Calc1_2º bim

Prévia do material em texto

��
Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais)
Limite das Funções Racionais Fracionárias
a função não está definida para x = a
Exemplos:
indeterminação
Exemplos:
			 
Limite das Funções Irracionais
	
	Outra maneira:	
	Substituição de Variável
Limites Envolvendo Infinito
Definições:
Dizemos que um elemento c é finito quando c ( R e dizemos que c é infinito quando c é um dos símbolos +( ou -(.
Obs.: quando valer a frase do limite para b finito ou infinito, diremos que existe o limite e indicaremos por 
. Em caso contrário diremos que não existe o limite e escreveremos 
.
Seja f definida em um intervalo (c, +(). A afirmação 
, significa que a todo ( > 0 corresponde um número positivo N, tal que | f (x) – L | < ( 
 x > N.
Seja f definida em uma vizinhança perfurada de a, a afirmação f (x) se torna infinita quando x tende para a que se escreve: 
, significa que para todo número positivo N, corresponde um ( > 0 / f (x) > N sempre que 0 < | x – a | < (.
Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais)
	
	
	Exemplos:
Limite das Funções Racionais Fracionárias
Exemplos:
Limite das Funções Transcendentais
Exemplos:
indeterminação
	
indeterminação
Limites Notáveis
 (1o Limite Fundamental)
Demonstração:
 
	
	
	
	 	
	Exemplo:
	
 (2o Limite Fundamental)
Exemplos:
		
* Substituir:
Exemplos:
	
* Substituir: 
Limites Notáveis
Assíntotas Horizontais e Verticais
Assíntota Vertical
	Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se for verificada uma das seguintes condições:
Assíntota Horizontal
	Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f se uma das condições abaixo for verificada:
	
	Exemplos:
Determinar as assíntotas e fazer um gráfico de 
.
								
5)	Derivada das Funções
5.1) Incrementos e Razão Incremental
		Seja y = f (x) uma função real de variável real, contínua em um dado intervalo do qual fazem parte os números reais x1 e x2 e esses números são muito próximos entre si, isto é, |x2 – x1| < ( ou x2 – x1 tende a zero.
		Nestas condições são aceitas as seguintes definições:
Incremento da variável independente x:
A variável independente x pode variar, aumentar ou diminuir de x1 até x2, variação esta, denominada incremento ou acréscimo da variável x, indicada por: (x = x2 – x1.
Incremento da função y = f (x)
A função ou variável dependente y pode variar de f (x1) até f (x2), variação esta denominada aumento ou acréscimo da função y = f (x), o qual é indicado por: (y = f (x2) – f (x1).
Razão Incremental da y = f (x)
Denomina-se razão incremental da função y = f (x) a razão entre os incrementos (y e (x ( 
.
		
Derivada de uma Função y = f (x)
Seja y = f (x) definida e contínua em um dado intervalo real, denomina-se função derivada ou derivada de y = f (x) a função que se obtém através do limite da razão incremental de y = f (x) quando o incremento da variável independente x tende a zero. Tal função é indicada por: y’; f ’ (x); 
; 
; 
.
Se este limite existir e for finito.
	
	Exemplos:
Seja f (x) = x2 determine f ’(x).
 indeterminação
	
Derivada de uma função y = f (x) em um ponto x = x0
Seja y = f (x) contínua em um domínio D e x0 um ponto de acumulação de D. Denomina-se derivada de f (x) no ponto x0 ao limite: 
.
		Notação:
				
	Exemplos:
Seja f(x) = x3, determinar a derivada de f no ponto que x0 =1.
			
			
Seja f (x) = sen x, determinar a derivada de f no ponto que x0 = 0.
			
			
 para x0 = 0.
			
			
Teorema da Existência da Derivada em um Ponto
Existirá a derivada de uma função y = f (x) definida e contínua em um ponto x0 se e somente se as derivadas laterais no ponto de abcissa x0 forem iguais, isto é:
Derivadas Laterais
.
	Exemplo:
	1) Verificar se existe a derivada de f (x) = |x| em x0 = 0.
			
			
			
Interpretação Geométrica da Derivada 
Seja y = f (x) uma função contínua e derivável em um domínio D.
		
		
			
Equação da Reta Tangente à curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0) 
			
			
	Exemplo:
Determinar a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto onde x0 = 2.
			
	
Observação:
	A derivada de uma função y = f (x) em um ponto é um número que corresponde ao coeficiente angular da reta tangente à curva y = f (x) no ponto x = x0.
Equação da Reta Normal a uma curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0) 
	
			
 onde, m = f ’(x0)
	Exemplo:
Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida pela equação y = x3 onde x0 = 1.
		 
	
		
			
Álgebra das Derivadas 
Suponha que u = h (x) , y = f (x) e z = g (x) em que:
 
 (Derivada da Soma)
	
	
Demonstração:		
	
	
Exemplo:
y = x2 + ax
y’ = 2x + ax. ln a
	
	
Derivada do Produto 
Exemplo:
y = x2 . ax
y’ = x2.ax.lna + ax.2x
Derivada do Quociente 
		
		
		
Exemplo:
Derivada das Funções Elementares
	
 
	
	
	
	
	
Exemplos:
f (x) = x5
f ’(x)= 5 . x4
f (x) = x –3
f ’(x)= -3 . x -4 
f ’(x) = -5 . x –6
Formulário de Derivadas
y = k ( y’ = 0
y = x ( y’ = 1
y = xn ( y’ = n.x n-1
y = ax ( y’ = ax.lna
y = ln x ( y’ = 
y = sen x ( y’ = cos x
y = cos x ( y’ = - sen x
y = tan x ( y’ = sec2 x
y = cot x ( y’ = - cossec2 x
y = sec x ( y’ = sec x . tan x
y = cossec x ( y’ = - cossec x . cot x
Demonstrações
	Fórmula 5:
		
		
	Fórmula 7:
			
			
	Fórmula 9: 
			
			
	Fórmula 11: 
			
			
Propriedades
y = k . v ( y’ = k . v’
y = u ( v ( y’ = u’ ( v’
y = u . v ( y’ = u.v’ + v.u’
y = 
Derivada das Funções Compostas
	Seja a função composta y = h (x) = fog = f (g(x)) sendo g derivável em relação a x e f derivável em relação a g (x). Nessas condições demostra-se que a derivada dessa função 
.
	Sendo u = g (x) e y = f (u),
		
 ( Regra da Cadeia
Generalização da Regra da Cadeia para Derivada das Funções Compostas
	
	
		
 ( Regra da Cadeia
Exemplos:
		
		
		
		
Regras da Derivada das Funções Compostas
	Sejam u e v funções em x, e k, a e n constantes.
y = k ( y’ = 0
y = x ( y’ = 1
y = un ( y’ = n.u n-1.u’
y = au ( y’ = au.lna.u’
y = eu ( y’ = eu . u’
y = ln u ( y’ = 
y = sen u ( y’ = cos u . u’
y = cos u ( y’ = - sen u . u’
y = tan u ( y’ = sec2 u . u’
y = cot u ( y’ = - cossec2 u . u’
y = sec u ( y’ = sec u . tan u . u’
y = cossec u ( y’ = - cossec u . cot u . u’
Propriedades
y = k . v ( y’ = k . v’
y = u ( v ( y’ = u’ ( v’
y = u . v ( y’ = u.v’ + v.u’
y = 
Derivada das Funções Implícitas
	F (x, y) = 0 mas y = f (x)
Exemplos:
Determinar y’ = 
:
		
		
		
	
Derivada das Funções Inversas Trigonométricasy = arcsen x ( x = sen y
	Determinar y’:
	x = sen y			sen2 y + cos2 y = 1
	1 = cos y . y’			cos y = 
		
	y’ = 
			* sen2 y = x2
 					cos y = 
	
		14)
		y = arccos x
		x = cos y
		Derivando implicitamente:
		1 = - sen y . y’ ( y’ = 
		sen2 y = 1 – cos2 y
		sen y = 
		* x = cos y
		sen y = 
			 x2 = cos2 y
		y’ = 
					 
		15)
		y = arctan x
		x = tan y
		Derivando implicitamente:
		1 = sec2 y . y’ ( y’ = 
		1 + tan2 y = sec2 y
		
			* x = tan y
		
			x2 = tan2 y		
		
				 
		16)
				 
		17)
				 
		18)
				 
		19) 
	Exemplos:
y = arcsen ( 3x-5 )
		
y = arctan (x2 – 5)
		
’ = 
		
arcsen (cos x)
		
y = arccos (ln x)
		
Derivada da Função Inversa
	Seja y = f (x) derivável e inversível em um dado intervalo real. Se y = f (x) admite sua inversa que indicamos por 
, então para determinar a derivada 
 toma-se simplesmente a expressão :
 
	
	Exemplos:
Se y = 2x + 1, determinar
:
			
Se x2 – y2 = 4xy, determinar
 ou x’:
		x2 – y2 - 4xy = 0
		Determinar y’:
		2x – 2yy’ – 4(xy’ + y) = 0
		2x – 2yy’ – 4xy’ – 4y = 0
		y’ (-2y – 4x) = 4y – 2x
		y’ = 
 ( x’ = 
		ou
		Determinar x’:
		2xx’-2y-4(x+yx’)=0
		2xx’-2y-4x-4yx’=0
		x’ (2x – 4y) = 2y + 4x
		x’ = 
Derivada da Função na Forma Paramétrica
	
 
Exemplos:
		
 , determinar 
:
		
Derivadas Sucessivas ou Derivadas de Ordem Superior (ordem n ou enésimas).
	Seja y = f (x) definida contínua e derivável em um intervalo real. Nessas condições a derivada de y = f (x), indicada por y’; 
; f ’(x) é definida por 
.
	Se este limite existir e for finito teremos então a f ’(x), se esta função f ’(x) for derivável a sua derivada de acordo com a definição poderá ser calculada por 
, se este limite existir e for finito teremos uma função indicada por f ’’(x) ou y’’ ou 
;sucessivamente teríamos y’’’ ou f ’’’(x) ou 
; e y iv ou f iv (x) ou 
; e y v ou f v (x) ou 
.
y n ou f n (x) ou 
.
	
	Exemplos:
Determine a derivada de 5a ordem de f (x) = 5.x5 – 3.x3.
			f ’(x) = 25x4 – 9x2
			f ’’(x) = 100x3 – 18x
			f ’’’(x) = 300x2 - 18
			f iv (x) = 600x
			f v (x) = 600
Dada f (x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, calcular f ’’(-1) e f vi(15):
			f ’(x) = 4x3 – 6x2 + 8x			
			f ’’(x) = 12x2 – 12x + 8
			f ’’(-1) = 12(-1)2 – 12(-1) + 8 = 32 ( f ’’(-1) = 32
			f ’’’(x) = 24x - 12
			f iv (x) = 24
			f v (x) = 0
			f vi (x) =0 ( f vi (15) = 0
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial
	Os teoremas de Rolle, de Lagrange, de Cauchy e a regra de L’Hospital são os quatro teoremas fundamentais do cálculo diferencial e são úteis no estudo das funções reais de variável real.
	Definições: 
Seja y = f (x) definida em um intervalo I, então:
f é crescente em I se f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2
f é decrescente em I se f (x1) ( f (x2) sempre que x1 < x2
			
Seja y = f (x) uma função definida em um intervalo I e seja c ( I, então:
f (c) é Máximo de f se f (c) ( f (x) ( x ( I
 ( )
f (c) é Mínimo de f se f (c) ( f (x) ( x ( I
 ( )
	Teoremas: 
Seja y = f (x) uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume o seu máximo e o seu mínimo ao menos uma vez em [a, b].
Seja y = f (x) uma função que tem um extremo (máximo ou mínimo) para um valor c, então f ’(c) = 0 ou f ’(c) = (.
			Hipótese: c é abcissa de máximo (mínimo) Tese:	 f ’(c) = 0
 				 ( f ’(c)
		 Demonstração:
			Se c é máximo ( f (c) ( f (x) ( x ( I
			( f ’(c) = 
			
 f ’(c) = 0
			
Teorema de Rolle
	Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. derivável no intervalo (a, b) se f (a) = f (b) = 0, então existe pelo menos um ponto x ( (a, b) / f ’(c) = 0.
			
			Para f (a) = f (b) = k o teorema também é válido.
Teorema de Lagrange ( Teorema do valor Mínimo - T.V.M. )
	Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b) então 
 = tan (.
		Exemplos:
		Verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio e em caso afirmativo determinar os valores de c. 	
f (x) = x2 [0, 2]
				( Contínua em [a, b] ? 
					Todo polinômio é contínuo. OK!
				( Derivável?
					Sim. OK!
					f ’(x) = 2x ( ( c	
				* f (b) = f (2) = 4
				* f (a) = f (0) = 0
				* f ’(x) = 2x
				* f ’(c) = 2c			
				( 
f (x) = 
 [-2, 2]
				( Contínua em [-2, 2] ? 
					OK!
				( Derivável?
					Não.
					f (x) = 
	
				( T.V.M. não se aplica pois não se verifica essa hipótese.
			
						
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então:
Se f ’(x) > 0 ( x ( (a, b) ( f é crescente em (a, b)
Se f ’(x) < 0 ( x ( (a, b) ( f é decrescente em (a, b)
 
		
				f ’(x) > 0 (crescente			 f ’(x) < 0 ( decrescente
		
		Demonstração:
			Hipótese: f é contínua em [a, b] Tese: f é crescente em (a, b)
 				 derivável em (a, b)
 				 f ’(x) > 0 ( x ( (a, b)	
			* Pelo T.V.M. ( c ( (a, b) / 
			* f ’(x) > 0 ( x ( (a, b) ( f ’(c) > 0
			 
			 b > a ( b – a > 0 ( f (b) – f (a) > 0 ( f (b) > f (a) ( f é crescente
					
			Hipótese: f é contínua em [a, b] Tese: f é decrescente em (a, b)
 				 derivável em (a, b)
 				 f ’(x) < 0 ( x ( (a, b)	
			* ( c ( (a, b) / 
			* f ’(x) < 0 ( x ( (a, b) ( f ’(c) < 0
			 b > a ( f (b) – f (a) < 0 ( f (b) < f (a) ( f é decrescente
			
		y = f (x)	( Para saber se uma função é crescente ou decrescente deve-se analisar o sinal da derivada da equação.
			
		Exemplos:
		Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento e os pontos de máximo e mínimo, se existir, das funções:
f (x) = x3 – 2x2 + x + 2
				f ’(x) = 3x2 – 4x + 1
				3x2 – 4x + 1= 0
				
				
				Intervalo de crescimento	
				Intervalo de decrescimento 
				
				
y = x3 – 2x2 + x + 2
				Para x = 1/3 ( y = ?
					
		
					
		
					
máximo
				Para x = 1 ( y = ?
					y = 1 – 2 + 1 + 2				 
					y = 2					
					(1, 2) mínimo
				
				
				Intervalo de crescimento	
				Intervalo de decrescimento 
				
 máximo
				
 mínimo
f (x) = x3 – 3x – 2
				f ’(x) = 3x2 – 3
				 	3x2 – 3 = 0
					x2 = 1
					x = ( 1
				
				Intervalo de crescimento	
				Intervalo de decrescimento 
				
 máximo
				
 mínimo
f (x) = x3 – 6x2 + 12x + 4
		f ’(x) = 3x2 – 12x + 12
		 	3x2 – 12x + 12 = 0 ((3)
			x2 – 4x + 4 = 0
				
 
						* 1 raiz, 1 único sinal (ou positivo ou negativo)
				* x = 2 não é máximo nem mínimo, f é sempre crescente
Seja y = f (x), uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então:
	i) Se f ’’(x) > 0 ( x ( (a, b) ( f tem a concavidade para cima em (a, b)
	ii) Se f ’’(x) < 0 ( x ( (a, b) ( f tem a concavidade para baixo em (a,b) 
 f ’’
			Exemplo:
f (x) = x3 – 6x2 + 12x + 4
		f ’(x) = 3x2 – 12x + 12
		 	3x2 – 12x + 12 = 0 ((3)
			x2 – 4x + 4 = 0
				
 
						* 1 raiz, 1 único sinal (ou positivo ou negativo)
			* x = 2 não é máximo nem mínimo, f é sempre crescente
			* Estudo do sentido da concavidade
					f ’’(x) = 6x – 12
					6x – 12 = 0
					x = 2(2, 12) Ponto de inflexão
					Para x = 0, y = 4
Critério da Segunda Derivada para Determinar os pontos Críticos (Máximo e Mínimo)
	Se y = f (x) admite derivada Segunda nos pontos críticos e supondo que f seja contínua no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo.
	Seja x0 abcissa de um ponto crítico, isto é, f ’(x0) = 0; se f ’’(x0) > 0, então o gráfico de f tem a concavidade para cima, então f (x0) é um Mínimo local de f; se f ‘’(x0) < 0, então o gráfico de f tem a concavidade para baixo, logo x0 é ponto de Máximo local de f. 
	Resumindo:
	Exemplos:
	Determinar os pontos críticos (máximo e mínimo) das funções:
f (x) = x3 – 4x
			f ’(x) = 3x2 – 4 = 0
			f ’’(x) = 6x 
f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 4
			f ’(x) = 3x2 – 12x + 9
				3x2 – 12x + 9 = 0 ((3)
				x2 – 4x + 3 = 0 
		
			f ’’(x) = 6x – 12
			f ’’(1) = 6 – 12 = -6 < 0 ( x = 1 é Máximo
			f ’’(3) = 18 – 12 > 0 ( x = 3 é Mínimo
f (x) = -x3 + 6x2 - 12x + 4
			f ’(x) = -3x2 + 12x – 12 (((-3))
				x2 - 4x + 4 = 0
				x = 2
			f ’’(x) = -6x + 12
			f ’’(2) = 0 ( não tem máximo nem mínimo
			x = 2 ( é ponto de inflexão. 
Problemas de Aplicação de Máximos e Mínimos
Determinar as dimensões de um retângulo de perímetro 20 e que a área seja máxima:
			
	
						
				
				P = 20
				2x + 2y = 20
				x + y = 10
				y = 10 - x
				A = x . y
				A = x (10 – x)
				A = 10x – x2
				Derivando a área:
				A’ = 10 – 2x
					10 – 2x = 0
	 				x = 5
				A’’ = -2 
				-2 < 0 ( Máximo		x = 5 ( y = 5 Quadrado
Desejamos fabricar uma caixa com uma folha quadrada de lado “a” cortando quadrados de lado “x” desconhecido nos quatro cantos da folha. Determinar o valor de “x” a fim de que a caixa tenha volume máximo.
								
					
				
Deseja-se fabricar um recipiente de forma cilíndrica por meio de uma folha metálica de superfície S. Calcular a relação que deve existir entre a altura “h” e o raio “r” para que o volume seja máximo. Supõe-se não haver perda alguma de metal, que sua espessura permanece constante e que não há tampa. 
			* S = ( r 2 + 2 ( r h
			 h = 
			* V = ( r 2 h
	 		 V = ( r 2 
			 
			* S = 3 ( r2
 			 3 ( r2 = ( r 2 + 2 ( r h, 
			 fazendo as simplificações: 
			 h = r 
( )
a
(z+2)�
-2�
1�
3�
0�
-4�
0�
�
(z-1)�
1�
1�
1�
-2�
0�
�
�
�
�
1�
2�
0�
�
�
�
		 z2 + 2z = 0
			� EMBED Equation.3 ���
(t+1)�
1�
1�
0�
0�
1�
0�
�
�
�
1�
-1�
1�
0�
�
�
		 ( t + 1 ) . ( t2 - t + 1 )
			
y
x
(a+()
(a-()
a
0
( )
O 
Assíntota
Vertical
x
y
a
y = f (x)
x = a (A.V.)
y = f (x)
� EMBED Equation.3 ���
x = a (A.V.)
� EMBED Equation.3 ���
y = b (A.H.)
� EMBED Equation.3 ���
y = c (A.H.)
Assíntota
Horizontal
x
y
-(
-1/2
Assíntota
Vertical
x
y
2
Assíntota
Horizontal
� EMBED Equation.3 ���
Para x=0 ( y = -1/2
� EMBED Equation.3 ���
y
2
x
2
Indeterminação
x3 - 1�
x-1�
�
-x3 + x2�
x2 +x +1�
�
x2 - 1�
�
�
-x2 + x�
�
�
x - 1�
�
�
-x + 1�
�
�
0�
�
�
(
f (x0+(x)
f (x0)
(x
y
x
tangente
(
x0+(x
x0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� ( Equação da reta tangente
Equação da reta normal
� EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ���
Equação da reta tangente
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
A derivada da soma ou da diferença é a soma ou a diferença das derivadas.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y = arcsen u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arccos u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arctan u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arccot u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arcsec u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y = arccosec u ( y’ = � EMBED Equation.3 ���
y
f (x2)
f (x1)
x1 x2 x
y
f (x1)
f (x2)
x1 x2 x
 c x
y
f (c)
 c x
y
f (c)
f ’(c1)=0
f ’(c2)=0
f ’(c3)=0
c1 c2 c3
b
a
a b
a b
crescente x1 decrescente x2 crescente x3 decrescente x4
f ’
+ - + -
mínimo
mínimo
máximo
máximo
+ - +
1/3
máx
mín
1
Sinal contrário de x2
+ - +
máx
1/3
-1
mín
+ - +
1
-1
mín
máx
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
2
 + -
x0
Ponto de Inflexão ( f ’’(x0) = 0
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
2
 - +
2
Ponto de Inflexão 
12
Ponto de Inflexão 
4
0
2
� EMBED Equation.3 ���
y
x
a - 2x
x
a
x
h
h
r
( r2
2( r
2º Bimestre Versão: 1.0 Data: 04/05/99 página: � PAGE �1�
_1005055545.unknown
_1005394873.unknown
_1005478220.unknown
_1005486432.unknown
_1005737213.unknown
_1005739685.unknown
_1005739992.unknown
_1005743703.unknown
_1005744009.unknown
_1006000620.unknown
_1006000726.unknown
_1006001344.unknown
_1005997582.unknown
_1005743766.unknown
_1005740010.unknown
_1005740353.unknown
_1005743576.unknown
_1005740002.unknown
_1005739767.unknown
_1005739983.unknown
_1005739743.unknown
_1005739004.unknown
_1005739270.unknown
_1005739652.unknown
_1005739244.unknown
_1005738797.unknown
_1005738855.unknown
_1005737296.unknown
_1005571667.unknown
_1005636281.unknown
_1005736471.unknown
_1005737118.unknown
_1005637976.unknown
_1005635948.unknown
_1005636083.unknown
_1005634974.unknown
_1005634985.unknown
_1005571753.unknown
_1005486840.unknown
_1005487059.unknown
_1005487086.unknown
_1005486928.unknown
_1005486641.unknown
_1005486760.unknown
_1005486529.unknown
_1005480187.unknown
_1005484710.unknown
_1005485505.unknown
_1005485584.unknown
_1005485630.unknown
_1005485516.unknown
_1005485323.unknown
_1005485473.unknown
_1005484780.unknown
_1005480709.unknown
_1005484203.unknown
_1005484351.unknown
_1005484165.unknown
_1005480443.unknown
_1005480522.unknown
_1005480192.unknown
_1005480394.unknown
_1005479331.unknown
_1005479500.unknown
_1005479731.unknown
_1005480118.unknown
_1005479390.unknown
_1005479181.unknown
_1005479255.unknown
_1005478481.unknown
_1005478725.unknown
_1005478840.unknown
_1005478566.unknown
_1005478282.unknown
_1005401689.unknown
_1005476649.unknown
_1005477483.unknown
_1005477621.unknown
_1005477989.unknown
_1005477643.unknown_1005477512.unknown
_1005476765.unknown
_1005477436.unknown
_1005477178.unknown
_1005476726.unknown
_1005401938.unknown
_1005402207.unknown
_1005476568.unknown
_1005402162.unknown
_1005401798.unknown
_1005401904.unknown
_1005401763.unknown
_1005397535.unknown
_1005401114.unknown
_1005401562.unknown
_1005401617.unknown
_1005401172.unknown
_1005397723.unknown
_1005397737.unknown
_1005397573.unknown
_1005397203.unknown
_1005397308.unknown
_1005397336.unknown
_1005397218.unknown
_1005396442.unknown
_1005396678.unknown
_1005395550.unknown
_1005388623.unknown
_1005391709.unknown
_1005393785.unknown
_1005394584.unknown
_1005394862.unknown
_1005391944.unknown
_1005392196.unknown
_1005393081.unknown
_1005391731.unknown
_1005390054.unknown
_1005390729.unknown
_1005390868.unknown
_1005390228.unknown
_1005390079.unknown
_1005389256.unknown
_1005390028.unknown
_1005389190.unknown
_1005060155.unknown
_1005061120.unknown
_1005141623.unknown
_1005141638.unknown
_1005141782.unknown
_1005141152.unknown
_1005060819.unknown
_1005060884.unknown
_1005060739.unknown
_1005057557.unknown
_1005059234.unknown
_1005059552.unknown
_1005059207.unknown
_1005056226.unknown
_1005057087.unknown
_1005056054.unknown
_1004963594.unknown
_1005047401.unknown
_1005050026.unknown
_1005053738.unknown
_1005054560.unknown
_1005055394.unknown
_1005055467.unknown
_1005055303.unknown
_1005055351.unknown
_1005054851.unknown
_1005054360.unknown
_1005054398.unknown
_1005054345.unknown
_1005053456.unknown
_1005053707.unknown
_1005050968.unknown
_1005048449.unknown
_1005049379.unknown
_1005049981.unknown
_1005048951.unknown
_1005048177.unknown
_1005048335.unknown
_1005047816.unknown
_1004965875.unknown
_1004967549.unknown
_1004968591.unknown
_1004968765.unknown
_1005047227.unknown
_1004968084.unknown
_1004966309.unknown
_1004967493.unknown
_1004965935.unknown
_1004964234.unknown
_1004965364.unknown
_1004965705.unknown
_1004964285.unknown
_1004964200.unknown
_1004964222.unknown
_1004963643.unknown
_1004856176.unknown
_1004858664.unknown
_1004860664.unknown
_1004861869.unknown
_1004861957.unknown
_1004960998.unknown
_1004860712.unknown
_1004861742.unknown
_1004859370.unknown
_1004859806.unknown
_1004859905.unknown
_1004859967.unknown
_1004859403.unknown
_1004858678.unknown
_1004857842.unknown
_1004858537.unknown
_1004858651.unknown
_1004857980.unknown
_1004856842.unknown
_1004857567.unknown
_1004857661.unknown
_1004857701.unknown
_1004857047.unknown
_1004857123.unknown
_1004856919.unknown
_1004856611.unknown
_1004856791.unknown
_1004856823.unknown
_1004856679.unknown
_1004856482.unknown
_1004856490.unknown
_1004856332.unknown
_1004271390.unknown
_1004440799.unknown
_1004442198.unknown
_1004855873.unknown
_1004856058.unknown
_1004856108.unknown
_1004855942.unknown
_1004442353.unknown
_1004855821.unknown
_1004442246.unknown
_1004441948.unknown
_1004442053.unknown
_1004442118.unknown
_1004441968.unknown
_1004441147.unknown
_1004441767.unknown
_1004441000.unknown
_1004354552.unknown
_1004355851.unknown
_1004440263.unknown
_1004440379.unknown
_1004440252.unknown
_1004354817.unknown
_1004355596.unknown
_1004354772.unknown
_1004271912.unknown
_1004272059.unknown
_1004354458.unknown
_1004272006.unknown
_1004271757.unknown
_1004271801.unknown
_1004271685.unknown
_1003908711.unknown
_1003911663.unknown
_1004271123.unknown
_1004271198.unknown
_1004271369.unknown
_1004271159.unknown
_1004270828.unknown
_1004270985.unknown
_1003911778.unknown
_1003910946.unknown
_1003911516.unknown
_1003911588.unknown
_1003911264.unknown
_1003909510.unknown
_1003910157.unknown
_1003909338.unknown
_1003909205.unknown
_1002543880.unknown
_1003908300.unknown
_1003908476.unknown
_1003908705.unknown
_1003908414.unknown
_1003908138.unknown
_1003908200.unknown
_1002544221.unknown
_1002544231.unknown
_1002543419.unknown
_1002543707.unknown
_1002543765.unknown
_1002543663.unknown
_1002543002.unknown
_1002543363.unknown
_1002542404.unknown
_1002541833.doc