captulo I - esttica dos pontos materiais

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Capítulo 1
Estática dos 
Pontos Materiais
Mecânica Geral
Copyright (c) 2010 
by John Wiley & Sons, Inc
Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM
Mecânica Geral
I. L. Ferreira, N. Medeiros
Decomposição de
forças com auxílio
de vetores unitários.
1.1 Introdução
� Força:
� É a ação de um corpo sobre outro;
Força
Ponto de Aplicação
Intensidade
Direção
Sentido
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
� Ponto Material:
�Conceito abrangente que não se restringe à pequenas 
partes do sólido considerado;
Sentido
Força Solução
(Sólido)
Independe das Independe das 
dimensões e 
forma do sólido
� Forças atuantes tem o mesmo ponto de aplicação;
1.2 Intensidade, Direção e Sentido da Força
� Intensidade de uma Força:
� Definida por um número de unidades;
Ex: Newton, kilograma-força, grama-força e dina.
� Direção de um Força:
� Definida pela linha de ação, a qual é a reta ao longo do 
qual a força atua, formando um dado ângulo com 
qualquer eixo;
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
qualquer eixo;
� A força é representada por um segmento da linha de 
ação, cujo comprimento fornece sua intensidade; 
� Sentido de uma Força:
� Representado por uma seta. O sentido oposto de duas 
forças pode produzir efeitos contrários sobre o ponto 
material ainda tenha a mesma direção e intensidade; 
1.2 Intensidade, Direção e Sentido da Força
α
Linha de ação
Eixo α
Linha de ação
Eixo



 direção Mesma
eintensidad Mesma
, 21 FF
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
A≡ Ponto material A≡ Ponto material





 direita a para e cima Para :SENTIDO
 (eixo) horário-anti sentido no medidos graus :DIREÇÃO
 segumento do oCompriment :EINTENSIDAD
1 αF





 esquerda a para e baixo Para :SENTIDO
 (eixo) horário-anti sentido no medidos graus :DIREÇÃO
 segumento do oCompriment :EINTENSIDAD
2 αF
1.3 Escalares e Vetores
� Escalar:
� Quantidade física representada por um número;
Ex.: Massa [kg], comprimento [m] e volume [m3].
� Vetor:
� Quantidade física que possui intensidade e direção;
Ex.: Força, momento e direção. 
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Operações com Vetores
� Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar:
� A multiplicação de um vetor A por um escalar a resulta 
num vetor aA definido como o vetor intensidade |aA|;
� Para escalar a positivo: Sentido de aA é o mesmo de A;
� Para escalar a negativo: Sentido de aA é oposto a A;
� A divisão de um vetor A por um escalar a segue as leis 
da multiplicação, ou seja, .( )AA aa 1=
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
da multiplicação, ou seja, .( )AA aa 1=
� Exemplos de operações de escalar com vetores:
1.4 Operações com Vetores
� Adição entre dois Vetores:
� Considere os vetores A e B;
� Adição pela regra do paralelogramo: União entre os 
vetores e suas origens obtendo um vetor resultante
R = A + B a partir de retas paralelas construídas em um 
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
R = A + B a partir de retas paralelas construídas em um 
ponto comum de interseção dos vetores, formando um 
paralelogramo.
R = A+B
1.4 Operações com Vetores
� Adição entre dois Vetores:
� Adição pela regra do triângulo: O vetor B é somado ao 
vetor A unido-se as a origem de A à extremidade de B. 
Assim, o vetor resultante R é dado por: 
R = A+B
� Pode-se obter o vetor resultante R adicionando-se A e 
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
� Pode-se obter o vetor resultante R adicionando-se A e 
B, 
R = A+B
1.4 Operações com Vetores
� A adição de vetores é comutativa: Os vetores A e B
podem ser somados em qualquer ordem, 
ABBAR +=+=
� Adição entre três ou mais Vetores:
� Considere os vetores A, B e C. A soma entre estes
vetores e realizada em duas etapas. Primeiramente,
realiza-se a soma entre A e B e, em seguida, o vetor C é
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
realiza-se a soma entre A e B e, em seguida, o vetor C é
adicionado a resultante R1 = A+B. Esta configuração
fornece um segundo vetor resultante R2 = R1 + C = A + B
+ C;
1.4 Operações com Vetores
� Geralmente a adição de três ou mais vetores não-
coplanares requer a regra do paralelogramo.
Entretanto, para vetores coplanares, utiliza-se a regra
do triangulo, conforme mostrado anteriormente;
� O exemplo anterior poderia ser resolvido numa única 
etapa a partir da regra do polígono, ou seja,
A ordem que os 
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
A ordem que os 
vetores são somados 
não altera o resultado!
A adição vetorial entre 
três vetores é 
associativa!
1.4 Operações com Vetores
� Para vetores colineares, ou seja, na mesma linha de
ação;
A B
R = A + B
� Subtração entre Vetores:
� É um caso particular da adição de vetores, no qual o
vetor resultante é expresso por,
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
vetor resultante é expresso por,
( ) BABAR −=−+=′
� Na subtração vetorial são válidas as regras do 
paralelogramo e do triângulo, 
1.4 Operações com Vetores
� Regra do Paralelogramo;
A
-B
� Regra do Triangulo;
-B
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
� Na subtração vetorial são válidas as regras do 
paralelogramo e do triângulo, 
A
-B
1.4 Operações com Vetores
� Regra do Paralelogramo: A lei do paralelogramo
permite a decomposição de um vetor R em dois
componentes desde que tenham linha de ação e
direção conhecidos. Desta forma,
a a
A
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
b b
A
B
Após a 
decomposição
1.4 Forças
� Decomposição de uma força em componentes:
� A composição e a decomposição de forças é realizado 
segundo os seguintes critérios; 
Duas ou mais forças Resultante (Produz mesmo efeito)
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
Componentes
Uma única força
Decomposição
Duas ou mais forças 
(Mesmo efeito sobre o 
ponto material)
� A decomposição apresenta dois casos de interesse. 
1.4 Forças
� Decomposição de uma força em componentes:
� Um componente é conhecida: Aplica-se a regra do 
triângulo para a determinação da outra componente; 
F
Intensidade
e
Direção
Métodos Gráficos
ou
Relações Trigonométricas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
F
1.4 Forças
� Ex.: Um automóvel é puxado por meio de duas cordas no 
ponto A. Considerando-se que a resultante das forças é 
paralela ao eixo do carro, determine: 
a) A tração em cada corda para que α = 30o; 
b) O valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima. 
Solução: Esquema geral do problema: 
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
α
20o
eixoA
1.4 Forças
a) A tração em cada corda para que α = 30o; 
Pela lei do triângulo utilizando a solução trigonométrica, 
tem-se,
α
T2
R = 1500 N
20o
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
Utilizando a lei dos senos, 
( )50180sin
1500
20sin30sin o
2
o
1
−
==
TT
( ) N 06.97950180sin
30sin.1500 o
1 =
−
=T
( ) N 71.66950180sin
20sin.1500 o
2 =
−
=T
1.4 Forças
b) O valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima. 
As possibilidades para T2 são:
R = 1500 N
T2
20o α
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
Utilizando a lei dos senos, 
R = 1500 N
T2
20o α ooo 701809020 =∴=++ αα
N 03.51320sin.1500 o2 ==T
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
y
� Vetores Unitários:
� Uma dada força F pode ser decomposta em suas
componentes vetoriais Fx e Fy, utilizando-se a regra do
paralelogramo da seguinte forma,F
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
θ
x
xF
yF
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Vetores Unitários:
� Entretanto, as componentes vetoriais são obtidas pelo
produto entre dois escalares, ou seja, Fx e Fy
denominados de componentes escalares de F, e os
respectivos vetores unitários i e j. Desta forma,
y
Quando Fx,y tem 
sentidos oposto de i
F
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
θ
x
jF yy F=
yx FFF +=
jiF yx FF +=
iF xx F=
iF xx F=
Quando Fx,y tem o 
mesmo sentido de i e 
j
iF xx F−=
sentidos oposto de i
e j
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Vetores Unitários:
� Uma vez conhecidas a intensidade F da força F e o
ângulo θ, as componentes escalares Fx e Fy são
calculadas de acordo com as expressões,



=
=
θ
θ
sin
cos
FF
FF
y
x
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais

1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Ex.: Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. 
Determine as componentes vertical e horizontal da força, 
conforme esquema abaixo: 
35o
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
Solução: Basta compor através da resultante e da direção as 
componentes da força em x e y, logo 
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
35o
yF
xF
j
i
x− x
y
i−
O módulo das componentes da força em x e y são,
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
N 32.65535cos80035cos −=−=−= FFx
N 86.45835sin80035sin === FFy
As componentes da força em x e y são,
iF 32.655−=x jF 86.458=ye
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Adição de Forças no Plano:
� Considere o caso de várias forças concorrentes
atuando sobre o ponto A,
P
S
P
S S,j
P,i
P,j
R,j
R,i
R,j R
θ
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
Analisando algebricamente as componentes da força,
ou
A
S
Q
A
Q
S,i
P,i Q,i
Q,j
R,i
AR,iA
θ
44 344 2144 344 21
y
jyjyjy
x
ixixixyx ,,,,,, SQPSQPRRR +++++=+=
( ) ( )jSQPiSQPRRR yyyxxxyx +++++=+=
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
e
� Adição de Forças no Plano:
xxxx SQPR ++= yyyy SQPR ++=
logo,
exx RF =∑ yy RF =∑
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Equilíbrio de um ponto material:
� O equilíbrio de um dados ponto material ocorre quando
a resultante das forças atuantes é nula.
F4=1000 N
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
Solução: Gráfica e algébrica mostrada a seguir. 
F1=1500 N
30o F2=866 N
F3=1000 N
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Resolvendo graficamente,
F1=1500 N
30o F =866 NF3=1000 N
F4=2000 N
F1
F2
F3
F4
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
30o F2=866 NF3=1000 N
F3
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Resolvendo algebricamente tem-se,
F1=1500 N
30o F2=866 NF3=1000 N
F4=2000 N
F1
30o F2
F3
F4 F4,j
F4,i
F3,i
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
F3,j
0=∑ xF
Equacionando o equilíbrio para x e y,
05.020005.01000150030sin30sin o3o41 ≅−−=−−=∑ xxFFFFx
0=∑ yF
003.86686605.173230cos30cos o32o4 ≅−−=−−=∑ FFFFy
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Forças no Espaço:
� Considere a força F aplicada na origem O de um
sistema de coordenadas cartesiana x, y e z. A direção
de F é dada após a obstrução do plano OBAC, no plano
xy, cuja orientação é determinada pelo ângulo φ.
y y
hF
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
x
φ
z
θy F
hF
x
φ
z
yF
zF
xFOO
B
A
C
B
D
CE
D
E
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Forças no Espaço:
� A força F tem direção definida por θy e pode ser
decomposta em componentes escalares Fy (vertical) e
Fh (horizontal) de forma que,
yy FF θcos= e yh FF θsin=
Além disso para a componente escalar Fz, tem-se
φcosFF = e φsinFF =
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
φcoshx FF = e φsinhz FF =
o que resulta em,
φθ cossin yx FF = e φθ sinsin yz FF =
Aplicando o teorema de Pitágoras sobre AOB e OCD, logo
222
zxh FFF += e 222 yh FFF +=
Resumindo,
222222
zyxyh FFFFFF ++=+=
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Desta forma, o módulo de F será,
Resumindo,
222222
zyxyh FFFFFF ++=+=
222
zyx FFFF ++=
A relação entre F e suas componentes vetoriais passa a ser 
compreendida pela visualização dos cossenos diretores θx, 
θ e θ .
zF
yF
xF
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
x
θy e θz.
xθx
z
O
B
A
C
D
E
x
z
θy
O
B
C
D
E
F F
x
z
θz
O
B
A
C
D
xx FF θcos= yy FF θcos= zz FF θcos=
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Ainda, podendo ser expresso como,
kjiF zyx FFF ++=
� Introduzindo-se o conceito de vetor unitário,
( )kjiF zyxF θθθ coscoscos ++=
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Adição de Forças Concorrentes no Espaço:
� Pela decomposição da resultante R,
∑ ++== kjiFR zyx RRR
Podendo-se ainda escrever,
( ) ( ) ( )kjikjiR ∑∑∑ ++=++= zyxzyx FFFRRR
Desta forma, conclui-se que,
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
Desta forma, conclui-se que,
∑= xx FR , ∑= yy FR e ∑= zz FR
Além disso, o módulo da resultante, pode ser escrito como,
222
zyx RRRR ++=
E os cossenos diretores,
R
Rx
x =θcos , eR
Ry
y =θcos R
Rz
z =θcos
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Força definida por seu módulo de dois pontos de sua linha 
de ação:
� Em alguns casos, a direção de uma força é dada por
dois pontos M(x1,y1,z1) e N(x2,y2,z2) localizados sobre
sua linha de ação. y
N(x ,y ,z )
� O vetor MN, a partir de 
suas componentes
Vetor 
Unitário
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
x
z
O
F
M(x1,y1,z1)
N(x2,y2,z2)
dx = x2 - x1
dy = y2 - y1
λ
suas componentes
escalares é definido por: 
kjiMN zyx ddd ++=
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� O vetor unitário λ é obtido pela divisão entre MN e seu
módulo MN da seguinte forma,
� A força F é calculada da seguinte forma, 
( )kjiMNλ dzdydx
dMN
++==
1
( )kjiλF dzdydx
d
FF ++==
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
� E suas componentes escalares, 
222
zyx dddd ++=
d
dFF xx = d
d
FF yy = d
dFF zz =
onde,
, e
, )( 12 xxd x −= , )( 12 yyd y −= )( 12 zzd z −=e
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Assim, podem ser calculadas as componentes escalares de F
e respectivos cossenos diretores da seguinte forma,
d
d x
x =θcos , ed
d y
y =θcos d
d z
z =θcos
onde θx, θy e θz representam os ângulos formados entre F e 
os eixos de coordenadas x, y e z.
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
� Ex.: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado
por meio de um parafuso em A. A tração no cabo é de 2500 N.
Determinar: ( a ) as componentes Fx, Fy, e Fz da força que
atua sobre o parafuso, (b) os ângulos, θx, θy e θz que define a
direção da força.
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
30 m
40 m
80 m
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
a. Componentes da força: A linha de ação da força que atua
sobre o parafuso passa por A e B e está orientada de A para
B. As componentes do vetor AB, que tem a mesma direção
da força.
m 40−=xd , e m 30=zdm 80=yd
( ) m 34.94308040 222222 =++−=++= dddd
Logo a distância total AB pode ser calculada da forma,
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
( ) m 34.94308040 222222 =++−=++= zyx dddd
Designando por i, j e k os vetores unitários ao longo dos 
eixos de coordenadas, tem-se,
kjikjiAB 308040 ++−=++= dzdydx
Introduzindo o vetor unitário,
( ) ( ) N 79521201060308040
34.94
2500 kjikjikjiλF++−=++−=++== dzdydx
d
FF
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
As componentes de F são,
N 1060−=xF N 2120=yF N 795=zF, e
b. Direção da Força: Os cossenos diretores são calculados
da seguinte forma,
424,0
2500
1060
cos −≅
−
==
F
Fx
xθ e
009.115=xθ
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
2500F
e848,0
2500
2120
cos ≅==
F
Fy
yθ
318,0
2500
795
cos ≅==
F
Fz
zθ
001,32=yθ
e 046,71=zθ
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
A representação geométrica dos cossenos diretores,
θy
y
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
θx
θz x
z
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
� Condição de Equilíbrio para um Ponto Material:
� A resultante de todas as forças atuantes sobre o ponto
material é nula. Desta forma,
0=∑ xF ,
� Solução para Problemas Envolvendo Equilíbrio 3D
0=∑ yF e 0=∑ zF
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
Diagrama de 
Corpo-Livre
•Identificação das 
Forças Atuantes 
sobre o Ponto 
Material
Equações de 
Equilíbrio
•Balanço de Forças
•Momento
Determinação 
das Incógnitas
•Componentes 
Espaciais da Força
•Módulo das Forças 
Espaciais com 
Direção Conhecida
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
� Ex.: Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois
cabos, AB e AC, amarrados ao topo de uma parede vertical.
Uma força H horizontal e perpendicular a parede, mantém o
peso na posição ilustrada. Determinar a intensidade de H e a
tração em cada cabo. C
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
12 m
1,2 m
H
2 m200 kg
B
A
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
Solução: O ponto A é escolhido como corpo-livre, este ponto
está submetido a quatro forças, três das quais têm módulo
desconhecido. Introduzindo os vetores unitários i, j e k a
força é decomposta em cada uma das componentes
cartesianas, logo
TAC
( )N 2,19619,806200 jjP =−=−= xgm 12 m
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1,2 m
HP
i
j
k
λAC
λAB
TAC
TAB
A
O 2 m
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
No caso de TAB e TAC faz-se necessário determinar as
componentes e os módulos dos vetores AB e AC. O vetor
unitário λAB o vetor unitário segundo AB.
[ ]m 8102,1 kjiAB ++−= então, [ ]m 86,128102,1 222 ≅++=AB
Desta forma, o vetor unitário será,
kjiABλ 622,0778,00933,0 ++−==
ABAB
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
kjiλ 622,0778,00933,0 ++−==
ABAB
Escrevendo TAB em função do vetor unitário λAB ,
kjiλTAB ABABABABAB TTTT 622,0778,00933,0 ++−==
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
Determinando o vetor unitário λAC segundo AC.
[ ]m 10102,1 kjiAC −+−= então, [ ]m 19,1410102,1 222 ≅++=AC
Desta forma, o vetor unitário será,
kjiACλ 705,0705,00846,0 −+−==
ACAC
Escrevendo TAC em função do vetor unitário λAC ,
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
kjiλTAC ACACACACAC TTTT 705,0705,00846,0 −+−==
� Condição de Equilíbrio no ponto A,
0=∑F
Desta forma,
0=+++ PHTT ACAB
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
Escrevendo os vetores,
( )
( )
( ) 02,1961
705,0705,00846,0
622,0778,00933,0
=−+
+−+−
+++−
ji
kji
kji
H
TTT
TTT
ACACAC
ABABAB
Escrevendo os vetores em termos de suas componentes i, j e 
k nos respectivos eixos,
∑
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
0=∑ xF
0=∑ yF
0=∑ zF
00846,00933,0 =+−− HTT ACAB
02,1961705,0778,0 =−+ ACAB TT
0705,0622,0 =− ACAB TT
N 83,1400≅ABT , N 96,1235≅ACT e N 26,235≅H