Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Página 1 FRAÇÕES 1 Elementos Históricos sobre frações Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcar novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas. As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações. Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho. Figura1: O fracionamento de uma pizza Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo. Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão: Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga. 1. Você concorda com esta divisão? Por quê? 2. Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais? 3. O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte. FRAÇÃO – Definição e Operações DEFINIÇÃO: Fração é uma forma de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais. Como é que você representaria a quantidade referente ao número 1 que foi dividida em 8 partes iguais? Simplesmente através da seguinte fração: 1/8. Generalizando, a fração 𝑎/𝑏 é a representação genérica do valor 𝑎 que é dividido por 𝑏 partes iguais, sendo 𝑏 ≠ 0. Em toda fração, o termo superior é chamado de numerador e o termo inferior é chamado de denominador. Em nossa fração genérica 𝑎/𝑏 temos que o termo 𝑎 é o numerador e o termo 𝑏 é o seu denominador. Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como: 4 1 Figura2: Frações múltiplas de um quarto Leitura de frações O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1 < d < 10. A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como: O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d > 10. Página 2 O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d > 10. Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos. Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez. O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10. Se o denominador for múltiplo de 10, lemos: OPERAÇÕES Adição A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum. Vejamos o seguinte exemplo: 7 3 7 2 7 1 Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7. Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como terá o mesmo denominador 7: 7 6 7 321 Vejamos agora este outro exemplo: 13 3 5 2 3 1 Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Será o MMC(3, 5, 13): Como sabemos, o MMC(3, 5, 13) = 195. Logo todas as frações terão o denominador comum 195. Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contendo o denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo: 195 188 195 457865 195 45 195 78 195 65 Subtração 1/2 um meio 1/3 um terço 1/4 um quarto 1/5 um quinto 1/6 um sexto 1/7 um sétimo 1/8 um oitavo 1/9 um nono 1/11 um onze avos 1/12 um doze avos 1/13 um treze avos 1/14 um quatorze avos 1/15 um quinze avos 1/16 um dezesseis avos 1/17 um dezessete avos 1/18 um dezoito avos 1/19 um dezenove avos Fração Leitura Leitura Comum 1/10 um dez avos um décimo 1/20 um vinte avos um vigésimo 1/30 um trinta avos um trigésimo 1/40 um quarenta avos um quadragésimo 1/50 um cinquenta avos um quinquagésimo 1/60 um sessenta avos um sexagésimo 1/70 um setenta avos um septuagésimo 1/80 um oitenta avos um octogésimo 1/90 um noventa avos um nonagésimo 1/100 um cem avos um centésimo 1/1000 um mil avos um milésimo 1/10000 um dez mil avos um décimo milésimo 1/100000 um cem mil avos um centésimo milésimo 1/1000000 um milhão avos um milionésimo Página 3 A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as frações contenham um denominador comum. Quando as frações possuírem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se este denominador comum. Vejamos o exemplo: 9 2 9 1 9 8 Observamos que todas as frações possuem o denominador 9. Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como irá manter o denominador 9: 9 5 9 218 Multiplicação Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais simples das operações aritméticas que as envolvem. Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores. Vejamos o exemplo abaixo: 7 4 5 2 3 1 Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou não, iremos realizar a multiplicação conforme mostrado abaixo: 105 8 7 4 5 2 3 1 Divisão A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações. Vejamos como realizar a divisão abaixo: 7 4 5 2 3 1 Realizando-se a inversão das divisoras e mudando-se de divisão para multiplicação teremos: 4 7 2 5 3 1 Realizando-se a multiplicação teremos: 24 35 A divisão de frações mistas segue o mesmo principio, no entanto devemos primeiramente convertê-las em frações impróprias. Múltiplas OperaçõesAssim como nas operações aritméticas com números naturais, nas operações aritméticas com frações, a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração, por isto em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar as operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração. Vejamos a expressão a seguir: 13 11 7 1 7 4 5 2 3 1 A sequência para a sua resolução é a seguinte: Primeiramente executamos a multiplicação: 13 11 7 1 35 8 3 1 Página 4 Em seguida executamos a divisão, invertendo a fração e transformando a divisão em uma multiplicação: 77 13 35 8 3 1 11 13 7 1 35 8 3 1 Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o denominador comum das frações e realizarmos a soma e a subtração: 1155 454 1155 195264385 Exercícios 1ª) Coloque em ordem crescente as frações: a) 4 9 , 4 17 , 4 3 b) 9 4 , 9 7 , 9 1 , 9 8 c) 10 7 , 5 7 , 3 7 , 8 7 d) 4 6 , 3 4 , 12 5 , 2 1 2ª) Luís e Pedro recebem por mês a mesma quantia. Luís gasta 4 3 do seu ordenado e Pedro, 3 2 do seu ordenado. Quem gasta mais? 3ª) Uma classe tem 42 alunos, dos quais 3 2 são meninas. a) Quantas são as meninas dessa classe? b) Quantos são os meninos dessa classe? c) Quanto vale 5 3 de 40? 4ª) Uma pizza é dividida em 8 partes iguais. a) Se a pizza custar 16 reais, quanto custará 8 1 dela? b) Se a pizza custar 24 reais, qual será o preço de 8 5 dela? c) Se a pizza custar 20 reais, quanto custará 8 8 dela? 5ª) Uma prova de Matemática continha 15 questões. Lígia errou 3 1 delas. Quantas questões ela errou? 6ª) Gláucia e Cristina recebem salários iguais. Gláucia aplicou 4 1 de seu salário na caderneta da poupança e Cristina, 5 1 . Qual delas fez melhor aplicação? 7ª) Um alpinista escalou 4 3 de uma montanha, o que corresponde a 1200 m. Qual a distância total a ser escalada? 8ª) Se 4 3 do percurso de minha casa ao colégio equivalem a 15 km. Qual é em quilômetros o percurso total? 9ª) Para encher 5 2 de uma piscina são necessários 60.00 litros de água. Qual a capacidade dessa piscina? 10ª) Um reservatório contém 2400 litros. Quantos litros conterão 4 3 desse reservatório? Página 5 11ª) Numa caixa há meio cento de laranjas. Se retirarmos 5 2 dessas laranjas. Quantas ficarão na caixa? 12ª) O tanque de um Omega tem a capacidade de 75 litros. Quantos litros são necessários para encher 3 2 desse tanque? 13ª) Os 5 3 da capacidade de um freezer vertical correspondem a 111 litros. Qual a capacidade total desse freezer? 14ª) Uma quinta série tem 42 alunos, e 7 5 desses alunos já estão aprovados. Quantos alunos ainda não foram aprovados? 15ª) Determine: a) 5 4 de 420. b) a metade de 7 3 . c) 4 3 de 640. 16ª) Efetue, simplificando quando possível: a) 4 1 3 1 2 1 i) 4 1 3 2 1 2 b) 3 2 6 1 2 3 j) 1 + 8 7 6 5 c) 2 3 3 1 4 1 l) 5 1 2 3 1 3 d) 2 + 6 5 4 3 m) 2 3 5 2 4 1 e) 3 2 4 1 1 8 7 = n) 35 2 6 1 f) 1 + 2 1 1 4 1 2 o) 46 1 2 3 1 1 17ª) Calcular as expressões, efetuando-se primeiramente entre os parênteses: a) 2 1 3 2 - 3 1 g) 2 1 1 + 3 1 2 b) 3 1 2 3 - 2 1 h) 3 1 6 1 2 1 4 7 c) 1 4 1 2 7 - 8 3 i) 2 1 2 - 2 1 4 3 d) 4 1 1 2 1 2 j) 4 1 11 3 5 18ª) Calcular o valor das expressões numéricas, lembrando a ordem das operações: a) 5 6 3 1 2 3 X b) 47 1 7 4 X c) 4 9 3 2 4 3 2 XX d) 2 5 5 2 4 3 9 20 6 1 XX e) 2 5 1 11 3 X f) 4 1 12 5 8 3 4 1 2 X 19ª) Coloque um dos sinais <, > ou = entre as frações. a) 7 1 ____ 14 2 c) 2 3 ____ 3 4 e) 5 2 ____ 7 3 Página 6 g) 4 10 ____ 6 15 b) 6 3 2 ____ 8 5 2 d) 4 11 ____ 3 4 20ª) Um grupo possui 12 pessoas, das quais 8 são mulheres e 4 são homens. Indique que fração do total de pessoas o número de homens representa. Faça o mesmo com o grupo de mulheres. 21ª) Escreva as frações abaixo por extenso. a) 1/5. b) 3/8. c) 7/20. d) 5/100. e) 125/1000. 22ª) Calcule a) 1/3 de 42. b) 1/8 de 92. c) 4/5 de 65. d) 9/7 de 63. 23ª) 104 alunos de um curso são destros. Se o 1/9 dos alunos são canhotos, quantos estudantes tem o curso? 5. Se 5/6 de um número são 350, calcule 4/7 desse número. 24ª) Converta os números abaixo em frações. a) 3 e 4/7. b) 5 e 3/4. c) 2 e 9/12. 25ª) Escreva duas frações equivalentes a cada fração abaixo. a) 1/3. b) 2/5 c) 5/4. 26ª) Escreva as frações do exercício 7 no formato decimal. 27ª) Escreva cada fração abaixo na forma mais simples possível. a) 6/12. b) 15/25 c) 4/24. d) 35/14. 28ª) Simplifique a fração 16/64 dividindo o numerador e o denominador por 2 sucessivas vezes. 28ª) Simplifique a fração 36/54 dividindo o numerador por 2 ou por 3 sucessivas vezes. 29ª) Usando o método das divisões sucessivas, simplifique as frações a) 18/42. b) 24/32. c) 4/20. 30ª) Depois de fatorar os números, calcule o máximo divisor comum entre a) 45 e 63. b) 30 e 75. c) 42 e 105. 31ª) Simplifique as frações a) 45/63. b) 75/30. c) 42/105.
Compartilhar