Equações paramétricas e coordenadas polares e Cálculo de duas ou mais variáveis

Prévia do material em texto

Cálculo II
Prof. Daniel Gaspar
Versão 2015.1
Copyright © 2015 Daniel Gaspar Gonçalves de Souza
Para entrar em contato com o autor utilize o seguinte endereço de e-mail: daniel@gaspar.ws.
O layout desta publicação é licenciado com a Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-
CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma cópia desta licença, visite
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.pt_BR. Baseado na obra
original de Mathias Legrand (legrand.mathias@gmail.com) disponível em http://www.
latextemplates.com. Esta licença se aplica exclusivamente ao design gráfico e exclui toda e
qualquer parte do conteúdo deste material, que é protegido por direito autoral de acordo com
a legislação vigente. A utilização e compartilhamento deste material deve ser previamente
autorizada pelo autor ou seu representante.
Versão provisória, Junho 2015
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.pt_BR
http://www.latextemplates.com
http://www.latextemplates.com
Conteúdo
1 Equações paramétricas e coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Equações paramétricas 5
1.1.1 Equação da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Equações paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Coordenadas polares 7
1.2.1 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Conversões de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Curvas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Seções Cônicas 8
1.3.1 Parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Hipérboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Exercícios 10
2 Cálculo de duas ou mais variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Funções de várias variáveis 13
2.1.1 Funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Derivadas parciais 13
2.3 Derivadas parciais de ordem superior 15
2.4 Plano tangente 15
2.5 Vetor gradiente e derivada direcional 16
2.5.1 Vetor gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.2 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Integrais múltiplas 17
2.6.1 Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.2 Integrais duplas sobre regiões gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.3 Calculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.4 Integrais em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.5 Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Equações paramétricas
Coordenadas polares
Seções Cônicas
Exercícios
1. Equações paramétricas e coordenadas polares
1.1 Equações paramétricas
1.1.1 Equação da reta
Uma reta que passa por um ponto P(x0,y0) e que tem como coeficiente angular m é descrita pela
equação:
(y− y0) = m(x− x0).
Observação
No caso de uma reta tangente à uma curva, m é exatamente o valor da derivada naquele ponto.
Atividade 1.1 Escreva a equação da reta tangente à curva f (x) = x2 +2 no ponto x = 3. �
1.1.2 Equações paramétricas
Até o momento trabalhamos com curvas definidas por funções explícitas y = f (x) ou por equa-
ções implícitas f (x,y) = 0.
Algumas curvas são definidas por uma terceira variável t chamada parâmetro.
! Podemos interpretar o parâmetro como sendo a variável tempo, na qual x e y estão variando.
Derivada de uma função paramétrica
Pela Regra da Cadeia, a inclinação de uma reta tangente à uma curva paramétrica será dada por
m =
y′(t)
x′(t)
.
6 Capítulo 1. Equações paramétricas e coordenadas polares
Atividade 1.2 Descreva a equação da reta tangente à curva{
x = t2−2t
y = t +1
no ponto (0,3). �
Atividade 1.3 Descreva a equação da reta tangente à curva{
x = 2cos(t)
y = 2 sen(t)
no ponto t = π . �
Atividade 1.4 E no ponto t =
π
4
? �
Área sob uma curva
A área sob uma curva definida parametricamente por x = f (t) e y = g(t) do ponto t = a até b é
dado por
L =
∫ b
a
f ′(t)g(t) dt.
Atividade 1.5 Encontre a área sob um arco da cicloide{
x = a [θ − sen(θ)]
y = a [1− cos(θ)]
em uma volta completa. �
! Lembre-se que cos
2(x) = 12 [1+ cos(2x)].
Comprimento de arco
O comprimento de arco de uma curva definida parametricamente por x = f (t) e y = g(t) do
ponto t = a até b é dado por
L =
∫ b
a
√
[ f ′(t)]2 +[g′(t)]2 dt.
Atividade 1.6 Calcule o comprimento da curva{
x = 2t−1
y = t +1
1.2 Coordenadas polares 7
de (−1,1) até (3,3). �
1.2 Coordenadas polares
1.2.1 Sistemas de coordenadas
Pontos no plano ou no espaço são indicados através de coordenadas.
Ex: Ponto A(3,2,1).
Existe mais de um sistema de coordenadas. Até o momento estávamos utilizando apenas o
sistema retangular de coordenadas.
Sistema retangular
Os pontos são indicados por distâncias ortogonais em relação a origem: x e y.
Sistema polar
Os pontos são indicados pela distância com a origem (r) e o ângulo formado com o eixo Ox (θ ).
1.2.2 Conversões de coordenadas
De polar (r,θ) para retangular (x,y):
• x = r× cos(θ)
• y = r× sen(θ)
De retangular (x,y) para polar (r,θ):
• r =
√
x2 + y2
• θ = tg−1
( y
x
)
Atividade 1.7 Converta para coordenadas polares:
• (0,3)
• (3,2)
�
Atividade 1.8 Converta para coordenadas retangulares:
• (1,30◦)
• (3,90◦)
�
1.2.3 Curvas polares
Definição
Uma curva polar é o lugar geométrico de todos os pontos P que tenham uma representação (r,θ)
que atendam a uma equação
r = f (θ) ou F(r,θ) = 0.
8 Capítulo 1. Equações paramétricas e coordenadas polares
Atividade 1.9 (Stewart 10.3 Ex 4) Que curva é representada pela equação polar r = 2? �
Atividade 1.10 (Stewart 10.3 Ex 5) Esboce a curva polar θ = 1. �
Derivada de curvas polares
A inclinação da reta tangente à uma curva polar r(θ) é dada por
m =
r′sen(θ)+ r cos(θ)
r′ cos(θ)− r sen(θ)
.
Atividade 1.11 (Stewart 10.3 Ex 9a) Para a cardioide r = 1+ sen(θ), calcule a inclinação
da reta tangente quando θ = π/3. �
Área debaixo da curva
À área delimitada por uma curva polar é dada por
A =
1
2
∫ b
a
[r(θ)]2 dθ .
Atividade 1.12 Calcule a área debaixo da curva r(θ) = θ 2 +4θ com 0 < θ < π4 . �
Atividade 1.13 (Stewart 10.4 Ex 1) Calcule a área delimitada por r = cos(2θ) entre θ =
−π/4 e θ = π/4. �
! Lembre-se que cos
2(x) = 12 [1+ cos(2x)].
Comprimento de arco
O comprimento da curva com equação polar r(θ) entre θ = a e θ = b é dado por
L =
∫ b
a
√
r2(θ)+ [r′(θ)]2 dθ .
Atividade 1.14 Calcule o comprimento da curva r =
√
2eθ no trecho 0 < θ < π . �
1.3 Seções Cônicas
Uma seção cônica é uma curva obtida através da interseção de uma superfície cônica com um
plano.
1.3 Seções Cônicas 9
Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Conic_sections_with_plane.svg
1.3.1 Parábolas
Conjunto de todos os pontos de um plano que são equidistantes à uma reta (chamada diretriz) e
à um ponto (chamado foco).
Observação
O ponto na metade do caminho entre o foco e a diretriz é chamado vértice da parábola.
• (x−a)2 = 4p(y−b) é a parábola virada para cima (p > 0) ou para baixo (p < 0) com
vértice em (a,b), foco em (a,b+ p) e diretriz y = b− p;
• (y−b)2 = 4p(x−a) é a parábola virada para direita (p > 0) ou para esquerda (p < 0)
com vértice em (a,b), foco em (a+ p,b) e diretriz x = a− p;
Atividade 1.15 (Stewart 10.5 Ex 1) Encontre o foco, o vértice e a diretrizda parábola
y2 +10x = 0 e esboce o gráfico. �
1.3.2 Elipses
Conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias com dois pontos fixos (focos)
é constante.
Observação
Os pontos da elipse que estão no eixo formado pelos focos são chamados vértices.
(
x−a
c
)2
+
(
y−b
d
)2
= 1.
• Se c > d a elipse é deitada e possui focos em (a± f ,b) onde f =
√
c2−d2 e vértices em
10 Capítulo 1. Equações paramétricas e coordenadas polares
(a± c,b);
• Se d > c a elipse é em pé e possui focos em (a,b± f ) onde f =
√
d2− c2 e vértices em
(a,b±d);
Atividade 1.16 Esboce o gráfico de 9x2 +16y2 = 144 e localize os focos e os vértices. �
1.3.3 Hipérboles
Conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias com dois pontos fixos
(focos) é constante.
Observação
Os pontos da hipérbole que estão no eixo formado pelos focos são chamados vértices.
•
( x−a
c
)2−( y−bd )2 = 1 é uma hipérbole com suas folhas viradas para os lados, com focos
em (a± f ,b) onde f =
√
c2 +d2 e vértices em (a± c,b);
• −
( x−a
c
)2
+
(
y−b
d
)2
= 1 é uma hipérbole com suas folhas viradas para cima e para baixo,
com focos em (a,b± f ) onde f =
√
c2 +d2 e vértices em (a,b±d);
Atividade 1.17 Encontre os focos e vértices da hipérbole 9x2−16y2 = 144. �
1.4 Exercícios
1.1 (Stewart 10.5 1-8) Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
• x2 = 6y
• 3x2 +8y = 0
1.2 (Stewart 10.5 11-16) Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico.
•
x2
9
+
y2
5
= 1
• 4x2 +25y2 = 25
1.3 (Stewart 10.5 19-24) Encontre os vértices e os focos da hipérbole e esboce seu gráfico.
•
y2
25
− x
2
9
= 1
• x2− y2 = 100
1.4 Determine a equação da reta tangente à r = θ + sen(θ) quando θ = π/2.
1.5 Determine a equação da reta tangente à r = θ 2 quando θ = 1.
1.6 Determine a equação da reta tangente à curva{
x = 2t2
y = 2 sen(t)
no ponto t = π2 .
1.7 Calcule o comprimento da curva {
x = t3 +4
y = 2t3−3
de t = 1 até t = 3.
1.4 Exercícios 11
1.8 Calcule o comprimento da curva {
x = 2t2 +4
y = t2
de (4,0) até (22,9).
1.9 Qual a área debaixo da curva r(θ) = 3θ 2− θ2 no segundo quadrante?
1.10 Qual o comprimento da curva r(θ) = 2 sen (θ) entre θ = π e θ = 2π?
1.11 Qual a área debaixo da curva r(θ) = 1
θ 2
em 1 < θ < π2 onde r é dado em metros?
1.12 O logotipo do Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos (IEEE) possui um
logotipo cuja forma externa é uma astroide de equações paramétricas{
x = cos3(t)
y = sen3(t)
.
Determine a reta tangente ao logotipo em t = π3 .
1.13 Determine a área entre t = 0 e t = 2 embaixo da curva{
x = t2−3
y = 3t2 +4t
.
Funções de várias variáveis
Derivadas parciais
Derivadas parciais de ordem superior
Plano tangente
Vetor gradiente e derivada direcional
Integrais múltiplas
2. Cálculo de duas ou mais variáveis
2.1 Funções de várias variáveis
2.1.1 Funções de duas variáveis
Definição
Uma função de duas variáveis é uma função que associa a cada par (x,y) um único valor real
f (x,y).
Geralmente escrevemos que z = f (x,y).
Atividade 2.1 Para cada uma das seguintes funções, calcule f (3,2).
• f (x,y) =
√
x+ y+1
x−1
• f (x,y) = x ln(y2− x)
�
O gráfico de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pontos em R3 tal que
z = f (x,y). Isto forma uma superfície no espaço.
Lembre-se que interpretamos z (ou seja, f (x,y)) como a altura do ponto em relação ao plano x0y.
2.2 Derivadas parciais
Em uma função de mais de uma variável, podemos estudar o comportamento da variação da
mesma conforme cada variável é variada individualmente.
Por exemplo, a derivada parcial de f (x,y) em relação a x, nos mostra qual é a taxa de
variação de z quando x cresce.
Indicamos a derivada parcial em relação a x através de
∂
∂x
. Por exemplo, a derivada parcial
14 Capítulo 2. Cálculo de duas ou mais variáveis
em x de f (x,y) é dada por
∂ f (x,y)
∂x
ou apenas
∂ f
∂x
.
O símbolo ∂ é o símbolo de derivada parcial e normalmente é chamado de d rond (do
francês "D arredondado").
Analogamente podemos definir
∂ f
∂y
e
∂ f
∂ z
(para funções de três variáveis).
Regra para determinar derivadas parciais
Para determinar a derivada parcial em relação a uma variável, trate as demais variáveis indepen-
dentes como constantes e derive a função em relação à variável desejada.
Exemplo:
Determinar
∂ f
∂x
e
∂ f
∂y
de f (x,y) = x3 + x2y3−2y2.
Atividade 2.2 (Stewart 14.3 Exercícios 15-40) Determine as derivadas parciais de primeira
ordem da função:
• f (x,y) = y5−3xy
• f (x,y) = x4y3−8x2y
• f (x, t) = e−t cos(πx)
• f (x, t) =
√
x ln(t)
• f (x,y) =
x
y
• f (x,y) =
x
(x+ y)2
�
Atividade 2.3 (Stewart 14.3 Exercícios 15-40) Determine as derivadas parciais de primeira
ordem da função:
• w = sen(α)cos(β )
• h(x,y,z, t) = x2ycos
(z
t
)
�
Atividade 2.4 (Stewart 14.3 Exercícios 41;43) Determine as derivadas parciais nos pontos
indicados:
• f (x,y) = ln
(
x+
√
x2 + y2
)
;
∂ f
∂x
(3,4).
• f (x,y,z) =
√
sen2x+ sen2y+ sen2z;
∂ f
∂ z
(0,0,π/4).
�
Atividade 2.5 (Stewart 14.3 Exercícios 15-40) Determine as derivadas parciais de primeira
ordem da função:
• z = (2x+3y)10
• z = tg(xy)
2.3 Derivadas parciais de ordem superior 15
• f (x,y) =
ax+by
cx+dy
• w =
ev
u+ v2
• g(u,v) = (u2v− v3)5
• f (x,y) = xy
• w = ln(x+2y+3x)
• w = zexyz
• u = xy/z
�
2.3 Derivadas parciais de ordem superior
Analogamente com o que foi definido para uma variável, podemos definir derivadas parciais de
ordem superior. Neste caso:
∂
∂x
(
∂ f
∂x
)
=
∂ 2 f
∂x2
∂
∂x
(
∂ f
∂y
)
=
∂ 2 f
∂x∂y
∂
∂y
(
∂ f
∂x
)
=
∂ 2 f
∂y∂x
∂
∂y
(
∂ f
∂y
)
=
∂ 2 f
∂y2
Atividade 2.6 (Stewart 14.3 Ex 6) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem
de f (x,y) = x3 + x2y3−2y2. �
Teorema de Clairaut
Se f for definida em uma bola aberta que contenha o ponto (a,b) e ambas ∂
2 f
∂y∂x e
∂ 2 f
∂x∂y forem
contínuas nessa bola,
∂ 2 f
∂y∂x
=
∂ 2 f
∂x∂y
.
2.4 Plano tangente
Definição
Uma equação para o plano tangente à uma superfície f (x,y) em um ponto P(x0,y0,z0) é dada
por
z− z0 =
∂ f
∂x
(x0,y0)(x− x0)+
∂ f
∂y
(x0,y0)(y− y0),
se f tiver derivadas parciais contínuas.
16 Capítulo 2. Cálculo de duas ou mais variáveis
Atividade 2.7 (Stewart 14.4 Ex 1) Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico
z = 2x2 + y2 no ponto (1,1,3). �
2.5 Vetor gradiente e derivada direcional
2.5.1 Vetor gradiente
Definição
Seja f (x,y). O vetor gradiente de f é dado por
∇ f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
.
Analogamente, para funções de três variáveis, o gradiente é definido como
∇ f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
,
∂ f
∂ z
)
.
! O vetor gradiente aponta para direção onde a derivada é máxima.
Observação
O símbolo ∇ utilizado para indicar gradiente é denominado nabla ou del.
Atividade 2.8 Determine o vetor gradiente da função f (x,y) = x2y3−4y. �
Atividade 2.9 Determine o vetor gradiente da função f (x,y,z) = x sen(yz) no ponto (1,3,0).
�
2.5.2 Derivada direcional
Definição
A derivada direcional de uma função f na direção de um vetor unitário u é dada por
D~u f = ∇ f ·~u.
Atividade 2.10 (Stewart 14.6 Ex 4) Determine a derivada direcional da função f (x,y) =
x2y3−4y no ponto (2,−1) na direção de~v = 2~i+5~j. �
Atividade 2.11 (Stewart 14.6 Ex 5) Determine a derivada direcional da função f (x,y,z) =
x sen(yz) no ponto (1,3,0) na direção de~v =~i+2~j−~k. �
2.6 Integrais múltiplas 17
Atividade 2.12 (Stewart 14.6 Ex 7a) Se f (x,y) = xey determine a taxa de variação de f no
ponto P(2,0) na direção de P a Q(12 ,2). �
Atividade 2.13 (Stewart 14.6 Exercícios 7-10) Determine o gradiente de f , o gradiente no
ponto P e a taxa de variação de f em P na direção do vetor~u.
• f (x,y) = sen(2x+3y), P(−6,4),~u = 12(
√
3~i−~j)
• f (x,y) =
y2
x
, P(1,2),~u = 13(2~i+
√
5~j)
• f (x,y,z) = xe2yz, P(3,0,2),~u =
(2
3 ,−
2
3 ,
1
3
)
• f (x,y,z) =
√
x+ yz, P(1,3,1),~u =
(2
7 ,
3
7 ,
6
7
)
�
Atividade 2.14 (Stewart 14.6 Exercícios 4-6) Determine a derivada direcional de f no ponto
dado e na direção dada pelo ângulo θ .
• f (x,y) = x3y4− x4y3, P(1,1), θ = π/6
• f (x,y) = ye−x,P(0,4), θ = 2π/3
• f (x,y) = ex cos(y), P(0,0), θ = π/4
�
2.6 Integrais múltiplas
2.6.1 Integrais duplas
Da mesma forma que definimos integrais definidas para encontrar áreas sob curvas, podemos
definir uma integral dupla de uma função de duas variáveis para encontrar o volume sob
superfícies.
Definiçao
A integral dupla de uma função f (x,y) sobre uma região R é dada por∫∫
R
f (x,y) dA.
Caso a região R na qual desejamos integrar seja um retângulo podemos utilizar o seguinte
teorema para calcular a integral.
Teorema de Fubini
Se f for contínua no retângulo R = {(x,y)|a≤ x≤ b,c≤ y≤ d}, então∫∫
R
f (x,y) dA =
∫ d
c
∫ b
a
f (x,y) dx dy.
Ex:
∫∫
R
(x−3y2) dA no retângulo R = {(x,y)|0≤ x≤ 2,1≤ y≤ 2}.
! O Teorema de Fubini pode ser aplicado invertendo-se a ordem de dx dy para dy dx.
18 Capítulo 2. Cálculo de duas ou mais variáveis
Atividade 2.15 Calcule
∫∫
R
ysen(xy) dA no retângulo R = {(x,y)|1≤ x≤ 2,0≤ y≤ π}. �
Atividade 2.16 (Stewart 15.2 Exercícios 3,4,5,9) Calcule as seguintes integrais:
•
∫ 4
1
∫ 2
0
(6x2−2x) dy dx
•
∫ 1
0
∫ 2
1
(4x3−9x2y2) dy dx
•
∫ 2
0
∫
π/2
0
x sen(y) dy dx
•
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y
+
y
x
)
dy dx
�
Atividade 2.17 (Stewart 15.2 Exercícios 15,16,19) Calcule as seguintes integrais:
•
∫∫
R
sen(x+ y) dA, R = {(x,y)|0≤ x≤ π2 ,0≤ y≤
π
2 }
•
∫∫
R
(y+ xy−2) dA, R = {(x,y)|0≤ x≤ 2,1≤ y≤ 2}
•
∫∫
R
x sen(x+ y) dA, R =
[
0, π6
]
×
[
0, π3
]
�
2.6.2 Integrais duplas sobre regiões gerais
Caso a região sobre a qual queremos realizar uma integral dupla não seja um retângulo, podemos
também, analogamente ao que foi feito pelo Teorema de Fubini, calcular esta através de duas
integrais, uma em x e uma em y.
! Como a integral interna será substituída na integral externa, os limites de integração da
interna podem ser expressos em função da variável da de fora.
Integrais duplas sobre regiões gerais
Portanto, a integral dupla sobre uma região R pode ser dada por∫∫
R
f (x,y) dA =
∫ x1
x0
∫ y1(x)
y0(x)
f (x,y) dy dx
ou ∫∫
R
f (x,y) dA =
∫ y1
y0
∫ x1(y)
x0(y)
f (x,y) dx dy.
Lembre-se que podemos realizar a integral dupla como uma iterada dx dy ou dy dx. Diferen-
temente do caso retangular, onde inverter as diferenciais apenas invertia os limites de integração,
para regiões gerais esta inversão envolve o recálculo de todos os limites de integração.
! Escolher a ordem das diferenciais será de suma importância.
• Se a região é limitada em y por duas funções de x e limitada por constantes em x
escolha dy dx;
• Se a região é limitada em x por duas funções de y e limitada por constantes em y
escolha dx dy.
2.6 Integrais múltiplas 19
Exemplo: (Stewart 15.3 Ex 1) Calcule
∫∫
D(x+ 2y) dA onde D é a região limitada pelas
parábolas y = 2x2 e y = 1+ x2.
Atividade 2.18 (Stewart 15.3 Ex 2) Encontre o volume do paraboloide z = x2 + y2 em cima
da região limitada pela linha y = 2x e pela parábola y = x2. �
Atividade 2.19 (Stewart 15.3 Exercícios 23-25) Determine o volume do sólido dado.
• Abaixo do plano x−2y+ z = 1 e acima da região limitada por x+ y = 1 e x2 + y = 1;
• Abaixo da superfície z = 2x+ y2 e acima da região limitada por x = y2 e x = y3;
• Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo de vértices (1,1), (4,1) e (1,2).
�
2.6.3 Calculo de áreas
Caso definamos f (x,y) = 1 podemos utilizar a integral dupla para calcular a área da região R.
Atividade 2.20 Calcule a área das regiões limitadas por:
• y = 2x2 e y = 1+ x2;
• x+ y = 1 e x2 + y = 1;
• x = y2 e x = y3;
• pelo triângulo (0,0), (4,0) e (0,2).
�
2.6.4 Integrais em coordenadas polares
Definição
Uma integral dupla pode ser resolvida em coordenadas polares como∫∫
R
f (x,y) dA =
∫
β
α
∫ r1
r0
f (r,θ) r dr dθ .
Atividade 2.21 (Stewart 15.4 Ex 1) Calcule
∫∫
R(3x+4y
2) dA onde R é dado em coordenadas
polares como
R = {(r,θ)|1≤ r ≤ 2,0≤ θ ≤ π} .
�
2.6.5 Integrais triplas
Analogamente ao que foi definido em integrais duplas para funções de duas variáveis, podemos
definir integrais triplas para funções de três variáveis.
Definição
A integral tripla de f (x,y,z) é dada por∫∫∫
E
f (x,y,z) dV =
∫ x1
x0
∫ y1(x)
y0(x)
∫ z1(x,y)
z0(x,y)
f (x,y,z) dz dy dx.
20 Capítulo 2. Cálculo de duas ou mais variáveis
Assim como foi feito para integrais duplas, a ordem das diferenciais pode ser alterada. Os
limites da integral externa precisam ser constantes, os da mediana precisam ser apenas função da
externa, e os da interna podem ser função das outras duas variáveis.
Atividade 2.22 (Stewart 15.7 Ex 1) Calcule a integral tripla
∫∫∫
B xyz
2 dV onde B é a caixa
retangular dada por
B{(x,y,z)|0≤ x≤ 1,−1≤ y≤ 2,0≤ z≤ 3} .
�
Atividade 2.23 Resolva ∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1−x−y
0
z dz dy dx.
�
	Equações paramétricas e coordenadas polares
	Equações paramétricas
	Coordenadas polares
	Seções Cônicas
	Exercícios
	Cálculo de duas ou mais variáveis
	Funções de várias variáveis
	Derivadas parciais
	Derivadas parciais de ordem superior
	Plano tangente
	Vetor gradiente e derivada direcional
	Integrais múltiplas