Aula 7 -Teoria classica da capacidade de suporte de Terzaghi

Prévia do material em texto

Fundações – ENG01142 - 1 - 
 
TEORIA CLÁSSICA DA CAPACIDADE DE SUPORTE DE TERZAGHI (1943) 
Através da adaptação das principais idéias das Teorias de Plasticidade Clássica (Critérios de 
Ruptura) desenvolvidas para solos por Coulomb (1773) e Rankine (1853) e para metais por 
Prandtl (1920), Terzaghi (1943) desenvolveu uma teoria que considera o solo com um 
material rígido-perfeitamente plástico. As hipóteses adotadas nestas soluções referem-se ao 
caso de uma fundação flexível contínua, de base horizontal, submetida a carga vertical 
centrada, apoiada em um meio semi-infinito homogêneo e sem qualquer inclinação do terreno 
superficial. 
Para que se possa compreender a teoria que embasa as equações da capacidade de suporte 
aplicamos as leis de equilíbrio limite propostas por Rankine: 
 
 
 Q 
D
B
 
 
 
 
 Qult
B/2
I II
45+φ/245-φ/2
Qult
B/2
Qult
B/2
q= γ.D
II
45+φ/2
I
45-φ/2
Qult
B/2
Qult
B/2
I II
45+φ/245-φ/2
Qult
B/2
Qult
B/2
Qult
B/2
Qult
B/2
q= γ.D
II
45+φ/2
I
45-φ/2
Qult
B/2
I
45-φ/2
Qult
B/2
Qult
B/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFRGS – Escola de Engenharia 
Fundações – ENG01142 - 2 - 
 
 
P
I II
Qult/B q
H
N
N
T
T
P
I II
Qult/B q
H
N
N
T
T
 
 
 
 
 
 
ppII
aultaI
KHqKHP
KHqKHP
 
2
1
 
2
1
2
2
+=
+=
γ
γ 
 
 
 
Defini-se Ka e Kp como: 
 
σ’h=σ’3
σ’v=σ’1
σ’h=σ’3
σ’v=σ’1
σ’h=σ’3
σ’v=σ’1
σ’h=σ’3
σ’v=σ’1
 
 
 
 
 
 
σ
τ 
φ 
σ’3 σ’1
(σ’1-σ’3)/2
(σ’1+σ’3)/2
 
 
 
 
 
 
 
 
UFRGS – Escola de Engenharia 
Fundações – ENG01142 - 3 - 
 
 
)
2
45(tan1
)
2
45(tan
)(1
)(1
2
2)(
2
2
φ
φ
φ
φ
σσ
σσ
φ
σ
σ
+==
−=+
−=
+
−
=
=
a
p
a
hv
hv
v
h
a
K
K
sen
senK
sen
K
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo: 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛ +−
=−=
+===
+=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+=
+=+
2
)
2
45tan()1(
1
)
2
45(tan
)
2
45tan(
2
 
1 
2
1
 
2
1 
2
1 
22
22
φ
φ
φ
γ
γγ
γ
q
a
p
p
a
p
q
a
p
a
p
ult
ppaault
N
K
K
N
K
K
K
N
BH
K
K
H
K
K
qq
KHKqHKHKHq
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se (sem considerar coesão – solos não coesivos): 
 
Parcela da 
Sobrecarga Parcela da Fundação 
γγ NBNqq qult 2
1 +=
UFRGS – Escola de Engenharia 
Fundações – ENG01142 - 4 - 
 
Porém a superfície de ruptura de uma fundação não é aquela definida por cunhas triangulares 
do método de Rankine e sim a sugerida por Terzaghi na figura abaixo. 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
UFRGS – Escola de Engenharia 
Fundações – ENG01142 - 5 - 
 
 
(d) 
Figura 1 – fundação contínua idealizada (condição de deformação plana) 
 
Terzaghi (1943) propôs também como simplificação a desconside o 
cisalhamento do solo superficial (localizado acima da cota de assenta ), 
substituindo-o por uma sobrecarga uniformemente distribuída ( q ×= γ
Uma massa semi-infinita submetida a carregamento genérico foi s, 
conforme ilustrado na Figura 1c, onde três regiões distintas da massa a 
três estados cinemáticos diferentes (estado ativo, de cisalhamento radi
Finalmente, através de resultados analíticos, Terzaghi (1943) verifico
para um solo pode ser aproximada por 
γγσ NBNqNc qcr ⋅⋅⋅+⋅+⋅= 2
1 
→⋅ cNc parcela coesão 
→⋅ qNq parcela sobrecarga 
→⋅⋅⋅ γγ NB2
1 parcela atrito 
onde: 
=c coesão do solo 
=φ ângulo de atrito interno do solo 
=q sobrecarga ( Dq ⋅= γ ) 
=γ peso específico do solo 
=B menor dimensão em planta da fundação 
 
UFRGS – Escola de Engenharia 
ração da resistência a
mento da fundação (D)
D ). 
dividida em três zona
de solo são submetidas
al e passivo). 
u que a carga de ruptura 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2
º45cos2 2
2
24
3
φ
φφπ tg
q
e
N 
( ) φγ tgNN q ⋅+⋅= 12 
( )1cotg −⋅= qc NN φ 
Fundações – ENG01142 - 6 - 
 
=γNNN qc ,, fatores de capacidade de suporte 
É importante ressaltar que a teoria apresentada acima foi desenvolvida para solos que sejam 
muito compactos ou rijos. Portanto a Equação é aplicável apenas a estes solos, nos quais a 
forma de ruptura típica é a generalizada. 
Embasado em sua experiência prática, bem como em ensaios de placa em campo, para solos 
passíveis de apresentarem ruptura localizada ou por puncionamento, Terzaghi (1943) propôs o 
uso da mesma equação, porém adotando-se valores reduzidos ( e ) respectivamente para 
o ângulo de atrito (
*φ *c
φ ) e a coesão ( ) real desses solos, com base nas expressões: c
cc ⋅=
3
2* 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅= φφ tgarctg
3
2* 
• sapatas circulares 
γγσ NBNqNc qcr ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= 2
16,03,1 
• sapatas quadradas 
γγσ NBNqNc qcr ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= 2
18,03,1 
Exemplo 
Calcular a tensão de ruptura de uma sapata contínua de largura mB 8,0= , assente a de 
profundidade, utilizando a Teoria de Capacidade de Suporte de Terzaghi (considerando a 
ruptura generalizada), sabendo que o solo abaixo da fundação é uma areia cujos parâmetros 
do solo são: 
m0,1
0=c 
º34=φ 
318 m
kN=γ 
Nível d’água a grande profundidade 
 
UFRGS – Escola de Engenharia 
Fundações – ENG01142 - 7 - 
 
γγσ NBNqNc qcr ⋅⋅⋅+⋅+⋅= 2
1 
( ) γγγσ NBND qr ⋅⋅⋅+⋅⋅+= 2
10 para º34=φ
6,50
5,36
=
=→
γN
N q 
Parâmetros Normais
( ) 6,5080,018
2
15,361180 ⋅⋅⋅+⋅⋅+=rσ 
23,1021 m
kN
r =σ 
Se fosse verificado que o solo ao invés de ter ruptura generalizada (típica de solo compacto), 
fosse caracterizado por ruptura localizada ou por puncionamento (característica de solo 
medianamente compacto ou fofo), qual seria a nova tensão de ruptura? 
Neste caso há a necessidade da redução dos parâmetros resistentes. 
º2,24º34
3
2
3
2* =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅= tgarctgtgarctg φφ 
γγσ NBNqNc qcr ⋅⋅⋅+⋅+⋅= 2
1 
Parâmetros Reduzidos
( ) γγγσ NBND qr ⋅⋅⋅+⋅⋅+= 2
10 para º2,24* =φ
37,11
65,11
*
*
=
=→
γN
Nq 
( ) 37,1180,018
2
165,111180 ⋅⋅⋅+⋅⋅+=rσ 
26,291 m
kN
r =σ 
Observações: 
• Observa-se no exemplo anterior a crucial importância da definição do tipo de ruptura, 
uma vez que se o solo for compacto (ruptura generalizada) a tensão de ruptura será 
maior que a calculada considerando ruptura localizada ou por puncionamento (no 
exemplo verificou-se uma diferença em torno de três vezes). Portanto, há a 
necessidade da definição da compacidade/rigidez e da compressibilidade do material, 
a qual é essencial na definição do tipo de ru ente na determinação 
da tensão de ruptura do mesmo. 
 
UFRGS – Escola de Engenharia 
ptura e conseqüentem
Fundações – ENG01142 - 8 - 
 
• No caso do nível d’água se encontrar na superfície usamos subγ (peso específico 
submerso) ao invés de natγ (peso específico natural). 
• No caso do nível d’água se encontrar no nível de assentamento da fundação usamos 
subγ (peso específico submerso) ao invés de natγ (peso específico natural) para o γ 
utilizado na parcela da influência do atrito e natγ (peso específico natural) no γ da 
parcela da sobrecarga. 
Efeito da profundidade de assentamento na tensão de ruptura: a variação da 
profundidade de assentamento de uma fundação superficial causará uma alteração no valor da 
ruptura essencialmente devido à parcela da sobrecarga (figura 2). 
 
 
Figura 2 – efeito da profundidade de assentamento da fundação 
 
 
Figura 3 – efeito da variação da dimensão da base dafundação 
 
 
UFRGS – Escola de Engenharia 
Fundações – ENG01142 - 9 - 
 
 
Figura 4 – efeito da variação da coesão na tensão de ruptura 
 
 
Figura 5 – efeito da variação de φ na tensão de ruptura 
 
Efeito da estratificação do solo: um caso comum na prática é a existência de uma camada de 
material de baixa resistência sobre uma camada de alta resistência, onde vai ser assente a 
fundação (figura 6). 
 
 
Figura 6 – efeito da estratificação do solo 
 
UFRGS – Escola de Engenharia 
Fundações – ENG01142 - 10 - 
 
Para estes casos a equação é utilizada com os parâmetros do solo determinados da seguinte 
forma: 
γγγσ NBNDNc qcr ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅= 212 2
1 
onde: 
( )2,, φγ fNNN qc = 
 
 
a em solo estratificado 
U
U
σ
σ
 
U
Figura 7 – exemplo de sapata contínu
 
tilizando as equações obtemos os fatores de capacidade de carga 
 
52,28
2
º32º45cos2
2
º45cos2 2
2
º32
º1802
º32
4
3
2
2
24
3
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅
⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − tgtg
q
ee
N
ππφφπ
φ
( ) ( ) 89,36º32152,28212 =⋅+⋅=⋅+⋅= tgtgNN q φγ
( ) ( ) 04,44152,28º32cotg1cotg =−⋅=−⋅= qc NN φ 
 
 
 
 
 
tilizando-se da equação 
γγγ NBNDNc qcr ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅= 212 2
1 
( ) 23,216289,36210202
152,2821604,4420
m
kN
r =⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅= 
FRGS – Escola de Engenharia