Aula 2 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM separáveis

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APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM – EQUAÇÕES SEPARÁVEIS 
Problemas de crescimento e decaimento 
Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a crescimento ou decaimento. Admitindo que 
dt
dN
, a taxa de variação da quantidade de substância em relação ao tempo, seja proporcional à quantidade 
de substância presente, então 
Nk
dt
dN
.
 ou 
0.  Nk
dt
dN
, onde k é a constante de proporcionalidade. 
Exemplo 1: Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional a quantidade presente. Se existem 
inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa original, 
determine: 
a) A expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t. 
b) A massa de material após quatro horas. 
c) O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original. 
 
 
Problemas de temperatura 
A lei do resfriamento de Newton, aplicável igualmente ao aquecimento, afirma que a taxa de variação, no 
tempo, da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio 
circundante. Sejam T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio circundante. Então, a taxa de 
variação da temperatura em relação ao tempo é 
dt
dT
 e a lei de resfriamento de Newton pode assim ser 
formulada: 
)( mTTk
dt
dT

 ou 
mkTkT
dt
dT

 
Onde 
k
 é uma constante positiva de proporcionalidade. 
Exemplo 2: Uma barra de metal à temperatura de 1000F é colocada em um local à temperatura constante 
de 00F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 500F, determine: 
a) O tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 250F. 
b) A temperatura da barra após 10 minutos. 
 
 
Exercício 
Um corpo a temperatura de 50 0F é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100 0F. Se após 5 
minutos, a temperatura do corpo é de 60 0F, determine: 
a) O tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75 0F. 
b) A temperatura do corpo após 20 minutos.