Lista de Exercícios 01 Revisão

Prévia do material em texto

Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia Mecânica 
Disciplina de Sistemas de Controle 
Prof. Rafael Sartori 
Lista de Exercícios Revisão 
 
 
_______________________________________________________________________________________________ 
1 – O sistema de controle de posicionamento de uma plataforma é governado pelas seguintes equações: 
𝑑𝑑2𝑝𝑝(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
+ 2𝑑𝑑𝑝𝑝(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 4𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 𝜃𝜃(𝑡𝑡) 
𝑣𝑣1(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟(𝑡𝑡) − 𝑝𝑝(𝑡𝑡) 
𝑑𝑑𝜃𝜃(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 0,6𝑣𝑣2(𝑡𝑡) 
𝑣𝑣2(𝑡𝑡) = 7𝑣𝑣1(𝑡𝑡) 
As variáveis envolvidas são as seguintes: 
r(t) – posição desejada da plataforma; 
p(t) – posição real da plataforma; 
v1(t) – sinal de entrada do amplificador; 
v2(t) – sinal de saída do amplificador; 
θ(t) – posição do eixo do motor. 
a) Determine o diagrama de blocos do sistema. 
b) Determine a função de transferência P(s)/R(s). 
𝑃𝑃(𝑠𝑠)
𝑅𝑅(𝑠𝑠) = 4,2𝑠𝑠3 + 2𝑠𝑠2 + 4𝑠𝑠 + 4,2 
2 – A figura abaixo representa um sistema de tração de uma locomotiva diesel-elétrica. A locomotiva possui um 
conjunto de motores elétricos localizados em cada eixo. A velocidade da locomotiva é igual as velocidades dos motores 
elétricos de tração. A alimentação dos motores de tração é fornecida por um gerador de corrente contínua (CC). A 
velocidade do motor de tração é ajustada pela variação da tensão do gerador CC. A tensão do gerador é ajustada 
através do controle da tensão aplicada no campo do gerador. O motor diesel é utilizado para fornecer potência 
mecânica ao gerador CC e em condições normais a velocidade do motor diesel é mantida constante. A velocidade de 
referência é ajustada por um potenciômetro. O erro entre a velocidade de referência e a velocidade medida no motor 
de tração, é amplificado e fornecido na alimentação do campo do gerador CC. Determine o diagrama de blocos 
completo e a função de transferência ωo(s)/ωref(s). 
Equações do sistema de tração de uma locomotiva diesel-elétrica 
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡) 
𝑣𝑣𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾(𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡) − 𝐾𝐾𝑝𝑝𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡)) 
𝐿𝐿𝑟𝑟
𝑑𝑑𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
+ 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣𝑟𝑟(𝑡𝑡) 
𝑣𝑣𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝑔𝑔𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑡𝑡) (𝐿𝐿𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝑔𝑔)𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + �𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝑅𝑅𝑔𝑔�𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣𝑔𝑔(𝑡𝑡) − 𝐾𝐾𝑏𝑏𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡) 
𝑇𝑇𝑟𝑟𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡) 
 
Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia Mecânica 
Disciplina de Sistemas de Controle 
Prof. Rafael Sartori 
Lista de Exercícios Revisão 
 
 𝑇𝑇𝑟𝑟𝑒𝑒(𝑡𝑡) − 𝑇𝑇𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 𝐽𝐽 𝑑𝑑𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑓𝑓𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡) 
Constantes e variáveis do sistema Descrição 
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡) Velocidade de referência do motor diesel 
𝐾𝐾𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 Ganho introduzido pelo potenciômetro 
𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡) Fonte de tensão CC 
𝜔𝜔𝑝𝑝(𝑡𝑡) Velocidade do motor de tração 
𝐾𝐾 Ganho introduzido pelo amplificador 
𝐾𝐾𝑝𝑝 Constante da fcem (força contra eletromotriz) do gerador CC 
𝑣𝑣𝑟𝑟(𝑡𝑡) Tensão de campo do gerador CC 
𝑖𝑖𝑟𝑟(𝑡𝑡) Corrente de campo do gerador CC 
𝑅𝑅𝑟𝑟 Resistência de campo do gerador CC 
𝐿𝐿𝑟𝑟 Indutância de campo do gerador CC 
𝐾𝐾𝑔𝑔 Constante de torque do gerador CC 
𝑣𝑣𝑔𝑔(𝑡𝑡) Tensão de armadura do gerador CC 
𝐾𝐾𝑏𝑏 Constante de fcem do motor CC 
𝑖𝑖𝑎𝑎(𝑡𝑡) Corrente de armadura do motor CC 
𝑅𝑅𝑎𝑎 Resistência de armadura do motor CC 
𝑅𝑅𝑔𝑔 Resistência de armadura do gerador CC 
𝐿𝐿𝑎𝑎 Indutância de armadura do motor CC 
𝐿𝐿𝑔𝑔 Indutância de armadura do gerador CC 
𝑇𝑇𝑟𝑟𝑒𝑒(𝑡𝑡) Torque eletromagnético do motor CC 
𝐾𝐾𝑒𝑒 Constante de torque do motor CC 
𝑇𝑇𝑑𝑑(𝑡𝑡) Torque de carga (perturbação) 
𝐽𝐽 Momento de inércia da carga e do motor CC 
𝑓𝑓 Constante de atrito da carga e do motor CC 
 
𝜔𝜔𝑝𝑝
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
= 𝐾𝐾.𝐾𝐾𝑔𝑔.𝐾𝐾𝑒𝑒
�𝐿𝐿𝑟𝑟𝑠𝑠 + 𝑅𝑅𝑟𝑟�. �𝐽𝐽. �𝐿𝐿𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝑔𝑔�𝑠𝑠2 + �𝐽𝐽. �𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝑅𝑅𝑔𝑔� + 𝑓𝑓. �𝐿𝐿𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝑔𝑔�� 𝑠𝑠 + 𝑓𝑓. �𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝑅𝑅𝑔𝑔� + 𝐾𝐾𝑏𝑏 .𝐾𝐾𝑒𝑒� + 𝐾𝐾.𝐾𝐾𝑔𝑔.𝐾𝐾𝑒𝑒.𝐾𝐾𝑝𝑝 
 
Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia Mecânica 
Disciplina de Sistemas de Controle 
Prof. Rafael Sartori 
Lista de Exercícios Revisão 
 
 
3 – Considere que as localizações (A, B, C e D) mostradas na figura 2 representam os polos da função de 
transferência de um sistema de segunda ordem. Verifique para uma entrada do tipo degrau unitário, se as 
alternativas abaixo são verdadeiras: 
I. Os polos localizados nas posições C e D possuem o mesmo sobressinal. 
II. Os polos localizados nas posições A e C possuem o mesmo tempo de acomodação. 
III. Os polos localizados nas posições B e D possuem a mesma frequência natural. 
 
 
R.: I – Falsa, II – Verdadeira, III – Falsa 
 
 
4 – Para o sistema de controle da figura 3 determine, para uma entrada R(s) do tipo degrau unitário, as seguintes 
características do sinal de saída C(s): 
a) Tempo de acomodação; 
b) Sobressinal; 
c) Erro de estado estacionário. 
 
Obs.: Como as funções de transferência do sistema são desconhecidas, foram obtidas individualmente as repostas 
temporais das funções de transferência G1(s) e G2(s) para uma entrada do tipo degrau unitário. As repostas temporais 
são apresentadas nas figuras 4 e 5. 
 
Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia Mecânica 
Disciplina de Sistemas de Controle 
Prof. Rafael Sartori 
Lista de Exercícios Revisão 
 
 
 
 
10 – Considerando o sistema de controle apresentado na figura 1, verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras: 
I. O sinal de saída c(t) possui erro de regime em relação ao sinal de entrada do tipo degrau unitário para qualquer 
valor positivo de K. 
II. O sistema de controle é estável para qualquer valor positivo de K. 
 
Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia Mecânica 
Disciplina de Sistemas de Controle 
Prof. Rafael Sartori 
Lista de Exercícios Revisão 
 
 
III. Para K = 10 o erro de regime da variável de saída C(s) é menor ou igual a 50% da amplitude do sinal de entrada 
R(s) do tipo degrau. 
 
R.: I – Verdadeiro; II – Falso; III – Falso 
11 – Considerando o diagrama de blocos mostrado na figura a seguir, determinar os valores de K e k tais que o 
sistema possua um coeficiente de amortecimento 𝜉𝜉 = 0,7 e uma frequência natural não-amortecida 𝜔𝜔𝑛𝑛 =4 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑/𝑠𝑠. 
 
R.: K = 16, k = 0,225