Aula 10 ENE005

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Análise de Sistemas 
Elétricos de Potência 1
5.0 Componentes Simétricas
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G om e s
E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b r
E N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 1
1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e 
Desequilibrados;
4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);
5. Componentes Simétricas;
6. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, 
Zbarra);
7. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
Ementa Base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
2
Introdução
� Resolução de Sistemas Trifásicos Equilibrados
� Equivalente Monofásico
� Resolução de Sistemas Trifásicos Desequilibrados
� Sistema Matricial
� Operação com Matriz Cheia
� Inversão de matriz
� Pode ser mais simples?
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
3
Introdução
� Fortescue (em 1918) publicou o artigo: 
� “Method of Symmetrical Coordinates 
Applied to the Solution of Polyphase
Networks”. 
� Apresentado à 34º Convenção Anual de AIEE 
(American Institute of Electrical Engineers) 
em Atlantic City, N.J. o 28 de julho de 1918. 
AIEE Transactions 37 (II): 1027-1140 (1918).
� “Um sistema trifásico desequilibrado pode ser decomposto em 
três sistemas equilibrados, onde esta decomposição é única”.
� Sistema equilibrado: Módulos iguais e Diferença Angulares iguais
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
4
Decomposição em Componentes Simétricas
� Um sistema trifásico desequilibrado pode ser decomposto 
em três sistemas equilibrados, formado por componentes 
de seqüência positiva (+), negativa (-) e zero (0).
� Sistema de seqüência Positiva (+, 1):
� 3 Fasores equilibrados (mesmo módulo e defasados de 120º)
� Seqüência de fase igual ao do sistema original (ex. A-B-C)
� Sistema de seqüência Negativa (-, 2):
� 3 Fasores equilibrados (mesmo módulo e defasados de 120º)
� Seqüência de fase inversa ao do sistema original (ex. A-C-B)
� Sistema de seqüência Zero (0):
� 3 Fasores de mesmo módulo e com os mesmos ângulos de fase.
� Defasagem entre fasores iguais a 0.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
5
Decomposição em Componentes Simétricas
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
6
Sistema Original 
Desequilibrado
Seqüência (+)
Seqüência (-)
Seqüência (0)
+
+
Va1
Vc1
Vb1 Va2
Vc2Vb2
Va0
Vb0
Va
Vc
Vb
Decomposição Gráfica em C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
7
Vc1
Vc2
Vc0
Vb1
Vb2
Vb0
Va1
Va2
Va0
Seqüência (+)
Seqüência (-)
Seqüência (0)
+
+
Va1
Vc1
Vb1 Va2
Vc2Vb2
Va0
Vb0
Va
Vc
Vb
Decomposição Analítica em C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
8
S (+) S(-)S (0)
0 1 2
0 1 2
0 1 2
2
0 1 2
2
1 1 1
1
1
A A A A
B B B B
C C C C
A A A
V V V V
V V V V V
V V V V
V V Vα α
α α
       
       
= = + +       
       
       
     
     
= + +
     
          
& & & &
& & & &
& & & &
& & &
1 120oα = ∠
Decomposição Analítica em C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
9
0 1 2
2
0 1 2 0 1 2
2
0 1 2
2
0 1 2
2
1 1 1
1
1
1
1 1 1
1
A A A A
B B B B A A A
C C C C
B B B
V V V V
V V V V V V V V
V V V V
V V V
α α
α α
α α
α α
             
             
= = + + = + +             
                         
    
    
= + +    
        
& & & &
& & & & & & &
& & & &
& & &
2
2
0 1 2
1
1
1 1 1
C C CV V V
α α
α α


    
    
= + +    
        
& & &
Decomposição Analítica em C.S.
� Notação usual de CS em função da Fase A:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
10
2
0 1 2
2
2
0 1 2
2
1 1 1
1
1
1 1 1
1
1
A
B A A A
C
V
V V V V V
V
V V V
α α
α α
α α
α α
       
       
= = + +       
             
     
     
= + +
     
          
&
& & & &
&
& & &
Matriz de Transformação de C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
11
S (+) S(-)S (0)










+










+










=










=
2
2
2
10
11
1
1
1
α
α
α
α VVV
V
V
V
V
C
B
A
&&&
&
&
&
A
B
C
V
V
V
 
 
 
 
 
&
&
&
0
1
2
V
V
V
 
 
 
 
 
&
&
&
Matriz de Transformação de C.S.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
12










+










+










=










=
2
2
2
10
11
1
1
1
α
α
α
α VVV
V
V
V
V
C
B
A
&&&
&
&
&










=




















=










++
++
++
=










2
1
0
2
1
0
2
2
2
2
10
21
2
0
210
1
1
111
V
V
V
V
V
V
VVV
VVV
VVV
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
T
αα
αα
αα
αα
T = MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES SIMÉTRICAS
Transformação
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
13
0 1 2
2
0 1 2
2
0 1 2
A
abc
B
C
V V V V
V V V V V
V V V V
α α
α α
   + +
   
= = + +   
   + +   
& & & &
& & & &
& & & &










=










2
1
0
V
V
V
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
T T=










2
2
1
1
111
αα
αα
1
1201
1201
03
2
==
−∠=
∠=
αα
α
α
o
o
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
14










=










C
B
A
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
-1T
2
1
0
-1T=










αα
αα
2
2
1
1
111
3
1
0
012 2
1
2
2
1
3
A B C
A B C
A B C
V V V V
V V V V V
V V V V
α α
α α
   + +
   
= = + +   
   + +   
& & & &
& & & &
& & & &
Transformação
Teorema Fundamental (Matriz T)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
15










=










2
1
0
V
V
V
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
T T=










2
2
1
1
111
αα
αα










=










C
B
A
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
-1T
2
1
0
-1T=










αα
αα
2
2
1
1
111
3
1










==
100
010
001
I-1T.T
Aplicação de C.S. em SEP (V e I)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
16










=










2
10
V
V
V
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
T










=










C
B
A
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
-1T
2
1
0
0
1
2
A
B
C
I I
I I
I I
   
   
=   
   
   
T
& &
& &
& &
0
1
2
A
B
C
I I
I I
I I
   
   
=   
   
   
-1T
& &
& &
& &
Aplicação de C.S. em SEP (V, I e Z)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
17
abcabcabc IZV && ×=
012VTV abc && ×= 012ITI abc && ×=
012012 ITZVT abc && ××=×
Reescrevendo a equação, tem-se:
Aplicação de C.S. em SEP (Z)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
18
012 012
 
abcT V Z T I× = × ×& &
012Z
012012012
.IZV && =
0121012 ITZTV abc && ×××= −
01210121 ITZTVTT abc && ×××=×× −−
Aplicação de C.S. em SEP (Z)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
19
00 01 02
2 2
10 11 12
2 2
20 21 22
1 1 1 1 1 1
1 1 . . 1
3
1 1
aa ab ac
ba bb bc
ca cb cc
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
α α α α
α α α α
      
      
=      
               
012 1 abcZ T Z T−= × ×
012 1abcZ T Z T −= × ×
Aplicação de C.S. em SEP (Z equilibrada)
� Para matriz de impedância, Zabc, equilibrada:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
20
012 1 abcZ T Z T−= × ×
00 01 02
1
10 11 12
20 21 22
0
1
2
. .
0 0 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
p m m
m p m
m m p
p m
p m
p m
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z T Z Z Z T
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
−
   
   
= =   
   
      
   +
   
= −   
   
−      
Aplicação de C.S. em SEP (Z equilibrada)
� Portanto, para matriz de impedância, Zabc, equilibrada:
� É análogo a ter 3 sistemas monofásico desacoplados
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
21
00 0
11 1
22 2
0 0
0 0 .
0 0
ZV I
V Z I
V IZ
    
    
=     
    
     
& &
& &
& &
Aplicação de C.S. em SEP (V simétrica)
� Para um sistema de tensão simétrico tem-se:
� Portanto em componentes simétricos:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
22
2 2
1 1
1 1
120 . .
120
A
o
B A
o
C
VV
V V V V
V V
θ
θ θ α α
α αθ
      
      
= − = =      
       +      
&
& &
&
0
2 2
1
2 1
2
11 1 1 0
1 1 .
3
1 0
A
B A A
C
V V
V V V V
V V
α α α
α α α
          
          
= = =          
                     
-1T
& &
& & & &
& &
Exercício 5.0.1
� Seja um sistema trifásico do tipo gerador-linha-
carga, onde:
� Tensão do gerador é assimétrica e dada por:
� Linha Equilibrada cujos valores são:
� Impedâncias próprias da LT iguais a (3,0+j5,6)Ω
� Impedâncias mútuas da LT iguais a j2,60Ω
� Carga equilibrada conectada em Y cuja impedância é de 
j50Ω/fase.
� Calcule as correntes na linha em componentes de 
fase (ABC) e componentes simétricas (012) usando-
se: V012=Z012.I012
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (5.0)
23
13,8 0
13,8 90
13,8 90
A
o
B
o
C
V
V kV
V
  
  
= −  
  
   
&
&
&