Capítulo 3C – Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
� Familiarizar-se com os conceitos de estado, variáveis de estado (VE)
e equações de estado (EE).
� Conhecer a correlação que existe entre função de transferência (FT) 
e equações de estado.
� Conhecer a representação matricial das equações de estado. 
� Determinar o modelo de estado de sistemas físicos típicos.
OBJETIVOS:OBJETIVOS:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Variáveis de estado
� Diagrama de estado
� Matriz de transição de estado
� Equação de transição de estado
� Equação característica
� Autovalor 
� Auto vetor
� Transformação de Similaridade
� Decomposição
� Controlabilidade
� Observabilidade
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
Assuntos a serem abordados:Assuntos a serem abordados:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� ORIGEM DA REPRESENTAÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO:
década de 60 → teoria moderna de controle→ baseada no domínio tempo.
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
3.7.1. Variáveis de Estado
� Sistema Dinâmico: consiste num número finito de elementos concentrados
que pode ser descrito por equações diferenciais,
nas quais o tempo é a variável independente.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Descrição interna do sistema;
� Domínio do tempo;
� Permite considerar condições iniciais não nulas;
� Aplica-se a sistemas não-lineares e variantes no tempo;
� Facilidade para tratamento de sistemas multivariáveis→
é uma representação mais genérica que a feita por uma função de 
transferência.
3.7.1. Variáveis de Estado
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Sistemas lineares e não-lineares
� Equações lineares são equações que envolvem relações algébricas entre 
variáveis de grau um.
� Notação:
3.7.1. Variáveis de Estado
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
M 











=












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








nnmnmm
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b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
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2
1
2
1
21
22221
11211
(3.27)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Sistemas lineares e não-lineares
3.7.1. Variáveis de Estado
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
� Quanto a Linearidade, sistemas podem ser classificados como:
- LINEARES;
- NÃO LINEARES
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Um sistema é chamado invariante no tempo se um deslocamento de tempo 
(retardo ou adiantamento) no sinal de entrada
� causa o mesmo deslocamento de tempo no sinal de saída.
( ){ } ( )
[ ]{ } [ ]knyknx
tytx
−=−
−=−
T
T ττ Tempo Contínuo
Tempo Discreto
3.7.1. Variáveis de Estado
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
URI - DECC - Santo Ângelo 
3.7.1. Variáveis de Estado
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
CONTROLADOR PLANTA
SP
Variáveis Controladas
Perturbações
Variáveis
Manipuladas
3.7.1. Variáveis de Estado
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
SistemasSistemas multivarimultivariááveisveis
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
�� Conceito de Estado:Conceito de Estado:
3.7.2. Conceitos Fundamentais:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
- É o menor conjunto de variáveis de estado que determinam 
completamente o comportamento do sistema. 
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- É o menor conjunto de variáveis que determina o estado do sistema 
dinâmico.
� Se forem necessárias pelo menos n variáveis x1, x2, . . . ,xn, para descrever o 
comportamento de um sistema, 
� então tais n variáveis dizem-se as variáveis de estado desse sistema.
3.7.2. Conceitos Fundamentais:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
�� VariVariááveis de estado:veis de estado:12
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
�� Vetor de Estado:Vetor de Estado:
� Se n variáveis de estado são necessárias para descrever completamente o 
comportamento de um sistema, 
� então estas n variáveis de estado podem ser consideradas as componentes 
de um vetor x no espaço n-dimensional. 
� Um tal vetor é chamado vetor de estado.
� Portanto, um vetor de estado é um vetor que determina o estado x(t) do 
sistema para qualquer instante t ≥ t0, uma vez conhecido o estado em t = t0
� e uma função de entrada u(t) também para todo t ≥ t0.
3.7.2. Conceitos Fundamentais:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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�� EquaEquaçções de estado:ões de estado:
� A analise no espaço de estado envolve três tipos de variáveis na modelagem 
de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada, variáveis de saída e variáveis de 
estado.
� As equações de estado são as que relacionam as variáveis de estado 
� e as entradas e saídas do sistema para definir seu comportamento dinâmico 
no tempo.
� A representação de um sistema em variáveis de estado não é única, 
� exceto que o número de variáveis de estado sim é o mesmo para qualquer das 
diferentes representações do sistema.
3.7.2. Conceitos Fundamentais:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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3.7.3. Representação por espaço de estados:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
� É dita linear se F é uma função linear das varáveis y, y’, y”,..., y(n-1).
� Considere: 0),...,",',( )( =nyyytF
� Seja a seguinte equação diferencial, de ordem n, no tempo que define o 
comportamento dinâmico de um sistema:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 0 01
n n
nn n
d y t d y t dy t
a a a y t b u t
dt dt dt
−
−
−
+ + + + =K (3.28)
� uma forma conveniente de selecionar as variáveis consistem em definir a 
saída y(t) e as (n-1) derivadas como variáveis de estado.
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( )
1
2
2
3 2
1
1
n
n n
x y
dy t
x
dt
d y
x
dt
d y
x
dt
−
−
=
=
=
=
M
( )
( )
1
2
2 2
3
3 3
n
n n
dy t
x
dt
d y t
x
dt
d y
x
dt
d y
x
dt
=
=
=
=
&
&
&
M
&
Derivando ambos os lados
( )
1 2
2 3
1
0 0 1 1 2 1
n n
n n n
x x
x x
x x
x b u t a x a x a x
−
−
=
=
=
= − − − −
&
&
M
&
& K
3.7.3. Representação por espaço de estados:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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� Seja o sistema cuja dinâmica é descrita pela seguinte equação diferencial de 
segunda ordem:
y by cy u( t )+ + =+ + =+ + =+ + =&& &&& &&& &&& &
EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
� Este sistema em sua forma normal torna-se como:



=
=
yx
yx
&2
1



=
==
yx
xyx
&&&
&&
2
21
( )tucyyby +−−= &&&
( )tucxbxx +−−= 122
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� que na forma matricial pode ser escrita como
3.7.3. Representação por espaço de estados:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
1 1
2 2
3 3
1 1
0 1 2 3 4 5 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0n n
n n n
x x
x x
x x
u
x x
x a a a a a a a x b
− −
−
       
       
       
       
= +       
       
       
       
− − − − − − −              
& L
& L
& L
M M M M M M M O M M M
& L
& L
(3.29)
� Logo, podemos organizar na forma compacta matricialmente :
BuAxx +=& (3.30)
� Onde:
� A matriz A de ordem (n,n) é a matriz de coeficientes ligados as variáveis de estado do sistema;
� B (n,r) é a matriz de coeficientes do sinal de entrada; onde, r é o numero de variáveis de 
entrada.
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� Uma realização destas equações é o diagrama de bloco que se mostra na 
figura seguinte:
3.7.3. Representação por espaço de estados:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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� e a saída y pode ser escrita na forma matricial por
[ ]
1
2
3
1
1 0 0 0 0
n
n
x
x
x
y
x
x
−
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
L
M
(3.30)
Onde: 
� A matriz C de ordem (1,n) é a matriz de coeficientes ligados as variáveis de estado do 
sistema.
� Podendo ser escrita matricialmente como a seguir:
Cxy = (3.31)
3.7.3. Representação por espaço de estados:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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3.7.3. Representação por espaço de estados:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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� Considere o sistema mecânico indicado. 
� A Força u(t) é a entrada do sistema e o deslocamento y(t) da massa é a 
saída. 
� Expressar o movimento na forma da equação de espaço de estado:
EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:
m
kyFm = ybFa &=
)(tuFe =
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� Trata-se de um sistema simples entrada - simples saída de segunda ordem, 
o qual não implica que o sistema tem dois integradores:
� Definem-se as variáveis de estado x1(t) e x2(t) como seguir:
EXEMPLO 2 (ContinuaEXEMPLO 2 (Continuaçção):ão):
� Do DCL, e aplicando a Lei de Newton ou o 
Princípio de Conservação de Energia:
ukyybym =++ &&&



=
=
yx
yx
&2
1



=
==
yx
xyx
&&&
&&
2
21
m
kyFm = ybFa &=
)(tuFe =
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EXEMPLO 2 (ContinuaEXEMPLO 2 (Continuaçção):ão):



=
==
yx
xyx
&&&
&&
2
21� Das relações entre as variáveis de estado:
ukyybym =++ &&&
( ) u
m
kyyb
mm
u
m
ky
m
yby 11 +−−=+−−= &&&&
( )



+−−=
==
u
m
kyyb
m
x
xyx
11
2
21
&&
&&




+−−=
==
u
m
x
m
b
x
m
k
x
xyx
1
212
21
&
&&
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� A equação de espaço de estado:
EXEMPLO 2 (ContinuaEXEMPLO 2 (Continuaçção):ão):
� Em notação matricial se tem:
BuAxx +=& (3.30)
1 1
2 2
3 3
1 1
0 1 2 3 4 5 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0n n
n n n
x x
x x
x x
u
x x
x a a a a a a a x b
− −
−
       
       
       
       
= +       
       
       
       
− − − − − − −              
& L
& L
& L
M M M M M M M O M M M
& L
& L
(3.29)
� Para o sistema dinâmico:
u
m
x
x
m
b
m
k
x
x








+













−−
=




 1
010
2
1
2
1
&
&
25
P
r
o
f
.
 
A
l
e
x
a
n
d
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e
 
E
d
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–
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e
CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� A equação de saída é:
EXEMPLO 2 (ContinuaEXEMPLO 2 (Continuaçção):ão):
� Em notação matricial se tem:
1xy =
[ ]
1
2
3
1
1 0 0 0 0
n
n
x
x
x
y
x
x
−
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
L
M
(3.30)
Cxy = (3.31)
[ ] 





=
2
101
x
x
y
26
P
r
o
f
.
 
A
l
e
x
a
n
d
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� O diagrama de bloco:
EXEMPLO 2 (ContinuaEXEMPLO 2 (Continuaçção):ão):
27
P
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f
.
 
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e
x
a
n
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Considere o sistema cuja função de transferência da forma:
3.7.3. Correlação entre as Variáveis e estado e a Função de Transferência:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
=
Y( s )G( s )
U( s )
(3.32)
� Como obter uma função de transferência de um sistema de entrada e saída 
únicas a partir das equações no espaço de estado?
BuAxx +=& (3.30)
� Esse sistema pode ser representado no espaço de estado usando:
DuCxy += (3.31)
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x
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n
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Aplicando Transformada de Laplace nas equações de estado:
3.7.3. Correlação entre as Variáveis e estado e a Função de Transferência:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
BuAxx +=& (3.30)
DuCxy += (3.31)
( ) ( ) ( ) ( )sBUsAXxssX +=− 0 (3.33)
( ) ( ) ( )sDUsCXsY += (3.34)
29
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x
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Função de Transferência: Relação da Transformada de Laplace de saída 
com a transformada de laplace da entrada.
� Considerando as condições iniciais nulas, x(0) igual a zero.
3.7.3. Correlação entre as Variáveis e estado e a Função de Transferência:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
( ) ( ) ( ) ( )sBUsAXxssX +=− 0 (3.33)
( ) ( ) ( )sBUsAXssX =−
( ) ( ) ( )sBUsXAsI =−
( ) ( ) ( )sBUAsIsX 1−−= (3.35)
30
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x
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Da Eq. 3.34,
3.7.3. Correlação entre as Variáveis e estado e a Função de Transferência:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
( ) ( ) ( )sBUAsIsX 1−−=
( ) ( ) ( )sDUsCXsY += (3.34)
� Substituindo 3.35 na Eq. 3.34,
( ) ( ) ( ) ( )sDUsBUAsICsY +−= −1
(3.36)( ) ( )[ ] ( )sUDBAsICsY +−= −1
� Substituindo 3.36 na Eq. 3.32, =
Y( s )G( s )
U( s )
(3.37)( ) ( )[ ]DBAsICsG +−= −1
31
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x
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7.3. Correlação entre as Variáveis e estado e a Função de Transferência:
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
(3.37)( ) ( )[ ]DBAsICsG +−= −1
� sI-A= determinantede SI-A.
� Então |sI-A| = 0 é o polinômio característico do sistema.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
� Seja A uma matriz quadrada, diz-se que ela possui um ponto fixo x se:
A⋅x = x
� De maneira mais geral, define-se um autovalor de A, λ, como um escalar 
tal que:
A⋅x = λ⋅x
situação em que o vetor x é chamado de autovetor de A associado a λ.
� Problema:
� Estabelecer os autovalores λ de uma matriz A;
� Estabelecer um autovetor não-nulo associado a cada autovalor λ.
3.7.4. Autovalores e Autovalores e AutovetoresAutovetores
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
33
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A
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x
a
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
0A)xI(0xAxIxIxA =−⋅⇒=⋅−⋅⋅⇒⋅⋅=⋅ λλλ
3.7.4. Autovalores e Autovalores e AutovetoresAutovetores
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
� Seja A uma matriz n × n; se A⋅x = λ⋅x, então
�como x é não-nulo, então det (λ⋅I - A) = 0;
�det (λ⋅I - A) = 0 é chamada equação característica de A.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos






−−
−−
=−⋅
23
21
λ
λλ AI
EXEMPLO 3:EXEMPLO 3:
�Estabelecer os autovalores λ de uma matriz A;
�Estabelecer um autovetor não-nulo associado a cada autovalor λ.






=
23
21
A
06)2)(1(0
23
21
=−−−⇒=
−−
−− λλλ
λ



=
−=
=−−=−+−
4
1
043623
2
1
22
λ
λ
λλλλ
35
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x
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
1211
12
11
0
0
33
22
33
22
23
21
xx
x
x
−=→






=











−−
−−






−−
−−
=





−−
−−
λ
λ
2221
22
21
23
0
0
23
23
23
23
23
21
xx
x
x
=→






=











−
−






−
−
=





−−
−−
λ
λ
� Para λ1 = -1:
� Para λ2 = 4
EXEMPLO 3 (ContinuaEXEMPLO 3 (Continuaçção):ão):
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 4:EXEMPLO 4:
(3.37)( ) ( )[ ]DBAsICsG +−= −1
� Obter a Função de Transferência do sistema a partir das equações do espaço 
de estados:








−−
=
m
b
m
kA
10








=
m
B 1
0 [ ]01=C 0=D
( ) [ ] 01010
10
01
01
1
+
























−−
−





=
−
mm
b
m
kssG
( ) [ ]
























−−
−





=
−
mm
b
m
k
s
s
sG 1
010
0
0
01
1
( ) [ ]
















+
−
=
−
mm
b
s
m
k
s
sG 1
01
01
1






−
−
−
=





=
−
ac
bd
bcaddc
ba
A 11( ) [ ]
















+
−
=
−
mm
b
s
m
k
s
sG 1
01
01
1
( ) [ ]


















−
+
+





+
=
ms
m
k
m
b
s
m
k
m
b
ss
sG 1
01101 ( ) [ ]


















−
+
++
=
ms
m
k
m
b
s
m
k
s
m
b
s
sG 1
01101
2
37
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
(3.37)( ) ( )[ ]DBAsICsG +−= −1
( ) [ ]










++
=
m
s
m
m
k
s
m
b
s
sG
1
101
2
( )
m
k
s
m
b
s
m
sG
++
=
2
11
( )
kbsms
sG
++
= 2
1






+
+
=











dScI
bSaI
S
I
dc
ba
( ) [ ]


















−
+
++
=
ms
m
k
m
b
s
m
k
s
m
b
s
sG 1
01101
2
EXEMPLO 4 (ContinuaEXEMPLO 4 (Continuaçção):ão):
38
P
r
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A
l
e
x
a
n
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7.5. Representação no Espaço de Estados de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 
de ordem n, cuja função de entrada possui derivadas
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
� Considere o sistema de equações diferencias que possui derivadas na função 
de entrada:
ububububyayayayay nn
nn
nnn
nn ++++=+++++
−
−
−−
− && 1
1
1011
1
1 ...... (3.38)
� As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as derivadas de u na 
equação de estado.
uxuuuuyx
uxuuuyx
uxuuyx
uyx
nnnn
nnn
n 1112
2
1
1
0
1
222103
11102
01
...
−−−−
−−−
−=−−−−−=
−=−−−=
−=−−=
−=
βββββ
ββββ
βββ
β
&&
M
&&&&&
&&&
(3.39)
39
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A
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x
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n
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7.5. Representação no Espaço de Estados de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 
de ordem n, cuja função de entrada possui derivadas
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
� β0 , β1 , β2 , ... βn são determinadas a partir de,
01111
03122133
021122
0111
00
... ββββ
ββββ
βββ
ββ
β
nnnnnn aaab
aaab
aab
ab
b
−−−−=
−−−=
−−=
−=
=
−−−
M
(3.40)
40
P
r
o
f
.
 
A
l
e
x
a
n
d
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7.5. Representação no Espaço de Estados de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 
de ordem n, cuja função de entrada possui derivadas
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
uxaxaxax
uxx
uxx
uxx
nnnnn
nnn
β
β
β
β
+−−−−=
+=
+=
+=
−
−−
1211
11
232
121
...&
&
M
&
&
(3.41)
41
P
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A
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x
a
n
d
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7.5. Representação no Espaço de Estados de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 
de ordem n, cuja função de entrada possui derivadas
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
� que na forma matricial pode ser escrita como
� Logo, podemos organizar na forma compacta matricialmente :
(3.42)u
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
n
n
n
n
nnnn
n
















+
































−−−−
=
















−−
−−
−
β
β
β
β
1
2
1
1
2
1
121
1
2
1
1000
0100
0010
MM
L
L
MMMMM
L
L
&
&
M
&
&
BuAxx +=& (3.30)
DuCxy += (3.31)
42
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x
a
n
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7.5. Representação no Espaço de Estados de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 
de ordem n, cuja função de entrada possui derivadas
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
[ ] u
x
x
x
y
n
0
2
1
001 β+












=
M
L (3.43)
� A representação no espaço de estados para a função de transferência :
nn
nn
nn
nn
asasas
bsbsbsb
sU
sY
sG
++++
++++
==
−
−
−
−
1
1
1
1
1
10
...
...
)(
)()( (3.44)
43
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7.5. Representação no Espaço de Estados de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 
de ordem n, cuja função de entrada possui derivadas
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 5:EXEMPLO 5:
� Considere o sistema mecânico indicado. 
� Supor que o carro e o sistema (massa, mola e amortecedor) estão parados 
para t < 0.
� u(t) é o deslocamento do carro e é a entrada do sistema.
� y(t) da massa é a saída.
� Expressar o movimento na forma da equação de espaço de estado:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 5 (ContinuaEXEMPLO 5 (Continuaçção):ão):
∑ = amF
rr ymkykuybub &&&& =−+−
( ) 2
2
dt
yd
muyk
dt
du
dt
dyb =−−





−− ku
dt
dubky
dt
dyb
dt
yd
m +=++2
2
� Aplicando a Transformada de Laplace: ( ) ( ) ( ) ( )sUkbssYkbsms +=++2
� Função de Transferência: ( ) ( )( ) kbsms
kbs
sU
sY
sG
++
+
== 2
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 5 (ContinuaEXEMPLO 5 (Continuaçção):ão):
� Equação de Espaço de Estado do Sistema:
� Expressando na forma padronizada:
� Identificando os parâmetros: a1, a2, b0, b1 e b2
01111
03122133
021122
0111
00
... ββββ
ββββ
βββ
ββ
β
nnnnnn aaab
aaab
aab
ab
b
−−−−=
−−−=
−−=
−=
=
−−−
M
(3.40)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 5 (ContinuaEXEMPLO 5 (Continuaçção):ão):
� Usando a Eq. 3.39:
uxaxaxax
uxx
uxx
uxx
nnnnn
nnn
β
β
β
β
+−−−−=
+=
+=
+=
−
−−
1211
11
232
121
...&
&
M
&
&
(3.41)
uxuuuuyx
uxuuuyx
uxuuyx
uyx
nnnn
nnn
n 1112
2
1
1
0
1
222103
11102
01
...
−−−−
−−−
−=−−−−−=
−=−−−=
−=−−=
−=
βββββ
ββββ
βββ
β
&&
M
&&&&&
&&& (3.39)
� Usando a Eq. 3.41:
� A saída:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 5 (ContinuaEXEMPLO 5 (Continuaçção):ão):
� Equação Espaço de Estado do Sistema:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
3.7.6. Sistemas Mecânicos
3.7 3.7 Modelagem de sistemas de controle no espaModelagem de sistemas de controle no espaçço de estadoo de estado
� Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Componente
Mola
x(t)
f(t)
Amortecedor
x(t)
f(t)
x(t)
M
Massa
f(t)
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 6:EXEMPLO 6:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 6 (CONTINUAEXEMPLO 6 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 6 (CONTINUAEXEMPLO 6 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 7:EXEMPLO 7:
� Um pêndulo invertido montado num 
carro motorizado.
� A força de controle F é aplicada ao 
carro.
� Considere que o centro de gravidade 
da haste do pêndulo esteja situado no 
centro de geométrico dele.
� O carrinho apresenta massa constante 
M, e se move livremente na direção do 
eixo x, sendo este deslocamento 
representado pela função x(t).
� Obtenha um modelo matemático para 
esse sistema.
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 7 (CONTINUAEXEMPLO 7 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
1. Lei de Newton aplicada ao movimento 
segundo x do centro de gravidade do pêndulo:
( )
H
G F
dt
txd
m =2
2
( ) ( )[ ]
HFdt
tLsentxd
m =
+
2
2 θ
Força horizontal exercida pelo 
movimento do carro sobre o 
pêndulo.
( ) ( ) ( ) ( ) HFtsendt
tdLmt
dt
dLm
dt
txd
m =





−+ θθθθ
2
2
2
2
2
cos
θ
θ
cosLy
Lsenxx
G
G
=
+=
� Coordenadas (x,y) do 
centro de gravidade da 
haste:
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 7 (CONTINUAEXEMPLO 7 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
θ
θ
cosLy
Lsenxx
G
G
=
+=
� Coordenadas (x,y) do 
centro de gravidade da 
haste:
2. Lei de Newton aplicada ao movimento 
segundo y do centro de gravidade do pêndulo:
( )
mgF
dt
tyd
m V
G
−=2
2
( )[ ]
mgF
dt
tLd
m V −=2
2 cosθ
Força vertical exercida pelo 
movimento do carro sobre o 
pêndulo.
( ) ( ) ( ) VFmgtdt
tdLmtsen
dt
dLm =+





−− θθθθ cos
2
2
2
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 7 (CONTINUAEXEMPLO 7 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
3. Lei de Newton aplicada ao movimento de 
rotação no centróide do pêndulo:
( )tTI =θ&&
( ) ( )tLFtT HH θcos−=
( ) ( )tTtTI VH +=θ&&
( ) ( )tsenLFtT VV θ=
θθθ senLFLFI VH +−= cos&&
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 7 (CONTINUAEXEMPLO 7 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
4. Lei de Newton aplicada ao movimento segundo x
do carro:
( ) ( )
dt
tdxFF
dt
txdM H
β
−−=2
2
Força horizontal exercida pelo 
pêndulo sobre o carro
Força de atrito
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( ) ( )
dt
tdxFF
dt
txdM H
β
−−=2
2
θθθ senLFLFI VH +−= cos&&
( ) ( ) ( ) VFmgtdt
tdLmtsen
dt
dLm =+





−− θθθθ cos
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) HFtsendt
tdLmt
dt
dLm
dt
txd
m =





−+ θθθθ
2
2
2
2
2
cos
EXEMPLO 7 (CONTINUAEXEMPLO 7 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
5. Equações Constituintes:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdx
tsen
dt
tdLmt
dt
dLm
dt
txd
mF
dt
txdM βθθθθ −














−+−=
2
2
2
2
2
2
2
cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsenmgt
dt
tdLmtsen
dt
tdLmLttsen
dt
tdLmt
dt
tdLm
dt
txd
mLI θθθθθθθθθθθ








+





−−+














−+−= coscoscos
2
2
22
2
2
2
2
&&
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 7 (CONTINUAEXEMPLO 7 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ftsen
dt
tdLmt
dt
dLm
dt
txd
m
dt
tdx
dt
txdM =





−+++ θθθθβ
2
2
2
2
2
2
2
cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0cos
coscoscoscos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=−





++






−++
tLmgsentsent
dt
td
mLtsentsen
dt
td
mL
ttsen
dt
td
mLtt
dt
td
mLt
dt
txdLm
dt
tdI
θθθθθθθ
θθθθθθθθ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ftsen
dt
tdLmt
dt
dLm
dt
tdx
dt
txd
mM =





−+++ θθθθβ
2
2
2
2
2
cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tLmgsent
dt
txdLm
dt
td
mLI θθθ =++ cos2
2
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0coscoscos 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=−+++ tLmgsentsentsen
dt
td
mLtt
dt
td
mLt
dt
txdLm
dt
tdI θθθθθθθθθ
0≈1≈
60
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CapCapíítulo 3 tulo 3 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Dinâmicostica de Sistemas Dinâmicos
EXEMPLO 7 (CONTINUAEXEMPLO 7 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ftsen
dt
tdLmt
dt
dLm
dt
tdx
dt
txd
mM =





−+++ θθθθβ
2
2
2
2
2
cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tLmgsent
dt
txdLm
dt
td
mLI θθθ =++ cos2
2
2
2
2
( ) usenLmLmxmM =−++ θθθθ 2cos &&&&&
( ) θθθ LmgsenxLmmLI =++ cos2 &&&&