EDO - listas de exercícios resolvidas

Prévia do material em texto

O objetivo desse material é auxiliá-los para uma melhor compreensão dos métodos 
vistos em sala de aula da disciplina de equações diferenciais ordinárias. 
Método das variáveis separáveis- Lista de exercícios resolvida 
1. 13  x
dx
dy 
 dxxdy 13  
   dxxdy 13 
Cxxy 
2
3 2 
yxxC 
2
3 2 
yxxC 
2
3 2 
 
 
2. 0 dyxdxy 
dyxdxy  
y
dy
x
dx
 
  y
dy
x
dx
 
Cyx  ||ln||ln 
||ln||ln yxC  
y
xC ln 
y
x
C ee
ln
 
y
xC  
 
 
3. 04  dy
y
xdxx 
y
dydx
x
x

4
 
  y
dydx
x
x
4
 
  Cyxx  ln4
3
248
3
 
  yxxC ln4
3
248
3
 
  yxxC ln3424243 3  
  yxxC ln342424 3  
 
 
4. 0sectansectan  dyxydxyx 
dyxydxyx sectansectan  
dy
y
ydx
x
x
sec
tan
sec
tan
 
dyydxx sinsin  
  dyydxx sinsin 
Cyx  coscos 
xyC coscos  
 
 
5.   011 222  dyxdxyx 
  dyxdxyx 222 11  
 
22
2
1
1
y
dydx
x
x



 
 




22
2
1
1
y
dydx
x
x
 
Cy
x
x  arcsin1 
y
x
xC arcsin1  
 
 
6.   01  dxydyx 
  dxydyx 1 
 1

x
dx
y
dy 
   1x
dx
y
dy 
Cxy  |1|lnln 
|1|lnln  xyC 
1
ln


x
yC 
1
ln
 x
y
C ee 
1

x
yC 
 1 xCy 
 
 
7. 2
2
1
1
x
y
dx
dy


 
22 11 x
dx
y
dy



 
  22 11 x
dx
y
dy 
Cxy  arctanarctan 
xyC arctanarctan  
 
 
8. x
dx
dy 5sin 
dxxdy 5sin 
  dxxdy 5sin 
Cxy  5cos
5
1 
 
 
9. 03  dyedx x 
dyedx x3 
dy
e
dx
x  3
 
  dye
dx
x3 
Cye x 3
3
1 
Cey x  3
3
1 
Cey x  3
3
1 
 
 
10.   61  x
dx
dyx 
   dxxdyx 61  
 
 
dx
x
xdy
1
6


 
 
  

 dx
x
xdy
1
6 
Cxxy  1ln5 
 
 
11. yyx 4' 
y
dx
dyx 4 
x
dx
y
dy

4
 
  x
dx
y
dy
4
 
Cxy  lnln
4
1 
xyC lnln 4
1
 
x
yC
4
1
ln 
x
y
C ee
4
1
ln
 
x
yC
4
1
 
4
1
yCx  
 4Cxy  
4Cxy  
 
 
12. 2
3
x
y
dx
dy
 
23 x
dx
y
dy
 
  23 x
dx
y
dy 
C
xy

1
2
1
2 
C
xy
2212  
Cxy   12 2 
 
 
13. 
x
yx
dy
dx


1
22
 
  dyy
x
dxx 2
2
1

 
 
Cyx
x

3
ln1
3
 
x
x
yC ln1
3
3
 
x
x
yC ln333 3  
x
x
yC ln333  
xxxyCx ln333  
Cxxyxx  3ln33 
 
 
14. yxe
dx
dy 23  
yx ee
dx
dy 23  
dxe
e
dy x
y
3
2  
  dxee
dy x
y
3
2 
Cee xy   32
3
1
2
1 
Cee xy 623 32   
Cee xy   32 23 
 
 
 
 dyy
x
dxx 2
2
1
 
 
15.     024 22  dxxyxdyyxy 
   dxxyxdyyxy 22 24  
   dxyxdyxy 22 24  
   22 42 x
dxx
y
dyy



 
     22 42 x
dxx
y
dyy 
Cxy  22 4ln
2
12ln
2
1 
Cxy 24ln2ln 22  
22 4ln2ln xyC  
2
2
4
2ln
x
yC


 
2
2
4
2ln
x
y
C ee 

 
2
2
4
2
x
yC


 
  22 24 yxC  
 
 
16.   dxxdyxy 12 
 1
2


x
dxxdyy 
   12 x
dxxdyy 
Cxxy  1ln2 
 
 
17. 
21ln 




 
x
y
dy
dxxy 
 
y
dyydxxx
2
2 1ln  
 



y
dyydxxx
2
2 1ln 
Cyyyxxx  ln2
29
ln
3
233
 
18.       00,cos1sin1  ycomdyxdxxe y 
    dyxdxxe y cos1sin1  
   1cos1
sin


  ye
dy
x
dxx 
 





 

 11cos1
sin
ye
dy
x
dxx 
 
 





 


y
y
e
e
dy
x
dxx
1cos1
sin 
  y
y
e
dye
x
dxx


 1cos1
sin 
    y
y
e
dye
x
dxx
1cos1
sin
 
Cex y  1lncos1ln 
xeC y cos1ln1ln  
   xeC yee cos11ln  
   xeC y cos11  
   0cos11 0  eC 
4C 
   xe y cos114  
 
 
19.   10,412  ycomdyydxxy 
1
4
2 

y
dyydxx 



1
4
2y
dyydxx 
Cyx  12 22 
12 22  yxC 
1102 22 C 
2C 
122 22  yx 
221 22  xy 
 
 
20.     14,14 2  xcomxdy
dx 
 dyxdx 14 2  
  dyx
dx

14 2
 
    dyx
dx
14 2
 
Cyx arctan
4
1
 
yxC  arctan
4
1
 
4
1arctan
4
1 
C 
444
1 
C 
16
3
C 
yx  arctan
4
1
16
3
 
yx 4arctan
4
3


 
4
34arctan  yx 





 
4
34tan)tan(arctan yx 





 
4
34tan yx 
 
 
21.   11,'2  ycomxyyyx 
xyy
dx
dyx 2 
 dxxyydyx 2 
 dxxydyx  12 
 dx
x
x
y
dy
2
1
 
 


 dx
x
x
y
dy
2
1 
Cx
x
y  ln1ln 
C
x
xy  1lnln 
C
x
xy  1ln 
x
xyC 1ln  
   
1
111ln

C 
1C 
11ln 
x
xy 








11ln xxy ee 








11
xexy 
 
 
22.   2y
dx
dyee xx   
  dxydyee xx 2  
 xx ee
dx
y
dy

2 
   xx ee
dx
y
dy
2 
  Ce
y
x  arctan1 
 
 
23. 2pp
dt
dp
 
 dtppdp 2 
  dtpp
dp

 2
 
    dtpp
dp
2 
Ct
p
p



1ln 
Ct
p
p

1
ln 
 Ctp
p
ee  1
ln
 
Ct ee
p
p

1
 
tCe
p
p

1
 
 
 
24. xyyx
dx
dy
1 
   xyx
dx
dy
 111 
   yx
dx
dy
 11 
    dxyxdy  11 
   dxxy
dy


1
1
 
 
   dxxy
dy 1
1
 
Cxxy 
2
1ln
2
 
 
 
25.   20,22  ycomyxxy
dx
dy 
   121  yyx
dx
dy 
   21  xy
dx
dy 
   dxxy
dy 2
1


 
 
   dxxy
dy 2
1
 
Cxxy  2
2
1ln
2
 
xxyC 2
2
1ln
2
 
02
2
012ln
2
C 
3lnC 
3ln2
2
1ln
2
 xxy 
xxy 2
2
3ln1ln
2
 
xxy 2
23
1ln
2

 










xxy
ee
2
23
1ln
2
 










 x
x
ey
2
2
2
3
1 










xx
ey
2
2
2
31 
13
2
2
2









 xx
ey 
 
 
 
26.    
4
0,0sin1cos   ycomdyyedxy x 
  dyyedxy x sin1cos  
  dyy
y
e
dx
x cos
sin
1

 
 
     dyy
y
e
dx
x cos
sin
1
 
Cye x  cosln1ln 
yeC x cosln1ln  
y
eC
x
cos
1ln  
4cos
1ln
0



eC 
2
2
2lnC 
22lnC 
y
e x
cos
1ln22ln  
y
e x
ee cos
1ln22ln

 
y
e x
cos
122  
  ye x sec122  
 
 
27.   00,
1
10
2 
 ycom
xdx
dy 
dx
x
dy 







1
10
2 
 





 dx
x
dy
1
10
2 
Cxy  arctan10 
xyC arctan10 
0arctan100 C 
0C 
0arctan10  xy 
xy arctan10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Homogêneas- Lista de exercícios resolvida. 
 
1.   0222  dyxydxyx 
      0222  xdvvdxvxxdxvxx 
 
     021 22  xdvvdxvdxvx    021 2  xdvvdxvdxv 
  0221 22  xvdvdxvdxv 
  0231 2  xvdvdxv 
  xvdvdxv 231 2  
 231
2
v
vdv
x
dx

 
   231
2
v
vdv
x
dx 
Cvx  231ln
3
1ln 
x
yv  
C
x
yx  2
231ln
3
1ln 
C
x
yx 331lnln3 2
2
 
C
x
yx 331lnln 2
2
3  
C
x
yxx 




 
2
22
3 3ln 
Cx
yxx
ee 







 
2
22
3 3ln
 
C
x
yxx 




 
2
22
3 3 
  Cyxx  22 3 
Cxyx  23 3 
 
 
    02 2222  xdvvdxvxdxvxx
2.     042  dyyxdxyx 
     042  vdxxdvvxxdxvxx 
      0412  vdxxdvvdxvx 
    0442 2  dxvxvdvvdxxdvdxv 
  0442 2  dxvxvdvvdxxdvdxv 
    041422 2  dvvxdxvv 
   dvvxdxvv 41422 2  
 
 dvvv
v
x
dx
2422
41


 
 
  

 dv
vv
v
x
dx
2422
41
 
Cvvx  2422ln
2
1ln 
x
yv  
C
x
y
x
yx  2
2422ln
2
1ln 
C
x
y
x
yx 2422lnln2 2
2
 
C
x
y
x
yx 2422lnln 2
2
2  
C
x
yxyxx 




 
2
22
2 422ln 
Cyxyx ee 
22 422ln
 
Cyxyx  22 422 
 
 
3.   022  dyxydxyx 
     0222  vdxxdvvxxdxxvx 
     01 22  vdxxdvvdxvx 
    01 2  vdxxdvvdxv 
  01 22  dxvxvdvdxv 
0 xvdvdx 
xvdvdx  
vdv
x
dx
 
  vdvx
dx 
Cvx 
2
ln
2
 
 
C
x
yx  2
2
2
ln 
C
x
yx 2ln2 2
2
 










C
x
y
x ee
2
2
2ln 
Cx
y
eex  2
2
2 
2
2
2 x
y
Cex  
 
 
 
4.   21,023 22  xeycomdyxydxyx 
     023 222  vdxxdvxvxdxvxx 
     0231 22  vdxxdvvdxvx 
    0231 2  vdxxdvvdxv 
  02231 22  dxvxvdvdxv 
  021 2  xvdvdxv 
  xvdvdxv 21 2  
 21
2
v
vdv
x
dx


 
  

 21
2
v
vdv
x
dx 
Cvx  21lnln 
 
C
x
yx 
2
21lnln 
C
x
y
x


2
21
ln 
x
yv 
x
yv 
C

2
22
11
2ln 
 
3
8lnC 
3
8ln
1
ln 2
2


x
y
x 
3
8ln1
ln
2
2 ee x
y
x


 
3
8
1
2
2


x
y
x 
2
218
3
x
yx  
x
x
y
8
31
2
2  
x
x
y
8
31 
 
 
5.   0 dyxdxyx 
    0 vdxxdvxdxxvx 
     01  vdxxdvdxvx 
    01  vdxxdvdxv 
  01  vdxxdvdxv 
0 xdvdx 
xdvdx  
dv
x
dx
 
  dvx
dx 
Cvx ln 
 
x
yv 
C
x
yx ln 
Cxyxx ln 
Cxyxx ln 
 
 
6.   02  dyxydxx 
   02  vdxxdvxxvdxx 
    02  vdxxdvvdxx 
   02  vdxxdvvdx 
022 2  dxvvdxxdvvxdvdx 
    0221 2  dvxvxdxvv 
   dvvxdxvv 221 2  
 
 221
2
vv
dvv
x
dx


 
 
  

 221
2
vv
dvv
x
dx
 
C
v
vvx 


1
121ln
2
1ln 2 
x
yv  
C
x
yx
y
x
yx 


1
121ln
2
1ln 2
2
 
C
x
xyx
yxyxx 222lnln2 2
22




 
C
xy
x
x
yxyxx 222lnln 2
22
2 



 
 
  Cyx
xyxyx 222ln 22 

 
 
 
C
yx
xyx 22ln 2 

 
 
 yx
yxCxyx



22ln2 
   yxCxyxyx  22ln2 
C
xy
x
x
yxyxx 222ln 2
22
2 






 
   yxCxyxyx  ln 
 
 
7.   022  dyxdxyxy 
     0222  vdxxdvxdxxxvvx 
     022  vdxxdvdxvvx 
    02  vdxxdvdxvv 
  02  vdxxdvdxvv 
02  xdvdxv 
xdvdxv 2 
2v
dv
x
dx
 
  2v
dv
x
dx 
C
v
x  1ln 
x
yv  
C
y
xx ln 
y
Cyxx ln 
Cyxxy ln 
Cyxxy ln 
 
 
8. 
xy
xy
dx
dy


 
   dxxydyxy  
   dxxxvdyxxv  
    dxvxvdxxdvvx 11  
    dxvvdxxdvv 11  
  012  dxvdxvvdxxdvxvdv 
    0112  dvvxdxv 
   dvvxdxv 112  
 
 1
1
2 


v
dvv
x
dx
 
 
  


1
1
2v
dvv
x
dx
 
Cvvx  arctan1ln
2
1ln 2 
x
yv  
C
x
y
x
yx 2arctan21lnln2 2
2
 
C
x
y
x
xyx 2arctan2lnln 2
22
2 

 
C
x
y
x
xyx 




  arctan2ln 2
22
2 
C
x
yxy  arctan2ln 22 
 
 
9.   0 dyxyxdxy 
    0 vdxxdvxvxxxvdx 
   0 vdxxdvvxxxvdx 
    01  vdxxdvvvdxx 
   01  vdxxdvvvdx 
0 vdxxdvdvvxdxvvvdx 
  01  dvvxdxvv 
 dvvxdxvv 1 
 
vv
dvv
x
dx 1
 
 



vv
dvv
x
dx 1
 
C
v
vx  2lnln 
x
yv  
C
x
yx
yx  2lnln 
C
x
yx
yx  2lnln 
C
x
yx
yx  2ln 
  2
2
2 2ln C
x
y
y 










 
22 4ln C
x
yy 
 
22 4ln C
y
xy  
yCxyy 22 4ln  
yCyyx 22ln4  
 22ln4 Cyyx  
 
 
10.  dyyxdxyx 332 32  
    vdxxdvvxxdxxvx  3332 32 
  vdxxdvvxdxvx  333 32 
  vdxxdvvdxv  332 
0332 34  vdxdvxvdxvxdvdxv 
   dvvxdxvv 34 3 
 
 vv
dvv
x
dx


 4
33 
 
  


vv
dvv
x
dx
4
33 
Cvvvvx  1ln
12
11ln
4
11ln
4
1ln 34 
x
yv  
C
x
y
x
y
x
y
x
yx  1ln
12
11ln
4
11ln
4
1ln 3
3
4
4
 
 
 
 
11. 
y
x
x
y
dx
dy
 
xy
xy
dx
dy 22 
 
 dxxyxydy 22  
    dxxvxvdxxdvxvx 222  
    dxvxvdxxdvvx 1222  
   dxvvdxxdvv 12  
  0122  dxvdxvxvdv 
  01  dxxvdv 
x
dxvdv  
  x
dxvdv 
Cxv  ln
2
2
 
x
yv  
Cx
x
y
 ln
2 2
2
 
Cx
x
y 2ln22
2
 
Cx
x
y





 ln2
2
 
 
 
12. y
x
yex
dy
dxy
2
4

 
dyyexydx y
x





 
2
4 
 vdxxdvxvexxvdx v 



 
2
4 
 vdxxdvvexxvdx v 



 
2
41 
 vdxxdvvevdx v 



 
2
41 
044
222 

vdxxdvdxevdvxvevdx vv 
dvvexdxev vv 



 
 222 414 
v
v
ev
dvve
x
dx
22
2
4
41







 
 
 






 

v
v
ev
dvve
x
dx
22
2
4
41
 
Cevx v 
2
8
1lnln 
x
yv  
Ce
x
yx y
x

2
8
1lnln 
Ce
x
yx y
x

2
8
1lnln 
Ce
x
yx y
x
8ln8
2
 
y
x
eCy
2
ln8  
y
x
eCy
2
ln8  
 
 
13. 0cot 










 xdydx
x
yxy 
  0cot 










 vdxxdvxdx
x
xvxxv 
      0cot  vdxxdvdxvvx 
     0cot  vdxxdvdxvv 
   0cot  vdxxdvdxvv 
  xdvdxv cot 
 v
dv
x
dx
cot
 
   v
dv
x
dx
cot
 
Cvx  seclnln 
x
yv  
C
x
yx  seclnln 
C
x
yx  seclnln 
C
x
y
x

sec
ln 
Cx
y
x
ee 
sec
ln
 
C
x
y
x

sec
 
C
x
yx cos 
 
 
14.   022  xydydxyxyx 
      0222  vdxxdvxvxdxvxxvxx 
     01 22  vdxxdvvdxvvx 
    01 2  vdxxdvvdxvv 
  01 22  dxvxvdvdxvv 
  xvdvdxv 1 
 v
vdv
x
dx



1
 
  


v
vdv
x
dx
1
 
Cvvx  1lnlnx
yv  
C
x
y
x
yx  1lnln 
C
x
y
x
yxx  lnln 
C
x
y
x
yx
x


ln 
C
x
y
yx
x


2
ln 
C
x
y
yx
x
ee
 
2
ln
 
Cx
y
ee
yx
x


2
 
x
y
Ce
yx
x 


2
 
  x
y
Ceyxx

2 
 
x
y
Ce
yxx 2 
x
y
eCxyx 2 
 
 
15.   21,332  yxy
dx
dyxy 
 dxxydyxy 332  
    dxxvxvdxxdvvxx 33322  
    dxvxvdxxdvvx 13323  
   dxvvdxxdvv 132  
  01332  dxvdxvdvxv 
dvxvdx 2 
dvv
x
dx 2 
  dvvx
dx 2 
Cvx 
3
ln
3
 
x
yv  
C
x
yx  3
3
3
ln 
C
x
yx  3
3
3
ln 
C

 3
3
13
21ln 
3
8
C 
3
8
3
ln 3
3

x
yx 
3
8
3
ln3
3
33


x
yxx
 
8
ln3
3
33


x
yxx
 
333 8ln3 xyxx  
 
 
16.   21,32 22  yyxy
dx
dyx 
 dxyxydyx 22 32  
    dxvxxvxvdxxdvx 222 32  
    dxvvxvdxxdvx 222 32  
   dxvvvdxxdv 232  
  0322 2  dxvvvdxxdv 
  xdvdxvv 22  
 vv
dv
x
dx


 2
2
 
   vv
dv
x
dx
2
2
 
C
v
vx 


1
ln2ln 
x
yv  
C
xy
yx 







2
lnln 
x
xy
yC lnln
2







 
  C
x
xy
y

2
2
ln 
 
C
xyx
y

 2
2
ln 
 
 
C


2
2
121
2ln 
4lnC 
 
4lnln 2
2

 xyx
y
 
  4ln
ln
2
2
ee xyx
y
 
 
42
2

 xyx
y
 
 22 4 xyxy  
 24 xyxy  
 xyxy  2 
xxxyy 
2
 
2
3
2
1
2
xyxy  
 
 
 
17.   01,0 




  ydyxedxyex x
y
x
y
 
dyxedxyex x
y
x
y





  
 vdxxdvxedxxvex x
xv
x
xv




  
   vdxxdvxedxvex vv 1 
   vdxxdvedxve vv 1 
  01  dxvedvxedxve vvv 
dvxedx v 
dve
x
dx v 
  dvex
dx v 
Cex v ln 
x
yv  
Cex x
y
ln 
Cex x
y
ln 
Ce  1
0
1ln 
1C 
1ln  x
y
ex 
1ln  x
y
ex 
 
 
18.       11,43 22  ydyxyxdxxyy 
      vdxxdvxvxxdxxvxvx  222 43 
    vdxxdvvxdxvvx  43 222 
    vdxxdvvdxvv  432 
  0443 22  vdxxdvdxvxvdvdxvv 
 dvvxdxv  4 
 
v
dvv
x
dx



4
 
 
 


v
dvv
x
dx 4
 
Cvvx  ln4ln 
x
yv  
C
x
y
x
yx  ln4ln 
C
x
y
x
yx  ln4ln 
C
1
1
1
1ln41ln 
1C 
1ln4ln 
x
y
x
yx 
xy
x
yxxx  ln4ln 
0ln4ln  xy
x
yxxx 
 
 
19.     11,2321   yyxyx
dx
dyxyx 
  yxyx
dx
dyxyx   2
3
2
1
 
  dxyxyxdyxyx 



 
 2
3
2
1
 
    dxxvxvxxvdxxdvxvxx 



 
 2
3
2
3
2
1
 
   dxxvxxvvdxxdvvxx 



  2
3
 
    dxvvxvdxxdvvx 



  11 2
3
 
   dxvvvdxxdvv 



  11 2
3
 
012
3




  dxvvvdxxdvdxvvdvvx 
 dvvxdx  1 
 dvv
x
dx
 1 
   dvvx
dx 1 
Cvvx 
3
2ln
2
3
 
x
yv  
C
x
y
x
yx 
2
3
2
3
3
2ln 
C
x
y
x
yx 
2
3
2
3
3
2ln 
C



2
3
2
3
13
12
1
11ln 
3
5
C 
3
5
3
2ln
2
3
2
3

x
y
x
yx 
3
5
3
23ln3
2
3
2
3
2
1
2
3


x
yyxxx
 
5
23ln3
2
3
2
3
2
1
2
3


x
yyxxx
 
2
3
2
3
2
1
2
3
523ln3 xyyxxx  
 
 
20.     10,0222  ydyyxyxdxy 
    022222  vdxxdvvxxvxxdxvx 
    01 222  vdxxdvvvdxvx 
   01 22  vdxxdvvvdxv 
03222  dxvdvxvdxvxvdvvdxxdvdxv 
   dvvvxdxvvv 223 12  
 
 vvv
dvvv
x
dx


 23
2
2
1
 
 
  


vvv
dvvv
x
dx
23
2
2
1
 
C
v
vx 


1
1lnln 
x
yv  
C
x
yx
yx 


1
1lnln 
C
yx
x
x
yx 

 lnln 
C
yx
x
x
yx 

ln 
C
yx
xy 

ln 
C


10
01ln 
0C 
0ln 


yx
xy 
 
  0
ln



yx
xyyx
 
  0ln  xyyx 
 
 
21.   1
2
1,2 




 yy
dx
dyxyyx 
  ydxdyxyyx  2 
    xvdxvdxxdvxvxvxx  22 
   xvdxvdxxdvvxvxx  222 
   xvdxvdxxdvvvxx  2 
   xvdxvdxxdvvvx  21 
   vdxvdxxdvvv  21 
022  vdxdxvvvdvvvxvdxxdv 
 dvvvxdxvvv  22 1 
 
vvv
dvvv
x
dx



2
21
 
 




vvv
dvvv
x
dx
2
21
 
******************************** 
 
22. 
23
132



yx
yx
dx
dy 
   dxyxdyyx 13223  
    023132  dyyxdxyx 
    023132  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª20111221  
 
'''' dydydxdxkyyhxx  
          0'2''3'1'3'2  dykyhxdxkyhx 
    0'2'3'3'13'32'2  dykyhxdxkyhx 





023
0132
kh
kh
 
11
1
11
7
 kh 
    0'''3''3'2  dyyxdxyx 
     0''''3''3'2  vdxdvxvxxdxvxx 
      0''3'32'  vdxdvxvdxvx 
     0''3'32  vdxdvxvdxv 
  0'''3'3'32 2  dxvvdvxvdxdvxdxv 
   dvvxdxvv  3''62 2 
 
 262
3
'
'
vv
dvv
x
dx


 
 
  

 262
3
'
'
vv
dvv
x
dx
 
Cvvx  262ln
2
1'ln 
'
'
x
yv  
C
x
y
x
yx 





2
'
'
'
'62ln
2
1'ln 
kyyhxx  '' 
C
x
y
x
y
x 


















 





 

2
11
7
11
1
11
7
11
16
2ln
2
1
11
7ln 
 
 
23.     01332  dyyxdxyx 
    01332  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª2071221  
 
'''' dydydxdxkyyhxx  
          0'1''3''3'2  dykyhxdxkyhx 
    0'1'3'3'3'32'2  dykyhxdxkyhx 





013
032
kh
kh
 
21
6
7
3
 kh 
    0'''3''3'2  dyyxdxyx 
     0''''3''3'2  vdxdvxvxxdxvxx 
      0''3'32'  vdxdvxvdxvx 
     0''3'32  vdxdvxvdxv 
  0'3'3'''32 2  vdxdvxdxvvdvxdxv 
   dvvxdxvv 3''62 2  
 
 262
3
'
'
vv
dvv
x
dx


 
 
  

 262
3
'
'
vv
dvv
x
dx
 
Cvvx  262ln
2
1'ln 
'
'
x
yv  
C
x
y
x
yx 





2
'
'
'
'62ln
2
1'ln 
kyyhxx  '' 
C
x
y
x
y
x 


















 





 

2
7
3
21
6
7
3
21
66
2ln
2
1
7
3ln 
 
 
24.     05242  dyyxdxyx 
    05242  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª2031221  
 
'''' dydydxdxkyyhxx  
          0'5''2'4'2'  dykyhxdxkyhx 
    0'5'2'2'42'2'  dykyhxdxkyhx 





052
042
kh
kh
 
12  kh 
    0'''2''2'  dyyxdxyx 
     0''''2''2'  vdxdvxvxxdxvxx 
      0''2'21'  vdxdvxvdxvx 
     0''2'21  vdxdvxvdxv 
  0'''2'2'21 2  dxvvdvxvdxdvxdxv 
   dvvxdxv  2''1 2 
 
21
2
'
'
v
dvv
x
dx


 
 
  


1
2
'
'
2v
dvv
x
dx
 
C
v
vvx 



1
1ln1ln
2
1'ln 2 
'
'
x
yv  
C
x
y
x
y
x
yx 








1
'
'
1
'
'
ln1
'
'ln
2
1'ln
2
 
kyyhxx  '' 
C
x
y
x
y
x
yx 















1
2
1
1
2
1
ln1
2
1ln
2
12ln
2
 
 
 
 
25. 
136
12



yx
yx
dx
dy 
   dxyxdyyx 12136  
    013612  dyyxdxyx 
    013612  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª101221  
 
dydxbdyadxdt
yxtbyaxt


2
2
 
dxdtdy
b
adxdtdy
xty
b
axty
2
2






 
       021236122  dxdtxtxdxxtx 
     02131  dxdttdxt 
  02631  dxdttdxtdtdxt 
   dttdxt 3135  
 
 
dt
t
tdx
35
31


 
 
  

 dt
t
tdx
35
31
 
Cttx  35ln
25
4
5
3
 
    Cyxyxx  325ln
25
42
5
3
 
    Cyxyxx  325ln
25
42
5
3
 
    Cyxyxx 25325ln421525  
Cxyyxx  3105ln4153025 
Cxyyx  3105ln4155 
 
 
26.     0232132  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª101221  
 
dydxbdyadxdt
yxtbyaxt
32
32


 
3
2
3
2
dxdtdy
b
adxdtdy
xty
b
axty








 
0
3
22
3
2321
3
232 




 











 










 
dxdtxtxdxxtx 
    0
3
221 




 
dxdttdxt 
  0
3
4
3
2
3
2
3
1  dxdtdxtdttdxt 
  042233  dxdttdxtdtdxt 
   dttdxt 27  
 
 
dt
t
tdx
7
2


 
 
  

 dt
t
tdx
7
2
 
Cttx  7ln9 
Cttx  7ln9 
    Cyxyxx  732ln932 
Cyxyx  732ln933 
 
 
27. 
yx
yx
dx
dy



1
331 
   dxyxdyyx 3311  
    01331  dyyxdxyx 
    01331  dyyxdxyx 
    01133  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª101221  
 
dydxbdyadxdt
yxtbyaxt
33
33


 
3
3
3
3
dxdtdy
b
adxdtdy
xty
b
axty








 
0
3
31
3
31
3
333 




 











 










 
dxdtxtxdxxtx 
  0
3
31
3
1 




 





 
dxdttdxt 
  0
339
1  dxdtdxtdttdxt 
  093399  dxdttdxtdtdxt 
   dttdxt 3186  
 
 dtt
tdx
186
3


 
 
  

 dt
t
tdx
3
3
6
1
 
Cttx  3ln
6
1
 
    Cyxyxx  333ln33
6
1 
    Cyxyxx  333ln33
6
1
 
  Cyxyxx 2333ln233
3
12  
Cyxyxx  333ln22 
Cyxyx  333ln23 
 
 
28.     05242  dxyxdyyx 
    04252  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª2031221  
 
'''' dydydxdxkyyhxx  
          0'4''2'5'2'  dykyhxdxkyhx 
    0'4'2'2'52'2'  dykyhxdxkyhx 





042
052
kh
kh
 
21  kh 
    0'''2''2'  dyyxdxyx 
     0''''2''2'  vdxdvxvxxdxvxx 
      0''2'21'  vdxdvxvdxvx 
     0''2'21  vdxdvxvdxv 
  0'''2'2'21 2  dxvvdvxvdxdvxdxv 
   dvvxdxv 2''1 2  
 
 21
2
'
'
v
dvv
x
dx


 
 
  


1
2
'
'
2v
dvv
x
dx
 
C
v
vvx 



1
1ln1ln
2
1'ln 2 
'
'
x
yv  
C
x
y
x
y
x
yx 








1
'
'
1
'
'
ln1
'
'ln
2
1'ln
2
 
kyyhxx  '' 
C
x
y
x
y
x
yx 















1
1
2
1
1
2
ln1
1
2ln
2
11ln
2
 
 
 
29. 
342
12



yx
yx
dx
dy 
   dxyxdyyx 12342  
    034212  dyyxdxyx 
    034212  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª101221  
 
dydxbdyadxdt
yxtbyaxt
2
2


 
2
2
dxdtdy
b
adxdtdy
xty
b
axty








 
0
2
3
2
421
2
2 




 











 










 
dxdtxtxdxxtx 
    0
2
321 




 
dxdttdxt 
  0
2
3
2
31  dxdttdxtdtdxt 
  0332222  dxdttdxtdtdxt 
   dttdxt 3254  
 
 dtt
tdx
54
32


 
 
  

 dt
t
tdx
54
32
 
Cttx  54ln
8
1
2
1
 
    Cyxyxx  524ln
8
12
2
1 
    Cyxyxx  524ln
8
12
2
1
 
    Cyxyxx 8524ln248  
Cyxyxx  584ln848 
Cyxyx  584ln84 
 
 
30.     05634  dyyxdxyx 
    05634  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª2021221  
 
'''' dydydxdxkyyhxx  
          0'5'6''3'4'  dykyhxdxkyhx 
    0'56'6''34'4'  dykyhxdxkyhx 





056
034
kh
kh
 
11  kh 
    0''6'''4'  dyyxdxyx 
     0'''6'''4'  vdxdvxvxxdxvxx 
      0''61'41'  vdxdvxvdxvx 
     0''61'41  vdxdvxvdxv 
  0'6'6'''41 2  dxvvdvxvdxdvxdxv 
   dvvxdxvv 61''651 2  
 
 2651
61
'
'
vv
dvv
x
dx


 
 
  


156
16
'
'
2 vv
dvv
x
dx
 
C
v
v
vvx 



3
1
2
1
ln9156ln
2
1'ln 2 
'
'
x
yv  
C
x
y
x
y
x
y
x
yx 








3
1
'
'
2
1
'
'
ln91
'
'5
'
'6ln
2
1'ln
2
 
kyyhxx  '' 
  C
x
y
x
y
x
y
x
yx 


















3
1
1
1
2
1
1
1
ln91
1
15
1
16ln
2
11ln
2
 
 
 
 
31.     013923  dyyxdxyx 
hipótesebaba ª101221  
 
dydxbdyadxdt
yxtbyaxt


3
3
 
dtdxdy
b
adxdtdy
txy
b
axty






3
3
 
       031339233  dtdxtxxdxtxx 
     03132  dtdxtdxt 
  03932  dxdttdxtdtdxt 
   dttdxt 13510  
 
 
dt
t
tdx
510
13


 
 
  

 dt
t
tdx
510
13
 
Cttx  510ln
20
1
10
3
 
    Cyxyxx  5310ln
20
13
10
3
 
    Cyxyxx  5310ln
20
13
10
3
 
    Cyxyxx 205310ln3620  
Cyxyxx  51030ln61820 
Cyxyx  51030ln62 
 
 
 
Equações Diferenciais Exatas – Lista de Exercícios Resolvida. 
1.   0222  dyxydxyx 
x
n
y
m





 
yy 22  
     ydxyxyxf   22, 
   yxyxyxf  2
3
3
, 
   yyx
y
yxf '2, 


 
 yyxyx '22  
  0' y 
    dyy 0' 
  Cy  
  Cxyxyxf  2
3
3
, 
Cxyx  2
3
3
0 
xyxC 2
3
3
 
xyxC 2
3
3
 
 
 
2.     02312  dyyxdxyx 
x
n
y
m





 
11  
     ydxyxyxf   12, 
   yxyxxyxf  2, 
   yx
y
yxf ', 


 
 yxyx '23  
  23'  yy 
     dyyy 23' 
  Cyyy  2
2
3 2
 
  Cyyxyxxyxf  2
2
3,
2
2 
Cyyxyxx 2432220 22  
yyxyxxC 432222 22 yyxyxxC 43222 22  
 
 
3.   02  dyyxedxe yy 
x
n
y
m





 
yy ee  
   ydxeyxf y  , 
   yxeyxf y , 
   yxe
y
yxf y ', 


 
 yxeyxe yy '2  
  yy 2'  
     dyyy 2' 
  Cyy  2 
  Cyxeyxf y  2, 
Cyxe y  20 
2yxeC y  
2yxeC y  
 
 
4.     0cos223  dyyxydxyx 
x
n
y
m





 
yy 22  
     ydxyxyxf   23, 
   yxyxyxf  2
4
4
, 
   yyx
y
yxf '2, 


 
 yyxyxy '2cos2  
  yy cos'  
     dyyy cos' 
  Cyy  sin 
  Cyxyxyxf  sin
4
, 2
4
 
Cyxyx  sin
4
0 2
4
 
yxyxC sin
4
2
4
 
yxyxC sin
4
2
4
 
 
 
5.     012coscos 








  dy
y
xxyxdx
x
yxyy 
x
n
y
m





 
       
x
xyxyxy
x
xyxyxy 1sincos1sincos  
     ydx
x
yxyyyxf  



  cos, 
     yxyxyyxf  2sin, 
     yxxyx
y
yxf '2cos, 


 
     yxxyx
y
xxyx '2cos12cos  
 
y
y 1'  
    y
dyy' 
  Cyy  ln 
    Cyxyxyyxf  ln2sin, 
  Cyxyxy  ln2sin0 
  yxyxyC ln2sin  
  yxyxyC ln2sin  
 
 
6.     07312  dyydxx 
x
n
y
m





 
00  
     ydxxyxf   12, 
   yxxyxf  2, 
   y
y
yxf '0, 


 
 yy '73  
  73'  yy 
   dyyy   73' 
  Cyyy  7
2
3 2
 
  Cyyxxyxf  7
2
3,
2
2 
Cyyxx  7
2
30
2
2 
yyxxC 7
2
3 22  
yyxxC 7
2
3 22  
 
 
7.     08445 3  dyyxdxyx 
x
n
y
m





 
44  
     ydxyxyxf   45, 
   yyxxyxf  4
2
5,
2
 
   yx
y
yxf '4, 


 
 yxyx '484 3  
  38' yy  
     dyyy 38' 
  Cyy  42 
  Cyyxxyxf  4
2
24
2
5, 
Cyyxx  4
2
24
2
50 
4
2
24
2
5 yyxxC  
4
2
24
2
5 yyxxC  
 
 
8.     04232 22  dyyxdxxy 
x
n
y
m





 
yxyx 44  
     ydxxyyxf   32, 2 
   yxxyyxf  3, 22 
   yyx
y
yxf '2, 2 


 
 yyxyx '242 22  
  4' y 
    dyy 4' 
  Cyy  4 
  Cyxxyyxf  43, 22 
Cyxxy  430 22 
yxxyC 4322  
yxxyC 4322  
 
 
9.     0lnln43 32  dyyxdxxyx 
x
n
y
m





 
22 33 xx  
     ydxxyxyxf   ln43, 2 
   yxxxyxyxf  4ln4, 3 
   yx
y
yxf ', 3 


 
 yxyx 'ln 33  
  yy ln'  
     dyyy ln' 
  Cyyyy  ln 
  Cyyyxxxyxyxf  ln4ln4, 3 
Cyyyxxxyx  ln4ln40 3 
yyyxxxyxC ln4ln43  
yyyxxxyxC ln4ln43  
 
 
10.     0cos23sin 223  dyxyxydxxxyy 
x
n
y
m





 
xyyxyy sin23sin23 22  
     ydxxxyyyxf   sin, 23 
   yxxyxyyxf 
2
cos,
2
23 
   yxyxy
y
yxf 'cos23, 2 


 
 yxyxyxyxy 'cos23cos23 22  
  0' y 
    dyy 0' 
  Cy  
  Cxxyxyyxf 
2
cos,
2
23 
Cxxyxy 
2
cos0
2
23 
2
cos
2
23 xxyxyC  
2
cos
2
23 xxyxyC  
 
 
11. xy
xy
xey
ye
dx
dy



2
2 
   dxyedyxey xyxy  22 
    022  dyxeydxye xyxy 
x
n
y
m





 
     ydxyeyxf xy  2, 
   yexyxf xy  2, 
   yxe
y
yxf xy ', 


 
 yxexey xyxy '2  
  yy 2'  
     dyyy 2' 
  Cyy  2 
  Cyexyxf xy  22, 
Cyex xy  220 
22 yexC xy  
22 yexC xy  
 
 
12.     03154 2423  dyxyxdxyxyx 
x
n
y
m





 
1414 33  xx 
     ydxyxyxyxf   23 154, 
   yyxxyxyxf  34 5, 
   yxx
y
yxf ', 4 


 
 yxxxyx '3 424  
  23' yy  
     dyyy 23' 
  Cyy  3 
  Cyyxxyxyxf  334 5, 
Cyyxxyx  334 50 
334 5 yyxxyxC  
334 5 yyxxyxC  
13.       11,012 22  ydyxxydxyx 
    0122 222  dyxxydxyxyx 
x
n
y
m





 
yxyx 2222  
     ydxyxyxyxf   22 2, 
   yxyyxxyxf  22
3
3
, 
   yyxx
y
yxf '2, 2 


 
 yyxxxxy '212 22  
  1' y 
    dyy' 
  Cyy  
  Cyxyyxxyxf  22
3
3
, 
Cyxyyxx  22
3
3
0 
yxyyxxC  22
3
3
 
yxyyxxC  22
3
3
 
11111
3
1 223 C 
3
4
C 
yxyyxx  22
3
33
4
 
 
 
14.       21,0146524  ydyxydxxy 
x
n
y
m





 
44  
     ydxxyyxf   524, 
   yxxxyyxf  54, 2 
   yx
y
yxf '4, 


 
 yxxy '4146  
  16'  yy 
   dyyy   16' 
  Cyyy  23 
  Cyyxxxyyxf  22 354, 
Cyyxxxy  22 3540 
yyxxxyC  22 354 
yyxxxyC  22 354 
yyxxxyC  22 354 
      223151214 22 C 
8C 
yyxxxy  22 3548 
 
 
15. 03131 










  dyx
y
dxy
x
 
x
n
y
m





 
11  
   ydxy
x
yxf  



  
31, 
   yyxxxyxf  ln3, 
   yx
y
yxf ', 


 
 yxx
y
'31  
 
y
y 31'  
   





 dy
y
y 31' 
  Cyyy  ln3 
  Cyyyxxxyxf  ln3ln3, 
Cyyyxxx  ln3ln30 
 yxyyxxC lnln3  
xyyyxxC ln3 
 
 
 
16. 0
91
1 23
2
32 






 yx
dy
dx
x
yx 
 dyyxdx
x
yx 232
32
91
1







 
  0
91
1 23
2
32 






 dyyxdx
x
yx 
x
n
y
m





 
2222 33 yxyx  
   ydx
x
yxyxf  





 2
32
91
1, 
   yxyxyxf  3arctan
3
1
3
,
33
 
   yyx
y
yxf ', 23 


 
 yyxyx '2323  
  0' y 
    dyy 0' 
  Cy  
  Cxyxyxf  3arctan
3
1
3
,
33
 
Cxyx  3arctan
3
1
3
0
33
 
xyxC 3arctan3 33  
xyxC 3arctan33  
 
 
17.     0coscossinsintan  dyyxdxyxx 
x
n
y
m





 
yxyx cossincossin  
     ydxyxxyxf   sinsintan, 
   yyxxyxf  sincossecln, 
   yyx
y
yxf 'coscos, 


 
 yyxyx 'coscoscoscos  
  0' y 
    dyy 0' 
  Cy  
  Cyxxyxf  sincossecln, 
Cyxx  sincossecln0 
yxxC sincossecln  
yxxC sincossecln  
 
18.   xyx
dx
dyyx 44221 32  
   dxxyxdyyx 44221 32  
    022144 23  dyyxdxxyx 
x
n
y
m





 
xx 44  
     ydxxyxyxf   44, 3 
   yyxxyxf  24 2, 
   yx
y
yxf '2, 2 


 
 yxyx '2221 22  
  12'  yy 
   dyyy   12' 
  Cyyy  2 
  Cyyyxxyxf  224 2, 
Cyyyxx  224 20 
yyyxxC  224 2 
 
 
19.       eydyyxxydxxyxxy  0,0lnsin223cos 322 
x
n
y
m





 
22 3cos23cos2 xxyxxy  
     ydxxyxxyyxf   23cos, 22 
   yxyxxyyxf  232 sin, 
   yxxy
y
yxf 'sin2, 3 

 
 yxxyyxxy 'sin2lnsin2 33  
  yy ln'  
     dyyy ln' 
  Cyyyy  ln 
  Cyyyxyxxyyxf  lnsin, 232 
Cyyyxyxxy  lnsin0 232 
yyyxyxxyC  lnsin 232 
yyyxyxxyC  lnsin 232 
eeeeeC  ln000sin 232 
0C 
yyyxyxxy  lnsin0 232 
 
 
20. 262 xyxe
dx
dyx x  
 dxxyxedyx x 262  
  062 2  dyxdxxyxex 
x
n
y
m





 
11  
     ydxxyxeyxf x  262, 
   yxyxexeyxf xx  3222, 
   yx
y
yxf ', 


 
 yxx ' 
  0' y 
  dyy   0' 
  Cy  
  Cxyxexeyxf xx  3222, 
Cxyxexe xx  32220 
3222 xyxexeC xx  
 
 
21.   012  dyxydxy 
x
n
y
m





 
yy 2 
:hipótesesegundadaAtravés 
yy
yy
m
y
m
x
n
12
2 






 
 
y
eeyxI y
dy
y 1, ln
1


 

 
  011 2  dyxydxy
y
 
  01   dyyxdxy 
**
x
n
y
m





 
11  
   ydxyyxf   , 
   yyxyxf , 
   yx
y
yxf ', 


 
 yxyx '1   
  1'  yy 
   dyyy   1' 
  Cyy  ln 
  Cyyxyxf  ln, 
Cyyx  ln0 
yyxC ln 
yyxC ln 
 
 
22.   0222  dyxydxyx 
x
n
y
m





 
yy 22  
:hipóteseprimeiradaAtravés 
xxy
yy
n
x
n
y
m
2
2
22







 
  2
ln2
2 1,
x
eeyxI x
dx
x  

 
  021 222  dyxydxyxx 
021
2
2 





 dy
x
ydx
x
y
 
**
x
n
y
m





 
22
22
x
y
x
y
 
   ydx
x
yyxf  





 
2
21, 
   y
x
yxyxf 
2
, 
   y
x
y
y
yxf '2, 


 
 y
x
y
x
y '22  
  0' y 
  dyy   0' 
  Cy  
  C
x
yxyxf 
2
, 
C
x
yx 
2
0 
2
x
yxC  
2
x
yxC  
 
 
23. dxexdxydyx x2 
02  dyxdxydxex x 
  02  dyxdxyex x 
x
n
y
m





 
11  
:hipóteseprimeiradaAtravés 
 
xxn
x
n
y
m
211









 
  2
ln2
2 1,
x
eeyxI x
dx
x  

 
  01 22  dyxdxyexx
x 
012 




  dy
x
dx
x
yex 
**
x
n
y
m





 
22
11
xx
 
   ydx
x
yeyxf x 



  2, 
   y
x
yeyxf x , 
   y
xy
yxf '1, 


 
 y
xx
'11  
  0' y 
  dyy   0' 
  Cy  
  C
x
yeyxf x , 
C
x
yex 0 
Cxyxex 0 
Cxxey x  
 
 
24. 02  dyxdxydyy 
  02  dyxydxy 
x
n
y
m





 
11  
:hipótesesegundadaAtravés 
yym
y
m
x
n
211







 
  2
ln2
2 1,
y
eeyxI y
dy
y 

 

 
  01 22  dyxydxyy 
011 2 





 dy
y
xdx
y
 
**
x
n
y
m





 
   ydx
y
yxf   
1, 
   y
y
xyxf , 
   y
y
x
y
yxf ', 2 

 
 y
y
x
y
x '1 22  
  1' y 
  dyy   1' 
  Cyy  
  Cy
y
xyxf , 
Cy
y
x
0 
2yxCy  
2yxCy  
 
 
25.   0ln3  dyxydx
x
y 
x
n
y
m





 
xx
11
 
   ydx
x
yyxf   , 
   yxyyxf  ln, 
   yx
y
yxf 'ln, 


 
 yxxy 'lnln3  
  3' yy  
  dyyy   3' 
  Cyy 
4
4
 
  Cyxyyxf 
4
ln,
4
 
Cyxy 
4
ln0
4
 
4ln44 yxyC  
4ln4 yxyC  
 
 
26.     0ln  dyxxdxyx 
x
n
y
m





 
1ln1  x 
:hipóteseprimeiradaAtravés 
xxx
x
n
x
n
y
m
1
ln
1ln1







 
 
x
eeyxI x
dx
x 1, ln
1
 

 
    0ln1  dyxxdxyx
x
 
  0ln1 





 dyxdx
x
y
 
**
x
n
y
m





 
xx
11
 
   ydx
x
yyxf  




 1, 
   yxyxyxf  ln, 
   yx
y
yxf 'ln, 


 
 yxx 'lnln  
  0' y 
  dyy   0' 
  Cy  
  Cxyxyxf  ln, 
Cxyx  ln0 
 
 
27.   02 3  dyxdxxy 
x
n
y
m





 
12  
:hipóteseprimeiradaAtravés 
xxn
x
n
y
m
112








 
  xeeyxI x
dx
x  ln
1
, 
  02 3  dyxdxxyx 
  02 24  dyxdxxxy 
**
x
n
y
m





 
     ydxxxyyxf   42, 
   yxyxyxf 
5
,
5
2 
   yx
y
yxf ', 2 


 
 yxx '22  
  0' y 
  dyy   0' 
  Cy  
  Cxyxyxf 
5
,
5
2 
Cxyx 
5
0
5
2 
5
5
2 xyxC  
5
5
2 xyxC  
 
 
28.     0343 322  dyyxdxyx 
x
n
y
m





 
yxyx 22 126  
:hipótesesegundadaAtravés 
yyx
yxyx
m
y
m
x
n
2
3
612
22
22







 
  2ln2
2
, yeeyxI y
dy
y 

 
    0343 3222  dyyxdxyxy 
    0343 23342  dyyyxdxyx 
**
x
n
y
m





 
3232 1212 yxyx  
     ydxyxyxf   423, 
   yyxyxf  43, 
   yyx
y
yxf '4, 33 


 
 yyxyyx '4124 33233  
  212' yy  
   dyyy   212' 
  Cyy  34 
  Cyyxyxf  343 4, 
Cyyx  343 40 
343 4yyxC  
343 4yyxC  
 
 
29.   022  dyxydxxyx 
x
n
y
m





 
yy 2 
:hipóteseprimeiradaAtravés 
xxy
yy
n
x
n
y
m
12








 
  xeeyxI x
dx
x  ln
1
, 
  022  dyxydxxyxx 
  02223  dyyxdxxxyx 
**
x
n
y
m





 
xyxy 22  
     ydxxxyxyxf   223, 
   yxyxxyxf 
324
,
3224
 
   yyx
y
yxf ', 2 


 
 yyxyx '22  
  0' y 
  dyy   0' 
  Cy  
  Cxyxxyxf 
324
,
3224
 
Cxyxx 
324
0
3224
 
Cxyxx 124630 3224  
3224 46312 xyxxC  
3224 463 xyxxC  
 
 
30.   0344  dyxydxyx 
x
n
y
m





 
334 yy  
:hipóteseprimeiradaAtravés 
 
xxy
yy
n
x
n
y
m
54
3
33








 
  5
ln5
5 1,
x
eeyxI x
dx
x  

 
  01 3445  dyxydxyxx 
01 4
3
5
4






 dy
x
ydx
x
y
x
 
**
x
n
y
m





 
5
3
5
3 44
x
y
x
y
 
   ydx
x
y
x
yxf  





 5
41, 
   y
x
yxyxf  4
4
4
ln, 
   y
x
y
y
yxf ', 4
3



 
 y
x
y
x
y '4
3
4
3
 
  0' y 
  dyy   0' 
  Cy  
  C
x
yxyxf  4
4
4
ln, 
C
x
yx  4
4
4
ln0 
444 4ln40 Cxyxx  
444 ln4 Cxxxy  
 
 
 
 
 
Equações diferenciais lineares. Lista de exercícios resolvida. 
1. 2 x
x
y
dx
dy 
    21  xxQ
x
xP 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
  


dxxeeCey
dx
x
dx
x
dx
x 2
111
 
  
 dxxeeCey xxx 2lnlnln 
   dxxxxCxy 2
1 
 xxxCxy ln2 
 Cxxxy  ln2 
 
 
2. xxy
dx
dy sintan  
    xxQxxPsintan  
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
  

dxxeeCey
dxxdxxdxx
sin
tantantan
 
   dxxeeCey
xxx sincoslnseclnsecln 
   dxxxxxCy sincossecsec 







2
sinsecsec
2 xxxCy 






 Cxxy
2
sinsec
2
 
 
 
3. 0cot 
x
x
x
y
dx
dy 
x
x
x
y
dx
dy cot
 
   
x
xxQ
x
xP cot1  
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 


dx
x
xeeCey
dx
x
dx
x
dx
x cot
111
 
 
 dx
x
xeeCey xxx cotlnlnln 
  dxx
xx
xx
Cy cot1 
x
xx
Cy sinln1  
x
Cx
y


sinln
 
 
 
4.   0cos1sin  dxydyyx 
  dxydyyx cos1sin  
 
dy
dx
y
yx


cos
1sin 
yy
y
y
x
dy
dx
cos
1
cos
sin
cos
 
yyyx
dy
dx sectansec  
    yyyQyyP sectansec  
       dyyQeeCex dyyPdyyPdyyP  

 
 dyyyeeCex dyydyydyy  

sectan
secsecsec
 
 dyyyeeCex yyyyyy  
 sectantanseclntanseclntansecln 
     dyyy
yy
yyyyCx   sectantansec
1tansectansec 
    dy
yy
y
y
y
y
yyyyCx  








cos
1
cos
sin
cos
sin
cos
1
1tansectansec 
    dy
y
y
y
yyyyyCx  




 



cos
1sin
1sin
costansectansec 
     
 
dy
y
yyyyyCx  


1sin
1sintansectansec 
     
   
dy
yy
yyyyyCx
1sin
1
1sin
sintansectansec



  
     
 
 
   
 
  













  dyy
y
y
dy
y
y
y
yyyyyCx
sin1
sin1
sin1
1
sin1
sin1
sin1
sintansectansec
    





 yyy
y
yyyyCx tantan
cos
2tansectansec 
     yyyyyyyCx  tan2sec2tansectansec 
   Cyyyyyx  tan2sec2tansec 
 
 
5.   xy
dx
dyx arctan1 2  
   22 1
arctan
1 x
x
x
y
dx
dy



 
       22 1
arctan
1
1
x
xxQ
x
xP



 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
     
  





 



dx
x
xeeCey x
dx
x
dx
x
dx
2
111
1
arctan222 
  





  dx
x
xeeCey xxx 2
arctanarctanarctan
1
arctan 
 xxxx exeeCey arctanarctanarctanarctan arctan   
1arctanarctan   xCey x 
 
 
6. y
dx
dy 5 
05  y
dx
dy 
    05  xQxP 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 

dxeeCey
dxdxdx
0
555
 
05  xCey 
xCey 5 
 
 
7. 4123  y
dx
dy 
3
44  y
dx
dy 
   
3
44  xQxP 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 
 dxeeCey dxdxdx
3
4444 
   dxeeCey xxx 3
4444 
xxx eeCey 444
3
1
  
3
14   xCey 
 
 
8. xey
dx
dy 3 
    xexQxP 31  
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 

dxeeeCey x
dxdxdx 3111 
   dxeeeCey xxxx 3 
  dxeeCey xxx 4 
xxx eeCey 4
4
1
  
xx eCey 3
4
1
  
 
 
9. 223' xyxy  
223 xyx
dx
dy
 
    223 xxQxxP  
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 

dxxeeCey
dxxdxxdxx 2333
222
 
   dxxeeCey xxx 2
333
 
333
3
1 xxx eeCey   
3
13
  xCey 
 
 
10. 1'2 xyyx 
12  xy
dx
dyx 
22
1
xx
xy
dx
dy
 
2
1
xx
y
dx
dy
 
    2
11
x
xQ
x
xP  
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 


dx
x
eeCey
dx
x
dx
x
dx
x
2
111 1 
 
 dx
x
eeCey xxx 2
lnlnln 1 
  dxxxxxCy 2
111 
x
xx
Cy ln1  
 xC
x
y ln1  
 
 
11.   024 2  dxydyyx 
  dxydyyx 24 2  
 
dy
dx
y
yx



2
4 2
 
 
y
yx
dy
dx
2
4 2


 
y
y
x
dy
dx 2
2
 
y
y
x
dy
dx 2
2
 
    yyQ
y
yP 2
2
1
 
        

dyyQeeCex
dyyPdyyPdyyP
 
  







dyyeeCex
dy
y
dy
y
dy
y 22
1
2
1
2
1
 
  

dyyeeCex
yyy
2
ln
2
1
ln
2
1
ln
2
1
 
   dyyeeCex
yyy 2ln
1ln1ln
 
   dyyyyyCx 2
11 
 







 

5
411
5
y
yy
Cx 
 
5
4
4
y
y
Cx  
5
4 2y
y
Cx  
 
 
12.  dxyxxdyx  sin 
 
x
yxx
dx
dy 

sin 
x
yx
dx
dy
 sin 
x
x
y
dx
dy sin 
    xxQ
x
xP sin1  
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
  


dxxeeCey
dx
x
dx
x
dx
x sin
111
 
  
 dxxeeCey xxx sinlnlnln 
   dxxxxxCy sin
11 
 xxx
xx
Cy sincos1  
x
xx
x
Cy sincos  
x
x
xCy cossin  
13.   01  ye
dx
dye xx 
   xx
x
ee
ye
dx
dy




1
0
1
 
  01  x
x
e
ye
dx
dy 
      01  xQe
exP x
x
 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
      





 



dxeeCey
dx
e
edx
e
edx
e
e
x
x
x
x
x
x
0111 
01ln  
xeCey 
xe
Cy


1
1 
xe
Cy


1
 
 
 
14. 1sincos  xy
dx
dyx 
xx
xy
dx
dy
cos
1
cos
sin
 
xxy
dx
dy sectan  
    xxQxxP sectan  
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
  

dxxeeCey
dxxdxxdxx
sec
tantantan
 
   dxxeeCey
xxx secseclncoslncosln 
   dxxxxxCy secseccoscos 
 dxxxxCy 2seccoscos 
xxxCy tancoscos  
x
xxxCy
cos
sincoscos  
xxCy sincos  
 
 
15. xxy
dx
dyx  34 
x
xx
x
y
dx
dy 

34 
14 2  x
x
y
dx
dy 
    14 2  xxQ
x
xP 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
  

dxxeeCey
dx
x
dx
x
dx
x 12
444
 
    dxxeeCey xxx 12ln4ln4ln4 
   dxxxxxCy 1
11 24
44 







57
1 57
44
xx
xx
Cy 
57
3
4
xx
x
Cy  
 
 
16.   xeyxx
dx
dyx  22 
 
22
2
x
e
x
yxx
dx
dy x


 
2
21
x
ey
xdx
dy x





  
    2
21
x
exQ
x
xP
x
 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 































dx
x
eeeCey
xdx
x
dx
x
dx
x
2
212121
 
 





  dx
x
eeeCey
x
xxxxxx
2
ln2ln2ln2 
 





  dx
x
eeeeeeCey
x
xxxxxx
2
ln2ln2ln2 
 





 dx
x
exe
xexe
Cy
x
x
xx 2
2
22
11 
 dxexexe
Cy xxx
2
22
1 
x
xx exexe
Cy 222 2
11
 
x
x
x ex
e
xe
Cy 222 2


 
22 2x
e
xe
Cy
x
x  
 
 
17.   01cossincos 32  dxxydyxx 
 dxxydyxx 1cossincos 32  
 
xx
xy
dx
dy
sincos
1cos
2
3 
 
xx
y
x
x
dx
dy
sincos
1
sin
cos
2 
xxyx
dx
dy seccosseccot 2    xxxQxxP seccosseccot 2 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
  

dxxxeeCey
dxxdxxdxx
seccossec2
cotcotcot
 
    dxxxeeCey xxx seccossec2sinlnsinlnsinln 
   dxxxxxxCy seccossecsinsin
1
sin
1 2 
 dxxxx
Cy 2sec
sin
1
sin
 
x
xx
Cy tan
sin
1
sin
 
x
x
xx
Cy
cos
sin
sin
1
sin
 
xx
Cy
cos
1
sin
 
xxCy secseccos  
 
 
18.   02  dyyexxydxy y 
 dyyexxydxy y 2 
 
y
yexxy
dy
dx y

2
 
ye
y
xx
dy
dx

2
 
ye
y
x
dy
dx







21 
    yeyQ
y
yP  21 
        

dyyQeeCex
dyyPdyyPdyyP
 
 

























dyeeeCex y
dy
y
dy
y
dy
y
212121
 
 
 dyeeeCex yyyyyyy ln2ln2ln2 
 
 dyeeeeeeCex yyyyyyy ln2ln2ln2 
  dyeyeyeyeCx
yy
yy
2
22
11 
 dyyeyeye
Cx yyy
22
22
1 






 y
yy
yy e
yeye
yeye
Cx 2
222
22 4
1
22
1 
22 422 y
e
y
ee
ye
Cx
yyy
y  
 
 
19.   xeyx
dx
dyx 313  
 
x
ey
x
x
dx
dy x313 


 
x
ey
xdx
dy x313






  
   
x
exQ
x
xP
x313

 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 































dx
x
eeeCey
xdx
x
dx
x
dx
x
3131313
 
 







 dx
x
eeeCey
x
xxxxxx
3
ln3ln3ln3 
 







 dx
x
eeeeeeCey
x
xxxxxx
3
ln3ln3ln3 
 







dx
x
exe
xexe
Cy
x
x
xx
3
3
33
11 
 dxxexe
Cy xx 33
1 
x
xexe
Cy xx  33
1 
xx exe
Cy 33
1
 






 113 x
C
e
y x 
 
 
20.   04 6  dyyxdxy 
 dyyxdxy 64  
 
y
yx
dy
dx 64 
 
544 y
y
x
dy
dx
 
544 y
y
x
dy
dx
 
    544 yyQ
y
yP  
        

dyyQeeCex
dyyPdyyPdyyP
 
 





dyyeeCex
dy
y
dy
y
dy
y 5
444
4 
 
 dyyeeCex yyy 5ln4ln4ln4 4 
  dyyyyCyx
5
4
44 41 
 dyyyCyx 444 
2
4 244 yyCyx  
64 2yCyx  
 
 
21. xx
x
ee
ey
dx
dy





21 
    xx
x
ee
exQxP





211 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 







 

 dx
ee
eeeCey xx
x
dxdxdx
2
111 1 
 










 dx
ee
eeeCey xx
x
xxx
21 















 dx
e
e
eeeCey
x
x
x
xxx
1
1 2 

















 dx
e
e
eeeCey
x
x
x
xxx
1
1
2
2
 
 
 









 dx
e
eeeeCey x
xx
xxx
1
1
2
2
 
 







  dx
e
eeCey x
x
xx
1
1
2
2
 
Professor, não conseguimos resolver esta integral! 
 
 
22.   022 2  dyyxyxdxy 
 dyyxyxdxy 22 2  
 
y
yxyx
dy
dx 22 2 
 
22  xy
y
x
dy
dx
 
221 





 y
y
x
dy
dx 
    221  yQy
y
yP 
        

dyyQeeCex
dyyPdyyPdyyP
 
 

























dyeeCex
dyy
y
dyy
y
dyy
y 2
212121
 
 
 dyeeCex yyyyyy 2
222 lnlnln 
  
 dyeeeeeCex yyyyyy 2
222 lnlnln 
 dyyeyeye
Cx y
yy
211
2
22 
2
22
1 y
yy
e
yeye
Cx  
yye
Cx
y
1
2  





  11 2ye
C
y
x 
 
 
23. 

cossec  r
d
dr 


cossec  r
d
dr 
     cossec  QP 
        



dQeeCer
dPdPdP
 
 



deeCer
ddd
cos
secsecsec
 
 
  deeCer costanseclntanseclntansecln 
    dCr costansectansec
1
tansec
1 
    d
Cr sin1
tansec
1
tansec
 
 

cos
tansec
1
tansec





Cr 
 

cos
tansec
1


 Cr 
   costansec  Cr 
 
 
24.   xyy
dx
dyx 4852 2  
 22
485



x
xyy
dx
dy 
 
   22 2
5
2
48





x
y
x
x
dx
dy 
   
 
 
 22 2
5
2
48





x
xQ
x
xxP 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 
 
 
 
 
 
  













 







dx
x
eeCey
dx
x
xdx
x
xdx
x
x
2
2
48
2
48
2
48
2
5222 
     
  







dx
x
eeCey
xxx
2
2ln22ln22ln2
2
5222 
     
  
  











 dx
x
x
xx
Cy 2
22
2222 2
52
2
1
2
1 
   
   dxxxx
Cy 244 252
1
2
 
   
 





 





3
25
2
1
2
3
44
x
xx
Cy 
   23
5
2 4 



xx
Cy 
   63
5
2 4 



xx
Cy 
 
 
25.   20205  ycomy
dx
dy 
    205  xQxP 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
 

dxeeCey
dxdxdx
20
555
 
   dxeeCey xxx 20555 
xxx eeCey 555 4  
45   xCey 
42 05  Ce 
42 C 
2C 
42 5   xey 
 
 
26.   00,,, iicomcEeRLsendoERidt
diL tes  
L
Ei
L
R
dt
di
 
   
L
EtQ
L
RtP  
        

dttQeeCei
dttPdttPdttP
 
 


dt
L
EeeCei
dt
L
Rdt
L
Rdt
L
R
 
 

dt
L
EeeCei L
Rt
L
Rt
L
Rt
 
L
Rt
L
Rt
L
Rt
e
R
EeCei 

 
R
ECei L
Rt


 
R
ECei L
R



0
0 
R
EiC  0 
R
Ee
R
Eii L
Rt





 

0 
 
 
27.     10,costan' 2  ycomxyxy 
  xyx
dx
dy 2costan  
    xxQxxP 2costan  
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
  

dxxeeCey
dxxdxxdxx 2tantantan cos 
   dxxeeCey xxx 2seclncoslncosln cos 
   dxxxxxCy 2cosseccoscos 
  dxxxxCy coscoscos 
xxxCy sincoscos  
0sin0cos0cos1  C 
1C 
 1sincos  xxy 
 
 
28.     2000,50  TcomTk
dt
dT 
kkT
dt
dT 50 
kkT
dt
dT 50 
    ktQktP 50 
        

dttQeeCeT
dttPdttPdttP
 
  

dtkeeCeT
dtkdtkdtk
50 
    dtkeeCeT ktktkt 50 
ktktkt eeCeT  50 
50 ktCeT 
50200 0  kCe 
50200 C 
150C 
50150  kteT 
 
 
29.     101,ln1  ysendoxy
dx
dyx 
   1
ln
1 



x
x
x
y
dx
dy 
 
 
 
 1
ln
1
1




x
x
xQ
x
xP 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
     
  











 



dx
xx
eeCey
dx
x
dx
x
dx
x
1
ln1
1
1
1
1
1
 
  







  dx
x
x
eeCey xxx
1
ln1ln1ln1ln 
 
  









 dx
x
x
x
xx
Cy
1
ln
1
1
1
1
1 
 dxxxx
Cy ln
1
1
1
 
 xxx
xx
Cy 



 ln
1
1
1
 
 xxxC
x
y 

 ln
1
1 
 11ln1
11
110 

 C 
21C 
 xxx
x
y 

 ln21
1
1 
  xxxyx  ln211 
 
 
30.     63,022  ycomy
dx
dyxx 
   2
0
2
2




xxxx
y
dx
dy 
 
0
2
2



xx
y
dx
dy 
 
 
  0
2
2


 xQ
xx
xP 
        

dxxQeeCey
dxxPdxxPdxxP
 
      




























dxeeCey
dx
xx
dx
xx
dx
xx 02
2
2
2
2
2
 
2
ln
 x
x
Cey 








2x
xCy 








23
36 C 
2C 








2
2
x
xy 
2
2


x
xy 
 
 
31.   25, 

 ysendo
xy
y
dx
dy 
  dxydyxy  
 
dy
dx
y
xy

 
 
y
xy
dy
dx 
 
y
x
dy
dx
1 
1
y
x
dy
dx 
    11  yQ
y
yP 
        

dyyQeeCex
dyyPdyyPdyyP
 
 







dyeeCex
dy
y
dy
y
dy
y 1
111
 

 dyeeCex yyy lnlnln 
 dyyyyCx
11 
2
1 2y
yy
Cx  
2
y
y
Cx  
2
2
2
5  C 
8C 
2
8 y
y
x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações de Bernoulli. Lista de exercícios resolvida. 
1. 232 xy
x
y
dx
dy
 
       
xx
xPnxP 22211* 




 
          xxxQnxQ 33211*  
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP **** 
1211   yyyv n 
  

 dxxeeCey
dx
x
dx
x
dx
x 3
222
1 
  
 dxxeeCey xxx 3ln2ln2ln21 
   dxxxxxCy 3
11 2
22
1 







4
31 4
22
1 x
xx
Cy 
2
4
2
1
4
3
x
x
x
Cy  
2
4
4
341
x
xC
y

 
 42 344 xCyx  
 4
2
3
4
xC
xy

 
 
 
2. 32 xyxy
dx
dy
 
          xxxPnxP 42311*  
          xxxQnxQ 2311*  
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP **** 
2311   yyyv n 
  
 dxxeeCey
dxxdxxdxx
2
4442 
    dxxeeCey xxx 2
222 2222 
222 2222
2
1 xxx eeCey 




  
2
1
22
2 
xe
Cy 
2
2
2
2
2 2
21
x
x
e
eC
y

 
 22 222 22 xx eCye  
 2
2
2
2
2 2
x
x
eC
ey

 
 
 
3. 33 yxxy
dx
dy
 
          xxxPnxP 2311*  
          33 2311* xxxQnxQ  
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP **** 
2311   yyyv n 
  
 dxxeeCey
dxxdxxdxx 32222 2 
    dxxeeCey xxx 32 2
222
 
 2222 22 xxxx eexeCey   
122
2
 xCey x 
11 22
2
 xCe
y
x 
 11 22 2  xCey x 
 1
1
2
2
2


xCe
y
x
 
 1
1
22 

xCe
y
x
 
  212 1
1
2


xCe
y
x
 
  212 12  xCey x 
 
 
4. 2
1
y
y
dx
dyx  
2
1
xyx
y
dx
dy
 
        
xx
xPnxP 31211* 




 
        
xx
xQnxQ 31211* 




 
 
 
 





dx
x
eeCey
dx
x
dx
x
dx
x 3
333
3 
 



  dx
x
eeCey xxx 3ln3ln3ln33 
 



 dx
x
x
xx
Cy 311 333
3 
3
33
3 11 x
xx
Cy  
13
3 
x
Cy 
3
3
3
x
xCy  
Cxyx  333 
 
 
5.  13  xyy
dx
dy 
yxy
dx
dy
 4 
4xyy
dx
dy
 
          31411*  xPnxP 
          xxxQnxQ 3411*  
 
3411   yyyv n 
  
 dxxeeCey
dxdxdx
3
3333 
    dxxeeCey xxx 33333 





   xxxx exeeCey 33333
3
1 
3
133  xCey x 
3
11 3
3  xCey
x 
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****
  3211 yyyv n  
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****
xCex
y
3
3 3
11
 
 
 
6. xyy
dx
dyx  22 
x
y
x
y
dx
dy
 2
2
 
2
2
x
y
x
y
dx
dy
 
       
xx
xPnxP 11211* 




 
        22
11211*
xx
xQnxQ 




 
 
1211   yyyv n 
 





 dx
x
eeCey
dx
x
dx
x
dx
x
2
111
1 1 
 



  dx
x
eeCey xxx 2
lnlnln1 1 
 x
xx
Cy ln111  
x
xC
y
ln1 
 
xC
y
x ln 
Cx
y
x
 ln 
 
 
7.   2
11,32 42  ycomyxy
dx
dyx 
2
432
x
y
x
y
dx
dy
 
       
xx
xPnxP 62411* 




 
        22
93411*
xx
xQnxQ 




 
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****
 
 
 





 dx
x
eeCey
dx
x
dx
x
dx
x
2
666
3 9 
 



  dx
x
eeCey xxx 2
ln6ln6ln63 9 
 



 dx
x
x
xx
Cy 2
6
66
3 911 







5
911 5
66
3 x
xx
Cy 
xx
Cy
5
91
6
3  





  
x
yxC
5
936 
















15
9
2
11
3
6C 
5
49
C 
xx
y
5
91
5
49
6
3  
xx
y
5
9
5
49
6
3  
 
 
8. 33 yxy
dx
dyx  
32 yx
x
y
dx
dy
 
       
xx
xPnxP 21311* 




 
          22 2311* xxxQnxQ  
 
2311   yyyv n 
  
 dxxeeCey
dx
x
dx
x
dx
x 2
222
2 2 
    dxxeeCey xxx 2ln2ln2ln22 2 
   dxxxxCxy
2
2
222 21 
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****
3411   yyyv n
        

dxxQeeCev
dxxPdxxPdxxP
*
***
 xxCxy 2222  
322 2xCxy  
32
2 2
1 xCx
y
 
 322 21 xCxy  
2322 21 yxyCx  
 
 
9. yxy
xdx
dy

4 
yxy
xdx
dy

4 
     
xx
xPnxP 24
2
111* 









  
        xxxQnxQ
2
1
2
111* 




  
 
2
1
2
111 yyyv n   
 





dxxeeCey
dx
x
dx
x
dx
x
2
222
2
1
 
 



  dxxeeCey xxx
2
ln2ln2ln22
1
 
 



 dxx
x
xCxy
2
1
2
222
1
 





 xxCxy ln
2
12221 





  Cxxy ln
2
1221 
2
2 ln
2
1











  Cxxy 
2
4 ln
2
1





  Cxxy 
 
 
10. 02 2  xy
dx
dyxy 
0
2
1
2

yx
y
dx
dy
 
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****
yx
y
dx
dy
2
1
2
 
        
xx
xPnxP 1
2
1111* 




 
         1
2
1111* 





xQnxQ 
 
  2111 yyyv n   
  


dxeeCey
dx
x
dx
x
dx
x 1
111
2 
  
 dxeeCey xxx 1lnlnln2 
   dxxxCxy 1
12 
 xxCxy ln2  
 xCxy ln2  
 xC
x
y ln
2
 
Cx
x
y
 ln
2
 
 
 
11. 222 y
x
y
dx
dy
 
       
xx
xPnxP 22211* 




 
          22211*  xQnxQ 
 
1211   yyyv n 
  

 dxeeCey
dx
x
dx
x
dx
x 2
222
1 
  
 dxeeCey xxx 2ln2ln2ln21 
   dxxxxCy 2
1
2
221 
x
xxCy 2221  
xCx
y
21 2  
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****
 xCxy 21 2  
122  xyyCx 
 
 
12.  dxyydyx 12  
 
x
yy
dx
dy 12 
 
x
y
x
y
dx
dy 3
 
       
xx
xPnxP 21311* 




 
       
xx
xQnxQ 21311* 




 
 
2311   yyyv n 
 





 dx
x
eeCey
dx
x
dx
x
dx
x 2
222
2 
 



  dx
x
eeCey xxx 2ln2ln2ln22 
 



 dx
x
x
xx
Cy 211 222
2 
 2222
1 x
xx
Cy  
11 22  x
C
y
 
2
2
2
1
x
xC
y

 
2
2
2
xC
y
x
 
Cx
y
x
 22
2
 
 
 
13.   221 xyxy
dx
dyx  
   2
2
2 11 x
xy
x
xy
dx
dy



 
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****
   2
2
2 11 x
xy
x
xy
dx
dy



 
           22 11211* x
x
x
xxPnxP








 
           22 11211* x
x
x
xxQnxQ








 
 
1211   yyyv n 
     
  











 



 dx
x
xeeCey
dx
x
xdx
x
xdx
x
x
2
1111
1
222 
  






 dx
x
xeeCey
xxx
2
1ln
2
11ln
2
11ln
2
1
1
1
222
 
        






 dx
x
xxxxCy 2
2
122
122
121
1
111 
      
 dxxxxxCy 2
322
122
121 111 
      


 
 2
122
122
121 111 xxxCy 
  111 212  xC
y
 
  


  111 2
12xCy 
  11
1
2
12 

xC
y 
 
 
        
 dxxQeeCev dxxPdxxPdxxP ****