Livro Texto Matemática Financeira III

Prévia do material em texto

145
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Anteriormente, estudamos as aplicações básicas em Matemática Financeira; agora, vamos aplicar os 
conceitos já estudados nos modelos de amortização.
7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO – PARTE I
7.1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e 
financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do valor principal e encargos financeiros.
7.1.1 Sistema Financeiro da Habitação (SFH)
Criado em 1964, com o objetivo de viabilizar a concessão de financiamentos de longo prazo para 
aquisição da casa própria, o Sistema Financeiro da Habitação é composto por um complexo conjunto 
de leis e regras próprias que definem as condições da concessão do financiamento em cada época.
A concessão de um financiamento habitacional inicia-se com a procura, pelos interessados, de um 
agente financeiro. Os recursos para esse empréstimo podem ser oriundos das contas vinculadas do 
FGTS, Fundo de Garantia do Tempo de Serviço, do SBPE, Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo e 
demais fundos ou mesmo recursos próprios do agente financeiro.
A hipoteca do imóvel é a garantia do financiamento. Na vigência desse sistema (SFH), foram criados 
planos e formas de reajuste de prestações, com benefícios aos tomadores, causando o descasamento 
entre saldo e prestação, o que gerou um grande déficit a ser coberto pelo FCVS, Fundo de Compensação 
de Variações Salariais. 
Há várias maneiras de amortizar uma dívida. É imprescindível, em cada operação, que as partes 
estabeleçam contrato para esclarecimento das formas, taxas e afins para o acerto da antecipação do 
montante e quitação da dívida. 
Uma característica fundamental dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do critério 
de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em 
período imediatamente anterior.
Para cada sistema de amortização, é construída uma planilha financeira que relaciona, dentro de 
certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.
São consideradas também, no SFH, modalidades de pagamento com e sem carência. 
Unidade III
146
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
 Observação
Na carência, não há pagamento do valor principal, sendo pagos somente 
os juros, que podem eventualmente ser capitalizados durante esse período.
Os sistemas de amortização mais usados no mercado são:
• Sistema de Amortização Constante – SAC;
• Sistema de Amortização Francês (Price) – SAF;
• Sistema de Amortização Misto – SAM;
• Sistema de Amortização Americano – SAA;
• Sistema de Amortização Crescente – Sacre;
• Sistema de Amortização Variável (parcelas intermediárias).
 Saiba mais
Você pode aprofundar o seu conhecimento sobre o SFH, Sistema 
Financeiro Habitacional, consultando o site do Banco Central: <http://
www.bcb.gov.br/?SFH>. 
7.1.2 Definições básicas
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam da forma pela qual o valor 
principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor. Antes de estudá-los, é importante definirmos 
os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos.
Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo para o 
devedor e retorno para o credor. Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. O que distingue essas 
duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em função de uma expectativa (prefixação) 
ou verificação posterior (pós-fixação) do comportamento de determinado indexador.
Nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos encargos financeiros em juros e correção 
monetária (ou variação cambial, no caso de a dívida ser expressa em moeda estrangeira) que vier a se 
verificar no futuro; nas prefixadas, estipula-se uma taxa única, a qual incorpora evidentemente uma 
147
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
expectativa inflacionária para todo o horizonte de tempo. Dessa forma, para uma operação pós-fixada, 
a taxa de juros contratada é aquela definida como real, isto é, situada acima do índice de inflação 
verificado no período. 
Além do encargo real da taxa de juros, as operações pós-fixadas preveem também a correção 
monetária (ou variação cambial) do saldo devedor da dívida, o que representa normalmente a recuperação 
da perda de valor do capital emprestado e ainda não restituído, situação gerada pela desvalorização 
perante a inflação. 
Nas operações prefixadas, os encargos financeiros são medidos por uma única taxa, que engloba os 
juros exigidos pelo emprestador e a expectativa inflacionária (correção monetária) para o período em 
vigência. Segundo Rovina (2009, pp. 24-25), alguns termos são muito importantes dentro do estudo da 
capitalização. São eles:
Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado período (data). É 
representada pela variável A.
Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos, sendo composto de uma 
parcela de capital chamada amortização e uma parcela de juros. É representada por PMT (abreviatura 
de payment, que significa pagamento), nomenclatura aqui utilizada em função de ser a representação 
mais comum na maioria das calculadoras financeiras. 
Matematicamente, podemos agora descrever:
Prestação = Amortização + Juros.
PMT = A + INT
Carência: significa a postergação só do valor principal, excluídos os juros. Os encargos financeiros 
podem, dependendo das condições contratuais, ser pagos ou não durante essa etapa. No primeiro caso, 
eles são capitalizados e pagos junto à primeira parcela de amortização do valor principal ou distribuídos 
por várias datas pactuadas de pagamento. Contudo, é mais comum o segundo caso: serem pagos no 
período de carência. 
Exemplo: ao tomar um empréstimo por 4 anos, a ser restituído em prestações trimestrais, o 
primeiro pagamento ocorrerá normalmente 3 meses (um trimestre) após a liberação dos recursos, 
vencendo os demais ao final de cada um dos trimestres subsequentes. Pode ocorrer um deferimento 
(carência) quanto ao pagamento da primeira prestação, iniciando 9 meses após o recebimento 
do capital emprestado. Nesse caso, diz-se que a carência corresponde a 2 trimestres, ou seja, ao 
prazo verificado entre a data convencional de início de pagamento (final do primeiro trimestre) e 
a do final do 9º mês.
Vejamos, por fim, as características dos sistemas de financiamento habitacional:
148
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
• são basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo 
prazo, envolvendo amortizações periódicas do valor principal e encargos financeiros (juros da 
operação);
• utilizam exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor 
apuradoem período imediatamente anterior;
• obedecem certa padronização, tanto nos desembolsos quanto nos reembolsos;
• podem ter ou não carência; quando têm, normalmente são pagos os juros.
Temos ainda os conceitos de saldo devedor. Este é o elemento principal da dívida em um momento 
em que se tem deduzido o valor pago ao credor a título de amortização e de carência (que é uma 
diferenciação da data convencional do início dos pagamentos). 
7.1.3 Sistema de Amortização Constante (SAC)
O Sistema de Amortização Constante tem como característica básica as amortizações sempre iguais 
do valor principal, em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante 
a divisão do capital (quantia emprestada) pelo número de prestações. 
Nessa modalidade, os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o 
pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.
Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações periódicas e 
sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética.
 Lembrete
Para o cálculo da amortização no SAC, é importante lembrar que:
• o capital da operação é dividido pelo número de parcelas;
• os juros incidem sempre sobre o saldo devedor.
Para sua melhor compreensão, exploremos agora um exemplo. Trata-se de empréstimo de R$ 
100.000,00, concedido dentro de um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações 
semestrais. Desconsidere a existência de um prazo de carência. Foram considerados juros de 
7% a.s.
Devemos desenvolver uma planilha que mostre o desenrolar das prestações e dos juros. 
149
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Tabela 1
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 95.000,00 5.000,00 7000,00 12.000,00
2 90.000,00 5.000,00 6650,00 11.650,00
3 85.000,00 5.000,00 6300,00 11.300,00
4 80.000,00 5.000,00 5950,00 10.950,00
5 75.000,00 5.000,00 5600,00 10.600,00
6 70.000,00 5.000,00 5250,00 10.250,00
7 65.000,00 5.000,00 4900,00 9.900,00
8 60.000,00 5.000,00 4550,00 9.550,00
9 55.000,00 5.000,00 4200,00 9.200,00
10 50.000,00 5.000,00 3850,00 8.850,00
11 45.000,00 5.000,00 3500,00 8.500,00
12 40.000,00 5.000,00 3150,00 8.150,00
13 35.000,00 5.000,00 2800,00 7.800,00
14 30.000,00 5.000,00 2450,00 7.450,00
15 25.000,00 5.000,00 2100,00 7.100,00
16 20.000,00 5.000,00 1750,00 6.750,00
17 15.000,00 5.000,00 1400,00 6.400,00
18 10.000,00 5.000,00 1050,00 6.050,00
19 5.000,00 5.000,00 700,00 5.700,00
20 - 5.000,00 350,00 5.350,00
Total 100.000,00 73.500,00 173.500,00
O SAC determina que a restituição do valor principal (capital emprestado) seja efetuada em parcelas 
iguais. Assim, o valor de cada amortização devida semestralmente é calculado pela simples divisão do 
valor principal pelo número fixado de prestações, ou seja:
Amortização = valor do empréstimo / número de prestações
Amortização = 100 000 00
20
5 000 00
. ,
. ,=
Amortização = 5.000,00 ao semestre
 Observação
Note que, no período 0 (zero), não há amortização, pois é o momento 
em que ocorre o empréstimo.
150
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Os pagamentos desses valores determinam decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em 
cada um dos períodos, ocasionando reduções nos valores semestrais dos juros e das prestações, como 
observamos na tabela.
Nesse exemplo, o cálculo de juros foi realizado como é mais comum nessas operações de crédito de 
médio e longo prazos: com a taxa equivalente composta. Assim, para uma taxa equivalente nominal de 
30% ao ano, conforme a taxa equivalente semestral, os juros atingem 7% a.s. Vejamos.
Taxa equivalente semestral de 14,49% a.a. = 1 0 1449+ , – 1 = 1,07 – 1 = 0,07. Como é taxa 
devemos multiplicar por 100, resultando em 7% a.s.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, apresentam valores aritmeticamente 
decrescentes, conforme são apurados na penúltima coluna da tabela exemplificada anteriormente. Ao final 
do primeiro semestre, os encargos financeiros correspondem a: 7% x 100.000,00 = R$ 7.000,00; ao final do 
segundo semestre: 7% x 95.000 = R$ 6.650,00; ao final do terceiro semestre: 7% x 90.000 = R$ 6.300,00; e 
assim por diante.
 Lembrete
Para calcular os juros, considera-se sempre o saldo devedor do 
período anterior. Por exemplo, se desejamos calcular os juros do período 
1, consideramos saldo devedor do período zero, se juros do período 2, 
consideramos saldo devedor do período 1.
Soma-se, em cada período, o valor da prestação semestral do financiamento. Assim, para o primeiro 
semestre, a prestação atinge: R$ 5.000,00 + R$ 7.000,00 = R$ 12.000,00; para o segundo semestre: R$ 
5.000,00 + R$ 6.650,00 = R$ 11.650,00. O mesmo processo foi realizado até o último período.
Pode ser observado, uma vez mais, que a diminuição de R$ 350,00 no valor dos juros em cada 
período é explicada pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem semestralmente o saldo devedor da 
dívida (base de cálculo dos juros) em R$ 5.000,00. 
7.1.4 Expressões de cálculo do SAC
São desenvolvidas, a seguir, as expressões genéricas de cálculo de cada parcela da planilha do sistema 
de amortização constante.
Amortização (Amort): os valores são sempre iguais e obtidos por:
Amort
PV
n
=
PV = principal (valor do financiamento)
n = número de prestações.
151
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Logo,
PV
n
 Amort 1 = Amort 2 = Amort 3 … Amort n
PV
n
 Amort 1 + Amort 2 + Amort 3 +… + Amort n
Saldo devedor (SD): é decrescente em PA (progressão aritmética) pelo valor constante da 
amortização. Logo, a redução periódica do SD equivale a subtrair, do seu valor anterior, a amortização 
(PV/n) do período atual:
SD
PV
n
=
Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao longo do 
tempo, comportando-se como uma PA decrescente. 
A expressão de cálculo dos juros é então esta:
J
PV
n
n t i1 1= ⋅ − + ⋅( )
Prestação (PMT): é a soma da amortização com juros e encargos administrativos que deve ser 
analisada em cada situação de empréstimo com a instituição financeira.
PMT = Amort + J (não consideraremos encargos administrativos nesse modelo).
Algebricamente, a prestação é, portanto, assim expressa:
PMT
PV
n
n t i= ⋅ + − + ⋅[ ]1 1( )
Vejamos um exemplo de cálculo de prestação no sistema SAC.
Um capital de R$ 100.000,00 financiado em 5 anos, com taxa de juros de 30% ao ano terá, pelo SAC, 
a prestação do 5º semestre de que valor? 
Legenda:
PV = 100.000
n = 5 anos = 10 semestres
i = 30% ao ano. Transformando-a em taxa semestral: 1 0 30+ . –1 = 1,140175 – 1 = 0,140175 x 
100 = 14,0175% a.s.
152
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Fórmula:
PMT
PV
n
n t i= ⋅ + − + ⋅[ ]1 1( )Substituindo:
PMT5
100 000
10
1 10 5 1 0 140175= ⋅ + − + ⋅[ ]. ( ) ,
PMT
PMT
5
5
10 000 1 6 0 140175
18 410 50
= ⋅ + ⋅[ ]
=
. ,
. ,
Vejamos a representação do cálculo na tabela em seguida:
Tabela 2
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 90.000,00 10.000,00 14017,5 24.017,50
2 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75
3 70.000,00 10.000,00 11214 21.214,00
4 60.000,00 10.000,00 9812,25 19.812,25
5 50.000,00 10.000,00 8410,5 18.410,50
6 40.000,00 10.000,00 7008,75 17.008,75
7 30.000,00 10.000,00 5607 15.607,00
8 20.000,00 10.000,00 4205,25 14.205,25
9 10.000,00 10.000,00 2803,5 12.803,50
10 - 10.000,00 1401,75 11.401,75
Total 100.000,00 77.096,25 177.096,25
 Lembrete
Veja que podemos obter os valores das prestações do SAC, de qualquer 
período, pela fórmula a seguir ou pela tabela apontada.
PMT
PV
n
n t i= ⋅ + − + ⋅[ ]1 1( )
153
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
7.1.5 SAC com carência
A ilustração desenvolvida na tabela anterior não previu existência de prazo de carência para a 
amortização do empréstimo. Ao supor uma carência de dois anos (contada a partir do final do primeiro 
semestre), por exemplo, três situações podem ocorrer:
a) os juros são pagos durante a carência;
b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização;
c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor, gerando um fluxo de amortizações de 
maior valor.
 Lembrete
Carência é o prazo concedido nas operações de financiamento em que 
o credor não paga ou não amortiza o valor principal da dívida contraída.
Vejamos, em seguida, um caso em que a tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos 
durante a carência estipulada.
Exemplo 1. Ao final dos 4 primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos 
financeiros, atinge R$ 14.017,50, ou seja, 14,0175% x R$ 100.000,00. A partir do 5º semestre, tendo sido 
encerrada a carência de 2 anos, inicia-se a amortização do valor principal emprestado, sendo o fluxo de 
prestações, desse momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente: 
Tabela 3 – SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros
Período/semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 100.000,00 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75
7 70.000,00 10.000,00 11214 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9812,25 19.812,25
9 50.000,00 10.000,00 8410,5 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7008,75 17.008,75
11 30.000,00 10.000,00 5607 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4205,25 14.205,25
13 10.000,00 10.000,00 2803,5 12.803,50
14 - 10.000,00 1401,75 11.401,75
Total 100.000,00 133.166,25 233.166,25
154
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Vejamos agora como fica a tabela, com relação ao mesmo exemplo, para o caso de carência e 
capitalização de juros.
Tabela 4 – SAC com carência (2 anos) e capitalização dos juros
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 114.017,50 -
2 129.999,90 -
3 148.222,64 -
4 168.999,75 -
5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51
6 135.199,80 16.899,97 21320,5857 38.220,56
7 118.299,82 16.899,97 18951,63174 35.851,61
8 101.399,85 16.899,97 16582,67777 33.482,65
9 84.499,87 16.899,97 14213,7238 31.113,70
10 67.599,90 16.899,97 11844,76984 28.744,74
11 50.699,92 16.899,97 9475,815868 26.375,79
12 33.799,95 16.899,97 7106,861901 24.006,84
13 16.899,97 16.899,97 4737,907934 21.637,88
14 - 16.899,97 2368,953967 19.268,93
Total 168.999,75 130.292,47 299.292,22
A tabela ilustra o plano de amortização da dívida na hipótese de os juros não serem pagos durante 
a carência. Nesse caso, os encargos são capitalizados segundo o critério de juros compostos e devidos 
integralmente quando do vencimento da primeira parcela de amortização.
Quando uma loja de móveis ou outra qualquer faz financiamento de um produto, e o pagamento 
inicia-se após 3 ou 4 meses, aplica-se o mesmo conceito aqui estudado. Vejamos isso com o exemplo a 
seguir.
Exemplo 2. Um banco concede um financiamento de R$ 660.000,00 para ser liquidado em 8 
pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com uma carência de 3 meses, sendo pagos 
somente os juros nesse período.
Considerando uma taxa efetiva de juros de 2,5% ao mês, elabore a planilha de desembolsos desse 
financiamento.
155
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Tabela 5
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 660.000,00 
1 660.000,00 16.500,00 16.500,00
2 660.000,00 16.500,00 16.500,00
3 660.000,00 16.500,00 16.500,00
4 577.500,00 82.500,00 16.500,00 99.000,00
5 495.000,00 82.500,00 14.437,50 96.937,50
6 412.500,00 82.500,00 12.375,00 94.875,00
7 330.000,00 82.500,00 10.312,50 92.812,50
8 247.500,00 82.500,00 8.250,00 90.750,00
9 165.000,00 82.500,00 6.187,50 88.687,50
10 82.500,00 82.500,00 4.125,00 86.625,00
11 - 82.500,00 2.062,50 84.562,50
Total 660.000,00 123.750,00 783.750,00
Observe, no período 1, que o valor pago como prestação é apenas aquele equivalente aos 
juros: R$ 16.500,00. Note ainda que a amortização só começa a acontecer depois do prazo de 
carência, ou seja, no 4º mês. Lembre que: Amort
PV
n
= ; no caso: 660.000/8 = 82.500, ou seja: 
valor do emprestimo
numero de parcelas
´
´
. Portanto, a prestação de cada período equivale à soma: juros + amortização. 
Exemplo 3. Um banco concede um financiamento de R$ 100.000,00 para ser liquidado em 10 anos, 
mediante SAC. 
Considerando uma taxa efetiva de juros de 25% a.a., elabore a planilha de desembolsos desse 
financiamento.
 Observação
Ignora-se a carência quando não mencionada no problema. Nesse caso, 
a amortização já começa então no 1º mês. 
Lembremos da fórmula: amortização = valor do emprestimo
numero de parcelas
´
´
Temos então = 
100 000
10 000
10 000 00
.
.
. ,=
156
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Tabela 6
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 90.000,00 10.000,00 25.000,00 35.000,00
2 80.000,00 10.000,00 22.500,00 32.500,00
3 70.000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,00
4 60.000,00 10.000,00 17.500,00 27.500,00
5 50.000,00 10.000,00 15.000,00 25.000,00
6 40.000,00 10.000,00 12.500,00 22.500,00
7 30.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00
8 20.000,00 10.000,00 7.500,00 17.500,00
9 10.000,00 10.000,00 5.000,00 15.000,00
10 - 10.000,00 2.500,00 12.500,00
Total 100.000,00 137.500,00 237500
7.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
O Sistema de Amortização Francês (SAF), desenvolvido originalmentepelo inglês Richard Price, 
assumiu essa denominação pelo seu uso amplamente generalizado na França no século passado. 
Amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula que as prestações sejam iguais, 
periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao modelo de fluxos de caixa. Os juros, por 
incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores 
crescentes.
No SAF, os juros decrescem, e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas 
parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. É importante, então, que o aluno veja as 
principais diferenças entre o SAC e o SAF, pois os valores pagos ao final do período de cada um deles 
são diferentes.
Para exemplificar, a planilha financeira do SAC é mais bem elaborada partindo-se da última coluna 
para a primeira, isto é, calculam-se inicialmente as prestações e, posteriormente, para cada período, os 
juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor.
Da mesma forma em que ocorre com o SAC, o SAF pode ser realizado com ou sem carência, 
capitalizando ou não os juros durante a carência.
Exemplo 1 - SAF sem carência. Consideremos a mesma situação de exemplos já citados: 
financiamento de R$ 100.000,00, com prazo de pagamento de 10 semestres, com taxas de 
14,01755% ao semestre.
157
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Tabela 7
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 94.833,06 R$5.166,94 14.017,50 R$19.184,44
2 88.941,84 R$5.891,22 13.293,22 R$19.184,44
3 82.224,83 R$6.717,02 12.467,42 R$19.184,44
4 74.566,25 R$7.658,57 11.525,87 R$19.184,44
5 65.834,14 R$8.732,12 10.452,32 R$19.184,44
6 55.878,00 R$9.956,14 9.228,30 R$19.184,44
7 44.526,26 R$11.351,74 7.832,70 R$19.184,44
8 31.583,28 R$12.942,97 6.241,47 R$19.184,44
9 16.826,03 R$14.757,25 4.427,19 R$19.184,44
10 0,18 R$16.825,85 2.358,59 R$19.184,44
 R$99.999,82 91.844,58 R$191.844,40
As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de valor presente:
PV = PMT x FPV (i,n)
PV = valor presente
PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV
i
i
n
=
− + −1 1( )
Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se:
100 000 00
1 1140175
0 140175
100 000
1 0 269
10
. ,
( , )
,
.
( ,
= ⋅
−
= ⋅
−
−
PMT
PMT
3330
0 140175
100 000
0 73067
0 140175
100 000 5 2125
)
,
.
,
,
. ,
= ⋅
= ⋅
PMT
PMT 555
100 000
5 212555
19 184 44PMT semestre= =
.
,
. , /
158
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos períodos. Assim, 
para o primeiro semestre, têm-se:
• Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior): 14,0175% x 100.000,00 = R$ 
14.017,50.
• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e dos juros acumulados para o 
período): R$19.184,40 – R$ 14.017,50 = R$5.166,90.
• Saldo devedor (saldo anterior no momento zero – parcela de amortização do semestre): 
R$100.000,00 – R$ 5.166,90 = R$94.833,10.
Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes:
• Juros: 14,0175% x R$94.833,70 = R$13.293,20.
• Amortização: R$ 19.184,40 – R$ 13.293,20 = R$ 5.891,20.
• Saldo devedor: R$ 94.833,10 – R$ 5.891,20 = R$ 88.941,90, e assim por diante.
7.2.1 Expressões de cálculo do SAF
No SAF, as prestações são constantes, os juros, decrescentes e as amortizações, exponencialmente 
crescentes ao longo do tempo. As expressões básicas de cálculo desses valores são desenvolvidas a 
seguir.
Amortização (Amort): é obtida pela diferença entre o valor da prestação e os juros:
Amort = PMT – J
A amortização do primeiro período é assim expressa:
Amort1 = PMT – J1, o que equivale a:
Amort1 = PMT – (PV x i).
Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da amortização num momento t qualquer 
é calculado desta forma:
Amort1 = Amort1 x (1 + i)t-1
Por exemplo, o valor da amortização no 4º semestre atinge:
Amort4 = 5.166,90 x (1 + 0,140175)4–1
Amort4 = 7.658,60 (valores arredondados)
159
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Prestação (PMT): conforme demonstrado, o valor da prestação é calculado mediante a aplicação da 
fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo padronizado para fluxos de caixa:
PMT PV
FPV i n
= ⋅
1
( , )
Onde:
FPV i n
i
i
n
( , )
( )
=
− + −1 1
Vale salientar que os cálculos das prestações foram realizados em exemplos anteriores.
Saldo devedor (SD): para cada período, é calculado pela diferença entre o valor devido no início do 
intervalo de tempo e a amortização do período. Logo, para uma dada taxa de juros, o saldo devedor de 
qualquer período é assim apurado:
SDt = PMT x FPV (i, n–t)
SD PMT
i
i
n t
= ⋅
− + − −1 1( ) ( )
Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre do financiamento atinge:
SD
SD
= ⋅
− +
= ⋅
− −
19 184 44
1 1 0 140175
0 140175
19 184 44
0 4
10 6
. ,
( , )
,
. ,
,
( )
008283
0 140175
19 184 44 2 912667
55 877 88
,
. , ,
. ,
SD
SD
= ⋅
=
Cumpre observar que, nas planilhas, o resultado pode ocorrer com pequenas diferenças nos 
centavos. No nosso caso não consideramos arredondamentos, pois as tabelas foram desenvolvidas 
no Excel.
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de 
cada período imediatamente anterior). A expressão de cálculo de juros pode ser ilustrada desta 
forma:
160
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
J1 = SD0 x i = PV x i
J2 = SD1 x i = (PV – Amort) x i
J3 = SD2 x I = (PV – Amort1 – Amort2 ) x i
E assim, sucessivamente.
7.2.2 SAF com carência
De modo idêntico aos demais sistemas, no SAF, podem-se verificar períodos de carência, nos quais, 
ainda, os encargos financeiros podem ser pagos ou capitalizados.
A seguir, ilustramos a situação em que os juros são pagos durante a carência e capitalizados para 
resgate posterior (juntamente às prestações).
Exemplo 1 – SAF com carência (2 anos) e pagamentos dos juros.
Tabela 8
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 100.000,00 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 14.017,50 14.017,50
5 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40
6 88.941,93 5.891,17 13.293,23 19.184,40
7 82.224,96 6.716,96 12.467,44 19.184,40
8 74.566,45 7.658,52 11.525,88 19.184,40
9 65.834,40 8.732,05 10.452,35 19.184,40
10 55.878,34 9.956,06 9.228,34 19.184,40
11 44.526,68 11.351,65 7.832,75 19.184,40
12 31.583,81 12.942,87 6.241,53 19.184,40
13 16.826,67 14.757,14 4.427,26 19.184,40
14 0,9516.825,72 2.358,68 19.184,40
Total 99.999,05 147.914,95 247.914,00
 Observação
O cálculo da prestação no 5º período foi realizado com a fórmula vista 
anteriormente: 
161
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
PMT PV
FPV i n
Onde FPV i n
i
i
n
= ⋅
=
− +
1
1 1
( , )
: ( , )
( )
O sistema francês com carência e pagamento dos juros no período segue basicamente o mesmo 
esquema anterior (SAF sem carência), diferenciando-se unicamente quanto às prestações dos 4 primeiros 
semestres (carência). Nesses períodos, são previstos somente pagamentos de R$ 14.017,50 referentes 
aos juros do valor principal não amortizado (14,0175% x R$ 100.000,00).
 Observação
Para os demais semestres, o raciocínio é idêntico ao formulado 
anteriormente, apurando-se prestações com valores constantes, juros 
decrescentes e amortizações crescentes.
No quadro SAF com carência, está prevista a capitalização dos juros durante o período de carência de 
4 semestres. Somando esse montante ao saldo devedor, tem-se um novo valor ao final do 4º semestre: 
de R$169.000,00, o qual serve de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir do 5º 
semestre, ou seja:
saldo devedor (4º semestre) serve de base para o cálculo das prestações após o período de carência 
(5º semestre): 
R$ 100.000,00 x (1,140175)4 = R$ 169.000,00
Prestação (PMT) semestral a ser paga a partir do 5º semestre será:
PV PMT
i
i
n
= ⋅
− + −1 1( )
169 000
1 1 0 140175
0 140175
169 000
1 11401
10
.
( , )
,
.
( ,
= ⋅
− +
= ⋅
−
−
PMT
PMT
775
0 140175
169 000
1 0 269330
0 140175
169 000
10)
,
.
( , )
,
.
−
= ⋅
−
=
PMT
PMT ⋅⋅
= ⋅
= =
0 730669
0 140175
169 000 5 212548
169 000
5 212548
,
,
. ,
.
,
PMT
PMT 332 42176. ,
162
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
169 000
1 1 0 140175
0 140175
169 000
1 11401
10
.
( , )
,
.
( ,
= ⋅
− +
= ⋅
−
−
PMT
PMT
775
0 140175
169 000
1 0 269330
0 140175
169 000
10)
,
.
( , )
,
.
−
= ⋅
−
=
PMT
PMT ⋅⋅
= ⋅
= =
0 730669
0 140175
169 000 5 212548
169 000
5 212548
,
,
. ,
.
,
PMT
PMT 332 42176. ,
AO SEMESTRE 
O preenchimento da planilha financeira a partir do final do período de carência é análogo ao 
proposto anteriormente. Os valores 169.000 e 198,999,75 são os mesmos, foram arredondados 
para facilitar.
 Vejamos:
Tabela 9
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 114.017,50 14.017,50 
2 129.999,90 15.982,40 
3 148.222,64 18.222,74 
4 168.999,75 20.777,11 
5 160.267,62 8.732,13 23.689,54 32421,67
6 150.311,46 9.956,16 22.465,51 32421,67
7 138.959,70 11.351,76 21.069,91 32421,67
8 126.016,71 12.942,99 19.478,68 32421,67
9 111.259,43 14.757,28 17.664,39 32.421,67
10 94.433,55 16.825,88 15.595,79 32.421,67
11 75.249,10 19.184,45 13.237,22 32.421,67
12 53.375,47 21.873,63 10.548,04 32.421,67
13 28.435,71 24.939,76 7.481,91 32.421,67
14 0,02 28.435,69 3.985,98 32.421,67
Total 168.999,73 155.216,97 324.216,70
Exemplo 2. Um equipamento no valor de R$ 1.200.000,00 será financiado por um banco pelo prazo 
de 6 anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano, e as amortizações anuais são efetuadas pelo 
SAF, Sistema de Amortização Francês.
O banco concede uma carência de 2 anos para o início dos pagamentos, sendo os juros cobrados 
nesse intervalo. Vamos preencher a tabela:
163
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Tabela 10
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 1.200.000,00 
1 1.200.000,00 180.000,00 180.000,00
2 1.200.000,00 180.000,00 180.000,00
3 1.062.915,72 137.084,28 180.000,00 317.084,28
4 905.268,80 157.646,92 159.437,36 317.084,28
5 723.974,84 181.293,96 135.790,32 317.084,28
6 515.486,78 208.488,05 108.596,23 317.084,28
7 275.725,52 239.761,26 77.323,02 317.084,28
8 0,07 275.725,45 41.358,83 317.084,28
Total 1.062.505,75 2.262.505,68
Recomendamos ao aluno refazer essas planilhas para treinar o aprendizado, pois o raciocínio 
matemático se desenvolve com a prática; devemos utilizar os três meios de absorção: audição, visão e 
sentimento ao aproximarmos os assuntos do nosso dia a dia.
8 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO – PARTE II
8.1 TABELA Price
O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do SAF, Sistema de 
Amortização Francês.
Compreendamos como funciona o Sistema Price com exemplo em seguida, em que consideramos a 
taxa equivalente semestral de 14,0175 % para o cálculo dos juros (assim como aconteceu nos exemplos 
usados para o SAC).
Exemplo 1 - Sistema Price sem carência:
Tabela 11
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 97.752,91 2.247,09 5.000,00 7247,09
2 95.393,47 2.359,44 4.887,65 7247,09
3 92.916,05 2.477,42 4.769,67 7247,09
4 90.314,76 2.601,29 4.645,80 7247,09
5 87.583,41 2.731,35 4.515,74 7247,09
6 84.715,49 2.867,92 4.379,17 7247,09
7 81.704,17 3.011,32 4.235,77 7247,09
8 78.542,29 3.161,88 4.085,21 7247,09
9 75.222,32 3.319,98 3.927,11 7247,09
164
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
10 71.736,34 3.485,97 3.761,12 7247,09
11 68.076,07 3.660,27 3.586,82 7247,09
12 64.232,78 3.843,29 3.403,80 7247,09
13 60.197,33 4.035,45 3.211,64 7247,09
14 55.960,11 4.237,22 3.009,87 7247,09
15 51.511,03 4.449,08 2.798,01 7247,09
16 46.839,49 4.671,54 2.575,55 7247,09
17 41.934,37 4.905,12 2.341,97 7247,09
18 36.784,00 5.150,37 2.096,72 7247,09
19 31.376,11 5.407,89 1.839,20 7247,09
20 25.697,83 5.678,28 1.568,81 7247,09
21 19.735,63 5.962,20 1.284,89 7247,09
22 13.475,32 6.260,31 986,78 7247,09
23 6.901,99 6.573,32 673,77 7247,09
24 0,00 6.901,99 345,10 7247,09
 100.000,00 73.930,16 173930,16
Exemplo 2
Empréstimo: R$ 100.000,00
Prazo: 10 anos
Taxa: 25% a.a.
Usando a fórmula usada para séries de pagamentos iguais com termos postecipados:
 Observação
O termo postecipado significa que o primeiro pagamento será realizado 
no período seguinte.
PMT = PV / FRC (i, n) ∴ PMT = 100.000,00 x 0,28007 = R$ 28.007,00
Em que:
FRC i n
i
i
n
( , )
( )
( , )
,
,
,
,
=
− +
− +
−
−
−
1 1
1 1 0 25
0 25
1 0 107374
0 25
0 892625
10
00 25
3 5705
100 000
5 5705
28 007 28
,
,
.
,
. ,
=
= =PMT
165
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
FRC i n
i
in
( , )
( )
( , )
,
,
,
,
=
− +
− +
−
−
−
1 1
1 1 0 25
0 25
1 0 107374
0 25
0 892625
10
00 25
3 5705
100 000
5 5705
28 007 28
,
,
.
,
. ,
=
= =PMT
Tabela 12
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 96.992,74 3.007,26 25.000,00 28.007,26
2 93.233,67 3.759,07 24.248,19 28.007,26
3 88.534,83 4.698,84 23.308,42 28.007,26
4 82.661,28 5.873,55 22.133,71 28.007,26
5 75.319,34 7.341,94 20.665,32 28.007,26
6 66.141,91 9.177,42 18.829,83 28.007,26
7 54.670,13 11.471,78 16.535,48 28.007,26
8 40.330,41 14.339,73 13.667,53 28.007,26
9 22.405,75 17.924,66 10.082,60 28.007,26
10 -0,07 22.405,82 5.601,44 28.007,26
Total 100.000,07 180.072,51 280072,58
Como o crescimento da amortização é exponencial, o valor dela, em um determinado momento t, 
é calculado da seguinte forma: 
Amortt = Amort1 x (1 + i)
t – 1
Logo, Amort6 = 3.007, 00 x (1,25)
5 = 3.007,00 x 3,05176 = 9.176,64
Esse cálculo realizado pode ser desenvolvido para encontrar qualquer período.
8.1.1 Sistema de amortização misto
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de 
financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Trata-se simplesmente de uma mescla do Sistema 
de Amortização Francês (SAF) e do Sistema de Amortização Constante (SAC), por meio de uma média 
aritmética. Por ser uma mescla entre dois sistemas, recebeu a denominação de sistema misto. Para cada 
um dos valores do seu plano de pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC 
e dividir o resultado por dois. Ao se adotar o SAM para o empréstimo contraído, têm-se, para o primeiro 
período (semestre), os seguintes valores:
166
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Tabela 13 – SAC
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 90.000,00 10.000,00 14017,5 24.017,50
2 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75
Tabela 14 – SAF
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 94.833,06 R$5.166,94 14.017,50 R$19.184,44
2 88.941,84 R$5.891,22 13.293,22 R$19.184,44
PMT
Juros
SAM
SAM
=
+
=
=
+
24 017 50 19 184 44
2
21 600 97
14 017 50 14
. , . ,
. ,
. , .. ,
. ,
. . ,
. ,
017 50
2
14 017 50
10 000 5 166 90
2
7 583 45
=
=
+
=Amort
SD
SAM
SAM ==
+
=
90 000 94 833 10
2
92 416 55
. . ,
. ,
Para os demais semestres, segue-se o mesmo raciocínio, conforme a tabela:
Tabela 15
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 92.416,53 R$7.583,47 R$14.017,50 R$21.600,97
2 84.470,92 R$7.945,61 R$12.954,49 R$20.900,10
3 76.112,41 R$8.358,51 R$11.840,71 R$20.199,22
4 67.283,13 R$8.829,29 R$10.669,06 R$19.498,35
5 57.917,07 R$9.366,06 R$9.431,41 R$18.797,47
6 47.939,00 R$9.978,07 R$8.118,53 R$18.096,60
7 37.263,13 R$10.675,87 R$6.719,85 R$17.395,72
8 25.791,64 R$11.471,49 R$5.223,36 R$16.694,85
9 13.413,01 R$12.378,63 R$3.615,34 R$15.993,97
10 0,09 R$13.412,93 R$1.880,17 R$15.293,10
 R$99.999,91 84.470,41 R$184.470,33
167
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
8.1.2 Comparações entre SAC, SAF e SAM
Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização é desenvolvida na tabela a seguir.
Tabela 16 – Comparação entre SAC, SAF E SAM
SAC SAF
Sado 
devedor Amortização Juros Prestação
Sado 
devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 100.000,00 
1 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50 94.833,06 5.166,94 14.017,50 19.184,44
2 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75 88.941,84 5.891,22 13.293,22 19.184,44
3 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 82.224,83 6.717,02 12.467,42 19.184,44
4 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25 74.566,25 7.658,57 11.525,87 19.184,44
5 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 65.834,14 8.732,12 10.452,32 19.184,44
6 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75 55.878,00 9.956,14 9.228,30 19.184,44
7 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 44.526,26 11.351,74 7.832,70 19.184,44
8 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25 31.583,28 12.942,97 6.241,47 19.184,44
9 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 16.826,03 14.757,25 4.427,19 19.184,44
10 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75 0,18 16.825,85 2.358,59 19.184,44
Total 100.000,00 77.096,25 177.096,25 99.999,82 91.844,58 191.844,40
Compare os valores com a tabela do sistema amortização mistos, que fizemos na tabela anterior.
8.1.3 Gráfico de comparação entre SAC, SAF e SAM
0 1 2 3 4
4,45
PMT ($)
24.017,50
21.601,00
19.184,40
SAC
Período (n)
SAM
SAF
5 6 7 8 9 10
Figura 1
O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais para as prestações. Calculando-se 
analiticamente esse ponto de interseção, verifica-se que as prestações se igualam por volta da 4ª 
168
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
prestação. No SAF, as prestações tornam-se maiores que as determinadas pelos demais sistemas de 
amortização.
Ponto de igualdade das prestações
PMT cons te
PMT
PV
n
n t i
PMT
SAF
SAC
SAC
=
= ⋅ + − + ⋅[ ]
=
19 184 44
1 1
. , ( tan )
( )
1100 000
10
1 10 1 0 140175
.
( ) ,⋅ + − + ⋅[ ]t
Igualando PMTSAC e PMTSAF
100 000
10
1 10 1 0 140175 19 184 44
10 000 1 140175
.
( ) , . ,
. ,
⋅ + − + ⋅[ ] =
⋅ + −
t
00 140175 0 140175 19 184 44
10 000 14 017 50 0 140175
, , . ,
. . , ,
⋅ +[ ] =
+ − ⋅
t
tt
t
t
+ =
=
= =
1 40175 19 184 44
1 40175 6 234 81
6 234 81
1 40175
. , . ,
. , . ,
. ,
. ,
44 45,
8.2 Sistema de Amortização Americano
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado seja 
efetuada ao final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. De acordo com essa 
característica básica do SAA, não estão previstas amortizações intermediárias durante o período de 
empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Exemplo 1
Tabela 17
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 100.000,00 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
Total 100.000,00 84.105,00 184.105,00
169
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
O exercício a seguir foi baseado em Boggiss (2003), Lapponi (1995) e Puccini (1983). Trata-se de um 
exercício-padrão, com redação muito próxima ao que geralmente se observa em treinamentos e testes 
de Matemática Financeira no Brasil.
Exemplo 2. Um financiamento para capital de giro no valor de R$ 2.000.000,00 é concedido a uma 
empresa pelo prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada é de10% a.s., sendo adotado o Sistema 
Americano de Amortização para essa dívida, e os juros pagos semestralmente durante a carência. 
Calcular o valor de cada prestação mensal.
Admita que a taxa de aplicação seja de 4% ao semestre. Calcular os depósitos semestrais que a 
empresa deve efetuar nesse fundo, de maneira que possa acumular, ao final do prazo de financiamento, 
um montante igual ao desembolso da amortização exigido.
Tabela 18
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 2.000.000,00 
1 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00
2 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00
3 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00
4 - 2.000.000,00 200.000,00 2.200.000,00
Total 2.000.000,00 800.000,00 2.800.000,00
Para ampliar o exemplo, vamos imaginar que, para facilitar o cumprimento da dívida de 
R$ 2.800.000,00 no final do período 4, a empresa decida fazer aplicações mensais para que tenha 
a quantia no final do período. Assim sendo, quanto deveria aplicar mensalmente?
O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no fundo de amortização é de R$ 470.980,00, 
isto é:
FV = 2.000.000,00
10
PMT PMT PMT PMT
2 3 4
Figura 2
PV PMT FPV i n
PV PMT
i
i
PMT PV
i
i
PMT
n
n
= ⋅
= ⋅
+ −
= ⋅
+ −
=
( , )
( )
( )
. .
1 1
1 1
2 000 0000
0 04
1 04 1
470 980 00
4⋅
−
=
,
( , )
. ,PMT
170
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
PV PMT FPV i n
PV PMT
i
i
PMT PV
i
i
PMT
n
n
= ⋅
= ⋅
+ −
= ⋅
+ −
=
( , )
( )
( )
. .
1 1
1 1
2 000 0000
0 04
1 04 1
470 980 00
4⋅
−
=
,
( , )
. ,PMT
8.2.1 Sinking fund ou fundo de amortização
Dentro do Sistema de Amortização Americano, costuma-se utilizar um dispositivo denominado sinking 
fund, ou fundo de amortização, cujo propósito é estocar poupanças periodicamente durante a vigência do 
empréstimo para, ao final do empréstimo, o montante do fundo igualar-se ao valor da dívida.
 Lembrete
Lembre-se de que a preocupação em formar um fundo desse tipo é a 
de evitar que o mutuário tenha de desembolsar uma quantia muito grande 
de dinheiro de uma vez só.
Representando matematicamente, se considerarmos:
• a taxa de juros: i
• o período: n
• o montante igual ao principal: S
• o depósito do período: R
• o fato de valor presente em séries uniformes postecipadas (valor da tabela): K,
surge a seguinte fórmula:
R = S / k
Por exemplo, se considerarmos um empréstimo de R$100.000,00 com uma taxa de juros de 12% ao 
ano e um prazo de 4 anos, é possível criarmos um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 
10% ao ano.
Se:
S = R$100.000,00
171
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
k: a constante para uma taxa de 10% e um período de 4 anos (4,641) 
R: o valor do depósito anual,
temos:
R = S/k
R = 100.000/4, 641
R = 21.547,08
É possível, dessa forma, obtermos a seguinte planilha:
Tabela 19
Anos Saldo devedor Depósito Juros
0 - - -
1 21.547,08 21.547,08 -
2 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
Total - 86.188,32 13.811,68
8.2.2 Sistema de Amortização Crescente (Sacre)
O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica Federal. Nele 
utiliza-se a metodologia de amortização constante (SAC anual), mas sem adicionar o valor da TR (Taxa 
Referencial).
Dessa forma, o Sacre proporciona uma amortização variável. Apesar do nome, amortização 
“crescente”, ele pode resultar amortizações decrescentes, caso a TR esteja com valor baixo.
A intenção desse sistema misto é proporcionar maior amortização do valor emprestado, reduzindo 
ao mesmo tempo a parcela de juros sobre o saldo devedor. Comparando-o com a Tabela Price, descobre-
se que a sua prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto na Tabela Price, 25%. 
O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price as prestações tendem a aumentar sempre, 
nele, a partir de um momento, as prestações começam a diminuir.
Para os cálculos do sistema Sacre, de acordo com a ABC (d.o.)1, que utilizou dados do SFH, temos os 
seguintes conceitos:
1 ABC (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CONSUMIDORES). Cartilha SFH. Disponível em: <http://www.ongabc.org.br/
cartilha_shf.doc>. Acesso em: 01 dez. 2011.
172
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Valor da razão da progressão aritmética (corresponde ao decréscimo das prestações)
Valor da primeira prestação:
r b
i PV
n
PMT
PV b i i
i
b
n
i PV
n
n
= ⋅
⋅
=
⋅ − ⋅ ⋅ +
+ −
+ ⋅ + ⋅1
1 1
1 1
1( ) ( )
( )
( )
Valor das prestações no período t (t > 1)
PMT PMT rt t+ = −1
Juros na data t
J i SDt t= ⋅ −1
PV = valor do principal
PMT1 = valor da primeira prestação
b = coeficiente variável por tipo de plano
r = razão da progressão (corresponde ao decréscimo do valor das prestações sucessivas).
Dependendo do valor de b, o sistema de reembolso pode resultar no Sistema Price (para b = 0) ou no 
SAC (no caso de b = 1). O denominado Sacre é um caso particular em que b = 0,5. Nesse sistema, devido 
à ponderação 0,5, o valor das prestações, amortizações, juros e saldos devedores correspondem à média 
aritmética dos sistemas Price e SAC.
8.2.3 Custo efetivo
Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e financiamentos, o custo 
efetivo, qualquer que seja o sistema de amortização adotado, é a própria taxa de juro considerada. 
Por outro lado, é comum as instituições financeiras cobrarem, além do juro declarado, outros tipos de 
encargos, tais como: IOC (Imposto sobre Operações de Crédito), comissões, taxas administrativas etc. 
Essas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros.
Exemplo de aplicação
Ao longo da unidade, você teve contato com termos das áreas financeira e matemática que 
correspondem a determinados conceitos. Propomos, por isso, que aprofunde sua compreensão com 
relação a eles. Tente explicar a seguir com suas próprias palavras o que significa amortização. Caso 
173
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
necessite, volte ao texto, releia-o e pesquise, em livros e na internet, não só o que o termo significa, mas 
como os profissionais da área financeira e matemática o utilizam.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
 Saiba mais
Para quem gosta de estratégia, a Matemática Financeira é um 
dos principais exemplosda chamada Teoria dos Jogos. Nesse sentido, 
recomenda-se assistir ao filme Uma mente brilhante (A beautiful mind), de 
2001, com direção de Ron Howard, que aborda a vida de um dos principais 
autores dessa teoria, o matemático John Nash. Uma interessante crítica a 
esse filme pode ser encontrada em: <http://www.cineclick.c om.br/critic as/
ficha/film e/uma-mente-brilha nte /id/471>.
 Resumo
Você estudou, nesta terceira unidade, os sistemas de amortização e 
mais especificamente os seguintes tópicos: Sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos; Sistema de Amortização Constante (SAC); 
Sistema de Amortização Francês; Sistema de Amortização Americano; 
Tabela Price; sistema misto; Comparações entre os sistemas de amortização; 
Sinking fund ou fundo de amortização; Sistema de Amortização Constante 
(Sacre); Custo efetivo.
Parabéns pelo esforço. No entanto, é sempre bom lembrar que você 
não esgotou todo o conhecimento sobre a Matemática Financeira; esta 
disciplina é uma introdução. Sempre é necessário estudar mais e se 
manter atualizado.
É muito comum, ao longo do tempo, principalmente se você não 
aplica constantemente esses conhecimentos, esquecer-se por completo 
das fórmulas. Contudo, certamente você ainda se lembrará dos conceitos 
e suas aplicações, de modo que as fórmulas possam ser relembradas a 
174
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
qualquer momento. O uso de artefatos e dispositivos eletrônicos também 
ajuda muito nesse sentido.
De qualquer forma, aplique sempre esses conceitos de Matemática 
Financeira. Bom trabalho e bons negócios!
175
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
REFERÊNCIAS
Audiovisuais
UMA MENTE brilhante. Direção de: Ron Howard. Roteiro: Akiva Goldsman. EUA: 2001. 1 DVD ( ). 
Textuais
ABC (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CONSUMIDORES). Cartilha SFH. Disponível em: <http://www.
ongabc.org.br/cartilha_shf.doc>. Acesso em: 1º dez. 2011.
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. São Paulo: Atlas, 2003.
______. Matemática Financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
ASSAF NETO, A.; SILVA, C. A. T. Administração do capital de giro. São Paulo: Atlas, 2002.
BANCO CENTRAL. SFH – Sistema Financeiro Habitacional. Disponível em: <http://www.bcb.gov.
br/?SFH>. Acesso em: 26 set. 2012.
BENNINGA, S. Z.; SARIG, O. H. Corporate finance: a valuation approach. Nova Iorque: McGraw-Hill, 1997.
BERNI, M. T. Operação e concessão de crédito: os parâmetros para a decisão de crédito. São Paulo: 
Atlas, 1999.
BOGGISS, G. J. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas, 2003.
BRAGA, R. Administração financeira: uma abordagem introdutória. São Paulo: Atlas, 2005.
BREALEY, R. A.; MYERS, S. C. Principles of corporate finance. 6. ed. Nova Iorque: McGraw-Hill, 2001.
BRIGHAM, E. F.; GAPENSKI, L. C.; EHRHARDT, M. C. Administração financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
BRITO, L. Curso da HP12C para uso na Matemática Financeira. Disponível em: <http://pt.scribd.com/
doc/61398364/CURSO-DA-HP12C-PARA-USO-NA-MATEMATICA-FINANCEIRA-2>. Acesso em: 01 dez. 2011.
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
___. Matemática Financeira com HP 12C. São Paulo: Atlas, 2002.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira aplicada. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson/ 
Virtual, 2010.
FORTUNA, E. Mercado financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2002.
176
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São Paulo:Virtual/Pearson, 2006.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 1997.
GROPPELLI, N. Administração financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
HOJI, M. Administração financeira. São Paulo: Atlas, 2000.
LAPPONI, J. C. Matemática Financeira: uma abordagem moderna. 3. ed. São Paulo: Lapponi Treinamento e 
Editora Ltda., 1995.
LEITE, L. L. Factoring no Brasil. São Paulo: Atlas, 2003.
LEMES JÚNIOR, A. B. et al. Administração financeira: princípios, fundamentos e práticas brasileiras. Rio 
de Janeiro: Campus, 2002.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
OLIVEIRA, D. C. Manual: como elaborar controles financeiros. Belo Horizonte: Sebrae/MG, 2005.
PEREIRA, W. A. Matemática Financeira. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/
ABAAAAMloAC/apost-matematica-financeira>. Acesso em: 01 dez. 2011.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
ROSS, S. A.; WESTERFIELD, R. W.; JAFFE, J. F. Administração financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
ROSETTI JÚNIOR, H.; SCHIMIGUEL, J. Análise das percepções de empresários acerca dos conhecimentos 
de Matemática Financeira e finanças em alunos de cursos superiores de tecnologia. Observatorio de La 
Economía Latinoamericana, v. 153, pp. 1-14, 2011. Disponível em: <http://www.eumed.net/cursecon/
ecolat/br/11>. Acesso em: 16 dez. 2011.
ROVINA, E. Uma nova visão da Matemática Financeira: para laudos periciais e contratos de 
amortização. Campinas: Millenium, 2009.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Pretince 
Hall, 2002.
SANTOS, E. O. Administração financeira da pequena e média empresa. São Paulo: Atlas, 2001.
SANTOS, J. O. Análise de crédito. São Paulo: Atlas, 2000.
177
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
SANVICENTE, A. Z. Princípios de administração financeira. São Paulo: Person Education do Brasil, 2003.
_______. A moderna teoria de carteiras e a análise de investimentos. São Paulo: Atlas, 2004.
_______. Administração financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
TAHAN, M. O homem que calculava. São Paulo: Record, 2003.
______. Matemática divertida e curiosa. São Paulo: Record, 2002.
VAN HORNE, J. C. Financial management and policy. 12. ed. Nova Iorque: Prentice Hall, 2002.
WESTON, J. F.; BRIGHAM, E. F. Fundamentos da administração financeira. 10. ed. São Paulo:Makron 
Books, 2000.
Sites
<http://www.malbatahan.com.br/>
178
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
179
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
180
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
anda
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
181
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
182
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
183
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
184
Re
vi
sã
o:
 J
ul
ia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
: A
m
an
da
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
o 
- 
09
/0
2/
20
18
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000