Capítulo 3B – Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� São mecanismos que variam a quantidade de material ou de energia em 
resposta ao sinal enviado pelo controlador 
� a fim de manter a variável controlada em um valor (ou faixa de valores) 
predeterminado.
A) Elementos Finais de ControleA) Elementos Finais de Controle
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
A) Elementos Finais de ControleA) Elementos Finais de Controle
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Componentes que recebem as informações de entrada, 
� processa-as e envia-as como comandos de saída;
A.1) Elementos de Comando:A.1) Elementos de Comando:
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
A.2) Atuadores:A.2) Atuadores:
� Constitui-se no elemento 
responsável em proporcionar a 
necessária força motriz ao 
funcionamento da válvula de 
controle. 
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
�Atuador Elétrico-hidráulico
�Atuador Pneumático a pistão
• Atuador Elétrico
• Atuador Pneumático a mola e 
diafragma
A.2) Atuadores: A.2) Atuadores: atuadores lineares e rotativos
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
• Dispositivo que recebe um sinal de entrada de uma grandeza física e 
fornece um sinal de saída em outra grandeza;
B) Transdutores e Sensores:B) Transdutores e Sensores:
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
• É a representação de informações de uma grandeza física;
�� SinaisSinais
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
• Representa de forma 
contínua uma grandeza 
física (pressão, 
temperatura, força);
Sinal analSinal analóógicogico
Sinal DigitalSinal Digital
• Sinal onde somente dois valores são 
representados (0 e 1);
• Representa situações como a presença 
ou não de um objeto em determinado 
local;
�� SinaisSinais
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
C) Controlador:C) Controlador:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
C) Controlador:C) Controlador:
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
C) Controlador:C) Controlador:
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
C.1) AC.1) Açções de um controlador : ões de um controlador : Ação Direta
� Sabe-se que o erro é : SPVCE −= (3.13)
� Quando VC = SP, o erro é zero (situação de regime ideal).
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Supondo set point constante, se a variável controlada tende a subir, 
� o sinal de entrada da caixa “Modo de Controle” tenderá também a subir, 
� e a correção idem.
C.1) AC.1) Açções de um controlador : ões de um controlador : Ação Direta
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicosticade Sistemas Dinâmicos
� Um controlador é dito de ação direta (AD) quando um aumento de sinal da 
variável medida (variável controlada) provoca um aumento do seu sinal de saída.
C.1) AC.1) Açções de um controlador : ões de um controlador : Ação Direta
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� Sabe-se que o erro é : VCSPE −= (3.14)
� Quando VC = SP, o erro é zero (situação de regime ideal).
C.2) AC.2) Açções de um controlador : ões de um controlador : Ação Inversa
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� Supondo set point constante, se a variável controlada tende a subir, 
� o sinal de entrada da caixa “ Modo de Controle” tenderá a descer, e a correção 
idem.
C.2) AC.2) Açções de um controlador : ões de um controlador : Ação Inversa
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Um controlador é dito de ação inversa (AI) quando um aumento de sinal da 
variável medida (variável controlada) provoca uma diminuição do seu sinal de 
saída.
C.2) AC.2) Açções de um controlador : ões de um controlador : Ação Inversa
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Devemos pesquisar o melhor conjunto de associação para que se consiga alcançar o 
controle pretendido. 
� Deve ser considerada a situação de segurança para a qual o sistema tem de evoluir no 
caso de falta de energia. 
� Por exemplo: na ausência de ar, a válvula AA fechará, enquanto a válvula AF, na 
mesma situação, abrirá.
C.3) AC.3) Açções de um controlador : ões de um controlador : Válvula de Controle
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Os controladores podem ser classificados de acordo com as ações de controle. 
Os mais utilizados são os seguintes:
� controladores de duas posições ou liga-desliga (on-off),
� controlador Proporcional (P),
� controlador Proporcional - Integral (PI),
� controlador Proporcional - Derivativo (PD),
� controlador Proporcional – Integral – Derivativo (PID).
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
P = PROPORCIONAL = correção proporcional ao erro.
I = INTEGRAL = correção proporcional ao produto erro
x tempo.
D = DERIVATIVA = correção proporcional à taxa de 
variação do erro.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� é a ação de controle mais simples e mais econômica,
� restringe-se a sistemas em que não é necessário 
precisão nem um bom desempenho dinâmico,
� apresenta chaveamentos rápidos, provocando grande 
desgaste do atuador,
� é geralmente implementado através de dispositivos 
elétricos principalmente válvulas solenóides.
C.4.1) C.4.1) -- Controladores de duas posiControladores de duas posiçções ou ligaões ou liga--desliga (desliga (onon--offoff): ): Características
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Seja u(t) o sinal de saída do controlador e e(t) o sinal de entrada. 
� O sinal de controle u(t) pode assumir apenas dois valores, 
� conforme o erro seja positivo ou negativo, de tal forma que:
( )



<
>
=
0e(t) para ,U
0e(t) para ,U
tu
2
1
C.4.1) C.4.1) -- Controladores de duas posiControladores de duas posiçções ou ligaões ou liga--desliga (desliga (onon--offoff): ): Características
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Neste tipo de ação o elemento de ação possui apenas duas posições, 
ou seja, o dispositivo fornece apenas dois valores na saída. 
Controle de nível em um tanque do tipo liga-desliga
C.4.1) C.4.1) -- Controladores de duas posiControladores de duas posiçções ou ligaões ou liga--desliga (desliga (onon--offoff): ): Características
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Quando o nível é baixo, a bóia provoca o fechamento do interruptor elétrico, 
causando a abertura da válvula e liberando a entrada de líquido.
� Se o fornecimento de água (vazão de entrada) for maior do que a retirada 
(vazão de saída), então a altura de líquido no tanque irá subir.
� Quando for atingido o nível de operação, a bóia sobe e abre a chave, 
� o que fecha o fornecimento de água.
Controle de nível em um tanque do tipo liga-desliga
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
• Se u(t) = U1, é necessário que o valor de e(t) desça abaixo de –E2 paraque haja um 
chaveamento para U2.
• Se u(t) = U2, é necessário que o valor de e(t) ultrapasse o valor de E1 para que haja 
um chaveamento para U1.
Minimiza uma operação
frequente do mecanismo liga-desliga
� E1 e E2 são constantes
� escolhidas com base na
� frequência de chaveamento
� Em geral, E1 é positivo
� e E2 é negativo
C.4.1) C.4.1) -- Controladores de duas posiControladores de duas posiçções ou ligaões ou liga--desliga (desliga (onon--offoff): ): Zona diferencial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Um refrigerador, por exemplo, com set point em 5°C pode ligar quando a 
temperatura chegar a 7°C , e desligar quando cai a 3°C. 
� Existe aí um diferencial ou zona morta de 4°C. 
� Esta zona diferencial pode ser ajustada de acordo com a necessidade..
C.4.1) C.4.1) -- Controladores de duas posiControladores de duas posiçções ou ligaões ou liga--desliga (desliga (onon--offoff): ): Zona diferencial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Neste controle, a amplitude de correção é proporcional à amplitude do 
desvio. 
� O elemento final se move para uma determinada posição, para cada valor de 
desvio.
� A informação de variação do processo chega ao controlador, 
� onde é constatado o desvio do valor desejado. 
� Neste momento o controlador começa a dar uma correção proporcional a este 
erro, 
� mandando abrir ou fechar a válvula, para que a variável possa retornar ao valor 
desejado. 
C.4.2) C.4.2) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional:ão Proporcional:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� A relação entre a ação de controle u(t) e o erro de atuação e(t) é dado por:
( ) ( )teKtu p= (3.15)
� ou expresso na variável de Laplace como:
( ) ( )SEKSU p= (3.16)
� Onde Kp é denominado ganho ou constante proporcional.
C.4.2) C.4.2) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional:ão Proporcional:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� A principal característica do controle proporcional é eliminar as oscilações do 
processo provocadas pelo controle on-off. 
� Porém, o controle proporcional não consegue eliminar o ERRO DE OFF-SET 
(erro em regime permanente).
C.4.2) C.4.2) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional:ão Proporcional:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
Ganho ou sensibilidadeGanho ou sensibilidade
� É um outro conceito para expressar a proporcionalidade.
� Ganho é a relação entre a variação de saída do controlador para válvula e a 
variação da entrada do controlador (variável).
C.4.2) C.4.2) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional: ão Proporcional: Ajuste
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
C.4.2) C.4.2) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional: ão Proporcional: Ajuste
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� A principal característica da ação integral é a eliminação do erro de off-
set deixado pela ação proporcional.
� Assim, a ação integral vai atuar no processo ao longo do tempo 
enquanto existir diferença entre o valor desejado e o valor medido.
C.4.3) C.4.3) -- Controladores de AControladores de Açção Integral:ão Integral:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Na ação integral, o valor da ação de controle u(t) varia proporcionalmente ao 
sinal de erro e(t).
� Onde Ki = 1//Ti e Ti é chamado de tempo integrativo ou reset-time. 
( ) ( )teKtu i= ( ) ( )teKdt
tdu
i=
(3.17)( ) ( )dtteKtu
t
i ∫=
0
C.4.3) C.4.3) -- Controladores de AControladores de Açção Integral:ão Integral:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
(3.18)( )( ) s
K
sE
sU i
=
i
i T
K 1=
� A Função de Transferência do controlador é:
� Como, 
(3.19)( ) ( )( ) ic sTsE
sU
sG 1==
C.4.3) C.4.3) -- Controladores de AControladores de Açção Integral:ão Integral:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do TipoIndustrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� O controlador proporcional - integral utiliza em conjunto as ações proporcional 
e integral,
� Esta combinação tem por objetivos principais:
- corrigir os desvios instantâneos (proporcional);
- eliminar ao longo do tempo qualquer desvio que permaneça (integral).
(3.20)( ) ( ) ( )dtte
T
K
teKtu
t
i
p
p ∫+=
0
C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Integral:Integral:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
(3.21)( )( ) 




+=
sT
K
sE
sU
i
p
11
i
i T
K 1=
� A Função de Transferência do controlador é:
� Como, 
(3.22)( ) ( )( ) ic sTsE
sU
sG 1==
C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Integral:Integral:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Tem-se aí o melhor dos dois modos de controle. 
� O modo proporcional, que corrige os erros instantaneamente, 
� e o integral, que se encarrega de eliminar, ao longo do tempo, o off-set
característico do modo proporcional.
� Neste controlador, o modo integral executa automaticamente o reajuste manual 
que o operador faria para eliminar o off-set.
� A ação integral ocasiona uma correção tal que a velocidade de correção é
proporcional à amplitude do desvio. 
� O modo de correção integral não é utilizado sozinho, pois corrige muito 
lentamente.
C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Integral:Integral:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Integral:Integral:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Integral:Integral:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Resulta da associação entre o controlador proporcional e o derivativo. 
� O modo derivativo acarreta uma correção proporcional à velocidade do desvio.
C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Derivativo:Derivativo:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
� A ação derivativa combinada com a ação proporcional tem a função de 
“antecipar” a ação de controle afim de que o processo reaja mais rápido.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
em que: e(t)= PV-SP (ação Direta)
e(t)= SP-PV (ação Reversa); 
Kp é o ganho proporcional;
Td é o tempo derivativo.
C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Derivativo:Derivativo:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
( )
dt
tdeTKteKtu dpp
)()( += (3.23)
( )
( ) ( )sTKsE
sU
dp += 1 (3.24)
� A Função de Transferência do controlador é:
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Derivativo:Derivativo:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
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C.4.4) C.4.4) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional -- Derivativo:Derivativo:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
em que e(t)= PV-SP (ação Direta)
e(t)= SP-PV (ação Reversa) 
Kp é o ganho proporcional
Tr é o tempo integral
Td é o tempo derivativo
•• ÉÉ chamado de PID paralelo clchamado de PID paralelo cláássico;ssico;
C.4.5) C.4.5) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional –– Integral Integral -- Derivativo:Derivativo:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
( ) 





++= ∫ dt
tdeTde
T
teKtu d
r
p
)()(1)( ττ (3.25)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
C.4.5) C.4.5) -- Controladores de AControladores de Açção Proporcional ão Proporcional –– Integral Integral -- Derivativo:Derivativo:
C.4) ClassificaC.4) Classificaçção dos Controladoresão dos Controladores
( )
( ) 




++= sT
sT
K
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p
11 (3.26)
� A Função de Transferência do controlador é:
3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial3.6 Controle de Processo do Tipo Industrial