Transferência de Calor- Cap. 4

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4. FUNDAMENTOS DA CONDUÇÃO TRANSIENTE 
 
O estudo de problemas com a abordagem da condução de calor 
transiente levará em consideração os problemas de transferência de calor 
dependentes do tempo. Esses problemas transientes acontecem, via de regra, 
quando as condições de contorno se alteram. Um exemplo clássico se daria 
quando um lingote metálico quente que é removido de um forno e exposto a 
uma corrente de ar frio. A energia se transfere, pela convecção e pela radiação, 
através da sua superfície, para o ambiente. A transferência condutiva de calor 
também ocorre do interior do metal para a superfície, e a temperatura em cada 
ponto do lingote diminui até que se atinja o equilíbrio, a condição permanente. 
Para avaliar o comportamento da temperatura no interior do lingote, de maneira 
simplificada, é utilizado o método da Capacitância Global ou análise Global do 
Sistema. 
 
4.1. METODO DA CAPACITÂNICA GLOBAL OU ANALISE GLOBAL DO 
SISTEMA 
 
 Considerando um sólido de forma arbitrária, com volume V, área A, 
condutividade térmica Ks, densidade ρ, calor específico Cp, a uma temperatura 
uniforme T0, que é repentinamente imerso, no instante t = 0, em um fluido 
agitado e mantido a uma temperatura uniforme T∞, conforme figura 4.1..Se o 
resfriamento começa no instante t = 0, a temperatura do sólido diminui com t 
>0, até que atingir o valor de T∞. Essa redução se deve ao coeficiente de 
transferência de calor por convecção na interface sólido-líquido. A essência do 
método da capacitância global é a hipótese da temperatura do sólido ser 
espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. 
Essa hipótese admite que os gradientes de temperatura, no interior do sólido, 
sejam desprezíveis. 
 
 
Figura 4.1 Nomenclatura para análise global 
 
 Fazendo um balanço de energia global no sólido, relacionando a taxa de 
perda de calor na superfície e a taxa de variação da energia interna do sólido, 
tem-se: 
 
As equações matemáticas apropriadas para cada termo são: 
 
 
Ou 
 
Sujeita à condição inicial: 
 
 
Para análise adimensional defini-se a temperatura θ(t) como: 
 
 
Reescrevendo a equação 4.2, tem-se: 
 
 
 
Um gráfico que demonstra a solução da equação acima é: 
 
 
 
Resolvendo a equação e fazendo a separação das variáveis, para as 
condições de contorno a dotadas, tem-se a solução geral da equação 
diferencial ordinária: 
 
 
Aplicando-se a condição inicial(4.4b), verificamos que C=θ0, então: 
 
 
 
Para estabelecer alguns critérios onde a distribuição de temperatura possa ser 
considerada uniforme no interior do sólido e, portanto garantir a aplicabilidade 
da análise global, definimos uma comprimento característico Ls, como: 
 
 
 
E o número de Biot, (Bi): 
 
Onde Ks é a condutividade térmica do sólido, e h o coeficiente convectivo de 
transferência de calor. 
Para sólidos que tenham a forma de parede plana, cilíndrica ou esférica, 
a distribuição de temperatura dentro do sólido, no regime transiente, em 
qualquer instante, seja considera uniforme, apresentará um erro menor que 5% 
se: 
 
 
Essa, portanto se configura na condição para aplicação da análise global do 
sistema. O significado físico do número de Biot é portanto na razão entre a 
convecção na superfície do sólido pela condutância específica do sólido em 
questão. 
 
 
 
O valor de m será: 
 
 
4.2. CONDIÇÃO DE CONTORNO MISTA 
 
Podemos estudar a aplicação desse método também quando aparte da 
fronteira estiver sujeita a convecção e a outra parte sujeita ao fluxo de calor, 
conforme figura 4.3. 
 
 
 
Assim consideramos que a placa de espessura L, inicialmente a 
temperatura uniforme T0. Para qualquer instante t > 0, fornece-se calor à placa 
através de uma de suas superfícies com uma taxa constante q w/m2, enquanto 
se dissipa calor por convecção pela outra superfície, com T∞ e h, conforme 
figura 4.3. 
Então fazendo o balanço de energia, admitindo área constante A em 
ambas as faces da placa temos: 
 
 
Coma a condição inicial: 
 
 
Admitindo a temperatura adimensional θ(t): 
 
 
 
Dessa forma escrever-se as equações. (4.12): 
 
 
 
Onde: 
 
 
A solução da equação 4.14a é a soma da parte homogênea com a solução 
particular dada por: 
 
 
 
Onde C é a constante de integração, e a solução particular é dada por: 
 
 
 
Combinando, portanto a equação 4.16 e 4.17: 
 
 
A constante C é determinada aplicando a condição inicial: 
 
 
Manipulando as equações 4.19 e 4.18, obtem-se a solução do problema: 
 
Quando t =>∞ está solução simplifica-se em: 
 
 
 
 
 
 
4.3 EMPREGO DE CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTES – PLACA 
 
 Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos 
sólidos não são desprezíveis, e não é aplicável análise global do sistema. 
Neste caso, a análise dos problemas da condução de calor envolve a 
determinação da distribuição da temperatura no interior dos sólidos em função 
do tempo e da posição, tornando-se mais complexo. Vários são os métodos 
usados para resolução desses tipos de problemas de condução de calor. 
Apresentaremos o equacionamento e a modelagem adequada para aplicarmos 
às cartas de temperatura transientes. Então a formulação matemática desse 
problema de condução de calor, dependente do tempo, com a geometria e 
condições de contorno apresentado na figura 4.4 é: 
 
 
 
 
Fazendo a devida adimensionalização das equações acima: 
 
 
 Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas eqs. 
(4.22) e (4.24), concluímos que o número de parâmetros independentes que 
afetam a distribuição de temperatura no sólido reduz-se significativamente 
quando se exprime o problema na forma adimensional, pois, no problema da 
eq. 4.22 temos oito variáveis dependentes: x,t,L,K,α,h,Ti,T∞, enquanto que no 
problema descrito pela eq. 4.24 se tem somente três parâmetros dependentes: 
X,Bi,τ. 
 Assim, fica evidente que ao tratarmos o problema na forma adimensional 
o número de parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se 
significativamente, facilitando o estudo dos problemas. 
 
Carta de temperatura transiente para placa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 EMPREGO DE CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTES – 
CILINDRO LONGO E ESFERA 
 
 O equacionamento para um cilindro longo pode ser colocado da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
A figura 4.7 e 4.8 trata da distribuição de temperatura e o calor transferido para 
o caso do estudo da condução de calor no interior de um cilindro longo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O equacionamento para uma esfera pode ser colocado da seguinte forma: 
 
 
 
A figura 4.9 e 4.10 trata da distribuição de temperatura e o calor transferido 
para o caso do estudo da condução de calor no interior de uma esfera. 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
4.1 – Uma esfera sólida de cobre de 10 cm de diâmetro ( ρ = 8954 kg/m3, Cp = 
383 J/kg ºC, k = 386 w/m ºC), inicialmente a uma temperatura uniforme Ti = 
250º C, é respectivamente imersa em um fluido bem agitado, que é mantido a 
uma temperatura T∞ = 50º C. O coeficiente de transferência de calor entre a 
esfera e o fluido é h = 200 w/m2 ºC. (a) Verifique se é possível aplicar a análise 
global do sistema. (b) Se for possível Determinar a temperatura do bloco de 
cobre em t = 5,10,20 minutos depois da imersão. Resp. (b) 120ºC; 
74,5ºC;53ºC. 
 
4.2 – Empregando a análise global do sistema, determine o tempo necessário 
para que uma esfera maciça de aço, com diâmetro D = 5 cm com (ρ = 7833 
kg/m3, Cp = 0,465 KJ/kg ºC, k = 54 w/m ºC), esfrie de 600ºC até 200ºC quando 
exposta a uma corrente de ar a 50ºC tendoum coeficiente de transferência de 
calor h =100 w/m2 ºC. Resp. 6 min. 34 seg. 
 
4.3 – Uma barra de aço (ρ = 7800 kg/m3, cp = 0,5 KJ/kg ºC, k = 50 w/m ºC), de 
diâmetro D = 5 cm deve ser recozida mediante resfriamento lento de Ti = 800ºC 
até 120ºC, em um ambiente a T∞ = 50ºC. Se o coeficiente de transferência de 
calor entre o ar ambiente e a superfície da barra for h = 45 w/m2 ºC. Determine 
o tempo necessário para o recozimento. Resp. 42 min.49 seg. 
 
4.4 – Uma placa de cobre, com 2 cm de espessura, (ρ = 8954 kg/m3, Cp = 
0,383 KJ/kg ºC, k = 386 w/m ºC), está inicialmente a T0 = 25ºC. Em t > 0, ela 
está sujeita a um fluxo de calor q = 8000 w/m2 em uma de suas superfícies e é 
resfriada por convecção pela outra superfície, com um coeficiente de 
transferência de calor h = 200 w/m2 ºC num ambiente a T∞ = 25ºC. Usando a 
análise global, desenvolva uma expressão da temperatura transiente T(t) na 
placa. 
 
4.5 – Uma laranja com 10 cm de diâmetro está inicialmente a uma temperatura 
uniforme de 30ºC e é colocada em um refrigerador em que a temperatura do ar 
é de 2º C.Se o coeficiente de transferência de calor entre o ar e a superfície da 
laranja for h = 50 w/m2 ºC. Determine o tempo necessário para que o centro da 
laranja atinja a 10º C. admita que as propriedades térmicas da laranja são as 
mesmas que a da água na mesma temperatura, α = 1,4 x 10-7 m2/s e k = 0,59 
w/m ºC. Resp. 1 h 32 min. 
 
4.6 – Uma salsicha comprida [α = 1,6x10-7 m2/s e k = 0,5 W/(m. ºC)] com 
diâmetro D = 2cm inicialmente a uma temperatura uniforme 7oC, é mergulhada 
repentinamente em água fervente a T∞ = 100º C. O coeficiente de 
transferência de calor entre a água e a superfície é h = 150 W/(m2. ºC). A 
salsicha está cozida quando sua temperatura central atinge 80º C. Quanto 
tempo vai ser preciso para que a temperatura no centro da salsicha atinja 80º 
C? Resp. 8 min. 20 seg. 
 
4.7 – Uma batata com 6 cm de diâmetro, inicialmente na temperatura uniforme 
20º C, é mergulhada de repente na água a 100ºC. O coeficiente de 
transferência de calor entre a água e a superfície é h = 6.000 W/(m2. ºC). As 
propriedades termo físicas da batata podem ser tomadas como as da água [α = 
1,6x10-7 m2/s e k = 0,68 W/(m. ºC)]. Determine o tempo necessário para que a 
temperatura no centro da batata atinja 95º C e determine a energia transferida 
para a batata durante este tempo. Resp. 33min; 37,8 kj. 
 
4.8 – Uma esfera maciça de alumínio [α = 8,4x10-5 m2/s e k = 204 W/(m. ºC)] , 
de diâmetro D = 10 cm, está inicialmente a Ti = 2500C. Repentinamente ela é 
imersa em um banho agitado a T∞ = 80º C. O coeficiente de transferência de 
calor entre o fluido e a superfície é h = 1.000 W/(m2. ºC). Quanto tempo vai 
passar para que o centro da esfera se resfrie ate 100º C? Resp. 80,4 seg. 
 
4.9 – Considere uma placa de 10 cm de espessura, um cilindro de 10 cm de 
diâmetro e uma esfera de 10 cm de diâmetro todos de aço [α = 1,6x10-5 m2/s e 
k = 61 W/(m. º C)] e inicialmente à temperatura uniforme Ti = 300º C. 
Repentinamente são imersos em um banho agitado a T∞ = 50º C. O coeficiente 
de transferência de calor entre a superfície e o fluido é h = 1.000 W/(m2. º C). 
Calcule o tempo necessário para que o centro da placa, o do cilindro e o da 
esfera se resfriem ate 80º C. Resp. 547, 266 e 188 seg.