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36 ? As moscas possuem olhos compostos com milhares de lentes em miniatura. O diâmetro geral do olho é cerca de 1 mm, mas cada uma dessas lentes tem apenas cerca de 20 mm de diâmetro e produz uma ima- gem individual de uma região pequena no campo de visão da mosca. Em comparação com a potência de resolução do olho humano (em que a região que coleta luz tem cerca de 16 mm na horizontal), a capacidade do olho de uma mosca em resolver pequenos detalhes é: (i) pior, porque as lentes são muito pequenas; (ii) pior, porque o olho como um todo é muito pequeno; (iii) melhor, porque as lentes são muito pequenas; (iv) melhor, porque o olho como um todo é pequeno; (v) pratica- mente a mesma. DIFRAÇÃO OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo, você aprenderá: 36.1 O que acontece quando uma luz coerente incide sobre um objeto com um canto ou uma abertura. 36.2 Como entender a figura de difração formada quando uma luz coerente passa por uma fenda estreita. 36.3 Como calcular a intensidade em vários pontos em uma figura de difração produzida em uma fenda única. 36.4 O que acontece quando uma luz coerente incide sobre um conjunto de fendas estreitas, com pequeno espaçamento entre as fendas. 36.5 Como os cientistas usam redes de difração para medir o comprimento de onda com precisão. 36.6 O modo como a difração de raios X revela a disposição dos átomos em um cristal. 36.7 De que maneira a difração estabelece limites sobre os menores detalhes do que pode ser visto com um sistema ótico. 36.8 Como funcionam os hologramas. Revendo conceitos de: 33.4, 33.7 Prismas e dispersão; princípio de Huygens. 34.4, 3 4.5 Formação de imagem por uma lente; número f. 35.1-3 5.3 Luz coerente, interferência produzida em uma fenda dupla e fasores. Todos nós estamos acostumados com a ideia de que o som pode se des-viar e contornar um obstáculo. Caso o som não se comportasse desse modo, você não poderia ouvir a sirene de um carro de polícia quando ele estivesse em outra rua, fora de seu campo visual, nem a voz de uma pessoa que está de costas para você. Mas a luz também pode contornar obs- táculos. Quando a luz proveniente de uma fonte puntiforme incide sobre um contorno retilíneo, o contorno da sombra projetada sobre um plano nunca é perfeitamente retilíneo. Algumas ondas surgem na área da sombra, e na área iluminada podem surgir franjas brilhantes e escuras. Em geral, ao passar por uma abertura, a luz não se comporta precisamente de acordo com o modelo da propagação retilínea fornecido pela ótica geométrica. A explicação desses efeitos é que a luz, assim como o som, tem caracte- rísticas ondulatórias. No Capítulo 35, estudamos as figuras de interferência formadas quando duas ondas luminosas são combinadas. Neste capítulo, vamos investigar os efeitos de interferência resultantes da superposição de muitas ondas luminosas. Tais efeitos constituem o fenômeno da difração. Verificaremos que o comportamento das ondas luminosas ao passar por uma abertura constitui um exemplo de difração; cada parte infinitesimal da abertura funciona como uma fonte de onda, e a figura resultante com fran- jas brilhantes e franjas escuras é o resultado da interferência das ondas que emanam dessas fontes. Figuras semelhantes aparecem quando a luz surge de conjuntos de aber- turas. A natureza desses padrões depende das cores da luz e do tamanho e espaçamento das aberturas. Exemplos desse efeito incluem as cores de bor- boletas iridescentes e o “arco-íris” que vemos refletido na superfície de um disco compacto (CD). Estudaremos efeitos semelhantes que ocorrem com os raios X usados para pesquisar a estrutura atômica dos sólidos e dos líquidos. Finalmente, analisaremos a física de um holograma, um tipo especial de figura de interferência usado para formar imagens tridimensionais. Book_SEARS_Vol4.indb 122 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 123 36.1 DIFRAÇÃO DE FRESNEL E DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER De acordo com a ótica geométrica, quando um objeto opaco é colocado entre uma fonte luminosa puntiforme e uma tela, como na Figura 36.1, a sombra for- mada pelo objeto forma um nítido contorno retilíneo. Nenhuma luz atinge a região da sombra, e a área fora dela é iluminada continuamente. No entanto, conforme vimos no Capítulo 35, a natureza ondulatória da luz produz efeitos que não podem ser entendidos com o modelo simples da ótica geométrica. Uma classe importante desses efeitos ocorre quando a luz atinge um obstáculo que apresenta uma abertura ou uma extremidade. As figuras de interferência que se formam em decorrência desses efeitos são estudadas com a designação geral de difração. Um exemplo de difração é mostrado na Figura 36.2. A fotografia na Figura 36.2a foi feita colocando-se uma lâmina de barbear na metade da distância entre um filme fotográfico e um furo de alfinete no centro de um anteparo, iluminado por luz monocromática. O filme registrou a sombra projetada pela lâmina de barbear. A Figura 36.2b é uma ampliação da sombra da aresta retilínea na extremidade es- querda da lâmina. As setas indicam a posição da sombra geométrica dessa aresta. Na região próxima a essa aresta, a área do lado esquerdo apresenta uma sucessão de franjas brilhantes e escuras. Embora não apareça com nitidez na fotografia, também existe um pouco de luz na região da sombra. Na Figura 36.2b, a primeira franja brilhante que surge logo do lado esquerdo do limite da sombra apresenta um brilho maior que o da extremidade esquerda da área iluminada. Essa experiência simples fornece uma ideia da riqueza e da complexidade da difração. Em geral, na vida cotidiana não observamos figuras de difração como as da Figura 36.2 porque a maioria das fontes de luz não é monocromática nem puntiforme. Se usássemos a luz branca proveniente de uma lâmpada comum em vez da fonte pun- tiforme usada para obter a fotografia da Figura 36.2, cada comprimento de onda da luz proveniente de cada ponto da lâmpada formaria sua própria figura de difração; porém, em virtude da superposição de todas essas figuras, não poderíamos ver ne- nhuma figura de difração individual. Figura 36.2 Um exemplo de difração. Posição da sombra geométrica Fotografia de uma lâmina de barbear iluminada por luz monocromática a partir de uma fonte puntiforme (um buraco de agulha). Note a franja ao redor do contorno da lâmina. Ampliação da área ao redor da sombra geométrica da lâmina (a) (b) Difração e princípio de Huygens As figuras de difração podem ser analisadas aplicando-se o princípio de Huygens (veja a Seção 33.7). Esse princípio afirma que podemos considerar cada ponto de uma frente de onda como fonte de uma onda secundária que se espalha em todas as direções com velocidade igual à velocidade de propagação da onda nesse meio. A posição da frente de onda em cada instante posterior é dada pelo envoltório das frentes de onda no instante considerado. Para determinar o deslocamento em um Figura 36.1 Uma fonte de luz puntiforme ilumina uma aresta retilínea. A ótica geométrica prevê que essa situação deveria produzir um contorno nítido entre a parte iluminada e a sombra. NÃO é isso o que acontece! Aresta retilínea Tela Fonte puntiforme Área de iluminação Sombra geométrica NÃO ACONTECE Book_SEARS_Vol4.indb 123 16/12/15 5:43 PM 124 Física IV dado ponto, usamos o princípio da superposição para combinar todos os desloca- mentos individuais produzidos por essas ondas secundárias. Na Figura 36.1, tanto a fonte quanto a tela estão relativamente próximas do obstáculo que produz a figura de difração. Essa situação é conhecida como difração de campo próximo ou difração de Fresnel, em homenagem ao cientista francês Augustin Jean Fresnel (1788-1827). Ao contrário, usamos o termo difração de Fraunhofer,em homenagem ao cientista alemão Joseph von Fraunhofer (1787- 1826), quando as distâncias entre a fonte, o obstáculo e a tela são suficientemente grandes para que todas as retas que ligam a fonte com o obstáculo possam ser consideradas paralelas e para que todas as retas que ligam pontos do obstáculo com pontos da tela possam ser consideradas paralelas. As discussões que serão feitas a seguir ficarão restritas ao caso da difração de Fraunhofer, em geral mais fácil de analisar detalhadamente que a difração de Fresnel. A difração algumas vezes é descrita como o “desvio da luz ao contornar um obstáculo”. Mas o mecanismo que produz a difração da luz é o mesmo para qual- quer tipo de onda. Quando partes de um feixe de onda são interrompidas por algum obstáculo, observamos efeitos de difração oriundos da interferência das partes res- tantes das frentes de onda. Os instrumentos de ótica geralmente usam apenas uma pequena parte de uma onda; por exemplo, um telescópio emprega apenas a parte da frente de onda recebida pela lente ou espelho da objetiva. Portanto, a difração desempenha um papel importante em quase todos os fenômenos óticos. Finalmente, enfatizamos que não existe nenhuma diferença fundamental entre os fenômenos que ocorrem na interferência e na difração. No Capítulo 35, usamos o termo interferência para designar efeitos de superposição envolvendo um número pequeno de fontes, geralmente duas. Na difração, consideramos uma distribuição contínua de ondas secundárias de Huygens através da área de uma abertura ou um número muito grande de fontes e de aberturas. Porém, tanto a interferência quanto a difração são consequências da superposição de ondas e do princípio de Huygens. TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 36.1 Ondas sonoras podem sofrer difração e contornar um canto ou extremidade? \ 36.2 DIFRAÇÃO PRODUZIDA POR UMA FENDA SIMPLES Nesta seção discutiremos a figura de difração formada por um feixe colimado (raios paralelos) de luz monocromática quando ele emerge de uma fenda estreita e comprida, como mostrado na Figura 36.3. Chamamos essa dimensão estreita de largura, embora nessa figura ela esteja em posição vertical. Figura 36.3 (a) Previsão incorreta da “sombra” de uma fenda horizontal segundo a ótica geométrica. (b) Uma fenda horizontal produz, na verdade, uma figura de difração. A largura da fenda foi exagerada. Luz monocromática de raios paralelos (a) RESULTADO PREVISTO: A ótica geométrica prevê que esse dispositivo produzirá uma única faixa brilhante do mesmo tamanho que a fenda. (b) O QUE REALMENTE ACONTECE: Na realidade, vemos uma figura de difração — um conjunto de franjas brilhantes e escuras. Largura a Tela a Book_SEARS_Vol4.indb 124 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 125 De acordo com a ótica geométrica, o feixe transmitido deve ter a mesma seção reta da fenda, como na Figura 36.3a. Mas o que realmente vemos é mostrado na Figura 36.3b. O feixe se espalha verticalmente depois de passar pela fenda. A figura de difração formada sobre a tela é constituída por uma franja brilhante cen- tral, cuja largura pode ser muito maior que a da fenda, seguida em ambos os lados por uma sequência de franjas brilhantes e escuras cujas intensidades diminuem quando elas se afastam do centro. Cerca de 85% da potência do feixe transmitido está concentrada na franja central cuja largura é inversamente proporcional à da fenda. Em geral, quanto mais estreita é a fenda, maior é a largura total da figura de difração. (O espalhamento horizontal do feixe mostrado na Figura 36.3b é despre- zível porque a dimensão horizontal da franja é relativamente grande.) Você pode observar facilmente uma figura de difração semelhante olhando para uma fonte puntiforme distante, como a luz de uma lâmpada de rua, através de uma pequena abertura formada entre dois dedos da mão mantidos em frente ao olho: a retina do olho desempenha o papel da tela. Difração produzida em uma fenda simples: localizando as franjas escuras A Figura 36.4 mostra uma seção reta do mesmo dispositivo experimental; o lado comprido da fenda é perpendicular ao plano da figura, e as ondas planas incidem sobre a fenda da esquerda para a direita. De acordo com o princípio de Huygens, cada elemento de área da abertura da fenda pode ser considerado uma fonte de ondas secundárias. Em particular, suponha que a fenda seja dividida em diversas faixas estreitas de mesma largura, paralelas ao comprimento da fenda e perpendiculares ao plano da página. Na Figura 36.4a mostramos apenas duas dessas faixas. Frentes de ondas secundárias cilíndricas, mostradas na figura em seção reta, se espalham a partir de cada faixa. Na Figura 36.4b, uma tela é colocada do lado direito da fenda. Podemos calcu- lar a intensidade resultante em um ponto P sobre a tela somando as contribuições das ondas secundárias individuais, levando em consideração suas diversas fases e amplitudes. É mais fácil fazer esse cálculo quando supomos que a distância entre a tela e a fenda é suficientemente grande, de modo que os raios provenientes da fenda e que atingem o ponto P possam ser considerados paralelos, como se pode ver na Figura 36.4c. Uma situação equivalente pode ser observada na Figura 36.4d, na qual os raios que incidem sobre a lente são paralelos e a lente forma sobre a tela uma imagem reduzida da figura de difração que se formaria sobre uma tela a uma distância infinita da fenda na ausência da lente. Você poderia pensar que os diversos caminhos da luz através da lente introduziriam diferenças de fase adicionais, mas, na realidade, podemos demonstrar que todos esses caminhos produzem desloca- mentos de fase iguais, então isso não representa nenhum problema. Figura 36.4 Difração produzida por uma fenda única retangular. O lado comprido da fenda é perpendicular ao plano da figura. Dividimos a fenda em faixas imaginárias paralelas ao eixo longo da fenda. Se a tela estiver perto, os raios que vão de diferentes faixas até um ponto P sobre a tela não são paralelos. Se a tela estiver distante, os raios na direção de P são aproximadamente paralelos. Uma lente convergente gera uma figura de Fraunhofer sobre uma tela próxima. Cada faixa é uma fonte de ondas secundárias de Huygens. (a) Uma fenda como fonte de ondas secundárias Largura da fenda a a Ondas planas incidindo na fenda P Tela (b) Difração de Fresnel (de campo próximo) (c) Difração de Fraunhofer (de campo distante) Lente cilíndrica convergente P Tela f (d) Imagem de uma difração de Fraunhofer Book_SEARS_Vol4.indb 125 16/12/15 5:43 PM 126 Física IV A difração de Fresnel é ilustrada na Figura 36.4b; as situações exibidas nas figuras 36.4c e 36.4d, nas quais os raios emergentes são considerados paralelos, são chamadas de difração de Fraunhofer. Podemos deduzir de modo bastante sim- ples as características da difração de Fraunhofer para o caso da fenda simples. Inicialmente consideramos duas pequenas faixas, uma limitada por um raio logo abaixo da extremidade superior da fenda e outra começando em seu centro, como mostrado na Figura 36.5. A diferença entre os dois caminhos dos raios indicados até o ponto P é igual a (a/2) sen u, onde a é a largura da fenda e u é o ângulo entre a perpendicular ao plano da tela e a reta que liga o centro da fenda com o ponto P. Suponha que essa diferença seja igual a l/2; nesse caso, as ondas provenientes das duas faixas atingem o ponto P, com uma defasagem de meio ciclo, e ocorre cancelamento das ondas. Analogamente, os raios correspondentes à faixa abaixo da mostrada na figura também chegam ao ponto P meio ciclo defasados. Na realidade, a luz proveniente de qualquer faixa na metade superior da fenda cancela a luz proveniente da faixacorrespondente da metade inferior da fenda. O resultado é a completa destruição da luz que atinge o ponto P proveniente de todos os pontos da fenda, resultando em uma franja escura na figura de interferência. Ou seja, uma franja escura apa- rece quando a 2 sen u = l 2 ou sen u = l a (36.1) O sinal mais ou menos ( ) da Equação 36.1 afirma que existem franjas escuras simétricas acima e abaixo do ponto O na Figura 36.5a. A franja superior (u > 0) aparece em um ponto P atingido por uma onda proveniente da metade inferior e que vai até uma distância além de P que é l/2 maior que a distância percorrida pela luz da metade superior; a franja inferior (u < 0) aparece em um ponto em que a luz proveniente da metade superior se desloca l/2 além da distância percorrida pela luz da metade inferior. Também é possível dividir a tela em quatro partes, em seis e assim por diante, para poder aplicar o raciocínio anterior e mostrar que aparecem franjas escuras toda vez que sen u � 2l/a, 3l/a e assim por diante. Logo, a condição para a ocorrência de uma franja escura é: Figura 36.5 Seção reta de uma fenda horizontal. Quando a distância x até a tela é muito maior que a largura a da fenda, os raios provenientes de pontos situados a uma distância a/2 podem ser considerados paralelos. Para as duas faixas aqui mostradas, a diferença de caminhos até P é 1a>22 sen u. Quando 1a>22 sen u = l>2, a luz sofre cancelamento em P. Isso é verdade para a fenda toda; logo, P representa uma franja escura. u geralmente é muito pequeno, então podemos usar as aproximações sen u = u e tan u = u. Assim, a condição para uma faixa escura é ym = x ml a a (a) u a 2 senu a 2 (b) Ampliação da metade superior da fenda u u P y O x Book_SEARS_Vol4.indb 126 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 127 (36.2) Ângulo da linha do centro da fenda até a franja escura de ordem m na telaFranjas escuras na difração em uma fenda única: Largura da fenda Comprimento de onda 1m = {1, {2, {3, c2sen u = a ml Por exemplo, se a largura da fenda for igual a dez comprimentos de onda (a � 10l), as franjas escuras aparecem quando sen u � 110, 2 10, 3 10... Entre duas franjas escuras consecutivas existe sempre uma franja brilhante. Notamos também que sen u � 0 corresponde a uma franja brilhante; nesse caso, a luz proveniente da fenda inteira chega em fase ao ponto P. Portanto, seria errado fazer m � 0 na Equação 36.2. Para a luz, o comprimento de onda l é da ordem de 500 nm � 5 �10�7 m. Geralmente isso é muito menor que a largura a da fenda; a largura típica de uma fenda é 10�2 cm � 10�4 m. Portanto, os valores de u na Equação 36.2 costumam ser tão pequenos que a aproximação sen u � u (onde u é dado em radianos) é muito boa. Nesse caso, a referida equação pode ser escrita na forma u = ml a 1 m = 1, 2, 3, c2 (para um ângulo u pequeno em radianos) Além disso, se a distância entre a fenda e a tela for x, como na Figura 36.5a, designando por ym a distância vertical entre a franja escura de ordem m e o centro da figura, então tan u � ym/x. Se o ângulo é pequeno, também podemos aproximar tan u por u (em radianos), de modo que obtemos ym = x ml a 1para ym V x2 (36.3) A Figura 36.6 é a fotografia de uma figura de difração produzida em uma fenda simples com os mínimos m � 1, 2 e 3 indicados. A franja brilhante central é mais larga que as outras franjas brilhantes; na aproximação de ângulo pequeno usada na Equação 36.3, ela tem exatamente o dobro da largura. ATENÇÃO Difração produzida em uma fenda simples versus interferência produ- zida em uma fenda dupla A Equação 36.3 tem a mesma forma da Equação 35.6 refe- rente à figura de interferência de uma fenda dupla, exceto que, na Equação 36.3, x é usado no lugar de R para designar a distância entre a tela e a fenda. Entretanto, a Equação 36.3 fornece a posição das franjas escuras na experiência da fenda única, ao passo que a outra equação fornece a posição das franjas brilhantes na experiência da fenda dupla. Além disso, m � 0 na Equação 36.2 não corresponde a uma franja escura. Preste atenção! Figura 36.6 Fotografia da figura de difração de Fraunhofer de uma fenda horizontal simples. m = -3 m = -2 m = -1 m = 1 m = 2 m = 3 Você faz um feixe de luz de laser de 633 nm incidir sobre uma fenda estreita e observa a figura de difração sobre uma tela si- tuada a uma distância igual a 6,0 m. Você verifica que a distância entre o centro do primeiro mínimo acima do máximo central e o centro do primeiro mínimo abaixo do máximo central é de 32 mm (Figura 36.7). Qual é a largura da fenda? SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema envolve a relação entre as franjas escuras em uma figura de difração produzida em uma fenda simples e a largura da fenda a (nossa variável-alvo). Nesse caso, a distância entre os pontos sobre a tela é muito menor que a distância entre a tela e a fenda, de modo que o ângulo u mostrado na Figura 36.5a é muito pequeno, e podemos usar a Equação 36.3 para encontrar o valor de a. EXECUTAR: o primeiro mínimo corresponde a m � 1 na Equação 36.3. A distância y1 entre o máximo central e o primeiro mínimo é igual à metade da distância entre os dois primeiros mínimos; logo, y1 � (32 mm)/2 � 16 mm. Explicitando a largura a da Equação 36.3, obtemos EXEMPLO 36.1 DIFRAÇÃO EM UMA FENDA SIMPLES (Continua) Book_SEARS_Vol4.indb 127 16/12/15 5:43 PM 128 Física IV TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 36.2 Avalie as seguintes experiências de di- fração produzidas em uma fenda simples e coloque-as em ordem, da maior para a menor, em termos do tamanho do ângulo formado entre o centro da figura de difração e a primeira franja escura: (i) comprimento de onda 400 nm, largura da fenda 0,20 mm; (ii) comprimento de onda 600 nm, largura da fenda 0,20 mm; (iii) comprimento de onda 400 nm, largura da fenda 0,30 mm; (iv) comprimento de onda 600 nm, largura da fenda 0,30 mm. \ 36.3 INTENSIDADE NA DIFRAÇÃO PRODUZIDA POR UMA FENDA SIMPLES Podemos deduzir uma expressão para a distribuição da intensidade na difração produzida por uma fenda única usando o mesmo método da soma de fasores da Seção 35.3 para o caso da figura de interferência com fenda dupla. Mais uma vez, supomos que a frente de onda plana na fenda esteja subdividida em um grande nú- mero de faixas. Superpomos todas as contribuições das frentes de onda secundárias de Huygens que atingem o ponto P sobre a tela distante e que formam um ângulo u com a normal ao plano da fenda (Figura 36.8a). Para isso, usamos um fasor que represente cada campo senoidal variável proveniente de cada faixa. O módulo Figura 36.8 Diagrama de fasores para determinar a amplitude do campo resultante na difração produzida em uma fenda única. Cada fasor representa o campo de uma única faixa no interior da fenda. E0 E0 EP B C E0 b E 0 b E0 b b 2 b 2 b 2 sen E 0 b b 2sen A b b E0 EP b (d) Como em (c), mas no limite atingido quando a fenda é subdividida em um número infinito de faixas. (c) Diagrama de fasores em ponto levemente deslocado em relação ao centro da figura; b = diferença de fase total entre o primeiro e o último fasor. (b) No centro da figura de difração (ponto O), os fasores de todas as faixas no interior da fenda estão em fase. (a) P O Tela distante Faixas no interior da fenda Ondas planas incidindo na fenda Largura da fenda a a = xl y1 = 16,0 m2 1633 * 10-9 m2 16 * 10-3 m = 2,4 * 10-4 m = 0,24 mm AVALIAR: o ângulo u é pequeno apenas se o comprimento de onda é pequeno comparado à largura da fenda. Como l � 633 nm � 6,33 � 10�7 m e descobrimos que a� 0,24 mm � 2,4 � 10�4 m, nosso resultado é compatível com isto: o com- primento de onda é (6,33 � 10�7 m)/(2,4 � 10�4 m) � 0,0026 da largura da fenda. Você é capaz de demonstrar que a distância entre os dois segundos mínimos, um de cada lado do máximo central, é igual a 2(32 mm) � 64 mm, e assim por diante? Figura 36.7 Experiência com difração produzida em uma fenda simples. x = 6,0 m 32 mm Largura da fenda = ? Tela y x (Continuação) Book_SEARS_Vol4.indb 128 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 129 da soma vetorial dos fasores em cada ponto P fornece a amplitude Ep do campo resultante nesse ponto. A intensidade no ponto P é proporcional a Ep 2. No ponto O na Figura 36.8a, correspondente ao centro da figura onde u � 0, existem diferenças de caminhos desprezíveis para x >> a; todos os fasores estão essencialmente em fase (ou seja, possuem a mesma direção e o mesmo sentido). Na Figura 36.8b, desenhamos o diagrama de fasores no tempo t � 0 e designamos por E0 a amplitude resultante no ponto O. Nessa ilustração dividimos a fenda em 14 faixas. Considere agora as ondas secundárias que chegam ao ponto P da Figura 36.8a, provenientes de faixas diferentes formando um ângulo u a partir do ponto O. Em virtude da diferença de caminho, existe agora uma diferença de fase entre as ondas provenientes de faixas adjacentes; o diagrama de fasores correspondente pode ser visto na Figura 36.8c. A soma vetorial dos fasores é indicada pelo perímetro de um polígono com muitos lados, e a amplitude Ep do campo elétrico resultante no ponto P é dada pela corda dessa poligonal. O ângulo b é a diferença de fase total entre a onda recebida em P proveniente da faixa do topo da Figura 36.8a em relação à onda que chega ao ponto P proveniente da faixa inferior. Suponhamos que a fenda seja subdividida em faixas cada vez mais estreitas. No limite, quando existe um número infinito de faixas infinitamente estreitas, a linha poligonal de fasores transforma-se em um arco de circunferência (Figura 36.8d), cujo comprimento de arco é igual ao valor E0 mostrado na Figura 36.8b. O centro C desse arco é encontrado traçando-se perpendiculares em A e em B. De acordo com a relação entre comprimento de arco, raio e ângulo, o raio do arco é dado por E0/b; a amplitude Ep do campo elétrico resultante no ponto P é dada pela corda AB, cujo comprimento é 2(E0/b) sen (b/2). (Note que b precisa ser expresso em radianos!) Portanto, obtemos EP = E0 sen 1b>22 b>2 (amplitude na difração produzida em uma fenda única) (36.4) A intensidade em cada ponto da tela é proporcional ao quadrado da amplitude dada pela Equação 36.4. Designando por I0 a intensidade na direção frontal para u � 0 e b � 0, então a intensidade I em qualquer ponto da tela é I = I0 c sen 1b>22 b>2 d 2 (intensidade na difração em uma fenda única) (36.5) Podemos expressar a diferença de fase b em termos das grandezas geométricas, como fizemos no caso da figura de interferência com fenda dupla. Pela Equação 35.11, a diferença de fase é 2p/l vezes a diferença de caminho. Como indica a Figura 36.5, a diferença de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e o raio que sai do meio dela é igual a (a/2) sen u. A diferença de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e o raio que sai da extremidade inferior da fenda é igual ao dobro desse valor, logo, b = 2p l a sen u (36.6) e a Equação 36.5 pode ser escrita na forma (36.7) Ângulo da linha do centro da fenda até a posição na tela Intensidade na difração em uma fenda única Largura da fendaIntensidade em u = 0 Comprimento de onda I = I0 pa1senu2>lsen 3pa1sen u2>l4 2e f Book_SEARS_Vol4.indb 129 16/12/15 5:43 PM 130 Física IV Essa equação expressa a intensidade diretamente em termos do ângulo u. Em muitos cálculos, é mais fácil determinar inicialmente o ângulo de fase b a partir da Equação 36.6 e, a seguir, usar a Equação 36.5. A Figura 36.9a ilustra um gráfico da Equação 36.7. Note que a intensidade da franja brilhante central é muito maior que a intensidade de qualquer uma das outras franjas. Isso significa que a maioria da potência da onda permanece dentro de um ângulo u com a perpendicular à fenda, onde sen u � l /a (o primeiro mínimo da difração). Pode-se ver isso facilmente na Figura 36.9b, que é uma fotografia das ondas na água passando por uma difração em uma fenda simples. Note também que as intensidades máximas na Figura 36.9a diminuem rapidamente à medida que nos afastamos do centro da figura. (Compare com a Figura 36.6, que mostra a figura de difração em uma fenda simples para a luz.) As franjas escuras da figura de difração se formam nos pontos em que I � 0. Esses pontos ocorrem quando o numerador da Equação 36.5 é igual a zero, ou seja, quando b é um múltiplo de 2p. De acordo com a Equação 36.6, essa condição corresponde a a sen u l = m 1m = 1, 2,c2 sen u = ml a 1m = 1, 2, c2 (36.8) Essa relação concorda com o resultado anterior obtido com a Equação 36.2. Observe novamente que b � 0 (que corresponde a u � 0) não fornece um mínimo. A Equação 36.5 é indeterminada para b � 0, porém podemos calcular o limite quando b 0 usando a regra de L’Hôpital. Verificamos que, quando b � 0, ob- temos I � I0, como era esperado. Máximos da figura de difração produzida em uma fenda única Também podemos aplicar a Equação 36.5 para determinar a posição dos picos, ou dos máximos, e o valor da intensidade de cada um desses picos. Isso não é tão simples quanto pode parecer. Esperaríamos que os picos ocorressem nos pontos em que a função seno atingisse valores iguais a 1, ou seja, quando b � p, 3p, 5p, ou, em geral, b � (2m � 1)p (m � 0, 1, 2,...) (36.9) Isso é aproximadamente correto; entretanto, por causa do fator (b/2)2 no deno- minador da Equação 36.5, os máximos não ocorrem precisamente nesses pontos. Quando derivamos a Equação 36.5 em relação a b e igualamos a zero o resultado para tentar determinar os máximos e mínimos, obtemos uma equação transcen- dental que deve ser resolvida numericamente. Na realidade, não existe nenhum máximo nas vizinhanças de b � p. Os primeiros máximos, um de cada lado do máximo central, nas vizinhanças de b � 3p, na verdade ocorrem para os valores 2,860p. Os segundos máximos laterais, nas vizinhanças de b � 5p, ocorrem na verdade para 4,918p, e assim por diante. O erro da Equação 36.9 se anula no limite de valores grandes de m, ou seja, para os máximos de intensidade muito afastados do centro da figura de difração. Para calcular as intensidades dos máximos laterais, substituímos esses valores de b na Equação 36.5. Usando a aproximação indicada na Equação 36.9, obtemos Im � I0 1m + 12 2 2p2 (36.10) Figura 36.9 (a) Distribuição da intensidade na difração em uma fenda única. Os valores de m indicam a intensidade mínima fornecida pela Equação 36.8. A maior parte da potência da água vai para o máximo central (entre as intensidades mínimas m � 1 e m � �1). (b) Estas ondas de água que passam através de uma pequena abertura se comportam de modo exatamente análogo às ondas de luz na figura de difração produzida em uma fenda única. Apenas as ondas difratadas dentro do pico de intensidade central são visíveis; as ondas com ângulos maiores são fracas demais para serem vistas. I = 0,0083I0 I = 0,0165I0 I = 0,0472I0 O (a) (b) I = I0 u u m = 3 m = 2 m = 1 m = -1 m = -2 m = -3 Book_SEARS_Vol4.indb 130 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 131 onde Im é a intensidade do máximo lateral de ordem m e I0 é a intensidade do má- ximo central. A Equação 36.10 fornece a série de intensidades 0,0450I0 0,0162I0 0,0083I0 e assim por diante. Como dissemos anteriormente,essa equação está apenas apro- ximadamente correta. Verificamos que as intensidades verdadeiras desses máximos laterais são 0,0472I0 0,0165I0 0,0083I0 ... Note que as intensidades dos máximos laterais diminuem muito rapidamente, como a Figura 36.9a também indica. Até mesmo o primeiro máximo apresenta menos de 5% da intensidade do máximo central. Largura da figura de difração em uma fenda única Para ângulos pequenos, o espalhamento angular da figura de difração é inversa- mente proporcional à largura da fenda a ou, mais precisamente, à razão entre a e o comprimento de onda l. A Figura 36.10 mostra a intensidade I em função do ângulo u para três valores da razão a/l. Em ondas luminosas, o comprimento de onda l é geralmente muito menor que a largura da fenda a, e os valores de u nas equações 36.6 e 36.7 são tão pequenos que a aproximação sen u � u é bastante adequada. Com essa aproximação, a po- sição u1 do primeiro mínimo (m � 1), correspondendo a b/2 � p, de acordo com a Equação 36.7, é dada por u1 = l a (36.11) Esse valor caracteriza a largura (espalhamento angular) do máximo central, e vemos que ela é inversamente proporcional à largura da fenda a. Quando a aproxi- mação de ângulo pequeno é válida, o máximo central apresenta uma largura duas vezes maior que a largura de cada um dos máximos laterais. Quando a é da ordem de um centímetro ou mais, u1 é tão pequeno que podemos praticamente considerar toda a luz concentrada no foco geométrico. Porém, quando a é menor que l, o máximo central se espalha por 180° e não podemos ver qualquer franja. É importante lembrar que a difração ocorre em qualquer tipo de onda e não apenas com a luz. As ondas sonoras sofrem difração ao passar por uma fenda ou uma abertura, como uma porta aberta. As ondas sonoras da voz humana possuem comprimentos de onda ligeiramente maiores que um metro, e uma porta comum tem largura inferior a 1 m; nesse caso, a é menor que l e o máximo central se espalha até 180°. Isso explica por que o som que passa por uma porta aberta pode DADOS MOSTRAM Difração em uma fenda única Quando os alunos recebiam um problema envolvendo difração de onda por uma fenda única, mais de 30% davam uma resposta incorreta. Erros comuns: r�Confusão sobre as posições das franjas escuras. A Equação 36.2 indica o ângulo da franja escura de ordem m até o centro da figura de difração — não o ângulo da franja escura em um lado da figura até a franja escura correspondente no outro lado. r�Confusão sobre como a largura da fenda a e o comprimento de onda l afetam a largura da figura de difração. A diminuição de a ou o aumento de l tornam a figura mais larga; aumentar a ou diminuir l tornam a figura mais estreita. Figura 36.10 A figura de difração em uma fenda única depende da razão entre a largura da fenda a e o comprimento de onda l. Se a largura da fenda é igual ao comprimento de onda ou menor que ele, forma-se apenas um máximo largo. Quanto mais larga a fenda (ou menor o comprimento de onda), mais estreito e agudo é o pico central. (c) a = 8l(b) a = 5l(a) a = l I0 -20° -10° 0° 10° 20° I I0 -20° -10° 0° 10° 20° I I0 -20° -10° 0° 10° 20° I u u u Book_SEARS_Vol4.indb 131 16/12/15 5:43 PM 132 Física IV ser ouvido facilmente até por uma pessoa escondida atrás da porta e que está fora do ângulo de visão. Da mesma forma, as ondas sonoras podem contornar a cabeça de um professor que está voltado para a lousa enquanto fala (Figura 36.11). Em contraste, não existe nenhuma difração da luz através dessa porta porque a largura a é muito maior que o comprimento de onda l (aproximadamente igual a 5 � 10�7 m). Você pode ouvir em torno de arestas porque as ondas sonoras típicas possuem comprimentos de onda relativamente grandes, mas você não pode ver em torno de arestas porque a luz possui comprimentos de onda muito pequenos. Figura 36.11 As ondas sonoras usadas na fala têm um longo comprimento de onda (cerca de 1 m) e podem facilmente contornar a cabeça desse professor. Em contraste, as ondas luminosas possuem comprimentos de onda muito curtos e sofrem muito pouca difração. Assim, você não consegue ver ao redor da cabeça dele! (a) A intensidade no centro de uma figura de difração de fenda única é I0. Qual é a intensidade em um ponto onde a diferença de fase total entre as ondas secundárias provenientes do topo e da parte inferior da fenda é igual a 66 rad? (b) Se esse ponto está 7,0° afastado do máximo central, quantos comprimentos de onda de largura tem a fenda? SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR: em nossa análise da Figura 36.8, usamos o símbolo b para a diferença de fase entre as ondas secun- dárias provenientes das duas extremidades da fenda. Na parte (a), usamos a Equação 36.5 para encontrar a intensidade I no ponto da figura onde b � 66 rad. Na parte (b), precisamos encontrar o comprimento de onda l, de modo que nossa variável-alvo é a/l. Como conhecemos a posição angular u do ponto onde b � 66 rad, podemos usar a Equação 36.6 para determinar a/l. EXECUTAR: (a) temos b/2 � 33 rad e, portanto, aplicamos a Equação 36.5: I = I0 c sen133 rad2 33 rad d 2 = 19,2 * 10-42 I0 (b) Pela Equação 36.6: a l = b 2p sen u = 66 rad 12p rad2 sen 7,0° = 86 Por exemplo, para uma luz de 550 nm, a largura da fenda a � (86) (550 nm) � 4,7 � 10�5 m � 0,047 mm ou aproximadamente igual a 120 mm. AVALIAR: a que ponto na figura de difração esse valor de b corresponde? Para descobrir, note que b � 66 rad é aproxima- damente igual a 21p. Este é um múltiplo ímpar de p, corres- pondente à forma (2m� 1)p encontrada na Equação 36.9 para a intensidade máxima. Logo, b � 66 rad corresponde a um ponto próximo do décimo máximo lateral (m � 10). Isso está bem além do intervalo na Figura 36.9a, que mostra apenas os máximos até m � 3. EXEMPLO 36.2 DIFRAÇÃO EM UMA FENDA SIMPLES: INTENSIDADE I Na experiência descrita no Exemplo 36.1 (Seção 36.2), a intensi- dade em um ponto no centro da tela é igual a I0. Qual é a intensidade em um ponto sobre a tela a uma distância de 3,0 mm do centro da figura de difração? SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema é semelhante ao Exemplo 36.2, a não ser pelo fato de que o valor da diferença de fase b no ponto em questão não é dado. Usamos geometria para determinar o ângulo u para nosso ponto e então usamos a Equação 36.7 para calcular a intensidade I (nossa variável-alvo). EXECUTAR: observando a Figura 36.5a, obtemos y � 3,0 mm e x � 6,0 m; logo, tan u � y/x � (3,0 � 10�3 m)/(6,0 m) � 5,0 � 10�4. Como esse valor é muito pequeno, os valores de tan u, sen u e u (em radianos) são todos aproximadamente os mesmos. Então, usando a Equação 36.7, obtemos pa sen u l = p 12,4 * 10-4 m2 15,0 * 10- 42 6,33 * 10-7 m = 0,60 I = I0 a sen 0,60 0,60 b 2 = 0,89I0 AVALIAR: examinando a Figura 36.9a, vemos que uma inten- sidade assim tão grande pode ocorrer apenas dentro da região da intensidade máxima central. Isso confere; pelo Exemplo 36.1, a primeira intensidade mínima (m � 1 na Figura 36.9a) está a (32 mm)/2 � 16 mm do centro da figura; portanto, o ponto em questão aqui em y � 3 mm está, realmente, dentro do máximo central. EXEMPLO 36.3 DIFRAÇÃO EM UMA FENDA SIMPLES: INTENSIDADE II Book_SEARS_Vol4.indb 132 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 133 TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 36.3 Uma radiação eletromagnética coerente é enviada por uma fenda de 0,0100 mm de largura. Em qual dos seguintes comprimentos de onda não haverá pontos na figura de difração em que a intensidade é zero? (i) Luz azul com comprimento de onda 500 nm; (ii) luz infravermelha com comprimento de onda 10,6 μm; (iii) micro-ondas de comprimento de onda 1,0 mm; (iv) luz ultravioleta com comprimento deonda 50,0 nm. \ 36.4 FENDAS MÚLTIPLAS Nas seções 35.2 e 35.3, analisamos a interferência entre duas fontes puntiformes ou da luz proveniente de duas fendas estreitas; naquela análise, desprezamos os efeitos produzidos pelo fato de a largura de cada fenda ser finita (ou seja, diferente de zero). Nas seções 36.2 e 36.3, analisamos os efeitos de difração que ocorrem quando a luz passa por uma fenda única com largura finita. Efeitos adicionais importantes ocorrem quando consideramos duas fendas com larguras finitas ou quando existem diversas fendas estreitas. Duas fendas com larguras finitas Vamos examinar novamente o problema da fenda dupla considerando um caso mais realista, no qual as duas fendas apresentam larguras finitas. Quando as fendas são estreitas em comparação com o comprimento de onda, podemos supor que a luz proveniente de cada fenda se espalha uniformemente em todas as direções do lado direito da fenda. Utilizamos essa hipótese na Seção 35.3 para calcular a figura de interferência descrita pela Equação 35.10 ou 35.15, que consistia em uma série de máximos com intensidade igual, separados por distâncias idênticas. Contudo, quando as fendas possuem larguras finitas, os picos da figura de interferência pro- duzida em uma fenda dupla são modulados pela figura de difração característica da largura de cada fenda. A Figura 36.12a mostra a intensidade em uma figura de difração para uma fenda única de largura a. Os mínimos da difração são indicados pela notação dos números inteiros md � 1, 2,... (o índice “d” indica “difração”). A Figura 36.12b apresenta a figura formada pelos raios provenientes de duas fendas estreitas separadas por uma distância d igual a quatro vezes a largura a da fenda indicada na Figura 36.12a; ou seja, d � 4a. Os máximos da interferência são indicados pelo número inteiro mi � 0, 1, 2,... (o índice “i” indica “interferência”). Note que o espaçamento entre os dois primeiros mínimos adjacentes ao centro da figura de difração da fenda única é quatro vezes maior que no caso da figura de interferência da fenda dupla. Suponha agora que a largura dessas duas fendas seja aumentada até atingir o mesmo valor da largura a da fenda única indicada na Figura 36.12a. A Figura 36.12c mostra a configuração formada pelas duas fendas de largura a separadas por uma distância (entre seus centros) d � 4a. O efeito da largura finita das fendas consiste em fazer a superposição dos efeitos das duas figuras anteriores, ou seja, as intensidades são multiplicadas em cada ponto. Os picos da interferência da fenda dupla continuam nas mesmas posições anteriores; contudo, suas intensidades são moduladas pela intensidade da difração na fenda única. A expressão para a intensidade na Figura 36.12c é proporcional ao produto da intensidade na experiência da fenda dupla, dada pela Equação 35.10 multiplicada pela Equação 36.5: I = I0 cos2 f 2 c sen 1b>22 b>2 d 2 (duas fendas de largura finita) (36.12) onde, como anteriormente, f = 2pd l sen u b = 2pa l sen u Figura 36.12 Encontrando as intensidades na figura de difração de duas fendas de largura finita. Intensidade calculada “Envoltório” da função de intensidade Para d = 4a, todos os máximos com número de ordem múltiplo de quatro (mi = {4, {8, ...) nos lados estão ausentes. u I0 u mi = -8 mi = -4 0 mi = 4 mi = 8 I0 I 0 (a) Figura de difração para uma fenda única de largura a md = -2 md = -1 md = 1 md = 2 (b) Figura de interferência para duas fendas estreitas separadas por uma distância d igual a quatro vezes a largura da fenda indicada em (a) I0 (c) Cálculo da figura de intensidade para duas fendas de largura a e distância d = 4a, incluindo os efeitos de interferência e difração (d) Fotografia da figura de difração calculada em (c) u 0 Book_SEARS_Vol4.indb 133 16/12/15 5:43 PM 134 Física IV Note, na Figura 36.12c, que estão ausentes em ambos os lados da figura todos os máximos de interferência cujas ordens sejam múltiplos de quatro, pois esses máxi- mos (mi � 4, 8,...) coincidem com os mínimos da difração (md � 1, 2,...). Isso também pode ser visto na Figura 36.12d, que é uma fotografia da figura real para d � 4a. Você deve se convencer de que haverá máximos “ausentes” toda vez que d for um múltiplo inteiro de a. As figuras 36.12c e 36.12d mostram que, à medida que você se afasta da franja brilhante central da figura formada pelas duas fendas, a intensidade dos máximos vai diminuindo. Isso resulta da modulação imposta pela figura de difração em uma fenda única indicada na Figura 36.12a; matematicamente, a diminuição de intensidade decorre do fator (b/2)2 no denominador da Equação 36.12. Essa dimi- nuição de intensidade também pode ser vista na Figura 35.6 (Seção 35.2). Quanto mais estreita for a fenda, mais largo será o máximo central da figura de difração da fenda única (como mostrado na Figura 36.10) e mais lenta será a diminuição de intensidade de um máximo de interferência para o máximo seguinte. A configuração mostrada na Figura 36.12d deve ser chamada figura de interferên- cia ou figura de difração? Na verdade, os dois fenômenos ocorrem simultaneamente, visto que há superposição das ondas vindas de diversas partes das duas fendas. Diversas fendas Agora vamos considerar figuras produzidas por diversas fendas estreitas. Con- forme veremos, sistemas com fendas estreitas encontram uma extraordinária apli- cação prática na espectroscopia — a determinação dos comprimentos de onda particulares da luz proveniente de uma fonte. Suponha que a largura de cada fenda seja menor que o comprimento de onda, de modo que a frente de onda difratada se espalhe de modo praticamente uniforme. A Figura 36.13 mostra uma rede com oito fendas estreitas que apresentam a mesma distância d entre duas fendas consecutivas. Ocorre interferência construtiva para os raios que formam um ângulo com a normal que chegam ao ponto P com uma diferença de caminho entre duas fendas adjacentes igual a um número inteiro de comprimentos de onda: d sen u � ml (m � 0, 1, 2,...) Isso significa que o reforço acontece quando a diferença de fase f no ponto P para a luz proveniente de duas fendas adjacentes é um múltiplo inteiro de 2p. Ou seja, o máximo da figura ocorre na mesma posição no caso da experiência de duas fendas com o mesmo espaçamento. Porém, o que ocorre entre os máximos é diferente com fendas múltiplas. Na figura de interferência produzida em uma fenda dupla, existe apenas um mínimo entre dois máximos consecutivos, correspondente aos ângulos para os quais a diferença de fase entre as ondas provenientes das duas fendas for igual a p, 3p, 5p e assim por diante. Na figura de interferência formada por oito fendas também existem mínimos entre dois máximos consecutivos porque a luz proveniente de fendas adjacentes pode se cancelar aos pares, como mostrado no diagrama de fasores da Figura 36.14a. Mas esses não são os únicos mínimos da figura com oito fendas. Por exemplo, quando a diferença de fase f entre duas fendas adjacentes é igual a p/4, o diagrama de fasores é igual ao mostrado na Figura 36.14b; o fasor total (resultante) é igual a zero e a intensidade também é igual a zero. Quando f � p/2, obtemos o diagrama de fasores da Figura 36.14c e, mais uma vez, o fasor total e a intensidade são iguais a zero. Generalizando, a intensidade é igual a zero no caso de oito fendas sempre que f é um múltiplo inteiro de p/4, exceto quando f for um múltiplo inteiro de 2p. Logo, existem sete mínimos para cada máximo. Figura 36.13 Difração em fendas múltiplas. Aqui usamos uma lente convergente para obter uma difração de Fraunhofer sobre uma tela próxima, como no caso da Figura 36.4d. O máximo ocorre quando a diferença de caminho entre duas fendasadjacentes é um múltiplo inteiro de comprimentos de onda: d senu = ml. P d senu d u u u Book_SEARS_Vol4.indb 134 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 135 Figura 36.14 Diagramas de fasores para a luz que passa através de oito fendas estreitas. Os máximos ocorrem quando a diferença de fase é f � 0, 2p, 4p,... Entre os máximos em f � 0 e f � 2p existem sete mínimos, correspondentes a f � p/4, p/2, 3p/4, p, 5p/4, 3p/2 e 7p/4. Você é capaz de desenhar diagramas de fasores para os outros mínimos? (a) Diagrama de fasores para f = p f = p = 180° (b) Diagrama de fasores para f = f = p 4 p 4 (c) Diagrama de fasores para f = p 2 f = = 45° = 90°p 2 Cálculos detalhados mostram que a figura de interferência para oito fendas se comporta como indica a Figura 36.15b. Os máximos maiores, chamados máxi- mos principais, estão localizados nas mesmas posições da figura de interferência em fenda dupla, como se vê na Figura 36.15a, mas são muito mais estreitos. Se a diferença de fase f entre duas fendas adjacentes for ligeiramente diferente de um múltiplo de 2p, as ondas provenientes das fendas 1 e 2 estarão ligeiramente fora de fase; contudo, a diferença de fase entre as fendas 1 e 3 será maior, aquela entre as fendas 1 e 4 será maior ainda e assim por diante. Isso produz um cancelamento parcial nos ângulos que diferem em poucos graus da condição do máximo, forne- cendo os máximos estreitos mostrados na Figura 36.15b. Obtemos máximos ainda mais estreitos quando usamos 16 fendas (Figura 36.15c). Convidamos você a demonstrar que, no caso de N fendas, existem (N � 1) mínimos entre cada par de máximos principais e que ocorre um mínimo quando f é um múltiplo inteiro de 2p/N (exceto quando f é um múltiplo inteiro de 2p, que corresponde a um máximo principal). Existem máximos secundários entre esses mínimos, que se tornam cada vez menores em comparação com os máximos principais à medida que N aumenta. Quanto maior o valor de N, mais estreitos os máximos principais se tornam. Do ponto de vista da energia, concluímos que a energia da figura toda é proporcional a N. A altura de cada máximo principal é proporcional a N2, portanto, pela lei da conservação da energia, concluímos que a largura de cada máximo principal deve ser proporcional a 1/N. Na próxima seção, veremos por que os detalhes das figuras com fendas múltiplas possuem uma im- portância prática tão grande. TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 36.4 Suponha que duas fendas, ambas com largura a, estejam separadas por uma distância d � 2,5a. Existem máximos ausentes na figura de interferência produzida por essas fendas? Caso existam, quais estão ausentes? Caso contrário, por que eles não existem? \ 36.5 A REDE DE DIFRAÇÃO Acabamos de verificar que, aumentando o número de fendas em uma experiência de interferência (enquanto mantemos o espaçamento entre as fendas constante), ob- temos uma figura de interferência na qual os máximos estão nas mesmas posições, porém são mais agudos e mais estreitos que no caso da experiência de interferência em fenda dupla. Visto que esses máximos são tão agudos, suas posições angulares e, portanto, os comprimentos de onda podem ser determinados com elevada precisão. Veremos que esse efeito tem importantes aplicações. Denomina-se rede de difração um conjunto que contém um número grande de fendas paralelas, todas com a mesma largura a e a mesma distância d entre os centros de duas fendas consecutivas. A primeira rede de difração foi construída por Fraunhofer, usando fios finos. As redes podem ser feitas com uma ponta de Figura 36.15 Figuras de interferência para N fendas muito estreitas igualmente espaçadas. (a) Duas fendas. (b) Oito fendas. (c) Dezesseis fendas. As escalas verticais são diferentes para cada gráfico. I0 é a intensidade máxima para a difração em uma fenda única, e a intensidade máxima para N fendas é igual a N2I0. A largura de cada pico é proporcional a 1/N. (a) N = 2: duas fendas produzem um mínimo entre dois máximos adjacentes. (b) N = 8: oito fendas produzem sete mínimos entre dois máximos adjacentes mais agudos e mais estreitos nos mesmos lugares. (c) N = 16: com 16 fendas, os máximos são ainda mais agudos e estreitos, com mais mínimos entre dois máximos adjacentes. m = -1 m = 0 m = 1 64I0 I u m = -1 m = 0 m = 1 256I 0 I u 4I0 I m = -1 m = 0 m = 1 u Book_SEARS_Vol4.indb 135 16/12/15 5:43 PM 136 Física IV diamante para gerar sulcos igualmente espaçados sobre uma superfície de vidro ou de metal, ou então fazendo-se a redução de uma fotografia de um conjunto de faixas claras e escuras impressas sobre uma folha de papel. Para uma rede de difração, o termo fenda geralmente pode ser substituído por ranhura ou linha. Na Figura 36.16, GG' representa a seção reta de uma rede de transmissão, as fendas são perpendiculares ao plano da página e a figura de interferência é formada pela luz transmitida através das fendas. O diagrama mostra apenas seis fendas; uma rede real pode conter milhares de ranhuras. A distância d entre os centros de duas fendas consecutivas denomina-se espaçamento da rede. Um feixe plano de luz monocromática incide perpendicularmente da esquerda para a direita sobre a rede. Consideramos a condição de campo distante (condição de Fraunhofer), ou seja, a tela está situada a uma distância suficientemente grande para que os raios que emergem da rede e atingem um ponto da tela possam ser considerados paralelos. Verificamos na Seção 36.4 que os máximos principais na experiência com fen- das múltiplas estão localizados nas mesmas direções dos máximos na experiência da fenda dupla. Essas direções são obtidas com a condição de que a diferença de ca- minho entre duas fendas adjacentes seja igual a um número inteiro de comprimentos de onda. Portanto, as posições dos máximos são novamente obtidas pela relação d senu = ml 1m = 0, {1, {2, c2 (36.13)Distância entre fendas Comprimento de ondaMáximos de intensidade, fendas múltiplas: Ângulo da linha do centro da rede de fendas até região brilhante de ordem m na tela A Figura 36.15 indica as intensidades a partir de 2, 8 e 16 fendas, mostrando o progressivo estreitamento dos máximos à medida que o número de fendas aumenta. Quando uma rede com centenas ou milhares de fendas é iluminada por um feixe de raios paralelos de luz monocromática, a figura obtida é constituída por uma série de linhas agudas em ângulos determinados pela Equação 36.13. As linhas m � 1 são chamadas de linhas de primeira ordem, as linhas m � 2 são chamadas de linhas de segunda ordem e assim por diante. Quando a fenda é iluminada com luz branca com uma distribuição contínua de comprimentos de onda, cada valor de m corresponde a um espectro contínuo na figura. O ângulo para cada cor é deter- minado pela Equação 36.13; para um dado valor de m, os comprimentos de onda mais longos (na extremidade vermelha do espectro) são encontrados em ângulos maiores (ou seja, apresentam maior desvio da direção do feixe incidente) que os ângulos dos comprimentos de onda mais curtos da extremidade violeta do espectro. De acordo com a Equação 36.13, os senos dos ângulos de desvio dos máximos são proporcionais à razão l/d. Para que ocorra um desvio substancial, o espaça- mento d da rede deve ter a mesma ordem de grandeza do comprimento de onda l. Redes destinadas ao uso da luz visível (l entre 400 e 700 nm) costumam ter cerca de 1.000 fendas por milímetro; o valor de d é dado pelo inverso do número de fen- das por unidade de comprimento; portanto, d é da ordem de 11000 mm � 1.000 nm. Em uma rede de reflexão, o conjunto de fendas igualmente espaçadas represen- tadas na Figura 36.16 é substituído por um conjunto de sulcos ou saliências sobre uma tela refletora. A luz refletidaforma máximos em ângulos em que a diferença de fase para ondas refletidas em dois sulcos ou saliências adjacentes é igual a um múltiplo inteiro de 2p. Quando uma luz de comprimento de onda l incide per- pendicularmente sobre uma rede de reflexão com um espaçamento d entre sulcos ou saliências adjacentes, os ângulos de reflexão em que ocorrem os máximos são dados pela Equação 36.13. Os reflexos multicoloridos que observamos na superfície de um DVD são efeito da rede de reflexão (Figura 36.17). Os “sulcos” são pequenas reentrâncias com profundidade da ordem de 0,12 mm sobre a superfície do disco, com um espaça- mento radial uniforme de 0,74 mm � 740 nm. A informação é codificada no DVD mediante a variação do comprimento das reentrâncias. O aspecto de rede de reflexão do disco é apenas um efeito paralelo esteticamente agradável. Figura 36.16 Um segmento de uma rede de difração de transmissão. A distância entre os centros de fendas adjacentes é d. G d d d d d G' u Figura 36.17 Sulcos microscópicos na superfície desse disco de DVD agem como uma rede de reflexão, decompondo a luz branca em suas cores componentes (que não podem ser vistas nesta imagem). Book_SEARS_Vol4.indb 136 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 137 Os comprimentos de onda das extremidades do espectro visível são aproximadamente 380 nm (violeta) e 750 nm (vermelho). (a) Calcule a largura angular do espectro visível de primeira ordem produzido por uma rede plana com 600 fendas por milímetro quando uma luz branca incide perpendicularmente sobre a rede. (b) Os espectros de primeira e segunda ordens se sobrepõem? E os espectros de segunda e terceira ordens? Suas respostas depen- dem do espaçamento da rede? SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR: precisamos determinar os ângulos espalhados pelos espectros de primeira, segunda e terceira or- dens, que correspondem a m � 1, 2 e 3 na Equação 36.13. EXECUTAR: (a) o espaçamento d da rede é d = 1 600 fendas>mm = 1,67 * 10-6 m De acordo com a Equação 36.13 para u: u = arcsen ml d Então, para m � 1, os desvios angulares uv1 e ur1 para a luz vio- leta e vermelha, respectivamente, são uv1 = arcsen a 380 * 10-9 m 1,67 * 10-6 m b = 13,2° ur1 = arcsen a 750 * 10-9 m 1,67 * 10-6 m b = 26,7° Ou seja, o espectro visível de primeira ordem aparece com ângulos de deflexão de uv1 � 13,2° (violeta) até ur1 � 26,7° (vermelho). (b) Com m � 2 e m � 3, nossa equação u � arcsen(ml/d) da luz violeta de 380 nm resulta em uv2 = arcsen a 2 1380 * 10-9 m2 1,67 * 10-6 m b = 27,1° uv3 = arcsen a 3 1380 * 10-9 m2 1,67 * 10-6 m b = 43,0° Para a luz vermelha de 750 nm, essa mesma equação resulta em ur2 = arcsen a 2 1750 * 10-9 m2 1,67 * 10-6 m b = 63,9° ur3 = arcsen a 3 1750 * 10-9 m2 1,67 * 10-6 m b = arcsen 11,352 = indefinido Logo, o espectro de segunda ordem se estende de 27,1° até 63,9° e o espectro de terceira ordem se estende de 43,0° a 90° (o maior valor possível de u). O valor indefinido de ur3 significa que o espectro de terceira ordem atinge u � 90° � arcsen(1) em um comprimento de onda mais curto que 750 nm; você poderá de- monstrar que isso acontece para l � 557 nm. Logo, o espectro de primeira ordem (de 13,2° a 26,7°) não se sobrepõe com o espectro de segunda ordem, mas os espectros de segunda e terceira ordens se sobrepõem. Você poderá se convencer de que isso é verdade para qualquer valor do espaçamento de rede d. AVALIAR: o motivo fundamental por que a primeira e a segunda ordens do espectro visível não se sobrepõem é que o olho humano é sensível apenas a um intervalo pequeno de comprimentos de onda. Será que você consegue mostrar que, se o olho pudesse detectar comprimentos de onda de 380 nm a 900 nm (no intervalo próximo ao infravermelho), a primeira e a segunda ordens iriam se sobrepor? EXEMPLO 36.4 LARGURA DO ESPECTRO DE UMA REDE Espectrômetro de rede As redes de difração são amplamente empregadas para medir o espectro da luz emitida por uma fonte, uma técnica chamada de espectroscopia ou espectrometria. A luz incidente sobre uma rede de difração com espaçamento conhecido sofre dis- persão e forma um espectro. Os ângulos dos desvios são então medidos e a Equação 36.13 serve para calcular os comprimentos de onda. Usando uma rede com muitas fendas, são obtidos máximos muito agudos, e os desvios angulares (e, portanto, os comprimentos de onda) podem ser determinados com precisão. Uma importante aplicação dessa técnica é usada na astronomia. À medida que a luz gerada dentro do Sol passa por sua atmosfera, certos comprimentos de onda são absorvidos seletivamente. O resultado é que o espectro de luz solar produzido por uma rede de difração apresenta linhas de absorção escuras (Figura 36.18). Expe- riências de laboratório mostram que diferentes tipos de átomos e íons absorvem luz de diferentes comprimentos de onda. Comparando esses resultados de laboratório com os comprimentos de onda de linhas de absorção no espectro da luz solar, os astrônomos podem deduzir a composição química da atmosfera do Sol. A mesma técnica é usada para fazer análises químicas de galáxias que estão a milhões de anos-luz de distância. A Figura 36.19 mostra o projeto de um espectrômetro de rede usado na astrono- mia. Nessa figura, é usada uma rede de transmissão; porém, em outros dispositivos, Book_SEARS_Vol4.indb 137 16/12/15 5:43 PM 138 Física IV costuma-se usar redes de reflexão. Nos projetos mais antigos, usava-se um prisma em vez de uma rede, e formava-se um espectro por dispersão (veja a Seção 33.4) em vez de por difração. No entanto, não existe nenhuma relação simples entre com- primento de onda e ângulo de desvio em um prisma. Os prismas absorvem parte da luz que passa por eles e são menos eficazes para lidar com muitos comprimentos de onda não visíveis que são importantes na astronomia. Por essas e outras razões, as redes são preferidas em aplicações que exigem precisão. A luz do telescópio é enviada por cabos de fibra ótica (não mostrados) e emerge aqui. 1 A luz passa pela rede de difração.3 As lentes dirigem a luz difratada para um segundo espelho côncavo. 4 O espelho côncavo reflete a luz para um foco. 5 Um detector eletrônico (como o de uma câmera digital) registra o espectro. 6 A luz incide no espelho côncavo e emerge como um feixe de raios paralelos. 2 Figura 36.19 Diagrama de um espectrômetro baseado em rede de difração para uso em astronomia. Note que a luz não incide na rede de forma perpendicular à sua superfície; consequentemente, as intensidades máximas são dadas por uma expressão pouco diferente da Equação 36.13. Resolução de um espectrômetro de rede Na espectroscopia, é importante separar dois comprimentos de onda ligeira- mente diferentes. A diferença mínima entre dois comprimentos de onda �l que podem ser distinguidos por um espectrômetro é descrita pelo poder de resolução cromático R, definido por R = l �l (poder de resolução cromático) (36.14) BIO Aplicação Detectando o DNA com difração As redes de difração são usadas em uma parte comum do equipamento de laboratório conhecido como espectrofotômetro. A luz que atinge uma rede de difração é dispersa por seus comprimentos de onda componentes. Uma fenda é usada para bloquear todos, menos uma faixa estreita de comprimentos de onda, produzindo um feixe de luz quase perfeitamente monocromático. O instrumento, então, mede quanto dessa luz é absorvido por uma solução de moléculas biológicas. Por exemplo, o tubo de ensaio mostrado aqui contém uma solução de DNA, que é transparente à luz visível, mas absorve fortemente a luz ultravioleta com um comprimento de onda de exatamente 260 nm. Portanto, iluminando a amostra com luza 260 nm e medindo a quantidade absorvida, podemos determinar a concentração de DNA na solução. Figura 36.18 (a) Fotografia do Sol com luz visível. (b) A luz solar se dispersa em um espectro por uma rede de difração. Comprimentos de onda específicos são absorvidos à medida que a luz solar passa pela atmosfera do Sol, deixando linhas escuras no espectro. (a) (b) Book_SEARS_Vol4.indb 138 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 139 Como exemplo, quando átomos de sódio são aquecidos, eles emitem intensa- mente nos comprimentos de onda amarelos de 589,0 nm e 589,59 nm. Um espec- trômetro que mal consegue distinguir essas duas linhas no espectro da luz de sódio (chamado dupleto do sódio) tem um poder de resolução cromática R � (589,0 nm)/ (0,59 nm) � 1.000. (Você pode ver esses comprimentos de onda quando ferve água em um fogão a gás. Se a água ferve e derrama sobre as chamas, o sódio dissolvido do sal de cozinha emite um jato de luz amarela.) Podemos deduzir uma expressão para o poder de resolução de uma rede de difra- ção usada em um espectrômetro. Dois comprimentos de onda diferentes fornecem máximos de difração para dois ângulos ligeiramente diferentes. Como um critério razoável (embora arbitrário), vamos supor que seja possível separar dois picos quando o máximo de um coincide com o primeiro mínimo do outro. Conforme o que estudamos na Seção 36.4, o máximo de ordem m ocorre quando a diferença de fase para fendas adjacentes é dada por f � 2pm. O primeiro mínimo junto a esse máximo ocorre quando f � 2pm � 2p/N, onde N é o número de fendas. A diferença de fase também é dada por f � (2pd sen u)/l, de modo que o intervalo angular du correspondente a um pequeno incremento df do deslocamento de fase pode ser obtido pela diferencial desta equação: df = 2pd cos u du l Quando df � 2p/N, isso corresponde a um intervalo angular du entre um má- ximo e o primeiro mínimo adjacente. Portanto, du é dado por 2p N = 2pd cos u du l ou d cos u du = l N ATENÇÃO Cuidado com os diferente usos do símbolo d Não confunda o espaçamento d com o símbolo da diferencial “d” existente no intervalo angular du e no incremento df do deslocamento de fase! Agora é preciso calcular o espaçamento angular du para dois comprimentos de onda diferentes. As posições desses máximos são dadas por d sen u � ml; logo, a diferencial dessa equação fornece d cos u du � m dl De acordo com nosso critério, o limite de resolução é atingido quando esses dois espaçamentos angulares são iguais. Igualando as duas expressões obtidas para (d cos u du), obtemos l N = m dl e l dl = Nm Se �l é pequeno, podemos substituir dl por �l, e o poder de resolução R é dado simplesmente por R = l �l = Nm (36.15) Quanto maior for o número de fendas N, melhor será a resolução; além disso, quanto maior for o número de ordem m do máximo da figura da difração, melhor será a resolução. TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 36.5 Que número mínimo de fendas seria ne- cessário em uma rede para resolver o dupleto do sódio na quarta ordem? (i) 250; (ii) 400; (iii) 1.000; (iv) 4.000. \ Book_SEARS_Vol4.indb 139 16/12/15 5:43 PM 140 Física IV 36.6 DIFRAÇÃO DE RAIOS X Os raios X foram descobertos em 1895 por Wilhelm Röntgen (1845-1923), e as experiências iniciais sugeriram que se tratava de ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda da ordem de 10�10 m. Aproximadamente na mesma época, surgiu a ideia de que, em um sólido cristalino, os átomos são dispostos em um ar- ranjo regular com espaçamentos entre os átomos adjacentes também com ordem de grandeza de 10�10 m. Combinando essas duas ideias, Max von Laue (1879-1960) propôs, em 1912, que um cristal poderia servir como uma espécie de rede de difra- ção tridimensional para raios X. Isto é, um feixe de raios X poderia ser espalhado (ou seja, absorvido e reemitido) pelos átomos individuais de um cristal e as ondas espalhadas poderiam interferir de modo análogo ao das ondas provenientes de uma rede de difração. As primeiras experiências de difração de raios X foram realizadas em 1912 por Friedrich, Knipping e Von Laue usando o dispositivo experimental esquematizado na Figura 36.20a. Os raios X espalhados formaram uma figura de interferência que eles gravaram em uma placa fotográfica. A Figura 36.20b é uma fotografia dessa figura. Tais experiências mostraram que os raios X são ondas ou, pelo me- nos, possuem propriedades ondulatórias e também que os átomos de um cristal são agrupados em uma rede cristalina regular (Figura 36.21). Desde aquela época, a difração de raios X se tornou uma ferramenta valiosa, tanto para a medida do comprimento de onda dos raios X quanto para o estudo da estrutura cristalina e de moléculas complexas. Figura 36.20 (a) Uma experiência de difração de raios X. (b) Figura de difração (ou figura de difração de Laue) formada direcionando-se um feixe de raios X sobre uma pequena seção de um cristal de quartzo. Alguns raios X são espalhados ao passar pelo cristal e formam uma figura de interferência que impressiona o filme. (A maioria dos raios X passa em linha reta pelo cristal.) (a) Dispositivo básico de difração de raios X (b) Figura de difração de Laue para uma seção fina de cristal de quartzo Feixe de raios X Tubo de raio X Tela de chumbo Cristal fino Placa fotográfica Figura 36.21 Modelo do arranjo dos íons em um cristal de NaCl (sal de cozinha). O espaçamento de átomos adjacentes é 0,282 nm. (As nuvens de elétrons dos átomos se superpõem ligeiramente.) Íons de cloro Íons de sódio Book_SEARS_Vol4.indb 140 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 141 Um modelo simples de difração de raios X Para entender melhor a difração de raios X, consideraremos inicialmente uma situação de espalhamento bidimensional, como mostrado na Figura 36.22a, na qual uma onda plana incide sobre uma rede retangular de centros de espalhamento. Essa situação pode ser um tanque de ondas com uma rede formada por pequenos obstáculos ou raios X incidindo sobre uma rede de átomos. No caso de ondas eletromagnéticas, a onda induz um dipolo elétrico oscilante em cada átomo espa- lhador. Esses dipolos atuam como pequenas antenas, emitindo ondas espalhadas. A figura de interferência resultante é obtida pela superposição de todas essas ondas espalhadas. A situação é diferente do que ocorre em uma rede de difração, na qual as ondas provenientes das fendas são emitidas em fase (para uma onda plana com incidência normal). No caso presente, as ondas não estão todas em fase porque suas distâncias até a fonte são diferentes. Para determinar a figura de interferência, de- vemos considerar a diferença de caminho total para as ondas espalhadas, incluindo as distâncias entre a fonte e o átomo espalhador e entre ele e o observador. Como se pode observar na Figura 36.22b, os caminhos da fonte até o observador são os mesmos para todos os átomos espalhadores situados sobre a mesma linha quando o ângulo ua é igual ao ângulo ur. A radiação espalhada de linhas adjacentes estão também em fase quando a diferença de caminho entre duas linhas adjacentes é um número inteiro de comprimentos de onda. A Figura 36.22c mostra que essa dife- rença de caminho é igual a 2d sen u, onde u é o valor comum de ua e de ur. Portanto, as condições para que a radiação proveniente da linha inteira atinja o observador em fase são (1) o ângulo de incidência deve ser igual ao ângulo de espalhamento e (2) a diferença de caminho entre linhas adjacentes deve ser igual a ml, onde m é um número inteiro. Podemos expressar a segunda condição, chamada condição de Bragg em homenagem aos pioneiros da difração de raios X, sir William Bragg e seu filho Laurence Bragg, do seguinte modo: 2d senu = ml 1m = 1, 2, 3, c2 (36.16)Distância entre linhasadjacentes no conjunto Comprimento de ondaCondição de Bragg para interferência construtiva de um conjunto: Ângulo da linha a partir da superfície do conjunto até a região brilhante de ordem m na tela ATENÇÃO Espalhamento de um conjunto Na Equação 36.16, o ângulo u é medido a partir da superfície do cristal e não a partir da normal ao plano de uma linha de átomos ou ao plano da rede. Note também que a diferença de caminho na Equação 36.16 é igual a 2d sen u, e não d sen u como na Equação 36.13 para o caso de uma rede de difração. Figura 36.22 Um modelo bidimensional de espalhamento de um conjunto retangular. A distância entre os átomos adjacentes em uma linha horizontal é a; a distância entre linhas adjacentes é d. Note que os ângulos em (b) são medidos a partir da superfície do conjunto, não da sua normal. Espalhadores (por exemplo, átomos) Ondas planas incidentes (a) Espalhamento de ondas de uma rede retangular d a ua ur (b) Espalhamento de átomos adjacentes em uma mesma linha A interferência de ondas provenientes de átomos adjacentes da mesma linha é construtiva quando a cos ua = a cos ur, ou seja, quando o ângulo de incidência ua é igual ao ângulo de reflexão (espalhamento) ur. acosua acosur a uaur (c) Espalhamento de átomos em linhas adjacentes A interferência de átomos em linhas adjacentes é construtiva quando a diferença de caminho 2d sen u é igual a um número inteiro de comprimentos de onda, como na Equação 36.16. d d senu d senu u u Book_SEARS_Vol4.indb 141 16/12/15 5:43 PM 142 Física IV Nas direções nas quais a Equação 36.16 é satisfeita, observamos um forte má- ximo na figura de interferência. É possível descrever a interferência em termos de reflexões das ondas a partir dos átomos das linhas horizontais da Figura 36.22a. Uma forte reflexão (interferência construtiva) ocorre quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo de espalhamento e quando a Equação 36.16 é satisfeita. Como sen u nunca pode ser maior que 1, a Equação 36.16 diz que, para ter interferência construtiva, a expressão ml precisa ser menor que 2d e, assim, l precisa ser menor que 2d/m. Por exemplo, o valor de d em um cristal de NaCl (veja a Figura 36.21) é apenas 0,282 nm. Assim, para ter um máximo de ordem m presente na figura de difração, l precisa ser menor que 2(0,282 nm)/m; ou seja, l < 0,564 nm para m � 1, l < 0,282 nm para m � 2, l < 0,188 nm para m � 3 e assim por diante. Todos esses são comprimentos de onda de raios X (veja a Figura 32.4), e é esta a razão por que os raios X são usados para estudar a estrutura de cristais. Podemos estender essa discussão a uma rede tridimensional em que as ondas são espalhadas por planos em vez de linhas. A Figura 36.23 mostra dois conjuntos de planos paralelos que passam através de todos os átomos espalhadores. As ondas provenientes de todos os átomos espalhadores de um dado plano produzem inter- ferência construtiva quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo de espalha- mento. Também existe interferência construtiva entre os planos quando a Equação 36.16 é satisfeita, sendo d agora a distância entre planos adjacentes. Como existem muitos conjuntos de planos paralelos, também há muitos valores de d e muitos conjuntos de ângulos que fornecem interferência construtiva para a rede cristalina completa. Esse fenômeno é chamado de reflexão de Bragg. ATENÇÃO A reflexão de Bragg é, na verdade, interferência de Bragg Embora este- jamos empregando o termo reflexão, lembre-se de que se trata de um efeito de interferên- cia. De fato, a reflexão produzida por planos adjacentes é muito parecida com a reflexão em películas delgadas que dá origem aos efeitos de interferência em filmes finos (veja a Seção 35.4). Como se pode ver na Figura 36.20b, na difração com raios X existe um cance- lamento praticamente completo em quase todas as direções, exceto naquelas em que ocorre interferência construtiva e formam-se pontos extremamente brilhantes. Essa configuração geralmente é chamada de figura de difração de raios X, embora figura de interferência talvez fosse o termo mais apropriado. Podemos determinar o comprimento de onda dos raios X examinando a figura de difração de um cristal com estrutura conhecida e sabendo o valor do espaçamento entre os átomos, do mesmo modo como procedemos para determinar o compri- mento de onda da luz fazendo medidas com a figura de interferência produzida em fendas ou de redes de difração. (A distância entre os átomos de cristais simples com estrutura conhecida, como o cloreto de sódio, pode ser calculada a partir da densidade do cristal e do número de Avogadro.) Então, uma vez conhecido o com- primento do feixe de raios X, podemos usar a difração desses raios para investigar a estrutura cristalina e determinar as distâncias entre os átomos em cristais com estrutura desconhecida. A difração de raios X é, de longe, a ferramenta mais importante para a investiga- ção da estrutura cristalina dos sólidos. A difração de raios X também desempenha um papel importante no estudo da estrutura de líquidos e de moléculas orgânicas. Ela vem sendo uma das técnicas experimentais mais importantes para a determina- ção da estrutura com hélice dupla do DNA (Figura 36.24) e resultantes progressos na genética molecular. Figura 36.23 Um cristal cúbico e duas famílias diferentes de planos cristalinos. Também existem três conjuntos de planos paralelos às faces do cubo separados pela distância a. a a a (a) O espaçamento dos planos é d = a>!2. (b) O espaçamento dos planos é d = a>!3. Figura 36.24 A cientista britânica Rosalind Franklin fez esta imagem pioneira com difração de raios X do DNA em 1953. As faixas escuras dispostas em cruz forneceram a primeira evidência da estrutura helicoidal da molécula de DNA. Fazemos um feixe de raios X de comprimento de onda igual a 0,154 nm incidir sobre certos planos de um cristal de silício. À medida que se aumenta o ângulo de incidência a partir de zero, você encontra o primeiro máximo forte de interferência entre ondas provenientes de planos do cristal quando o feixe forma com esses planos um ângulo de 34,5°. (a) Qual é a distância entre esses planos? (b) É possível encontrar outros máximos de interferência para ondas provenientes desses planos para ângulos mais elevados? EXEMPLO 36.5 DIFRAÇÃO DE RAIOS X (Continua) Book_SEARS_Vol4.indb 142 16/12/15 5:43 PM Capítulo 36 — Difração 143 TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 36.6 Você está fazendo uma experiência com difração de raios X em um cristal em que os planos atômicos estão a 0,200 nm de distância. Você está usando raios X de comprimento de onda igual a 0,0900 nm. Qual é o máximo de mais alta ordem presente na figura de difração? (i) Terceira; (ii) quarta; (iii) quinta; (iv) sexta; (v) sétima. \ 36.7 ORIFÍCIOS CIRCULARES E PODER DE RESOLUÇÃO Estudamos em detalhes as figuras de difração formadas por fendas longas e estreitas e por conjuntos de fendas. No entanto, qualquer que seja a forma da abertura, ocorre formação de uma figura de difração. A figura de difração formada por uma abertura circular é um caso de interesse especial, porque esse fenômeno desempenha um papel muito importante no estudo do limite de resolução de um instrumento ótico. Em princípio, podemos determinar a intensidade em qualquer ponto P da figura de difração dividindo a área da abertura em pequenos elemen- tos de área; determinamos a amplitude e a fase da onda resultante no ponto P e a seguir integramos sobre a área da abertura para encontrar a amplitude resultante e a intensidade no ponto P. Contudo, na prática a integração não pode ser feita a partir de funções elementares. Vamos apenas descrever a figura de difração e citar alguns valores relevantes. A figura de difração formada por uma abertura circular
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