Unidade II - Aula 1

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Ca´lculo Nume´rico
Soluc¸o˜es Nume´ricas de E.D.O.
Aula 1- 2o. Esta´gio
Prof. Roberto Capistrano e Prof. Jose´ Vicente
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 1 / 19
Suma´rio
1 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O.
Introduc¸a˜o
2 Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
3 Problema de Valor Inicial(P.V.I)
4 Calculando uma EDO com wxMa´xima
5 Bibliografia
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Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Introduc¸a˜o
Equac¸o˜es Diferenciais
Introduc¸a˜o
Hoje em dia, a maioria dos estudantes dispo˜e de algum tipo de computac¸a˜o, como
calculadora gra´fica,computador porta´til, ou de mesa, tablet e outros equipamentos, o
que tornam fa´cil de fazer ca´lculos trabalhosos, gerar gra´ficos de boa qualidade entre
outros atributos. Com essas considerac¸o˜es a maneira de trabalhar as E.D.O mudou
bastante nos u´ltimos anos. O que mostramos, ate´ agora sustenta o estudo nume´rico das
E.D.O., largamente usado em problemas de engenharia, tais como fluxo de flu´ıdos,
vibrac¸o˜es, movimentos harmonicos etc.
Por razo˜es pra´ticas discutiremos as chamadas E.D.O.(equac¸o˜es) de primeira e segunda
ordem.
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria e´ constituido de uma igualdade da varia´vel
independente(x) e da varia´vel dependente y = f (x) e suas derivadas. A ordem de uma
E.D.O. e´ a ordem da maior derivac¸a˜o presente na equac¸a˜o,e uma soluc¸a˜o e´ uma func¸a˜o
y = f (x) que quando substituida na equac¸a˜o mante´m a igualdade.
As equac¸o˜es de primeira ordem em geral escreve-se na forma :
y ′ = F (x , y); x ∈ (a, b)
e as de segunda ordem
y ′′ = F (x , y , y ′); x ∈ (a, b)
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria e´ constituido de uma igualdade da varia´vel
independente(x) e da varia´vel dependente y = f (x) e suas derivadas. A ordem de uma
E.D.O. e´ a ordem da maior derivac¸a˜o presente na equac¸a˜o,e uma soluc¸a˜o e´ uma func¸a˜o
y = f (x) que quando substituida na equac¸a˜o mante´m a igualdade.
As equac¸o˜es de primeira ordem em geral escreve-se na forma :
y ′ = F (x , y); x ∈ (a, b)
e as de segunda ordem
y ′′ = F (x , y , y ′); x ∈ (a, b)
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria e´ constituido de uma igualdade da varia´vel
independente(x) e da varia´vel dependente y = f (x) e suas derivadas. A ordem de uma
E.D.O. e´ a ordem da maior derivac¸a˜o presente na equac¸a˜o,e uma soluc¸a˜o e´ uma func¸a˜o
y = f (x) que quando substituida na equac¸a˜o mante´m a igualdade.
As equac¸o˜es de primeira ordem em geral escreve-se na forma :
y ′ = F (x , y); x ∈ (a, b)
e as de segunda ordem
y ′′ = F (x , y , y ′); x ∈ (a, b)
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E.D.O.
Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria e´ constituido de uma igualdade da varia´vel
independente(x) e da varia´vel dependente y = f (x) e suas derivadas. A ordem de uma
E.D.O. e´ a ordem da maior derivac¸a˜o presente na equac¸a˜o,e uma soluc¸a˜o e´ uma func¸a˜o
y = f (x) que quando substituida na equac¸a˜o mante´m a igualdade.
As equac¸o˜es de primeira ordem em geral escreve-se na forma :
y ′ = F (x , y); x ∈ (a, b)
e as de segunda ordem
y ′′ = F (x , y , y ′); x ∈ (a, b)
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Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria e´ constituido de uma igualdade da varia´vel
independente(x) e da varia´vel dependente y = f (x) e suas derivadas. A ordem de uma
E.D.O. e´ a ordem da maior derivac¸a˜o presente na equac¸a˜o,e uma soluc¸a˜o e´ uma func¸a˜o
y = f (x) que quando substituida na equac¸a˜o mante´m a igualdade.
As equac¸o˜es de primeira ordem em geral escreve-se na forma :
y ′ = F (x , y); x ∈ (a, b)
e as de segunda ordem
y ′′ = F (x , y , y ′); x ∈ (a, b)
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Exemplos
1a. ordem
y ′ = 2y 2 + x [F (x , y) = 2y 2 + x ]
y ′ = −y + xsen (y) + 1 [F (x , y) = −y + xsen (y) + 1]
xy ′ = −y =⇒ y ′ = −y
x
(x 6= 0)
[
F (x , y) =
−y
x
]
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Exemplos
1a. ordem
y ′ = 2y 2 + x [F (x , y) = 2y 2 + x ]
y ′ = −y + xsen (y) + 1 [F (x , y) = −y + xsen (y) + 1]
xy ′ = −y =⇒ y ′ = −y
x
(x 6= 0)
[
F (x , y) =
−y
x
]
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Exemplos
1a. ordem
y ′ = 2y 2 + x [F (x , y) = 2y 2 + x ]
y ′ = −y + xsen (y) + 1 [F (x , y) = −y + xsen (y) + 1]
xy ′ = −y =⇒ y ′ = −y
x
(x 6= 0)
[
F (x , y) =
−y
x
]
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Exemplos
1a. ordem
y ′ = 2y 2 + x [F (x , y) = 2y 2 + x ]
y ′ = −y + xsen (y) + 1 [F (x , y) = −y + xsen (y) + 1]
xy ′ = −y =⇒ y ′ = −y
x
(x 6= 0)
[
F (x , y) =
−y
x
]
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Exemplos
1a. ordem
y ′ = 2y 2 + x [F (x , y) = 2y 2 + x ]
y ′ = −y + xsen (y) + 1 [F (x , y) = −y + xsen (y) + 1]
xy ′ = −y =⇒ y ′ = −y
x
(x 6= 0)
[
F (x , y) =
−y
x
]
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E.D.O.
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Exemplos
1a. ordem
y ′ = 2y 2 + x [F (x , y) = 2y 2 + x ]
y ′ = −y + xsen (y) + 1 [F (x , y) = −y + xsen (y) + 1]
xy ′ = −y =⇒ y ′ = −y
x
(x 6= 0)
[
F (x , y) =
−y
x
]
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E.D.O.
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Exemplos
2a. ordem
y ′′ = 1− y ′ + xy [F (x , y , y ′) = 1− y ′ + xy ]
exy ′′ + y ′ + xy − 1 = 0 ∴ exy ′′ = 1− xy − y ′ ∴
∴ y ′′ = 1
ex
− xy
ex
− 1
ex
y ′ =⇒ y ′′ = e−x − xe−xy − e−xy ′
F(x,y,y’)=e−x − xe−xy − e−xy ′
y =
1
x
(x > 0) e´ soluc¸a˜o de xy ′ = −y . De fato, y ′ = − 1
x2
e
xy ′ = x
(
− 1
x2
)
= − 1
x
= −y
y = sen (x) e y = cos(x) sa˜o soluc¸o˜es da E.D.O. y ′′ + y = 0 pois para
y = sen (x), temos y ′′ = −sen (x) e para y = cos(x), temos y ′′ = − cos(x).
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Exemplos
2a. ordem
y ′′ = 1− y ′ + xy [F (x , y , y ′) = 1− y ′ + xy ]
exy ′′ + y ′ + xy − 1 = 0 ∴ exy ′′ = 1− xy − y ′ ∴
∴ y ′′ = 1
ex
− xy
ex
− 1
ex
y ′ =⇒ y ′′ = e−x − xe−xy − e−xy ′
F(x,y,y’)=e−x − xe−xy − e−xy ′
y =
1
x
(x > 0) e´ soluc¸a˜o de xy ′ = −y . De fato, y ′ = − 1
x2
e
xy ′ = x
(
− 1
x2
)
= − 1
x
= −y
y = sen (x) e y = cos(x) sa˜o soluc¸o˜es da E.D.O. y ′′ + y = 0 pois para
y = sen (x), temos y ′′ = −sen (x) e para y = cos(x), temos y ′′ = − cos(x).
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Exemplos
2a. ordem
y ′′ = 1− y ′ + xy [F (x , y , y ′) = 1− y ′ + xy ]
exy ′′ + y ′ + xy − 1 = 0 ∴ exy ′′ = 1− xy − y ′ ∴
∴ y ′′ = 1
ex
− xy
ex
− 1
ex
y ′ =⇒ y ′′ = e−x − xe−xy − e−xy ′
F(x,y,y’)=e−x − xe−xy − e−xy ′
y =
1
x
(x > 0) e´ soluc¸a˜o de xy ′ = −y . De fato, y ′ = − 1
x2
e
xy ′ = x
(
− 1
x2
)
= − 1
x
= −y
y = sen (x) e y = cos(x) sa˜o soluc¸o˜es da E.D.O. y ′′ + y = 0 pois para
y = sen (x), temos y ′′ = −sen (x) e para y = cos(x), temos y ′′ = − cos(x).
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Exemplos
2a. ordem
y ′′ = 1− y ′ + xy [F (x , y , y ′) = 1− y ′ + xy ]
exy ′′ + y ′ + xy − 1 = 0 ∴ exy ′′ = 1− xy − y ′ ∴
∴ y ′′ = 1
ex
− xy
ex
− 1
ex
y ′ =⇒ y ′′ = e−x − xe−xy − e−xy ′
F(x,y,y’)=e−x − xe−xy − e−xy ′
y =
1
x
(x > 0) e´ soluc¸a˜o de xy ′ = −y . De fato, y ′ = − 1
x2
e
xy ′ = x
(
− 1
x2
)
= − 1
x
= −y
y = sen (x) e y = cos(x) sa˜o soluc¸o˜es da E.D.O. y ′′ + y = 0 pois para
y = sen (x), temos y ′′ = −sen (x) e para y = cos(x), temos y ′′ = − cos(x).
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Exemplos
2a. ordem
y ′′ = 1− y ′ + xy [F (x , y , y ′) = 1− y ′ + xy ]
exy ′′ + y ′ + xy − 1 = 0 ∴ exy ′′ = 1− xy − y ′ ∴
∴ y ′′ = 1
ex
− xy
ex
− 1
ex
y ′ =⇒ y ′′ = e−x − xe−xy − e−xy ′
F(x,y,y’)=e−x − xe−xy − e−xy ′
y =
1
x
(x > 0) e´ soluc¸a˜o de xy ′ = −y . De fato, y ′ = − 1
x2
e
xy ′ = x
(
− 1
x2
)
= − 1
x
= −y
y = sen (x) e y = cos(x) sa˜o soluc¸o˜es da E.D.O. y ′′ + y = 0 pois para
y = sen (x), temos y ′′ = −sen (x) e para y = cos(x), temos y ′′ = − cos(x).
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Exemplos
2a. ordem
y ′′ = 1− y ′ + xy [F (x , y , y ′) = 1− y ′ + xy ]
exy ′′ + y ′ + xy − 1 = 0 ∴ exy ′′ = 1− xy − y ′ ∴
∴ y ′′ = 1
ex
− xy
ex
− 1
ex
y ′ =⇒ y ′′ = e−x − xe−xy − e−xy ′
F(x,y,y’)=e−x − xe−xy − e−xy ′
y =
1
x
(x > 0) e´ soluc¸a˜o de xy ′ = −y . De fato, y ′ = − 1
x2
e
xy ′ = x
(
− 1
x2
)
= − 1
x
= −y
y = sen (x) e y = cos(x) sa˜o soluc¸o˜es da E.D.O. y ′′ + y = 0 pois para
y = sen (x), temos y ′′ = −sen (x) e para y = cos(x), temos y ′′ = − cos(x).
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Exemplos
2a. ordem
y ′′ = 1− y ′ + xy [F (x , y , y ′) = 1− y ′ + xy ]
exy ′′ + y ′ + xy − 1 = 0 ∴ exy ′′ = 1− xy − y ′ ∴
∴ y ′′ = 1
ex
− xy
ex
− 1
ex
y ′ =⇒ y ′′ = e−x − xe−xy − e−xy ′
F(x,y,y’)=e−x − xe−xy − e−xy ′
y =
1
x
(x > 0) e´ soluc¸a˜o de xy ′ = −y . De fato, y ′ = − 1
x2
e
xy ′ = x
(
− 1
x2
)
= − 1
x
= −y
y = sen (x) e y = cos(x) sa˜o soluc¸o˜es da E.D.O. y ′′ + y = 0 pois para
y = sen (x), temos y ′′ = −sen (x) e para y = cos(x), temos y ′′ = − cos(x).
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As E.D.O. de primeira ordem divide-se em duas grandes classes lineares e na˜o-lineares.
As lineares sa˜o as que podem ser escritas na forma
g1(x)y
′ + g0(x)y = h(x)
onde g1, g0 e h sa˜o func¸o˜es dadas, definidas em (a, b). Se g1(x) 6= 0 em (a, b),
escrevemos a E.D.O. linear da forma :
y ′ + p(x)y = k(x), onde p(x) =
g0(x)
g1(x)
e k(x) =
h(x)
g1(x)
Nota:
Neste caso, a func¸a˜o inco´gnita y aparece com poteˆncia 1 bem como sua derivada de
ordem 1.
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E.D.O.
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As E.D.O. de primeira ordem divide-se em duas grandes classes lineares e na˜o-lineares.
As lineares sa˜o as que podem ser escritas na forma
g1(x)y
′ + g0(x)y = h(x)
onde g1, g0 e h sa˜o func¸o˜es dadas, definidas em (a, b). Se g1(x) 6= 0 em (a, b),
escrevemos a E.D.O. linear da forma :
y ′ + p(x)y = k(x), onde p(x) =
g0(x)
g1(x)
e k(x) =
h(x)
g1(x)
Nota:
Neste caso, a func¸a˜o inco´gnita y aparece com poteˆncia 1 bem como sua derivada de
ordem 1.
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As E.D.O. de primeira ordem divide-se em duas grandes classes lineares e na˜o-lineares.
As lineares sa˜o as que podem ser escritas na forma
g1(x)y
′ + g0(x)y = h(x)
onde g1, g0 e h sa˜o func¸o˜es dadas, definidas em (a, b). Se g1(x) 6= 0 em (a, b),
escrevemos a E.D.O. linear da forma :
y ′ + p(x)y = k(x), onde p(x) =
g0(x)
g1(x)
e k(x) =
h(x)
g1(x)
Nota:
Neste caso, a func¸a˜o inco´gnita y aparece com poteˆncia 1 bem como sua derivada de
ordem 1.
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E.D.O.
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As E.D.O. de primeira ordem divide-se em duas grandes classes lineares e na˜o-lineares.
As lineares sa˜o as que podem ser escritas na forma
g1(x)y
′ + g0(x)y = h(x)
onde g1, g0 e h sa˜o func¸o˜es dadas, definidas em (a, b). Se g1(x) 6= 0 em (a, b),
escrevemos a E.D.O. linear da forma :
y ′ + p(x)y = k(x), onde p(x) =
g0(x)
g1(x)
e k(x) =
h(x)
g1(x)
Nota:
Neste caso, a func¸a˜o inco´gnita y aparece com poteˆncia 1 bem como sua derivada de
ordem 1.
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Exemplos de primeira ordem
xy ′ = −y ; exy ′ + xy = sen (x); y ′ = y + xsen (x) sa˜o lineares
Ja´ as equac¸o˜es, xy ′ = −y 2; yy ′ = 1; eyy ′ + y = 1; y ′ = sen (y) sa˜o na˜o-lineares, na
primeira o termo que provoca a na˜o linearidade e´ y 2, o segundo yy ′, no terceiro ey
e no quarto sen (y).
As E.D.O. de segunda ordem, podemos classifica´-la como linear e na˜o-linear. As lineares
sa˜o as da forma:
a2(x)y
′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = b(x),
onde a0(x),a1(x),a2(x) e b(x) definidas em (a,b). Supondo a2(x) 6= 0 em (a.b),
podemos escrever:
y ′′ +
a1(x)
a2(x)
y ′ +
a0(x)
a2(x)
y =
b(x)
a2(x)
fazendo p1(x) =
a1(x)
a2(x)
; p2(x) =
a0(x)
a2(x)
; q(x) =
b(x)
a2(x)
, temos :
y ′′ + p1(x)y
′ + p2(x)y = q(x); x ∈ (a, b)
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Exemplos de primeira ordem
xy ′ = −y ; exy ′ + xy = sen (x); y ′ = y + xsen (x) sa˜o lineares
Ja´ as equac¸o˜es, xy ′ = −y 2; yy ′ = 1; eyy ′ + y = 1; y ′ = sen (y) sa˜o na˜o-lineares, na
primeira o termo que provoca a na˜o linearidade e´ y 2, o segundo yy ′, no terceiro ey
e no quarto sen (y).
As E.D.O. de segunda ordem, podemos classifica´-la como linear e na˜o-linear. As lineares
sa˜o as da forma:
a2(x)y
′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = b(x),
onde a0(x),a1(x),a2(x) e b(x) definidas em (a,b). Supondo a2(x) 6= 0 em (a.b),
podemos escrever:
y ′′ +
a1(x)
a2(x)
y ′ +
a0(x)
a2(x)
y =
b(x)
a2(x)
fazendo p1(x) =
a1(x)
a2(x)
; p2(x) =
a0(x)
a2(x)
; q(x) =
b(x)
a2(x)
, temos :
y ′′ + p1(x)y
′ + p2(x)y = q(x); x ∈ (a, b)
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Exemplos de primeira ordem
xy ′ = −y ; exy ′ + xy = sen (x); y ′ = y + xsen (x) sa˜o lineares
Ja´ as equac¸o˜es, xy ′ = −y 2; yy ′ = 1; eyy ′ + y = 1; y ′ = sen (y) sa˜o na˜o-lineares, na
primeira o termo que provoca a na˜o linearidade e´ y 2, o segundo yy′, no terceiro ey
e no quarto sen (y).
As E.D.O. de segunda ordem, podemos classifica´-la como linear e na˜o-linear. As lineares
sa˜o as da forma:
a2(x)y
′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = b(x),
onde a0(x),a1(x),a2(x) e b(x) definidas em (a,b). Supondo a2(x) 6= 0 em (a.b),
podemos escrever:
y ′′ +
a1(x)
a2(x)
y ′ +
a0(x)
a2(x)
y =
b(x)
a2(x)
fazendo p1(x) =
a1(x)
a2(x)
; p2(x) =
a0(x)
a2(x)
; q(x) =
b(x)
a2(x)
, temos :
y ′′ + p1(x)y
′ + p2(x)y = q(x); x ∈ (a, b)
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de primeira ordem
xy ′ = −y ; exy ′ + xy = sen (x); y ′ = y + xsen (x) sa˜o lineares
Ja´ as equac¸o˜es, xy ′ = −y 2; yy ′ = 1; eyy ′ + y = 1; y ′ = sen (y) sa˜o na˜o-lineares, na
primeira o termo que provoca a na˜o linearidade e´ y 2, o segundo yy ′, no terceiro ey
e no quarto sen (y).
As E.D.O. de segunda ordem, podemos classifica´-la como linear e na˜o-linear. As lineares
sa˜o as da forma:
a2(x)y
′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = b(x),
onde a0(x),a1(x),a2(x) e b(x) definidas em (a,b). Supondo a2(x) 6= 0 em (a.b),
podemos escrever:
y ′′ +
a1(x)
a2(x)
y ′ +
a0(x)
a2(x)
y =
b(x)
a2(x)
fazendo p1(x) =
a1(x)
a2(x)
; p2(x) =
a0(x)
a2(x)
; q(x) =
b(x)
a2(x)
, temos :
y ′′ + p1(x)y
′ + p2(x)y = q(x); x ∈ (a, b)
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de primeira ordem
xy ′ = −y ; exy ′ + xy = sen (x); y ′ = y + xsen (x) sa˜o lineares
Ja´ as equac¸o˜es, xy ′ = −y 2; yy ′ = 1; eyy ′ + y = 1; y ′ = sen (y) sa˜o na˜o-lineares, na
primeira o termo que provoca a na˜o linearidade e´ y 2, o segundo yy ′, no terceiro ey
e no quarto sen (y).
As E.D.O. de segunda ordem, podemos classifica´-la como linear e na˜o-linear. As lineares
sa˜o as da forma:
a2(x)y
′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = b(x),
onde a0(x),a1(x),a2(x) e b(x) definidas em (a,b). Supondo a2(x) 6= 0 em (a.b),
podemos escrever:
y ′′ +
a1(x)
a2(x)
y ′ +
a0(x)
a2(x)
y =
b(x)
a2(x)
fazendo p1(x) =
a1(x)
a2(x)
; p2(x) =
a0(x)
a2(x)
; q(x) =
b(x)
a2(x)
, temos :
y ′′ + p1(x)y
′ + p2(x)y = q(x); x ∈ (a, b)
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de primeira ordem
xy ′ = −y ; exy ′ + xy = sen (x); y ′ = y + xsen (x) sa˜o lineares
Ja´ as equac¸o˜es, xy ′ = −y 2; yy ′ = 1; eyy ′ + y = 1; y ′ = sen (y) sa˜o na˜o-lineares, na
primeira o termo que provoca a na˜o linearidade e´ y 2, o segundo yy ′, no terceiro ey
e no quarto sen (y).
As E.D.O. de segunda ordem, podemos classifica´-la como linear e na˜o-linear. As lineares
sa˜o as da forma:
a2(x)y
′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = b(x),
onde a0(x),a1(x),a2(x) e b(x) definidas em (a,b). Supondo a2(x) 6= 0 em (a.b),
podemos escrever:
y ′′ +
a1(x)
a2(x)
y ′ +
a0(x)
a2(x)
y =
b(x)
a2(x)
fazendo p1(x) =
a1(x)
a2(x)
; p2(x) =
a0(x)
a2(x)
; q(x) =
b(x)
a2(x)
, temos :
y ′′ + p1(x)y
′ + p2(x)y = q(x); x ∈ (a, b)
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de primeira ordem
xy ′ = −y ; exy ′ + xy = sen (x); y ′ = y + xsen (x) sa˜o lineares
Ja´ as equac¸o˜es, xy ′ = −y 2; yy ′ = 1; eyy ′ + y = 1; y ′ = sen (y) sa˜o na˜o-lineares, na
primeira o termo que provoca a na˜o linearidade e´ y 2, o segundo yy ′, no terceiro ey
e no quarto sen (y).
As E.D.O. de segunda ordem, podemos classifica´-la como linear e na˜o-linear. As lineares
sa˜o as da forma:
a2(x)y
′′ + a1(x)y
′ + a0(x)y = b(x),
onde a0(x),a1(x),a2(x) e b(x) definidas em (a,b). Supondo a2(x) 6= 0 em (a.b),
podemos escrever:
y ′′ +
a1(x)
a2(x)
y ′ +
a0(x)
a2(x)
y =
b(x)
a2(x)
fazendo p1(x) =
a1(x)
a2(x)
; p2(x) =
a0(x)
a2(x)
; q(x) =
b(x)
a2(x)
, temos :
y ′′ + p1(x)y
′ + p2(x)y = q(x); x ∈ (a, b)
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de segunda ordem
y ′′ + y = 0, linear com p1(x) = 0, p2(x) = 1 e q(x) = 0
y ′′+exy ′+x2y = x+sen (x)+1, linear com p1(x) = e
x , p2(x) = x
2 e q(x) = x+sen (x)+1
y ′′ + eyy ′ + x2y = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de ey
y ′′ + y ′ + y = sen (y), e´ na˜o linear, presenc¸a de sen (y)
y ′′ + yy ′ = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de yy ′
y ′′ + x2y ′ +
√
y = x , e´ na˜o linear, presenc¸a de
√
y
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de segunda ordem
y ′′ + y = 0, linear com p1(x) = 0, p2(x) = 1 e q(x) = 0
y ′′+exy ′+x2y = x+sen (x)+1, linear com p1(x) = e
x , p2(x) = x
2 e q(x) = x+sen (x)+1
y ′′ + eyy ′ + x2y = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de ey
y ′′ + y ′ + y = sen (y), e´ na˜o linear, presenc¸a de sen (y)
y ′′ + yy ′ = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de yy ′
y ′′ + x2y ′ +
√
y = x , e´ na˜o linear, presenc¸a de
√
y
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de segunda ordem
y ′′ + y = 0, linear com p1(x) = 0, p2(x) = 1 e q(x) = 0
y ′′+exy ′+x2y = x+sen (x)+1, linear com p1(x) = e
x , p2(x) = x
2 e q(x) = x+sen (x)+1
y ′′ + eyy ′ + x2y = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de ey
y ′′ + y ′ + y = sen (y), e´ na˜o linear, presenc¸a de sen (y)
y ′′ + yy ′ = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de yy ′
y ′′ + x2y ′ +
√
y = x , e´ na˜o linear, presenc¸a de
√
y
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de segunda ordem
y ′′ + y = 0, linear com p1(x) = 0, p2(x) = 1 e q(x) = 0
y ′′+exy ′+x2y = x+sen (x)+1, linear com p1(x) = e
x , p2(x) = x
2 e q(x) = x+sen (x)+1
y ′′ + eyy ′ + x2y = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de ey
y ′′ + y ′ + y = sen (y), e´ na˜o linear, presenc¸a de sen (y)
y ′′ + yy ′ = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de yy ′
y ′′ + x2y ′ +
√
y = x , e´ na˜o linear, presenc¸a de
√
y
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de segunda ordem
y ′′ + y = 0, linear com p1(x) = 0, p2(x) = 1 e q(x) = 0
y ′′+exy ′+x2y = x+sen (x)+1, linear com p1(x) = e
x , p2(x) = x
2 e q(x) = x+sen (x)+1
y ′′ + eyy ′ + x2y = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de ey
y ′′ + y ′ + y = sen (y), e´ na˜o linear, presenc¸a de sen (y)
y ′′ + yy ′ = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de yy ′
y ′′ + x2y ′ +
√
y = x , e´ na˜o linear, presenc¸a de
√
y
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de segunda ordem
y ′′ + y = 0, linear com p1(x) = 0, p2(x) = 1 e q(x) = 0
y ′′+exy ′+x2y = x+sen (x)+1, linear com p1(x) = e
x , p2(x) = x
2 e q(x) = x+sen (x)+1
y ′′ + eyy ′ + x2y = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de ey
y ′′ + y ′ + y = sen (y), e´ na˜o linear, presenc¸a de sen (y)
y ′′ + yy ′ = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de yy ′
y ′′ + x2y ′ +
√
y = x , e´ na˜o linear, presenc¸a de
√
y
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Equac¸o˜es Diferencial Ordina´ria - E.D.O
E.D.O.
Exemplos de segunda ordem
y ′′ + y = 0, linear com p1(x) = 0, p2(x) = 1 e q(x) = 0
y ′′+exy ′+x2y = x+sen (x)+1, linear com p1(x) = e
x , p2(x) = x
2 e q(x) = x+sen (x)+1
y ′′ + eyy ′ + x2y = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de ey
y ′′ + y ′ + y = sen (y), e´ na˜o linear, presenc¸a de sen (y)
y ′′ + yy ′ = 1, e´ na˜o linear, presenc¸a de yy ′
y ′′ + x2y ′ +
√
y = x , e´ na˜o linear, presenc¸a de
√
y
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.IProblema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
::
De
:::::::
primeira
:::::
ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma
soluc¸a˜oda y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado.
Exemplos
y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1
::
De
:::::::
segunda
:::::
ordem :
y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores
dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em
x0.
Exemplos
y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1
y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1
y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas
soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos
apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia.
Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do
continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos
computadores.
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas
soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos
apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia.
Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do
continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos
computadores.
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas
soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos
apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia.
Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do
continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos
computadores.
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :
{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas :
1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x)
2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y
k(x0) para
k = 0, 1, · · · ,m
Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de
Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda
ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Os esquemas nume´ricos calculam a aproximac¸a˜o de y(x) nos pontos x1, x2, x3, · · · ,
em que xk = x0 + kh. O valor da func¸a˜o no ponto xk e´ aproximado de yk que e´
obtido em func¸a˜o dos valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , y0. Desta forma, os
esquemas nume´ricos determinam a aproximac¸a˜o da func¸a˜o para valores x > x0 que
justifica o nome de
:::::::
problema
:::
de
::::
valor
:::::
inicial.
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Problema de Valor Inicial(P.V.I)
Os esquemas nume´ricos calculam a aproximac¸a˜o de y(x) nos pontos x1, x2, x3, · · · ,
em que xk = x0 + kh. O valor da func¸a˜o no ponto xk e´ aproximado de yk que e´
obtido em func¸a˜o dos valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , y0. Desta forma, os
esquemas nume´ricos determinam a aproximac¸a˜o da func¸a˜o para valores x > x0 que
justifica o nome de
:::::::
problema
:::
de
::::
valor
:::::
inicial.
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Classificac¸a˜o dos Me´todos
Os me´todos sa˜o classificados em duas classes :
1
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Simples : Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende apenas
de yk−1
2
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Mu´ltiplo :Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende de
m-valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , yk−m.Neste caso, dizemos que o me´todo
e´ de m-passos
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Problema de Valor Inicial(P.V.I)
P.V.I
Classificac¸a˜o dos Me´todos
Os me´todos sa˜o classificados em duas classes :
1
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Simples : Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende apenas
de yk−1
2
:::::::
Me´todos
::
de
:::::
Passo
:::::::
Mu´ltiplo :Sa˜o aquelesem que o ca´lculo de yk depende de
m-valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , yk−m.Neste caso, dizemos que o me´todo
e´ de m-passos
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Calculando uma EDO
Defina e resolva a seguinte equac¸a˜o diferencial
(x − 1)3 + (y − 1)x3 dy
dx
= 0
Soluc¸a˜o
E´ necessa´rio o uso do apo´strofo (’) antes de diff com o objetivo de evitar o ca´lculo da
derivada
(%i1)eqdif : (x − 1) ∗ y 3 + (y − 1) ∗ x3 ∗ diff (y , x) = 0;(entrada)
(%o1) x3 (y − 1)
(
d
d x
y
)
+ (x − 1) y 3 = 0(saida)
(%i2)resoleq : ode2(eqdif , y , x);(entrada)
(%o2)
2 y − 1
2 y 2
= %c − 2 x − 1
2 x2
(saida) ←− a soluc¸a˜o depende de uma constante
arbitra´ria representada por %c.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Calculando uma EDO
Defina e resolva a seguinte equac¸a˜o diferencial
(x − 1)3 + (y − 1)x3 dy
dx
= 0
Soluc¸a˜o
E´ necessa´rio o uso do apo´strofo (’) antes de diff com o objetivo de evitar o ca´lculo da
derivada
(%i1)eqdif : (x − 1) ∗ y 3 + (y − 1) ∗ x3 ∗ diff (y , x) = 0;(entrada)
(%o1) x3 (y − 1)
(
d
d x
y
)
+ (x − 1) y 3 = 0(saida)
(%i2)resoleq : ode2(eqdif , y , x);(entrada)
(%o2)
2 y − 1
2 y 2
= %c − 2 x − 1
2 x2
(saida) ←− a soluc¸a˜o depende de uma constante
arbitra´ria representada por %c.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Calculando uma EDO
Defina e resolva a seguinte equac¸a˜o diferencial
(x − 1)3 + (y − 1)x3 dy
dx
= 0
Soluc¸a˜o
E´ necessa´rio o uso do apo´strofo (’) antes de diff com o objetivo de evitar o ca´lculo da
derivada
(%i1)eqdif : (x − 1) ∗ y 3 + (y − 1) ∗ x3 ∗ diff (y , x) = 0;(entrada)
(%o1) x3 (y − 1)
(
d
d x
y
)
+ (x − 1) y 3 = 0(saida)
(%i2)resoleq : ode2(eqdif , y , x);(entrada)
(%o2)
2 y − 1
2 y 2
= %c − 2 x − 1
2 x2
(saida) ←− a soluc¸a˜o depende de uma constante
arbitra´ria representada por %c.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Calculando uma EDO
Defina e resolva a seguinte equac¸a˜o diferencial
(x − 1)3 + (y − 1)x3 dy
dx
= 0
Soluc¸a˜o
E´ necessa´rio o uso do apo´strofo (’) antes de diff com o objetivo de evitar o ca´lculo da
derivada
(%i1)eqdif : (x − 1) ∗ y 3 + (y − 1) ∗ x3 ∗ diff (y , x) = 0;(entrada)
(%o1) x3 (y − 1)
(
d
d x
y
)
+ (x − 1) y 3 = 0(saida)
(%i2)resoleq : ode2(eqdif , y , x);(entrada)
(%o2)
2 y − 1
2 y 2
= %c − 2 x − 1
2 x2
(saida) ←− a soluc¸a˜o depende de uma constante
arbitra´ria representada por %c.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Calculando uma EDO
Defina e resolva a seguinte equac¸a˜o diferencial
(x − 1)3 + (y − 1)x3 dy
dx
= 0
Soluc¸a˜o
E´ necessa´rio o uso do apo´strofo (’) antes de diff com o objetivo de evitar o ca´lculo da
derivada
(%i1)eqdif : (x − 1) ∗ y 3 + (y − 1) ∗ x3 ∗ diff (y , x) = 0;(entrada)
(%o1) x3 (y − 1)
(
d
d x
y
)
+ (x − 1) y 3 = 0(saida)
(%i2)resoleq : ode2(eqdif , y , x);(entrada)
(%o2)
2 y − 1
2 y 2
= %c − 2 x − 1
2 x2
(saida) ←− a soluc¸a˜o depende de uma constante
arbitra´ria representada por %c.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Calculando uma EDO
Defina e resolva a seguinte equac¸a˜o diferencial
(x − 1)3 + (y − 1)x3 dy
dx
= 0
Soluc¸a˜o
E´ necessa´rio o uso do apo´strofo (’) antes de diff com o objetivo de evitar o ca´lculo da
derivada
(%i1)eqdif : (x − 1) ∗ y 3 + (y − 1) ∗ x3 ∗ diff (y , x) = 0;(entrada)
(%o1) x3 (y − 1)
(
d
d x
y
)
+ (x − 1) y 3 = 0(saida)
(%i2)resoleq : ode2(eqdif , y , x);(entrada)
(%o2)
2 y − 1
2 y 2
= %c − 2 x − 1
2 x2
(saida) ←− a soluc¸a˜o depende de uma constante
arbitra´ria representada por %c.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Encontre a soluc¸a˜o geral de cada edo dada a seguir, usando o wxMa´xima:
Exec´ıcios Propostos
(a) y ′ + y = 3
(b) xy ′ + y = 2x + ex
(c) xy ′ + 4y = x5
(d) y ′ − 7y = sen (2x)
(e) x2y ′ − 3y = 1
(f) x2y ′ − xy = x3 + 4
Exec´ıcios Propostos
(g) y ′ + ay = b, a 6= 0
(h) y ′ = ex−y
(i) (1 + ex)yy ′ = ex
(j) xy ′ + y = xex
2
(k) cos(y ′) = 0
(l) y ′ =
xy 2 − y
x
Exerc´ıcios extra´ıdos do livro Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais de Marivaldo P. Matos,
Editora: Prentice Hall, pa´gina 144 - Cap´ıtulo 5 - EDO de primeira ordem.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Encontre a soluc¸a˜o geral de cada edo dada a seguir, usando o wxMa´xima:
Exec´ıcios Propostos
(a) y ′ + y = 3
(b) xy ′ + y = 2x + ex
(c) xy ′ + 4y = x5
(d) y ′ − 7y = sen (2x)
(e) x2y ′ − 3y = 1
(f) x2y ′ − xy = x3 + 4
Exec´ıcios Propostos
(g) y ′ + ay = b, a 6= 0
(h) y ′ = ex−y
(i) (1 + ex)yy ′ = ex
(j) xy ′ + y = xex
2
(k) cos(y ′) = 0
(l) y ′ =
xy 2 − y
x
Exerc´ıcios extra´ıdos do livro Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais de Marivaldo P. Matos,
Editora: Prentice Hall, pa´gina 144 - Cap´ıtulo 5 - EDO de primeira ordem.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Encontre a soluc¸a˜o geral de cada edo dada a seguir, usando o wxMa´xima:
Exec´ıcios Propostos
(a) y ′ + y = 3
(b) xy ′ + y = 2x + ex
(c) xy ′ + 4y = x5
(d) y ′ − 7y = sen (2x)
(e) x2y ′ − 3y = 1
(f) x2y ′ − xy = x3 + 4
Exec´ıcios Propostos
(g) y ′ + ay = b, a 6= 0
(h) y ′ = ex−y
(i) (1 + ex)yy ′ = ex
(j) xy ′ + y = xex
2
(k) cos(y ′) = 0
(l) y ′ =
xy 2 − y
x
Exerc´ıcios extra´ıdos do livro Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais de Marivaldo P. Matos,
Editora: Prentice Hall, pa´gina 144 - Cap´ıtulo 5 - EDO de primeira ordem.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Encontre a soluc¸a˜o geral de cada edo dada a seguir, usando o wxMa´xima:
Exec´ıcios Propostos
(a) y ′ + y = 3
(b) xy ′ + y = 2x + ex
(c) xy ′ + 4y = x5
(d) y ′ − 7y = sen (2x)
(e) x2y ′ − 3y = 1
(f) x2y ′ − xy = x3 + 4
Exec´ıcios Propostos
(g) y ′ + ay = b, a 6= 0
(h) y ′ = ex−y
(i) (1 + ex)yy ′ = ex
(j) xy ′ + y = xex
2
(k) cos(y ′) = 0
(l) y ′ =
xy 2 − y
x
Exerc´ıcios extra´ıdos do livro Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais de Marivaldo P. Matos,
Editora: Prentice Hall, pa´gina 144 - Cap´ıtulo 5 - EDO de primeira ordem.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Encontre a soluc¸a˜o geral de cada edo dada a seguir, usando o wxMa´xima:
Exec´ıcios Propostos
(a) y ′ + y = 3
(b) xy ′ + y = 2x + ex
(c) xy ′ + 4y = x5
(d) y ′ − 7y = sen (2x)
(e) x2y ′ − 3y = 1
(f) x2y ′ − xy = x3 + 4
Exec´ıcios Propostos
(g) y ′ + ay = b, a 6= 0
(h) y ′ = ex−y
(i) (1 + ex)yy ′ = ex
(j) xy ′ + y = xex
2
(k) cos(y ′) = 0
(l) y ′ =
xy 2 − y
x
Exerc´ıcios extra´ıdos do livro Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais de Marivaldo P. Matos,
Editora: Prentice Hall, pa´gina 144 - Cap´ıtulo 5 - EDO de primeira ordem.
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Calculando uma EDO com wxMa´xima
Calculando uma EDO
Encontre a soluc¸a˜o geral de cada edo dada a seguir, usando o wxMa´xima:
Exec´ıcios Propostos
(a) y ′ + y = 3
(b) xy ′ + y = 2x + ex
(c) xy ′ + 4y = x5
(d) y ′ − 7y = sen (2x)
(e) x2y ′ − 3y = 1
(f) x2y ′ − xy = x3 + 4
Exec´ıcios Propostos
(g) y ′ + ay = b, a 6= 0
(h) y ′ =ex−y
(i) (1 + ex)yy ′ = ex
(j) xy ′ + y = xex
2
(k) cos(y ′) = 0
(l) y ′ =
xy 2 − y
x
Exerc´ıcios extra´ıdos do livro Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais de Marivaldo P. Matos,
Editora: Prentice Hall, pa´gina 144 - Cap´ıtulo 5 - EDO de primeira ordem.
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Bibliografia
Refereˆncias I
ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur.
Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio de software.
Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2010.
BARROSO, L. e outros.
Ca´lculo Nume´rico com Aplicac¸o˜es
Sa˜o Paulo: Habra, 2006
BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto. DELGADO, Solange.
MOREIRA, Jose´ Vicente.
Notas de Aulas de Ca´lculo Nume´rico
Joa˜o Pessoa: UNIPEˆ, 2014.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 17 / 19
Bibliografia
Refereˆncias II
BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR,
Annibal.
Ca´lculo Nume´rico Fundamentos de Informa´tica
Rio de Janeiro: LTC, 2012.
CUNHA, M. Cristina.
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: Editora da Unicamp, 2006.
FRANCO, Neide Bertoldi
Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo: Pearson, 2006.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 18 / 19
Bibliografia
Refereˆncias III
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish.
Me´todos Nume´ricos para Engenheiros e Cientistas Uma introduc¸a˜o
com aplicac¸o˜es usando o MATLAB
Porto Alegre: Bookman, 2013.
SANTOS, V. R.
Curso de Ca´lculo Nume´rico
Sa˜o Paulo; Livro Te´cnicos e Cient´ıficos, 2005.
MATOS, Marivaldo P.
Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais
Sa˜o Paulo: Prentice, Hall, 2001.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 19
Bibliografia
Refereˆncias IV
SPERANDIO, De´cio; MENDES, Joa˜o Teixeira; SILVA, Luiz Henry
Monken e
Ca´lculo Nume´rico: Caracter´ısticas Matema´ticas e Computacionais dos
Me´todos Nume´ricos
Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 2007.
Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 20 / 19
	Solução Numérica de E.D.O.
	Introdução
	Equações Diferencial Ordinária - E.D.O
	Problema de Valor Inicial(P.V.I)
	Calculando uma EDO com wxMáxima
	Bibliografia