LISTA I UNIDADE

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UFERSA - Universidade Federal 
Rural do Semi-árido 
Campus de Pau dos Ferros 
Disciplina: Cálculo II Semestre: 2016.2 
Professor: Fernando Henrique Fernandes 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – UNIDADE I 
 
1) Calcule as primitivas 𝐹 (𝑥) das funções 𝑓 (𝑥) que satisfaçam as condições 
especificadas: 
a. 𝑓(𝑥) = √𝑥
4 , 𝐹(1) = 2 
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +
1
𝑥2
, 𝐹(1) = 0 
c. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)−1, 𝐹(0) = 2 
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 + 𝑥, 𝐹(1) = 1 
e. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
+ 1, 𝐹(2) = 0 
 
2) Determine a função 𝑓 (𝑥) que satisfaz 
𝑓′′(𝑥) = 𝑥2 + 𝑒𝑥 , 𝑓(0) = 2, 𝑓′(0) = 1 
3) Encontre a função 𝑓(𝑥) que satisfaz as condições a seguir: 
𝑓′(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0, 𝑓(0) = 2 
4) Mostre que 𝐹(𝑥) =
1
6
(3𝑥 + 4)2 e 𝐺(𝑥) =
3
2
𝑥2 + 4𝑥 diferem em apenas uma 
constante, verificando que elas são funções primitivas de uma mesma função. 
 
2 
 
5) Calcule as integrais indefinidas das funções abaixo: 
a. 𝑓(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
 
b. 𝑓(𝑡) =
√2
3𝑡2+3
 
c. 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2+1
 
d. 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
 
e. 𝑓(𝑡) = √
4
𝑥4−𝑥2
 
f. 𝑓(𝜃) = 𝑐𝑜𝑠 (𝜃)𝑡𝑔(𝜃) 
g. 𝑓(𝑧) =
𝑧2−1
𝑧2+1
 
h. 𝑓(𝑥) =
𝑥3+2𝑥2−√𝑥
𝑥
1
3
 
i. 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑛(𝑥)
𝑥𝑙𝑛 (𝑥2)
 
6) Resolva a integral de ∫ 2 sin(𝑥) cos (𝑥)𝑑𝑥 por substituição tendo: 
a. 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 
b. 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
c. 𝐷𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑑á 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑛𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠? 
7) Resolvas as seguintes integrais indefinidas por substituição: 
a. ∫(2𝑥2 + 2𝑥 − 3)10(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 
b. ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑥2−1
5 
c. ∫ 5𝑥(4 − 3𝑥2)
1
2𝑑𝑥 
d. ∫ √𝑥2 + 2𝑥4𝑑𝑥 
e. ∫
𝑒𝑡𝑑𝑡
𝑒𝑡+4
 
f. ∫ 𝑡𝑔(𝜃) 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃 
g. ∫
2𝑠𝑒𝑛(𝜃)−5𝑐𝑜𝑠 (𝜃)𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠 (𝜃)
 
h. ∫
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦
2√1−𝑦2
 
i. ∫
𝑑𝑥
16+𝑥2
 
j. ∫
𝑑𝑟
𝑟2−4𝑟+4
 
k. ∫
𝑑𝑟
𝑟2−4𝑟+4
 
l. ∫
𝑙𝑛(𝑥2)
𝑥
𝑑𝑥 
m. ∫ 𝑥𝑒3𝑥
2
𝑑𝑥 
n. ∫
1
𝑥𝑙𝑛(𝑥)
𝑑𝑥 
3 
 
o. ∫ 𝑥2√1 + 𝑥 𝑑𝑥 
8) Resolvas as seguintes integrais indefinidas por partes: 
a. ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑑𝑥 
b. ∫ 𝑙𝑛(1 − 𝑥) 𝑑𝑥 
c. ∫ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)(𝑥 + 1)𝑑𝑥 
d. ∫ 5𝑥(4 − 3𝑥2)
1
2𝑑𝑥 
e. ∫ 𝑥𝑙𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 
f. ∫ 𝑐𝑜𝑠3(𝑥) 𝑑𝑥 
g. ∫ 𝑙𝑛3(2𝑥) 𝑑𝑥 
h. ∫ 𝑙𝑛(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 
9) Calcule as integrais: 
a. ∫ 𝑥𝑒𝑥
2
𝑑𝑥
1
0
 
b. ∫ (4𝑥3 − 1)𝑑𝑥
2
1
 
 
10) Use a área mostrada na figura a seguir para encontrar o valor das integrais. 
 
a. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
b. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑏
 
c. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
 
d. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑑
𝑎
 
 
4 
 
11) Calcule as integrais definidas das funções abaixo no intervalo dado e 
esboce o gráfico da função. 
a. 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 5, −1 < 𝑥 < 0
5 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 𝑒𝑚 [−1,1] 
b. 𝑓(𝑥) = 2|𝑥| 𝑒𝑚 [−1 , 1] 
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 −
|𝑥|
2
 𝑒𝑚 [−1 , 1] 
d. 𝑓(𝑥) = |𝑠𝑒𝑛(𝑥)| 𝑒𝑚 [−𝜋 , 𝜋 ] 
e. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − |𝑠𝑒𝑛(𝑥)| 𝑒𝑚 [−𝜋 , 𝜋] 
12) Encontre um valor positivo para “k” de forma que a área sob o gráfico 
𝑦 = 𝑒2𝑥 no intervalo [0, 𝑘] seja 3 unidades de área. 
13) Calcule as áreas mostradas entre as funções dadas. 
a. 𝑥 =
1
2
, 𝑥 = √𝑦, 𝑦 = −𝑥 + 2 
 
 
 
 
b. 𝑦2 = 2𝑥, 𝑥2 = 2𝑦 
 
 
 
 
 
5 
 
 
c. 𝑦 = 5 − 𝑥2, 𝑦 = 𝑥 + 3 
 
 
 
 
 
 
d. 𝑦 =
1
2
𝑥2, 𝑦 = 6 
 
 
 
 
 
 
e. 𝑥 + 𝑦 = 3, 𝑦 + 𝑥2 = 3 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
f. 𝑥 = 𝑦3, 𝑦 = 𝑥 
 
 
 
 
 
g. 𝑦 = 𝑒−𝑥 , 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 = −1