Unidade 2 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

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Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
NIT - CCE0143 – 3006 – Controle e Servomecanismos I
Unidade 2 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Professor: Ms. Alessandro da Silva Longa
E-mail: alessandro123@globo.com
2020
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2.1 Introdução
• Esta seção apresenta a modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos. Na aula passada, obtivemos modelos
matemáticos de um circuito elétrico simples. Agora, consideraremos a modelagem matemática de vários sistemas mecânicos e
elétricos que podem fazer parte de sistemas de controle.
• A lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda lei de Newton. Aplicaremos essa lei a vários sistemas
mecânicos e derivaremos modelos em função de transferência e modelos em espaço de estados.
• As leis básicas que governam os circuitos elétricos são as leis de Kirchhoff. Obteremos os modelos em função de transferência
e espaço de estados de vários circuitos elétricos e sistemas amplificadores operacionais que podem fazer parte de muitos
sistemas de controle.
• Porém, antes estudaremos a teoria de controle moderno: Modelagem no Espaço de Estados.
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2.2 Modelagem matemática de sistemas de controle
• No estudo de sistemas de controle, o engenheiro deve ser capaz de modelar sistemas dinâmicos em termos matemáticos e
analisar suas características dinâmicas. O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de
equações que representa a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, razoavelmente bem. Note que um modelo
matemático não é único para determinado sistema. Um sistema pode ser representado de muitas maneiras diferentes e,
portanto, pode ter vários modelos matemáticos, dependendo da perspectiva a ser considerada.
• A dinâmica de muitos sistemas mecânicos, elétricos, térmicos, econômicos, biológicos ou outros pode ser descrita em termos
de equações diferenciais. Essas equações diferenciais são obtidas pelas leis físicas que regem dado sistema — por exemplo,
as leis de Newton para sistemas mecânicos e as leis de Kirchhoff para sistemas elétricos. Devemos sempre ter em mente que
construir modelos matemáticos adequados é a parte mais importante da análise de sistemas de controle como um todo.
• Assumiremos que o princípio de causalidade se aplica aos sistemas considerados. Isso significa que a atual saída do sistema
(no instante t = 0) depende da entrada anterior (a entrada em um instante t < 0), mas não depende da entrada futura (as
entradas nos instantes t > 0).
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2.2 Modelagem matemática de sistemas de controle
• Modelos matemáticos. Os modelos matemáticos podem assumir diferentes formas. Dependendo do sistema considerado e
das circunstâncias particulares, um modelo matemático pode ser mais adequado que outros. Por exemplo, nos problemas de
controle ótimo é vantajoso utilizar representações de espaço de estados. Por outro lado, para a análise da resposta transitória
ou da resposta em frequência de um sistema linear, invariante no tempo, de entrada e de saída únicas, a representação pela
função de transferência pode ser mais conveniente que qualquer outra. Uma vez obtido o modelo matemático de um sistema,
podem ser utilizadas várias ferramentas analíticas e de computação para efeito de análise e síntese.
• Simplicidade versus precisão. Na obtenção de um modelo matemático, devemos estabelecer uma conciliação entre a
simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise. Na obtenção de um modelo matemático relativamente
simplificado, frequentemente torna-se necessário ignorar certas propriedades físicas inerentes ao sistema.
• Sistemas lineares. Um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele. O princípio da superposição afirma
que a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções de determinação diversas é a soma das duas respostas
individuais. Então, para o sistema linear, a resposta a diversas entradas pode ser calculada tratando uma entrada de cada vez
• e somando os resultados. Esse é o princípio que permite construir soluções complicadas para equações diferenciais lineares a
partir de soluções simples.
• Sistemas lineares invariantes no tempo e sistemas lineares variantes no tempo. Uma equação diferencial é linear se os
coeficientes forem constantes ou somente funções da variável independente. Os sistemas dinâmicos compostos por
componentes lineares de parâmetros concentrados invariantes no tempo podem ser descritos por equações diferenciais
lineares invariantes no tempo — isto é, de coeficientes constantes. Esses sistemas são denominados sistemas lineares
invariantes no tempo (ou lineares de coeficientes constantes). Os sistemas representados por equações diferenciais, cujos
coeficientes são funções de tempo, são chamados sistemas lineares variantes no tempo.
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2.2 Modelagem matemática de sistemas de controle
• Função de transferência. A função de transferência de um sistema representado por uma equação diferencial linear invariante
no tempo é definida como a relação entre a transformada 12 Engenharia de controle moderno de Laplace da saída (função de
resposta — response function) e a transformada de Laplace da entrada (função de excitação — driving function), admitindo-se
todas as condições iniciais nulas. Abaixo, x é a entrada e y a saída:
• Utilizando o conceito de função de transferência, é possível representar a dinâmica de um sistema por meio de uma equação
algébrica em s. Se a maior potência de s no denominador da função de transferência for igual a n, o sistema será denominado
sistema de ordem n.
• A aplicabilidade do conceito de função de transferência é limitada a sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no
tempo.
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2.2 Modelagem matemática de sistemas de controle
• Tudo bem, mas o que realmente é uma função de transferência?
a) A função de transferência de um sistema é um modelo matemático que constitui um método operacional para expressar a equação
diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada.
b) A função de transferência é uma propriedade inerente ao sistema, independentemente da magnitude e da natureza da função de
entrada ou de excitação.
c) A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada à saída; entretanto, não fornece nenhuma
informação relativa à estrutura física do sistema. (As funções de transferência de diversos sistemas fisicamente diferentes podem ser
idênticas.)
d) Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída ou a resposta poderá ser estudada para várias maneiras de
entrada, visando ao entendimento da natureza do sistema.
e) Se a função de transferência de um sistema não for conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de
entradas conhecidas e do estudo das respectivas respostas do sistema. Uma vez determinada, a função de transferência fornece
uma descrição completa das características dinâmicas do sistema, independentemente de sua descrição física.
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2.2 Modelagem matemática de sistemas de controle
• Para um sistema linear, invariante no tempo, a função de transferência G(s) é:
• Onde X(s) é a transformada de Laplace da entrada e Y(s) é a transformada de Laplace da saída do sistema, considerando que
todas as condições iniciais envolvidas sejam nulas. Segue-se que a saída Y(s) pode ser escrita como o produtode G(s) e X(s)
ou:
• Função de resposta impulsiva. Considere a saída (resposta) de um sistema linear invariante no tempo a um impulso unitário de
entrada quando as condições iniciais são nulas. Como a transformada de Laplace da função impulso unitário é igual à unidade,
a transformada de Laplace da saída do sistema é:
• A transformada inversa de Laplace da saída, dada pela Equação 2.2, é a resposta impulsiva do sistema. A transformada inversa
de Laplace de G(s) ou , sendo chamada função de resposta impulsiva. Essa função g(t) também é
denominada função característica do sistema.
• A função de resposta impulsiva g(t) é, portanto, a resposta de um sistema linear invariante no tempo a um impulso unitário de
entrada, quando as condições iniciais do sistema são nulas. A transformada de Laplace dessa função fornece a função de
transferência. Assim, a função de transferência e a função de resposta impulsiva de um sistema linear invariante no tempo
contêm as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema. Dessa maneira, é possível obter informações completas sobre as
características dinâmicas de um sistema, por meio da excitação por um impulso de entrada e medindo a resposta. (Na prática,
um pulso de entrada de duração muito pequena, comparado com constantes de tempo dominantes do sistema, pode ser
considerado um impulso.)
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2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Agora, aplicaremos formalmente a função de transferência na modelagem matemática de circuitos elétricos, incluindo circuitos
passivos e circuitos com amplificadores operacionais. Seções subsequentes cobrem sistemas mecânicos e eletromecânicos.
• Percebam que já realizamos as modelagens pelo domínio S e pelo Espaço de Estado.
• Circuitos equivalentes para os circuitos elétricos com os quais trabalharemos inicialmente consistem em três componentes
lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A tabela abaixo resume os componentes e as relações entre tensão e
corrente, e entre tensão e carga para condições iniciais nulas.
• Combinamos agora os componentes elétricos em circuitos, decidimos sobre a entrada e a saída e obtemos a função de
transferência. Nossos princípios orientadores são as leis de Kirchhoff. Somamos tensões ao longo de malhas ou somamos
correntes em nós, dependendo de qual técnica envolve o menor esforço de manipulação algébrica, e em seguida igualamos o
resultado a zero. A partir dessas relações podemos escrever as equações diferenciais para o circuito. Em seguida tomamos a
transformada de Laplace das equações diferenciais e, finalmente, resolvemos para obter a função de transferência.
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2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
• Agora, aplicaremos formalmente a função de transferência na modelagem matemática de circuitos elétricos, incluindo circuitos
passivos e circuitos com amplificadores operacionais. Seções subsequentes cobrem sistemas mecânicos e eletromecânicos.
• Percebam que já realizamos as modelagens pelo domínio S e pelo Espaço de Estado.
• Circuitos equivalentes para os circuitos elétricos com os quais trabalharemos inicialmente consistem em três componentes
lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A tabela abaixo resume os componentes e as relações entre tensão e
corrente, e entre tensão e carga para condições iniciais nulas.
• Combinamos agora os componentes elétricos em circuitos, decidimos sobre a entrada e a saída e obtemos a função de
transferência. Nossos princípios orientadores são as leis de Kirchhoff. Somamos tensões ao longo de malhas ou somamos
correntes em nós, dependendo de qual técnica envolve o menor esforço de manipulação algébrica, e em seguida igualamos o
resultado a zero. A partir dessas relações podemos escrever as equações diferenciais para o circuito. Em seguida tomamos a
transformada de Laplace das equações diferenciais e, finalmente, resolvemos para obter a função de transferência.
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• Voltemos ao exemplo da Unidade I
Soma das Tensões:
Substituindo as correntes por carga:
, mas:
Aplicando Laplace:
ℒ 𝐿𝐶
𝑑2𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2
+ ℒ 𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ ℒ 𝑣𝑐(𝑡) = ℒ 𝑣(𝑡)
𝐿𝐶. ℒ
𝑑2𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑅𝐶. ℒ
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ ℒ 𝑣𝑐(𝑡) = ℒ 𝑣(𝑡)
𝐿𝐶. [𝑠2𝑉𝑐 𝑠 − 𝑠 𝑉𝑐 0 − ሶ𝑉𝑐(0)] + 𝑅𝐶. [𝑠 𝑉𝑐 𝑠 −
𝑉𝑐 0 ] + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉(𝑠)
𝐿𝐶. [𝑠2𝑉𝑐 𝑠 − 0 − 0)] + 𝑅𝐶. [𝑠 𝑉𝑐 𝑠 − 0] + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉(𝑠)
𝐿𝐶. [𝑠2𝑉𝑐 𝑠 ] + 𝑅𝐶. [𝑠 𝑉𝑐 𝑠 ] + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉(𝑠)
𝑉𝑐 𝑠 . [𝑠
2𝐿𝐶 + 𝑠 𝑅𝐶 + 1] = 𝑉(𝑠)
𝑉𝑐 𝑠
𝑉(𝑠)
=
1
[𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠 𝑅𝐶 + 1]
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
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• Voltemos ao exemplo da Unidade I
• Poderíamos redesenhar o circuito utilizando as impedâncias:
𝑉𝑐 𝑠
𝑉(𝑠)
=
1
[𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠 𝑅𝐶 + 1]
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
Cs
IRILsIsV
1
)( ++=
Cs
IsVc
1
)( =
• Agora precisamos encontrar Vc/Vs:






++=
Cs
RLsIsV
1
)(






++=
Cs
RLsCssVsV C
1
)()(






++
=
Cs
RLsCs
sV
sVC
1
1
)(
)(
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• Logo, podemos escrever um passo a passo para estudar/modelar os sistemas elétricos por meio de suas funções de
transferência:
• Para se resolver circuitos elétricos complexos – aqueles com múltiplas malhas e nós – utilizando a análise das malhas,
podemos executar os seguintes passos:
1. Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.
2. Substituir todas as fontes e variáveis temporais por suas transformadas de Laplace.
3. Admitir uma corrente transformada e um sentido de corrente em cada malha.
4. Escrever a lei de Kirchhoff das tensões para cada malha.
5. Resolver as equações simultâneas para a saída.
6. Formar a função de transferência.
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
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• Vamos a um exemplo: considere o circuito abaixo, determine a função de transferência, .
• SOLUÇÃO: O primeiro passo para a solução é converter o circuito em transformadas de Laplace para impedâncias e
variáveis do circuito, admitindo condições iniciais nulas. O resultado é mostrado na Figura 2.6(b). O circuito com o qual
estamos lidando requer duas equações simultâneas para obtermos a função de transferência. Essas equações podem
ser obtidas somando-se as tensões ao longo de cada malha, através das quais admitimos que circulem correntes I1(s)
e I2(s). Para a Malha 1, em que circula I1(s),
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
𝐼2(𝑠)
𝑉(𝑠)
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• Para a Malha 1, em que circula I1(s),
• Para a malha 2, em que circula I2(s),
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
)()()()( 2111 sILssILssIRsV −+=
0)()(
1
)()( 12222 =−++ sILssI
Cs
sIRsILs
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• O exercício pede a função de transferência I2(s)/V(s):
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
)()()()( 2111 sILssILssIRsV −+=
0)()(
1
)()( 12222 =−++ sILssI
Cs
sIRsILs )(
1
)()()( 22221 sI
CssIRsILssILs ++=
Ls
sI
Cs
sIRsILs
sI
)(
1
)()(
)(
2222
1
++
=
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• O exercício pede a função de transferência I2(s)/V(s):
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
)()()()( 2111 sILssILssIRsV −+=
Ls
sI
Cs
sIRsILs
sI
)(
1
)()(
)(
2222
1
++
=
( ) )()()( 211 sILsLsRsIsV −+=
( ) )(
)(
1
)()(
)( 21
2222
sILsLsR
Ls
sI
Cs
sIRsILs
sV −+
++
=
( )












−
+





++
= Ls
Ls
LsR
Cs
RLs
sIsV
12
2
1
)()( ( )












−
+





++
=
Ls
Ls
LsR
Cs
RLs
sV
sI
12
2
1
1
)(
)(
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• O exercício pede a função de transferência I2(s)/V(s):
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
( ) LsLsLsR
Cs
RLs
Ls
sV
sI
−+





++
=
12
2
1)(
)(
( )( ) CsLsLsLsRCsRCsLs
LCs
sV
sI
−+++
=
12
2
2
1)(
)(
( )












−
+





++
=
Ls
Ls
LsR
Cs
RLs
sV
sI
12
2
1
1
)(
)(
( )












−+





++
=
Ls
LsLsLsR
Cs
RLs
sV
sI
12
2
1
1
)(
)(
( )( )
Cs
CsLsLs
Cs
LsRCsRCsLs
Ls
sV
sI
−
+++
=
12
2
1)(
)(
CsLsLsLsLsCsRLsCsLsRCsRRCsLsR
LCs
sV
sI
−+++++
=
21211
2
2
)(
)(
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• Obtenha a transformada de Laplace de f(t) = te–5t
2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
LsLCsRRCsRRLCsR
LCs
sV
sI
++++
=
2
2121
2
1
2
2
)(
)(
CsLsLsLsLsCsRLsCsLsRCsRRCsLsR
LCs
sV
sI
−+++++
=
21211
2
2
)(
)(
( ) ( ) 121
2
21
2
2
)(
)(
RsLCRRLCsRR
LCs
sV
sI
++++
=
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• Mostramos que circuitos elétricos podem ser modelados por uma função de transferência, G(s), que relaciona algebricamente a transformada
de Laplace da saída com a transformada de Laplace da entrada. Agora, iremos fazer o mesmo para os sistemas mecânicos.
• Os sistemas mecânicos se assemelham tanto aos circuitos elétricos que existem analogias entre componentes e variáveis elétricos e
mecânicos. Os sistemas mecânicos, da mesma forma que os circuitos elétricos, possuem três componentes lineares passivos. Dois deles, a
mola e a massa, são elementos armazenadores de energia, e o outro, o amortecedor viscoso, dissipa energia. Os dois elementos
armazenadores de energia são análogos aos dois elementos armazenadores de energia elétricos, o indutor e o capacitor. O dissipador de
energia é análogo à resistência elétrica. Na tabela, K, fv e M são chamados de constante de mola, coeficiente de atrito viscoso e massa,
respectivamente.
2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
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• O sistema mecânico requer apenas uma equação diferencial, chamada de equação de movimento, para descrevê-lo. Inicialmente admitiremos
um sentido positivo para o movimento, por exemplo, para a direita. Esse sentido positivo de movimento adotado é similar a admitir um sentido
para a corrente em uma malha elétrica. Utilizando o sentido adotado para o movimento positivo, desenhamos inicialmente um diagrama de
corpo livre, colocando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele, tanto no sentido do movimento quanto no sentido oposto. Em
seguida, utilizamos a lei de Newton para produzir uma equação diferencial de movimento somando as forças e igualando a soma a zero.
Finalmente, admitindo condições iniciais nulas aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial, separamos as variáveis e
chegamos à função de transferência. Segue um exemplo.
• Determine a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo:
2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
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SOLUÇÃO: Comece a solução desenhando o diagrama de corpo livre mostrado na figura. Coloque sobre a massa todas as forças exercidas
sobre ela. Admitimos que a massa esteja se movendo para a direita. Assim, apenas a força aplicada é orientada para a direita; todas as demais
forças dificultam o movimento e atuam para se opor a ele. Assim, as forças da mola, do amortecedor viscoso e a decorrente da aceleração são
orientadas para a esquerda.
Escrevemos agora a equação diferencial de movimento utilizando a lei de Newton para igualar a zero a soma de todas as forças mostradas
atuando sobre a massa:
Aplicando a transformada de Laplace, admitindo condições iniciais nulas:
2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos
    )()()0()()0´()0()(2 sFSXKxSsXfxxssXsM v =+−+−−
)()()()(2 sFSXKSsXfsXsM v =++
( ) )()(2 sFsXKsfsM v =++ ( )KsfsMsF
sX
v ++
=
2
1
)(
)(
2.6 Sistema Completo
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2.7 Exercícios
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Determine a função de transferência, G(s) = Vs(s)/Ve(s), para cada circuito mostrado:
0
)(
1
)(
1
)()(
=++
−
s
sVsVsVsV ooio
( ) 0)()()()( =++− sVssVssVsV ooio
( ) 0=++− ooio VsVsVV
0=++− ooio VsVsVsV
02 =+− oio VsVsV sVVsV ioo =+2 ( ) sVsV io =+ 12 ( )12 +
=
s
s
V
V
i
o
2.8 Modelagem do Filtro
• Filtro Passa-Baixo 1 (R=1 ohm e C=1 farad)
1.1 Equação no domínio do tempo:
1.2 Função de Transferência
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+=
+=
 di
C
tRiv
vvv
e
cre
)(
1
)(
RCs
sG
RCssV
sV
CsR
Cs
RCs
Cs
R
Cs
sV
sV
sI
Cs
sRIsV
e
c
e
c
e
+
=
+
=
+
=






+
=
+
=
+=
1
1
)(
1
1
)(
)(
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)(
1
)()(
1.3 Resultado da Laplace Inversa
t
RCe
RC
tg
RC
sRC
RCsRCs
sG
1
1
)(
1
1
1
1
1
1
)(
−
=






+
=
+
=
+
=
1.4 Diagrama de Polos e Zeros
101
1
1
111
1
1
1
)( −==+
+
=
+
=
+
= ss
ssRCs
sG
2.9 Modelagem de Sistemas e Circuitos Diversos
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2.9 Modelagem de Sistemas e Circuitos Diversos
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2.9 Modelagem de Sistemas e Circuitos Diversos
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2.9 Modelagem de Sistemas e Circuitos Diversos
32
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Curso de Engenharia Elétrica
NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.9 Modelagem de Sistemas e Circuitos Diversos
33
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NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.9 Modelagem de Sistemas e Circuitos Diversos
34
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NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
2.10 Modelagem de um Motor CC (motor de tração)
• A maioria dos trens modernos e dos veículos de trânsito local utilizamotores elétricos de tração. O acionamento de um motor
elétrico para um veículo de ferrovia é mostrado abaixo sob a forma de diagramas de blocos.
• No projeto, o objetivo é obter um modelo de sistema e a função de transferência à malha fechada do sistema e selecionar os
elementos apropriados (resistores, por exemplo).
• Em seguida, temos que escrever a função de transferência de cada bloco.
35
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2.10 Modelagem de um Motor CC (motor de tração)
36
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• Vamos admitir que agora nosso objetivo [e projetar um filtro passa-baixa de primeira ordem que deixe passar sinais com
frequências abaixo de 106,1 Hz e que atenue sinais com frequências acima de 106,1 Hz.
• Vejamos o modelo do circuito do fltro:
• Em seguida, vamos escrever as equações para as quatro variáveis.
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
37
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( )
( )
( )
CZIV
RIIV
R
VV
I
R
VV
I
=
−=
−
=
−
=
23
212
32
2
21
1
• Utilizando a Regra de Mason:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
38
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( )( ) 11
1
1 −=−





= R
R
L
( ) ( ) 11
1
2 −=−





=
R
RL
( )
RCsCsR
L
1
1
11
3 −=−











=
( ) ( )( )
RCsCsR
R
R
C
111
1
1
11 =

















=
( )
RCs
RCs
RCsRCsRCsRCsRCs
232
3
11
3
1
1
1
111
+
=+=++=











−−+



−−−−=
RC
s
RC
RC
sRC
RCs
RCs
RCs
RCsC
sV
sV
3
2
3
1
3
2
3
1
23
1
23
1
)(
)( 11
1
3
+
=






+
=
+
=
+
=


=
• Utilizando Diagrama de Blocos:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
39
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NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
( )
( )
( )
CZIV
RIIV
R
VV
I
R
VV
I
=
−=
−
=
−
=
23
212
32
2
21
1
V1
1/R 1/R
V2I1
R
V3I2
Zc
-
+ -+ +
-
• Utilizando Diagrama de Blocos:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
40
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V1
1/R 1/R
V2I1
R
V3I2
Zc
-
+ -+ +
-
V1
1/R 1/R
V2I1
R
V3I2
Zc
-
+ -+ +
-
Zc
• Utilizando Diagrama de Blocos:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
41
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V1
1/R
V2I1
R
V3I2
Zc
-
+ -+
V1
1/R 1/R
V2I1
R
V3I2
Zc
-
+ -+ +
-
Zc
ൗ1 𝑅
1 + ൗ𝑍𝑐 𝑅
• Utilizando Diagrama de Blocos:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
42
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V1
1/R
V2I1
R
V3I2
Zc
-
+ -+
1
𝑅 + 𝑍𝑐
V1
1/R
V2I1
R
V3I2
Zc
-
+ -+
1
𝑅 + 𝑍𝑐
1
𝑅 + 𝑍𝑐
• Utilizando Diagrama de Blocos:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
43
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NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
V1
1/R
V3
Zc
-
+
1
𝑅 + 𝑍𝑐
V1
1/R R
V3
Zc
-
+ -+
1
𝑅 + 𝑍𝑐
1
𝑅 + 𝑍𝑐
𝑅
1 +
𝑅
𝑅 + 𝑍𝑐
• Utilizando Diagrama de Blocos:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
44
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V1 V3
Zc
-
+
1
𝑅 + 𝑍𝑐
(𝑅 + 𝑍𝑐)
𝑅 + 𝑍𝑐 + 𝑅
V1
1/R
V3
Zc
-
+
1
𝑅 + 𝑍𝑐
𝑅(𝑅 + 𝑍𝑐)
𝑅 + 𝑍𝑐 + 𝑅
• Utilizando Diagrama de Blocos:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
45
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V1 V3
Zc
-
+
1
𝑅 + 𝑍𝑐
(𝑅 + 𝑍𝑐)
𝑅 + 𝑍𝑐 + 𝑅
V1 V3
Zc
+
1
𝑅 + 𝑍𝑐
(𝑅 + 𝑍𝑐)
𝑅 + 𝑍𝑐 + 𝑅 + (𝑅 + 𝑍𝑐)
( )
( ) ( ) ( )
Cs
RCs
Cs
Cs
R
Cs
ZR
Z
ZRRZR
Z
Z
ZRZRRZR
ZR
C
C
CC
C
C
CCC
C
23
1
123
1
23
1
+
=
+
=
+
=
++++
=
+

++++
+
( ) ( )
RC
s
RC
RC
sRCRCs
3
2
3
1
3
23
1
23
1
+
=
+
=
+
=
• Sabemos que a equação característica de um filtro passa-baixa:
• Se escolhermos um resistor de 1kohm, logo:
• Sabemos que nossa função de transferência é:
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
46
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.001,0
2000
2
7,6663
2
7,666
3
2
3
2
3
1
1
3 ==

==
+
= RC
RC
RC
s
RC
V
V
7,6661,10622)( 1
1
3 ===
+
== fp
ps
z
V
V
sG
FCFCCRRC 110001,010001000001,0 6 ===== −
7,666
3,333
001,03
2
001,03
1
3
2
3
1
)(
1
3
+
=

+

=
+
==
ss
RC
s
RC
V
V
sG
• Observem que próximo aos 106,1 Hz, vemos a queda no diagrama de Bode.
2.11 Modelagem de um Filtro Passa-Baixa
47
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• Esta unidade mostrou que os sistemas físicos podem ser modelados matematicamente através de funções de transferência.
Tipicamente os sistemas são constituídos de subsistemas de diferentes tipos, como elétrico, mecânico e eletromecânico. O
estudo de caso em questão utiliza o exemplo continuado do sistema de controle de posição de azimute de antena para mostrar
como representar cada subsistema através de uma função de transferência.
2.11 Estudo de Caso: Antena
48
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• O objetivo deste sistema é fazer com que a saída do ângulo de azimute da antena, θs(t), siga o ângulo de entrada do
potenciômetro, θe(t).
• O comando de entrada é um deslocamento angular. O potenciômetro converte o deslocamento angular em uma tensão.
Analogamente, o deslocamento angular da saída é convertido em uma tensão pelo potenciômetro na malha de realimentação.
Os amplificadores de sinal e de potência ressaltam a diferença entre as tensões de entrada e de saída. Este sinal de atuação
amplificado aciona a planta.
• O sistema normalmente opera para levar o erro a zero. Quando a entrada e a saída se igualam, o erro será nulo e o motor não
irá girar. Assim, o motor é acionado apenas quando a saída e a entrada são diferentes. Quanto maior a diferença entre a
entrada e a saída, maior será a tensão de entrada do motor e mais rápido ele irá girar.
• Caso aumentemos o ganho do amplificador de sinal, haverá um aumento no valor da saída em regime permanente? Se o ganho
for aumentado, então, para um dado sinal de atuação, o motor será acionado mais intensamente. Entretanto, o motor ainda irá
parar quando o sinal de atuação for igual a zero, isto é, quando a saída se igualar à entrada. A diferença na resposta,
entretanto, estará no transitório, uma vez que o motor é acionado mais intensamente, ele gira mais rapidamente em direção à
sua posição final. Além disso, por causa da velocidade maior, a maior quantidade de movimento angular poderia fazer com que
o motor ultrapassasse o valor final e fosse forçado pelo sistema a voltar à posição comandada. Portanto, existe a possibilidade
de uma resposta transitória que consista em oscilações amortecidas (isto é, uma resposta senoidal cuja amplitude diminui com
o tempo) em torno do valor de regime permanente, se o ganho for elevado. As respostas para ganho baixo e para ganho
elevado são mostradas na figura do próximo slide.
2.11 Estudo de Caso: Antena49
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• Nós examinamos a resposta transitória do sistema de controle de posição. Vamos agora dirigir nossa atenção à posição em regime
permanente, para verificar quão de perto a saída se aproxima da entrada depois que os transitórios desaparecem.
• Definimos o erro em regime permanente como a diferença entre a entrada e a saída depois que os transitórios tiverem efetivamente
desaparecido. A definição se adéqua igualmente bem para entradas em degrau, em rampa e outros tipos de entrada. Tipicamente, o
erro em regime permanente diminui com um aumento no ganho e aumenta com uma diminuição no ganho.
• A figura acima mostra erro nulo na resposta em regime permanente; isto é, depois que os transitórios desapareceram, a posição de
saída se iguala à posição de entrada comandada. Em alguns sistemas, o erro em regime permanente não será nulo; para esses
sistemas um simples ajuste de ganho para regular a resposta transitória ou é ineficiente, ou leva a uma solução de compromisso
entre a resposta transitória desejada e a exatidão em regime permanente desejada.
• Em resumo, nossos objetivos de projeto e o desempenho do sistema giram em torno da resposta transitória, do erro em regime
permanente e da estabilidade.
2.11 Estudo de Caso: Antena
50
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• Em resumo, nossos objetivos de projeto e o desempenho do sistema giram em torno da resposta transitória, do erro em regime
permanente e da estabilidade.
• Vamos ao problema: Determine a função de transferência para cada subsistema do esquema do sistema de controle de posição
de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras. Utilizaremos os valores da tabela abaixo.
2.11 Estudo de Caso: Antena
51
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• Primeiro identificamos os subsistemas individuais para os quais devemos determinar as funções de transferência.
• Potenciômetro de Entrada e Potenciômetro de Saída
Como os potenciômetros de entrada e de saída são configurados do mesmo modo, suas funções de transferência serão idênticas.
Desprezamos a dinâmica dos potenciômetros e determinamos simplesmente a relação entre a tensão de saída e o deslocamento
angular de entrada. Na posição central, a tensão de saída é zero. Cinco voltas tanto no sentido dos 10 volts positivos quanto no
sentido dos 10 volts negativos resultam em uma variação de tensão de 10 volts. Assim, a função de transferência, Ven(s)/θen(s),
para os potenciômetros é determinada dividindo-se a variação da tensão pelo deslocamento angular:
2.11 Estudo de Caso: Antena
52
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NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
Subsistema Entrada Saída
Potenciômetro de entrada Deslocamento angular a partir do usuário, θen(t) Tensão para o pré-amplificador, ven(t)
Pré-amplificador Tensão dos potenciômetros, ve(t) = ven(t) − vs(t) Tensão para o amplificador de potência, vp(t)
Amplificador de potência Tensão do pré-amplificador, vp(t) Tensão para o motor, ea(t)
Motor Tensão do amplificador de potência, ea(t) Deslocamento angular para a carga, θs(t)
Potenciômetro de saída Deslocamento angular da carga, θs(t) Tensão para o pré-amplificador, vs(t)

1
10
10
)(
)(
==
s
sV
en
en
• Pré-amplificador e Amplificador de Potência
As funções de transferência dos amplificadores são fornecidas no enunciado do problema. Dois fenômenos são desprezados.
Primeiro, admitimos que a saturação nunca seja alcançada. Segundo, a dinâmica do pré-amplificador é desprezada, uma vez que
sua velocidade de resposta é tipicamente muito maior do que a do amplificador de potência. As funções de transferência de ambos
os amplificadores são dadas no enunciado do problema e são as razões obtidas pela divisão das transformadas de Laplace das
tensões de entrada pelas transformadas de Laplace das tensões de saída. Assim, para o pré-amplificador,
e para o amplificador de potência,
2.11 Estudo de Caso: Antena
53
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Curso de Engenharia Elétrica
NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
K
sV
sV
e
p
=
)(
)(
100
100
)(
)(
+
=
ssV
sE
p
a
• Motor e Carga
O motor e sua carga são os seguintes. A função de transferência relacionando o deslocamento da armadura à tensão na armadura
é dada na equação abaixo.
A inércia equivalente, Jm e em que JL = 1 é a inércia da carga em θs. O amortecimento viscoso equivalente, Dm, na armadura e em
que DC é o amortecimento viscoso da carga em θs.
2.11 Estudo de Caso: Antena
54
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NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
( )












++
=
a
cet
m
m
ma
t
a
m
R
KK
D
J
ss
JR
K
sE
s
1)(
)(
03,0
250
25
102,0
22
2
1 =





+=





+=
N
N
JJJ Lam
250
25
1
02,0
2
1
2
2
=
=
=
=
N
N
mkgJ
mkgJ
L
a
radsmND
radsmND
L
a
/1
/01,0
=
=
02,0
250
25
101,0
22
2
1 =





+=





+=
N
N
DDD Lam
• Motor e Carga
A partir do enunciado do problema, Kt = 0,5 N·m/A, Kce = 0,5 V·s/rad e a resistência da armadura Ra = 8 ohms. Esses valores,
juntamente com Jm e Dm, são substituídos na equação do slide anterior, resultando na função de transferência do motor, da tensão
na armadura para o deslocamento da armadura, ou
2.11 Estudo de Caso: Antena
55
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( ) ( )
( )71,1
2083,0
8,0
5,05,0
02,0
03,0
1
03,08,0
5,0
1)(
)(
+
=











 
++

=












++
=
ss
ss
R
KK
D
J
ss
JR
K
sE
s
a
cet
m
m
ma
t
a
m
• Redução do Diagrama de Blocos e apresentação da FT
2.11 Estudo de Caso: Antena
56
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• Fluxo de Sinais
2.11 Estudo de Caso: Antena
57
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• Fluxo de Sinais
Caminhos à frente:
Ganhos de Laço (ganhos de malha fechada):
Laços que se tocam dois a dois:
Calculo de Delta:
Função de transferência:
2.11 Estudo de Caso: Antena
58
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• Equação no tempo
Vamos substituir o amplificador de potência por uma função de transferência unitária e K = 1.000.
Agora vamos deduzir a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema.
2.11 Estudo de Caso: Antena
59
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NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
( ) ( ) ( ) ( )71,1
3,66
14159,371,1
10002083,0
71,1
2083,0
71,1
2083,0
1)(
+
=
+

=
+
=
+
=
ssssss
K
ss
K
sG

( ) 3,6671,1
3,66
3,6671,1
3,66
)(
2 ++
=
++
=
ssss
sT
• Equação no tempo
Agora vamos deduzir a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema.
2.11 Estudo de Caso: Antena
60
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NIT - CCE0267 – 3004 – MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
( ) ( )3,6671,1
3,661
3,6671,1
3,66
)(
2 ++
=
++
=
ssssss
sC
03,6671,12 =++ ss
097,8855,01 js −−=
097,8855,02 js +−=
( ) 097,8855,0097,8855,03,6671,1
3,66
)(
2 js
C
js
B
s
A
sss
sC
−+
+
++
+=
++
=
( )( ) 097,8855,0097,8855,0097,8855,0097,8855,0
3,66)(
js
C
js
B
s
A
jsjss
sC
−+
+
++
+=
−+++
=
• Equação no tempo
Agora vamos deduzir a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema.
2.11 Estudo de Caso: Antena
61
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( )( ) 097,8855,0097,8855,0097,8855,0097,8855,0
3,66
)(
js
C
js
B
s
A
jsjss
sC
−+
+
++
+=
−+++
=
0→ sA
( )( ) 097,8855,0097,8855,0097,8855,0097,8855,0
3,66
js
Cs
js
Bs
s
As
jsjss
s
−+
+
++
+=
−+++
( )( ) 097,8855,0097,8855,0097,8855,0097,8855,0
3,66
js
Cs
js
Bs
A
jsjs −+
+
++
+=
−+++
( )( )
00
097,8855,0097,8855,0
3,66
++=
−+
A
jj
1=A
• Equação no tempo
Agora vamos deduzir a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema.
2.11 Estudo de Caso: Antena
62
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( )( ) 097,8855,0097,8855,0097,8855,0097,8855,0
3,66
)(
js
C
js
B
s
A
jsjss
sC
−+
+
++
+=
−+++
=
097,8855,0 jsB −−→
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
097,8855,0
097,8855,0
097,8855,0
097,8855,0097,8855,0
097,8855,0097,8855,0
097,8855,03,66
js
jsC
js
jsB
s
jsA
jsjss
js
−+
++
+
++
++
+
++
=
−+++
++
053,005,0 jB −−=
( )
00
097,8855,0
3,66
++=
−+
B
jss
( ) ( )( )097,8855,0097,8855,0097,8855,0
3,66
jjj
B
−+−−−−
=
• Equação no tempo
Agora vamos deduzir a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema.
2.11 Estudo de Caso: Antena
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( )( ) 097,8855,0097,8855,0097,8855,0097,8855,0
3,66
)(
js
C
js
B
s
A
jsjss
sC
−+
+
++
+=
−+++
=
097,8855,0 jsC +−→
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
097,8855,0
097,8855,0
097,8855,0
097,8855,0097,8855,0
097,8855,0097,8855,0
097,8855,03,66
js
jsC
js
jsB
s
jsA
jsjss
js
−+
−+
+
++
−+
+
−+
=
−+++
−+
053,005,0 jC +−=
( )
C
jss
++=
++
00
097,8855,0
3,66
( ) ( )( )097,8855,0097,8855,0097,8855,0
3,66
jjj
B
+++−+−
=
• Equação no tempo
Agora vamos deduzir a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema.
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( )( ) 097,8855,0
053,005,0
097,8855,0
053,005,01
097,8855,0097,8855,0
3,66
)(
js
j
js
j
sjsjss
sC
−+
+−
+
++
−−
+=
−+++
=
( ) ( ) ( ) ( )tjtj ejejtc 097,8855,0097,8855,0 053,005,0053,005,01)( +−−− +−+−−+=
( ) ( ) ( )( ) radjs 814,0073,0º66,46073,0
05,0
053,0
tan053,005,0053,005,0 1
22
1 ==





−
−
−+−=−−= −
( ) ( ) ( )( ) radjs 814,0073,0º66,46073,0
05,0
053,0
tan053,005,0053,005,0 1
22
2 −=−=





−
+−=+−= −
( ) ( )tjjtjj eeeetc 097,8855,0814,0097,8855,0814,0 073,0073,01)( +−−−− ++=
tjtjtjtj eetc 097,8855,0814,0097,8855,0814,0 073,0073,01)( +−−−− ++=
ttjjttjj eeeetc 855,0097,8814,0855,0097,8814,0 073,0073,01)( −+−−− ++=
 tjjtjjt eeetc 097,8814,0097,8814,0855,0073,01)( +−−− ++= ( ) tetc t 097,8814,0cos2073,01)( 855,0 −+= −
( ) ( ) ( ) ( ) ttetc t 097,8sin814,0sin097,8cos814,0cos2073,01)( 855,0 ++= −
• Equação no tempo
Agora vamos deduzir a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema.
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( )( ) 097,8855,0
053,005,0
097,8855,0
053,005,01
097,8855,0097,8855,0
3,66
)(
js
j
js
j
sjsjss
sC
−+
+−
+
++
−−
+=
−+++
=
( ) ( ) ( ) ( ) ttetc t 097,8sin814,0sin097,8cos814,0cos2073,01)( 855,0 ++= −
( ) ( ) ttetc t 097,8sin727,0097,8cos686,02073,01)( 855,0 ++= −
( ) ( ) ttetc t 097,8sin106,0097,8cos1,01)( 855,0 ++= −
• Equação no tempo
Agora vamos deduzir a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema.
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( ) ( ) ttetc t 097,8sin106,0097,8cos1,01)( 855,0 ++= −
• Determine a função de transferência, G(s) = VL(s)/V(s):
Escrevendo as equações das malhas:
Trabalhando a equação (2):
Substituindo a equação (2) na equação 1:
2.11 Exercício
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02222
222
2221
211
=+++−
=−+
sIIII
VIIIs i
221
2221
2
2222
IsII
sIIII
+=
−−−=−
( ) ( ) i
i
VIIsIIsIs
VIIIsIsII
=−+++
=−++=
22222
211221
22222
2222
(1)
(2)
( ) ( ) 
24242
1
22222
2
2
2
−+++
=
=−+++
sssV
I
VsssI
i
i
262
12
2 ++
=
ssV
s
V
i
L
22sIVL =
262
2
2 ++
=
ss
s
V
V
i
L