CALCULO I _PORTE

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2019 
2019 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
A disciplina Cálculo I faz parte de todas as matrizes curriculares dos cursos de Engenharia, Ciência da 
Computação e cursos afins. Nele o estudante começa a ter contato com a matemática do ensino superior, 
aplicada aos conhecimentos que serão úteis aos discentes nos demais semestres do curso. 
 
Ao longo das aulas o estudante revisa alguns conteúdos da disciplina Fundamentos de Ciências Exatas e 
aprende os conceitos e principais resultados associados aos conceitos de Limites, Derivadas e Integrais de 
funções de uma variável, sempre focando na teoria e aplicações em problemas do dia a dia de um profissional 
da área de exatas. 
 
 
 
 
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ORIENTAÇÕES ACADÊMICAS 
 
Para tornar-se um profissional competente naquilo que faz, o mercado de trabalho exige que você mantenha 
uma atitude de buscar aprender sempre, de modo cada vez mais ativo e autônomo. Pensando nisso, suas aulas 
utilizam metodologias ativas, que buscam levá-lo(a) a envolver-se nas atividades e fomentar uma 
aprendizagem realmente significativa. As aulas são estruturadas em 3 partes: 
 
 
 
Todos esses momentos são importantes, pois constroem um todo planejado para que você compreenda e se 
aproprie dos conhecimentos da disciplina. No entanto, isso não acontecerá de forma passiva: por melhor que 
seja o plano de aula do professor ou sua didática, só VOCÊ pode construir seus conhecimentos. Por isso, é 
essencial que você mantenha uma atitude positiva de aprendizagem, que se traduz em: 
 
 Chegar no horário de início e ficar até o final da aula. 
 Participar ativamente das propostas de trabalho de cada aula. 
 Anotar as explicações e orientações do professor(a). 
 Respeitar as opiniões divergentes de colegas ou do professor. 
 Buscar fundamentar suas opiniões com dados científicos. 
 Fazer os exercícios indicados como atividades extraclasse. 
 
Além disso, organizamos um conjunto de orientações para ajudá-lo(a) a ir além do que você aprende nas aulas. 
A seguir você encontrará uma ficha para cada aula, com indicações de sites, bibliografias e atividades para o 
aprofundamento dos temas tratados em sala. Aproveite mais essa oportunidade de aprendizagem! 
 
 
 
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VOCÊ EM AÇÃO 
 
 
 
 
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SEMANA 1: Funções e conceito de Limite 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Recordar conceitos fundamentais sobre Funções Reais: Função Constante, Polinomiais de grau n, 
Exponenciais, Logarítmicas e Trigonométricas. 
 Aplicar os conceitos de funções ao esboçar gráficos de Funções Reais, bem como reflexões e translações. 
 Compreender intuitivamente o conceito de limite de uma função real. 
 Reconhecer e analisar, por meio de gráficos, os limites laterais, os limites no ponto, os limites infinitos e 
no infinito. 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Se quiser conhecer a história do Cálculo, quem são os criadores, entre outras curiosidades, assista ao 
vídeo: “A História do Cálculo” (24:35). Disponível em https://www.youtube.com/watch?v=6HI47rcOiAE 
 Compreenda e analise outros contextos relacionados ao surgimento do Cálculo, tais como o Problema da 
Tangente e da Velocidade de um objeto no Capítulo 2 (p.76 a 86): STEWART, James. Cálculo – volume 1, 
7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Pesquise possibilidade de aplicações de Limite na sua engenharia, dentro do contexto do seu curso de 
graduação. 
 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Defina uma função e teste, utilizando o esboço gráfico por meio do Geogebra, as conclusões 
estabelecidadas em aula sobre os movimentos das funções. 
 Crie um problema relacionado ao contexto do seu curso de graduação para ser analisado graficamente de 
acordo com a aplicação pesquisada. 
 Sugestão de exercícios para aplicar os conceitos estudados: 4 ao 10, p. 88-89. STEWART, James. Cálculo 
– volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 Por que o estudo de funções é tão importante na área das Ciências Exatas, como na Engenharia? 
 O que difere a análise gráfica de uma função real da análise de um limite de uma função real? 
 Qual o objetivo ao determinarmos o limite de uma função real? 
 
 
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ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
1. Esboce o gráfico de cada função a seguir. 
a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1
2, 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 2
2𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 b) 𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑒 𝑥 < −3 𝑜𝑢 2 < 𝑥 < 3
|𝑥2 − 4|, 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ 2
𝑙𝑜𝑔3𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Usando movimentação gráfica, esboce o gráfico de cada função dada a seguir. 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 − 3 
b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 
c) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 − 2) 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋) 
e) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) + 3 
f) f(𝑥) = 𝑒𝑥 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Explique o que significa dizer que lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥) = 4 e lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥) = 9. Nesta situação, é possível que exista 
o lim
𝑥→5
𝑓(𝑥)? Por quê? 
 
 
4. (STEWART, 2013 - adaptada) Analise cada gráfico apresentado e defina cada quatidade, se existir. Se 
não existir, explique por quê. 
 
A) 
 
 
B) 
 
 
 
 
 
 
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C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 2: Continuidade, Limites e Limites Indeterminados 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Compreender e aplicar o conceito de limite de uma função real. 
 Deduzir e aplicar a Propriedade da Substituição Direta para o cálculo de Limites. 
 Compreender e aplicar o conceito de continuidade de uma função (local e global). 
 Aplicar as Propriedades de Limites. 
 Reconhecer e analisar limites indeterminados (funções racionaiscom denominador zero). 
 Criar estratégias algébricas para o cálculo de Limites Indeterminados. 
 Calcular Limites aplicando as propriedades e Limites Indeterminados. 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Analise as descontinuidades das funções reais e como essas influenciam no cálculo de limites através da 
leitura da seção 2.2 (p. 80): STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Para pensar em situações que utilizam o conceito de limite, assista ao vídeo: “Limites - Introdução” (8:10). 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ajVlmbrgpDc&list=PLUyhCZ-
szXJdrBjcjRTBp3pC7yR_U-3t0 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Retorne aos cálculos de limites indeterminados. Utilizando o Geogebra plote a função original e a função 
simplificada. Analise graficamente o limite da função. Corresponde ao limite calculado? As funções são 
iguais? 
 Exercícios para praticar Cálculo de Limites: 2, 10, 11 ao 31 (ímpares), p. 98. STEWART, James. Cálculo – 
volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Exercícios para praticar Continuidade: 2, 3, 35, 37, 44, p. 117-118. STEWART, James. Cálculo – volume 1, 
7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 Há aplicações reais que envolvam funções descontínuas? Quais possibilidades? 
 Por que é relevante o estudo das funções descontínuas em Cálculo? 
 Por que o resultado de um limite indeterminado equivale ao resultado do limite da função manipulada 
algebricamente? 
 
 
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ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
1) Analisando o gráfico das funções f(x), g(x) e h(x), defina: 
 
 
 
 
a) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→1+
𝑔(𝑥) 
c) lim
𝑥→1+
ℎ(𝑥) 
d) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) 
e) lim
𝑥→1−
𝑔(𝑥) 
f) lim
𝑥→1−
ℎ(𝑥) 
g) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
h) lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) 
i) lim
𝑥→1
ℎ(𝑥) 
j) f(1) 
k) g(1) 
l) h(1)
 
 
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2) As funções acima são contínuas? O que é comum ao gráfico das três funções? 
 
3) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede, justificando suas respostas. 
 
 
 
f tem limite em xo=-1? 
 
f é contínua nesse ponto? 
 
 
 
f tem limite em xo=1? 
 
f é contínua nesse ponto? 
 
 
 
4) a) Esboce o gráfico das funções abaixo e calcule os limites laterais nos pontos onde estas funções mudam 
de sentenças: 
 
a) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 1; 𝑠𝑒 𝑥 < 2
3; 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−𝑥 + 5; 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 𝑔(𝑥) = {
𝑥2 − 1; 𝑠𝑒 𝑥 < 2
4; 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−𝑥 + 5; 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 ℎ(𝑥) = {
𝑥 + 2; 𝑠𝑒 𝑥 < −1 
2; 𝑠𝑒 𝑥 = −1
𝑥2; 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 1
−𝑥 + 2; 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 
 
 
 
 
b) Verifique se as funções f e g são contínuas no ponto xo=2. Justifique suas respostas. 
 
c) Verifique se a função h é contínua nos pontos x=-1 e x=1. Justifique suas respostas. 
 
 
5) Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração) 
 
a) b) c) d) 
















)1(f
)x(f mil
)x(f mil
1 x
1 x
















)1(f
)x(f mil
)x(f mil
1 x
1 x
3x4x
2x3x
 lim
2
2
1x 

 x2x
8x2
 lim
2
2
2x 

 4x
8x
 lim
2
3
2x 

 18x3x
27x
 lim
2
3
3x 


        








x
y
 
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6) Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado) 
a) b) c) 
 
7) Calcule os seguintes limites: 
 
a) b) c) 
 
d) e) f) 
 
g) h) i) 
j) k) l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3x
18x2
lim
9x 


 
2x
16x
lim
2
4x 


 
1x
25x
1x
lim



x2x
4x
 lim
2
2
2x 

 1x
1x2x
 lim
3
2
1x 

 4t4t3
4t
 lim
2
2
2t 


1
lim
x
 
1x3x2
2xx4x3
23
23


x
16)x4(
lim
2
0x


 
3x8x
9x6x
lim
3
3
3x 


1x8
2x3x2
 lim
3
2
21x 

 2x
8x
 lim
3
2x 


3
2
2
2x 2x5x3
4x
 lim



 
2x
16x
lim
2
4x 


 
x
2 2x
lim
0x

 1x
1x
 lim
1x 


 
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SEMANA 03: Limites Infinitos e no Infinito 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Identificar os limites com indeterminações que envolvem o infinito. 
 Aplicar as propriedades operatórias para cálculo de limites envolvendo infinitos. 
 Resolver limites infinitos e no infinito. 
 Identificar as assíntotas horizontais e verticais de uma dada função. 
 Resolver situações-problema envolvendo limites infinitos e limites no infinito. 
 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Analise o comportamento da função real f(x) = 
𝑥²−1
𝑥+1
, tornando os valores de x arbitrariamente 
grandes (positivo e negativo) e em seguida verificar o que acontece com f(x). Em seguida, avalie os 
limites dos exemplos 1, 2, 3, 8, 9 e 10 presentes na seção 2.6 (p. 117 a 124): STEWART, James. Cálculo 
– volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 No intuito de visualizar situações que utilizem o conceito de limites envolvendo infinitos, assista ao 
as aulas 10 e 11 do curso de Cálculo do professor Ferreto. 
Disponível em: 
Aula 10: https://youtu.be/sWY48bq1IoA?list=PLTPg64KdGgYhACfQUtMf3CuhWOfLoTf_a 
Duração: 39’47’’ 
Aula 11: https://youtu.be/MKms8CesZn8?list=PLTPg64KdGgYhACfQUtMf3CuhWOfLoTf_a 
Duração: 34’05’’ 
 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Por meio de uma tabela, construa os gráficos das funções f(x) = 
1
𝑥²
 e g(x) = 
1
(𝑥+1)²
, em folha de papel 
milimetrado, quando x se aproxima de 0 e -1 respectivamente, e analise os resultados obtidos. 
 Use o Geogebra para analisar os limites 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑−
𝟏
𝟑−𝒙
 e 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑−
𝟏
𝟑−𝒙
 , o que você pode perceber quando a 
variável x se aproxima do infinito? Você sabe o nome que é dado a este tipo de gráfico? Dialogue com 
seus colegas e professor sobre o comportamento deste tipo de gráfico. 
 
 
 
 
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COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
1. Onde podemos aplicar limites envolvendo infinitos? 
2. O que são assíntotas e quais são as funções trabalhadas em cálculo que possuem assíntotas? 
 
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
 Por meio de um celular, tablet ou computador, a resolva as questões sugeridasno link a seguir e em 
seguida analise o seu desempenho discuta com os seus colegas as estratégias utilizadas por eles nas 
questões assertivas. 
https://forms.office.com/Pages/ResponsePage.aspx?id=nqplKssl7kiFm3JpfMgFXDlI0iW8hftCgfcN3zck9X
JUNlZFVDdCUlgzNzRXM1VPVkhLOVBVVDE4My4u 
 
1) Calcule os limites a seguir, se existirem: 
 
a) lim
𝑥→0
(𝑥3 + √𝑥 +
1
𝑥2
) 
 
b) lim
𝑥→+∞
(3𝑥5 − 4𝑥3 + 1) 
 
c) lim
𝑥→−1
5𝑥+2
|𝑥+1|
 
 
d) lim
𝑥→2+
𝑥2+3𝑥+1
𝑥2+𝑥−6
 
 
e) lim
𝑥→+∞
𝑥2+3
𝑥+2
 
 
f) lim
𝑥→+∞
5−𝑥³
8𝑥+2
 
 
g) lim
𝑥→+∞
2𝑥4+3𝑥2+2𝑥+1
4−𝑥4
 
 
h) lim
𝑥→+∞
𝑥2+3𝑥−1
𝑥3−2
 
 
 
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i) lim
𝑥→−3+
𝑥2+6𝑥−16
𝑥+3
 
 
j) lim
𝑥→+∞
2𝑥²−5𝑥+6
−𝑥3−6𝑥2−𝑥+2
 
k) lim
𝑥→+∞
2𝑥²−2𝑏𝑥+𝑎𝑥−𝑎𝑏
3𝑐𝑥2−𝑐𝑘𝑥+3𝑑𝑥−𝑑𝑘
 
 
2) O custo médio por unidade (em dólares) que a Companhia Whasnt Ville tem ao fabricar X resistores é 
dado pela função C(x) = 1,8 + 
3000
𝑥
. Calcule lim
𝑥→+∞
𝐶(𝑥) e interprete o resultado obtido. 
3) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é 
bombeada dentro do tanque a uma taxa de 25 l/minuto. Nestas condições, a concentração de sal após 
t minutos (em gramas por litro) é dada por 𝐶(𝑡)
30𝑡
200+𝑡
. O que acontece com a concentração de sal 
quando t → +∞? 
 
4) Considere a função f: R→R definida por: 
 
f(x) = {
2𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥 + 2, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 2
−(𝑥 − 3)2 + 4, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
 
a) Esboce o gráfico da função f(x), identificando sua imagem. 
b) Com base no gráfico, complete a tabela abaixo. 
f(0) + f(2) lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) 
 
 
 
5) Determine as assíntotas verticais e horizontais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um 
gráfico da curva e das estimativas das assíntoras. 
 
a) f(x) =
𝑥
𝑥+4
 
b) f(x) =
2𝑥2+𝑥−1
𝑥2+𝑥−2
 
c) f(x) =
𝑥3−𝑥
𝑥2−6𝑥+5
 
 
 
 
 
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6.º) Faça uma conjectura sobre o valor do limite lim
𝑥→−∞
𝑥²𝑠𝑒𝑛
5
𝑥²
 
ao avaliar f (x) = x² sen(5/x²) para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 50 e 100. Então, confirme seu palpite 
ao calcular exatamente esse limite. 
 
7.º) Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas. 
 
a) lim
𝑥→∞
1
𝑥√𝑥
 
b) lim
𝑥→∞
5+2𝑥
3−𝑥
 
c) lim
𝑥→∞
𝑥+4
𝑥2−2𝑥+5
 
d) lim
𝑥→∞
7𝑡3+4𝑡
2𝑡3−𝑡2+3
 
e) lim
𝑥→−∞
(1−𝑥)(2+𝑥)
(1+2𝑥)(2−3𝑥)
 
f) lim
𝑥→−∞
√
2𝑥2−1
𝑥+8𝑥²
 
g) lim
𝑥→∞
1
3+√𝑥
 
h) lim
𝑥→−∞
𝑠𝑒𝑛²𝑥
𝑥²
 
 
Nos problemas 8 e 9, use o Geogebra para avaliar as seguintes situações: 
 
8.º) Se f (x)  2x 1, dê o valor de: 
a) lim f (x) x 
b) lim f (x) x 2. 
 
9.º) Para f (x)  x 1, dê o valor de: 
 
a) lim f (x) x 
b) lim f (x) x 
 
10.º) Para f(x) = 2x³- 3x² - 3x + 2, Calcule: 
 
a) lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→1/2
𝑓(𝑥) 
 
 
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Resultados: 
1.º) 
a) + ∞ 
b) + ∞ 
c) - ∞ 
d) ∞ 
e) + ∞ 
f) - ∞ 
g) -2 
h) 0 
i) - ∞ 
j) -5/6 
k) 2/3c 
 
 
2.º) 
 
O cálculo mostra que, à medida que a produção de resistores cresce, o custo médio diminui e 
se aproxima de 1,8 dólar por unidade. 
 
3.º) A concentração de sal se aproxima de L = 30 g/litro por valores menores do que L. 
 
4.º) 
 
5.º) 
a) y = 1, x = -4 
b) y = 2, x = -2 e x = 1 
c) x = 5 
6.º) 5 
7.º) 
a) 0 
b) -2 
c) 0 
 
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d) 7/2 
e) 1/6 
f) 1/2 
g) 0 
h) 0 
 
8.º) a)   b)   
9.º) a)   b)   
10.º) 
a)   
b)   
c) 2 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha 
Biblioteca. 
 
 
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SEMANA 04: Derivadas 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Reconhecer a derivada como medida de taxa de variação, o que pode ser identificada a partir do 
coeficiente de uma reta tangente. 
 Calcular, a partir da derivada, a equação de retas tangentes e normais ao gráfico de uma função. 
 Aplicar a tabela de derivadas e regras de derivação (soma e produto por constante) para derivar 
combinações lineares de funções elementares (funções constantes, potência, exponenciais, 
logarítmicas, trigonométricas e arcos trigonométricos). 
 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Verifique como surgem os limites quando tentamos encontrar a tangente a uma curva ou a 
velocidade de um objeto através da leitura da seção 2.1 (p. 73 - 76): STEWART, James. Cálculo – 
volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Observe que este tipo de limite é chamado de derivada e que o mesmo pode ser interpretado como 
uma taxa de variação. 
 Construa um mapa mental sobre os conceitos iniciais de derivadas usando para isso o material de 
apoio do site somatemática. 
Link: https://www.somatematica.com.br/superior/derivada.php 
 Para pensar em situações que utilizam o conceito de derivadas, assista ao vídeo: “Afinal, para que 
servem as derivadas?” (10:22). Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=1OPjFQeGa9Y&index=20&list=PLUyhCZ-
szXJdrBjcjRTBp3pC7yR_U-3t0 
 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Calcule o 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉
 das funções dadas nos exemplos a seguir e em seguida use as regras de 
derivação da secção 3.1 da referência bibliográfica descrita abaixo, para confrontar com os resultados 
obtidos. 
 
Exemplos: 
I) f(x) = x² + 1 
II) f(x) = x³ - x 
III) f(x) = x² + 5x +9 
IV) f(x) = 
𝟐
𝒙²
 
 
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 Exercícios para praticar Cálculo de derivadas: Seção 3.1 (p. 166 e 167-Exercícios ímpares): STEWART, 
James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 O que é a inclinação de uma reta tangente à uma curva? 
 Como determinar a inclinação de uma reta tangente à uma curva em um ponto dado? É possível calcular 
a inclinação da reta tangente em todos os pontos da função? 
 Como usar o conceito de derivadas em situações-problema? 
 Quais foram as principais técnicas de derivação estudadas? 
 
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
 
Atividade A: 
 
1.º) Derive as funções seguintes usando as regras estudadas, justificando detalhadamente cada 
passagem. 
a) f(x) = x5 
b) f(x) = 4x3 
c) f(x) = 3x9 + 4x7 – 5x6 
d) 
( )f x x
 
e) 
f) 
2.º) Dada a função f(x) = x² - 2x + 1, determine a equação da reta tangente à curva f(x) no ponto 
cuja abscissa é 2. 
3.º) Dadas as funções f(x) = x²+ Ax e g(x) = Bx, determinar A e B de tal forma que 
 
4.º) Considere as funções f(x) = x³ - 3x² - 24x + 2 e g(x) = . Determine os 
intervalos/pontos em que as derivadasf’(x) e g’(x) são positivas, nulas ou negativas. 
5.º) Encontre a derivada das seguintes funções usando a definição e em seguida use as regras de 
derivação para encontrar as derivadas das funções: 
a) y = 8x² + 3x 
b) y = 7x² - 5x + 3 
 
6.º) Determine a equação da reta tangente à parábola y = x²- 8x + 9 no ponto (3, -6). 
23 32)(  xxxxf
7
3 1)(
x
xxf  





x² g(x) - f(x)
2x 1 )( ' )( ' xgxf
xx
x
9²3
3
³

 
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7.º) A equação da reta tangente ao gráfico 
1
f(x)
x

 no ponto 
1
5,
5
 
 
 
 será: 
 
a) 
25y x 10 0.  
 
b) 
10y x 7 0.  
 
c) 
7y 2x 2 0.  
 
d) 
10y x 10 0.  
 
e) 
5y x 10 0.  
 
 
8.º) A derivada da função f, de IR em IR, definida por f(x) = -2x5 + 4x3 + 3x - 6, no ponto de abcissa 
x0 = -1, é igual a: 
 
a) 25 
b) 19 
c) 9 
d) 5 
e) 3 
 
9.º) Determine uma equação da reta normal a curva y = x3 – 4 no ponto (2,4) 
 
10º) Determine uma equação da reta normal a curva no ponto (4,-5) 
11.º) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto de abscissa x0 = 
0. 
 
12.º) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 - 3 + 4 no ponto (1, f (1)). 
 
13.º) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t 
em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: 
a) . Determine a velocidade no instante t = 3 s. 
b) . Determine a velocidade no instante t = 2 s. 
c) . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s. 
14.º) A taxa de desemprego varia com o tempo. A tabela fornece a porcentagem de desempregados na 
força de trabalho australiana em meados de 1995 a 2004. 
214
10
x
y


  1102 2  tttS
  tttS 32 
  1223  ttttS
 
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(a) Qual o significado de U´(t)? Quais são suas unidades? 
(b) Construa uma tabela de valores para U´(t) . 
15.º) Seja a P(t) porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos no instante t. A 
tabela fornece projeções dos valores desta função de 1995 a 2020. 
 
 
a) Qual o significado de P´(t)? Quais são suas unidades? 
b) Construa uma tabela de valores para P´(t). 
c) Faça os gráficos de P e P´. 
 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha 
Biblioteca. 
 
 
 
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SEMANA 5: Regras de derivação 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Aplicar a tabela de derivadas e regras de derivação (soma e produto por constante) para derivar 
combinações lineares de funções elementares (funções constantes, potência, exponenciais, logarítmicas, 
trigonométricas e arcos trigonométricos). 
 Identificar funções que necessitem das regras do produto e/ou quociente para o cálculo de sua derivada 
 Empregar as regras de derivação (soma, produto por constante, produto e quociente) para calcular 
derivadas de funções. 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Analise as diferentes técnicas de derivação do cap. 7 do livro: GUIDORIZZI, Hamilton. Um curso de 
cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1986 comparando-as e relacionando-as 
com a folha de fórmulas dada em anexo. 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Reflita sobre as relações entre limites e derivadas e faça um registro de suas recordações. 
 Baixe o software gratuito Geogebra para as representações do gráfico e de derivadas das funções a serem 
analisadas. Plote, no Geogebra, uma função constante e gerar a reta tangente através dos comandos do 
mesmo e verifique a inclinação desta reta tangente comparando com a fórmula correspondente da 
derivada desta função na folha de fórmulas (em anexo). Plote o gráfico da função identidade, 𝑦 = 𝑥, 
gerar a reta tangente e verificar que o ângulo formado em seguida, calculem a tangente do mesmo, 
sempre relacionando o resultado com a fórmula correspondente. Você pode fazer o gráfico das outras 
funções e suas respectivas derivadas, sempre relacionando com o cálculo das derivadas e fazendo a 
correspondência com a folha de fórmulas. 
 Exercícios para praticar Cálculo de Limites: 2, 10, 11 ao 31 (ímpares), p. 98. STEWART, James. Cálculo – 
volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Exercícios para praticar Continuidade: 2, 3, 35, 37, 44, p. 117-118. STEWART, James. Cálculo – volume 1, 
7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 Qual relação do limite com a derivada? 
 O que é inclinação? 
 O que é reta tangente? 
 O que é inclinação da reta tangente? 
 É possível obter essa inclinação da reta tangente em todos os pontos da função? 
 
 
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ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
1. Calcule as derivadas das funções abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
f) 
3
x
5
3
x
x2y
2
3 
)3ln(x6
2
x
3
x
tgx3y
23

3x4 e2xln34xy 
tgx3xcos)3x(y 2 
senxexlnxy x2 
4x3
1x
y
2



 
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g) 
 
 
 
2. Ache a derivada em relação a x de: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
3. a) Ache a derivada em relação a x de . 
 b) Ache a inclinação da reta tangente a em . 
 
 
 
 
 
4. Dada a função determine . 
 
5. Determine a derivada das funções: 
 
 
 
 
1x4
senx
y


xxxf  2)( .12)(  xxf
xxf )(
xy  9x
,13)( 2  xxxf
dx
df
3
4
5)()
)()
11)()
xxfc
xxfb
xfa




xxsenyi
xxxyh
xxfg
xxff
xxfe
xsenxfd
cos2 )
453)
4)()
2)()
3
2
)()
 2)()
24
8
3






 
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6. Se calcule 
 
7. Dada a função , calcule 
 
8. Dada a função , calcule a derivada de f(x) no ponto 
 
32)( xxf  ).2('f
xsenxf )(  ).6(' f
3 2)( xxf 
.8x
 
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SEMANA 6: Regra da Cadeia 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Identificar funções compostas. 
 Aplicar a Regra da Cadeia para derivação de funções compostas. 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Pesquise mais sobre outras possibilidades e/ou problemas de aplicação que envolvama derivação por 
meio da Regra da Cadeia. Você pode iniciar sua pesquisa estudando o Capítulo 3 do livro: Exercícios 
Resolução de Problemas com Regra da Cadeia: 58, 79, 80, 81, 82 e 83, p. 185 - 186. STEWART, James. 
Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Após o estudo das aplicações envolvendo Regra da Cadeia pratique resolvendo os Exercícios/Problemas 
de Aplicação: 58, 79, 80, 81, 82 e 83, p. 185 - 186. STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Exercícios para praticar a Derivação – Regra da Cadeia: 1 - 35, p. 185. STEWART, James. Cálculo – volume 
1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Exercícios para Aplicação Equação Reta Tangente com Regra da Cadeia: 51 e 53, p. 185. STEWART, James. 
Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Valide a resolução das aplicações da equação da Reta Tangente plotando as funções e às equações 
calculadas no Geogebra. 
 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 Como identificar a função composta? Há alguma característica para identificar? 
 Há aplicações reais que envolvam funções compostas? Quais possibilidades? 
 Dada duas funções: 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑦 = 𝑔(𝑥) a derivada da 𝑓𝜊𝑔 é igual a derivada da 𝑔𝜊𝑓? 
 
 
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ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
 
1) Dada a função, determine a derivada: 
 
a) 𝑦 = (𝑥3 + 9)7 
b) 𝑦 = √𝑥 + 7
3
 
c) 𝑦 = 𝑒𝜋+𝑥 
d) 𝑦 = 𝑒−2𝑥cos (3𝑥) 
e) 𝑦 = √
𝑥2+5𝑥−7
𝑥²+4𝑥
 
f) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛4(5𝜃) 
g) 𝑦 = 𝑒−3𝑡.cos (𝑡
2) 
h) 𝑦 = 𝑡𝑔(cos(2θ)) 
 
2) Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
d) 
 
e) 
 
f) ) 
 
 
3) Determine a 𝑦′𝑒 𝑦′′ da função 𝑦 = 𝑒𝑒
2𝑥
. 
 
4) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de 𝑦 = (1 + 𝑥 + √𝑥
3 )2 no ponto de abscissa xo=1. 
Ilustre no Geogebra para validação da equação. 
 








 x3
5
senxy
 
3
2
3
x
5
x3xlogy 
arctgxx3y 3x
)x2(arcsen1)x(f 3
2
x
5
cosy 








)1xcos( arc( ln)x(f 3 
 
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5) Encontre a equação da reta que tangencia a curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) no ponto (π, 0). 
 
 
6) (STEWART, 2013 – adaptada) O deslocamento de uma partícula em uma corda vibrante é dado por 
𝑠(𝑡) = 10 +
1
4
𝑠𝑒𝑛(10𝜋𝑡), onde s é medido em centímetros e t, em segundos. Qual a velocidade da 
partícula após 3 segundos? 
 
7) (STEWART, 2013 – adaptada) O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força 
de amortecimento (tal como o amortecedor em um carro) é frequentemente modelado pelo produto 
de uma função exponencial e uma função trigonométrica. Suponha que a equação de movimento de 
um ponto nessa mola seja 𝑠(𝑡) = 2𝑒−1,5𝑡cos (2𝜋𝑡), onde s é medido em centímetros e t, em segundos. 
Encontre a velocidade após t segundos. 
 
 
 
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SEMANA 7: Derivação Implícita e Retas Tangentes 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Identificar funções implícitas. 
 Derivar funções implícitas. 
 Calcular, por meio da derivada de função implícitas, equações de retas tangentes. 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Você estudou em aula algumas funções especiais, pois receberam um nome de acordo com seu esboço 
gráfico. Pesquise outras funções especiais e analise-as para verificar se são funções implícitas ou não. 
Plote as funções pesquisadas no Geogebra e identifique um ponto pertencente à função para calcular a 
reta que tangencia-na nesse ponto. Valide seu cálculo plotando a reta calculada e, se necessário, ajuste. 
 Pesquise aplicações de funções implícitas na área da Engenharia, em especial, no seu curso. 
 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Retorne aos cálculos de derivada de funções implícitas aplicadas ao cálculo de equações tangente. 
Utilizando o Geogebra plote a função original e a função derivada. Analise-as graficamente. É compatível? 
 Exercícios para praticar a Derivação Implícita: 1 - 23, p. 194. STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Exercícios para Aplicação Equação Reta Tangente: 25, 26, 33, 34, p. 194. STEWART, James. Cálculo – 
volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Exercícios para Derivação Implícita Sucessiva: 35-40, p. 194. STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha Biblioteca. 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 Como identifico a função implícita? 
 Sempre será possível reescrever a função implícita em explícita? Por quê? 
 A derivada das funções que são possíveis de escrever explícitamente são iguais quando derivadas de 
maneira implícita? 
 Quais são as diferenças da derivada de funções explícitas e implícitas? 
 E quanto as derivadas sucessivas?! Quais são as diferenças de explícitas e implícitas? 
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
 
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1) Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 diferenciando implicitamente cada função: 
 
a) 𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦3 − 𝑥 = 7 
b) 
3
𝑦
+
1
𝑥
= 4 
c) 𝑥2 =
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
 
d) cos(𝑥2𝑦2) = 𝑥 
e) 𝑡𝑔3(𝑥𝑦2) = 𝑦 + 𝑥 
f) 𝑦 + 𝑙𝑛𝑥𝑦 = 1 
 
2) Determine 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
 por diferenciação implícita da função: 
 
a) 𝑥3 + 𝑦2 = ln 𝜋 
b) 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑥 
c) 2𝑥𝑦 − 𝑦2 = 5 
d) 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 = 𝑦 
 
 
3) Cada função descrita é especial, pois sua forma gráfica nomea a função. 
- Para cada função calcule a equação da reta que tangencia a função no ponto dado. 
- Simule, utilizando o Geogebra, a função e a equação de reta calculada. Verifique se a intersecção da função 
com a reta realmente é o ponto de tangenciamento. Caso contrário, ajuste seu cálculo e o esboço gráfico. 
- Analisando a simulação, arraste, ou seja, modifique o ponto de tangenciamento da função. O que ocorre? 
A equação da reta tangente permanece a mesma? 
 
A) A Curva do diabo: 𝑦4 − 4𝑦2 − 𝑥4 + 5𝑥2 = 0 , P(0, -2) 
 
 
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B) Lemniscata (infinito): 2(𝑥2 + 𝑦2)2 − 25𝑥2 + 25𝑦2 = 0, P(3, 1) 
 
 
 
C) Cardioide: 𝑥2 + 𝑦2 = (2𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥)², P(0; 0,5) 
 
 
 
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SEMANA 08: Taxas Relacionadas 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Identificar e interpretar problemas que envolvem taxas relacionadas. 
 Aplicar as regras de derivação para resolução de problemas de taxas relacionadas. 
 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Nas semanas anteriores, estudamos várias aplicações que envolvem o conceito de derivadas. Quais 
delas estão relacionadas comtaxas relacionadas? Liste 5 aplicações de derivadas envolvendo as taxas 
relacionadas e aponte a solução da situação-problema. 
 Conheça um pouco mais sobre as taxas relacionadas, assistindo ao vídeo: “Introdução às taxas 
relacionadas” (03:43). Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-
contextual-applications-new/ab-4-4/v/rates-of-change-between-radius-and-area-of-circle 
 Realize a leitura da secção 3.9: STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2013, no intuito de aprofundar seu estudo sobre as taxas relacionadas. Disponível na Minha 
Biblioteca. 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Vamos praticar? O você que acha de resolver algumas situações envolvendo taxas relacionadas? 
Sugestões: 
 
Exemplo 01 – Água entra em um tanque cônico a uma taxa de 9 pés³/min. O tanque tem o vértice voltado 
para baixo e altura de 10 pés, e o raio da base é de 5 pés. Qual será a taxa de aumento do nível de água 
quando a profundidade for de 6 pés? 
 
Exemplo 02 - Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro 
colocado a 500 pés de distância do ponto de decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do 
telêmetro é 
𝜋
4
, o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento? 
 
Exemplo 03 – Uma partícula P se desloca no sentido horário, a uma taxa constante, ao longo de um círculo 
de raio 10 pés, com o centro na origem. A posição inicial da partícula é (0, 10) sobre o eixo y, e seu destino 
final é o ponto (10, 0) no eixo x. Uma vez que a partícula se encontra em movimento, a reta tangente em P 
cruza o eixo x no ponto Q( que se desloca ao longo do tempo). Se a partícula leva 30 segundos para se deslocar 
do início ao final, qual a velocidade de deslocamento do ponto Q ao longo do eixo x quando estiver a 20 pés 
do centro do círculo? 
 
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Exemplo 04 – Um avião a jato voa a uma altitude constante de 12000 pés acima do nível do mar à medida 
que se aproxima de uma ilha do Pacífico. A aeronave se aproxima na linha direta de visão de uma estação de 
radar localizada na ilha e o radar indica que o ângulo inicial entre o nível do mar e sua reta de visão até a 
aeronave é de 30°. Qual a velocidade (em milhas por hora) do avião ao se aproximar da ilha e ao ser detectado 
pela primeira vez pelo instrumento de radar, se ele gira para cima(sentido anti-horário) à taxa de 2/3° s para 
manter a aeronave dentro de sua linha direta de visão? 
 
Exemplo 05 – Se o comprimento original x do lado de um cubo de 24 m diminui à taxa de 5 m/min quando x 
= 3, a que taxa a área do cubo varia? O volume do cubo varia? 
 
Exemplo 06 – O comprimento l de um retângulo diminui a uma taxa de 2 cm/s, enquanto a largura w aumenta 
a uma taxa de 2 cm/s. Determine as taxas variação para: 
a) a área 
b) o perímetro 
c) os comprimentos das diagonais quando l = 12 cm e w = 5 cm 
Quais medidas estão diminuindo e quais estão aumentando? 
 
Respostas: 
 No momento em questão, o nível da água está aumentando cerca de 0,32 pé/min. 
01) No momento em questão, o balão sobe a uma velocidade de 140 pés/min. 
02) No momento em questão, o ponto Q se desloca para a origem à velocidade de aproximadamente 108,8 
pés/min. 
03) A aeronave se aproxima da ilha a uma velocidade de cerca de 380 milhas/h quando detectada pela 
primeira vez pelo radar. 
04) -180m²/min e -135m³/min. 
05) a) 14 cm²/s, crescente; b) 0 cm/s , constante ; c) -14/13 cm/s, decrescente. 
 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 Qual é a relação entre as taxas relacionada e a derivada de uma função? 
 Cite 6 aplicações de taxas relacionadas à sua área de conhecimento. 
 Você consegue elaborar uma estratégia para a resolução de problemas envolvendo taxas 
relacionadas? 
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
 
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1. Se a área de um círculo é crescente a uma taxa constante de 4cm²/s, a que taxa está crescendo 
o raio no instante em que o raio é 5 cm? 
 
2. A área A de um retângulo é decrescente a uma taxa constante de 9 centímetros quadrados por 
segundo. Num instante qualquer, o comprimento l do retângulo é decrescente duas vezes mais 
rápido que a largura w. num certo instante está a 1 centímetro por centímetro quadrado. Neste 
instante, quão rapidamente a largura está decrescendo? 
 
3. Duas rodovias interceptam-se perpendicularmente. O carro A numa rodovia está a ½ km da 
interseção e se move a uma razão de 96 km/h, enquanto o carro B na outra rodovia está a 1 km 
da interseção e caminha para ela a uma razão de 120 km/h. A que razão está variando a distância 
entre os dois carros neste instante? 
 
4. Um homem com 1,80 m de altura está a 12 m da base de um poste de luz com 20 m de altura e 
caminha em direção ao poste a uma velocidade de 4,0 metros por segundo. Com que taxa o 
comprimento de sua sombra está variando? 
 
5. A água está escoando para fora de um funil cônico a uma vazão de 3 centímetros cúbicos por 
segundo. O funil possui um raio de 2 centímetros e altura de 8 centímetros. Quão rápido 
abaixará o nível da água que se escoa quando ela estiver a 3 centímetros do topo? 
 
6. A pressão P e o volume V de uma amostra de gás que sofre uma expansão adiabática estão 
relacionados pela equação 𝑃𝑉1,4 = 𝐶, onde C é uma constante. Num determinado instante, o 
volume da tal amostra é 4 cm³, a pressão é 4000 𝑘𝑔 𝑐𝑚²⁄ e o volume está crescendo a uma taxa 
constante de 2 cm³/s. A que razão a pressão está variando neste instante? 
 
7. O esforço de um trabalhador solicitado por uma indústria para fabricar x unidades de um certo 
produto é dado pela equação y = 
1
2
√𝑥. Determine a taxa instantânea à qual o esforço do 
trabalhador seria crescente se, no momento, existe uma demanda de 40000 unidades do 
produto, mas a demanda é crescente a uma razão de 10000 unidades por ano. 
 
8. Uma placa circular de metal expande-se quando aquecida, de modo que seu raio cresce a uma 
razão constante de 0,02 cm/s. A que razão a área de superfície (de um lado) estará crescendo 
quando o raio for 4 cm? 
 
9. A água está sendo bombeada a uma razão de 1,5 m³/min dento de uma piscina com 20 m de 
comprimento por 10 m de largura. A profundidade da piscina decresce uniformemente a partir 
dos 7 m de uma extremidade e 1 m da outra extremidade. Com que rapidez o nível da superfície 
da água estará baixando no instante em que sua profundidade no extremo mais fundo for 6m? 
 
10. Se a área de um círculo decresce à razão constante de 3 cm²/s, a que razão o raio r estará 
decrescendo no instante em que r = 2 cm? 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha 
Biblioteca. 
MUNEM, M. A. e FOULIS, D. Cálculo - volume 1. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEMANA 09: Exercícios de revisão 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 
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 Fazer um resgate dos conteúdos vistos até o momento e em seguida, resolver exercícios de 
revisão. 
 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Realize a leiturado livro: STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2013, no intuito de elaborar um resumo teórico apontando os principais conteúdos estudados até o 
momento. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Revise o conteúdo de limites e derivadas, bem como algumas aplicações assistindo ao vídeo: 
“Revisão-Cálculo I” (01:08). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=j-rtyoR67f4. 
 
EXPERIMENTE! 
Realize uma revisão do que está aprendendo através da resolução dos exercícios abaixo: 
 Exercícios de revisão: 
 
1.º) Calcule os seguintes limites: 
a) lim
𝑥→𝟏
4𝑥5+9𝑥+7
3𝑥6+𝑥3+1
 
b) lim
𝑥→𝟐
𝑥3+3𝑥2−9𝑥−2
𝑥3−𝑥−6
 
c) lim
𝑥→𝟑
𝑥2−9
𝑥2−3𝑥
 
d) lim
𝑥→𝟎
𝑥6+2
10𝑥7−2
 
e) lim
𝑎→𝟎
𝑎2−𝑏²
𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2
 
f) lim
𝑥→𝟐
2−𝑥
2−√2𝑥
 
g) lim
𝑡→𝟏
𝑡4−1
3𝑡2−4𝑡+1
 
h) lim
𝑡→𝟎
√𝑡+4 −2
𝑡
 
i) lim
𝑥→𝟎
1
√𝑐𝑜𝑠2(𝑥)+1−1
 
j) lim
𝑥→−𝟐
𝑥3+8
√𝑥+2
 
 
2.º) Determine l tal que: 
a) lim
𝑥→𝟓
(3𝑙𝑥2 − 5𝑙𝑥 + 3𝑙 − 1) =
3
2
 
b) lim
𝑥→𝒍
(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = 0 
 
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c) lim
𝑥→𝟐
(5𝑥4 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 2) = 𝑙 
d) lim
𝑥→𝟓
𝑙−𝑥²
𝑥+𝑘
= −1 
 
3.º) Calcule os seguintes limites no infinito: 
a) lim
𝑥→+∞
2𝑥3+5𝑥+1
𝑥4+5𝑥3+3
 
b) lim
𝑥→+∞
3𝑥4−2
√𝑥8+3𝑥+4
 
c) lim
𝑥→+∞
𝑥2−2𝑥+3
3𝑥2+𝑥+1
 
d) lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥2+3𝑥+1
 
e) lim
𝑥→+∞
(𝑥2+1)
1
2
3𝑥+2
 
f) lim
𝑥→−∞
(𝑥2+1)
1
2
3𝑥+2
 
g) lim
𝑥→+∞
√𝑥3+2𝑥−1
3
√𝑥2+𝑥+1
 
h) lim
𝑥→+∞
√𝑥 + 1 − √𝑥 + 3 
 
4.º) Obtenha os limites: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
 
p) 
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
25 25
5
lim
x
x
x 


xx
x
x  2
3
0 2
lim
2
8
lim
3
2 

 x
x
x
1
34
lim
3
2
1 

 x
xx
x
2
33
lim
23
23
1 

 xx
xxx
x
584
463
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
34
23
lim
4
3
1 

 xx
xx
x
812272
41252
lim
234
234
2 

 xxxx
xxxx
x
x
xx
x
121
lim
2
0


x
xx
x


11
lim
0
1
12
lim
1 

 x
xx
x
232
4
lim
2
2 

 xx
x
x
23
3333
lim
2
22
1 

 xx
xxxx
x
 )1235(lim
23 xxxx
 )122(lim
245 xxxx
 
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q) 
 
r) 
 
s) 
 
t) 
 
u) 
 
v) 
 
w) 
 
x) 
 
y) 
 
5.º) Determine as assíntotas (se existirem), o intercepto das funções no eixo y, analise a 
continuidade e esboce o gráfico das funções abaixo: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 )123(lim
24 xxx
 )853(lim
24 xxx
 )235(lim
3 xxx
 )23(lim
2 xxx




1
12
lim
2
2
x
x
x




359
1253
lim
23
23
xxx
xxx
x



 24
23
7
54
lim
xx
xxx
x




2086
73
lim
45
45
xx
xxx
x




24
5124
lim
23
25
xx
xxx
x
3
5


x
y
1
13



x
x
y
x
y
2

2)1(
2


x
y










11
1
1
12
xse
xse
x
x
y







23
2
2
1
xse
xse
xy
6
3
2 

xx
y
1
1
2 

x
y
2
3



x
x
y
 
 
 
 
43 
6.º) Encontre os limites abaixo: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7.º) Avalie os limites abaixo: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
8.º) Use as técnicas de derivação estudadas para calcular a derivada das funções abaixo: 
a) 
b) 
c) 
9.º) Dada a função 
a) Calcular a sua derivada: 
b) Calcular f´(3) 
c) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto x = 3 
 

x
xsen
x
2
3
lim 0

x
senx
x
4
lim 0

x
xtg
x
3
2
lim 0

xsen
xsen
x
3
4
lim 0

xtg
xtg
x
5
3
lim 0







x
x
x
2
1
1lim







31
1lim
x
x
x









2
1
1lim
x
x
x







x
x
x
4
1lim
xxxf 44 coscos3)( 
23)3(2)( 352  xxxxf
)93(ln3)(
2
 xexf x
:2)( 2 xxxfy 
)(xfy 
 
 
 
 
44 
10.º) Calcular a derivada das funções: 
a) 
b) 
c) 
11.º) Calcular a derivada de ordem 3 da função . 
12.º) Use a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo: 
a) 
b) 
 
13.º) Encontre os pontos críticos e classifique-os (máximo, mínimo e ponto de inflexão). 
a) y = 40 – 6x + x2 
b) y = 2x2 – x3 
c) y = x5 + 5x3 + 5 
d) Seja C = q3 – 9q2 + 40q + 50 uma função Custo Total. 
 
14.º) P = 130 + 2x3/2 é a função que dá, em milhões de habitantes, a população de um país em função do tempo 
x, em anos, a partir de hoje. 
 
a) Determine a função Crescimento Populacional. Por que a derivada da função População é a função 
Crescimento Populacional? 
b) Quantos Habitantes terá esse país daqui a quatro anos? 
c) Quanto a população estará crescendo por ano daqui a exatamente quatro anos? 
 
Respostas: 
 
1.º) a) 4 b) 15/11 c) 2 d) -1 e) -1 f) g) 2 h) ¼ i) √2+1 j) 0 
2.º) a) k = 5/106 b) k = 2 c) k = 70 d) k = 0 
3.º) a) 0 b) 3 c) 1/3 d) 0 e) 1/3 f) -1/3 g) 1 h) 0 
4.º) a) 6 b) 1/10 c) 0 d) 12 e) -2/3 f) -4/5 g) 1 h) ½ i) 7/8 j) -1 k) 1 l) √2/4 m) -8 n) 3 o) +∞ 
p) - ∞ q) -∞ r) +∞ s) +∞ t) -∞ u) 2 v) 1/3 w) 0 x) ½ y) ∞ 
5.º) 
a) x = 3 é a assíntota vertical e y = 0 é a assintota horizontal intercepto eixo y=-5/3 
b) x = 1 é a assíntota vertical e y= 3 é a assintota horizontal intercepto eixo y=-1 
c) x = 0 é a assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y = não intercepta 
)1()(sen)( 2  xtgxxxf
)82()4()( 93  xxxxf
42
)1(
)(
32



x
x
xf
x
xxxf
1
23)( 45 
52)4(3)( 362  xxxxf
xxxf 44 sen2sen2)( 
 
 
 
 
45 
d) x = 1 é a assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y= 2 
e) não tem assíntotas intercepto eixo y = 1 
f) x=-2 é a assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y = ½ 
g) x=-3 e x=2 são as assíntotas verticais e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y=-1/2 
h)x=-1 e x=1 são as assíntotas verticais e y = 0 é a assíntota horizontal intercepto eixo y=-1 
i) x = -2 é a assíntota vertical e y = 1 é a assíntota horizontal intercepto eixo y=-3/2 
6.º) 
a) 3/2 
b) ¼ 
c) 2/3 
d) 4/3 
e) 3/5 
 
7.º) 
a) e2 
b) e1/3 
c) e 
d) e4 
 
8.º) 
a) 
b) 
c) 
9.º) 
a) 
b) 
c) Resp: 
10.º) 
a) Resp: 
b) Resp: 
c) Resp: 
)sen(cos44cos3)(' 334 xxxxxf 
22
1
342 3)2(
2
1
3)32()3(52)(' xxxxxxf 

3
3
2
93
33
2)('
2





x
xe
x
xexf x
14:Re)('  xspxf
13134:Re:)3(' spf
1813 xy
)1()1(sec)21()cos()(' 22  xxxxxf
93283 )4()021()82()121()4(9)(' xxxxxxxf 
2
)42(
)2()1()2()1(3)42(
)('
3222



x
xxxx
xf
 
 
 
 
46 
11.º) 
12.º) 
a) Resp: 
b) Resp: 
13.º) 
a) y = 40 – 6x + x2 
y’= , resolvendo esta equação temos x = 3. Assim, o único ponto crítico desta função é (x, y) 
= (3, 31). 
 y’’= 2. Então o ponto (3,31) é de mínimo. 
b) y = 2x2 – x3 
y’= , (x = 0 ou x = 4/3). 
y’’= [em x = 0 / y’’= 4 (Ponto de Mínimo)] 
 [em x = 4/3 / y’’= (Ponto de Máximo)] 
c) y = x5 + 5x3 + 5 
y’= , (x = 0). 
y’’= , [em x = 0 / y’’= 0, mas y3 = 30 (Ponto de Inflexão)] 
d) C = q3 – 9q2 + 40q + 50 
C’= , (C’ 
Como não existe q que faça C’= 0, a função não possui pontos críticos. 
14.º) 
a) 
Porque a derivada dá a variação na população correspondente à variação de um ano no tempo. 
b) 
=146 milhões de hab. 
c) = 6 milhões de hab por ano. 
 
 
 
42 648180)('''  xxxxf
)3()5(
2
1
2)42()4(18)(' 22
1
352 xxxxxxf 

xxxxxf cossen424cos2)(' 334 
026  x
034 2  xx
x64
4
0)3(155 2224  xxxx
xx 3020 3 
040183 2  qq )0 Rq
2/13)(')( xxPxfcp 
161308213064213042130)4(2130)4( 2 32/3 P
2/3)4(3)4(' P
 
 
 
 
47 
 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 O que é o limite de uma função polinomial? Quais são as principais leis dos limites estudadas? 
 O que são limites laterais? Quando podemos afirmar que uma função é contínua em um ponto? 
 Qual a diferença entre limites infinitos e limites no infinito? O que são assíntotas? 
 Como determinar o coeficiente angular de uma curva em um ponto? Como medir a taxa de 
variação de uma função? Qual é a relação entre a taxa de variação e a derivada de uma função? 
Quais foram as principais técnicas de derivação estudadas até o momento? 
 
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
 
Atividade A : 
1) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso 
não exista, justifique. 
 
 
2) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso 
não exista, justifique. 
 
f(3) e) f(x) d) f(x) c) f(x) b) f(x) ) limlimlimlim
3 3 3 0 -   xxxx
a
 f(x) h)f(x)g)f)f(-2) f(3) e)f(x) d)f(x) c)f(x) b)f(x) ) limlimlimlimlimlim
2 2 1 3 3 3 --   xxxxxx
a
 
 
 
 
48 
 
 
3) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso 
não exista, justifique. 
 
 
4) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso 
não exista, justifique. 
 
 
5) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso 
não exista, justifique. 
 )(limj) f(-3) i)h)f(1) f(2)g) )(limf)
 )(lim e) )(limd) )(lim) )(lim b) )(lim)
12
22333
xfxf
xfxfxfcxfxfa
xx
xxxxx

 
 )(limj) f(-5) i)h)f(0) g)f(4) )(limf)
 )(lim e) )(limd) )(limc) )(lim b) )(lim)
54
44000
xfxf
xfxfxfxfxfa
xx
xxxxx

 
 
 
 
 
49 
 
 
 
6.º) Calculando-se forma 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙𝟑−𝒙𝟐−𝟐𝒙
𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟐
 , obtém-se 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 4. 
e) 6. 
7.º) O 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟗
√𝒙−𝟑
𝒙²−𝟗𝒙
 é igual a 
a) 1/9. 
b) 1/27. 
c) 1/243. 
d) 1/243. 
e) 1/54. 
 
8.º) O valor de 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
√𝒙𝟐+𝒙+𝟏 −√𝒙𝟐−𝒙+𝟏
𝒙²−𝟗𝒙
 é 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) ∞. 
9.º) Seja 𝒇(𝒙) = {√𝒙 − 𝟒, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟒
𝒌 − 𝟐𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟒
 . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é 
 )(limj) f(6) i)h)f(0) f(-9)g) )(limf)
)(lim e) )(limd) )(limc) )(lim b) )(lim)
34
44999
xfxf
xfxfxfxfxfa
xx
xxxxx

 
 
 
 
 
50 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
10.º) Sobre a função 𝒇(𝒙) = 
𝒙
𝒙+𝟒
, foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira. 
Assinale-a: 
a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical. 
b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical. 
c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0). 
d) 
e) 
 
11.º) Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) f(1) = 2 
 
12.º) Calcule as derivadas abaixo através da definição 
a) f(x) = 3x + 2 
b) f(x) = 1 – 4x² 
c) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥+2
 
d) f(x) = 2x² - x + 12 
 
13.º) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 
   
.lim 00
0 x
xfxxf
x 


 
 
 
 
51 
 
 
Respostas: 
1) a) 3 b) 2 c) 4 d) não existe e) 3 
2) a) 2 b) -2 c) não existe d) 3 e) 1 f) -3 g) -1 g) -1 
3) a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 2 
 f) não existe g) 1 h) 1 i) não existe j) -1 
4) a) +  b) -  c) não existe d) -  e) -  
 f) não existe g) não existe h) não existe i) não existe j) não existe 
5) a) +  b) -  c) não existe d) -  e) -  
 f) não existe g) não existe h) 1,5 i) 0 j) não existe 
6.º) E 
7.º) E 
8.º) B 
9.º) D 
10.º) C 
11.º) C 
12.º) 
a) 3 b) - 8x c) d) 4x – 1 
13.º) 
a) 8 b)2 c) - 3 d) 1 e) 0 f) 9 g) - 1/4 h) 14/45 i) 9 
643)()
5
5
935
)()
2
1
)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2












xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
 22
1


x
 
 
 
 
52 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha 
Biblioteca. 
MUNEM, M. A. e FOULIS, D. Cálculo - volume 1. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982. 
 
 
 
 
 
53 
SEMANA 10: Estudos de Funções (máximos e mínimos) 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Descrever funções crescentes e decrescentes. 
 Realizar os testes da 1◦ e 2◦ derivadas. 
 Verificar os pontos de máximos e mínimos de uma função. 
 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
Nessa aula serão tratados o conceito de máximos e mínimos, utilizando a analogia de uma montanha e de um 
vale destacando os picos e os vales existentes. Cálculo dos Limites utilizando a Derivadas. 
 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=qb8fO9udclo>. 
Duração: 9’59’’ 
 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
Nessa aula, será apresentada a resolução de um problema de otimização com uso do Cálculo I. (busca das 
dimensões de uma lata cilíndrica com capacidade para 2L, cuja base é um disco, de modo a minimizar os custos 
com o material utilizado). Para acessar é só clicar no link a seguir: 
http://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=2750 
 
Bom estudo! 
 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que achade 
discuti-las com os seus colegas? 
3. Quais os passos para encontrar o máximo e/ou mínimo relativo? 
4. Para que servem os testes da primeira e segunda Derivadas? 
5. O que são os pontos críticos? 
 
 
 
 
 
54 
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
1) Encontre os intervalos onde a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥 + 11 é monótona (isto é, ou crescente ou 
decrescente). 
a) Crescente: (−∞, −𝟐] e [𝟐, ∞) ; Decrescente: [−𝟐, 𝟐] 
b) Crescente: [−∞, −2] ; Decrescente: [−2, 2] 
c) Crescente: [−∞, 2) ; Decrescente: [−2,2] 
d) Crescente: (−∞, 2); Descrescente: (−2, 2) 
 
 
2) Dada a função 𝑓(𝑥) = 
𝑥2 − 1
2𝑥 + 1
, determine os intervalos nos quais a concavidade da curva é para cima, e 
os intervalos nos quais a concavidade da curva é para baixo. 
a) Concavidade para cima no intervalo: (−∞, − 𝟏 𝟐⁄ ]; Concavidade para baixo no intervalo: (− 𝟏 𝟐⁄ , ∞) 
b) Concavidade para cima no intervalo: [−∞, − 1 2)⁄ ]; Concavidade para baixo no intervalo: (− 1 2⁄ , ∞) 
c) Concavidade para cima no intervalo: (−∞, 1 2⁄ ]; Concavidade para baixo no intervalo: (1 2⁄ , ∞) 
d) Concavidade para cima no intervalo: [−∞, − 1 2⁄ ]; Concavidade para baixo no intervalo: [− 1 2⁄ , ∞] 
 
 
3) Encontre os pontos de máximo relativo e de mínimo relativo da função: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5 
a) Máximo relativo: (𝟎, 𝟓); Mínimo relativo: (𝟐, 𝟏) 
b) Máximo relativo: (5, 0); Mínimo relativo: (2, 1) 
c) Máximo relativo: (0, 5); Mínimo relativo: (1, 2) 
d) Máximo relativo: (5, 0); Mínimo relativo: (1, 3) 
 
 
4) Seja a função 𝑓(𝑥) = 
ln 𝑥
𝑥
. Encontre o ponto de inflexão: 
 
a) 𝒙 = √𝒆𝟑 
b) 𝑥 = 𝑒 
c) 𝑥 = 𝑒
1
2 
d) 𝑥 = 
1
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
Atividade 2 
 
1) Encontre os intervalos onde cada função é monótona (isto é, ou crescente ou decrescente). 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 
3
𝑥2
 
b) ℎ(𝑥) = √𝑥 + 
4
𝑥
 
c) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 5, 𝑠𝑒 𝑥 < 4
10 − 3𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 4
 
 
 
2) Indique os intervalos onde o gráfico de cada função é côncavo para baixo ou para cima. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 −
1
2
𝑥2 − 7𝑥 + 2 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 − 1 
c) ℎ(𝑥) = 𝑥 − 
4
𝑥2
 
 
 
3) Determine os valores mínimos e máxomo absolutos no intervalo dado. 
 
a) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2, −2 ≤ 𝑥 ≤ 1 
b) 𝑓(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) , 
−𝜋
2
 ≤ 𝜃 ≤ 
5𝜋
6
 
c) 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (𝑥) , 
𝜋
3
 ≤ 𝑥 ≤ 
2𝜋
3
 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
e) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
 + 𝑙𝑛𝑥 , 0,5 ≤ 𝑥 ≤ 4 
 
Resultados 
1) 
a) Crescente: (−∞, 0) e [√6
3
 , ∞) b) Crescente: [4, ∞) c) Crescente: [0, 4) 
Decrescente: (0, √6
3
] Decrescente: (0, 4] Decrescente: (−∞, 0] e [4, ∞) 
 
 
 
 
 
 
 
56 
2) 
a) Concavidade para baixo: (−∞,
1
12
 ) ; Concavidade para cima: (
1
12
, ∞) 
b) Concavidade para cima em (−∞, ∞) 
c) Concavidade para baixo em (−∞, 0) e (0, ∞) 
 
 
3) 
 
a) Máximo absoluto: 2; mínimo absoluto: 0 
b) Máximo absoluto: 1; mínimo absoluto: -1 
c) Máximo absoluto: 
2
√3
 ; mínimo absoluto: 1 
d) Máximo absoluto: 1 𝑒⁄ ; mínimo absoluto: −𝑒 
e) Máximo absoluto em (4,
1
4
+ 𝑙𝑛4); mínimo absolute em (1,1) 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Disponível na Minha 
Biblioteca. 
 
 
 
 
 
 
57 
SEMANA 11: Revisão de conteúdos(Aula de exercícios) 
VERIFIQUE! 
Prepare seus estudos! Nesta semana, você deverá ser capaz de: 
 Fazer um resgate dos conteúdos vistos até o momento e em seguida, resolver exercícios de 
revisão. 
 
PESQUISE! 
Aprofunde seus estudos pesquisando na internet e consultando a bibliografia da disciplina sobre: 
 Realize a leitura do livro: STEWART, James. Cálculo – volume 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2013, no intuito de elaborar um resumo teórico apontando os principais conteúdos estudados até o 
momento. Disponível na Minha Biblioteca. 
 Revise o conteúdo de limites e derivadas, bem como algumas aplicações assistindo ao vídeo: “Revisão-
Cálculo I” (01:08). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=j-rtyoR67f4. 
 
EXPERIMENTE! 
Realize aplicações práticas sobre o que está aprendendo: 
 Exercícios para praticar: 
1.º) Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo: 
 
 
 
 
  
15limd) 
7816
364
lim)
43lim b) 723lim)
2x
3
2
2
2x
3
2
2
1 




xx
xx
c
xxxxa
x
x
3
2
2
34
32
1
42
2
1
352
limh) 
)56(
)354(
limg)
 
92
16
limf) 
276
352
lim)
2
1










x
xx
t
tt
s
s
xx
xx
e
xt
sx









3 xsex +4
-3< xse 
9
sendo f(x)limj)
 2343lim)
2
3x
32
2
x
xxi
x


 
 2> xse2x -4
2 xse x
= f(x) sendo ),(lim)
3
2
xfk
x
 
 
 
 
58 
2.º) Considere a função definida por: , determine: 
 
 
3.º) Considerando as funções definidas nos itens a, b e c, encontre os limites abaixo, se existirem: 
 
 
 
4.º) Calcule os seguintes limites laterais: 
 
 
5.º) Calcule o sendo: 
6.º) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados: 
 
a) b) 
c) d) 
7.º) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado: 
 
a) 
 









1 1
1 4
1 3
)(
2 xsex
xse
xsex
xf
)(lim (c) )(lim )()(lim)(
1x1x1x
xfxfbxfa
 
 )(lim )()(lim )()(lim)(
111
xfiiixfiixfi
xxx  












1 xse x -3
1 xse 13
)()
1 xse 1x
1 xse 4
)()
2
x
xfb
x
xfa









1 xse 2-x
1 xse 2
1 xse 
)()
2x
xfc
 
9
lim)f 
36
6
lim)e 
4
2
lim)
 
4
lim)c 
2
lim)b 
4
2
lim)
2
3
2
6
2
2
42
2
2










x
x
x
x
x
x
d
x
x
x
x
x
x
a
xxx
xxx
)(lim
2
xf
x










2 x se 5
2 xse 
2
4
)(
2
x
x
xf
5 xem 
2x
x3
)x(f 



0 xem e1)x(f x
1















-1 xse 3x,
1- xem 1 xse ,1
-1 xse ,
1
23
)(
2
x
xx
xf
2 xem 
2 xse ,2x
2 xse 6,-7x
)(
2






xf
2 xem 
2 xse a,
2 xse ,
2
65
)(
2










 x
xx
xf
 
 
 
 
59 
b) 
 
c) 
 
8.º) Calcule lim
∆𝒙→𝟎
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 em cada caso a seguir: 
 
a) f(x) = x³ 
b) f(x) = ax²+bx+c 
c) f(x) = √𝑥 
d) f(x) = 4x² + 5x + 8 
 
9.º) A figura abaixo mostra um ponto P sobre a parábola e o ponto Q dado pela interseção da mediatriz do 
segmento OP com o eixo y. À medida que P tende ao vértice da parábola, o que acontece com o ponto Q? Ele 
tem uma posição limite? Se sim,encontre-a. 
 
10.º) Encontre todos os valores de a para os quais a função y = f(x) a seguir é contínua para todos os valores 
de x: 
f(x) = {
𝑥 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 𝑎 
𝑥2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑎
 
11.º) Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = x² + 3x + 1 e que é paralela à reta de equação 
y = 4x + 7. 
12.º) Mostre que a reta de equação y = −x é tangente à curva de equação y = x³ − 6x² + 8x. Encontre o ponto 
de tangência. 
13.º) O raio de uma bola cresce à razão cm/s. Determine a taxa de variação do volume da bola no instante 
em que o raio é 8 cm. 
14.º) Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. 
A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida? 
4 xem 
4 xse a,3x
4 xse ,
4
2
)( 









 x
x
xf
0 xem 
0 xse a,43x
0 xse ,
22
)(
2










x
x
x
xf
 
 
 
 
60 
15.º) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir: 
a) y = 3x4− 16x³ + 18x² 
b) y = x³ − 3x²+ 1. 
16.º) Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo 
indicado: 
a) f(x) = x³ - 3x + 1, [0,3] 
b) f(x) = x – 2 sen x, [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
 ] 
c) f(x) = (x²-1) ³, [-1, 2] 
d) f(x) = x³ - 3x + 1, na reta. 
17.º) Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do tempo pela expressão 
h(t) = 4t − 5t², sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge 
a altura máxima do solo? 
 
18.º) Um cartaz deve ter uma área de 600 cm² para a mensagem a ser impressa; as margens no topo 
e na base devem cada uma 7,5 cm e de 5 cm nas margens laterais. Determine as dimensões do cartaz 
para que seja mínima a quantidade de papel usada. 
 
 
 
Respostas: 
1) a)-13 b) c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64 h) i) 6 j) 1 k ) não existe 
2) 
3) 
 
 
4) 
5) 
6) a) sim b) não c) não d) sim 
 425 
3
4
5

2)(lim logo 2)(lim;2)(lim)
111

 
xfxfxfa
xxx
)(lim existe não logo 3)(lim;0)(lim)
111
xfxfxfa
xxx 


2)(lim logo 2)(lim ;2)(lim)
111

 
xfxfxfb
xxx
1)(limlogo1)(lim;1)(lim)
111

 
xfxfxfc
xxx
 f) e) d) -c) b) )a
4)(lim
2


xf
x
 
 
 
 
61 
7) a) a = -1 b) c) 
8) a) 3x² b) 2ax + b c) 
𝟏
𝟐√𝒙
 d) 8x+5 
9) 𝑸 → (𝟎,
𝟏
𝟐
) 
10) a = 
𝟏±√𝟓
𝟐
 
11) y = 4x + 3/4 
12) (3,-3) 
13) R: 768πcm³/s 
14) R: 65m/s 
15) (a) Cresce para 0 < x < 1 e 3 < x < +∞, decresce para −∞ < x < 0 e 1 < x < 3. (b) Cresce para −∞ < 
x < 0 e 2 < x < +∞, decresce para 0 < x < 2. 
16) (a) Máximo: y = 19 em x = 3; Mínimo: y = −1 em x = 1; 
(b) Máximo: y = √𝟑 − 
𝝅
𝟑
 em x = 
−𝝅
𝟑
, mínimo: y = −√𝟑 + 
𝝅
𝟑
 em x = 
𝝅
𝟑
, 
(c) Máximo: y = 27 em x = 2; Mínimo: y = −1 em x = 0; 
(d) Não tem máximo nem mínimo em −∞ < x < ∞. 
17) 
R: 0,4 segundos. 
18) 
R: largura: 30 cm e altura 45 cm. 
 
 
COLABORE! 
Algumas perguntas chave ligadas às aulas dessa semana merecem sua atenção. O que acha de 
discuti-las com os seus colegas? 
 Quais foram as principais técnicas de limtes estudadas até o momento? Por que é importante 
estudar limites e onde podemos aplicar o conceito de limites? 
 Como podemos definir a derivada de uma função? Quais são as principais técnicas de derivação 
estudadas? Onde podemos aplicar o conceito de derivada? 
 
4
47
a
4
2
a
 
 
 
 
62 
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 
 
Atividade prática A - Revisão de limites: 
 
1.º ) Avalie os limites a seguir, usando os métodos estudados: 
 
a) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒
 (𝒙𝟐 − 𝟑 + 𝟐) 
b) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒
𝑥2+2𝑥−24
𝑥−4
 
c) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
4𝑥5−𝑥²
𝑥²
 
d) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟗
𝑥2+5𝑥−36
𝑥+9
 
e) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→ 𝟑/𝟒
8𝑥2−26𝑥+15
4𝑥−3
 
f) 𝐥𝐢𝐦 (
7𝑥2−10𝑥+3
𝑥−1
+
2−7𝑥
𝑥+1
)
𝒙→𝟏
 
g) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐
𝑥3+8
𝑥+2
 
h) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟗
2𝑥3−7𝑥2−33𝑥+18
𝑥2−9
 
i) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟗
𝑥−9
√𝑥−3
 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
4x2
2x
lim
2x 


2x
4x
lim
4x 


x42
x
lim
0x 
x22
x
lim
0x 
1x
x32
lim
1x 


11x
x
lim
0x 
2x
3x21
lim
4x 


 
 
 
 
63 
 
Respostas: 
a) 6 
b) 10 
c) -1 
d) -13 
e) -7/2 
f) 3/2 
g) 12 
h) -21/2 
i) 6 
j) 0 
k) 4 
l) 4 
m) 2√𝟐 
n) -1/4 
o) 2 
p) 4/3 
 
2.º) Seja a função definida por partes, f(x) abaixo, determine: 
 
𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥³ ; 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−10; 𝑠𝑒 𝑥 = −1
4 − 𝑥3; −1 < 𝑥 < 2
6 − 5𝑥; 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
 
a) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟑
 𝒇(𝒙) 𝒃) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏𝟏
 𝒇(𝒙) 𝒄) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏
 𝒇(𝒙) d) 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
 𝒇(𝒙) 
 
Respostas: 
a) 31 b) -49 c) 5 d) -4 
 
3.º) O gráfico a seguir representa uma função de em . Determine: 
f ]9 ,6[

 
 
 
 
64 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) = 
 
f) = 
g) as raízes da função f 
 
 
 
Solução: 
a) 
b) 2 
c) 5 
d) Não existe o limite pedido, pois: 
e) 
f) 
g) Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f. 
 
4.º) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume 
V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. 
Observando a figura a seguir, determine: 
a) b) c) 
)2(f
)(lim
2
xf
x 
)(lim
2
xf
x 
)(lim
2
xf
x
)2(f
)7(f
3)2( f


)(lim
2
xf
x


)(lim
2
xf
x
)(lim
2
xf
x 

)(lim
2
xf
x 
0)2( f
0)7( f
V
p 100
lim V
p 100
lim V
p 100
lim

 
 
 
 
65 
 
Solução: 
a) = 0,8 
b) = 0,4 
c) Não existe o limite pedido, pois: 
5.º ) Avalie os limites a seguir, usando os métodos estudados: 
 
a) Resposta: 
b) Resposta: 
c) Resposta: 
d) Resposta: 
e) Resposta: 
f) Resposta: 
g) Resposta: 
h) Resposta: 2 
i) Resposta: 0 
j) Resposta: 1/3 
V
p 100
lim
V
p 100
lim
V
p 100
lim

V
p 100
lim
)1x2x3x5(lim 23
x


 
)1x2xx2(lim 245
x


 
)1x2x3(lim 24
x


 
)8x5x3(lim 24
x


 
)2x3x5(lim 3
x


 
)2x3x(lim 2
x


 
3xx
1xx3x2
lim
2
23
x 


 
1x
1x2
lim
2
2
x 


3x
x3
lim
2x 
3xx5x9
1x2x5x3
lim
23
23
x 


 
 
 
 
66 
k) Resposta: 0 
l) Resposta: 
m) Resposta:1/3 
n) Resposta: 9/8 
o) Resposta: 1 
p)