auto valores, calculo vetorial

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Autovalores e Autovetores
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6.1 — Autovetor e Autovalor de um Operador Linear
Definic¸a˜o
Seja T : V → V um operador linear. Um vetor v ∈ V , v 6= 0, e´ dito um
autovetor de T se existe um nu´mero real λ tal que
T (v) = λv .
O nu´mero real λ acima e´ denominado autovalor de T associado ao
autovetor v .
() Autovalores e Autovetores 2 / 15
6.1 — Autovetor e Autovalor de um Operador Linear
Exemplo 1
T : R2 → R2, T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).
T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2).
∴ 6 e´ um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .
Exemplo 2
T : R3 → R3, T (x , y , z) = (x , y , 0).
T (x , y , 0) = 1 · (x , y , 0).
∴ qualquer vetor (x , y , 0) e´ um autovetor de T e seu autovalor associado e´
1.
() Autovalores e Autovetores 3 / 15
6.1 — Autovetor e Autovalor de um Operador Linear
Exemplo 1
T : R2 → R2, T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).
T (5, 2) = (30, 12) = 6 · (5, 2).
∴ 6 e´ um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T .
Exemplo 2
T : R3 → R3, T (x , y , z) = (x , y , 0).
T (x , y , 0) = 1 · (x , y , 0).
∴ qualquer vetor (x , y , 0) e´ um autovetor de T e seu autovalor associado e´
1.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores
Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).
Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com
T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
O sistema linear homogeˆno acima possui soluc¸a˜o na˜o-nula se, e so´ se,
det
[
(a− λ) b
c (d − λ)
]
= 0.
Os autovalores de T sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o acima, se existirem.
() Autovalores e Autovetores 4 / 15
6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores
Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).
Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com
T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
O sistema linear homogeˆno acima possui soluc¸a˜o na˜o-nula se, e so´ se,
det
[
(a− λ) b
c (d − λ)
]
= 0.
Os autovalores de T sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o acima, se existirem.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores
Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).
Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com
T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
O sistema linear homogeˆno acima possui soluc¸a˜o na˜o-nula se, e so´ se,
det
[
(a− λ) b
c (d − λ)
]
= 0.
Os autovalores de T sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o acima, se existirem.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores
Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).
Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com
T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
O sistema linear homogeˆno acima possui soluc¸a˜o na˜o-nula se, e so´ se,
det
[
(a− λ) b
c (d − λ)
]
= 0.
Os autovalores de T sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o acima, se existirem.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores
Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (ax + by , cx + dy).
Queremos encontrar λ ∈ R tal que exista (x , y) 6= (0, 0) com
T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
O sistema linear homogeˆno acima possui soluc¸a˜o na˜o-nula se, e so´ se,
det
[
(a− λ) b
c (d − λ)
]
= 0.
Os autovalores de T sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o acima, se existirem.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovetores
Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a um
determinado autovalor λ.
Isto e´, queremos encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
Os autovetores de T associados a λ sa˜o as soluc¸o˜es na˜o-nulas do
sistema linear homogeˆneo acima.
Obs.: Obrigatoriamente ha´ tais soluc¸o˜es pois o λ foi calculado para
que isto acontec¸a.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovetores
Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a um
determinado autovalor λ.
Isto e´, queremos encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
Os autovetores de T associados a λ sa˜o as soluc¸o˜es na˜o-nulas do
sistema linear homogeˆneo acima.
Obs.: Obrigatoriamente ha´ tais soluc¸o˜es pois o λ foi calculado para
que isto acontec¸a.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovetores
Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a um
determinado autovalor λ.
Isto e´, queremos encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
Os autovetores de T associados a λ sa˜o as soluc¸o˜es na˜o-nulas do
sistema linear homogeˆneo acima.
Obs.: Obrigatoriamente ha´ tais soluc¸o˜es pois o λ foi calculado para
que isto acontec¸a.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovetores
Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a um
determinado autovalor λ.
Isto e´, queremos encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que T (x , y) = λ · (x , y).
Isto e´ o mesmo que encontrar (x , y) 6= (0, 0) tal que{
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇔
{
(a− λ)x + by = 0
cx + (d − λ)y = 0 .
Os autovetores de T associados a λ sa˜o as soluc¸o˜es na˜o-nulas do
sistema linear homogeˆneo acima.
Obs.: Obrigatoriamente ha´ tais soluc¸o˜es pois o λ foi calculado para
que isto acontec¸a.
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canoˆnica A = [T ].
2 Calcule a matriz A− λI , onde I e´ a matriz identidade n × n.
3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).
Obs.: p(λ) e´ denominado polinoˆmio caracter´ıstico de T .
4 Resolva a equac¸a˜o p(λ) = 0. As ra´ızes desta equac¸a˜o sa˜o os
autovalores de T .
Obs.: A equac¸a˜o p(λ) = 0 e´ denominada equac¸a˜o caracter´ıstica de
T .
5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linear
homogeˆneo cuja matriz dos coeficientes e´ A− λI .
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canoˆnica A = [T ].
2 Calcule a matriz A− λI , onde I e´ a matriz identidade n × n.
3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).
Obs.: p(λ) e´ denominado polinoˆmio caracter´ıstico de T .
4 Resolva a equac¸a˜o p(λ) = 0. As ra´ızes desta equac¸a˜o sa˜o os
autovalores de T .
Obs.: A equac¸a˜o p(λ) = 0 e´ denominada equac¸a˜ocaracter´ıstica de
T .
5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linear
homogeˆneo cuja matriz dos coeficientes e´ A− λI .
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canoˆnica A = [T ].
2 Calcule a matriz A− λI , onde I e´ a matriz identidade n × n.
3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).
Obs.: p(λ) e´ denominado polinoˆmio caracter´ıstico de T .
4 Resolva a equac¸a˜o p(λ) = 0. As ra´ızes desta equac¸a˜o sa˜o os
autovalores de T .
Obs.: A equac¸a˜o p(λ) = 0 e´ denominada equac¸a˜o caracter´ıstica de
T .
5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linear
homogeˆneo cuja matriz dos coeficientes e´ A− λI .
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canoˆnica A = [T ].
2 Calcule a matriz A− λI , onde I e´ a matriz identidade n × n.
3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).
Obs.: p(λ) e´ denominado polinoˆmio caracter´ıstico de T .
4 Resolva a equac¸a˜o p(λ) = 0. As ra´ızes desta equac¸a˜o sa˜o os
autovalores de T .
Obs.: A equac¸a˜o p(λ) = 0 e´ denominada equac¸a˜o caracter´ıstica de
T .
5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linear
homogeˆneo cuja matriz dos coeficientes e´ A− λI .
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores — Resumo
1 Dada T : Rn → Rn determine a matriz canoˆnica A = [T ].
2 Calcule a matriz A− λI , onde I e´ a matriz identidade n × n.
3 Calcule p(λ) = det(A− λI ).
Obs.: p(λ) e´ denominado polinoˆmio caracter´ıstico de T .
4 Resolva a equac¸a˜o p(λ) = 0. As ra´ızes desta equac¸a˜o sa˜o os
autovalores de T .
Obs.: A equac¸a˜o p(λ) = 0 e´ denominada equac¸a˜o caracter´ıstica de
T .
5 Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linear
homogeˆneo cuja matriz dos coeficientes e´ A− λI .
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Exemplo 1
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado por
T (x , y) = (x + 2y ,−x + 4y).
Exemplo 2
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado por
T (x , y) = (−y , x).
Exemplo 3
Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dado por
T (x , y , z) = (4x + 2y ,−x + y , y + 2z).
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Exemplo 1
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado por
T (x , y) = (x + 2y ,−x + 4y).
Exemplo 2
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado por
T (x , y) = (−y , x).
Exemplo 3
Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dado por
T (x , y , z) = (4x + 2y ,−x + y , y + 2z).
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6.2 — Determinac¸a˜o dos Autovalores e Autovetores
Exemplo 1
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado por
T (x , y) = (x + 2y ,−x + 4y).
Exemplo 2
Determine os autovetores e os autovalores de T : R2 → R2 dado por
T (x , y) = (−y , x).
Exemplo 3
Determine os autovetores e os autovalores de T : R3 → R3 dado por
T (x , y , z) = (4x + 2y ,−x + y , y + 2z).
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6.3 — Propriedades
Teorema
Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e´ o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) e´
um subespac¸o vetorial de V denominado autoespac¸o associado a λ.
Prova
T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.
u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,
u + v ∈ Sλ.
u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,
αu ∈ Sλ.
Pelo visto acima, Sλ e´ um subespac¸o vetorial de V .
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6.3 — Propriedades
Teorema
Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e´ o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) e´
um subespac¸o vetorial de V denominado autoespac¸o associado a λ.
Prova
T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.
u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,
u + v ∈ Sλ.
u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,
αu ∈ Sλ.
Pelo visto acima, Sλ e´ um subespac¸o vetorial de V .
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6.3 — Propriedades
Teorema
Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e´ o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) e´
um subespac¸o vetorial de V denominado autoespac¸o associado a λ.
Prova
T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.
u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,
u + v ∈ Sλ.
u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,
αu ∈ Sλ.
Pelo visto acima, Sλ e´ um subespac¸o vetorial de V .
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6.3 — Propriedades
Teorema
Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e´ o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) e´
um subespac¸o vetorial de V denominado autoespac¸o associado a λ.
Prova
T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.
u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,
u + v ∈ Sλ.
u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,
αu ∈ Sλ.
Pelo visto acima, Sλ e´ um subespac¸o vetorial de V .
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6.3 — Propriedades
Teorema
Seja λ um autovalor do operador T : V → V . O conjunto
Sλ = {v ∈ V ; T (v) = λv}
(Sλ e´ o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) e´
um subespac¸o vetorial de V denominado autoespac¸o associado a λ.
Prova
T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 ∈ Sλ e Sλ 6= ∅.
u, v ∈ Sλ ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo,
u + v ∈ Sλ.
u ∈ Sλ, α ∈ R⇒ T (αu) = α(T (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo,
αu ∈ Sλ.
Pelo visto acima, Sλ e´ um subespac¸o vetorial de V .
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Teorema
Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear
T : V → V sa˜o linearmente independentes.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.
Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.
Tomemos ai tais que
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)
Aplicando T em ambos os lados da equac¸a˜o acima, obtemos, pela
linearidade de T , e pela definic¸a˜o de autovetores
a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0
a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Teorema
Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear
T : V → V sa˜o linearmente independentes.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.
Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.
Tomemos ai tais que
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)
Aplicando T em ambos os lados da equac¸a˜o acima, obtemos, pela
linearidade de T , e pela definic¸a˜o de autovetores
a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0
a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Teorema
Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear
T : V → V sa˜o linearmente independentes.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.
Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.
Tomemos ai tais que
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)
Aplicando T em ambos os lados da equac¸a˜o acima, obtemos, pela
linearidade de T , e pela definic¸a˜o de autovetores
a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0
a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Teorema
Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear
T : V → V sa˜o linearmente independentes.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.
Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.
Tomemos ai tais que
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)
Aplicando T em ambos os lados da equac¸a˜o acima, obtemos, pela
linearidade de T , e pela definic¸a˜o de autovetores
a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0
a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Teorema
Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear
T : V → V sa˜o linearmente independentes.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para o caso de λ1, λ2 e λ3 distintos.
Suponha vi 6= 0 tal que T (vi ) = λivi , para i = 1, 2, 3.
Tomemos ai tais que
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. (1)
Aplicando T em ambos os lados da equac¸a˜o acima, obtemos, pela
linearidade de T , e pela definic¸a˜o de autovetores
a1T (v1) + a2T (v2) + a3T (v3) = 0
a1λ1v1 + a2λ2v2 + a3λ3v3 = 0. (2)
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Multiplicando ambos os membros da equac¸a˜o (1) por λ1, obtemos
a1λ1v1 + a2λ1v2 + a3λ1v3 = 0. (3)
Subtraindo (3) de (2):
a2(λ2 − λ1)v2 + a3(λ3 − λ1)v3 = 0. (4)
Aplicando T em (4), obtemos
a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ3(λ3 − λ1)v3 = 0. (5)
Multiplicando ambos os membros de (4) por λ2, vem:
a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ2(λ3 − λ1)v3 = 0. (6)
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Multiplicando ambos os membros da equac¸a˜o (1) por λ1, obtemos
a1λ1v1 + a2λ1v2 + a3λ1v3 = 0. (3)
Subtraindo (3) de (2):
a2(λ2 − λ1)v2 + a3(λ3 − λ1)v3 = 0. (4)
Aplicando T em (4), obtemos
a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ3(λ3 − λ1)v3 = 0. (5)
Multiplicando ambos os membros de (4) por λ2, vem:
a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ2(λ3 − λ1)v3 = 0. (6)
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Multiplicando ambos os membros da equac¸a˜o (1) por λ1, obtemos
a1λ1v1 + a2λ1v2 + a3λ1v3 = 0. (3)
Subtraindo (3) de (2):
a2(λ2 − λ1)v2 + a3(λ3 − λ1)v3 = 0. (4)
Aplicando T em (4), obtemos
a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ3(λ3 − λ1)v3 = 0. (5)
Multiplicando ambos os membros de (4) por λ2, vem:
a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ2(λ3 − λ1)v3 = 0. (6)
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6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Multiplicando ambos os membros da equac¸a˜o (1) por λ1, obtemos
a1λ1v1 + a2λ1v2 + a3λ1v3 = 0. (3)
Subtraindo (3) de (2):
a2(λ2 − λ1)v2 + a3(λ3 − λ1)v3 = 0. (4)
Aplicando T em (4), obtemos
a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ3(λ3 − λ1)v3 = 0. (5)
Multiplicando ambos os membros de (4) por λ2, vem:
a2λ2(λ2 − λ1)v2 + a3λ2(λ3 − λ1)v3 = 0. (6)
() Autovalores e Autovetores 10 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Subtraindo (6) de (5):
a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)
Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que
a3 = 0.
Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos
a2 = 0.
Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem
a1 = 0.
Logo, v1, v2, v3 sa˜o LI.
() Autovalores e Autovetores 11 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Subtraindo (6) de (5):
a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)
Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que
a3 = 0.
Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos
a2 = 0.
Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem
a1 = 0.
Logo, v1, v2, v3 sa˜o LI.
() Autovalores e Autovetores 11 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Subtraindo (6) de (5):
a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)
Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que
a3 = 0.
Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos
a2 = 0.
Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem
a1 = 0.
Logo, v1, v2, v3 sa˜o LI.
() Autovalores e Autovetores 11 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Subtraindo (6) de (5):
a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)
Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que
a3 = 0.
Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos
a2 = 0.
Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem
a1 = 0.
Logo, v1, v2, v3 sa˜o LI.
() Autovalores e Autovetores 11 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Prova — continuac¸a˜o
Subtraindo (6) de (5):
a3(λ3 − λ2)(λ3 − λ1)v3 = 0. (7)
Como λ3 − λ2 6= 0, λ3 − λ1 6= 0 e v3 6= 0, segue que
a3 = 0.
Substituindo a3 = 0 em (4), obtemos
a2 = 0.
Substituindo a2 = a3 = 0 em (1) vem
a1 = 0.
Logo, v1, v2, v3 sa˜o LI.
() Autovalores e Autovetores 11 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Corola´rio
Se λ1, λ2, . . . , λn sa˜o autovalores distintos e vi ∈ Sλi para todo
i = 1, . . . , n, enta˜o v1 + v2 + · · ·+ vn = 0 se, e so´ se, vi = 0 para todo i .
Prova
Se fosse poss´ıvel ter v1 + . . .+ vn = 0 sem que todos fossem nulos, seria
uma contradic¸a˜o com o Teorema anterior.
() Autovalores e Autovetores 12 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Corola´rio
Se λ1, λ2, . . . , λn sa˜o autovalores distintos e vi ∈ Sλi para todo
i = 1, . . . , n, enta˜o v1 + v2 + · · ·+ vn = 0 se, e so´ se, vi = 0 para todo i .
Prova
Se fosse poss´ıvel ter v1 + . . .+ vn = 0 sem que todos fossem nulos, seria
uma contradic¸a˜o com o Teorema anterior.
() Autovalores e Autovetores 12 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Corola´rio
Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sa˜o bases dos
autoespac¸os associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , enta˜o,
B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e´ um conjunto LI.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para dois autovalores distintos λ1 e λ2 com
bases de seus respectivos autoespac¸os B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.
Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.
Como cada Sλi e´ um subespac¸o, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .
Pelo Corola´rio anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.
Como cada Bi e´ LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.
() Autovalores e Autovetores 13 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Corola´rio
Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sa˜o bases dos
autoespac¸os associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , enta˜o,
B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e´ um conjunto LI.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para dois autovalores distintos λ1 e λ2 com
bases de seus respectivos autoespac¸os B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.
Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.
Como cada Sλi e´ um subespac¸o, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .
Pelo Corola´rio anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.
Como cada Bi e´ LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.
() Autovalores e Autovetores 13 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Corola´rio
Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sa˜o bases dos
autoespac¸os associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , enta˜o,
B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e´ um conjunto LI.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para dois autovalores distintos λ1 e λ2 com
bases de seus respectivos autoespac¸os B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.
Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.
Como cada Sλi e´ um subespac¸o, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .
Pelo Corola´rio anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.
Como cada Bi e´ LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.
() Autovalores e Autovetores 13 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Corola´rio
Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sa˜o bases dos
autoespac¸os associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , enta˜o,
B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e´ um conjunto LI.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para dois autovalores distintos λ1 e λ2 com
bases de seus respectivos autoespac¸os B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.
Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.
Como cada Sλi e´ um subespac¸o, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .
Pelo Corola´rioanterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.
Como cada Bi e´ LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.
() Autovalores e Autovetores 13 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Corola´rio
Seja T : V → V um operador linear. Se B1,B2, . . . ,Bn sa˜o bases dos
autoespac¸os associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn de T , enta˜o,
B = B1 ∪ . . . ∪ Bn e´ um conjunto LI.
Prova
Faremos a demonstrac¸a˜o para dois autovalores distintos λ1 e λ2 com
bases de seus respectivos autoespac¸os B1 = {v1, v2} e B2 = {w}.
Tomemos a1v1 + a2v2 + bw = 0.
Como cada Sλi e´ um subespac¸o, a1v1 + a2v2 ∈ Sλ1 e bw ∈ Sλ2 .
Pelo Corola´rio anterior a1v1 + a2v2 = 0 e bw = 0.
Como cada Bi e´ LI segue, a1 = a2 = 0 e b = 0.
() Autovalores e Autovetores 13 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Teorema
Seja T : V → V um operador linear, com dim V = n. Se B1,B2, . . . ,Bn
sa˜o bases dos autoespac¸os associados ao autovalores distintos λ1, . . . , λn
de T , e B = B1 ∪ . . . ∪ Bn possui n vetores, enta˜o B e´ uma base de V .
() Autovalores e Autovetores 14 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Definic¸a˜o
Se T : V → V possui uma base formada por autovetores de T , dizemos
que T e´ um operador diagonaliza´vel.
Definic¸a˜o
Sejam T : Rn → Rn um operador diagonaliza´vel e B uma base de Rn
formada por autovetores de T . Enta˜o,
(i) D = [T ]B e´ uma matriz diagonal.
(ii) A matriz P = [I ]BC de mudanc¸a de base de B para a base canoˆnica,
satisfaz D = P−1[T ]P. Dizemos que a matrix P diagonaliza [T ].
() Autovalores e Autovetores 15 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Definic¸a˜o
Se T : V → V possui uma base formada por autovetores de T , dizemos
que T e´ um operador diagonaliza´vel.
Definic¸a˜o
Sejam T : Rn → Rn um operador diagonaliza´vel e B uma base de Rn
formada por autovetores de T . Enta˜o,
(i) D = [T ]B e´ uma matriz diagonal.
(ii) A matriz P = [I ]BC de mudanc¸a de base de B para a base canoˆnica,
satisfaz D = P−1[T ]P. Dizemos que a matrix P diagonaliza [T ].
() Autovalores e Autovetores 15 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Exemplo 1
Seja T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (−5x + 2y , 2x − 2y).
a) Determine os autovalores e os autoespac¸os de T .
b) Determine se T e´ diagonaliza´vel. Em caso, afirmativo, determine uma
base de R2 formada por autovetores de T e determine a matriz de T com
relac¸a˜o a esta base.
c) Se T for diagonaliza´vel determine a matriz diagonalizadora P de T .
() Autovalores e Autovetores 16 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Exemplo 2
Seja T : R3 → R3 dada por
T (x , y) = (−2x + 2y − 3z , 2x + y − 6z ,−x − 2y).
a) Determine os autovalores e os autoespac¸os de T .
b) Determine se T e´ diagonaliza´vel. Em caso, afirmativo, determine uma
base de R3 formada por autovetores de T e determine a matriz de T com
relac¸a˜o a esta base.
c) Se T for diagonaliza´vel determine a matriz diagonalizadora P de T .
() Autovalores e Autovetores 17 / 15
6.4 — Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Exemplo 3
Seja T : R3 → R3 dada por T (x , y) = (4x + 2y ,−x + y , y + 2z).
a) Determine os autovalores e os autoespac¸os de T .
b) Determine se T e´ diagonaliza´vel. Em caso, afirmativo, determine uma
base de R3 formada por autovetores de T e determine a matriz de T com
relac¸a˜o a esta base.
c) Se T for diagonaliza´vel determine a matriz diagonalizadora P de T .
() Autovalores e Autovetores 18 / 15