LISTA 4 integracao

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Lista de Atividades: integrabilidade e aplicac¸o˜es
MAT 0318
Objetivo do Roteiro
• Integrais indefinidas;
• Te´cnicas de integrac¸a˜o:
I - Mudanc¸a de varia´veis;
II - Integrac¸a˜o por partes;
III - Integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais;
• Integrais definidas;
• Aplicac¸o˜es de integrac¸a˜o:
I - A´reas de figuras planas;
II - Comprimento de arco de uma curva.
Refereˆncias:
• https://pt.khanacademy.org/
• http://ecalculo.if.usp.br/
1. Integrais indefinidas e te´cnicas de integrac¸a˜o
1. Encontre f tal que:
a) f ′′(x) = 3x+ 2
b) f ′(x) =
√
x+ x4
c) f ′′(x) = cosx+ sinx
2. O gra´fico de uma func¸a˜o g e´ dado ao lado. Fac¸a
um esboc¸o do gra´fico, que passa pelo ponto (0,1),
da func¸a˜o f tal que
f ′(x) = g(x)
3. Calcule as integrais indefinidas indicadas abaixo:
a.
∫ (
9t2 +
1
5
√
t2
)
dt b.
∫ (
1√
x
+ x
√
x
3
)
dx
c.
∫ (
et
2
+
√
t+
1
t
)
dt d.
∫
senx
cos2 x
dx
e.
∫
x2 + x+ 1
x+ 1
dx f.
∫ (
e
x
a + e−
x
a
)2
dx
1.1. Te´cnica de integrac¸a˜o: mudanc¸a de varia´veis.
4. Calcule as integrais indefinidas indicadas abaixo:
a.
∫
(2x2 + 2x− 3)10 (2x+ 1) dx b.
∫
x dx
5
√
x2 − 1
c.
∫ √
x2 + 2x4 dx d.
∫
lnx2
x
dx
e.
∫
ex
√
1 + ex dx f.
∫
xe−x
2
dx
1
2
1.2. Te´cnica de integrac¸a˜o: integrac¸a˜o por partes.
5. Calcule as integrais indefinidas indicadas abaixo:
a.
∫
x lnx dx b.
∫
x senx dx
c.
∫
x2e−x
2
dx d.
∫
lnx2
x
dx
e.
∫
ex senx dx f.
∫
x2ex dx
1.3. Te´cnica de integrac¸a˜o: integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais.
6. Calcule as integrais indefinidas indicadas abaixo:
a.
∫
x
1 + x2
dx b.
∫
1
4− x2 dx
c.
∫
1
x2(4− x) dx d.
∫
lnx2
x
dx
e.
∫
5et
e2t + et − 6 dt f.
∫
x+ 1
x2 − 4x+ 3 dx
2. Integrais definidas e aplicac¸o˜es
7. Calcule a
∫
3
−1
f(x) dx onde f : [−1, 3] → IR cont´ınua com f(x) ≤ 0, para todo x ∈ [−1, 3], e os
conjuntos
A = {(x, y) ∈ IR2 : −1 ≤ x ≤ 3 e y ≥ f(x)} e
B = {(x, y) ∈ IR2 : −1 ≤ x ≤ 3 e y ≤ x2 + 3}
sa˜o tais que a a´rea de A ∩B seja igual a 23 u.a..
8. Calcule as integrais definidas indicadas abaixo:
a.
∫
1
0
x e−x
2
dx b.
∫
0
−1
x
√
x2 + 1 dx c.
∫
3
2
1
3
√
(3x− 5)5 dx
2.1. Aplicac¸a˜o de integrac¸a˜o: a´reas de figuras planas.
9. Represente e calcule a a´rea da regia˜o R = {(x, y) ∈ IR2 : y ≥ x2 − 1 e y ≤ x+ 1}
10. Calcule a a´rea da regia˜o plana delimitada pela curva y = x3− x e por sua reta tangente no ponto de
abscissa x = −1. (Desenhe a regia˜o)
2.2. Aplicac¸a˜o de integrac¸a˜o: comprimento de arco de uma curva.
12. O comprimento do arco de para´bola, y = x2 = 1 para 0 ≤ x ≤ 2, e´ igual a L = √17+ 1
4
ln |4+√17|.
Da mesma forma o comprimento do arco de para´bola y =
√
x, para 0 ≤ x ≤ 4 tem o mesmo valor.
13. Calcule o comprimento do gra´fico das func¸o˜es no intervalo dado:
a) f(x) = ex para 0 ≤ x ≤ 3
b) f(x) = lnx para 1 ≤ x ≤ e3