Sherborne School, escola de prestígio de Londres, formando-se em matemática na 
Universidade de Cambridge em 1931. Em 1935, Turing começou a se dedicar a uma 
questão sobre a capacidade de decisão, conhecida pelo termo alemão 
Entscheidungsproblem (problema de decisão), que pergunta se poderia haver, ao menos 
em princípio, um método ou processo definido capaz de decidir se qualquer afirmação 
matemática é ou não demonstrável? 
Para responder essa pergunta, se fazia necessário que houvesse uma definição 
de método, que deveria ser precisa e convincente. Turing forneceu a resposta 
expressando-a em termos de uma máquina teórica capaz de realizar certas operações 
elementares precisamente definidas sobre símbolos em fita de papel, criando o conceito 
chamado máquina de Turing, base da teoria da computação (HODGGES, 1995). Com o 
advento da Segunda Guerra Mundial, Turing foi convocado pelas forças britânicas para 
trabalhar em Bletchley Park, local onde equipes buscavam descobrir os códigos utilizados 
pelas forças do Eixo (Alemanha, Itália e Japão). 
Os nazistas utilizavam uma máquina chamada Enigma (Figura 2) para transmitir 
mensagens para suas tropas, e a primeira quebra do código operacional do dispositivo 
aconteceu em 23 de janeiro de 1940, quando a equipe formada por Alan Turing, John 
Jeffreys e Peter Twinn descobriu a chave usada pelo Exército Alemão, iniciando uma 
sequência que descobriu a chave usada pela força aérea alemã e posteriormente os 
sistemas italiano e japonês (BLETCHLEY PARK, 2012). 
 
42 
 
 
 
De acordo com Mlodinow (2005), pode-se estimar que a quebra do código da 
Enigma abreviou a possível duração da Segunda Guerra Mundial em dois anos. Como 
morreram aproximadamente 12 milhões de pessoas por ano durante a guerra, esse 
trabalho talvez tenha poupou cerca de 24 milhões de vidas. Apesar de seu heroísmo em 
seu brilhante esforço de guerra, Alan Turing (Figura 3) viria a ter um destino trágico: por 
ser homossexual, que era um crime na Inglaterra da época, foi forçado a um tratamento 
de castração química. Aos 42 anos, Turing se suicidou, ingerindo uma maçã injetada com 
cianureto, em 7 de junho de 1954. 
 
 
43 
 
 
4.8 As máquinas podem pensar? 
Essa é a pergunta que abre o artigo “Computing machinery and intelligence”, de 
Turing (1950), cuja primeira parte se chama “The Imitation Game”, o jogo da imitação. 
Você já deve ter ouvido falar nessa expressão, que dá título ao filme homônimo que 
retrata a vida do matemático. O artigo prossegue propondo que se troque a pergunta por 
um jogo, denominado jogo da imitação, que funciona assim: temos três jogadores, um 
homem (A), uma mulher (B) e um interrogador (C), que homem ou mulher. C fica em uma 
sala sem ver A e B, que estão em outra. C conhece os dois por códigos X e Y. A não quer 
ajudar C. B quer ajudar C. Objetivo do jogo: C deve identificar quem é o homem e quem 
é a mulher no final do jogo, do seguinte modo: X é A e Y é B ou X é B e Y é A. 
As respostas são datilografadas e as perguntas podem ser do tipo “qual é o 
comprimento do seu cabelo? ” (TURING, 1950), e os interlocutores A e B devem dar as 
respostas de acordo com seu objetivo (ajudar ou não C). A partir desse cenário, Turing 
estende ainda mais o potencial do jogo, se perguntando o que aconteceria se A for 
substituído por uma máquina? Conseguiria enganar o interrogador por quanto tempo? 
Levaria mais tempo para ser descoberto que um ser humano? 
E conseguiria enganar C em algum interrogatório? No artigo, Turing supõe que 
haverá um dia em que as máquinas terão capacidade para “[...] jogar o jogo da imitação 
tão bem que um interrogador médio não terá mais de 70% de chance de fazer a 
identificação correta após cinco minutos de interrogatório” (TURING, 1950, p. 442, 
tradução nossa). 
Na sequência, apresenta nove objeções à sua ideia, desconstruindo todas elas: 
a teológica, “cabeça na areia”, matemática, argumento da consciência, argumentos de 
várias deficiências, objeção de Lady Lovelace, argumento de continuidade no sistema 
nervoso, argumento da informalidade de comportamento e argumento da percepção 
extrassensorial. O artigo de Turing é a base para julgar se uma máquina pensa ou não 
ainda nos nossos dias. 
 
 
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4.9 Benoît Mandelbrot 
Mandelbrot (1924–2010) nasceu em Varsóvia, na Polônia, mas durante a infância 
sua família, devido a dificuldades financeiras, emigrou para a França. Após a invasão 
alemã de 1939, instalaram-se em Tulle, pois eram judeus e essa era uma zona francesa 
desocupada, um pouco mais segura, rumando mais tarde para Paris em 1944, onde 
Benoit pôde cursar a École Polytechnique, indo para o Massachusetts Institute of 
Technology (MIT) no período 1953–1954, para o pós-doutorado. Em 1958, foi trabalhar 
na IBM, em um estágio de verão, e permaneceu por 35 anos na empresa, enquanto, em 
paralelo, dava aulas na Universidade de Yale (BENOÎT..., c2021). 
 Mandelbrot ganhou fama trabalhando e divulgando a geometria fractal, que 
mostrava graficamente uma série de estruturas matemáticas que estudou, especialmente 
as variações econômicas caóticas e repentinas que se revelavam serem mais frequentes 
do que era previsto. Ele lecionou até 2004, quando encerrou sua carreira como professor 
emérito em Yale, morrendo em 2010 em Cambridge. 
4.10 Quanto mede o litoral da Grã-Bretanha? 
Para ilustrar o que são fractais, muitas vezes Mandelbrot (1998) utilizava como 
exemplo o litoral da Grã-Bretanha, perguntando qual é o comprimento total da costa da 
ilha. Em seguida, ele propunha medir o litoral com uma régua imaginária com a medida 
de 200 milhas (cerca de 320 km), sendo preciso utilizar oito delas para completar a 
mensuração, totalizando 1.600 milhas (cerca de 2.500 km). Diminuindo a graduação de 
nossa régua para 25 milhas (40 km) cada uma, utilizaríamos 102 segmentos para a 
medição, encontrando um comprimento final de 2250 milhas (cerca de 3.600 km). Se 
obtivermos mapas locais e continuarmos a medir o litoral, o comprimento total segue 
aumentando, pois conforme nos aproximamos, mais detalhessurgem. Isso acontece 
porque o litoral é um fractal e sua dimensão não é um número inteiro, e sim uma fração, 
estando entre 0 e 1. 
 
 
45 
 
 
4.11 Cálculo da dimensão fractal 
De acordo com Assis et al. (2008), o cálculo da dimensão fractal é feito com uso de 
logaritmos, em geral, para fractais construídos recursivamente, a partir de c cópias de si 
próprios. Redefinidos por um fator 1/f, teremos que a dimensão (d) é: 
 
 
Como exemplo, podemos tentar calcular a dimensão da curva de Koch, exibida 
na Figura 4. 
 
 
Observe que a curva é construída a partir de um segmento de reta que é dividido 
em três partes iguais, sendo retirado o segmento do meio, que é substituído por um 
triângulo equilátero que tem sua base retirada. A figura passa por um processo de 
iteração, com a repetição da regra n vezes, multiplicando-se os segmentos por 4/3, em 
que três segmentos são substituídos por 4 de igual comprimento, indo para um limite 
 
46 
 
 
definido por Mandelbrot como infinito interno (ASSIS et al., 2008). Aplicando a fórmula 
anterior para o cálculo da dimensão d e fazendo as substituições, temos que: 
 
 
Muita gente que acessa seu notebook, usa seu smartphone, assiste a um vídeo 
em algum canal da web talvez nem imagine a capacidade intelectual, o talento, a 
imaginação e a criatividade de matemáticos como Benoît Mandelbrot e Alan Turing, que 
deram os passos teóricos que possibilitaram avanços tecnológicos definidores da nossa 
sociedade, cujos hábitos e cultura estão imersos no virtual. Esse já um fato por si só com 
peso considerável para admirarmos a matemática produzida no século XX, e pensar no 
que ainda pode nos surpreender nos anos que vem por aí. 
4.12 A matemática do século XX na sala de aula 
É possível abordar conceitos de matemática do século XX em sala de aula na 
educação básica, ou devemos, nesse nível do ensino, nos ater à matemática 
desenvolvida até o século XIX? Alguns autores supõem que é possível mostrar um pouco 
da matemática do século XX em sala de aula, inclusive porque Artur Ávila, brasileiro 
ganhador da Medalha Fields em 2014, dedicou-se bastante às pesquisas sobre sistemas 
dinâmicos, e seu exemplo pode servir como incentivo à população estudantil brasileira, 
especialmente os mais jovens, para o estudo da matemática. 
Morais (2014) defende em sua dissertação de mestrado a possibilidade de 
utilização em sala de aula das descobertas matemáticas mais recentes, destacando os 
sistemas dinâmicos não lineares, a teoria do caos e os fractais, argumentando que esses 
temas aparecem sistematicamente na mídia, propondo uma transposição didática em 
conjunto com algumas propostas de aplicações em sala de aula na educação básica. 
Já Machado, Giraffa e Lahm (2011) relatam a experiência de propor um grupo de 
aulas para o 9º ano do ensino fundamental, em que é utilizado o aplicativo Google Earth 
para busca de imagens das geometrias euclidiana e fractal sobre a superfície da Terra. 
 
47 
 
 
A dinâmica das aulas foi organizada em diversas etapas, começando por uma produção 
textual, depois revisão de conceitos, buscas de informações na web, aula expositiva 
sobre geometria fractal, identificação, seleção e salvamento de imagens que 
apresentassem as duas geometrias, apresentação de trabalhos mostrando as 
conclusões e, para finalizar, uma segunda produção textual. 
 Os textos serviram para dois objetivos: o primeiro era verificar os conhecimentos 
prévios dos alunos sobre a geometria em geral e o segundo era realizar uma avaliação 
do conhecimento construído durante a jornada de estudos. A revisão dos conceitos é 
uma tarefa sempre necessária no ensino de matemática, pois, como o conhecimento 
matemático progride em cima das bases já estabelecidas e provadas formalmente, não 
compreender um tema pode ter consequências negativas na trajetória escolar. Nesse 
caso, o importante era conhecer os axiomas e as figuras planas, com ênfase no conceito 
dimensional, para poder haver compreensão das ideias de dimensão fracionária, que 
embasam o estudo dos fractais. No experimento relatado, e em outros similares 
executados pelos autores do artigo, é comum os alunos se depararem com informações 
na internet sobre Edward Lorenz e o efeito-borboleta, tema muito explorado pela mídia, 
inclusive sendo mote para inúmeros filmes, (Morais, 2014). 
Em virtude dessa disponibilidade de informações, sugere-se que o professor se 
prepare estudando o tema em detalhes de antemão, para poder conversar com sua 
turma. Imagens com asas, por exemplo, são comuns na geração de fractais, como ilustra 
a Figura 5, que mostra um atrator fractal do tipo Lorenz. 
 
 
48 
 
 
A turma, nessa etapa, tem algumas informações sobre fractais e caos, pois 
mesmo que possuísse pouca ou nenhuma informação sobre tais temas, agora já captou 
algo via busca na internet, facilitando a exposição da teoria. No grupo de aulas em 
questão, foi apresentado o modelo de construção da curva de Koch, que já vimos nesse 
capítulo, mas sem menção aos logaritmos. 
Caso as aulas sejam adaptadas para o 3º ano do ensino médio, quando se 
retorna ao tema da geometria euclidiana (com axiomas e geometria espacial), é possível 
apresentar o cálculo com logaritmos, aproveitando para revisar o assunto com uma 
aplicação interessante. 
No experimento de Machado, Giraffa e Lahm (2011), a aula seguinte foi realizada 
como projeto de pesquisa no laboratório de informática da escola. Todavia, a evolução 
técnica dos smartphones e dos aplicativos permite a realização do mesmo trabalho em 
sala de aula, caso haja um Wi-Fi eficiente à disposição da turma e um número suficiente 
de aparelhos celulares com os alunos. 
Nessa fase, a ideia é procurar imagens de satélite que apresentem figuras 
geométricas e figuras fractais, como telhados, recortes de litoral, etc. A etapa final do 
projeto consiste na apresentação das imagens selecionadas pelos alunos e pela 
confecção do texto final, a partir do qual será avaliada a aprendizagem. A matemática 
apaixona pelas ideias que contém, e sua história é um desenrolar de fatos incríveis, de 
descobertas, de trabalho árduo e contínuo, executado ao longo de gerações. 
Nessa última sessão, apresentamos uma sugestão de aproximação da fronteira 
das pesquisas em matemática com a educação básica, pois é na sala de aula das escolas 
públicas e privadas que estão agora os futuros indivíduos que levarão adiante essa 
história, dependendo de nós para apresentar um vasto mundo formado por números, 
teorias e demonstrações. 
 
 
 
 
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5 A BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR E O ENSINO DE MATEMÁTICA 
 
5.1 Educação matemática e BNCC 
 
No século XXI, a educação brasileira, em especial a educação matemática, 
fortemente vinculada aos moldes da educação francesa, depara-se com diversas 
mudanças de paradigmas, resultantes de modificações sociais, políticas e avanços 
tecnológicos (LACROIX, 2013). 
Nesse cenário pós-moderno, em que diversas mídias moderam, mediam e 
modelam o pensamento humano, de que serve a matemática? O que ensinar? Por que 
ensinar? A educação brasileira, orientada à memorização, repetição e aplicação, não 
priorizava o ensino crítico de matemática. Não significa que a criticidade fosse inexistente, 
mas que por muito tempo a matemática, desde o tempo das missões jesuíticas, foi vista 
como um recurso auxiliar (MONDINI, 2013). 
Ao longo da história brasileira, registraram-se reformas e documentos na tentativa 
de organizar nacionalmente a educação. No entanto, isso se dispersava pelo território e, 
segundo Boaventura (2009), a finalidade era alimentar a máquina burocrática, 
inicialmente do estado imperial em formação, gerando médicos, engenheiros militares, 
etc. Durante o período imperial, por exemplo, o ensino de matemática e das demais 
ciências exatas era reservado às aplicações militares. Observados os períodos da 
República Velha (1889–1929),