6° ano - Módulo 13

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QUando dividimos 
um todo em partes 
iguals, podermos 
utlizar o conceito 
de fraçbes, Se uma 
maça for dividida 
em 2partes 1guais 
por exemplo, cada 
uma dessas pantes 
equvale a da maça 
A -MÓDULO 
13 
Chekytavaa/Shumersto
O estudo das frações 
OBJETOS D0 CONHECIMENTO 
o Conceito de fração e localização na reta numérica 
o Frações equivalentes
o Número misto 
o Fração de quantidade 
oSimplificação de fração 
Transformar uma fração em número misto e vice-versa. 
o Simplificar uma fração. 
o Comparar, ordenar, ler e escrever números racionais
Cuja representaçao decimal e finita, fazendo uso da reta 
numerica. 
o Compreender, comparar e ordenar frações associadas
as ideias de partes de inteiros e resultado de divis�o, 
identificando frações equivalentes. 
oResolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo 
da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um 
numero natural, com e sem uso de calculadora. 
HABILIDADES 
o Determinar o todo a partir de uma fração desse todo. 
o Localizar uma fração na reta numérica. 
o Classificar uma fração em própria ou imprópria e 
identificar se uma fração imprópria é aparente. 
PARA COMEÇAR 
As frações são utilizadas no cotidiano quando desejamos indicar uma parte de um todo. 
Exemplos 
Anita comeuda barra de chocolate, ou Rita utilizou 2 do combustivel do seu veiculo, 
seja, ela comeu 2 das3 partes iguais em que 
o chocolate pode ser dividido. 
Ou seja, foram consumidas 3 de 4 partes iguais 
da capacidade do tanque. 
2/4 
1/4 
A familia de Marcelo já percorreu da dis- Renato utilizou do conteudo de uma em- 
tância entre duas cidades, ou seja, foram per- balagem na preparação de uma receita, ou 
corridos 5 de 6 trechos de mesma medida seja, separou o conteudo da embalagem em 
2 partes iguais e utilizou 1 delas. em que o trajeto pode ser dividido. 
Você se lembra de outras situações em que aparecem frações? 
PARA APRENDER 
Ideia de fração 
Conforme vimos nos exemplos acima, quando separamos algo em partes iguais e escolhemos 
uma quantidade dessas partes, estamos utilizando o conceito de fração. Em outras palavras, a fração 
é utilizada para representar parte da unidade ou de uma quantidade que foi dividida em partes iguais.
Uma fração pode ser representada por em que a eb são números naturais e b é diferente de zero. 
Dizemos quebéodenominador da fraçãco, e é ele que indica em quantas partes iguais o todo foi dividido. 
Dizemos que a e o numerador da fração, e é ele que indica a quantidade de partes que foram selecionadas. 
Exemplos
Leitura de uma fração 
Para ler uma fração, começamos pelo numerador e, então, lemos o denominador, conforme indicado nos casos a seguir. 
1 caso: Denominador é menor que 10. 
Exemplos Le-se Denominador 
Um sexto. Meio 
Tergo 
Três quintos. 
Quarto 
Quinto Quatro nonos. 
Sexto 
Setimo 
Oitavo 
Nono 
2" caso: Denominador é uma potência de base 10. 
Exemplos Le-se Denominador 
Sete décimos. Decimo 
Centesimo T00 
Trezentos e sessenta e nove milésimos. 
1000 Milésimo 1000 
T000ooQuarenta 
41 
e um centésimos de milésimos. 
10 OUU Decimo de milesimo 
100 000 Centésimo de milésimo 
Milionésimo0 1000 000 
3 caso: Nas demais situações, o denominador deve ser lido normalmente, seguido da palavra "avos 
Exemplos 
Tres dezessete avos. 
Treze cinquenta avos. 
50 
E0 Vinte e oito quinhentos e quatro avos. 
S04 
Fração de quantidade 
Podemos separar os problemas que utilizam fração de quantidade em dois grupos, conforme 
indicado abaixo. 
Quando calculamos a fração de uma quantidade 
Exemplo 
Rodrigo tem 100 livros em sua casa e já leu deles. Quantos livros 
Rodrigo já leu? 
Foi utilizada uma fração com denominador 4; isso significa que o total 
de livros deve ser dividido em 4 partes iguais. Como 1004 25, 
então cada parte corresponde a 25 livros. O numerador da fração é 3, 
o que indica que Rodrigo leu 3 dessas 4 partes. Portanto, Rodrigo já leu 
3x 25 75 livros, ou seja, 2 de 100 é igual a x 100 75. Observe
4 
abaixo o esquema que representa a situação descrita. 
100 livros 
252525 25 
Quando calculamos o todo a partir de uma quantidade dada 
Exemplo 
Ricardo está fazendo um treino diário que consiste em correr ao redor de um parque sucessivas 
vezes. Após completar 6 voltas, seu treinador informou que ele já tinha concluído do treina- 
mento do dia. Qual é o total de voltas que corresponde ao treinamento diário de Ricardo? 
Agora não temos o total de voltas, mas apenas uma parte, 6 voltas, ou seja, é do treinamento 
diário correspondem a 6voltas. Isso significa que 2 das 5 partes iguais em que o treinamento foi 
dividido correspondema 6 voltas. Logo, cada parte equivale a 6 2 =3 voltas. Como o treina- 
mento diário corresponde a 5 dessas partes, então é equivalente a 5 X 3 = 15 voltas. Observe 
a seguir o esquema que representa a s descrita 
6 voltas 
3 33 
Frações próprias e frações impróprias
Podemos classificar uma fração de acordo com os valores assumidos pelo numeradore pelo 
denominador.
Fração própria é a que tem o numerador menor que o denominador.
Exemplos 
10 
Fração imprópria é a que tem o numerador maior ou igual ao denominador. 
Exemplos 
Uma fração imprópria ainda pode ser classificada em fração aparente ou ser escrita na forma 
de numero misto. 
Fração aparente é uma fração imprópria em queo numerador é múltiplo do denominador, ou 
seja, a divisão do primeiro pelo segundo é exata. 
Exemplos 
-1 4 2 -3 
Número misto é uma maneira de escrever uma fração imprópria em que a divisão do nume-
rador pelo denominador não é exata. O número misto é composto de uma parte inteira e uma 
parte fracionária, em que a parte fracionária deve ser uma fração própria. 
Exemplos 
-1 14-22 .10-3 -3 
A leitura de um numero misto é iniciada pela parte inteira, seguida da leitura da fração. No 
ultimo exemplo, temos: 
3 Três inteiros e quatro quintos. 
Como converter uma fração imprópria em nümero misto 
Vamos escrever a fraç�ocomo um número misto. Para isso, dividimos o numerador pelo 
denominador: 
195HD 
Numerador4 3-Parte inteira 
Observe que o divisor corresponde ao denominador da parte fracionária do número misto, e o 
resto, ao numerador. Já o quociente indica a parte inteira. Portanto, =3 
Como converter um número misto em fração imprópria 
Conforme estudamos, o número misto indica três elementos de uma divisão: o divisor, o 
quociente eo resto. Com base nessas informações, podemos determinar o dividendo e, então, 
fração imprópria. Basta lembrar que dividendo = divisor x quociente + resto. Observe o 
procedimento para escrever 3 como uma fração imprópria. 
5-Denominador ?=5 X3 + 4 15 +4 19 
3 Parte inteira Portanto, 3 Numerador 4 
Localização de uma fração na reta numérica 
Antes de localizar as frações na reta numérica, precisamos reconhecer que uma fração nada 
mais é do que a divis�o do numerador da fração pelo seu denominador. O numerador representa 
quantas partes do todo foram selecionadas, enquanto o denominador, em quantas partes iguais 
foi divididoo todo. 
Vamos estudar dois casos: o das frações próprias e o das frações impróprias.
479 
Como localizar uma fração própria na reta numérica 
Exemplos 
Vamos localizar a fraçãoque será representada pelo ponto A. 
2 
Para isso, dividimos o segmento entre os números 0 e 1 em 2 partes, pois o denominador é 2. 
A partir do zero, marcamos o ponto A após 1 das partes, pois o numerador é 1. 
Note que a fração representa a divisão do número 1 por 2. Verifique que o ponto A está no 
2 
meio do segmento. 
Vamos localizar a fração, que será representada pelo ponto B. 
Dividimos o segmento entre os números 0 e 1 em 3 partes, pois o denominador é 3. A partir do 
zero, marcamos o ponto B após 2 das partes, pois o numerador é 2. 
Note, novamente, que se trata da divisão de 2 por 3, que é menor que um inteiro 
Vamos localizar a fração, que será representada pelo ponto C. 
Dividimos o segmento entre os números 0 e 1 em 5 partes, pois o denominador é 5. A partir do 
zero, marcamoso ponto C após 3 das partes, pois o numerador é3. 
Como localizar uma fração imprópria na reta numérica 
Exemplos 
Vamos localizar a fraçãoque será representada pelo ponto D. 
Primeiro, transformamos a fração em um número misto:=1 Isso significa que 1< <2. 
Como D= 1, dividimos o segmento entre os números 1 e 2 em 2 partes iguais e, a partir do 
1, marcamos o ponto D após 1 das partes. 
Vamos localizar a fraçãoque será representada pelo ponto E. 
4 
Primeiro, transformamos a fração em um número misto: 23. Como E = 23, dividimos o segmen 
4 4 4 
to entre os numeros 2 e3 em 4 partes iguais e, a partir do 2, marcamos o ponto E após 3 das partes. 
480 
Fraçoes equivalentes 
Paula e Bruna estavam assistindo, cada uma de sua casa, a um mesmo video para a aula de Ma- 
temática. Paula assistiu a do video, e Bruna assistiu a Depois, fizeram uma pausa para o lanche. 
4 
Qual das meninas assistiu à maior parte do vídeo até esse momento? 
Para responder a essa pergunta, precisamos comparar as frações do video a que cada uma assistiu. 
Veja quanto cada menina assistiu. 
1:0:00 
1:00:00 
Observe que as duas frações representam a mesma parte do video inteiro. Logo, as duas meninas 
assistiram à mesma parte do video. 
Além disso, podemos determinar quantos minutos foram assistidos. Repare que o video tem 
duração de 1 hora, ou seja, 60 minutos. Portanto, as duas meninas assistiram a 15 minutos do video, 
pois de 60 =de 60 = 15. 
Quando duas ou mais frações diferentes representam a mesma parte de um todo, dizemos 
que elas são frações equivalentes. 
De acordo com a situação descrita, e são frações equivalentes. Note que 1 x2=2e4 X 2 =8, 
de modo que, para obter a segunda fração a partir da primeira, multiplicamos por 2 tanto o numerador 
quanto o denominador da primeira fração. 
Como obter uma fração equivalente a outra 
Para obter uma fração equivalente a outra fração, podemos multiplicar o numerador e o deno0 
minador pelo mesmo número. 
Exemplos 
x10 
Também podemos obter frações equivalentes a partir da divisão do numerador e do denominador 
pelo mesmo número. Quando aplicamos esse processo, estamos simplificando a fração e, uma vez 
que não seja mais possivel simplificar, encontramos uma fração irredutivel. 
Exemplo 
Note queea fraçao irredutivel de Alem disso, como o processo para obter uma fração 
60 
irredutivel termina quando o numerador e o denominador não têm um divisor comum além do 1 (e 
lembrando que numeros que têm apenas um divisor em comum s�o chamados primos entre si), po- 
demos concluir que uma fração irredutivel é composta de numerador e denominador primos entre si. 
REPARE 
EREFLITA Para obter a fração iredutivel diretamente, em uma única etapa, simplificamos a fração 
dada utilizando o maximo divisor comum |MDC] do numerador e do denominador. Por 
exempla, vamos simplifticarem uma unica etapa para obter uma fraçao irredutivel 
BU 
Como o MDCI36, 60)= 12, fazemos assim: 
0 
12 
Comparação de frações 
Para nos auxiliar no estudo deste topico, vamos analisar três casos 
Quando os denominadores das frações são iguais 
João e Fernanda compraram uma pizza. João comeu 
da pizzo, e Fernanda comeu da pizza. Quem comeu 
mais pizza? 
Fazendo um esboço da situaç�o, temos: 
Fernanda
João 
Observe que o todo é o mesmo para João e para Fernanda (ou seja, uma pizza), e ele foi dividido 
no mesmo numero de partes nos dois casos. Como João comeu mais partes, concluímos que João 
comeu mais pizza. 
Para comparar frações com denominadores iguais, comparamos seus numeradores.A fração 
com o maior numerador é a maior fração. 
Portanto, pois 3>2. 
Quando os numeradores das frações são iguais 
O pai de Ana e Mateus comprou 36 figurinhas. Ele deu das figurinhas para Ana edas figu-
rinhas para Mateus. Quem recebeu mais figurinhas? 
Uma maneira de responder à pergunta consiste em calcular de 36 e de 36, ou seja, 
significa dividir 36 em 2 partes (36 +2 = 18) e dividir 36 em 3 partes (36 3 = 12). Assim, 
concluimos que Ana ganhou 18 figurinhas, e Mateus, 12. Logo, Ana ganhou mais figurinhas, 
pois 
Mateus Ana 
12 2 2 18 figurinhas 18 figurinhas 
figurinhas tigurinhas tiguinhas 
Outro modo de comparar as fraçõeseé considerar que o denominador é a quantidade de 
partes em que estamos dividindo o todo. Dessa maneira, quanto maior for o valor do denominador, 
maior será o número de partes em que o todo será dividido, de modo que cada parte corresponderá
a um valor menor 
Ana 
Mateus 
Para comparar frações com numeradores iguais, comparamos seus denominadores. A fração 
com o menor denominador é a maior fração. 
Portanto, pois 2 3. 
483 
Quando os numeradores são diferentes, assim como os denominadores 
A mãe de Carolina e Vinicius comprou duas barras de chocolate iguais e deu uma barra a cada 
filho. Vinícius comeu de sua barra, enquanto Carolina comeu da barra que ela ganhou. Qual 
dos dois comeu mais chocolate? 
Para responder à pergunta, vamos utilizar a ideia de frações equivalentes. O que precisamos, nesse 
caso, são de frações equivalentes a ea com o mesmo denominador, para facilitar a comparação. 
Isso significa que buscamos frações com um denominador que seja múltiplo de 3 e de 2. Para 
facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o menor múltiplo comum (MMC) de 3 e de 2, que é 6. 
Assim: 
Como- -entäo>Portanto, concluimos que 2> Assim, Vinicius comeu 
mais chocolate que Carolina. 
Observe a representação geométrica dessa situação. 
Vinicius Carol 
Para comparar frações com numeradores e denominadores diferentes, obtemos frações equiva- 
lentes a elas, com o mesmo denominador. Então, comparamos os numeradores das novas frações. 
A fração com o maior numerador é a maior fração. 
Portanto, pois 
(484) 
CSITUAÇÃO-PROBLEMA 
No treino da equipe de basquete, Amanda, Beatriz e Carla fizeram 15, 20 e 30 lances à cesta, 
respectivamente. Se Amanda acertou 10 arremessos, Beatriz acertou 13, e Carla acertou 18, qual 
delas teve o melhor desempenho? 
Resolução 
As frações que representam os acertos de Amanda, Beatrize Carla em relação ao número de arre-
messos são, respectivamente, ePara descobrir qual delas teve o melhor desempenho, 
15 20 
precisamos comparar essas frações. Para isso, inicialmente calculamos o MMC(15, 20, 30) = 60. 
Então, obtemos as frações equivalentes, todas com denominador 60: 
Amanda: 60 Beatriz:= Carla: 00 
Como 0concluimos que portanto, quem teve melhor desempe- 
nho foi Amanda. 
PRATICANDO O APRENDIZADO 
Faça o que se pede nos itens abaixo. c) Um chocolate tem 400 g. João vai comerdesse 
a) Calcule de 300 reais. chocolate. Quantos gramas João comerá? 
b) Se de uma peça de metal equivale a 45 kg, calcule d) Marcos gastou do seu pagamento semanal que 
quantos quilogramas tem essa peça inteira de metal. equivale a RS 360,00. Qual é o valor do pagamento 
semanal de Marcos? 
485 
Classifique cada fração a seguir em própria (P), impró- 
pria não aparente () ou imprópria aparente (A) 
c) 13 
a) B)(2 
b) h) 2 
Localize os números do quadro na reta numérica. 
d) 
A- B 1 
k) e)15 
C D= E= 
3Escreva as frações impróprias na forma de números mistos. 
a 
Escreva o número que deve ser colocado no lugar do 
de modo a determinar a fração equivalente à fração 
dada 
b) 
)- 
b)- 20 
Escreva os números mistos na forma de frações impróprias. 
a) 2 
b) 1 
a86 
Simplifique cada fração até obtê-la na forma irredutível. &Ordene os números de acordo com o que é pedido. 
a) a) Escreva as frações em ordem crescente. 
b) Escreva as frações em ordem decrescente. 
c) Escreva os numeros em ordem crescente. 
d 42 
APLICANDO O CONHECIMENTO 
Daltonismo é um distúrbio visual em que a pessoa tem difi 
culdade para reconhecer e diferenciar algumas cores. Esti- 
Em um campeonato de futebol, Caio é o artilheiro de 
seu time, com 12 gols. Sabendo que os gols de Caio 
ma-se queda população mundial tenha esse distúrbio representam dos gols marcados pelo time dele, 100 
visual. Nessas condições, se umacidade tem 15000 habi-
tantes, qual é a quantidade esperada de daltônicos? 
quantos gols o time de Caio já fez no campeonato? 
Cid treina todos os dias, e sua meta diária é correr 
15 km. Certo dia, após um tempo do inicio do treino, 
Gabriel está participando de um jogo on-line em que 
é necessário cumprir 20 níveis para completar a mis- 
verificou que já havia corrido da meta diária. Nesse São. Para cada nivel completo, o jogador ganha a mes- 
ma quantidade de pontos. Se atualmente Gabriel tem 
instante, quantos quilömetros faltavam para Cid termi- 
nar o treinamento? 450 pontos e concluiu da missão, quantos pontos 
faltam para ele completar a missão? 
487 
Um cinema vendeu dos ingressos disponíveis em uma Leia o trecho da notícia abaixo. 
Projeto de plantar 1 trilhão de árvores chega sessão. Sabendo que 150 ingressos dessa sessão não fo- 
ram vendidos, qual éa capacidade dessa sala de cinema? ao Brasil 
-) Em 2017, na zona sul de São Paulo, embaixadores 
do programa [Plantar Árvores] o introduziram para alunos 
da Escola Municipal de Ensino Fundamental Dr. Sócrates 
Brasileiro. Um terreno ao lado da instituição, antes baldio, já 
foi recuperado com o plantio de 350 mudas e 170 sementes. 
Disponivel em: chttps://catrucallvre.com.br/parcelros-catraca/as-melhores-solucoes 
Listentaveis/plantar-1-4rilha-de-arvares/>. Acesso erm: 6 set. 2019. 
A partir dessa noticia, elabore uma questão envolvendo 
fração de quantidade e aplicando os conhecimentos 
que você adquiriu neste módulo. Peça a um colega que 
resolva a sua questão. Depois, confira a resolução dele 
Carlos resolveu comprar um carro novo que custa 
R$ 75.000,00. Como entrada para essa compra, ele deu 
usando a calculadora. 
do valor do carro e o restante pagou em oito prestações 
iguais e sem juros. 
a) Calcule quantos reais Carlos deu de entrada. 
0 reservatório abaixo está com do volume de água. 
b) Que fração do valor total ainda falta para Carlos pagar? 
Sabendo que cheio ele comporta 240 litros de água, 
elabore um problema usando esses dados. Depois, peça 
a um colega que resolva seu problema e confira a reso- 
lução dele. 
c)Qual foi o valor de cada prestação? 
488 
DESENVOLVENDO HABILIDADES
Um aluno percebe que, para ser aprovado, precisa obter 
na última prova uma notamaior que a média para 
Para encher de um tanque são necessários 15 litros 
de água. Quantos litros de água são necessários para 
aprovação. Sabendo que a média para aprovaçãoé 6, 
qual é a nota mínima que o aluno precisa obter na úl- 
encher completamente dois tanques como esse 
a) 5 litros. tima prova para ser aprovado? 
b) 25 litros. a) 2 
b) 7 c) 50 litros. 
)8 d) 75 litros. 
d) 9 No treino diário de um atleta, ele corre 10 km. Isso equi-
vale a2 do que ele vai percorrer em uma competição. 
Segundo estudos cientificos, passamos de nossa vida 3 
Por isso, o atleta resolve aumentar o quanto percorre no dormindo, pois, além de prazeroso, o sono é essencial 
para a restauração e a manutenç�o da nossa energia. 
Considerando isso, uma pessoa que dormiu, ao todo, 
treino, para passar a correr o mesmo que percorrerà na 
competição. Nessas condições, quantos quilômetros a 
24 anos, viveu por: mais o atleta tem de correr diariamente em seus treinos? 
a) 8 anos. a) 2 km 
b) 24 anos. b) 4 km 
c) 48 anos. 12 km 
d) 72 anos. d) 14 km 
ANOTAÇÓES 
8