TRABALHO(AP1) ALGEBRA LINEAR

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UNIVERSIDADE UNIGRANRIO 
RODRIGO ALMEIDA PIZARRO 
MATRÍCULA 5803312 
 
TRABALHO (AP1) 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Macaé, 03 de Abril de 2018.
ENUNCIADO 
 
Nas Unidades 1 a 3, você estudou Matrizes; Determinantes e Sistemas 
Lineares. 
 
 Parte 1 
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos 
científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos 
sobre Multiplicação de Matrizes. 
A partir do resumo, resolva a situação-problema apresentada. 
 
 
 Parte 2 
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos 
científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos 
sobre Determinantes. 
A partir do resumo, resolva as 5 aplicações. 
 
 
 Parte 3 
Com o auxílio de outras fontes de pesquisa (Internet, livros, artigos 
científicos, etc), faça um pequeno resumo contendo definições e exemplos 
sobre Sistemas Lineares. 
A partir do resumo, resolva as 2 aplicações. 
 
 
 
PARTE 1 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES (síntese): 
Quando trabalhamos com matrizes, podemos caracterizá-las em relação ao número de linhas e 
colunas, sendo que identificamos a linha por m e a coluna por n, representando-as, assim, da 
seguinte forma: 
Amxn 
Lemos que a matriz A possui m linhas e ncolunas. Se, por exemplo, temos uma matriz B com 
três linhas e quatro colunas, ela será representada como B3x4. 
 
Quando multiplicamos uma matriz por outra, é necessário que o número de colunas da 
primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado dessa 
multiplicação será uma matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da 
segunda. Vejamos: 
A m x n . B n x p = C m x p 
 
Por exemplo = A multiplicação das matrizes A2 x 3 e B4 x 3 é impossível, pois a primeira possui 
três colunas e a segunda possui quatro linhas. Como esses valores não são iguais, a 
multiplicação não ocorre. 
Agora se pretendemos multiplicar as matrizes A2 x 3 e B3 x 4, além da multiplicação ser 
totalmente possível, podemos ainda garantir que o produto dessas matrizes será uma 
matriz A2 x 4. 
Ao multiplicarmos uma matriz A por outra matriz B, temos que multiplicar todos os 
elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da primeira coluna da matriz B e 
somá-los. 
Outro detalhe importante é que a multiplicação não é comutativa, ou seja, A.B não é 
necessariamente B.A. 
Sempre que uma matriz for multiplicada por uma matriz identidade, ou seja , possui uma 
diagonal principal de „‟1‟‟ e o resto todo „‟0‟‟, a matriz resultante vai ser sempre a inicial, não 
sofrendo alterações. 
 
3 
 
SITUAÇÃO-PROBLEMA: 
 
Uma doceira preparou 3 tipos diferentes de salgados, usando ingredientes conforme a tabela 
abaixo: 
 ovos farinha açúcar carne 
Pastéis 3 6 1 3 
Empadas 4 4 2 2 
Kibes 1 1 1 6 
 
Os preços dos ingredientes constam na tabela abaixo: 
Ingredientes Preço Base(R$) 
ovos 0,20 
farinha 0,30 
açúcar 0,50 
carne 0,80 
 
 
Utilize o conhecimento de MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES e calcule o preço base de 
cada salgado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O preço base será: Pastel = R$ 5,30 Empada = R$ 4,60 Kibe = R$ 5,80 
 
4 
 
PARTE 2 
DETERMINANTES (síntese): 
Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de 
colunas, nas matrizes de ordem 2 x 2, calculamos o determinante de forma prática, 
multiplicando os elementos de cada diagonal e realizando a subtração do produto da diagonal 
principal do produto da diagonal secundária. 
Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2. 
Diagonal principal: 2 * 6 = 12 
Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9 
DetA = 12 – (–9) = 12+9 = 21 
Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e 
a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. 
O valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da 
diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. 
Determinante de uma matriz B de ordem 3 x 3. 
Regra de Sarrus 
 
Diagonal principal 
2 * 6 * 3 = 36 
5 * 7 * (–1) = – 35 
6 * 1 * 2 = 12 
 
Soma = 36 + (–35) + 12 = 13 
Diagonal secundária 
6 * 6 * (–1) = –36 
2 * 7 * 2 = 28 
5 * 1 * 3 = 15 
 
Soma = –36 + 28 + 15 = 7 -- DetB = 13 – 7 = 6 
 
 
5 
 
APLICAÇÃO: 
a) Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3: 
 
 D = 3 
 
 
 
b) Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3: 
 
 
 D = -15 
 
c) Calcule o DETERMINANTE da seguinte matriz de ordem 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 D = 12 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 DET A.B = -8 
 
 
 
 
 
 
e) Calcule o valor de x, a fim de que o DETERMINANTE da matriz A seja nulo. 
 
 
 X = 13 
 
 
 
6 
 
 
PARTE 3 
SISTEMAS LINEARES (síntese): 
Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações lineares. Designamos os sistemas 
lineares pelo número de equações e de incógnitas que eles possuem. De forma geral, um 
sistema linear de m equações e n incógnitas também pode ser chamado de sistema linear m × 
n (lê-se “m por n”), e é constituído de m equações, onde cada equação contém as mesmas n 
incógnitas: 
 
 
 
Se o termo independente de uma equação linear for igual a zero (c = 0), a equação recebe um 
nome específico: equação linear homogênea. Se um sistema for composto apenas por 
equações lineares homogêneas, ele é chamado de sistema linear homogêneo. 
Os sistemas lineares podem ser resolvidos basicamente por duas formas: por escalonamento 
ou pela Regra de Cramer. O escalonamento consiste em levar o sistema a um formato de 
“escada”, ou seja, de equação para equação, no sentido de cima para baixo, há um aumento 
dos coeficientes nulos da esquerda para a direita. A Regra de Cramer é uma ferramenta 
versátil que fornece uma alternativa para o método do escalonamento. Sua aplicação tem 
início com o cálculo do determinante da matriz incompleta do sistema, que é a matriz formada 
pelos coeficientes do sistema. 
É aplicável na resolução de um sistema n x n incógnitas, no qual o determinante diferente de 
zero (D ≠ 0). Ou seja: (x1 = D1 / D, x2 = D2 / D, … , xn = Dn / D). 
Exemplo: 
 
Então: x = Dx/D = -10/-5 = 2 e y = Dy/D = -5/-5 = 1, o par ordenado (2,1) é o resultado do 
sistema linear. 
 
 
7 
 
APLICAÇÃO: 
 
 
Resolva o seguinte SISTEMA LINEAR: 
 
 ( 0,0) 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva o seguinte SISTEMA LINEAR: 
 
 ( 1 , 3, 2)