TRANSFORMADAS_gabarito_2

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função
f(t) = senh(2t)+cosh(2t).
2
s2−4
1
s−2
2
s+2
2
s2+4
s
s2−9
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é: 1
s−2
2 Marcar para revisão
A transformada de Laplace é uma técnica matemática usada para resolver equações diferenciais lineares e
sistemas de equações diferenciais. Dessa forma, calcule a transformada de Laplace da função:
f(t) =
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
1, 0 ≤ t < 1
0, 1 ≤ t < 2
1, 2 ≤ t < 3
0, t ≥ 3
Ques
Cor
Em 
1
6
Exercicio Transformadas (laplace e Fourier) Sair
A
B
C
D
E
A
B
C
L{f(t)} = − + − .e−s
s
1
s
e−3s
s
e−2s
s
L{f(t)} = − + + .e−s
s
e−3s
s
e−2s
s
L{f(t)} = − + − .e−s
s
1
s
e−3s
s
L{f(t)} = − + − + .2e−s
s
2
s
2e−3s
s
2e−2s
s
L{f(t)} = − + − + .e−s
s
1
s
e−3s
s
e−2s
s
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Usando a definição:
Separando os intervalos e substituindo, temos:
Logo,
L{f(t)} = ∫ ∞
0
f(t)e−stdt
L{f(t)} = ∫
∞
0
f(t)e−stdt = ∫
1
0
1e−stdt + ∫
2
1
0e−stdt + ∫
3
2
1e−stdt + ∫
∞
0
0e−stdt
L{f(t)} = ∫
1
0
1e−stdt + ∫
3
2
1e−stdt = −
∣
∣
∣
1
0
−
∣
∣
∣
3
2
= − + − +
e−st
s
e−st
s
e−s
s
1
s
e−3s
s
e−2s
s
L{f(t)} = − + − +e−s
s
1
s
e−3s
s
e−2s
s
3 Marcar para revisão
A transformada de Laplace possui uma propriedade importante chamada propriedade da derivada, que
permite calcular a transformada de Laplace de uma derivada de uma função em termos da transformada de
Laplace original da função. Calcule a inversa da transformada de Laplace de , utilizando a
fórmula  .
G(s) = 1
s(s2−1)
′
L{∫ t
0
f(τ)dτ} = F(s)/s
g(t) = e−t + et + 1.1
2
1
2
g(t) = − e−t + et − 1.1
2
1
2
g(t) = e−t + et − 1.1
2
1
2
D
E
g(t) = e−t − et − 1.1
2
1
2
g(t) = − e−t − et − 1.1
2
1
2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Reescrevendo   , temos:
e
Calculando a inversa de   por meio de frações parciais:
Assim,
Sua transformada inversa é:
Usando a fórmula dada:
Onde  e   e  .
Como   , a sua inversa  .
Calculando  :
Logo,
G(s) = 1
s(s2−1)
G(s) = =1
s(s2−1)
1
s
1
s2−1
F(s) = 1
s2−1
F(s)
F(s) = = = +
F(s) = = = {A + B = 0
B − A = 1
→ {
A = −1/2
B = 1/2
1
s2 − 1
1
(s + 1)(s − 1)
A
(s + 1)
B
(s − 1)
A(s − 1) + B(s + 1)
(s + 1)(s − 1)
s(A + B) + 1(B − A)
(s + 1)(s − 1)
F(s) = +
−1/2
(s+1)
1/2
(s−1)
f(t) = − e−t + et1
2
1
2
L{∫ t
0
f(τ)dτ} = F(s)/s
f(τ) = − e−τ + eτ1
2
1
2
−τ + eτ1
2
F(s) = +
−1/2
(s+1)
1/2
(s−1)
G(s) = F(s)/s g(t) = ∫ t
0
f(τ)dτ
g(t)
g(t) = ∫ t
0
(− e−τ + eτ) dτ = (− e−τ + eτ)∣∣
t
0
= e−t + et − 11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
g(t) = e−t + et − 11
2
1
2
4 Marcar para revisão
As transformadas de Laplace e Fourier são técnicas matemáticas utilizadas para analisar e transformar funções
de uma variável em domínios alternativos. Dessa forma, calcule a transformada de Laplace da função  
f(t) = { e2t, 0 ≤ t ≤ 1
4, 1 ≤ t
A
B
C
D
E
L{f(t)} = + 4 .e2−s
2−s
e−s
s
L{f(t)} = − + 4 .e2−s
2−s
1
s
e−s
s
L{f(t)} = + 4 .
e2−s−1
s
e−s
s
L{f(t)} = − + 4 .e2s
2−s
1
2−s
e−s
s
L{f(t)} = − + 4 .e2−s
2−s
1
2−s
e−s
s
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Usando a definição:
Separando os intervalos da integração:
Resolvendo a parte   :
Usando a regra da substituição:
Assim, quando 
Substituindo:
Resolvendo a parte 
Voltando e substituindo na transformada:
Logo,
L{f(t)} = ∫ ∞
0
f(t)e−stdt
L{f(t)} = ∫ ∞
0
f(t)e−stdt = ∫ 1
0
e2te−stdt + ∫ ∞
0
4e−stdt = ∫ 1
0
et(2−s)dt + ∫ ∞
0
4e−stdt
∫ 1
0
et(2−s)dt
u = t(2 − s) → du = (2 − s)dt
t = 0 → u = 0 e t = 1 → u = 2 − s
∫ 1
0
et(2−s)dt = ∫ 2−s
0
du = ∣∣
2−s
0
= − = −
eu
2−s
eu
2−s
e2−s
2−s
e0
2−s
e
2−s
2−s
1
2−s
∫ ∞
0
4e−stdt
∫ ∞
0
4e−stdt = limn→∞ ∫ x
0
4e−stdt = 4 limn→∞ − ∣
∣
x
0
= 4 limn→∞ − + = 4
e−st
s
e−sx
s
e−s
s
e
−s
s
L{f(t)} = ∫ ∞
0
f(t)e−stdt = ∫ 1
0
et(2−s)dt + ∫ ∞
0
4e−stdt = − + 4e2−s
2−s
1
2−s
e−s
s
L{f(t)} = − + 4e2−s
2−s
1
2−s
e−s
s
5 Marcar para revisão
A Laplace inversa é o processo inverso da transformada de Laplace, onde a função de domínio da frequência é
convertida de volta para o domínio do tempo. Seja a função   , calcule transformada de Laplace
inversa.
F(s) = 1
s3+2s2
A
B
C
D
E
f(t) = .
4e2x−2x−1
4
f(t) = .
3e2x−2x−1
4
f(t) = .
2e2x−2x−1
4
f(t) = .
e2x−2x−1
4
f(t) = .
−2x−1
4
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Reescrevendo   , na forma de frações parciais, temos:
Temos que:
Resolvendo temos:
Construindo a expressão:
Aplicando o Laplace inverso, temos:
Logo,
F(s) = 1
s3+2s2
G(s) = 1
s(s2−1)
F(s) = = = + =1
s3+2s2
1
s2(s−2)
As+B
s2
C
s−2
As2+B−2As−2B+Cs2
s2(s−2)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
A + C = 0
B − 2A = 0
−2B = 1
−2B = 1 → B = −
B − 2A = 0 → B = 2A → A = = −
A + C = 0 → C = −A → C =
1
2
B
2
1
4
1
4
= + = + = − − + =1
s2(s−2)
As+B
s2
C
s−2
− s−1
4
1
4
s2
1
4
s−2
1
4s
1
2s2
1
4(s−2)
L
−1 { } = L
−1 {− − + } = − L
−1 { } − L
−1 { } + L
−1 { }
L
−1 { } = − − x + e2x =
1
s2(s − 2)
1
4s
1
2s2
1
4(s − 2)
1
4
1
s
1
2
1
s2
1
4
1
(s − 2)
1
s2(s − 2)
1
4
1
2
1
4
e2x − 2x − 1
4
f(t) =
e2x−2x−1
4
6 Marcar para revisão
Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t cos t, sabendo que
ℒ [ cos t] =
2 
s
s2+1
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
s(s2+3)
(s2−1)3
2(s2−3)
(s2−3)
s(s2−3)
(s2+1)3
2s(s2+3)
(s2−1)3
2s(s2−3)
(s2+1)3
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A resposta certa é:
2s(s2−3)
(s2+1)3
7 Marcar para revisão
A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais ordinárias com condições iniciais.
Sabendo que  é uma função seccionalmente contínua, definida sobre   e cuja derivada é
seccionalmente contínua e de ordem exponencial. E que   e   , calcule  
.
f [0, +∞)
f(0) = 1 L{f(t)}(s) = arctan(s)
L{e2tf ′(t)} (s)
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 1) ⋅ arctan(s − 1) − 1.
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 2) ⋅ arctan(s − 2) − 1.
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 3) ⋅ arctan(s − 3) − 1.
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 4) ⋅ arctan(s − 4) − 1.
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 5) ⋅ arctan(s − 5) − 1.
Resposta correta
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A
B
C
D
E
Gabarito Comentado
Sabemos que:
E que a transformada de uma função vezes um exponencial é:
Agora temos   , substituindo   por   :
L [f ′] (s) = s ⋅ L[f](s) − f(0)
L [f ′(t)] (s) = s ⋅ L[f(t)](s) − f(0)
L [f ′(t)] (s) = s ⋅ arctan(s) − 1
L [ectf(t)] (s) = L[f(t)](s − c)
L [e2tf ′(t)] (s) = L [f ′(t)] (s − 2)
L [f ′(t)] (s) s s − 2
L [e2tf ′(t)] (s) = (s − 2) ⋅ arctan(s − 2) − 1
8 Marcar para revisão
A transformada de Laplace é uma técnica matemática usada para resolver equações diferenciais lineares e
sistemas de equações diferenciais. Dessa forma, calcule a transformada de Laplace da função:
f(t) =
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
1, 0 ≤ t < 1
0, 1 ≤ t < 2
1, 2 ≤ t < 3
0, t ≥ 3
L{f(t)} = − + − .e−s
s
1
s
e−3s
s
e−2s
s
L{f(t)} = − + + .e−s
s
e−3s
s
e−2s
s
L{f(t)} = − + − .e−s
s
1
s
e−3s
s
L{f(t)} = − + − + .2e−s
s
2
s
2e−3s
s
2e−2s
s
L{f(t)} = − + − + .e−s
s
1
s
e−3s
s
e−2s
s
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Usando a definição:
Separando os intervalos e substituindo, temos:
L{f(t)} = ∫ ∞
0
f(t)e−stdt
L{f(t)} = ∫
∞
0
f(t)e−stdt = ∫
1
0
1e−stdt + ∫
2
1
0e−stdt+ ∫
3
2
1e−stdt + ∫
∞
0
0e−stdt
L{f(t)} = ∫
1
0
1e−stdt + ∫
3
2
1e−stdt = −
∣
∣
∣
1
0
−
∣
∣
∣
3
2
= − + − +
e−st
s
e−st
s
e−s
s
1
s
e−3s
s
e−2s
s
A
B
C
D
E
Logo,
L{f(t)} = − + − +e−s
s
1
s
e−3s
s
e−2s
s
9 Marcar para revisão
A transformada de Laplace possui uma propriedade importante chamada propriedade da derivada, que
permite calcular a transformada de Laplace de uma derivada de uma função em termos da transformada de
Laplace original da função. Calcule a inversa da transformada de Laplace de , utilizando a
fórmula  .
G(s) = 1
s(s2−1)
′
L{∫ t
0
f(τ)dτ} = F(s)/s
g(t) = e−t + et + 1.1
2
1
2
g(t) = − e−t + et − 1.1
2
1
2
g(t) = e−t + et − 1.1
2
1
2
g(t) = e−t − et − 1.1
2
1
2
g(t) = − e−t − et − 1.1
2
1
2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Reescrevendo   , temos:
e
Calculando a inversa de   por meio de frações parciais:
Assim,
Sua transformada inversa é:
Usando a fórmula dada:
G(s) = 1
s(s2−1)
G(s) = =1
s(s2−1)
1
s
1
s2−1
F(s) = 1
s2−1
F(s)
F(s) = = = +
F(s) = = = {A + B = 0
B − A = 1
→ {
A = −1/2
B = 1/2
1
s2 − 1
1
(s + 1)(s − 1)
A
(s + 1)
B
(s − 1)
A(s − 1) + B(s + 1)
(s + 1)(s − 1)
s(A + B) + 1(B − A)
(s + 1)(s − 1)
F(s) = +
−1/2
(s+1)
1/2
(s−1)
f(t) = − e−t + et1
2
1
2
L{∫ t
0
f(τ)dτ} = F(s)/s
A
B
C
D
E
Onde  e   e  .
Como   , a sua inversa  .
Calculando  :
Logo,
f(τ) = − e−τ + eτ1
2
1
2
−τ + eτ1
2
F(s) = +
−1/2
(s+1)
1/2
(s−1)
G(s) = F(s)/s g(t) = ∫ t
0
f(τ)dτ
g(t)
g(t) = ∫ t
0
(− e−τ + eτ) dτ = (− e−τ + eτ)∣∣
t
0
= e−t + et − 11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
g(t) = e−t + et − 11
2
1
2
10 Marcar para revisão
Sabendo que a transformada de Laplace da função f(t) vale  , sendo n um número inteiro, obtenha a
transformada de Laplace de e t f(t).
1
(s2+4)(n+1)
3
s−4
(s2−6s+13)(n+4)
s
(s2−6s+13)(n+1)
1
(s2−6s+13)(n+1)
s−4
(s2−6s+26)(n+1)
4
(s2+6s+26)(n+1)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é a letra C, que apresenta a expressão . Isso ocorre porque, ao aplicar
a propriedade da transformada de Laplace que diz que a transformada de e f(t) é F(s-a), onde F(s) é a
transformada de Laplace de f(t), obtemos a expressão apresentada na alternativa C. Nesse caso, a função
f(t) tem como transformada de Laplace e a é igual a 3, portanto, substituímos s por s-3 na
transformada de Laplace de f(t), resultando em , que simplifica para .
1
(s2−6s+13)(n+1)
at
1
(s2+4)(n+1)
1
((s−3)2+4)(n+1)
1
(s2−6s+13)(n+1)