Aulas Mecanica dos fluidos

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Mecânica dos 
Fluidos II 
Prof. D.Sc. Cláudio C. Pellegrini 
Depto. Ciências Térmicas e dos Fluidos – DCTEF 
 
Análise dimensional, semelhança 
e modelos físicos 
Capítulo 1 
Visão geral 
• Entender os métodos experimentais em MFL 
 
• Aplicar o teorema dos Pi 
 
• Conhecer os principais grupos adimensionais em FTR 
 
• Estudas os modelos físicos e as condições de 
semelhança 
Métodos experimentais em MFL 
Seção 1.1 
Motivação 
• Métodos analíticos (integral e diferencial) resolvem 
problemas simples em MFL 
 
• Problemas mais complexos exigem dados de experimento ou 
de campo 
 
• Mas, experimentos são caros e difíceis de se controlar 
 
• Os dados são de difícil análise devido ao grande número de 
variáveis envolvidas: 
 
1 2( , , , , , , , , , , , , , , ) 0p v ABp T u h s c c k D L LV
Túneis de Vento 
Túneis de Vento 
Ames Laboratory WT’s, May, 1946 
Construção de Experimentos 
Construção de Experimentos 
Full scale WT at NASA's 
research center (Langley 
Air Force Base) 
Mach 6 WT at 
Purdue University 
Construção de Experimentos 
DICAT-DIFI WT 
Construção de Experimentos 
Scale model for 
Folsom Dam 
Model of Addenbrooks 
Hospital in BMT's WT 
River model testing 
Análise de dados 
( , , , )dF f d V
( ) 10 pontos experimentaisdF f d
3
4
( , ) 10x10 pontos
( , , ) 10 pontos
( , , , ) 10 pontos
d
d
d
F f d V
F f d V
F f d V
DF
1
1
1
DF
Variáveis como e não variam contínua ou 
independentemente e são difíceis de ser variadas no experimento
Análise dimensional 
• AD é um método matemático que permite reduzir o número 
de variáveis envolvidas em um fenômeno físico 
 
• Se o fenômeno depende de n variáveis dimensionais, a AD 
reduzirá este número a k variáveis adimensionais (com k < n, 
obviamente) 
 
• No exemplo: 
1 22 2
( , , , ) ( )dd
F Vd
F f d V f
V d
2(Re)AC f
Vantagens 
• Execução dos experimentos mais rápida e mais barata. 
Em alguns casos, experimentos tornam-se factíveis! 
 
• Guia na busca de soluções analíticas e na apresentação 
de resultados de simulação 
 
• Permite obter resultados testando modelos em escala 
 
• Pode ser aplicada a todos os ramos da ciência 
1
2
( , , , )
(Re)
d
f
F f d V
C f
Teorema dos  
(Vaschy-Riabouchinsky-Buckingham) 
Seção 1.2 
Suposições Iniciais 
 
 
 
 
1 2 3 1
Se o problema depende de 1 grandezas físicas mensuráveis, logo
( , , , )n
n
g f g g g
Nenhum problema real viola as seguintes hipóteses: 
1 2 1 2
3 4
As grandezas envolvem dimens es fundamentais denominadas
, , ..., . Em problemas mecânicos por exemplo, , ,
. Em problemas térmicos, ainda .
m
n m õ
L L L L M L L
L T L
1 2
1 2
1 2 1 2
A dimensão de ,denotada [ ], é sempre uma combinação das 
grandezas fundamentais do tipo [ ]
em que sempre ( , , , ) e geralmente ( , , , )
m
i i
a a a
i m
m m
g g
g L L L
a a a a a a
distância, massa
tempo, temperatura
L M
T
 corrente elétrica, N massa molar
 intensidade luminosa
I
C
Suposições Iniciais 
1 2
1 2
1 2
Sendo [ ] , o vetor dimensão de é 
(g )
m
a a a
i m i
T
i m
g L L L g
a a aA
Uma grandeza é dita adimensional quando [ ] 1, ou seja 
(g ) 0 0 0
i
T
i
g
A
1 2
1 2
11 12 1
21 22 2
1
Um problema que depende de grandezas possui uma matriz 
dimensional (única?) dada por , ou seja 
 
 
 
n
n
n
n
m m
n
g g g
a a a
a a a
a a
B A A A
B
1
2
2
 
mn m
L
L
a L
Suposições Iniciais Um problema que depende, por exemplo, de , , , , :
 
 
1 1 1 3 1
 1 0 0 1 1 , pois
2 1 0 0 1
F V d
F V d
L
M
T
B
2
1
3
1 1
[ ] , 
[ ] , 
[ ] , 
[ ] , 
[ ] .
F MLT
V LT
d L
ML
ML T
Suposições Iniciais 
1 2
Um sistema de unidades é uma maneira particular de 
mensurar ( , , , ). Exemplos são o MKS e o CGS do SI.mL L L
1 2 1 1 2 2
1 2
Trocar de sistema de unidades é realizar uma mudança positiva de 
escala nas dimensões fundamentais do problema, ou seja,
: ( , , , ) (c , , , ), em que
(c , , , ) são os fatores de conversã
m m m
m
T L L L L c L c L
c c o
Grandezas adimensionais são invariantes com o sistema de unidades e
podem, portanto, ser ditas intrinsicamente "grandes" ou "pequenas".
1 2 3 1A relação ( , , , ) deve permanecer válida sob qualquer
sistema de unidades, inclusive na forma adimensional.
ng f g g g
Resumindo 
 
 
 
 
1 2 3 1
Se o problema depende de 1 grandezas físicas mensuráveis, logo
( , , , )n
n
g f g g g
1 2 3 1A relação ( , , , ) deve permanecer válida sob qualquer
sistema de unidades, inclusive na forma adimensional.
ng f g g g
1 2
1 2 3 1
1 2 3 1 2
Logo, a validade de ( , , , ) implica na validade de 
( , , , ), sendo , 
[ ] 1, com 
i i im
n
b b b
k i m
i
g f g g g
F g g g
k n
Resta apenas propor um método para obter os i
Enunciando o Teorema dos Pi 
Se um processo físico satisfaz a LHD e involve variáveis 
dimensionais, então ele pode ser reduzido a uma (outra) relação 
entre variáveis adimensionais, ou grupos .
 
n
k
Para ser preciso,
,
em que é o posto da matriz dimensional do problema
k n p
p
2 2
( , , , ) ( )
5, 3 2
d
d
F Vd
F f d V g
V d
n m k
A redução é tal que:
,
em que é o numero de dimensões do problema.
k n m
m
Números são adimensionais! Número de 
pessoas, número de partículas, etc. 
O problema da esfera lisa 
1 Colocação do problema
( , , , ); 5d
p
F f d V n
2
2 1 3 1 1
Dimensões das grandezas envolvidas:
d
p
F d V
LMT L LT ML ML T
3 Redução do número de variáveis ( ):
3 ( , , ), 2
p k n m
m L M T k
4 Escolha das variáveis repetitivas: 
, ,
p
d V
O problema da esfera lisa 
5
1 0 0 0
1
Obtenção do grupos adimensionais:
, , ,a b cd
p
F d V M LT a b c
2 3 0 0 0
1
a b b c cMLT L LT M L M LT
3 2 0 0 0
1 ( )( )( )
c a b c bMM LL L L T T M LT
1 1 3 2 0 0 0( )( )( )c a b c bM L T M LT
1 0
1 3 0
2 0
c
a b c
b
3 1
2
1
a b c
b
c
1 1 3 1 2
0 1 0 2 2
0 0 1 1 1
a a
b b
c c1 2 2
dF
V d
Entenderam por que m = 3? A matriz dimensional 
O problema da esfera lisa 
1 0 0 0
5 2
a b cp d V M LT
3 1 1 1 0 0 0
2
a b b c cL LT M L M LT M LT
1 3 1 1 0 0 0
2 ( )( )( )
c a b c bM M L L L L T T M LT
1 3 1 1 0 0 0( )( )( )c a b c bM L T M LT
3 1
1
1
a b c
b
c
1
1
1
a
b
c
2
Vd
O problema da esfera lisa 
2
3 2 2 2
3 1
1 1
1, ok
Re 1, ok
f
MLT
C
ML LT L
ML LT L
ML T
1 22 2
, d
F Vd
V d
Se um processo físico satisfaz a LHD e involve variáveis 
dimensionais, então ele pode ser reduzido a uma relação entre 
 variáveis adimensionais, ou grupos . Então:
 
n
k
1 22 2
( , , , )
Re
d
d
A
F Vd
F f d V f
V d
C f
Metodologia 
• Liste todas as variáveis dimensionais envolvidas 
– Se houver falta, a análise falhará 
– Se houver sobra, o experimento ficará mais caro 
– Exige uma certa experiência 
• Obtenha as dimensões de cada variável da lista anterior 
• Suponha k = n – m 
• Selecione m variáveis repetitivas 
– Não inclua as variáveis dependentes 
– Escolha variáveis que contenham todas as grandezas fundamentais 
– Nesse sentido, faça a escolha mais simples possível 
– Não useuma variável adimensional 
1
22 2
( , , , )
5, 3 ( , , ) 2
( )
d
d
F f d V
n m L M T k
F Vd
f
V d
Metodologia 
• Adicione uma das variáveis restantes às repetitivas (com 
expoente 1 ou -1) e forme um grupo Pi. 
• Calcule os expoentes por linha-redução da matriz dos 
coeficientes. 
 
• Repita até exaurir as variáveis 
• Escreva a função adimensional 
 
• Verifique a adimensionalidade 
 1
22 2
( , , , )
5, 3 ( , , ) 2
( )
d
d
F f d V
n m L M T k
F Vd
f
V d
Lei da homogeneidade dimensional 
• Toda equação capaz de representar uma lei física deve 
possuir termos aditivos com as mesmas dimensões 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se isso não ocorrer, a fórmula dependerá das unidades 
escolhidas 
2
0 0
1
2
S S V t gt
1 2 2[1]L L LT T LT T
L L L L
Variável 
dimensional 
Cte. 
dimensional 
Cte. 
pura 
O problema da perda de carga 
1 ( , , , , , ); 7p p f D eV n
2
1 2 1 3 1 1
, ,p D e Vp
ML T L LT ML ML T
3 3 ( , , )p m L M T
4 Repetitivas: , ,p DV
0 0 0
5 1
a b cp pD V M LT
1 2 3 0 0 0
1
a b b c cML T L LT M L M LT
1 0
1 3 0
2 0
c
a b c
b
1 1 3 1 0
0 1 0 2 2
0 0 1 1 1
a a
b b
c c
1 2
p
V
O problema da perda de carga 
0 0 0
5 2
a b cp eD V M LT
3 0 0 0
2
a b b c cL L LT M L M LT
0
1 3 0
0
c
a b c
b
1 1 3 1 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
a a
b b
c c
2
e
D
3 D
1 0 0 0
5 4
a b cp D V M LT
4
VD
22
, ,Re
p e
f
D DV
0 0 0
5 3
a b cp D V M LT
2
, ,Re
p e
f
D DV
O diagrama de Moody 
2
, ,Re
p e
f
D DV
Variações 
1 ( , , , , , ); 7p p f D eV n
2
1 2 1 3 1 1
, ,p D e Vp
ML T L LT ML ML T
3 3 ( , , )p m L M T
4 Repetitivas: , ,p eV
0 0 0
5 1
a b cp pe V M LT
1 2 0 0 0
1
a b b c c cML T L LT M L T M LT
1 0
1 0
2 0
c
a b c
b c
1
e p
V
1
1
1
a
b
c
Variações 
0 0 0
5 2
0 0 0
2
a b c
a b b c c c
p De V M LT
L L LT M L T M LT
1 0 1
0 0
0 0
a b c a
b c b
c c2
D
e
3
Por desenvolv. idêntico,
e
0 0 0
5 4
3 0 0 0
4
a b c
a b b c c c
p e V M LT
ML L LT M L T M LT
4
Ve
3 , ,Re
e p D
f
V e e
3 0 1
0 1
1 0 1
a b c a
b c b
c c
Manipulação dos s 
• É possível manipular um grupo de parâmetros adimensionais 
e chegar em outro grupo igualmente válido 
 
• Isso é equivalente a reiniciar a análise usando outra base ou 
mudar o método experimental 
 
• As manipulações podem mudar a aparência dos grupos 
adimensionais, porém 
– Eles não podem deixar de ser adimensionais 
– Sua quantidade (k) não pode mudar 
Manipulação Permitidas 
• Os Pis podem ser multiplicados por uma constante real, 
formando um novo grupo que substitui um dos anteriores 
• Eles podem ser multiplicados ou divididos entre si, formando 
um novo grupo que substitui um dos anteriores 
• Eles podem ser invertidos, formando um novo grupo que 
substitui ... 
• Eles podem ser elevados a um expoente real, formando um 
novo grupo que substitui ... 
• Sob certas condições, eles podem ser expressos como função 
dos outros grupos (Teorema da função implícita). Entre outras 
coisas, a função tem que ser bijetora 
Resumo Manipulação 
1 2Se , , , são variáveis adimensionais válidas de um problema físico, então
qualquer uma pode ser substituida por um produto de potências (reais) das outras.
n
1 2
2 2
1 2
1 1 1 2 1 1
2 2 1 2 2 2
1 2
, , 0
, , 0
 
, , 0
n
n
n
a a a
n
b b b
n
n n n
n n n n n
k k a
k k b
k k n
1 2
2
3
4
Por exemplo:
/
/
p
V
e D
D
VD
1
2
3
4
'
' /
' /
'
e p
V
D e
D
Ve
1
1 1 4
1
2 2
1
3 3
4 4 2
' '
'
'
' '
1 2 1 1 1E se ( , , ), então sob certas concições ( , , , , , )n m m m nf g
O problema do tubo capilar (k = n – p) 
1 ( , , ); 4sp h f D n
2
2 2 2
sh Dp
L L ML T MT
3 3 ( , , )p m L M T
4 Repetitivas: , , sp D
0 0 0
5 1
a b c
sp hD M LT
0
1 2 0
2 2 0
b c
a b
b c
1 2 0 1
0 1 1 0
0 2 2 0
a
b
c
ndF
dl
2 2 2 0 0 0
1
a b b b c cL L M L T M T M LT
1 2 0 1
0 1 1 0
0 2 2 0
1 2 0 1
0 1 1 0
0 2 2 0
3 3 2( 2 )
1 2 0 1
0 1 1 0
0 0 0 0
L L L
1 2 0
2 1
0
0
2 2 0
a b
a b
b c
b c
b c
3
4
2 (é o posto da matriz)
Repetitivas: ,
p p
p D
0 0 0
5 1
2 2 0 0 0
1
a b
a b b b
p hD M LT
L L M L T M LT
0
0
1 2 0 
1
2 0
b
b
a b
a
b
1
h
D
O problema do tubo capilar 
O problema do tubo capilar 
0 0 0
5 2
2 2 2 0 0 0
2
a b
s
a b b b
p D M LT
L M L T MT M LT
1 0 1 2 0
2 0 0 1 1
2 2 0 0 2 2
b
a b
b
3 3 2( 2 )
1 2 0
11 2 00 1 1
20 1 10 0 0
L L L
b
a
2
sh F
D D
2 2
s
D
Conclusões 
1. Suponha k = n – m inicialmente e selecione m variáveis 
repetitivas 
2. Se não funcionar use k = n – p, pois a estas alturas você já 
conhece o posto da matriz 
3. O sistema linear representado pela matriz dimensional m x m 
só tem solução se seu determinante for não-nulo 
1 1 3
det 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 1
1 2 0
2 0 0 0 0 2 0
det 0 1 1
(duas linhas proporcionais)
0 2 2
Perda de carga 
Tubo capilar 
Mais manipulação dos s 
• Grandezas dimensionais representam algum efeito físico no 
problema: 
 
 
 
• Se algum efeito for desprezível, o grupo adimensional 
associado pode ser excluído, caso seja único 
 
 
 
• Grupos adimensionais podem ser combinados para combinar 
efeitos 
2
, ,
p e VD
f
D DV
, , , , ,p f D e V
Efeito da rugosidade 
Efeito do comprimento 
Efeito da viscosidade 
Efeito da rugosidade 
Efeito da viscosidade 
h 
O Problema da Têmpera 
1 0 1 2 1 2( , , , , , , , , , , ); 12pp f t c k h D d d n
0 1
2 3 2 2 1 3 1 3 1
, , ,... pc k hD d tp
L T ML LT MLT MT
3 4 ( , , , )p m L M T
4 0Repetitivas: , , ,p D t k
0 0 0 0
5 1 0
a b c dp D t k M LT
3 0 0 0 0
1
a b c c c c dL T M LT M LT
0
0
3 0
1 0
c
a c
b c
c d
0
0
0
1
a
b
c
d
1
0
D 
d1 
d2 
ℓ1 
ℓ2 
Dif. temperatura ao longo do tempo, 
dif. inicial, tempo, props. geometria. 
k, , cp 
O Problema da Têmpera 
0 0 0 0
5 2 0
a b c dp hD t k M LT
3 1 3 0 0 0 0
2
a b c c c c dMT L T M LT M LT
0
1 0
3 3 0
1 0
a c
c
b c
c d
1
0
1
0
a
b
c
d
2 Bi
hD
k
0 0 0 0
5 3 0
a b c d
pp c D t k M LT
2 2 1 3 0 0 0 0
3
a b c c c c dLT L T M LT M LT
2 0
0
2 3 0
1 0
a c
c
b c
c d
2
2
0
1
a
b
c
d
2
0
3 2
pc t
D
O Problema da Têmpera 
0 0 0 0
5 4 0
a b c dp D t k M LT
3 3 0 0 0 0
4
a b c c c c dML L T M LT M LT
3 0
1 0
3 0
0
a c
c
b c
c d
4
3
1
1
a
b
c
d
4
4 3
0
D
t k
Informação externa: o problema só depende de ( )pc
3,4 2
Fo
p
kt
c D
1
3,4 3 4
2
0
3 2
pc t
D
O Problema da Têmpera 
Os fatores de forma: tendo escolhido a grandeza geométrica repetitiva:
1 2 1 2
5 6 7 8; ; ; ;
d d
D D D D
0
Bi, Fo, fat.formaf
2
Bi 
Fo
p
hD
k
kt
c D
O que acontece se , deixando de ser relevante?k
0 (Bi Fo), fat.formaf
O que acontece se , deixando de ser relevante?h
0 Fo, fat.formaf
Um grupo adimensional 
1 cte.
1
2
Demonstração:
Seja uma grandeza que não pertence ao problema e
 o grupo correspondente (quetambém não pertence)
ng
1 2Então ( )f
2 2
1
Mas como não pertence ao problema, ( ) cte. e
 cte, cqd.
f
Nenhum grupo adimensional? 
Um Problema em RMA 
1 Colocação do problema
( , , , ); 5
p
f F L I E n
2
2 1 2 4
Dimensões das grandezas envolvidas:
,
p
LF E I
LMT L ML T L
3 Redução do número de variáveis ( ):
3 ( , , )
p k n m
m L M T
4 Escolha das variáveis repetitivas: 
, ,
p
L F E
Deflexão, carga, comprimento, momento de 
inércia, módulo de elasticidade 
Um Problema em RMA 
5
0 0 0
1
Obtenção do grupos adimensionais:
a b c
p
L F E M LT
2 2 0 0 0
1
a b b b c c cL L M LT M L T M LT
1 0
0
2 2 0
a b c
b c
b c
1 0
0
a b c
b c
4 Escolha das variáveis repetitivas: 
,
p
L F
5
0 0 0
1
Obtenção do grupos adimensionais:
a b
p
L F M LT
2 0 0 0
1
a b b bL L M LT M LT
1 0
0
2 0
a b
b
b
Um Problema em RMA 
1 L
1 0 1
0 0
a b a
b b
5
0 0 0
2
Obtenção do grupos adimensionais:
a b
p
IL F M LT
4 2 0 0 0
2
a b b bL L M LT M LT
4 0 4
0 0
a b a
b b
2 4
I
L
5
0 0 0
3
Obtenção do grupos adimensionais:
a b
p
EL F M LT
1 2 2 0 0 0
3
a b b bML T L M LT M LT
1 0
2
1 0
1
2 2 0
b
a
a b
b
b
2
3
EL
F
2 4
,
F I
f
L EL L
Informações Externas 
• É possível particularizar a relação funcional obtida pela AD, 
desde que se possua informações externas 
• Exemplo: viga mono-engastada com carga na ponta 
 
 
• Sabe-se que: (i)   F, logo 
 
2 4
,
F I
f
L EL L
2
4 4
1 2
Como e aparecem isoladamente nos grupos
, em que
( / ), ( / )
F
F
A B
L EL
A f I L B f I L
Mas 0 quando 0, logo 0F B
aF b
2
F
A
L EL
Informações Externas 
• Sabe-se que: (ii)   1/I. Pelo mesmo motivo: 
 
3FL
C
EI
4 * 4
2 2
4
2
( / ) ( / )
F F
A I L A L I
L EL EL
L F
C D
L I EL
Mas 0 quando 0, logo
0
L
D
3
3
FL
EI
4L F
L C D
I E
Experimento
Other Dimensionless Groups 
• Abbe number: Dispersion in optical materials 
• Archimedes number: Motion of fluids due to density differences 
• Biot number: Surface vs volume conductivity of solids 
• Bodenstein number : residence-time distribution 
• Capillary number: fluid flow influenced by surface tension 
• Damköhler numbers: reaction time scales vs transport phenomena 
• Deborah number: Rheology of viscoelastic fluids 
• Drag coefficient: Flow resistance 
• Eckert number : Convective heat transfer 
• Ekman number: Frictional (viscous) forces in geophysics 
• Euler number : Hydrodynamics (pressure forces vs. inertia forces) 
• Darcy Friction factor: Fluid flow 
• Froude number: Wave and surface behaviour 
• Grashof number: Free convection 
• Hagen number: Forced convection 
• Knudsen number: Continuum approximation in fluids 
• Laplace number: Free convection with immiscible fluids 
• Lift coefficient: lift force from given airfoil 
• Mach number: Gas dynamics 
• Molecular mass 
 
Other Dimensionless Groups 
• Nusselt number: Heat transfer with forced convection 
• Ohnesorge number : Atomization of liquids 
• Peclet number: Forced convection 
• Pressure coefficient: local pressure at an airfoil 
• Poisson's ratio: Load in transverse and longitudinal direction 
• Power number: Power consumption by agitators 
• Prandtl number: Forced and free convection 
• Rayleigh number: Buoyancy and viscous forces in free convection 
• Reynolds number: Characterizing flow behaviour (laminar or turbulent) etc. 
• Richardson number: buoyancy 
• Rockwell scale: Mechanical hardness 
• Rossby number: Inertial forces in geophysics 
• Sherwood number: Mass transfer with forced convection 
• Coefficient of static friction : Friction of solid bodies at rest 
• Coefficient of kinetic friction : Friction of solid bodies in traslational motion 
• Stokes number : Dynamics of particles 
• Strouhal number: Oscillatory flows 
• Weber number : Characterization of multiphase flow with strongly curved surfaces 
• Weissenberg number: Viscoelastic flows 
 
 
Modelos físicos e semelhança 
Seção 1.3 
Construção de Modelos Físicos 
• Modelos podem ser construídos no tamanho 
conveniente 
• Modelos podem ser ensaiados em condições 
controladas 
• Mas como garantir que os resultados do 
modelo são proporcionais ao do protótipo? 
Condições de Semelhança 
1 2 1 2
Se em um dado problema modelo-protótipo tivermos
, , , = , , , numericamente,
a semelhança é óbvia pois implica modelo=protótipo
n nm p
g g g g g g
1 2 1 2
Isso permite construir uma lista de grupos iguais também:
, , , , , ,k km p
A condição de semelhança é, portanto, 
, para 1,2, , .m pi i i k
Isso permite a construção de um modelo físico
em escala reduzida ou ampliada, pois as razões de aspecto
certamente constam na lista de grupos 
A função pode não ser 
injetora. O White errou! 
Função sobrejetora 
Condição de Semelhança 
2
Por exemplo, em 
, ,Re
p e
f
D DV
Existe semelhança se 
,
m p
m p
e e
D D
D D
Semelhança geométrica, óbvio 
2 2
 e 
m p m p
VD VD p p
V V
Este resultado não é óbvio! 
Imagine p.ex. Dm/Dp = 1:10 
Semelhança geométrica 
• Todas as dimensões do escoamento sobre o modelo e o 
protótipo guardam a mesma razão de comprimento 
• Implica dimensões do modelo e do protótipo proporcionais 
• Implica ângulos iguais no escoamento do modelo e do 
protótipo 
 
Exemplo 7.4 (Fox) 
Teste em TV (15 C) de protótipo de sonar 
marítimo, operando a 10 C. Vp = 2,57 m/s, dp 
= 30,48, cm dm = 15,24 cm, Fm = 24,82 N. 
Determine Vm e Fp 
2 2
F Vd
f
V d
P 
Vp Fp 
M 
Vm Fm 
Similaridade implica:
m p
p pm m
ar a
Vd Vd
V dV d
5
6
1,5 10 0,3048
2,57
1,5 10 0,1524
mV
2 2 2 2
pm
ar m m a p p
FF
V d V d
2 2
2 2
a p p
p m
ar m m
V d
F F
V d
ar p
m p
a m
d
V V
d
2 2
2 2
999 2,57 30,48
24,82
1,025 51,4 15,24
pF
51,40 m/smV
241,90 NpF
Exemplo 5.9 (White?) 
Teste de modelo reduzindo de aeronave 
supersônica em escala 1:8 em TV de Hélio 
(100ºC e 1 atm). Protótipo voa a Ma = 2,0 
a 10.000 m. Calcule a velocidade de 
ensaio. Problemas? 
2 2
Re,Ma
; Re ; Ma
A
A
C f
F Vc V
C
aV c
3
5
Obtendo as propriedades:
Para o ar a 10.000 m:
223,16 K, 
0, 4125 kg/m , 299,5 m/s
26.416 Pa, 
1,48.10 kg/m.s, lei de potência
ar
ar ar
ar
ar
T
a
p
2 2
5
Para o He a 373,15 K:
2.077 m /s .K, 1,66
2,32.10 kg/m.s, lei de potência
He
He
R k
Mostraremos no Modulo 4 que
1,66 2.077 373
1.134 m/s
g
He
He
a kR T
a
a
3
/ 101.325 / 2.077.373,15
0,131 kg/m ,
He He
He
p R T
Similaridade implica:
Re Rem p
m pMa Ma
Exemplo 5.9 
Teste de modelo reduzindo de aeronave 
supersônica em escala 1:8 em TV de Hélio 
(100ºC e 1 atm). Protótipo voa a Ma = 2,0 
a 10.000 m. Calcule a velocidade de 
ensaio. Problemas? 
5 5
0,4125 2 299,50,131
82,31.10 1,48.10
p pm
c cV
23.552 m/smV
Ma / 23.552/1.134 20,8m m mV a
Mas
Ma 2,0...m pMa
Re Re
( )
m p
ar p p ar p p pHe m m
He ar ar
V c M a cV c
Parece suspeito 
The escape velocity of the 
earth is 11.2 km/s 
Exemplo 5.9 
 
O problema matemático é encontrar 
para satisfazer simultaneamentem
ar p pHe m m
He ar
pm
He ar
V
V cV c
VV
a a
Ou seja
ar p Hem
p He m ar
m He
p ar
cV
V c
V a
V a
Se exigirmos
percebemos que só é possível 
alterarou / para 
satisfazer a igualdade
ar p HeHe
ar He m ar
He p m
ca
a c
c c
Nas condições do teste isto 
não acontece. 
( , ) ( , ) ( )
p He ar
He ar
m ar He
He ar
c a
c a
p T p T f T
Calculamos  e alteramos a 
pressão, para que a viscosidade 
não se altere também 
http://history.nasa.gov/SP-440/ch2-8.htm 
Exemplo 5.9 
5
5
8 2,32.10 299,5
0,4125
1 1.134 1,48.10
He
31,37 kg/mHe
Para um gás ideal,
gp R T
10,48 atmHep
p He ar
He ar
m ar He
c a
c a
1,37.(2.077).373,15
1.061,8 kPa
He
He
p
p
5 5
Voltando ao cálculo de 
( )
0, 4125 2 299,51,37
82,31.10 1,48.10
m
ar p p pHe m m
He ar
p pm
V
M a cV c
c cV
2.252 m/smV
Ma /
Ma 2.252 /1.134 2,0
m m m
m
V a
Equações de governo 
adimensionais 
Seção 1.5 
Motivação 
• Existe outro método matematicamente rigoroso de resolver o 
problema da semelhança 
 
• Ele exige que se conheça as eqs. de governo do problema 
 
• Se dois problemas são regidos por EDP’s idênticas com CF’s 
idênticas, então seus resultados são idênticos 
 
• Vejamos... 
Equações de governo 
0
u v w
x y z
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x
y
z
u u u u p u u u
u v w g
t x y z x x y z
v v v v p v v v
u v w g
t x y z y x y z
w w w w p w w w
u v w g
t x y z z x y 2z
Variáveis Adimensionais 
2
Sejam:
; ; ; ; ; ; ;
/
x y z t u v w p
X Y Z U V W P
L L L L U U U U U
2
Logo,
; ; ; / ; ; ; ;x XL y YL z ZL t L U u UU v VU w WU p P U
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
 torna-se
( ) ( ) ( ) ( )
( / ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
( ) ( ) ( )
x
x
u u u u p u u u
u v w g
t x y z x x y z
UU UU UU UU
UU VU WU
L U XL YL ZL
P U UU UU
g
XL XL YL 2
)
( )
UU
ZL
2 2 2
2 2 2 2 2 2
x
Lg UU U U U P L U U U
U V W
X Y Z XU U L X Y Z
Variáveis Adimensionais 
• Se dois problemas são regidos por EDP’s idênticas com CF’s 
idênticas, então seus resultados são idênticos 
 
2 2 2
2 2 2 2
x
LgU U U U P U U U
U V W
X Y Z XU U L X Y Z
2 2 2
2 2 2
1 1
Re
U U U U P U U U
U V W
X Y Z Fr X X Y Z
Lista V1 
• LHD e Teorema de RVB: 5.10 a 5.41 – 4ª ed. 
• Semelhança: 5.58 a 5.84 – 4ª ed. 
 
• Sobre a V1: no mínimo três questões, sendo uma sobre 
números adimensionais e outra sobre similaridade, 
independentes. Uma questão teórica 
 
Escoamentos sem atrito 
Capítulo 2 
Visão geral 
• Equação de Bernoulli 
 
 
• Pressões de estática, dinâmica e de estagnação 
 
 
 
• Restrições no uso da Eq. de Bernoulli 
2 2
1 1 2 2
1 22 2
p V p V
z z
g g
2
0
1
2
p p V
p estagnação 
p termodinâmica 
p dinâmica 
Aplicações 
• Região do escoamento livre, fora da CL 
• Linha de centro de tubulações 
• Diversas aproximações teóricas 
Equação de Bernoulli 
Seção 2.1 
Equação de Bernoulli 
Eq. de Euler esc. incompressível:
d
p
dt
V
g
Como ( , ),s t
dt ds
p
t dt s dt
V V
V V
g
Produto escalar por :
1d
V p
ds
ds
V
ds g ds ds
Em regime permanente,
1
V p
s
d
V p
ds
V
g
V
g
Como ,
1
1
d
dV
V ds d p d
ds
VdV d p d
V s
g s s
g s s
( , , )
ds
ds dx dy dz
ds t
0t t
V
LC's
d dss t
s
s
s s
Equação de Bernoulli 
, , , ,
p p p p p p
p dx dy dz dx dy dz dp
x y z x y z
ds
0,0, , ,g dx dy dz gdzg ds
0
dp
VdV gdz
dp
VdV gdz B
2
2
V p
gz B
1
0VdV pg ds ds
( , , )
ds
ds dx dy dz
ds t
0t t
V
LC's
d dss t
Equação de Bernoulli 
2
2
V p
gz B
2 2
1 1 2 2
1 22 2
p V p V
gz gz
2 2
1 1 2 2
1 22 2
p V p V
z z
g g
Conservação da energia 
2
2
mV
mgz pv C
h1: escoamento incompressível 
h2: escoamento sem atrito 
h3: escoamento permanente 
h4: LC’s conhecidas 
Pressões estática e dinâmica 
Seção 2.2 
Pressões estática e dinâmica 
2 2
1 1 2 2
1 22 2
p V p V
z z
g g
2
0
0
Na LC de estagnação:
2
V pp
z z
g
p termodinâmica ou 
estática 
0
2
0
Se 
1
2
z z
p p V
p estagnação p termodinâmica 
“pressão” dinâmica 
Tubos de Pitot Aeronáuticos 
Exemplo 6.2 
h 
Tubo de pitot para medida de 
velocidade em tubulação de ar. h = 
30 mm de Hg. Determine V. 
2
0
1
2
p p V
0
2( )
ar
p p
V
1 1
1 2
2 3 1
3 0
( )
ar
Hg
ar
p p gh
p p gh
p p g h h
p p
p estagnação 
p termodinâmica 
0
________________
ar Hgp p gh gh
0 Hgp p gh
2 Hg
ar
V gh
13.600
2 9,81 0,03 80,8 m/s
1,225
V
V 
1 
2 
3 
0  
h1 
Exemplo 6.3 
Escoamento de ar em bocal. 
As = 0,02 m
2, A1 = 0,1 m
2, 
Vs = 50 m/s. Determine p1. 
2 2
1 1
1 2 2
s s
s
p V p V
z z
g g
Verificando as hipóteses: 
 
h1: escoamento incompressível 
h2: escoamento sem atrito 
h3: escoamento permanente 
h4: LC’s conhecidas - escolher 
2 2
1 1
1 2 2
atm s
s
p V p V
z z
g g
2 2
1
1 1
( )
2
s
atm s
V V
p p z z
2 2
1 1
( )
2atm s
p p V V
1 1CM: s sV A V A
2 2
2
1 2
1
2
s s
atm s
V A
p p V
A
2
2 2
1 1
1 /
2
s
atm s
V
p p A A
2
2 2
1,
1,225 50
1 0,02 / 0,1
2man
p
1,48 kPa
0,01 atm
man
man
p
p
1 
s 
Exemplo 6.4 
2 2
1 1
1 2 2
s s
s
p V p V
z z
g g
Verificando as hipóteses: 
s 
1 
2 2
1 1
1( )2
s s
s
V V p p
z z
g
2 2
1 0
2
sV V h
g
1Mas CM: ,sV V
2 2
2 2
A A s s
A s
p V p V
z z
g g
2 2
( )
2
A s s A
A s
p p V V
z z
g
, 0 ( )Amanp H h
2
, ( ) 2
s
Aman
V
p H h H
g
2sV gh ,
4 3
11,7 m/s, 78,5 kPa
9,202 10 m /s
s Aman
s
V p
Q
2
2
4s
d
Q gh
h 
Escoamento em sifão. H = 1 m, h = 7 m, 
ds = 10 mm
. Determine Vs, Qs e pA. 
Exemplo 6.4 
O caso limite é: A vapp p
,
,
,
( )
( )
( )
Aman
vap man
vap man
p H h
H h p
H h p
2
5
,
5
H O a 10 C: 1,228 kPa
1,00097 10 Pa
1,00097 10
( )
9,806 999,6
vap
vap man
p
p
H h
max( ) 10,21 mH h
2
2 ( )
4
Isso é verdade? 
Mesmo qdo. ?
s s
d
Q gh Q f H
H
max( ) ( )realH h H h
f2 17’35” 
s 
1 
h 
Cavitação 
Time Warp S01.Ep10 
Exemplo 3.4 (Potter) 
Vento soprando sobre janela de 0,91x1,82 m em uma tempestade 
com ventos a 29,06 m/s. Determine a força sobre a janela. 
2 2
1 1 0 0
1 02 2
p V p V
z z
g g
2
1 00 0 0 0
2
V p
g
2
1
0 2
V
p 21
0 2
V
F A
2
0
1,225 29,06
1,672
2
F
0
864,8 N 88,2 kgfF
Como era o resultado obtido com a 
VQM integral? 
Exemplo 3.4 (Potter) 
2
1
0 2
V
F A
2
x j jF V A
Área da janela 
Área do jato 
Se Aj=A, os resultados discordam? 
 
 
 
 
 
A pressão não é 
constante! 
Aqui a análise 
não se aplica! 
Precauções 
• Escoamento sem atrito 
– Tubos muito longos e/ou estreitos 
– Camada limite, com ou sem separação 
• Escoamento incompressível 
– Martelo hidráulico 
• Escoamento permanente 
– Regime turbulento 
• LC’s conhecidas 
– Regime turbulento 
• Presença de máquinas 
2 2
1 1 2 2
1 22 2
p V p V
z z
g g
Teoria da Obstrução 
Seção 2.3 
Escoamentos com Atrito em 
Dutos 
Capítulo 3 
Aplicações 
• Dimensionamento de tubulações para demanda industrial e 
residencial 
 
• Cálculo da vazão estabelecida em sistemas de tubulação 
existentes ou projetados• Dimensionamento de bombas, ventiladores, compressores 
 
Perdas de Carga Distribuídas 
Seção 3.1 
Efeitos do Atrito 
2 2
1 1 2 2
1 2
1 2
,
2 2
implica . Isso está correto?
p V p V
z z
g g
p p
0  
2 2
1 1 2 2
1 2
Considerando o atrito,
2 2 f
p V p V
z z h
g g
1 2 fp p p h
2
Do teorema de Buckingham
,Re
/2
p L e
f
D DV
2
2f
LV
h f
D g
2
2f
L V
f
D
hp
Resultados originais de 
Nikuradse (1933) 
O Diagrama de Moody 
• Os resultados de Nikuradse foram refinados e modernizados 
 
• Uma equação válida para toda a faixa usual de Re foi obtida 
por Colebrook (1939) 
 
• O resultado foi sintetizado no diagrama de Moody (1944) 
Precisão  15% 
Rugosidade de Tubos Comerciais 
Equações para f 
2 2
2
Para escoamento laminar:
1
( )
4
8
z
z
dp
v R r
dz
R dp
v
dz
2
8
p VL
R
2
Lembrando que .
8
dp p
cte
dz L
R p
V
L
2
Logo, 
8
f VLh R
2
2
L V
f
D g
2
16 64g D
f
VR VD
64
ReD
f
Proporcional a V 
Mas, fp h
Equações para f 
Escoamento turbulento, expressões implícitas 
 
2
0 0.9
1 / 2.51
2.0 log , Colebrook (Diagr. Moody)
3.7 Re
/ 5.74
0.25 log , Swamee e Jain
3.7 Re
e D
f f
e D
f
1
2 log Re 0.8, Prandtl (tubos lisos)
D
f
f
Logaritmos na 
base dez 
Equações para f 
Escoamento turbulento, expressões explícitas 
 
2
1/4 5
Re
1.8 log (Colebrook, 1938 = Haaland p/ tubos lisos)
6.9
0.316Re 4.000 Re 10 (Blasius, 1911 - tubos lisos)
d
d d
f
f
1.11
1 / 6.9
1.8 log , Haaland (dif. 2% Colebrook)
3.7 Re
e D
f
Dependência de P com V e D 
1/4 5
Conderando o modelo mais simples, 
0.316Re 4.000 Re 10
d d
f
2
2f
L V
p fh
D
2
1/4
1/4 2
0.316Re
2
0.316
2
d
L V
p
D
L V
VD D
3/4 1/4 7/4
5/4
L
p V
D
P é proporcional à V 1,75 
7/4
3/4 1/4
5/4 2
4L Q
p
D D
3/4 1/4 7/4
19/4
L
p Q
D
P é inversamente proporcional 
à D 4,75, então dobrar D diminui a 
perda em 27 vezes 
Os três tipos de problemas 
• Tipo 1: problema da perda de carga (possível uso de Moody) 
 
• Tipo 2: problema da velocidade/vazão 
 
• Tipo 3: problema do dimensionamento diâmetro 
 
2 2
1 1 2 2
1 2
1 ( / ,Re)
2 2
p V p V L
z z f e D
g g D
Solução 
iterativa 
Equação de Bernoulli modificada 
(perdas distribuídas por atrito incluídas) 
Exemplo 6.6 
1.1
2
1 / 6.9
1.8 log , Haaland
3.7 Re
2f
e D
f
L V
p h f
D
Exemplo Tipo 1 
2 2
2 2 1 1
2 12 2 f
p V p V
z z h
g g
2
2 1 1
2
p p L V
f
D g
2
1
1
/2
p
L D
f V
2 5
28
D p
L
f Q
2
5
4 4 930 2,944
Re
1,2192 1,676.10
Re 1,71.10
Q
D
1.1
5
1 0,0005/4 6.9
1.8 log
3.7 1,71.10
0,01685
f
f
Ferro galvanizado: 0,0005 ft (tab. 6.1)e
2 5 6
2
1,2192 7,9290.10
8 0,01685 930 2,944
L
32,944 m /s
1,2192 m
7,9290 MPa 
V
Q
D
p
194,019 kmL
1.1
1 / 6.9
1.8 log , Haaland
3.7 Re
e D
f
Exemplo Tipo 1 
,
2 1
, em que
h B V B
B
P Q h
h B B
2 2
2 2 1 1
2 1
2 1
2 2B
B
p V p V
h z z
g g
p p
h
32,944 m /s
1,2192 m
7,9290 MPa 
V
Q
D
p
6
/
2,944 7,9290.10 / 0,85
B V B
B
P Q p
P
27,9287 MW
37.453 CV
B
B
P
P
Energia por unidade 
de peso absorvida 
pelo fluido 
Considerando a eficiência da B:
/
B V B B
P Q h
Isso não é passar Bernoulli por 
dentro da bomba! 
Eq. De Bernoulli Modificada 2 
2 2
2 2
A equação anterior,
2 2
pode ser reescrita:
2 2
s s e e
B s e
e e s s
e B s
p V p V
h z z
g g
p V p V
z h z
g g
2 2
1 1 2 2
1 22 2fe B fs
p V p V
z h h z h
g g
s e 2 2
1 1
1
2 2
2 2
2
2 2Mas 
2 2
e e
e fe
s s
s fs
p V p V
z z h
g g
p V p V
z z h
g g
2 2
1 1 2 2
1 2 ,2 2B f tot
p V p V
z h z h
g g
Uma turbina também 
poderia ser incluída 
Eq. De Bernoulli Modificada 2 
Equação de Bernoulli modificada 2 
(máquinas e perdas distribuídas incluídas) 
2 2
1 1 2 2
1 22 2B T f
p V p V
z h h z h
g g
Na verdade B é qualquer máquina 
geradora: bomba, ventilador, 
compressor ,etc. 
 
Semelhantemente, T é qualquer 
máquina motora: turbina, MCI, 
turbocompressor, etc. 
 
Desde que a eq. Bernoulli continue 
valendo, óbvio. 
/
B V B B
T V T T
P Q h
P Q h
Exemplo Tipo 2 
Óleo ( = 950 kg/m3 e  = 2 E-5 
m2/s) escoa por um tubo de 300 
mm de diâmetro e 100 m de 
comprimento, com perda de carga 
igual a 8,0 m. A rugosidade relativa 
é 0,0002. Calcule a vazão. 
2
2
L V
h f
D g
2 2ghDfV
L
2 2 9,81 8 0,3 0,471
100
fV
0
0,014 (valor cte. para / 0,0002)f D
0,471/V f
1.1
1
1
1 0,0002 6.9
1.8 log
3.7 87.000
0,01927
f
f
0
0,471/ 0,014 5,80 m/sV
0 -5
5,80 0,3
Re 87.000
2 10
VD
1
1 -5
0,471/ 0,01927 4,94 m/s
4,94 0,3
Re 74.178
2 10
V
1.1
01
1 / 6.9
1.8 log
3.7 Re
e D
f
1.1
2
2
1 0,0002 6.9
1.8 log
3.7 74.178
0,01982
f
f
Exemplo Tipo 2 2
2 -5
1.1
3
3
0,471 / 0,01982 4,8748 m/s
4,87 0,3
Re 73.118
2 10
1 0,0002 6.9
1.8 log
3.7 73.118
0,01987
V
f
f
3
4
0,471 / 0,01987 4,8689 m/s
0,01987
V
f
4,87 m/sV
24,87 0,3
4
Q VA
30,344 m /sQ
Óleo ( = 950 kg/m3 e  = 2 E-5 
m2/s) escoa por um tubo de 300 
mm de diâmetro e 100 m de 
comprimento, com perda de carga 
igual a 8 m. A rugosidade relativa é 
0.0002. Calcule a vazão 
Critério de parada: precisão 
de 1 cm/s em V 
Poderia convergir na 
primeira tentativa? 
Exemplo Tipo 3 
2 2
2 2 1 1
2 12 2 f
p V p V
z z h
g g
2
2 1 2f
L V
p p h f
D
2
2 5
8fL Q
p
D
1 6
6
1
4 4 0,09462
Re
0,1023 1,139.10
Re 1,033.10
Q
D
3
max
0,09462 m /s
152,4 m
0,2413 MPa 
Q
L
p
1,
1
4 in
102,3 mm
nom
D
D
1.1
5
6
1
1
1 1,46.10 6.9
1.8 log
3.7 1,033.10
0,01183
f
f
5
1
0,0015
1,46.10
102,3
e
D
2 2
1 2 5 2 5
1 max
8 8 0,01183 154,2 999 0,09462
0,1023
1,18 MPa 0,2413 MPa = 
fL Q
p
D
p p
Diâmetro rejeitado 
Exemplo Tipo 3 
2 6
6
2
4 4 0,09462
Re
0,1556 1,139.10
Re 0,6797.10
Q
D
2, 2
6 in; D 155,6 mm
nom
D
1.1
6
6
2
2
1 9,64.10 6.9
1.8 log
3.7 0,6797.10
0,01253
f
f
6
2
0,0015
9,64.10
155,6
e
D
2
2 2 5
2 max
8 0,01253 154,2 999 0,09462
0,1556
0,153 MPa
p
p p
Diâmetro aceito. Fim? 
Critério de parada:  D | D2 < D < D1 
e p < pmax ? 
6
3 6
4 0,09462
Re 0,8244.10
0,1283 1,139.10
3, 3
5 in, 128,3 mm
nom
D D
1.1
5
6
3
3
1 1,169.10 6.9
1.8 log
3.7 0,8244.10
0,01218
f
f
5
3
1,169.10e D
2
3 2 5
3
8 0,01218 154,2 999 0,09462
0,1283
0,391 MPa
p
p
Diâmetro rejeitado 
D = 6 in 
3
max
0,09462 m /s
152,4 m
0,2413 MPa 
Q
L
p
Tubos Não Circulares (Dutos) 
• Uso prático: dutos de ar 
condicionado e ventilação, dutos 
de escape de gases de combustão, 
etc. 
 
• Em geral, dutos com grande área 
de seção não são circulares 
 
• Também não são quando a 
vedação não for problema 
 
 
 
Tubos Não Circulares 
• No caso anterior: 
 
 
 
 
• Aqui, como a pressão age na área transversal e o atrito age no 
perímetro molhado (SL não incluída), tem-se 
 
 
• Para evitar o aparecimento de outrogrupo adimensional, 
criamos um diâmetro equivalente, Dh , baseado no círculo 
 
 
2
( , , , , , ); 7
,Re
p f D e V n
p e
f
D DV
( , , , , , , ); 8mp f A P eV n
/ 4 4 /
h m h m
A D P D A P
2
,Reduto h
h h
p e
f
D DV
2
2f duto h
L V
h f
D g
Pm 
A 
Pm 
A 
Tubos Não Circulares 
• A definição é tal que na geometria circular, Dh = D 
 
• Mas, em princípio, f  fduto e o diagrama de Moody e as 
fórmulas de Colebrook e Haaland não podem ser usadas 
 
• Mas a diferença é em torno de 40% no caso laminar e 15% no 
caso turbulento, e pode ser compensada com um fator de 
correção 
 
 
Dutos Retangulares 
• As soluções analíticas para dutos lisos são: 
 Pode-se compensar a diferença do caso turbulento 
introduzindo-se um diâmetro chamado “efetivo”, Def = 0,64Dh, 
assim: 
 
f Dutos retangulares Tubos 
Laminar 
Turbulento 
96 / Re
hD
f 64 / ReDf
1/2 2 log Re 0.8
D turb
f f1/2 2 log Re 1.19
hD
f f
2 log 0,64Re 0,8 2 log Re 2 log 0,64 0,8
2 log Re 0,39 0,8
2 log Re 1,19
h h
h
h
D D
D
D
f f
f
f
Dutos Retangulares 
• Coincidentemente funciona aproximadamente para o 
escoamento laminar também... 
 
 
 
 
 
 
 
64 100 96
0,64Re Re Re
D D D
A natureza ás vezes é mãe mesmo... 
f Dutos retangulares Tubos 
Laminar 
Turbulento 
96 / Re
hD
f 64 / ReDf
1/2 2 log Re 0.8
D turb
f f1/2 2 log Re 1.19
hD
f f
Resumo: Tubos e Dutos Retangulares 
4
h
m
A
D
P
2
(Re , / )
2eff D ef h
L V
h f D
D g
0.64
ef h
D D
2
(Re , / )
2f D
LV
h f D
D g
Exemplo 6.13 
2
1
2
2
100 1,83
0,01885 2,64 m
0,122 2 9,81
f
h
f
VL
h f
D g
h
1.1
1 0 6.9
1.8 log
3.7 76.820
0,01885
f
f
-6
1,83 0,07808
Re 76.820
1,86 10
ef
ef
VD
4 4 4
2
2 2 2
0,122 m
0.64 0,078 m
h
m
h
ef h
A bh bh
D h
P b h b
D
D D
-6
Testando laminar/turbulento:
1,83 0,122
Re 120.033,
1,86 10
turbulento então
h
h
VD
1.1
1 / 6.9
1.8 log , Haaland
3.7 Re
e D
f
Exemplo 6.13 
-4 2
-4
Para a viscosidade de 1,86 10 m /s:
1,83 0,122
Re 1.181,
1,86 10
laminar
h
64 / Re 0,08126
eflam D
f
2 2
2 2 1 1
2 1
2 1
2 2 f
f
p V p V
z z h
g g
p p h
979 9,81 2,64 25,355 kPap
Atrito e queda de pressão 9% 
maiores do que usando Dh 
2
1
2
2
100 1,83
0,08126
0,122 2 9,81
11,37 m 
f
h
f
f
VL
h f
D g
h
h
979 9,81 11,37
109,112 kPa
p
p
Atrito e queda de pressão maiores no 
laminar que no turbulento? 
Perdas de Carga Localizadas 
Seção 3.2 
Tubulações industriais 
• Tubulações industriais: conjunto de tubos e seus acessórios 
• Objetivo: transportar fluidos sob pressão  da ambiente 
• O tipo de ligação entre tubos e tubos e acessórios é um fator 
de grande importância: 
– Rosqueada: 
– Flangeada: 
– Soldada 
– Encaixada/colada 
Tipo de Ligação 
• Rosqueada 
– Tubulações de pequeno porte. 
– Fácil montagem e desmontagem, baixo custo. Vedação ineficiente 
• Flangeada 
– Tubulações que necessitam ser desmontadas ou que possuam 
revestimento anticorrosivo 
– Fácil montagem e desmontagem. Maior custo. 
• Soldada 
– Comum em gasodutos. 
– Resistente, facilita a aplicação de isolamento térmico e pintura 
– Mão de obra especializada e desmontagem difícil. 
• Encaixada/colada 
– Distribuição de água e esgoto, baixa pressão 
– Fácil montagem e desmontagem. Vedação ineficiente 
 
Perdas Localizadas 
• Acessórios de tubulação 
– Entradas e saídas 
– Expansões e reduções 
– Curvas e joelhos 
– Luvas, uniões, flanges, niples 
– Válvulas 
– T’s ou Y’s e cruzetas 
– Tampões, bujões e flanges 
cegas 
• Principal motivo das perdas? 
 Acessórios rosqueados 
Perdas Localizadas 
Acessórios Flangeados 
Acessórios Soldados 
Válvulas 
Geometria Típica das Válvulas Comercias 
Modelagem Matemática 
• Falta uma teoria bem estabelecida, porque 
as geometrias são complexas 
 
• Na verdade, K = f ( Re, e/D, G), mas os 
gráficos e tabelas são simplificados 
 
• Cada novo lançamento do mercado implica 
em novos gráficos 
 
• As tabelas e gráficos existentes acabam 
sendo médias entre fabricantes da época. 
 
2 2
 ou 
2 2
eq
l l
LV V
h K h f
g D g
Não se usa mais 
Coef. de Perda Localizada 
Anos 2000 
A tab. 6.5 não deve ser usada, a não ser que não haja outra opção. 
As incertezas podem chegar a 50% 
Anos 1950 
Sem Re e sem 
rugosidade relativa... 
f5 03:33 – 04:07 
Fig. 6.20 – Perda total em curvas lisas. Re = 200.000 
Fig. 6.23 – Perda total em difusores cônicos. 
Os três tipos de problemas 
• Tipo 1: problema da perda de carga (possível uso de Moody) 
 
• Tipo 2: problema da velocidade/vazão 
 
• Tipo 3: problema do dimensionamento diâmetro 
 
\ 
Solução 
iterativa 
O somatório das perdas de carga na formula só vale 
para trechos de mesmo diâmetro 
2 2
1 1 2 2
1 22 2B T f l
p V p V
z h z h h h
g g
Equação de Bernoulli modificada 3 
(com máquinas, perdas distribuídas e localizadas) 
Resumo 
• A tabela 6.5 não deve ser utilizada, exceto em caso de não 
haver outra possibilidade. 
 
• O comprimento L é medido pela linha de centro da tubulação, 
incluindo acessórios, exceto curvas e difusores, em que já está 
incluído 
 
• Na prática da profissão, os valores podem variar em relação às 
tabelas e aos gráficos apresentados, que são didáticos. 
2 2
Com
 e , sendo os vários diâmetros
2 2
/ todas as maquinas geradoras
 todas as maquinas motoras
i i i
fi i li i
i
B V B B
T V T T
L V V
h f h K i
D g g
P Q h
P Q h
Equação da Energia 
A forma mais geral da Equação de Bernoulli , incluindo 
máquinas, perdas distribuídas e localizadas e mudança de diâmetro: 
2 2
1 1 2 2
1 2
12 2
n
B T f l i
i
p V p V
z h z h h h
g g
Um Exemplo da Complexidade 
Dimensional analysis of a flat-walled or conical diffuser shows that Cp should 
depend upon: 
• Any two of the following geometric parameters: 
– Area ratio 
– Divergence angle 
– Slenderness 
• Inlet Reynolds number 
• Inlet Mach number 
• Inlet boundary-layer blockage factor Bt ABL/A1, where ABL is the wall 
area blocked, or displaced, by the retarded boundary-layer flow in the 
inlet (typically Bt varies from 0.03 to 0.12) 
• A flat-walled diffuser would require an additional shape parameter to 
describe its cross section: 
• Aspect ratio 
• Also: inlet turbulence, inlet swirl, inlet profile vorticity, superimposed 
pulsations and downstream obstruction, all of which occur in practical 
machinery applications. 
Exemplo 6.16 (White) 
Água bombeada, à vazão de 5,6 l/s, tubo de 122 m de comprimento, diversos 
acessórios na tubulação. Rugosidade relativa = 0,001. Calcule a potência requerida 
pela bomba para operar na vazão dada. 
2 2
1 1 2 2
1 22 2
/
B T f l
B V B B
T V T T
p V p V
z h z h h h
g g
P Q h
P Q h
2 2
2 1 2 1
2 1
( )
2B f l
p p V V
h z z h h
g
2 1 2 1
2 2 2
Aqui e
2 2 2B
p p V V
L V V V L
h z f K z f K
D g g g D
A bomba como 
energizador do fluido 
2
2B
V L
h z f K
g D
3
2
5,6 10
2,85 m/s
0,05 / 4
Q
V
A
6
2,85 0,05
Re 139.706
1,02 10
Vd
Pelo diagrama de Moody:
0,022.
E pelas fórmulas?
f
4,0 (fig. 6.18b) 
0,27(fig. 6.18a) 
3,8 (fig. 6.18b) 
Total: 9,79 
0,22(fig. 6.20) 
2
2
2
2,85 122
30,5 0,02155 9,79
29,81 0,0530,5 (21,8 4,1) 56,4
B
B
B
V L
h z f K
g D
h
h
39,81 1.000 5,6 10 56,4 / 0,7
B
P
2
0 0.9
1 / 2,51
2 log , Colebrook
3.7 Re
/ 5,74
0.25 log , Swamee/Jain
3.7 Re
e D
f f
e D
f
1.1
Haaland:
1 / 6.9
1.8 log 0,02167
3.7 Re
e D
f
f
2
0 0.9
0,001 5,74
0.25 log 0,02172
3.7 139.706
f
1
1
1 0,001 2,51
2 log 0,02154
3.7 139.706 0,02172
f
f
2
2
1 0,001 2,51
2 log 0,02155
3.7 139.706 0,02154
f
f
3
3
1 0,001 2,51
2 log 0,02155
3.7 139.706 0,02155
f
f
4.426 W
5,92 HP
B
P
/
B V B B
P Q h
Exemplo Tipo 1 
2 2
1 1 2 2
1 22 2 f l
p V p V
z z h h
g g
2
2
1 2
0 0 0
2 f l
V
z z h h
g
2
2
1 2 2 f l
V
z z d h h
g
2
1
2
V L
d f K
g D
4
Re
VD Q
D
2
2 4
8
1
Q L
d f K
DgD
5
3
4 1.000 0,0084
Re 1,4210
0,075 110
2
Re
1,8 log 0,01659
6,9
df
Entrada de bordas vivas, 0,5 (fig. 6.21)
Saída: em jato livre, 0
K
K
2
2 4
8 0,0084 0,01659 100
1 0,5
0,0750,075 9,81
d
4,35 md
0,184261 1 22,12 0,5d
Exemplo Tipo 2 (Fox 8.7) 
2 2
1 1 2 2
1 22 2 f l
p V p V
z z h h
g g
2 2 2
2 2 2
1 2
( )
2 2 2
V V VL
z z f K
g D g g
2
2 1
2
V L
z f K
g D
2
2
( / ) 1
g z
V
f L D K
0
/ 0,0025 Idade: 0,005
0,030 (valor cte. para / 0,005)
D
f D
Entrada de bordas vivas, 0,5 (fig. 6.21)
Chuveiro contra incendio: 11,2 (Fabr.)
Curva 90º: 0,25 (fig. 6.20)
curto
K
K
K
Exemplo Tipo 2 
0
0 2
1
1 2
1
2 2
0,030000 2,540 m/s
0,031313 2,495 m/s
0,031319 2,495 m/s
f V
f V
f V
22,495 (4 0,0254)
4
Q VA
30,020229 m /s
20,23 /s
Q
Q
1
2
1 6
1.1
2
2
2 9,81 (80 0,3048)
2,495 m/s
0,031313 680 / (4/12) 12,95
2,495 4 0,0254
Re 248.560
1,02 10
1 0,005 6.9
1.8 log 0,031319
3.7 248.560
V
VD
f
f
2
2 9,81 (80 0,3048)
2,495 m/s
0,031319 680 / (4/12) 12,95
V
0
2
2 9,81 (80 0,3048)
2,540 m/s
0,030 680 / (4/12) 11,95 1
V
0 6
2,540 4 0,0254
Re 253.011
1,02 10
VD
1.1
1
1
1 0,005 6.9
1.8 log 0,031313
3.7 253.011
f
f
0
0,030f
2
2
( / ) 1
g z
V
f L D K
Lista Módulo 2 
 
• Equação de Bernoulli: 3.147 a 182 
• Cálculo de perdas de carga 
– Problemas explícitos: 6.42 a 6.77, 
– Problemas iterativos: 6.78 a 6.85, 
– Perdas localizadas: 6.100 a 6.110 Fox (7ª) 8.130 
– Complemento à lista V2 no site 
 
• Sobre a V2: pelo menos três questões, sendo 
uma iterativa, outra direta e uma teórica 
Sobre a V2 
• Trazer apenas os gráficos do kit oficial, sem anotações, 
fórmulas ou “dicas” 
 
• Fazer referência a todos os valores utilizados 
 
• Mostrar claramente o processo de cálculo no primeiro passo 
dos problemas iterativos. Os passos seguintes podem ser 
indicados 
 
• Estimar os dados que faltarem (raio de um curva, rugosidade 
absoluta de um tubo antigo, etc.). A coerência dos cálculos 
será considerada e não apenas o valor final. 
 
• A tabela 6.5 não deve ser utilizada, exceto se não houver 
outra possibilidade. 
Escoamentos Externos 
Capítulo 4 
Visão Geral 
• Cálculo das forças de arrasto e de 
sustentação 
 
 
• Cálculo dos coeficiente de arrasto 
(local e global) e de sustentação 
 
 
2 20.5 , 0.5
S S p A A p
F C V A F C V A
(Re,G, / ), ( ,Re)
A S
C f e L C f
1/20.727Ref xC

Aplicações 
• Aerodinâmica 
– Aeronaves 
– Foguetes 
– Projéteis 
• Hidrodinâmica 
– Embarcações de superfície 
– Submarinos 
– Torpedos 
– Pilares de pontes 
• Transporte 
– Automóveis 
– Ônibus e caminhões 
– Trens 
• Carga eólica 
– Edifícios 
– Pontes 
– Torres e cabos de transmissão 
• Outras aplicações 
secundárias 
 
Geometria e Número de 
Reynolds 
Seção 4.1 
Camada Limite em Baixo Re 
Justaposição de Escoamentos 
• Resolve separadamente os escoamentos na CL e fora dela e 
justapõe os resultados 
• É válido para corpos alongados em alto Re 
– O deslocamento das LC é pequeno 
– A distribuição de pressões ao redor da placa não é muito afetada pela CL 
e, portanto, torna-se uma forçante nos cálculos 
• O cálculo pode ser feito pela teoria sem atrito, desconsiderando a 
camada limite 
• Válido para a maioria das aplicações em placas planas e aerofólios 
• Inválido na maioria dos escoamentos em torno de corpos 
rombudos 
Separação da Camada Limite 
• Descrição 
• Justaposição não 
funciona: soluções 
numéricas ou por análise 
dimensional 
• Obs: a parte não 
separada pode ser 
laminar ou turbulenta; a 
parte separada é sempre 
turbulenta 
f5 01:24 – 02:44 
Solução Analítica 
para a Placa Plana 
Seção 4.2 
Camada Limite Laminar 
Item 4.2.1 
Lembrando 0
2
0
2
0
, forças sobre o VC
1
2
1
2
VC SC
cx sx
VC SC
f
A A
d d
t
u
F F d u d
t
dF du
dA dy
C U
F C U A

 

 
 
 


  


   

 


 
 
V A
V A
Solução de Von Kármán (1921) 
cx sx
VC SC
u
F F d u d
t
     
 
V A
( )
0
( )
x
AF b u U u dy
 
3 1
2 2
A
SC A A
F u d u dA U dA       
    
V A
2 2
0
, mas ?AF b U h u dy h
    
  
0
VC SC
d d
t
    
 
V A
3 1
0
A A
u dA U dA    
0 0
h
ubdy Ubdy

 
0
u dy Uh


2
0 0
AF b U u dy u dy
    
   
h1: escoamento incompressível 
h2: escoamento permanente 
h3: pressão constante 
h4: escoamento laminar 
 h3 
 h2 
h1 
 h2 
h1 0 
2 2
0 0
h
AF U bdy u bdy
   
   
Solução de Von Kármán (1921) 
0
( )
2
0
( )
1 , mas ?
A
x
A
F b u U u dy
u u
F bU dy U
U U




 
 
   
 


4
2
2
2
Kármán supôs ( , CL laminar)
( , ) e obteve
2
( , )
h
u x y ay by c
y y
u x y U
 
  
 
  
 
2 2
2
2 20
2 2
1A
y y y y
F bU dy
    
   
     
   

22 , ?
15
AF bU   
2
0
2
( )
15
A AdF dF U dx
dA b dx dx
    
0
0
2
0 2
0
2 2
y
y
du
dy
d y y U
U
dy
 

 
  



 
   
 
22 2
15
U U d
dx
  


0 0
15
15x
dx d
U
dx d
U


 


 


 
Solução de Von Kármán (1921) 
215
2
x
U
 


2
2
15
2Ux x
 


5,5
Rexx


0
0
2
2
Re
5.5
x
U
U
x







3
0 0,364
U
x

 
2
0
2
= 2 /
2 2
= Re
5.5
4
Re
5.5
f
f x
f x
C U
U
C
U x
C
xU
 





1/20,727Ref xC

0
0
0
3 1/2
0
/ /
0,364
A A
L
A
L
A
dF dA dF bdx
F b dx
F b U x dx


 
 




30,727AF b U L
2
3
2
2 /
2 0,727
2 0,727
A A
A
A
C F U A
U L
C b
U bL
C
UL






 
 
1/21,454ReA LC

Validade da Solução 
• Escoamento sobre superfícies planas de pequena espessura, 
pois U = cte. 
• Camada limite fina: /x  0,1  Re  2.500 
• Escoamento laminar: Re  5.105 (3.106 é o limite) 
• Superfície lisa ou rugosa. A CL laminar não responde à 
rugosidade, mas a turbulenta sim 
U 
Exemplo 7.2 
Escoamento em CL sobre uma placaplana de 30 cm de comprimento, U = 
0,3 m/s. Calcule a espessura da CL 
para ar e água a 20 C. 
5
Para o ar:
0,3 0,3
Re 6.000
1,5 10
x
UL
 

  

5,5
Re
5,5
300 21,3 mm
6.000
x
x



 
Escoamento laminar - ok
Pequena espessura da CL - ok
6
Para a água:
0,3 0,3
Re 89.100
1,01 10
x 

 

5.5
300 5,5 mm
89.100
  
Escoamento laminar - ok
Pequena espessura da CL - ok
3
5 3
0,727
/ 0,727 1,225 1,8 10 0,3 0,3
A
A
F b U L
F b



    
4/ 5,61 10 N/mAF b
 
2/ 4,18 10 N/mAF b
 
Solução de Blasius (1908) 
• Obtida pela resolução analítico-numérica das eqs. de 
Navier-Stokes simplificadas por argumentos de similaridade 
 
 
• Mesmas restrições da solução de Von Kármán 
– U = cte. 
– 2,5.103  Re  5.105 ou 3.106 
–  /x  0 
 
5,0 0,664 1,328
; ; 
Re Re Re
f A
x x L
C C
x

  
5,5 0,727 1,454
; ; 
Re Re Re
f A
x x L
C C
x

  
Lembrando 
Von Kárman 
Estas são 
melhores 
NS ''' '' 0f ff  
Camada Limite Turbulenta 
Item 4.2.2 
CL Turbulenta, Placa Lisa 
1/7
2
0
2
0
( , )
1
2
1
2
VC SC
cx sx
VC SC
f
A A
d d
t
u
F F d u d
u x y yt
dF du U
C U
dA dy
F C U A

 

 
  

 
   

    
   
  
   




 
 
V A
V A
1/7 1/7 1/7
0,16 0,027 0,031
; ; 
Re Re Re
f A
x x L
C C
x

  
Solução Integral de Prandtl. 
CL turbulenta desde o bordo de ataque 
(integração com  = 0 em x = 0). Placa lisa. 
CL Transicional, Placa Lisa 
5
1/7
6
1/7
0,031 1.440
, Re 5 10
Re Re
0,031 8.700
, Re 3 10
Re Re
trans
L L
A
trans
L L
C

  

 
   

1/7 1/7
Subtraindo a diferença na parte laminar de
0,027 0,031
 e resulta
Re Re
f A
x L
C C 
CL Turbulenta, placa rugosa 
2.5
2.5
2,87 1,58log
1,89 1,62log
f
A
x
C
L
C




 
  
 
 
  
 
CL turbulenta desde o bordo de ataque, 
por ajuste de curva ao dados 
experimentais 
Resumo 
1/7 1/7 1/7
CL totalmente turbulenta, placa lisa :
0,16 0,027 0,031
; ; 
Re Re Re
f A
x x L
C C
x

  
2.5
2.5
CL totalmente turbulenta, placa rugosa:
2,87 1,58log
1,89 1,62log
f
A
x
C
L
C




 
  
 
 
  
 
5
1/7
6
1/7
CL laminar-turbulenta, placa lisa:
0,031 1.440
, Re 5 10
Re Re
0,031 8.700
, Re 3 10
Re Re
trans
L L
A
trans
L L
C

  

 
   

1,328
Re
A
L
C 
Não há expr. 
analítica
Exemplo 7.4 
Hidrofólio, 0,37 m de corda, 1,83 m de 
comprimento. Escoamento água a 12,2 m/s (a) 
espessura da CL no bordo de fuga; (b) arrasto, 
hidrofólio liso, CL turbulenta desde o bordo de 
ataque; (c) arrasto, CL laminar-turbulenta com Retrans 
= 5.105; (d) arrasto, hidrofólio rugoso,  = 0,12 mm, 
CL turbulenta desde o bordo de ataque. 
6
6
12,2 0,37
Re 4,36 10
1,02 10
L
UL
 

   

1/7 6 1/7
(a) Espessura da CL no bordo de fuga:
0,16 0,16
0,018
Re (4,36 10 )
0,0067 m = 6,7 mm
turb
L
turb
L


  


max
5
Para efeito de comparação:
5,0 5,0
0,0071
Re 5 10
lam
trans
L

  

1/7 6 1/7
(b) Arrasto liso, turbulento:
0,031 0,031
0,00349
Re (4,36 10 )
A
L
C   

2
2
1
2
2
1.025 0,00349 12,2 1,83 0,37 361 N
A A
A
F C U bL
F
 
     
1/7 6
2
(c) Arrasto liso, laminar-turbulento:
0,031 1.440 1.440
0,00349 0,00316
Re Re 4,36 10
1.025 0,00316 12,2 1,83 0,37 326 N
A
L L
A
C
F
    

     
2.5
2.5
2
(d) Arrasto rugoso, turbulento:
1,89 1,62log
0,37
1,89 1,62log 0,00644
0,00012
1.025 0,00644 12,2 1,83 0,37 665 N
A
A
A
L
C
C
F



 
  
 
 
   
 
     
Problema 7.45 
Não há como calcular Re. Vamos assumir 
escoamento turbulento e verificar a posteriori. 
2 1/7
0
2 2
1/7
0 1/7 1/7
(a) 2 / 0,027 Re
0,027 0,027
2Re 2( / )
f x
x
C U
U U
x
U
 
 
 


 
 
2 2
1 1
2
1/7
0 1/7
Como o bordo de ataque nao está em 0,
0,027
2( / )
x x
x x
x
bU
F dA x dx
U
  


  
2
6/7 6/7
2 11/7
7 0,027
( )
6 2( / )
bU
F x x
U

  
2
6/7 6/7
5 1/7
7 0,027 1,2 2
(5 2 )
6 2(1,2 /1,8 10 )
U
F
U 
 
 
 
2 1/70,016716 sF U W 
13/70,016716 0,12 90U  
32,60 m/sU 
Placa fina de fibra, pesando 90 N, em repouso sobre 
um telhado sob ação do vento. Atmosfera a 1 atm e 
20ºC. O coef. de atrito estático (sólido) placa-
telhado é s = 0,12. (a) A que velocidade do vento a 
chapa de fibra entra em movimento? (b) O que 
acontece a seguir? (c) Que efeitos foram deixados de 
lado nos cálculos? 
Problema 7.45 
6
5
32,6 3,0
Re 5,4 10
1,8 10
OK, turbulento
L
UL
 

   

Placa fina de fibra, pesando 90 N, em repouso sobre 
um telhado sob ação do vento. Atmosfera a 1 atm e 
20ºC. O coef. de atrito estático (sólido) placa-
telhado é s = 0,12. (a) A que velocidade do vento a 
chapa de fibra entra em movimento? (b) O que 
acontece a seguir? (c) Que efeitos foram deixados de 
lado nos cálculos? 
(b) Depois de entrar em movimento a 
chapa escorrega até a borda do telhado, 
porque o coeficiente de atrito dinâmico é 
menor que o estático. 
(c) A velocidade calculada em (a) parece alta. 
Possíveis imperfeições de contato entre placa e 
telhado não foram consideradas. Se existirem e o 
vento entrar sob a placa, ela será elevada em vez de 
arrastada a uma velocidade do vento muito menor. 
32,60 m/s =117,4 km/hU 
Arrasto - Resultados 
Experimentais 
Seção 4.3 
 
Introdução 
• Não existe teoria satisfatória para o 
escoamento geral em torno de um 
corpo qualquer 
 
• Muitos problemas específicos tem 
sido tratados com sucesso, mas sem 
generalidade 
 
• A separação da CL é o grande 
complicador 
 
• Soluções existentes 
– Experimentais 
– Numéricas 
 
Eixos, Forças e Momentos 
• O escoamento cria 3 forças e 3 
momentos 
– Arrasto e momento de rolamento 
– Sustentação e momento de guinada 
– Força lateral e momento de arfagem 
 
• Simetria em relação ao plano arrasto-
sustentação: FL = MG = MR = 0 
 
• Simetria também em relação ao plano 
arrasto-lateral: FS = 0, MA = 0 
 
• Importante: os planos são orientados 
por V . 
 
• Observe a linha de corda principal 
paralela à intersecção entre os dois 
planos anteriores 
FS, MG 
FA, MR 
FL, MA 
Eixos, Forças e Momentos 
Arrasto 
• Em escoamento subsônico: 
 
• Outro parâmetro relevante é 
• Para geometria e alinhamento semelhantes e 
mesma rugosidade relativa: 
 
 
• O comprimento característico: 
– Linha de corda principal em corpos aerodinâmicos 
– Diâmetro em cilindros e esferas 
• A área: 
– Planificada: corpos largos e achatados 
– Frontal: corpos rombudos 
– Molhada: embarcações 
 
20.5
(Re,G, / )
Re /
A A
A
F V C A
C f e L
VL
(Re)
A
C f
A
C A
Arrasto 
• Arrasto de pressão (ou de forma), arrasto de atrito (ou de película) 
e arrasto de interferência 
 
 
• Arrasto de pressão: separação da CL, que cria uma zona de “vácuo” 
à jusante. Não tem modelagem matemática no caso geral 
• Arrastode atrito: modelado pela teoria da tensão cisalhante 
• Arrasto de interferência: quando tentamos representar o arrasto 
de um corpo composto como a soma dos arrastos das partes 
, , ,intA A press Aatrito A
C C C C
, ,
, ,
 corpos rombudos
Se
 corpos carenados
A press Aatrito
A press Aatrito
C C
C C
,
0
A Aatrito
C C
,
0
A A press
C C
f5 07:19 – 07:34 
Cilindro 
, ,A A press Aatrito
C C C
Cilindro e 
Esfera 
Nenhum dos 
componentes 
do arrasto pode 
ser desprezado 
, ,A A press Aatrito
C C C
A Transição Turbulenta 
• Separação ocorre em 82º 
(laminar) e 120º (turbulento) 
 
• Turbulento: o arrasto de atrito 
aumenta, mas o arrasto de 
pressão diminui. O arrasto total 
diminui 
 
• Aplicação a bolas esportivas e 
aerofólios 
 
 
 
f5 06:26 – 06:50 
A Esteira de Vórtices de Kárman 
• Em uma certa faixa de Re (60 < Re < 5.000) o escoamento em 
torno do corpos rombudos emite vórtices alternados 
• Cada vórtice que se desprende gera uma força de sustentação 
no sentido contrário que faz o corpo oscilar. A AD mostra que 
 
• Casos de flutter podem gerar acidentes com pontes, cabos de 
transmissão, etc. 
/ 0,21, 1.000 Re 5.000St fD V
Karman Vortex 
street behind a 6.35 
mm cylinder in 
water at Re=168 
(hydrogen bubble 
technique). 
Tacoma Narrows Bridge Disaster 
f5 11:19 – 13:04 
A case of aeroelastic fluttering: a wind-driven 
amplification of the torsional oscillation that, 
unlike a resonance, increases monotonically 
with increasing wind speed. 
Mexican island 
Alejandro Selkirk Island 
Arrasto de Interação 
• O arrasto pode ser reduzido ou 
aumentado pela proximidade do 
corpo com outro corpo ou com 
uma superfície 
 
• Isso é evidente em aeronaves 
(efeito solo), no vácuo formado 
atrás de veículos rodoviários e na 
deposição de partículas de poeira 
O Ekranoplano russo KM 
(o Monstro do Mar Cáspio) 
com 300 x 130 ft. 
Corpos Carenados 
• O objetivo é reduzir a extensão e/ou intensidade da separação em altos 
números de Re 
– Arredondamento do bordo de ataque 
– Afilamento do bordo de fuga 
• Dependendo das restrições de projeto, o carenamento: 
– Sempre diminui CA,press 
– Pode aumentar CA,atrito 
– Pode aumentar o peso de um conjunto 
– Pode aumentar ou diminuir a área de uma seção transversal 
• Existe, portanto, um ponto de projeto ótimo na maioria dos casos 
 
f5 04:52 – 05:58 
Ponto Ótimo 
Corpos Rombudos 
Fundamentos da Mecânica 
dos Fluidos, Vol. 2, 2ª ed. 
Munson, Young, Okiishi 
Exemplo 7.6 
2,1AC
6
1,52 0,152
Re 230.000
1,02 10
VL
2
2
0,5
2,1 0,5 1.025 1,52 (6,1 0,152) 2.313 N
A A
A
F C V A
F
20.5
Re /
D
D
F
C
V A
VL
Então não é a área frontal... 
a a2 
2,1AC
1,6
A
C
2
2
0,5 2,1
0,5 1,6 2
AA
A A
C V AF A
F C V A A
0,93, absurdoA
A
F
F
Exercício 7.62 
21 ( )
2
DF C V ah
Chaminé ao nível do mar, seção quadrada, h = 52 
m, força lateral máxima = 90 kN, deve suportar 
ventos de furacão com 145 km/h. Qual a aresta 
máxima? 
Não há como calcular Re, 
então supomos Re >104 
Tab. 7.2  CD = 2,1
 
2190.000 2,1 1,225 40,27 ( 52)
2
a   
0,83 ma 
6
5
1,225 40,27 0,83
Re 2,3 10 OK
1,78 10
Va
 
 
   

Exercício V3 2009-2 
Mais de uma vez o cinema mostrou 
personagens saltando de aviões utilizando 
artefatos redutores de velocidade diferentes de 
um pára-quedas. Em um filme destes, os heróis 
utilizam um bote inflável e chegam em 
segurança ao solo. Para verificar se isto é 
possível, considere: o pára-quedas de alto 
arrasto do US Army tem d = 8,5 m, veloc. 
terminal = 4,9 m/s para carga de 200 kg. (a) 
Calcule o seu coef. de arrasto. (b) Calcule a 
velocidade terminal de um bote inflável com a 
mesma área e carga. 
  2
1
2
para cara
D DF C A C A V 
2
21 8,5200 9,8 1,225 4,9 0,112
2 4
para
DC
 
    
 
2,3467paraDC 
1,17
1,18
1,20
disco
D
placa
D
placa
D
C
C
C



2
21 8,5200 9,8 1,20 1,225
2 4
V
 
     
 
6,86 m/sboteV 
Pela velocidade o mito 
é plausível. O problema 
é a estabilidade em vôo. 
6
5
1,225 4,9 8,5
Re 2,9 10 OK
1,78 10
VL
 
 
   

2 2
0 2V V gh 
26,86 0 2
2,40 m
gh
h
 

Veículos Rodoviários 
• A crise do combustível gerou interesse na redução do 
consumo, inicialmente em automóveis, posteriormente em 
caminhões, ônibus e trens. 
 
• Limitações de projeto não permitem um carenamento ideal 
– Comprimento total 
– Espaço interno 
– Posição ao dirigir 
– Visibilidade 
– Altura livre do solo 
– Pára-lamas 
– Etc. 
 
Veículos Rodoviários 
• Também é preciso minimizar a sustentação (tração e curvas) 
– Questões de estilo dificultam o uso de aerofólios 
– É possível acelerar o escoamento sob o veículo 
• A segurança não permitem retirar alguns itens geradores de arrasto 
– Limpadores de pára-brisa 
– Espelhos retrovisores 
– Espaço nos pára-lamas (resfriamento dos freios, limpeza) 
– Placa de licença 
• A redução da área frontal também apresenta problemas 
– Pneus 
– Radiador 
– Diferencial dianteiro 
– Tamanho do motor 
 
 
 
 
Veículos Rodoviários 
• Ao longo do tempo 
a área frontal e CA 
diminuíram, então 
FA diminuiu muito. 
 
• Por isso se usa CDA 
 
• Efeito de pequenas 
alterações no 
projeto 
 
 
 http://en.wikipedia.org/wiki/Automobile_
drag_coefficient 
? 
Veículo CD 
typical 
Formula One 
0.7 - 1.1 
typical bicycle 
plus cyclist 
0.9 
typical truck > 0.6 
Hummer H2, 
2003 
0.57 
Volkswagen 
Beetle 
0.48 
Duple 425 
coach 
0.425 
Veículo CD 
Lamborghini 
Countach, 
1974 
0.42 
Rolls-Royce 
Silver Seraph, 
1998 
0.38 
Ferrari F50, 
1996 
0.372 
Citroën DS, 
1955 
0.36 
NSU Ro 80, 
1967 
0.355 
Ferrari F40, 
1987 
0.34 
Veículo CD 
Audi A2, 1999 0.28 
Toyota Camry 
Hybrid, 2007 
0.27 
Honda Insight, 
1999 
0.25 
Toyota Prius, 
2010 
0.25 
Tatra T77a, 
1935 
0.212 
Aptera Motors 
Typ-1 (2008 
planned) 
0.15 
Veículo CD 
Citroën GS, 
1970 
0.31 
Saab Sonett 
III, 1970 
0.31 
Porsche 996, 
1997 
0.30 
Saab 92, 1947 0.30 
Lotus Elite, 
1958 
0.29 
Rumpler 
Tropfenwagen, 
1921 
0.28 
Dois Estudos de Caso 
Toyota Cd Area 
(m2 ) 
Cd A 
(m2 ) 
'94 Land Cruiser 0.45
0 
2.997 1.35 
 Atrito de Rolamento 
r Description 
0,0002 to 
0,0010 
Railroad steel wheel on steel rail 
Hardened steel ball bearings on 
steel 
0,0022 to 
0,005 
Production bicycle tires at 120 psi 
and 50 km/h, measured on rollers 
0,0025 
Special Michelin solar car/eco-
marathon tires 
0,0055 
Typical BMX bicycle tires used for 
solar cars 
0,010 to 
0,015 
Ordinary car tires on concrete 
0,055 to 
0,065 
Ordinary car tires on grass, mud, 
and sand 
0,3 Ordinary car tires on sand 
at
at
F F
F R Nb at
b
F N
R
b 
at r
F N
Exercício V3 2009-1 
Um veículo de 600 kg circula a 80 km/h 
com uma placa de propaganda fina na 
capota. Área frontal: 2,5 m2 
(a) Calcule a potência para movimentar o 
conjunto carro + placa como na fig. 
(b) Calcule a potência com a placa 
perpend. ao movimento do veículo. 
(c) O veículo tem potência máxima de 
52CV a 4600rpm (método SAE). O 
que acontece? 
7
51,225 22,2 8,0
Re 1,22 10 Turb
1,78 10
 
  

1/7 7 1/7
0.031 0.031
0.0302
Re (1,22 10 )
D
L
C   

  2
1
2
fusca placa
D f D p rolamentoF C A C A V F  
  2
1,225
0,6 2,5 0,0302(2 8 0,6) 22,2 0,01 5880
2
F        
1 13,314 kW 18,10 CVP F V   
452,80 87,52 58,8 599,12 NF    
1,37placaDC 
  2
1,225
0,6 2,5 1,37(8 0,6) 22,2 58,8
2
F      
452,80 1.985,06 58,8 2.496,66 NF    
2 55,481 kW 75,43 CVP  
1
2
75,43
4,17
18,10
P
P
 
Exemplo 7.7 ++ 
c pqd
A A R F
dV
F m F F R F
dt
     
 
2 ,
2
( )
c pqd
D c D pqd
r e
dV
AV B
dt
A C A C A
m
B g

 
  
 
 
0
20
t V
V
dV
dt
AV B
 
 
0
arctan /
, 0
V
V
A B V
t AB
AB
 
 
  
 
2
2
c pqd
D c D pqd r e
dV V
m C A C A mg mg
dt
      
Em que e são constantes, pois supomos
, , , , e constantes.c pqdD D pqd r F
A B
C C m A F
0arctan / arctan /V A B V A B
t
AB
   
   
Sabemos que 0 e 0. 
Mas isso não é problema.
A B 
Força máxima 
Até quando? 
Exemplo 7.7 ++ 
0arctan / arctan /V A B V A B
t
AB
   
   
0arctan / arctan / ,
em 0 e 0
V A B V A B t AB
t V
    
   
 
 0tan arctan /
/
V A B t AB
V
A B
 
 
Em vez de calcular V em t =1, 10, etc. 
apresentaremos um gráfico. Adiante. 
2 ,
dV dV dS dV
V AV B
dt dS dt dS
    
0
20
S V
V
VdV
dS
AV B
 
 
0
2ln ( )
2
V
V
AV B
S
A

 
2
0
2
1
ln
2
AV B
S
A AV B
 
  
 
, mas não há integral tabelada.S Vdt 
Exemplo 7.7 ++ 
 
2
( )
c pqd
D c D pqd
r e
A C A C A
m
B g

 
 
 
 2
1,225
0,3 1 1,2 1 0,001246
2 2000
9,806(0,01 0) 0,09806
A
B
     

  
0 
20 
40 
60 
80 
100 
120 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 
V
el
o
ci
d
ad
e 
(m
/s
) 
Tempo (s) 
Com atrito de rolamento Sem atrito de rolamento 
Sem freio 
Pelo gráfico
2.000 m
135 s
p
p
S
t


0 
500 
1000 
1500 
2000 
2500 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 
D
is
tâ
n
ci
a 
(m
) 
Tempo (s) 
Com atrito de rolamento Sem atrito de rolamento 
 2
Com 0,9 :
1,225
0,3 1 1,2 1 0,001246
2 2000
9,806 0,91 8,9235
e
A
B



     

  
Com freio. 
Sem freio 
Exemplo 7.7 ++ 
0arctan / pV A B t AB n    
0arctan /
p
V A B n
t
AB
  
 
arctan 100 0,00122 /0,098
, 0
0,00122 0,098
134,05 s
p
p
t n
t
 
  


2
0
A parada ocorre em 0 :
1
ln
2
p
V
AV B
S
A B

 
  
 
20,00125 100 0,09811
ln
2(0,00125) 0,0981
1946,57 m
p
p
S
S
  
  
 

2
0
2
1
ln
2
AV B
S
A AV B
 
  
 
 0tan arctan /
/
V A B t AB
V
A B
 
 
0tan arctan / 0pV A B t AB
    
  
2
Com 0,9:
0,00125 100 8,92351
ln
2(0,00125) 8,9235
350,66 m
arctan 100 0,00122 /8,9235
0,00122 8,9235
8,23 s
e
p
p
p
p
S
S
t
t
 
  
  
 

 
 


Exemplo 7.7 ++ 
0ln(1 )AV tS
A


0 0
2 20
Sem freios e sem atrito, 0
1t V V
V V
B
dV dV
dt
AV B A V


  
  
0
1 11
0
V
V
V VV
t
A A
  
 
1 1
0
1 0
0
1
V At V
AV t
V
V
 

 


0
01
V
V
AV t


0
0 0 0
0 1
S t t V dt
dS Vdt
AV t
 
  
0 0
1
ln(1 )tS AV t
A
 
0
0
A parada ocorre em 0 :
0 , ou seja em 
1
V
V
t
AV t

 

Como criar um critério para aproximar a 
parada sem conhecer a solução exata? 
0,00 
20,00 
40,00 
60,00 
80,00 
100,00 
120,00 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 
Com atrito de rolamento 
Sem atrito de rolamento 
Alguns exemplos de redução de CA 
Efeitos de Compressibilidade 
• Quando o escoamento 
torna-se compressível, 
CD = f (Re, Ma, G) 
 
• Mas, a partir de um certo 
ponto, Re deixa de ser 
importante: 
– Ma < 0,4: CD = f (Re, G) 
– 0,4 < Ma < 1,0: 
CD = f (Re, Ma, G) 
– Ma > 1,0: CD = f (Ma, G) 
Conclusões Arrasto 
• Cantos vivos 
– Causam separação 
aumentando o arrasto 
– O arrasto tende a ser 
independente de Re 
 
• Corpos carenados 
– Retardam a separação, 
reduzindo o arrasto total 
– Arrasto dependente do ponto 
de separação 
– Ponto de separação depende 
fortemente de Re e do regime 
do escoamento 
– Há uma configuração de 
mínimo arrasto total 
 
• Não é exato separar um corpo 
em partes e somar os atritos 
das partes 
– A aproximação é tão mais 
razoável quanto menos as 
partes interferem-se 
mutuamente 
– É preciso ensaiar/simular 
cuidadosamente o conjunto 
 
• Simulação não é ensaio 
 
Introdução à Aerodinâmica de 
Aeronaves 
Seção 4.3 
 
Estrutura da Aeronave 
http://www.free-online-private-pilot-ground-school.com/aircraft-structure.html 
Asas e Empenagens 
Tucano – T27 
Superfícies de Controle 
Leme 
Aileron 
Profundor 
Aerofólios 
• A filosofia de projeto é: alta 
sustentação e baixo arrasto 
– Bordo de ataque arredondado 
– Bordo de fuga agudo 
– Perfis finos, t/c  0.18 
• Relação FS /FA : 
– Planador  40 
– Avião leve  20 
– Ônibus espacial < 1 
 
2 2
,
0.5 0.5
S A
S A
p p
F F
C C
V A V A
 Utiliza-se a área plana por que a área frontal 
varia muito com o ângulo de ataque 
 
Terminologia 
• Os aerofólios são criados definindo uma linha média e uma 
distribuição de espessuras tomadas na . 
• Os aerofólios são arqueados ou simétricos conforme a linha 
média o for. 
• Os bordos de ataque (BA) e de fuga (BF) são as extremidades 
da linha média. 
• A linha de corda é a reta que une o BA ao BF. Nos aerofólios 
simétricos, linha media = linha de corda 
 
Terminologia 
• O centro do círculo que define a curvatura do BA fica sobre a 
reta tangente à linha média no BA*, quase sobre a linha 
média 
• Ângulo de ataque é o ângulo entre o escoamento não 
perturbado e a linha de corda 
(*) http://www.aeronautics.nasa.gov/docs/rpt460/airfoils.htm 
Sustentação e Arrasto 
• Sustentação: é a componente da força aerodinâmica 
resultante sobre um aerofólio, perpendicular ao escoamento 
não perturbado 
• Arrasto: é a componente paralela 
21
2S S p
F C V A
21
2A A p
F C V A
Forças em Vôo Reto e Nivelado 
Basic concepts of stability 
http://www.free-online-private-pilot-ground-
school.com/Aeronautics.html 
Trimagem 
W 
FS 
FSt 
T 
FA 
NACA 
23015 
e 
 NACA 
662-215 
Fig. 9.17, Fox e 
McDonald, coeficientes 
de sustentação e arrasto 
2-D (asa infinita) 
( ,Re),
Re /
SC f
Vc
f5 14:17 – 15:03 
NACA 0009 (simétrico) 
 
 
 
 
Dispositivos de Alta Sustentação 
Flaps e Slats 
Dispositivos de Alta Sustentação 
Velocidade de Estol 
• A existência de CSmax implica Vmin = Vestol que ocorre em  = estol 
2 20.5 0.5
S
S
p p
F P
C
V A V A
,max
2
estol
S p
P
V
C A
,max 2
min
Como e são ctes.,
0.5
p
S
p
P A
P
C
V A
Velocidades típicas