Transformações de Lorentz

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As Transformações de Lorentz
Transformações de Galileu, velocidade apenas em x:
posição
velocidades
Problema: Δt ≠ Δt'
Queremos encontrar um modo de relacionar as medidas de espaço e tempo em dois referenciais R e R' ...
… mas deve ser relativístico
Transformação que leve x em x', e vice-versa
1) Relacionar as medidas de espaço dos dois observadores, dando contração espacial
2) Relacionar as medidas de tempo dos dois observadores, dando dilatação temporal
3) No limite em que v ® 0, recobrar as transformações de Galileu
Mecânica Newtoniana: 
A transformação deve:
limite de baixas velocidades da mecânica relativística
Tentativa: transformação linear em x e t, da forma
Preserva:
	uniformidade do movimento nos diferentes referenciais 
Preserva as Leis de Newton em diferentes referenciais – obedece ao primeiro postulado de Einstein!
	soma vetorial nos diferentes referenciais
a é o mesmo para as transformações para passar de R a R', e de R' a R
Reflete a indistinguibilidade entre os dois referenciais inerciais
a ® 1, se v ® 0
Garante que recobramos a mecânica Newtoniana como limite da relativística, no limite em que v ® 0
pictDeterminando a
Dois eventos:
	Evento 1: pulso luminoso sai da origem do referencial R, no momento em que as origens de R e R' coincidem (x0 = x0' = 0 ; t0 = t0' = 0)
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
x
pict
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
vx
x’
S
S
Determinando a
Dois eventos:
	Evento 2: pulso luminoso chega a um detector no referencial R. 
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
x
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
vx
x’
S
pictS
(x, t)
(x', t')
pict
Determinando a
R':
R:
Qual a distância que a luz percorre, em R'?
Qual a distância que a luz percorre, em R?
Substitua os valores apropriados nas equações para a posição em que os eventos ocorrem em R e R'.
Determinando a
R':
R:
Agora, isole t' na primeira equação e substitua na segunda. 
Você deve ter obtido
Quanto vale a?
Você deve ter obtido
Determinando a
Então
Resposta:
Para encontrar a transformação entre t e t', basta isolar x na primeira equação e substituir na segunda, usando o valor de γ encontrado. Encontramos
As transformações relativísticas de velocidades
R
y
x
ux
R’
y'
x'
vx
R
y
x
ux'
R’
y'
x'
-vx
Para saber como as velocidades se transformam, relativisticamente, vamos calcular ux', a velocidade medida no referencial R'.
Sabendo que 
calcule (agora!) dx' e dt'.
Seu resultado deve ter sido
Agora, divida dx' por dt', e coloque dt em evidência tanto no numerador como no denominador da fração no lado esquerdo da equação resultante.
Seu resultado deve ter sido
Finalmente,
ux'
ux
ux
Para encontrar ux, a velocidade de um objeto medida no referencial R, basta manipular a equação de modo a isolar ux. O resultado é
ux « ux'
vx « -vx
Lembremos que ux' é a componente x de velocidade, vista em R', de um objeto com velocidade que tem velocidade ux em R.
vx é a componente x da velocidade relativa entre os referenciais.
Mesmo que a velocidade relativa entre os referenciais, v, só possua componente x, as componentes y e z da velocidade de um objeto em R, uy e uz, também serão vistas de maneira diferente em R'...
… pois o tempo passa de maneira diferente em R e R'
Para a componente y da velocidade do objeto em R', 
Colocando dt em evidência no lado direito da equação, 
uy'
uy
ux
Finalmente,
Então as transformações relativísticas de velocidades são
Usando as transformações relativísticas
Como são as transformações relativísticas de velocidades quando temos a velocidade no referencial R’ (em movimento com velocidade vx em relação ao referencial R)?
Basta trocar: 
ux « ux'
vx « -vx
Use as transformações de velocidade para encontrar a velocidade da luz (medida num laboratório num referencial inercial) numa nave que se move com relação ao laboratório com velocidade vx
R
F
0
v
R
F
v
R
F
v
R
F
v
R
F
Alice: no vagão
Bruno: na plataforma
0
xB
xA
v
R
F
Alice: “Eventos simultâneos!”
Bruno: “Não são simultâneos!”
Voltemos a Alice e Bruno
Digamos que o vagão de Alice tenha 6 m, v = 3c/4
Quanto tempo leva, no referencial de Alice, para a luz atingir um fotodetector na extremidade do vagão, sendo que a fonte de luz está no meio do vagão (e que a origem das coordenadas está exatamente sobre a fonte)?
Para Alice, então,
E para Bruno?
Transformações de Lorentz:
Primeiro passo: calcular γ
Posições no referencial de Bruno:
Então
Sinais refletem a ordem dos acontecimentos; intervalos podem ser dados em módulo 
Exercício 29, Cap. 37 Knight:
Em um experimento de laboratório, um elétron é lançado para a
esquerda a 0,9c. Qual é a velocidade do elétron em relação a um
próton que se move para a direita a 0,9c?
Atenção ao que o enunciado pede: Qual é a velocidade do elétron em relação a um próton que se move para a direita a 0,9c?
Problema é resolvido passando-se do referencial de laboratório para o referencial de um dos objetos (elétron ou próton)
Qual dos dois?
Referencial do próton!
Dois referenciais: R para laboratório, R’ para próton