Cálculo Diferencial e Integral I

Prévia do material em texto

Pedro Cezar Johnson Rodrigues de Britto 
Bacharel em Ciências Econômicas pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL I 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aula do curso presencial Cálculo Diferencial e Integral I (IME01-00508) 
realizado na UERJ no semestre 2012.1 ministrado por Wellington Reis. 
 
Publicado originalmente [online] em Rio de Janeiro, 2012. 
Última edição/revisão: 17 de julho de 2020. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. APRESENTAÇÃO ................................................................................................. 4 
2. LIMITES ................................................................................................................. 7 
2.1 Calculando limites .............................................................................................. 11 
2.2 Limites Laterais .................................................................................................. 15 
2.2.1 Relação entre limite e limites laterais ............................................................ 17 
2.3 Limites no infinito ............................................................................................... 18 
2.4 Limites infinitos .................................................................................................. 21 
2.5 Símbolos de indeterminação .............................................................................. 24 
2.6 Limites fundamentais ......................................................................................... 25 
2.7 Assíntotas ............................................................................................................. 30 
2.7.1 Esboço aproximado de funções racionais ...................................................... 31 
2.8 Continuidade de funções .................................................................................... 35 
2.8.1 Continuidade em funções compostas ............................................................ 37 
2.8.2 Tipos de descontinuidade .............................................................................. 39 
2.8.3 Dividindo polinômios .................................................................................... 41 
2.8.4 Teorema de Bolzano (ou do valor intermediário) ......................................... 42 
3. DERIVADA ........................................................................................................... 44 
3.1 Reta tangente....................................................................................................... 45 
3.2 Funções deriváveis .............................................................................................. 49 
3.3 Regras/técnicas de derivação ............................................................................. 52 
3.4 Derivada da função composta (regra da cadeia) ............................................. 54 
3.4.1 Teorema da função inversa ............................................................................ 55 
3.5 Derivadas das funções elementares ................................................................... 56 
3.5.1 Função Exponencial ...................................................................................... 56 
3.5.2 Função logarítmica ........................................................................................ 57 
3.5.3 Funções trigonométricas ................................................................................ 59 
3.5.4 Resumo de derivadas de algumas funções .................................................... 61 
3.6 Derivação implícita ............................................................................................. 63 
3.6.1 Cálculo da derivada de uma função implícita ............................................... 65 
3.6.2 Método de cálculo de derivada de função implícita ...................................... 65 
3.7 Derivadas de ordem superior (sucessivas)........................................................ 67 
3.8 Aproximação linear ............................................................................................ 70 
3.9 Teorema/regra de L’Hôpital .............................................................................. 73 
3.9.1 Outros tipos de indeterminações ................................................................... 75 
 
 
 
3.10 Diferencial de uma função ............................................................................... 78 
4. APLICAÇÕES DA DERIVADA ......................................................................... 79 
4.1 Funções monótonas (crescimento e decrescimento) ........................................ 79 
4.2 Variação de funções ............................................................................................ 82 
4.3 Determinação de máximos e mínimos ............................................................... 88 
4.4 Concavidade e pontos de inflexão de funções .................................................. 95 
4.5 Esboço do gráfico de funções ............................................................................. 98 
4.6 Problemas de otimização .................................................................................. 104 
5. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA ......................................................................... 111 
5.2 Integrais e regras de integração fundamentais .............................................. 114 
5.3 Métodos de integração...................................................................................... 117 
5.3.1 Método de substituição ................................................................................ 119 
5.3.2 Método de integração por partes ................................................................. 120 
6. REFERÊNCIAS ................................................................................................. 124 
LISTA DE DEFINIÇÕES, PROPOSIÇÔES, TEOREMAS E COROLÁRIOS
 .................................................................................................................................. 125 
LISTA DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS ......................................................... 137 
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................ 142 
 
4 
 
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Integral I (IME01-00508) realizado na UERJ no semestre 2012.1 ministrado por Wellington Reis, por 
Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
1. APRESENTAÇÃO 
 
Observe a seguinte função: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. 
Se for proposto, como exercício, calcular 𝑓(0), 𝑓(1), 𝑓(2), 𝑓(3) e 𝑓(4), ou, se 
for pedido, por exemplo, para se calcular 𝑓(𝑥) com os valores 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 
𝑥 = 3, e 𝑥 = 4; caso sua resposta imediata for 𝑓(0) = 1, 𝑓(1) = 2, 𝑓(3) = 4 e/ou 
𝑓(4) = 4 + 1 = 5, ou, para 𝑥 = 0, 𝑓(𝑥) = 1, para 𝑥 = 1, 𝑓(𝑥) = 2, para 𝑥 = 2, 
𝑓(𝑥) = 3, para 𝑥 = 3, 𝑓(𝑥) = 4, e para 𝑥 = 4, 𝑓(𝑥) = 5 – em todos estes casos de 
‘respostas/desenvolvimento’, então perfeito! Podemos prosseguir. 
Agora, se por algum motivo não tiver entendido o problema, ou apresentado 
alguma dificuldade de interpretação – há necessidade de um estudo prévio sobre 
fundamentos de funções em matemática. No entanto, fique super tranquilo em relação a 
isto. Peça devidas orientações a seu professor. Além do mais, com uma simples 
pesquise na Google sobre “funções matemática”, você certamente encontrará diversas 
apostilas, cadernos e até livros bem didáticos (ou autoexplicativos) e inclusive vídeos no 
Youtube bem explicativos que irão permitir que você absorva o conhecimento 
necessário para estudarmos esta disciplina – Cálculo Diferencial e Integral I. 
Uma outra dica consiste no livro-texto Cálculo: Volume I, de Mauricio A. 
Vilches e Maria Luiza Corrêa, disponível em: 
https://www.ime.uerj.br/~calculo/reposit/calculo1.pdf.Caso seja apresentado agora como um exercício, calcular lim
𝑥→3
𝑥2 + 𝑥 − 12, e se 
sua resposta automática for lim
𝑥→3
𝑥2 + 𝑥 − 12 = 0, ou lim
𝑥→3
𝑥2 + 𝑥 − 12 = 32 + 3 −
12 = 9 + 3 − 12 = 12 − 12 = 0, maravilha pura! Caso contrário, se tal problema 
aparentar ser ‘estranho’ ou parecer ser ‘difícil’, não se preocupe, pois isto é simples de 
ser explicado de forma intuitiva. 
Se propormos o seguinte exercício: dado a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 12, calcule 
𝑓(3), ou calcule o valor de 𝑓(𝑥) para 𝑥 = 3, você certamente não terá dificuldades para 
responder que 𝑓(3) = 0. Certo? 
Retornando ao nosso exemplo simplificador, em que temos 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, se for 
pedido para calcular 𝑓(2), ou se for pedido para se calcular 𝑓(𝑥) para o valor de 𝑥 = 2, 
https://sites.google.com/view/pedrobritto
https://www.ime.uerj.br/~calculo/reposit/calculo1.pdf
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verificamos que se trata do mesmo problema, porém expresso através de linguagens 
diferentes. A resposta, podemos dizer (usando linguagens diferentes) que é 𝑓(2) = 3, 
ou que para 𝑥 = 2, 𝑓(𝑥) = 3. Esta é uma linguagem matemática simples de responder, 
porém, também poderíamos expressar a solução do problema de outras formas, como 
por exemplo, o ‘resultado ou resposta é igual a 3’, ou ‘se 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, e se 𝑥 significa 
ou corresponde ao valor do número 2; e assim substituímos o termo 𝑥 pelo seu número 
correspondente na função, teremos como resultado da expressão o valor absoluto de 3’, 
ou ainda ‘se 𝑥 é 2, então 𝑓(𝑥) é 3’. 
Continuando ainda neste problema (ou exercício) inicial, em que 𝑥 = 2, 
podemos através da linguagem portuguesa dizer que 𝑥 é literalmente, ou absolutamente 
igual a dois. Agora, ainda na língua portuguesa, se dissermos que 𝑥 tende a ser 
absolutamente ou precisamente ou literalmente igual a dois, então a resposta, ou a 
função tende absolutamente a ser igual a três. 
Agora, na primeira parte em foi dito que “se 𝑥 tende a ser igual a 2” – na 
linguagem matemática, utilizamos a figura de uma ‘setinha’ para indicar a palavra 
‘tende’ – temos a notação, ou a “tradução” para a expressão (matemática) 𝑥 → 2. 
Na segunda parte, em que foi dada a resposta de que “a função tende 
absolutamente a ser igual a três”, ou melhor dizendo, no enunciado como um todo, que 
“se 𝑥 → 2, então neste momento/instante, ou neste limite, o resultado de 𝑓(𝑥) tende a 
ser três”, e assim, esta frase (já mixada com a linguagem matemática quando foi dito 
que 𝑥 tende a ser dois através da notação 𝑥 → 2) pode ser traduzida para a linguagem 
matemática de forma que “se 𝑥 tende a 2, o limite de 𝑓(𝑥) tende a ser igual a 3”, ou 
através da notação matemática – isto que estamos dizendo é expresso da seguinte 
forma: lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 3. Na realidade, esta notação expressa que se 𝑥 se aproxima do 
número 2, o resultado da função se aproxima a 3. 
Retomando ao segundo problema, em que é pedido para calcular lim
𝑥→3
𝑥2 + 𝑥 −
12, e que antes, poderia parecer ser um tanto ‘estranho’ ou ‘difícil’, podemos interpretar 
agora que o que se está sendo pedido é para calcular o resultado da expressão 𝑥2 + 𝑥 −
12 quando 𝑥 tende a ser igual a 3. Logo, podemos responder através da linguagem 
matemática lim
𝑥→3
𝑥2 + 𝑥 − 12 = 0 (fazendo ‘de cabeça’ as substituições de 𝑥 por 3 na 
expressão). 
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De forma geral, dizer que, por exemplo, lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 𝐿, é o mesmo que dizer que 
podemos tornar os valores de 𝑓(𝑥) tão próximos de 𝐿 (um número representado pela 
letra “L” de “Limite”) quanto quisermos, e que para isto basta que tomemos valores de 
𝑥 cada vez mais próximos de zero. 
Similarmente, de forma mais geral, dizer que lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿 é o mesmo que 
dizer que podemos tornar os valores de 𝑓(𝑥) tão próximos de 𝐿 quanto quisermos, basta 
que para isso tomemos valores de 𝑥 cada vez mais próximos de 𝑥0.
1 
Esta observação é muito importante, pois indica a capacidade da linguagem 
matemática de arbitrar valores ou informações através de termos dados em letras, ou 
ainda em letras tanto subscritas quanto por sobrescritas – ou ainda números.2 
Por exemplo, imagine que haja necessidade de expressar informações 
relacionadas a quatro empresas/firmas, chamadas de ‘Firma 1’, ‘Firma 2’, ‘Firma A’ e 
‘Firma B’; agora, se quisermos expressar um determinado custo de cada firma de 
produzir algo em linguagem matemática, podemos, primeiro, chamar custo de 𝑐, e 
expressar cada respectivo custo na forma de 𝑐1, 𝑐2, 𝑐𝐴, e 𝑐𝐵 respectivamente para cada 
firma. 
De forma análoga, se quisermos expressar o preço de venda de determinado 
produto que cada firma comercializa, podemos chamar o preço de 𝑝, e assim, o preço 
cobrado por cada respectiva firma pode ser denotado como 𝑝1, 𝑝2, 𝑝𝐴 e 𝑝𝐵. 
Este caderno segue fielmente a cronologia das notas de aula do curso Cálculo 
Diferencial e Integral I ministrado no primeiro semestre de 2012 por Wellington Reis, 
curso este realizado pela turma de calouros em Ciências Econômicas da UERJ; e utiliza 
o livro digital de Mauricio A. Vilches e Maria Luiza Corrêa como base de referência. 
 
 
1 Observa-se que 𝑥0 é um outro número, novamente representado por uma letra, só que agora acrescida de 
um termo subscrito, que no caso fora utilizado o número 0, mas poderíamos também ter utilizado alguma 
outra letra. 
2 A escolha de letras/números subscritas e sobrescritas vai variar de acordo com a necessidade de se 
expressar determinada informação na linguagem matemática (o que for mais prático de interpretação). 
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2. LIMITES 
 
Inicialmente, desenvolveremos a ideia intuitiva de limite, estudando o 
comportamento de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) nas proximidades de um ponto que não 
pertence, necessariamente, ao seu domínio. Por exemplo, seja 
𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 𝑥 − 1
𝑥 − 1
=
(2𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
. 
É nítido que o domínio desta função exclui o valor 1, ou seja, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {1}. 
Assim, estudamos a função nos valores de 𝑥 que ficam próximos de 1, mas sem atingir 
1. Para todo 𝑥 que pertence ao domínio da função, ou seja, 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), temos que 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
Na Tabela 1, será exposto valores de 𝑥 aproximando-se de 1, tanto pela esquerda 
(quando 𝑥 < 1), quanto pela direita (quando 𝑥 > 1) – e os correspondentes valores de 
𝑓(𝑥). 
Tabela 1 Valores de 𝑓(𝑥) = (2𝑥2 − 𝑥 − 1) (𝑥 − 1⁄ ), ou de forma racionalizada 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 para 
valores de 𝑥 próximos de 1. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA 
Observando as tabelas, verificamos que à medida que 𝑥 vai se aproximando de 
1, os valores de 𝑓(𝑥) vão se aproximando de 3. A noção de proximidade pode ficar 
mais precisa utilizando valor absoluto, ou seja, o módulo. De fato, a distância entre dois 
pontos quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ é |𝑦 − 𝑥|. 
Assim, a frase escrita em itálico, pode ser expressa por: se |𝑥 − 1| aproxima-se 
de zero, então |𝑓(𝑥) − 3| também se aproxima de zero; e em outras palavras: para que 
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|𝑓(𝑥) − 3| seja pequeno é necessário que |𝑥 − 1| também seja pequeno. Desta forma, o 
número 3 é chamado limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 está próximo de 1. Este estudo é 
relevante, pois o número 1 não faz parte do domínio desta função. 
Neste exemplo, temos |𝑓(𝑥) − 3| = 2|𝑥 − 1|; logo, a distância de 𝑓(𝑥) a 3 é 
igual a duas vezes a distância de 𝑥 a 1. Assim, poderemos tornar 𝑓(𝑥) tão perto de 3 
quanto desejarmos, bastando para tal considerar 𝑥 suficientemente próximo de 1. Por 
exemplo, se desejarmos que |𝑓(𝑥) − 3| seja igual a 0,2, basta considerar |𝑥 − 1| = 0,1. 
De um modo geral, considerando qualquer número real positivo 𝜀 (letra grega 
épsilon), tão pequeno quanto se deseje, e definindo o número real 𝛿 (letra grega delta 
minúscula), 𝛿 = 𝜀/2, teremos que a distância de 𝑓(𝑥) a 3 é menor que 𝜀, desde que a 
distância de 𝑥 a 1 seja menor que 𝛿 neste exemplo. Então, para todo número real 
positivo 𝜀, existe outro número real positivo 𝛿, que depende de 𝜀, tal que se 0 <
|𝑥 − 1| < 𝛿, então |𝑓(𝑥) − 3| = 2|𝑥 − 1| < 2𝛿 = 𝜀. Note que todos os intervalos 
abertos que contém 1 intersectam ℝ − {1} de forma não vazia, conforme exposto na 
Figura 1. 
Figura 1 Gráfico de lim𝑥→1 (2𝑥2 −𝑥−1) (𝑥− 1)⁄ . 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
Definição 1. Sejam 𝑓 ∶ 𝐴 ⟶ ℝ uma função e 𝑏 ∈ ℝ tais que para todo 
intervalo aberto 𝐼, contendo 𝑏, tem-se 𝐼 ∩ (𝐴 − {𝑏}) ≠ 𝜙. O número real 𝐿 é o limite de 
𝑓(𝑥) quando 𝑥 aproxima-se de 𝑏 quando para todo número 𝜀 > 0, existe 𝛿 > 0 (𝛿 
dependendo de 𝜀), tal que, se 𝑥 ∈ 𝐴 e 0 < |𝑥 − 𝑏| < 𝛿, então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. A 
notação é: 
lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
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Assim, para todo 𝜀 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que se 𝑥 ∈ (𝑏 − 𝛿, 𝑏 + 𝛿) ∩ (𝐴 − {𝑏}), 
então 𝑓(𝑥) ∈ (𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀), conforme ilustrado na Figura 2. 
Figura 2 Exemplo gráfico genérico de limite. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
Proposição 1. Unicidade do limite. Se lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = 𝐿1 e lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = 𝐿2; (𝐿1, 𝐿2 ∈ ℝ), 
então 𝐿1 = 𝐿2. Em outras palavras, se o limite existe (é um número real), ele é único. 
Corolário 1. Se as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são tais que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) exceto num ponto 𝑏, 
então: 
lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑏
𝑔(𝑥), 
desde que exista um dos limites. 
Esta propriedade nos permite racionalizar ou simplificar antes de calcular o 
limite, conforme feito no primeiro exemplo desta seção. 
Em outras palavras, seguindo o primeiro exemplo, sejam 𝑓(𝑥) =
(2𝑥2 − 𝑥 − 1) (𝑥 − 1)⁄ e 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1. Logo, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) se 𝑥 ≠ 1; então 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) = 3, como já foi verificado. 
Existe também o caso em que não há limite para determinado valor de uma 
variável de função. Por exemplo, lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(1 𝑥⁄ ) não existe. 
Se lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(1 𝑥⁄ ) existisse, então para valores de 𝑥 muito próximos de zero, a 
função 𝑠𝑒𝑛(1 𝑥⁄ ) deveria se aproximar de um valor fixo, que seria o limite. Mas isto 
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não ocorre. Considerando 𝑥 = 2/(2𝑛 + 1)𝜋 ∈ ℝ, (𝑛 ∈ ℤ), 𝑥 ficará próximo de zero se 
𝑛 for muito grande. Mas, 
sen (
1
𝑥
) = sen (
(2𝑛 + 1)𝜋
2
) = sen (𝑛𝜋 +
𝜋
2
) = cos(𝑛𝜋) = (−1)𝑛, 
e a função ficará oscilando entre 1 (se 𝑛 é par) e −1 (se 𝑛 é ímpar). Logo, o limite de 𝑓 
não pode existir, conforme verificado na Figura 3. 
Figura 3 Gráfico de 𝑠𝑒𝑛(1 𝑥⁄ ). 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
Vejamos agora um outro caso. Seja 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 5 se 𝑥 ≠ 1
2𝜋 se 𝑥 = 1.
 
Calculemos então lim
𝑥→1
𝑓(𝑥). Observamos que 𝑓(1) = 2𝜋, mas o valor do limite 
da função quando 𝑥 tende a 1 não depende do valor no ponto 1, pois 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 se 
𝑥 ≠ 1; logo 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
(𝑥 + 5) = 6. 
Proposição 2. Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) existem, então para todo 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ: 
1. lim
𝑥→𝑎
[𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)] = 𝛼 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + 𝛽 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥). 
2. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)] [lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)]. 
3. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
, se lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0. 
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4. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]2 = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
, 𝑠𝑒 𝑛 ∈ ℕ. 
5. lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛
= √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 , se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≥ 0 
e 𝑛 é qualquer natural, ou lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) positivo, negativo ou nulo e 𝑛 é natural ímpar. 
6. lim
𝑥→𝑎
ln[𝑓(𝑥)] = ln [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)] , se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) > 0. 
7. Se lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 e existe 𝛿 > 0 tal que ℎ(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), 
para 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
Seguindo com base na Proposição 2, podemos afirmar que: 
(a) Se 𝑃(𝑥) é uma função polinomial então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎). 
(b) Se 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)⁄ é uma função racional, e 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 
Será demonstrado agora alguns casos práticos de cálculo de limite 
 
2.1 Calculando limites 
 
1º Caso: lim
𝑥→1
(𝑥5 + 𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 + 3𝑥 + 1). 
Neste caso, temos que 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 + 3𝑥 + 1; logo lim
𝑥→1
(𝑥5 +
𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 + 3𝑥 + 1) = lim
𝑥→1
𝑃(𝑥) = 𝑃(1) = 9. 
2º Caso: lim
𝑥→0
5𝑥4 − 4𝑥3 + 2𝑥 − 14. 
Temos que 𝑃(𝑥) = 5𝑥4 − 4𝑥3 + 2𝑥 − 14; logo lim
𝑥→0
5𝑥4 − 4𝑥3 + 2𝑥 − 14 =
lim
𝑥→0
𝑃(𝑥) = 𝑃(0) = −14. 
3º Caso: lim
𝑥→3
(𝑥 − 5) (𝑥3 − 7⁄ ). 
Como lim
𝑥→3
(𝑥3 − 7) = 20 ≠ 0, podemos aplicar a Proposição 2.3; então, 
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lim
𝑥→3
𝑥 − 5
𝑥3 − 7
.=
lim
𝑥→3
(𝑥 − 5)
lim
𝑥→3
(𝑥3 − 7)
= −
1
10
. 
4º Caso: lim
𝑥→3
(1 𝑥⁄ − 1 3⁄ ) (𝑥 − 3)⁄ . 
Este caso é um bom exercício de simplificação e reorganização dos temos. 
Temos que 
lim
𝑥→3
1
𝑥 −
1
3
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
3 − 𝑥
3𝑥
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
−(𝑥 − 3)
3𝑥
𝑥 − 3
= −
1
9
. 
5º Caso: lim
𝑥→1
(𝑥2 − 1)/(𝑥 − 1). 
Como lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) = 0, não podemos aplicar a Proposição 2.3; mas fatorando o 
numerador, temos: 
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
= 𝑥 + 1, 
para todo 𝑥 ≠ 1. Logo: 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1) = 2. 
6º Caso: lim
𝑥→0
(√𝑥 + 4 − 2) 𝑥⁄ . 
Como lim
𝑥→0
𝑥 = 0, da mesma forma que nos casos (4) e (5), não podemos aplicar 
a Proposição 2.3. No entanto, podemos racionalizar a função. Verifica-se que como o 
denominador é composto apenas por 𝑥, há a necessidade de se isolar 𝑥 no numerador. 
Isto é possível através da aplicação de produtos notáveis3 – desta forma, multiplicamos 
tanto o numerador e denominador por √𝑥 + 4 + 2. Assim, temos: 
lim
𝑥→0
√𝑥 + 4 − 2
𝑥
= lim
𝑥→0
(√𝑥 + 4 − 2)(√𝑥 + 4 + 2)
𝑥(√𝑥 + 4 + 2)
= lim
𝑥→0
𝑥 + 4 − 4
𝑥(√𝑥 + 4 + 2)
== lim
𝑥→0
𝑥
𝑥(√𝑥 + 4 + 2)
= lim
𝑥→0
1
(√𝑥 + 4 + 2)
=
1
4
. 
7º Caso: lim
𝑥→0
(√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥) 𝑥⁄ . 
 
3 Verifica-se que (𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 𝑎2𝑥2 + 2𝑎𝑥𝑏 + 𝑏2; e (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑎𝑥 − 𝑏) = 𝑎2𝑥2 − 𝑏2. 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Segue-se os mesmos moldes do caso (6). Temos que 
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥
=
(√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥)(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
=
(1 + 𝑥) − (1 − 𝑥)
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
=
2𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
=
2
(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
, 
para todo 𝑥 ≠ 0. Logo, 
lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
2
(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
=
2
2
= 1. 
8º Caso: lim
𝑥→1
(√𝑥
4
− 1) (√𝑥
5
− 1)⁄ . 
Para calcular este limite, precisamos fazer uma mudança de variáveis, de forma 
a eliminarmos as raízes para a racionalização. Procuramos uma variável compatível para 
que o expoente desta nova variável seja um número inteiro positivo. Sabemos que √𝑥
4
 e 
√𝑥
5
 equivalem em notação a 𝑥
1
4 e 𝑥
1
5. Logo, o mínimo denominador em comum é 20. 
Desta forma, equivalem a 𝑥
5
20 e 𝑥
4
20. Assim, façamos a mudança de variáveis de 𝑥 =
𝑡20; então: 
√𝑥
4
− 1
√𝑥
5
− 1
=
𝑡5 − 1
𝑡4 − 1
=
(𝑡4 + 𝑡3 + 𝑡2 + 𝑡1 + 1)(𝑡 − 1)
(𝑡 − 1)(𝑡3 + 𝑡2 + 𝑡 + 1)
. 
Se 𝑥 → 1, então 𝑡 → 1; logo: 
lim
𝑥→1
√𝑥
4
− 1
√𝑥
5
− 1
= lim
𝑡→1
𝑡4 + 𝑡3 + 𝑡2 + 𝑡1 + 1
𝑡3 + 𝑡2 + 𝑡 + 1
=
5
4
. 
9º Caso: lim
𝑥→0
(𝑥2 𝑠𝑒𝑛(1 𝑥⁄ )). 
Sabemos que −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(1 𝑥⁄ ) ≤ 1, para todo 𝑥 ∈ ℝ − {0}; logo −𝑥2 ≤
𝑥2 𝑠𝑒𝑛(1 𝑥⁄ ) ≤ 𝑥2, para todo 𝑥 ∈ ℝ − {0}. Pela Proposição 2.7,4 temos: 
lim
𝑥→0
(𝑥2𝑠𝑒𝑛 (
1
𝑥
)) = 0. 
 
4 Esta proposição é conhecida na literatura como “Teorema do Confronto” ou ainda “Teorema do 
“sanduiche”, que vale relembrar aqui em nota. Sejam 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥) funções reais definidas num 
domínio 𝐷 ⊆ ℝ e 𝑎 um ponto desde domínio, tais que: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝐿, e 𝑓(𝑥) ≤
𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥); então resulta destas condições que lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿. 
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A Figura 4 ilustra esta função. 
Figura 4 Gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2sen(1 𝑥⁄ ), perto da origem. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
10º Caso: lim
𝑥→𝑎
(𝑥𝑛 − 𝑎𝑛) (𝑥 − 𝑎)⁄ . 
Se 𝑛 é um número inteiro positivo (natural), ou seja, se 𝑛 ∈ ℕ, então: 
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
= 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1, se 𝑥 ≠ 𝑎; 
denotando por 𝑃(𝑥) = 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1, temos: 
lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎) = 𝑛𝑎𝑛−1. 
Se 𝑛 é um número inteiro, ou seja, se 𝑛 ∈ ℤ, mas 𝑛 < 0, podemos seguir o 
mesmo princípio, alterando a variável de forma que 𝑛 = −𝑚, e 𝑚 ∈ ℕ, assim temos: 
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
=
1
𝑥𝑚 −
1
𝑎𝑚
𝑥 − 𝑎
= −
1
𝑥𝑚𝑎𝑚
[
(𝑥𝑚 − 𝑎𝑚)
𝑥 − 𝑎
] ; 
da mesma forma que no caso anterior, temos: 
lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑚→𝑎
−
1
𝑥𝑚𝑎𝑚
[
(𝑥𝑚 − 𝑎𝑚)
𝑥 − 𝑎
] = −𝑚
1
𝑎2𝑚
𝑎𝑚−1 = 𝑛
1
𝑎−2𝑛
𝑎−𝑛−1
= 𝑛𝑎2𝑛𝑎−𝑛−1 = 𝑛𝑎𝑛−1. 
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Agora, se 𝑛 ∈ ℚ, 𝑛 = 𝑝/𝑞; 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0, podemos fazer com que 𝑥 = 𝑦𝑞 e 
𝑎 = 𝑏𝑞, então 𝑥𝑛 = 𝑦𝑝 e 𝑎𝑛 = 𝑏𝑝;5 logo: 
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
=
𝑦𝑝 − 𝑏𝑝
𝑦𝑞 − 𝑏𝑞
=
(𝑦𝑝 − 𝑏𝑝)(𝑦 − 𝑏)
(𝑦 − 𝑏)(𝑦𝑞 − 𝑏𝑞)
; 
Da mesma premissa do caso anterior, obtemos: 
lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
= lim
𝑦→𝑏
[
𝑦𝑝 − 𝑏𝑝
𝑦 − 𝑏
] [
𝑦 − 𝑏
𝑦𝑞 − 𝑏𝑞
] = [
𝑝
𝑞
] 𝑎
𝑝
𝑞
−1
= 𝑛𝑎𝑛−1. 
Em todos estes casos verificamos que 
lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛
𝑥 − 𝑎
= 𝑛𝑎𝑛−1. 
Exercício 1. Determine o valor de 𝑎 tal que 
lim
𝑥→−2
3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 + 3
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
exista. Vide solução na seção final do caderno Soluções dos exercícios propostos. 
 
2.2 Limites Laterais 
 
Consideremos 𝑓 como sendo uma função definida em um domínio 𝐷, que pode 
ser um intervalo ou uma reunião de intervalos. Seguimos com a definição. 
Definição 2. 
1. Seja 𝑎 ∈ ℝ, tal que existe 𝑏 ∈ ℝ, e (𝑎, 𝑏) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓); o número real 𝐿 é o limite 
à direita de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela direita, se para todo 𝜀 > 0, 
existe 𝛿 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀, se 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿. Ilustrado pela Figura 5. 
A notação é: 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
 
 
5 Como 𝑛 = 𝑝/𝑞, logo tendo 𝑥 = 𝑦𝑞 e 𝑎 = 𝑏𝑞, então 𝑥𝑛 = 𝑥
𝑝
𝑞 = 𝑦
𝑞(
𝑝
𝑞
)
= 𝑦𝑝. De forma análoga, tendo 
𝑎 = 𝑏𝑞, então 𝑎𝑛 = 𝑎
𝑝
𝑞 = 𝑦
𝑞(
𝑝
𝑞
)
= 𝑦𝑝. 
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Figura 5 Limite à direita. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
2. Seja 𝑎 ∈ ℝ, tal que existe 𝑐 ∈ ℝ, e (𝑐, 𝑎) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓); o número real 𝐿 é o limite 
à esquerda de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela esquerda, se para todo 𝜀 >
0, existe 𝛿 > 0, tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀, se 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎. Ilustrado pela Figura 
6. A notação é: 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
Figura 6 Limite à esquerda. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
Como exemplo, calcularemos lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥), se: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 1 se 𝑥 < 2
2 se 𝑥 = 2
−𝑥2 + 9 se 𝑥 > 2.
 
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Observamos que 𝑥 → 2+ significa que 𝑥 fica perto de 2, para valores de 𝑥 
maiores que 2, ou seja, quando 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 9; e 𝑥 → 2− significa que 𝑥 fica perto de 
2, para valores de 𝑥 menores que 2, ou seja, quando 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1. Assim, 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑓(−𝑥2 + 9) = 5, e lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥2 + 1) = 5. 
Mesmo 𝑓(2) = 2, verificamos que seis limites laterais correspondem a 5. 
 
2.2.1 Relação entre limite e limites laterai s 
 
Teorema 1. Seja 𝑓(𝑥) uma função com domínio 𝐷 nas condições das definições. 
Então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, se e somente se os limites laterais existirem, e lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) =
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
Isto significa que, mesmo existindo limites laterais lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥), se 
forem distintos, então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) não existe. 
Teste para determinar quando não existe um limite. Se 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥), 
ou se um dos limites laterais não existe, então 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) não existe. 
Para ilustração, calcularemos lim
𝑥→1
𝑓(𝑥), se 
𝑓(𝑥) = { 𝑥
2 se 𝑥 < 1
3𝑥 se 𝑥 ≥ 1.
 
Utilizando o Teorema 1, calculamos os limites laterais correspondentes. Obtemos que 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(3𝑥) = 3, 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(𝑥2) = 1; 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) ou 3 ≠ 1, logo lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) não existe. 
 
 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Exercício 2. Determine o valor da constante 𝑐 tal que lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) exista, se: 
𝑓(𝑥) = { 2 − 𝑥
2 se 𝑥 ≤ 𝑐
 𝑥 se 𝑥 > 𝑐.
 
Vide solução na seção final do caderno Soluções dos exercícios propostos. 
 
2.3 Limites no infinito 
 
Definição 3. 
1. Seja 𝑓 ∶ (𝑎, +∞) → ℝ. Diz-se que lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 quando para todo 𝜀 > 0, 
existe 𝐴 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 se 𝑥 > 𝐴. 
2. Seja 𝑓 ∶ (−∞, 𝑏) → ℝ. Diz-se que lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 quando para todo 𝜀 > 0, 
existe 𝐵 > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 se 𝑥 < −𝐵. 
Iniciaremos a verificar os limites no infinito através da função mais simples, 
𝑓(𝑥) = 1/𝑥. Verificamos que 
lim
𝑥→+∞
1
𝑥
= 0. 
Temos que para todo 𝜀 > 0, existe 𝐴 > 1 𝜀⁄ > 0, tal que 𝑥 > 𝐴, então 1 𝑥⁄ <
1 𝐴⁄ < 𝜀 e |1 𝑥⁄ − 0| = |1 𝑥⁄ | < 𝜀. 
Verificaremos agora formalmente que 
lim
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0. 
Temos que para todo 𝜀 > 0, existe 𝐵 > 1/𝜀 > 0, tal que 𝑥 < −𝐵, então |1 ∕
𝑥| = −1/𝑥 < 𝜀. 
Observemos que 𝑥 → +∞ implica 𝑥 > 0, e 𝑥 → −∞ implica 𝑥 < 0. É natural 
pensamos que dividindo qualquer quantidade ou número racional por um número 
natural, quanto maior for este número natural, menor será o resultado. Assim, uma 
divisão de um número racional por um número infinito, o resultado se aproximará a 
zero. A Tabela 2 nos ilustra estes dois casos demonstrados. 
 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Tabela 2 Valores de lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 1/𝑥; |𝑎| ≥ 1. 
 
Elaboração do autor. 
Proposição 3. Para todo número natural 𝑛 e para 𝑏 ∈ ℝ − {0}, tem-se: 
1. lim
𝑥→+∞
𝑏
𝑥𝑛
= 0. 
2. lim
𝑥→−∞
𝑏
𝑥𝑛
= 0. 
Proposição 4. Se lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→±∞
𝑔(𝑥) existem, então para todo 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ: 
1. lim
𝑥→±∞
(𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)) =𝛼 lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) + 𝛽 lim
𝑥→±∞
𝑔(𝑥), 
2. lim
𝑥→±∞
(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = ( lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)) ( lim
𝑥→±∞
𝑔(𝑥)), 
3. lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→±∞
𝑔(𝑥)
, se lim
𝑥→±∞
𝑔(𝑥) ≠ 0. 
Verificaremos agora alguns exemplos. 
Exemplo 1: lim
𝑥→+∞
(3 𝑥3⁄ + 5). 
Aplicando diretamente a Proposição 4.1 e Proposição 3.1, temos que 
lim
𝑥→+∞
(
3
𝑥3
+ 5) = lim
𝑥→+∞
3
𝑥3
+ lim
𝑥→+∞
5 = 0 + 5 = 5. 
Exemplo 2: lim
𝑥→+∞
5/𝑥2. 
Aplicando diretamente a Proposição 4.2, temos 
lim
𝑥→+∞
5/𝑥2 = ( lim
𝑥→+∞
5) ( lim
𝑥→+∞
1
𝑥2
) = 5 × 0 = 0. 
𝑥 = 𝑎 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝟏/𝒙 𝑥 = 𝑎 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝟏/𝒙 
𝑎 = 1 1 𝑎 = −1 −1 
𝑎 = 2 0,5 𝑎 = −2 −0,5 
𝑎 = 4 0,25 𝑎 = −4 −0,25 
𝑎 = 10 0,1 𝑎 = −10 −0,1 
𝑎 = 100 0,01 𝑎 = −100 −0,01 
𝑎 = 10000 0,0001 𝑎 = −10000 −0,0001 
𝑎 = 100000 0,00001 𝑎 = −100000 −0,00001 
𝑎 = 1000000 0,000001 𝑎 = 1000000 −0,000001 
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 
𝑎 = +∞ 0 𝑎 = −∞ 0 
 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Proposição 5. Seja 
𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, 
onde 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0 e 𝑄(𝑥) = 𝑏𝑚𝑥
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥
𝑚−1 +⋯+ 𝑏0 são 
polinômios de coeficientes reais de graus 𝑛 e 𝑚, respectivamente, isto é 𝑎𝑛 ≠ 0 e 𝑏𝑚 ≠
0; então: 
lim
𝑥→±∞
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= {
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 se 𝑛 = 𝑚,
0 se 𝑛 < 𝑚.
 
De fato 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0
𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 +⋯+ 𝑏0
=
𝑥𝑛 [𝑎𝑛 +
𝑎𝑛−1
𝑥 +⋯+
𝑎0
𝑥𝑛]
𝑥𝑚 [𝑏𝑚 +
𝑏𝑚−1
𝑥 +⋯+
𝑏0
𝑥𝑚]
. 
Como ensaio para estas proposições, calcularemos o limite no infinito em alguns 
casos relevantes. 
1º Caso: lim𝑥→+∞ (𝑥
3 + 1) (𝑥4 + 5𝑥3 + 𝑥 + 2)⁄ . 
Verificamos da expressão (𝑥3 + 1) que 𝑛 = 3, e da expressão (𝑥4 + 5𝑥3 + 𝑥 +
2) que 𝑚 = 4. Logo, 𝑛 < 𝑚, assim, diretamente da Proposição 5, temos que 
lim
𝑥→+∞
𝑥3 + 1
𝑥4 + 5𝑥3 + 𝑥 + 2
= 0. 
2º Caso: lim𝑥→−∞ (2𝑥 + 3) (3𝑥 + 2)⁄ . 
Da expressão (2𝑥 + 3) verificamos que 𝑛 = 1, e da expressão (3𝑥 + 2) 
verificamos que 𝑚 = 1. Logo, 𝑛 = 𝑚. Logo, da Proposição 5 e das expressões 
verificamos que 𝑎𝑛 = 2 e 𝑏𝑚 = 3, e assim temos que 
lim
𝑥→−∞
2𝑥 + 3
3𝑥 + 2
=
2
3
. 
3º Caso: lim𝑥→+∞ (𝑥 + 1) √𝑥2 − 5⁄ . 
Neste problema, a função não é racional, mas podemos racionalizar os termos 
através da aplicação da Proposição 2.5, e assim temos 
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lim
𝑥→+∞
𝑥 + 1
√𝑥2 − 5
= lim
𝑥→+∞
√
(𝑥 + 1)2
𝑥2 − 5
= lim
𝑥→+∞
√
𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥2 − 5
= √ lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥2 − 5
= √1
= 1. 
4º Caso: lim𝑥→−∞ (𝑥 + 1) √𝑥2 − 5⁄ . 
Este problema aparenta ser análogo ao 3º Caso, no entanto, devemos ter cuidado 
na observação de que 𝑥 → −∞, ou seja, que 𝑥 < 0. Assim, não podemos aplicar a 
Proposição 2.5, pois a raiz é número par (raiz quadrada, 𝑛 da raiz é igual a dois). No 
entanto, podemos resolver este caso através da racionalização dos fatores, calculando o 
limite de −𝑥 quando tende a +∞ para o negativo da função. Assim temos que 
lim
𝑥→−∞
𝑥 + 1
√𝑥2 − 5
= lim
−𝑥→+∞
−𝑥 (1 +
1
𝑥)
√𝑥2 (1 −
5
𝑥2
)
= lim
−𝑥→−∞
−𝑥 (1 +
1
𝑥)
𝑥√(1 −
5
𝑥2
)
= lim
−𝑥→+∞
−(1 +
1
𝑥)
√(1 −
5
𝑥2
)
= −1. 
 
2.4 Limites infinitos 
 
Considere a função 𝑓(𝑥) = 1/𝑥; o que acontece quando 𝑥 → 0? Sabemos que 0 
não pertente ao domínio desta função, mas podemos verificar o que acontece quando 𝑥 
se aproxima de zero, conforme ilustrado na Tabela 3. 
Tabela 3 Valores de 𝑓(𝑥) = 1/𝑥; quando 𝑥 → 𝑎. 
 
Elaboração do autor. 
 
𝑥 𝒇(𝒙) = 𝟏/𝒙 𝑥 𝒇(𝒙) = 𝟏/𝒙 
𝑥 = 1 1 𝑥 = −1 −1 
𝑥 = 0,5 2 𝑥 = −0,5 −2 
𝑥 = 0,1 10 𝑥 = −0,1 −10 
𝑥 = 0,01 100 𝑥 = −0,01 −100 
𝑥 = 0,001 1000 𝑥 = −0,001 −1000 
𝑥 = 0,0001 10000 𝑥 = −0,0001 −10000 
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 
lim𝑥→0+𝑓(𝑥) = +∞ lim𝑥→0−𝑓(𝑥) = −∞ 
0 
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Verificamos a existência de dois limites laterais infinitos, 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −∞ e lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = +∞, 
logo, lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 1 𝑥⁄ não é definido. 
Seja 𝑓 uma função definida num domínio 𝐷, que pode ser um intervalo ou uma 
reunião de intervalos. Seja 𝑎 um ponto que não pertence necessariamente a 𝐷, mas tal 
que nas proximidades de 𝑎 existam pontos de 𝐷; em outras palavras, qualquer intervalo 
aberto que contem 𝑎 e intersecta 𝐷 de forma não vazia, segue-se a definição. 
Definição 4. 
1. Diz-se que que lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = +∞, quando para todo 𝐴 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 
𝑓(𝑥) > 𝐴, se 𝑥 ∈ 𝐷 e 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. 
2. Diz-se que lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = −∞, quando para todo 𝐵 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 
𝑓(𝑥) < −𝐵, se 𝑥 ∈ 𝐷 e 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. 
Para um ensaio desta formalidade, verificaremos que lim
𝑥→1
1/(𝑥 − 1)2 = +∞. 
Como 1/(𝑥 − 2)2 > 𝐴, então se (𝑥 − 1)2 < 1/𝐴, ou ainda |𝑥 − 1| < 1/√𝐴; 
logo então para todo 𝐴 > 0, existe 𝛿 = 1 √𝐴⁄ > 0 tal que 𝑓(𝑥) > 𝐴 se 0 < |𝑥 − 1| <
𝛿. 
Podemos analogamente definir limites laterais infinitos da seguinte forma: 
1. Diz-se que lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = +∞, quando para todo𝐴 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 
𝑓(𝑥) > 𝐴 se 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎. 
2. Diz-se que lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = −∞, quando para todo 𝐵 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 
𝑓(𝑥) < −𝐵 se 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿. 
Proposição 6. Para todo número natural 𝑛, temos: 
1. lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑛
= +∞. 
2. lim
𝑥→0−
1
𝑥𝑛
= {
+∞ se 𝑛 é par, 
−∞ se 𝑛 é ímpar.
 
 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Proposição 7. Sejam 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) funções tais que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≠ 0 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) =
0, então: 
1. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= +∞ se 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
> 0 para valores de 𝑥 próximos de 𝑎. 
2. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= −∞ se 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
< 0 para valores de 𝑥 próximos de 𝑎. 
Estas proposições podem ser ilustradas através de exemplos. Calculemos 
lim
𝑥→1
3𝑥 − 2
(𝑥 − 1)2
. 
Como lim
𝑥→1
(3𝑥 − 2) = 1 > 0 e lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)2 = 0, aplicando a Proposição 7.1, temos que 
lim
𝑥→1
3𝑥 − 2
(𝑥 − 1)2
= +∞. 
Um exemplo para demonstrarmos a Proposição 7.2 pode ser dado calculando-se 
lim
𝑥→2
(2𝑥 − 5)/(𝑥 − 2)2. Como lim
𝑥→2
(2𝑥 − 5) = −1 < 0 e lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)2 = 0, logo 
lim
𝑥→2
2𝑥 − 5
(𝑥 − 2)2
= −∞. 
Corolário 2. Para funções racionais, temos: 
lim
𝑥→±∞
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= {
±∞ se 𝑛 > 𝑚,
𝑎𝑛
𝑏𝑚
 se 𝑛 = 𝑚,
0 se 𝑛 < 𝑚.
 
Considere 
𝑓(𝑥) =
𝑥5 + 1
𝑥4 + 5𝑥3 + 2
. 
Pela expressão (𝑥5 + 1) temos que 𝑛 = 5, e pela expressão (𝑥4 + 5𝑥3 + 2) 
temos que 𝑚 = 4, logo 𝑛 > 𝑚. Assim, pelo Corolário 2, temos que 
lim
𝑥→∞
𝑥5 + 1
𝑥4 + 5𝑥3 + 2
= +∞. 
 
 
 
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Exercício 3. Calcule o limite de 
lim
𝑥→+∞
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥𝑥
𝑥!
)
𝑥2 + 1
. 
Vide solução na seção final do caderno Soluções dos exercícios propostos. 
 
2.5 Símbolos de indeterminação 
 
Nas operações com limites, muitas vezes podemos nos deparar com símbolos, 
tais como 
∞−∞,∞ × 0,
∞
∞
,
0
0
, 00, 1∞, ∞0. 
Estes são chamados símbolos de indeterminação. Quando aparece um destes símbolos 
no cálculo de um limite, nada se pode dizer sobre este limite. Ele poderá existir ou não, 
dependendo da expressão da qual se está calculando o limite. 
Verifiquemos alguns casos6. 
1º Caso: se 𝑓(𝑥) = 1 + 1/(𝑥 − 1)2 e 𝑔(𝑥) = 1/(𝑥 − 1)2, onde 𝑓 e 𝑔 são definidos em 
ℝ − {1}, então 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) = +∞. 
Assim, para lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) obtemos +∞−∞, nosso primeiro símbolo de 
indeterminação. No entanto, é nítido que lim
𝑥→1
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 1. 
2º Caso: se 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(1 (𝑥 − 1)⁄ ) + 1/(𝑥 − 1)2 e 𝑔(𝑥) = 1/(𝑥 − 1)2, onde 𝑓 e 𝑔 
são definidas em ℝ − {1}; então lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) = +∞. Novamente obtemos que 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) = +∞−∞, nosso primeiro símbolo de indeterminação; mas desta 
vez, podemos verificar que lim
𝑥→1
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) não existe, pois lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(1/(𝑥 − 1)) não 
existe. 
 
6 Todos estes casos são exclusivos do livro de VILCHES & CORRÊA, adaptados aqui neste caderno. 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
3º Caso: se 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 e 𝑔(𝑥) = ln(𝑥), onde 𝑓 e 𝑔 são definidos para 𝑥 > 0, então 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 0 e lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞. Fazendo lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) × lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) obtemos nosso 
segundo símbolo de indeterminação, +∞× 0. No entanto, lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = 0. 
De fato, ln(𝑥) < 𝑥 para todo 𝑥 > 0, por se tratar de uma função logarítmica. 
`Podemos racionalizar, de forma que ln(𝑥) = ln(√𝑥√𝑥) = 2 ln(√𝑥) < 2√𝑥 para 𝑥 ≥
1.7 Logo, 0 < ln(𝑥) < 2√𝑥 para todo 𝑥 ≥ 1. Da mesma forma, 
0 <
ln(𝑥)
𝑥
<
2√𝑥
𝑥
=
2
√𝑥
. 
Aplicando lim
𝑥→+∞
0 = lim
𝑥→+∞
2 √𝑥⁄ = 0, verificamos pelo teorema do confronto 
(definido na Proposição 2.7) que lim
𝑥→+∞
ln(𝑥) /𝑥 = 0. 
4º Caso: se 𝑓(𝑥) = 1/𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(1 𝑥⁄ ), onde 𝑓 e 𝑔 são definidas em ℝ − {0}, 
então lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = +∞ e lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) = 0. Fazendo lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) × lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) obtemos 
novamente o símbolo de indeterminação, +∞× 0. Mas desta vez, de forma análoga ao 
2º Caso, verificamos que lim
𝑥→0
(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) não existe. 
 
2.6 Limites fundamentais 
 
Nosso primeiro limite fundamental de estudo será 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1. 
A Tabela 4 nos mostra que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)/𝑥 é uma função par. 
 
7 Lembremos sempre que racionalizamos expressões, devemos ter o cuidado de adaptar as condições. 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Tabela 4 𝑓(𝑥) = sen(𝑥)/𝑥. 
 
Elaboração do autor. 
Para provarmos que lim
𝑥→0
sen(𝑥)/𝑥 = 0, considere o desenho apresentado na 
Figura 7. 
Figura 7 Desenho para prova do primeiro limite fundamental. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
Denotemos 𝐴1 como a área do triângulo 𝑄𝑂𝑃, 𝐴2 como a área do triângulo 𝑆𝑂𝑇 
e 𝐴 pela área do setor circular 𝑆𝑂𝑃. É nítido pelo desenho que 𝐴1 < 𝐴 < 𝐴2. Se 0 <
𝜃 < 𝜋/2, 
𝐴1 =
1
2
 sen(𝜃) cos(𝜃), 𝐴2 =
1
2
 sen(𝜃) sec(𝜃) e 𝐴 =
1
2
𝜃. 
Então, da desigualdade acima, temos que sen(𝜃) cos(𝜃) < 𝜃 < sen(𝜃) sec(𝜃); 
e, como sen(𝜃) > 0 se 0 < 𝜃 < 𝜋/2, temos que 
cos(𝜃) <
𝜃
sen(𝜃)
< sec(𝜃) , 𝑜𝑢 cos(𝜃) <
sen(𝜃)
𝜃
< sec(𝜃). 
Como lim
𝜃→0+
cos (𝜃) = lim
𝜃→0+
sec(𝑡) = 1, segue-se que lim
𝜃→0+
sen(𝜃) /𝜃 = 1. Por 
ser sen(𝜃) /𝜃 uma função para, logo lim
𝜃→0−
sen(𝜃) /𝜃 = 1; logo, 
𝑥 ≠ 0 𝑓(𝑥) 
±1 0,841471 
±0,5 0,958851 
±0,2 0,993347 
±0,1 0,998334 
±0,01 0,999983 
±0,001 0,9999998 
 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
lim
𝜃→0
sen(𝜃)
𝜃
= 1. 
A Figura 8 nos ilustra esta função. 
Figura 7 Gráfico da função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥)/𝑥 se 𝑥 ≠ 0 e 𝑓(0) = 1. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
O segundo limite fundamental essencial de estudo será 
lim
𝑥→±∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
 
A Tabela 5 nos mostra alguns resultados da função 𝑓(𝑥) = (1 + 1 𝑥⁄ )𝑥. 
Tabela 5 𝑓(𝑥) = (1 + 1 𝑥⁄ )𝑥. 
 
Elaboração do autor. 
É possível provar que 
lim
𝑥→±∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒, 
onde 𝑒 ≅ 2,71828 é o número/constante de Euler. A prova desta propriedade poderá ser 
encontrar em bibliografias intermediárias ou avançadas. 
A Figura 8 nos ilustra o gráfico desta função. 
 
𝑥 > 0 𝑓(𝑥) 𝑥 < 0 𝑓(𝑥) 
101 2,593742 −101 2,867972 
102 2,704813 −102 2,704814 
103 2,716924 −103 2,719642 
104 2,718146 −104 2,718146 
105 2,718268 −105 2,718295 
106 2,718280 ≅ 𝑒 −106 2,718280 ≅ 𝑒 
 
https://sites.google.com/view/pedrobritto
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Integral I (IME01-00508) realizado na UERJ no semestre 2012.1 ministrado por Wellington Reis, por 
Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto.Figura 8 Gráfico da função 𝑓(𝑥) = (1 + 1 𝑥⁄ )𝑥 para 𝑥 ≠ 0. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
O terceiro limite fundamental a ser estudado considera 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 
então: 
lim
𝑥→0
(
𝑎𝑥 − 1
𝑥
) = ln(𝑎). 
Seja 𝑡 = 𝑎𝑥 − 1, e de forma análoga, 𝑎𝑥 = 𝑡 − 1; então ln(𝑎𝑥) = ln (𝑡 + 1); 
logo 𝑥 ln(𝑎) = ln(𝑡 + 1), e assim 𝑥 = ln(𝑡 + 1) / ln(𝑎). Quando 𝑥 → 0, temos que 𝑡 →
0, então 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
= lim
𝑡→0
𝑡
ln(𝑡 + 1)
ln(𝑎)
= ln(𝑎) lim
𝑡→0
1
1
𝑡 ln(𝑡 + 1)
= ln(𝑎) lim
𝑡→0
1
ln ((1 + 𝑡)
1
𝑡)
=
ln(𝑎)
ln (lim
𝑡→0
(1 + 𝑡)
1
𝑡)
. 
Verificaremos na página a seguir, no 3º Caso, que lim
x→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒. Logo, 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
=
ln(𝑎)
ln(𝑒)
= ln(𝑎). 
Em particular, 𝑒 é a única base da exponencial tal que 
lim
𝑥→0
(
𝑒𝑥 − 1
𝑥
) = ln(𝑒) = 1. 
A seguir, verificaremos o uso destas propriedades em alguns exemplos de casos. 
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1º Caso: lim
𝑥→0
𝑡𝑔(𝑥)/𝑥. 
lim
𝑥→0
𝑡𝑔(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0
(
sen(𝑥)
𝑥 cos(𝑥)
) = lim
𝑥→0
(
sen(𝑥)
𝑥
) lim
𝑥→0
(
1
cos(𝑥)
) = 1. 
2º Caso: lim
𝑥→0
sen(2𝑥) / sen(3𝑥). 
Verificamos que sen(2𝑥) sen(3𝑥)⁄ = (6𝑥 × sen(2𝑥)) (6𝑥 × sen(3𝑥))⁄ para 
𝑥 ≠ 0. Logo, 
lim
x→0
sen(2𝑥)
sen(3𝑥)
=
2
3
lim
x→0
(
sen(2𝑥)
2𝑥
) lim
x→0
(
3𝑥
sen(3𝑥)
) =
2
3
. 
3º Caso: lim
x→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 . 
Este caso precisa de uma reorganização para aplicarmos o segundo limite 
fundamental. Consideremos que 𝑡 = 1/𝑥, logo 𝑥 = 1/𝑡, assim se 𝑥 → 0, então 𝑡 →
±∞. Logo 
lim
x→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = lim
t→±∞
(1 +
1
𝑡
)
𝑡
= 𝑒. 
4º Caso: lim
x→±∞
(1 + 𝑏 𝑥⁄ )𝑥, onde 𝑏 é um número real. 
Da mesma forma que no 3º Caso, é necessário que a expressão seja organizada. 
Para aplicação do segundo limite fundamental, é necessário que 𝑏 = 1, logo podemos 
tomar 𝑡 = 𝑥/𝑏 que corresponde a 𝑥 = 𝑏𝑡, e assim, temos 
lim
x→±∞
(1 +
𝑏
𝑥
)
𝑥
= ( lim
t→±∞
(1 +
1
𝑡
)
𝑡
)
𝑏
= 𝑒𝑏 . 
5º Caso: lim
𝑥→±∞
(1 + 1 (𝑥 + 𝑏)⁄ )𝑥, onde 𝑏 é um número real. 
Consideremos que 𝑥 + 𝑏 = 𝑡, onde analogamente, 𝑥 = 𝑡 − 𝑏. Então, 
lim
𝑥→±∞
(1 +
1
𝑥 + 𝑏
)
𝑥
= lim
𝑡→±∞
(1 +
1
𝑡
)
𝑡−𝑏
=𝑒. 
6º Caso: sabemos que se uma quantia 𝐴0 é investida a uma taxa 𝑟 de juros compostos, 
capitalizados 𝑚 vezes ao ano, o saldo 𝐴(𝑡), após 𝑡 anos é dado por 𝐴(𝑡) =
𝐴0(1 + 𝑟 𝑚⁄ )
𝑚𝑡. Se for pedido para calcularmos o saldo em 𝑡 de forma que os juros 
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sejam capitalizados continuamente, podemos aplicar o segundo limite fundamental de 
forma análoga ao 4º Caso, e assim temos que 
𝐴(𝑡) = lim
𝑚→+∞
𝐴0 (1 +
𝑟
𝑚
)
𝑚𝑡
= 𝐴0 lim
𝑚→+∞
((1 +
𝑟
𝑚
)
𝑚
)
𝑡
= 𝐴0𝑒
𝑟𝑡. 
7º Caso: lim
𝑥→∞
((𝑥 + 2) (𝑥 − 1)⁄ )𝑥+𝑏, onde 𝑏 é um número real. 
Podemos fatorar os termos, de forma que (𝑥 + 2) (𝑥 − 1)⁄ = 1 + 3 (𝑥 − 1)⁄ . 
Assim, podemos calcular o limite da seguinte forma: 
lim
𝑥→±∞
(
𝑥 + 2
𝑥 − 1
)
𝑥+𝑏
= lim
𝑥→±∞
(1 +
3
𝑥 − 1
)
𝑥
lim
𝑥→±∞
(1 +
3
𝑥 − 1
)
𝑏
=𝑒3. 
8º Caso: lim
𝑥→0
(𝑎𝑥 − 𝑏𝑥)/𝑥, onde 𝑎, 𝑏 > 0 e 𝑎, 𝑏 ≠ 1. 
Este caso é análogo do terceiro limite fundamental. A função pode ser ajustada 
no numerador, de forma que (𝑎𝑥 − 𝑏𝑥) = (𝑎𝑥 − 1 + 1 − 𝑏𝑥) = (𝑎𝑥 − 1) − (𝑏𝑥 − 1). 
Temos então que 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
(
𝑎𝑥 − 1
𝑥
−
𝑏𝑥 − 1
𝑥
) = ln(𝑎) − ln(𝑏) = ln (
𝑎
𝑏
). 
 
2.7 Assíntotas 
 
Definição 5. 
1. A reta 𝑦 = 𝑏 é uma assíntota horizontal ao gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) se pelo 
menos uma das seguintes afirmações é verdadeira: 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 ou lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑏. 
2. A reta 𝑥 = 𝑎 é uma assíntota vertical ao gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) se pelo 
menos uma das seguintes afirmações é verdadeira: 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ±∞ ou lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ±∞. 
Em outras palavras, assíntotas ao gráfico de uma função consistem em linhas 
onde nenhum ponto encosta-se, mas que se aproximam-se no infinito. Em geral, se o 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ, então o gráfico de 𝑓 não possui assíntotas verticais. 
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Para ilustração, será apresentado na Figura 9 um esboço do gráfico da função 
logística 
𝐿(𝑡) =
𝐴
1 + 𝐵𝑒−𝐶𝑡
, onde 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ. 
𝐷𝑜𝑚(𝐿) = ℝ, logo não terá assíntota vertical; e a curva passa por (0, (𝐴 1 + 𝐵)⁄ ). Por 
um lado, temos que lim
𝑡→+∞
𝐿(𝑡) = 𝐴; logo, 𝑦 = 𝐴 é uma assíntota horizontal8. Por outro 
lado, lim
𝑡→−∞
𝐿(𝑡) = 0; logo 𝑦 = 0 é também uma assíntota horizontal. 
Figura 9 Esboço de gráfico de uma função logística. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
 
2.7.1 Esboço aproximado de funções racionais 
 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥) tal que 𝑎 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), isto é, 𝑄(𝑎) = 0. Denote 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑛𝑄1(𝑥), 𝑛 > 1 e 𝑄1(𝑎) ≠ 0. 
Analogamente, denote 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑛𝑃1(𝑥), 𝑚 ≥ 0 e 𝑃1(𝑎) ≠ 0. 
Se 𝑚 < 𝑛, fazemos 𝑘 = 𝑛 −𝑚, e temos: 
𝑓(𝑥) =
1
(𝑥 − 𝑎)𝑘
𝑓1(𝑥), 
onde 𝑓1(𝑥) = 𝑃1(𝑥)/𝑄1(𝑥) é uma função definida em 𝑎. Então lim𝑥→𝑎± |𝑓(𝑥)| = ∞. 
 
8 A interpretação da assíntota varia de caso a caso. No uso de uma função logística 𝐿 = 𝐿(𝑡) para 
descrição de um crescimento populacional, o valor 𝐴 obtido de 𝑡 → +∞ pode indicar o limite da 
população, ou seja, corresponder o máximo de indivíduos que um ecossistema pode suportar. 
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As Figuras 10 e 11 nos ilustram esboços de gráficos para esta função 𝑓. 
Figura 10 Gráficos de 𝑓(𝑥) = 1 (𝑥 − 𝑎)𝑘⁄ 𝑓1(𝑥) ao redor do ponto 𝑎, 
para (I) 𝑘 ímpar e (II) 𝑘 par, e 𝑓1(𝑎) > 0. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
 
Figura 11 Gráficos de 𝑓(𝑥) = 1 (𝑥 − 𝑎)𝑘⁄ 𝑓1(𝑥) ao redor do ponto 𝑎, 
para (I) 𝑘 ímpar e (II) 𝑘 par, e 𝑓1(𝑎) < 0. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
A função possui uma assíntota vertical em cada raiz do polinômio 𝑄(𝑥). 
Ilustraremos o esboço de gráficos de funções racionais através de exemplos 
Exemplo 1: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2 − 1
. 
Verificamos que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−1, 1}, logo a função não está definida para 𝑥 = −1 
e para 𝑥 = 1. No entanto, podemos estudar o comportamento de 𝑓(𝑥) na vizinhança de 
𝑥 = 1 e 𝑥 = −1, ou seja, lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→1
𝑓(𝑥). 
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Para verificarmos o que acontece quando 𝑥 → 1, denotemos então 𝑓(𝑥) =
𝑓1(𝑥)/(𝑥 − 1), de forma que 
𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2 − 1
=
𝑥
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
; logo 𝑓1 =
𝑥
𝑥 + 1
; 
𝑘 = 1 e 𝑓1(1) > 0; então 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = +∞ e lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = −∞. 
Analogamente, para verificarmos os limites laterais de 𝑥 → −1, denotemos𝑓(𝑥) = 1 (𝑥 + 1)⁄ × 𝑓1(𝑥), onde 
𝑓1(𝑥) =
𝑥
𝑥 − 1
; 
𝑘 = 1 e 𝑓1(−1) > 0, então 
lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = +∞ e lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = −∞. 
Logo, 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1 são assíntotas verticais. Verificamos também que 𝑓(0) = 0, 
logo a curva de 𝑓(𝑥) passa por (0,0). Por outro lado, temos que 
lim
𝑥→±∞
𝑥
𝑥2 − 1
= 0, 
Assim, 𝑦 = 0 é uma assíntota horizontal. A Figura 12 ilustra o gráfico desta função. 
Figura 12 Gráfico de 𝑦 = 𝑥/(𝑥2 − 1). 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA 
O desenho é simples. O primeiro passo é definir as assíntotas verticais 𝑦 = −1 e 
𝑦 = 1, conforme linha tracejada. A assíntota horizontal neste caso já está definida no 
eixo 𝑥 = 0. Sabemos que (0, 0) é ponto de intercepto. Desta forma, sabendo que o 
limite lateral de −1− tende a +∞, fazemos uma curva partindo de 𝑦 = +∞ delimitada 
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pela assíntota 𝑦 = −1 e ponto (0, 0). Da mesma forma, como verificamos que o limite 
lateral de 1− → −∞, desenhamos uma curva partindo de 𝑦 = −∞ delimitada pela 
assíntota 𝑦 = 1 e passando pelo ponto (0, 0) – unindo-se assim com a curva desenhada 
anteriormente. 
Agora para o limite lateral 1+ → +∞, também fazemos uma curva partindo de 
𝑦 = +∞ delimitada a direita da assíntota 𝑦 = 1 em direção a 𝑥 → +∞, delimitado pelo 
eixo 𝑥. Da mesma forma para o limite lateral −1− → −∞, fazemos uma curva 
semelhante partindo do lado esquerdo da assíntota 𝑦 = −1, de 𝑦 = −∞ e delimitando-
se a 𝑥 para −∞ com a assíntota horizontal do eixo. 
Exemplo 2: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2 − 1
. 
Verificamos que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−1, 1}, e que 𝑓(0) = 0, ou seja, a curva passa 
pelo ponto (0, 0). Para verificarmos o que acontece quando 𝑥 → 1, devemos encontrar 
𝑓1(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓1(𝑥)/(𝑥 − 1). Assim, racionalizamos a função de forma que 
𝑥2
𝑥2 − 1
=
𝑥2
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
; logo 𝑓1(𝑥) =
𝑥2
𝑥 + 1
, 
𝑘 = 1, e 𝑓1(1) > 0; então, 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = +∞ e lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = −∞. 
Analogamente, para verificarmos o comportamento quando 𝑥 → −1, 
verificamos que 𝑓1(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓1(𝑥)/(𝑥 + 1) corresponde a 
𝑓1(𝑥) =
𝑥2
𝑥 − 1
; 
𝑘 = 1 e 𝑓1(−1) < 0; então 
lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = −∞ 𝑒 lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = +∞; 
logo 𝑥 = 1 e 𝑥 − 1 são assíntotas verticais. Por outro lado, 
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2 − 1
= 1, 
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e assim, 𝑦 = 1 é uma assíntota horizontal. O desenho do gráfico segue a mesma 
explicação do exemplo anterior, e é ilustrado pela Figura 13. 
Figura 13 Gráfico de 𝑦 = 𝑥2/(𝑥2 − 1). 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
 
2.8 Continuidade de funções 
 
Conforme definido por VILCHES & CORRÊA, a noção de continuidade em 
Matemática é a que utilizamos no dia a dia, isto é, onde não há interrupção ou, então, 
onde não existem partes separadas umas das outras. 
Definição 6. Seja 𝑓 uma função, e 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), onde 𝐷𝑜𝑚(𝑓) é um intervalo aberto 
ou uma reunião de intervalos abertos; dizemos que 𝑓 é contínua em 𝑎, se as condições 
abaixo são satisfeitas. 
1. 𝑓(𝑎) existe. 
2. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe. 
3. 𝑓(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). 
Se uma destas três condições não é satisfeita, dizemos então que 𝑓 é descontínua em 
x=a. 
Em outras palavras, a continuidade de uma função em um ponto indica que o 
gráfico da função não apresenta saltos nesse ponto. Considere como exemplo 
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𝑓(𝑥) = {
𝑥² − 1
𝑥 − 1
, se 𝑥 ≠ 1
1, se 𝑥 = 1.
 
Verificamos que 𝑓(1) existe, e 𝑓(1) = 1. 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1) = 2. 
Verificamos que lim𝑥→1 𝑓(𝑥) existe, mas lim𝑥→1 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(1).Logo, 𝑓(𝑥) não é 
contínua em 𝑥 = 1. Observe que se 𝑓(𝑥) fosse reescrita de forma que 𝑓(1) = 2, a 
função seria contínua em todos os pontos de ℝ, ou seja, se fosse 
𝑓(𝑥) = {
𝑥² − 1
𝑥 − 1
, se 𝑥 ≠ 1
2, se 𝑥 = 1.
 
Caso a função fosse escrita de forma que 
𝑓(𝑥) =
𝑥² − 1
𝑥 − 1
, 
de fato 𝑓(𝑥) seria uma função contínua em todo ponto de seu domínio, pois neste caso 
{1} não faria parte de seu domínio. De fato, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 se 𝑥 ≠ 1, assim em todo seu 
domínio lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑥0 + 1 = 𝑓(𝑥0). 
A continuidade também pode ser expressa em função de 𝜀 e 𝛿. De fato, 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) significa que para todo 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que, se 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e 
|𝑥 − 𝑎| < 𝛿, então |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀. Em outras palavras, 𝑓 é contínua em 𝑎 quando 
para todo 𝜀 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ∈ (𝑓(𝑎) − 𝜀, 𝑓(𝑎) + 𝜀) desde que 𝑥 ∈ (𝑎 −
𝛿, 𝑎 + 𝛿) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓). 
Proposição 8. Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas no ponto 𝑎. Então: 
1. 𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 são contínuas em 𝑎, para todo 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. 
2. 𝑓𝑔 é contínua em 𝑎. 
3. 
𝑓
𝑔
 é contínua em 𝑎, se 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (
𝑓
𝑔
). 
Definição 7. Uma função 𝑓 é dita contínua em 𝐴 ⊂ ℝ se 𝑓 é contínua em cada ponto 
de 𝐴. Se 𝑓 é contínua em 𝐴 e 𝐵 ⊂ 𝐴, então 𝑓 é contínua em 𝐵. 
 
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Segue uma lista de propriedades de continuidade. 
▪ Os polinômios são funções contínuas em ℝ, pois são expressos por 
somas e produtos de funções em ℝ. 
▪ As funções racionais são funções contínuas no seu domínio. 
▪ As funções 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) e 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) são contínuas em ℝ. 
▪ As funções exponenciais são funções contínuas em ℝ. 
▪ As funções logarítmicas são funções contínuas em ]0, +∞]. 
 
2.8.1 Continuidade em funções compostas 
 
Proposição 9. Sejam 𝑓 e 𝑔 funções tais que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏, e 𝑔 é contínua no 
ponto 𝑏, então 
lim
𝑥→𝑎
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔 (lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)). 
A aplicação direta desta propriedade pode ser ilustrada através de exemplos. 
Definimos, por exemplo, que a função 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 é contínua em todo ℝ; logo, 
se existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), então 
lim
𝑥→𝑎
𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
. 
Sejam as funções 𝑔(𝑥) = sen(𝑥) e ℎ(𝑥) = cos (𝑥) contínuas em todo ℝ; logo 
se existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), então 
lim
𝑥→𝑎
sen(𝑓(𝑥)) = sen (lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)) ; lim
𝑥→𝑎
cos(𝑓(𝑥)) = cos (𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)). 
Outro exemplo, pense na função 𝑔(𝑥) = ln(𝑥) que seja contínua em ]0, +∞]; 
logo se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∈ ]0, +∞], então 
lim
𝑥→𝑎
ln(𝑓(𝑥)) = ln (𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)). 
De uma forma geral, podemos verificar no exemplo abaixo como esta 
propriedade se aplica na prática. 
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lim
𝑥→1
ln (
5𝑥5 + 𝑥3 + 1
𝑥2 + 1
) = ln(lim
𝑥→1
𝑥5 + 𝑥3 + 1
𝑥2 + 1
) = ln (
3
2
) . 
Para finalizarmos esta parte de exemplos,verifique que 
lim
𝑥→1
𝑒
𝑥2−1
𝑥−1 = 𝑒2. 
De fato, temos que 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1) = 2. 
Assim, 
lim
𝑥→1
𝑒
𝑥2−1
𝑥−1 = 𝑒
lim
𝑥→1
(𝑥+1)
= 𝑒2. 
Este exemplo nos ilustra bem a Proposição 9. Neste caso, temos que 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥, 
sendo que 𝑔 é contínua em todo ℝ, incluindo o valor 1. Temos também 𝑓(𝑥) =
(𝑥2 − 1)/(𝑥 − 1); neste caso 𝑓 não é contínua no ponto 1, pois 𝑓(1) não existe. No 
entanto, por 1 ser um ponto contínuo em 𝑔, logo lim
𝑥→1
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔 (lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)), ou 
seja, lim
𝑥→1
𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)
= 𝑒
lim
𝑥→1
(𝑥+1)
= 𝑒2. 
Teorema 2. Sejam 𝑓 e 𝑔 funções tais que 𝑔 ∘ 𝑓 esteja bem definida. Se 𝑓 é contínua 
no ponto 𝑎 e 𝑔 é contínua em 𝑓(𝑎), então 𝑔 ∘ 𝑓 é contínua em 𝑎. 
Em outras palavras, o Teorema 2 expressa a continuidade de funções compostas, 
que em outras palavras, pode ser expresso que a composta de duas funções contínuas é 
uma função contínua. Mais precisamente, se 𝑓 é contínua em 𝑥0, e se 𝑔 é contínua em 
𝑓(𝑥0), então ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓 é contínua em 𝑥0; e lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔( lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥0)). 
Observa-se que a parte desta condição que expressa continuidade para 𝑔 ∘ 𝑓, 
verificamos já que para que possamos passar o limite para dentro do argumento da 
função 𝑔, basta apenas que lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) exista. 
 
 
 
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2.8.2 Tipos de descontinuidade 
 
Considere a função: 𝑔(𝑥) = (𝑥2 − 4) (𝑥 − 2)⁄ ; e pergunta-se: 𝑔(𝑥) é contínua 
em 𝑥 = 2? 
Verificamos facilmente que 𝑔(2) não existe; logo 𝑔 não é contínua em 𝑥 = 2. 
No entanto, verificamos que 
𝑔(𝑥) = 
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)
= (𝑥 + 2) em 𝑥 ≠ 2; logo, 
lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥 + 2 = 4. 
A função 𝑔 não é contínua em 𝑥 = 2, mas lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) existe. A partir da função 𝑔, 
podemos definir uma função ℎ que seja contínua em 𝑥 = 2, da seguinte forma: 
ℎ(𝑥) = {
𝑔(𝑥), se 𝑥 ≠ 2
4, se 𝑥 = 2.
 
Neste caso, dizemos que a função 𝑔 possui uma descontinuidade removível em 
𝑥 = 2. Este tipo de descontinuidade acontece quando ou a função não está definida no 
ponto em questão, mas o limite existe; ou se o limite existe, mas é diferente do valor da 
função neste ponto. 
Podemos também definir a descontinuidade essencial de salto. Considere a 
função 
𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥2, se 𝑥 ≤ 2
𝑥 − 1, se 𝑥 > 2,
 
𝑓 é contínua em 2? 
Verificamos que 𝑓(2) = 0, ou seja, existe. No entanto, podemos também 
verificar que lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) não existe, logo 𝑓 é descontínua em 𝑥 = 2. Os limites laterais 
são diferentes entre si, de forma que 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
(𝑥 − 1) = 1 ≠ lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
(4 − 𝑥2) = 0 
A Figura 14 nos ilustra com o gráfico de descontinuidade essencial de salto 
desta função. 
 
https://sites.google.com/view/pedrobritto
40 
 
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Integral I (IME01-00508) realizado na UERJ no semestre 2012.1 ministrado por Wellington Reis, por 
Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Figura 14 Descontinuidade essencial de salto. 
 
Elaboração do autor. 
 
Existe também a chamada descontinuidade de infinito. Considere a função 
𝑝(𝑥) = (𝑥2 + 1) (𝑥 − 1)⁄ ; esta função é contínua em 𝑥 = 1? De fato, podemos 
verificar que 𝑝(1) não existe, pois resultaria num denominador igual a zero. No entanto, 
podemos calcular os limites laterais para verificar se lim
𝑥→1
𝑝(𝑥) existe. Temos9 que 
𝑝(𝑥) = 
𝑥² + 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 2
𝑥 − 1
, 
lim
𝑥→1+
𝑝(𝑥) = lim
𝑥→1+
[
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 2
(𝑥 − 1)
] = lim
𝑥→1+
(𝑥 + 1) + lim
𝑥→1+
2
𝑥 − 1
= +∞; 
lim
𝑥→1−
𝑝(𝑥) = 2 + lim
𝑥→1−
2
𝑥 − 1
= −∞. 
Como lim
𝑥→1+
𝑝(𝑥) ≠ lim
𝑥→1−
𝑝(𝑥), temos que lim
𝑥→1
𝑝(𝑥) não existe. A Figura 15 nos 
ilustra com o gráfico desta função. 
 
 
 
 
 
 
9 Vide Seção 2.8.3, Dividindo polinômios. 
https://sites.google.com/view/pedrobritto
41 
 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Figura 15 Descontinuidade de infinito. 
 
Elaboração do autor. 
 
2.8.3 Dividindo polinômios 
 
Verificamos até então que para calcularmos limites de funções racionais em 
pontos que não fazem parte de seus domínios, necessitamos muitas vezes fatorar os 
polinômios para obtermos uma outra função simplificada e idêntica correspondente para 
valores que façam parte do domínio da função inicial. 
É então interessante mostrar neste material um método de divisão de polinômios 
através de desenhos. O modelo é bem simples, e análogo ao modelo de divisão adotado 
em cálculos números (já bem conhecido por todos que muitas vezes desde criança 
aprenderam e aplicaram no Ensino Fundamental). A Figura 16 nos ilustra este modelo. 
Figura 16 Modelo de divisão de polinômios. 
 
Elaboração do autor. 
Neste modelo, temos que 𝑃(𝑥) = 𝐷(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥). Analisemos o caso do 
final da seção anterior, em que temos 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1) (𝑥 − 1)⁄ . Podemos definir 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 1 e 𝐷(𝑥) = 𝑥 − 1. Primeiro, dividimos 𝑥2 por 𝑥, e obtemos 𝑥 – por 
enquanto temos que 𝑄(𝑥) = 𝑥. Multiplicando 𝑥 por 𝐷(𝑥), obtemos 𝑥2 − 𝑥. Subtraímos 
𝑃(𝑥) 
𝑅(𝑥) 
𝐷(𝑥) 
𝑄(𝑥) 
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42 
 
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então este resultado de 𝑃(𝑥), ou seja, 𝑥2 + 1 − (𝑥2 − 𝑥) = 1 + 𝑥 = 𝑅0(𝑥). Logo, 
𝑃(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1) + (1 + 𝑥). De fato 𝑥(𝑥 − 1) + (1 + 𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 + 𝑥 = 𝑥2 +
1 = 𝑃(𝑥). Podemos agora continuar; dividindo (1 + 𝑥) por 𝑥, obtemos +1. 
Multiplicando +1 por 𝐷(𝑥) = 𝑥 − 1, obtemos 𝑥 − 1. Subtraindo agora esta expressão 
da obtida anteriormente 𝑅0(𝑥), temos que (1 + 𝑥) − (𝑥 − 1) = 2 = 𝑅(𝑥). Não temos 
como continuar agora, pois não há interesse em dividir 2 por 𝑥. Assim, temos que 
𝐷(𝑥) = 𝑥 + 1, logo 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 2. Assim, 𝑓(𝑥) =
(𝑥2 + 1) (𝑥 − 1)⁄ = ((𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 2)/(𝑥 − 1). A Figura 17 nos ilustra este 
exemplo. 
Figura 17 Exemplo de divisão de polinômios. 
 
Elaboração do autor. 
 
2.8.4 Teorema de Bolzano (ou do valor intermediário) 
 
O teorema de Bolzano (também conhecido como teorema do Valor 
Intermediário) estabelece que uma função 𝑓 contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏] 
assume todos os valores entre 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏), ou em outras palavras, para que 𝑓 passe por 
𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏), tem que passar por todos os valores intermediários. 
Definição 8. Seja 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ; 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] se: 
1. 𝑓 é contínua em todos os pontos do intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏]. 
2. lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) existe, e lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 
3. lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) existe, e lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏). 
𝑥2 + 1 
−(𝑥2 − 𝑥) 
𝑥 − 1 
𝑥 + 1 
𝑥 + 1 × 
× −(𝑥 − 1) 
2 
÷ 
÷ 
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43 
 
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As condições (2) e (3) são chamadas continuidadeslaterais, à direita e à 
esquerda respectivamente. 
Teorema 3. Se 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ é uma função contínua em [𝑎, 𝑏] e 𝑓(𝑎) < 𝑑 < 𝑓(𝑏) 
ou 𝑓(𝑏) < 𝑑 < 𝑓(𝑎), então existe 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tal que 𝑓(𝑐) = 𝑑. 
Corolário 3. Seja 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ uma funão contínua em [𝑎, 𝑏]. Se 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) tem 
sinais opostos, ou seja 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0, existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑐) = 0. 
A Figura 18 nos ilustra o Corolário 3. 
Figura 18 Teorema de Bolzano. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
 
Exercício 4. Calcule os seguintes limites: 
(𝐴) lim
𝑥→0
𝑒3𝑥 − 𝑒2𝑥
𝑥
; 
(𝐵) lim
𝑥→+∞
(𝑥3 + 1)(𝑥2 − 1) − 𝑥5
(𝑥2 − 1)(𝑥2 − 3𝑥 + 2)
, 
(𝐶) lim
𝑥→+∞
√𝑥² + 1 − √𝑥2 − 1. 
 
 
 
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44 
 
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Exercício 5. Estude a continuidade da função 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
1 − 𝑥2, se 𝑥 < −1 
ln(2 − 𝑥2), se − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
√
𝑥 − 1
𝑥 + 1
, se 𝑥 > 1. 
 
Exercício 6. Determine o valor de 𝑃 para que as funções abaixo sejam contínuas. 
(𝐴) 𝑓(𝑥) = {
1 − 𝑒𝑥
𝑥
, se 𝑥 ≠ 0
𝑝3 + 7, se 𝑥 = 0.
 
(𝐵) 𝑓(𝑥) = {
𝑥
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
, se 𝑥 ≠ 0
𝑝2, se 𝑥 = 0.
 
Exercício 7. Estude a derivabilidade da função 
𝑓(𝑥) = 
{
 
 
 
 √𝑥 − 1
√𝑥
3
− 1
, se 𝑥 > 1
𝑥² − 1
𝑥 + 1
, se 𝑥 ≤ 1.
 
Vide soluções na seção final do caderno Soluções dos exercícios propostos. 
 
3. DERIVADA 
 
Agora estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve 
a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Começaremos pela 
apresentação da definição de reta tangente ao gráfico de uma função; e posteriormente, 
definiremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, junto de técnicas 
de derivação. 
 
 
 
https://sites.google.com/view/pedrobritto
45 
 
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3.1 Reta tangente 
 
Seja 𝑓 ∶ 𝐷 ⟶ ℝ uma função definida num domínio 𝐷, que pode ser um 
intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos; ou ainda 𝐷, tal que para todo 
intervalo aberto 𝐼 que contenha 𝑥0, se tenha 𝐼 ∩ (𝐷 − {𝑥0}) ≠ ∅. 
Considere 𝑃 = (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) e 𝑄𝑖 = (𝑥𝑖, 𝑓(𝑥𝑖)) (𝑖 = 1, 2, 3, … ) pontos no gráfico 
de 𝑓, 𝑃 ≠ 𝑄𝑖; e denote 𝑟1 como sendo a reta secante que passa por 𝑃 e 𝑄1; seu 
coeficiente angular10 é 
𝑚1 =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
. 
Utilizando a imaginação, fixemos o ponto 𝑃 = (𝑥0, 𝑓(𝑥0)); e movamos 𝑄1 sobre 
o gráfico de 𝑓 em direção a 𝑃, até um ponto 𝑄2 = (𝑥2, 𝑓(𝑥2)) tal que 𝑄2 ≠ 𝑃; 
denotemos por 𝑟2 a reta secante que agora passa por 𝑃 e 𝑄2, seu coeficiente angular é 
𝑚2 =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥0)
𝑥2 − 𝑥0
. 
Suponha que os pontos 𝑄𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3, … ) vão se aproximando sucessivamente 
do ponto 𝑃 (as sem atingir 𝑃) ao longo do gráfico de 𝑓. Repetindo o processo, obtemos 
𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, …, como retas secantes destes pontos com coeficientes angulares 
respectivamente de 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, … . É possível provar, rigorosamente, que quando os 
pontos 𝑄𝑖 vão se aproximando cada vez mais de 𝑃, os 𝑚𝑖 respectivos, variam cada vez 
menos, tendendo a um valor limite constante – que denotaremos por 𝑚𝑥0. A Figura 19 
nos ilustra este ensaio. 
 
 
 
 
 
 
10 Lembremos que coeficiente angular é a medida que caracteriza o ângulo ou declividade de uma reta em 
relação ao eixo 𝑥 de um plano cartesiano (𝑥, 𝑦) em que esta reta estiver inserida. 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I: notas de aula do curso presencial Cálculo Diferencial e 
Integral I (IME01-00508) realizado na UERJ no semestre 2012.1 ministrado por Wellington Reis, por 
Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Figura 19 Retas secantes entre dois pontos diferentes ao longo de uma função. 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
É claro que caso 𝑓(𝑥) fosse uma simples reta do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, todos 
coeficientes angulares entre os pontos 𝑃 e 𝑄𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3, … ) desta função seriam iguais 
– neste caso teríamos que 𝑚1 = 𝑚2 = ⋯ = 𝑚𝑥0 = 𝑎. 
Definição 9. A reta passando pelo ponto 𝑃, e tendo coeficiente angular 𝑚𝑥0, é 
chamada reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)). 
Se 
𝑚𝑥0 = lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
existe, denotando a expressão do denominador 𝑥 − 𝑥0 = 𝑡, temos também que 𝑥 = 𝑡 +
𝑥0, e assim 
𝑚𝑥0 = lim𝑡→0
𝑓(𝑥0 + 𝑡) − 𝑓(𝑥0)
𝑡
. 
Como 𝑥0 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta 
tangente ao gráfico de 𝑓 para qualquer ponto (𝑥, 𝑓(𝑥)), de forma que 
𝑚𝑥 = lim
𝑡→0
𝑓(𝑥 + 𝑡) − 𝑓(𝑥)
𝑡
. 
Assim, 𝑚𝑥 só depende de 𝑥. 
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Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Definição 10. Se 𝑓 for contínua em 𝑥0, então a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 
no ponto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) é 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑚𝑥0(𝑥 − 𝑥0) se o limite existe. 
Por exemplo, consideremos a função 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2. Determinaremos a equação 
da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) no ponto de 𝑓(1) = (1, 3). Denotemos por 𝑚1 o 
coeficiente angular da reta tangente à parábola de 𝑦 = 4 − 𝑥2 passando pelo ponto 
(1, 𝑓(1)) = (1,3). Seja 𝑃 = (1, 3) e 𝑄 = (𝑥0, 4 − 𝑥0
2) pontos da parábola; o coeficiente 
angular da reta secante à parábola passando por 𝑃 e 𝑄 é 
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥0) − 𝑓(1)
𝑥0 − 1
=
4 − 𝑥0
2 − 3
𝑥0 − 1
=
−𝑥0
2 + 1
𝑥0 − 1
=
−(𝑥0 − 1)(𝑥0 + 1)
𝑥0 − 1
= −(𝑥0 + 1). 
A Figura 20 nos ilustra este exemplo. 
Figura 20 Ilustração gráfica da reta tangente do gráfico de 𝑦 = 4 − 𝑥2 no ponto (1,3). 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
Do desenho, é intuitivo que se 𝑄 se aproxima de 𝑃, ou seja, se 𝑥0 se aproxima de 
1, os coeficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais – basta imaginar o ponto 𝑄 
se deslocando ao longo de 𝑓(𝑥) de 𝑓(𝑥0) a 𝑓(1) e a reta secante entre 𝑄 e 𝑃 também se 
deslocando, de forma fixa em 𝑃 – e logo temos que 
𝑚1 = lim
𝑥0→1
𝑚𝑃𝑄 = lim
𝑥0→1
−(𝑥0 + 1) = −2. 
A equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓, no ponto (1, 3) é, pela Definição 10, 
𝑦 − 3 = −2(𝑥 − 1), que equivale a 𝑦 = −2𝑥 + 5 – conforme ilustrado pela Figura 21. 
 
 
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Integral I (IME01-00508) realizado na UERJ no semestre 2012.1 ministrado por Wellington Reis, por 
Pedro Johnson; disponível em: https://sites.google.com/view/pedrobritto. 
Figura 21 Reta tangente a 𝑦 = 4 − 𝑥2 no ponto (1, 3). 
 
Fonte: VILCHES & CORRÊA. 
Como um segundo exemplo, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 1. 
Determinaremos a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto (1, 1). Utilizando 
diretamente a definição, temos que 
𝑚1 = lim
𝑡→0
𝑓(1 + 𝑡) − 𝑓(1)
𝑡
= lim
𝑡→0
((1 + 𝑡)3 − (1 + 𝑡) + 1) − 1
𝑡
= lim
𝑡→0
(𝑡2 + 2𝑡 + 1 + 𝑡3 + 2𝑡2 + 𝑡) − (𝑡 + 1) + 1 − 1
𝑡
= lim
𝑡→0
(𝑡3 + 3𝑡2 + 3𝑡 + 1) − 𝑡 − 1 + 1 − 1
𝑡
= lim
𝑡→0
𝑡3 + 3𝑡2 + 2𝑡
𝑡
= lim
𝑡→0
𝑡(𝑡2 + 3𝑡 + 2)
𝑡
= lim
𝑡→0
(𝑡2 + 3𝑡 + 2) = 2. 
Logo, estabelencendo 𝑚1 = 2, verificamos que a equação da reta tangente ao 
gráfico de 𝑓 no ponto (1, 1) é 𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1), que corresponde