Capítulo 4 – Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos, Fluídicos e Térmicos

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1
 As leis fundamentais que governam os sistemas 
elétricos são:
 - Leis de Kirchoff  A Lei das Correntes diz 
que a soma das correntes que entram em um nó
é igual a zero 
e a das tensões diz que a soma das quedas de 
tensão dentro de uma malha é igual a zero.
 - Lei de Ohm  Determina a relação entre 
tensão e corrente.
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
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)(.)(
)(.)(
sIRSV
tiRtv
R
R 

vC(t) i(t)
i(t)
vL(t)
i(t)
vR(t)
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
 Componentes:
Resistor (ohm): Opõe resistência à passagem da corrente elétrica por seus terminais.
Capacitor (farad): Acumula elétrons (corrente) entre suas placas.
Indutor (henry): Acumula tensão entre seus terminais em forma de campo eletromagnético. 
(4.1)
sC
sIsV
dttiCtv
C
C
.
)()(
).(.1)(

  (4.2)
)(.)(
)(.)(
sIssV dt
tdiLtv
L
L

 (4.3)
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 Circuitos RLC
 Circuitos elétricos mais complexos são basicamente formados por 
 resistores de resistência R, 
 indutores de indutância L, 
 capacitores de capacitância C.
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
 Entrada: v(t)
 Saída: vC(t)
 i(t) é a intensidade da corrente elétrica
Armazenadoresde Energia
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4
 v(t) é a diferença de potencial nos 
terminais do indutor:
 VR é a diferença de potencial nos terminais do resistor:
4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
  dtdiLtv  (4.4)
)()( tRitVR  (4.5)
 VC é a diferença de potencial nos terminais do capacitor:
 tC dttiCtv 0 )(1)( (4.6)
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
 Substituindo:
 Pela Lei de Kichorff:
)()()()( tEtVtVtV CRL  (4.7)
)()(1)( 0 tEdttiCtRidt
diL t   (4.8)
 Como: qdt
qd
dt
di
dt
dqi  22 (4.9)
qidtt 0 (4.10)
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
)()(1)( 0 tEdttiCtRidt
diL t   (4.8)
 A Eq. 4.8 fica:
)(1 tEqCqRqL   (4.11)
L
tEqLCqL
Rq )(1   (4.12)
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
)(1 tEqCqRqL   (4.11)
 Da Equação 4.11:
 Aplicando Laplace:
)()(1)()(2 sEsQCsRsQsQLs  (4.13)
)()(12 sEsQCRsLs 

  (4.14)
     CRsLssQ
sEsG 112  (4.15)
 Representação por Laplace:
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
 Representação em Variáveis de Estados:
 x1 = tensão no capacitor , vC (t);
 x2 = corrente no indutor , iL(t).
( )1 ( )2
x v tcx i tL


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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
L
tEqLCqL
Rq )(1  
)(111)(1 tELqCqRLL
tEqLCqL
Rq 

   (4.16)
 Este sistema em sua forma normal torna-se como:

 

qx
qx
2
1

 

qx
xqx


2
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 Da Equação 4.12:
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
 

qx
xqx


2
21
 Das relações entre as variáveis de estado:
 
 

 

tELqCqRLx
xqx 111
2
21


4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
 
 

 

tELxCRxLx
xqx 111
122
21



 

qx
qx
2
1
 tELx
x
L
R
LCx
x












 101 10
2
1
2
1

 (4.17)
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 Equação de Estado e de Saída Linearizados:
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos









dt
didt
dq
x
BuAxx 




 LRLCA 1
10 

 i
qx 


 LB 1
0  tEu 
DuCxy 
 tELx
x
L
R
LCx
x












 101 10
2
1
2
1

 (4.17)
   2101 xxy
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EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
 Determinar a função de laplace Q(s) do seguinte sistema RLC:  Dados: R = 160  (ohm)L = 1 h (henry)C = 10-4 (farad)E(t) = 20V
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EXEMPLO 1 (CONTINUAEXEMPLO 1 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
 Aplicando a 2ª lei de Kirchoff no circuito:
)()()()( tEtVtVtV CRL  (4.7)
)()(1)( 0 tedttiCtRidt
diL t  
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EXEMPLO 1 (CONTINUAEXEMPLO 1 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
)(1 tEqCqRqL   (4.11)
2010
1160 4   qqq  2010160 422  qdtdqdtqd
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EXEMPLO 1 (CONTINUAEXEMPLO 1 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
2010160 42
2  qdtdqdtqd
 Aplicando Laplace:
 Para as condições iniciais:
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EXEMPLO 1 (CONTINUAEXEMPLO 1 (CONTINUAÇÇÃO):ÃO):
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
 Considere o circuito:
 Achar a representação estado-espaço,
 considerando como saída a corrente através do resistor ( iR(t) )
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
Passo 1: Identificar as correntes no circuito. Feito na figura anterior
Passo 2: Escolher as variáveis de estado.
 Como temos um indutor e um capacitor, o sistema será de 2ª ordem, 
 implicando que precisamos de 2 variáveis, pelo menos.
 Como a saída procurada está relacionada com o resistor, 
 seus elementos estarão na equação de saída. 
 Assim, vamos usar como variáveis de estado os elementos do indutor e capacitor. 
 Nesse caso, poderíamos escolher iC, vC, iL, ou vL.
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
 Lembrando que precisamos de equações diferenciais de primeira ordem, 
nossa escolha é:
Equações de estado
 Assim, as variáveis de estado são vC e iL. 
 Precisamos agora escrever iC e vL como combinação linear das variáveis 
de estado e da entrada (v(t))
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
Passo 3: Aplicando as leis de circuitos, temos, pela lei de Kirchoff de voltagem 
e corrente:
No nó 1, temos:
Na malha externa:
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
Passo 4: Vamos agora substituir as equações de estado nos resultados 
anteriores:
Passo 5: Encontrar a equação de saída, considerando a saída, como 
pedido, iR(t)
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4.1 4.1 Sistemas ElSistemas Eléétricostricos
 Com isso:
Representação Estado-Espaço
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
Exercício:
 Encontre a representação estado-espaço para o circuito abaixo. 
 A saída é v0(t).
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.1 Tanque simples
 Sistema de Controle Manual: regulagem 
do nível de fluido
 Sistema de Controle Automático:
nível de fluido controlável.
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Vazão em volume
 O volume v pode ser dado em litros ou metros cúbicos 
 e o tempo T em minutos ou segundos, dependendo da magnitude da vazão 
medida. Mede-se o tempo necessário para que a água preencha 
completamente um reservatório com volume conhecido.
)(
)()( TTempo
vVolumeQVazão  (4.18)
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 Dispositivos que medem a vazão pela diferença de pressão ou carga:
Orifício (A) Tubo de Venturi (B)
Bocal (C)
Tubo de Pitot (D)
Medidor de cotovelo (E)
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Vazão em volume
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O que são?
 São aberturas de perímetro fechado e forma geométrica definida, 
 feitas abaixo da superfície livre da água.
Onde são usados?
 Em paredes de reservatórios, de pequenos tanques, canais ou 
canalizações.
Para que servem?
 Para medir e controlar a vazão.
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Vazão em volume : orifícios e bocais
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 Velocidade teórica da água em um orifício: Equação de Bernoulli
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Considerando as seguintes suposições:
- Escoamento permanente e laminar;
- Não há perdas por atrito;
- Não há eixo realizando ou fornecendo trabalho;
- Não há transformação de calor;
- A energia interna é constante em dois pontos.
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 Velocidade teórica da água em um orifício: Equação de Bernoulli
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Reservatórios têm em geral seções transversais muito maiores que as seções das tubulações. 
 Portanto, a superfície de um reservatório de líquido pode ser considerada de velocidade nula.
 Saídas livres para o ambiente podem ser consideradas de pressão igual à da atmosfera. 
 É comum o uso de pressão relativa (diferença com a pressão atmosférica) e, neste caso, pode-se 
dizer que saída livre tem pressão nula. 
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 patmgVhpatmgV  22
2221
 Velocidade teórica da água em um orifício: Equação de Bernoulli
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
g
Vh 2
2
2 (4.19)
ghV 22  (4.20)
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 A vazão corrigida (razão do perfil do bocal de saída)
 Vazão teórica da água em um orifício:
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
22.AVQ  (4.21)
ghAVAQ 2222  (4.22)
ghCQ dcorr 2 (4.23)
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 Valores de Cd para orifícios e Bocais
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.1 Resistência Fluídica de Sistemas:
 Considere o fluxo através de um pequeno tubo de ligação entre os dois tanques:
onde:
 H1 e H2 são as alturas dos tanques;
 R é a resistência do fluxo através da válvula;
 Q é a vazão.
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 A resistência fluídica pode ser considerada como a relação da variação da 
altura pela variação do fluxo.
   smmtq th /)( volumede razão na variação nivel de diferença na variaçãoR 30 (4.24)
4.2.1 Resistência Fluídica de Sistemas:
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 A resistência também pode ser expressa por:
QRpp .21 
 Onde:
p1 = pressão na superfície do líquido no tanque;
p2 = pressão na tubulação de saída;
Q = fluxo (vazão)
(4.25)Q
pp
Q
pR 21 
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.1 Resistência Fluídica de Sistemas:
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Onde: 
 – massa específica do fluido
V – Volume do fluido
L – Comprimento do tubo
 – viscosidade absoluta
 – viscosidade cinemática
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 NNúúmero de Reynoldsmero de Reynolds
 VLVL Re (4.26)
4.2.1 Tanque simples (Escoamentos: laminar e turbulento)
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Cur
so d
e C
ontr
ole
CapCapíítulo 4 tulo 4 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Eltica de Sistemas Eléétricos, Flutricos, Fluíídicos e Tdicos e Téérmicosrmicos
REGIME DE FLUXO LAMINAR
• No fluxo laminar o número de 
Reynolds se apresenta menor 
que 2000.
• O fluxo ocorre segundo linhas 
de escoamento , camadas, sem 
turbulência.
REGIME DE FLUXO TURBULENTO
• No regime turbulento o número de 
Reynolds se encontra entre 3000-4000
• O fluxo em processos industriais ocorre 
geralmente em regime turbulento.
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Regimes de Escoamento de FluidosRegimes de Escoamento de Fluidos
4.2.1 Tanque simples (Escoamentos: laminar e turbulento)
Pro
f. A
lexa
ndre
 Ed
uard
o –
Cur
so d
e C
ontr
ole
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40
Q = vazão em volume  regime permanente da vazão,m3/s ;
K = coeficiente de restrição, m2/s ;
H = valor de regime permanente do nível, m.
 A lei que governa o fluxo laminar é análoga à lei de Ohm
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
KHQ  (4.27)
Q
H
dQ
dHR l  (4.28)
4.2.1 Resistência Fluídica de Sistemas: 
Regime Laminar
Pro
f. A
lexa
ndre
 Ed
uard
o –
Cur
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41
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
HKQ  (4.29)
 Derivando Q em relação a H :
HH
Q
dH
dQ
2H
QK 
H
K
dH
dQ
2
 Como:
 A resistência Rt para o escoamento turbulento é obtida a partir de,
dQ
dHR t  (4.30)
H
Q
dH
dQ
2
4.2.1 Resistência Fluídica de Sistemas: 
Regime Turbulento
Q
HRt 2 (4.31)
Pro
f. A
lexa
ndre
 Ed
uard
o –
Cur
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42
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.1 Capacitância Fluídica de Sistemas:
 “A capacitância C de um reservatório é definida como a variação na 
quantidade de líquido armazenado necessária para causar uma mudança unitária 
no potencial (altura).”
H
VC  altura na variação armazenado liquido de quantidade na variação (4.32)
Onde:
C = Capacitância [m²]
ΔV = Variação de volume [m³]
ΔH = Variação de altura [m]
Pro
f. A
lexa
ndre
 Ed
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o –
Cur
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43
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.1 Capacitância Fluídica de Sistemas:
 A capacitância C pode ser expressa também por:
(4.33)Ah
AhC  
 VdttIC )(
 Capacitância = energia eletrica armazenada por uma tensão e pela 
corrente.
Pro
f. A
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saida de fluxoentrada de fluxo tanqueno volumede mudança de Razão 
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 
oi qqdt
Vd   (4.34)
oi qqdt
hAd  )( (4.35)
oi qqdt
dhA  (4.36)
oi qqdt
dhC  (4.37)
4.2.2 Modelagem:
Pro
f. A
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 Ed
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45
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Podemos expressar 4.37, de outra maneira: 0qqdt
dhC i  (4.37)
R
hq 0 (4.39)
Q
H
dQ
dHR l  (4.38)
 Considerando REGIME LAMINAR:
R
hqdt
dhC i  (4.40)
4.2.2 Modelagem:
Pro
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46
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
(4.41)iRqhdt
dhRC
R
hqdt
dhC i  (4.40)4.2.2 Modelagem:
 Pode-se observar que a equação 4.41, representa um Sistema de 1ª
ordem.
(4.42)iRqhhRC 
Pro
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x
entrada
Função perturbação
“causa”
y
saída
resposta
“efeito”
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.2 Modelagem: Função de Transferência
Pro
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 onde: K = sensibilidade estática = b0/a0
)()( 00 txbtya  )()( tKxty 
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.2 Modelagem:
Sistema de Ordem Zero:
48
)()( 001 txbadt
tdya 
Sistema de 1ª Ordem:
(4.41)iRqhdt
dhRC 
Pro
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49
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Aplicando a transformada de Laplace em 4.41, considerando as condições 
iniciais nulas.
    )(..1. sQRsHCsR i (4.44)
4.2.2 Modelagem:
    )(.. sQRsHsCsHR i (4.43)
        sRQsHCHssHRC i 0
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50
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.2 Modelagem:
 A partir de então temos a função de transferência para o sistema 
considerando qi como entrada e h como saída:
      1.  CsR RsQ sHsHFT i (4.45)
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
      1.  CsR RsQ sHsHFT i (4.45)
4.2.2 Modelagem:
 Aplicando a transformada inversa:
 RCteRth  1)( (4.46)
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52
H(S)
+- Controle (Kp)Proporcional RRCs + 1
Ganho da Bóia
R(S)
X(S) E(S) Qi(S)
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
      1.  CsR RsQ sHsHFT i (4.45)
4.2.2 Modelagem:
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53
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
Diagrama de blocos de um modelo de reservatório linearizado
4.2.2 Modelagem:
Pro
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.2 Modelagem:
Resposta temporal do sistema
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.2 Modelagem: Representação Equação Espaço de estado
(4.41)iRqhdt
dhRC 
hx
hx
 

1
1
(4.47)  iqCthRCth 11)( 
  iqtu 
   tuCtxRCtx 11)( 11  (4.48)
BuAxtx )( (4.49)
uCxRCtx 



 11)( (4.50)
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
4.2.2 Modelagem:
Sistema Elétrico
Sistema Mecânico
Sistema Fluidico
56
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4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
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 Determinar a Função de Transferência Q2(s)/Q(s).
4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
58
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4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
59
Tanque 1:
Tanque 2:
Válvula 1:
Válvula 2:
111 qqdt
dhC  (4.51)
2122 qqdt
dhC  (4.52)
1
211 q
hhR  (4.53)
2
22 q
hR  (4.54)
Pro
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4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
60
Tanque 1:
1
2111 R
hhqdt
dhC  (4.55)
Tanque 2:
2
2
1
2122 R
h
R
hh
dt
dhC  (4.56)
Válvula 1:
1
211 R
hhq  (4.57)
Válvula 2:
2
22 R
hq  (4.58)
Pro
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 Reagrupando as equações
4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
61
1
2
1
111 R
hqR
h
dt
dhC  (4.59)
1
1
2
2
1
222 R
h
R
h
R
h
dt
dhC  (4.60)
Pro
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 Tomando ambas equações e considerando as condições iniciais iguais a zero 
h1(0) = h2(0) = 0.
1
2
1
111 R
hqR
h
dt
dhC 
1
1
2
2
1
222 R
h
R
h
R
h
dt
dhC 
4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
62
 Aplicando laplace,
)()()( sHRsQsHRsC 21111
11 

  (4.61)
)()( sHRsHRRsC 112212
111 

  (4.62)
Pro
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4.2.3 Sistema deControle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
63
 Da Eq. 4.61:
 Substituindo a Eq. 4.63 em 4.62:
)()()( sHRsQsHRsC 21111
11 

  (4.61) )()( sHRsHRRsC 112212
111 

  (4.62)
111
211 
 sCR
sHsQRsH )()()( (4.63)






  1111 11 2112212 sCR
sHsQR
RsHRRsC
)()()( (4.64)
Pro
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 Usando H2(s) = R2Q2 (s)
4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
64






  1111 11 2112212 sCR
sHsQR
RsHRRsC
)()()( (4.64)





  1 )()(1)(11 11 221122212 sCR
sQRsQR
RsQRRRsC (4.65)
Pro
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4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
65





  1 )()(1)(11 11 221122212 sCR
sQRsQR
RsQRRRsC (4.65)
    )()( sQsQsCRsCRsCR  2121122 11
  11)( )()( 122211221122  sCRCRCRsCRCRsQ sQsG
(4.66)
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4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
66
  11)( )()( 122211221122  sCRCRCRsCRCRsQ sQsG
(4.66)
Sistema de 2ª Ordem
12)(
)(
22  ss KsU sY  (4.67)
)1)(1()(
)(
21  ss
K
sU
sY  (4.68)
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4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
67
  11)( )()( 122211221122  sCRCRCRsCRCRsQ sQsG
(4.66)
22112112
1222112
21122 1
1
)(
)()(
CRCRsCRCR
CRCRCRs
CRCR
sQ
sQsG


 

(4.69)
n2 2nFunção de Transferência de 2ª Ordem
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4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
68
2112
1222112 CRCR
CRCRCR
n
 (4.70)
2211
2 1 CRCRn  (4.71)
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4.2.3 Sistema de Controle com interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
69
Sistema de 2ª Ordem
 Representação no Domínio do Tempo:
K = ganho do processo
 = período
 = coeficiente de amortecimento
)(d
d
d
d
012
2
2 tbuyat
yat
ya  (4.72)
)(d
d2d
d
2
22 tKuyt
y
t
y   (4.73)
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70
4.2.3 Sistema de Controle sem interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
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 Substituindo (4-75) em (4-74) eliminando q1:
111 qqdt
dhC  (4.74)
1
11 R
hq  (4.75)
1
111 R
hqdt
dhC  (4.76)
4.2.3 Sistema de Controle sem interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
 Balanço de Massa:
 Relação de Válvula:
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 Colocando (4-76) e (4-75) em termo de variável desvio:
 Aplicando a transformada de Laplace em (4.77) e (4.78), 
4.2.3 Sistema de Controle sem interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
1
'1'11 ' R
hqdt
dhC  (4.77)
1
'1'1 R
hq  (4.78)
     sQsHRssHC '1 '11'11     sQsHRsC '1 '111   (4.79)
   sHRsQ '11'1 1 (4.80)
Pro
f. A
lexa
ndre
 Ed
uard
o –
Cur
so d
e C
ontr
ole
CapCapíítulo 4 tulo 4 –– Modelagem MatemModelagem Matemáática de Sistemas Eltica de Sistemas Eléétricos, Flutricos, Fluíídicos e Tdicos e Téérmicosrmicos
73
4.2.3 Sistema de Controle sem interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
   sQsHRsC '1 '111   (4.80)
  
11
'1 11' RsCsQ
sH
 (4.81)
   11' 1 111 1
'1  sKsCR RsQ sH 
   sHRsQ '11'1 1 (4.82) Da Eq. 4.80,
   11'1
'1 11 KRsH
sQ  (4.83)
Pro
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Cur
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74
 O mesmo procedimento conduz para as funções de transferência
correspondentes para o Tanque .
4.2.3 Sistema de Controle sem interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
  2 2 22 2 2 21 τ 1H s R KQ s A R s s     (4.84)
  22 2 21 1Q sH s R K   (4.85)
Pro
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 ou
 Simplificando,
Função de Transferência de 2ª Ordem
4.2.3 Sistema de Controle sem interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
              2 2 2 1 12 1 1i iQ s Q s H s Q s H sQ s H s Q s H s Q s         (4.86)
  2 2 12 2 1 11 1τ 1 τ 1iQ s K KQ s K s K s    (4.87)
     2 1 21τ 1 τ 1iQ sQ s s s    (4.88)
Pro
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Diagrama de blocos para Sistema de tanque
não interativos
4.2.3 Sistema de Controle sem interação
4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
Pro
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4.2 4.2 Sistemas FluSistemas Fluíídico : dico : Nível Líquido
Resposta da Vazão a uma Excitação Degrau de Reservatórios em 
Série c/ e s/ Interação.
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 Armazenamento e o fluxo de calor:
- condução
- convecção
- radiação
OBJETIVO: manter
constante a temperatura
da água no tanque
4.3 4.3 Sistemas TSistemas Téérmicos:rmicos:
4.3.1- Introdução:
Pro
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T
A
ProcessoMudança
na Entrada
Efeito sobrea variável dasaída
4.3 4.3 Sistemas TSistemas Téérmicos:rmicos:
79
Examplos de seleção de variáveis a controlar
 Nível do liquido
 Pressão
 Temperatura
 Fluxo de calor
4.3.1- Introdução:
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Q : fluxo de calor [J/sec = W] (corrente)
T : temperatura [oK] or [oC] (voltagem )
4.3 4.3 Sistemas TSistemas Téérmicos:rmicos:
4.3.2- Analogia entre as Variáveis
RIV  termicacRQT 
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(kcal/s)calor de fluxo de taxa
C)( ra temperatude diferença R 
4.3 4.3 Sistemas TSistemas Téérmicos:rmicos:
4.3.3- Resistência Térmica
 Obstáculo ao fluxo de calor (condução), representado pelo meio e 
pelas paredes.
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4.3 4.3 Sistemas TSistemas Téérmicos:rmicos:
 
d
TAd
TTAQc  21 (4.89)
α = condutividade térmica do material condutor [J/m.s.K] ou [W/m.K] (tabelada)
4.3.3- Fluxo de calor (condução):
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4.3 4.3 Sistemas TSistemas Téérmicos:rmicos:  
d
TAd
TTAQc  21 (4.90)
 211 TTRQc  (4.91)
AdR  (4.92)
dtdQ
TdR
c /
)( (4.93)
cQ
TR  (4.94)
4.3.3- Resistência Térmica
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4.3 4.3 Sistemas TSistemas Téérmicos:rmicos:
Catemperaturnaiação
kcalarmazenadocalornoiaçãoC o,var
,var
 Quantidade de calor que um corpo entrega ou absorve quando há variação
de temperatura.
T
QC c (4.95)
4.3.4- Capacitância Térmica
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4.3 4.3 Sistemas TSistemas Téérmicos:rmicos:
saidaentradac QQdt
dTC  (4.96)
VcmcC PP  (4.98)
saidaentradas qqQ  (4.97)
C
Qentrada - Qsaida
+ TC -
4.3.5- Equilíbrio Térmico : Conservação de massa
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Qentrada = taxa de fluxo de calor na entrada;
Qsaida = taxa de fluxo de calor na saida;
Tforn = Temperatura do forno
Tamb = Temperatura ambiente
T = Variação de temperatura
= (Tforn - Tamb)
Tforn
Forno
Tamb
Qsaida
Qentrada
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Modelagem 1: Forno para Tratamento Térmico
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sec QQdt
dTC  (4.96)
R
TQs 
sQ
TR  (4.94)
R
TQdt
dTC e 
eRQTdt
dTRC 
0qqdt
dhC i 
R
hq 0
R
hqdt
dhC i TRQdt
dTR e 
Modelagem 1: Forno para Tratamento Térmico
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Tx
Tx
 

1
1
  eQtu 
   tuCtxRCtx 11)( 11 
BuAxtx )(
uCxRCtx 



 11)(
Representação Equação Espaço de estado eRQTdt
dTRC 
    eQCtTRCtT 11 
Modelagem 1: Forno para Tratamento Térmico
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 Aplicando a transformada de Laplace em
    )(..1. sQRsTCsR e
 Considerando as condições iniciais nulas.
eRQTdt
dTRC 
        sRQsTCTssTRC e 0
     sRQsTsRCsT e
Modelagem 1: Forno para Tratamento Térmico
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    )(..1. sQRsTCsR e
 A partir de então temos a função de transferência para o sistema 
considerando Qe como entrada e T como saída:
      1.  CsR RsQ sTsG e
Modelagem 1: Forno para Tratamento Térmico
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 Aplicando a transformada inversa:
 RCteRtT  1)(
Modelagem 1: Forno para Tratamento Térmico
      1.  CsR RsQ sTsH e