Intervalo de Confiança

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Intervalo de Confianc¸a
1 Estimac¸a˜o
A estimac¸a˜o e´ o processo que consiste em utilizar dados
amostrais para estimar os valores de paraˆmetros popu-
lacionais desconhecidos. Essencialmente, qualquer ca-
racter´ıstica de uma populac¸a˜o pode ser estimada a par-
tir de uma amostra aleato´ria. Entre os mais comuns,
esta˜o a me´dia e o desvio padra˜o de uma populac¸a˜o e a
proporc¸a˜o populacional.
1.1 Estimac¸a˜o por ponto:
E` o processo atrave´s do qual obteremos um u´nico ponto,
ou seja, um u´nico valor para estimar o paraˆmetro.
Exemplo: Amostra (1,3,2)
X =
∑
xi
n =
1+3+2
3 = 2 Estimativa pontual ou por
ponto de µ.
S2 =
∑
(xi−x)2
n−1 = 1 estimativa pontual ou por ponto
de σ2
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1.2 Estimac¸a˜o por Intervalo:
E´ um processo que permite obter um intervalo onde,
com uma determinada probabilidade (n´ıvel de confianc¸a),
podemos esperar encontrar o verdadeiro valor do paraˆmetro.
LI < θ < LS
As estimativas por intervalo sa˜o prefer´ıveis a`s esti-
mativas por ponto porque indicam a precisa˜o, ou seja,
sabemos a probabilidade de o intervalo conter o paraˆmetro.
2 Intervalo de Confianc¸a
Trata-se de uma das te´cnicas para infereˆncia estat´ıstica,
onde a partir de um intervalo de confianc¸a, constru´ıdo
com os elementos da amostra, pode-se inferir sobre um
paraˆmetro populacional.
Devido a` variabilidade amostral, as poss´ıveis amostras
aleato´rias de mesmo tamanho retiradas da mesma po-
pulac¸a˜o tera˜o medidas diferentes. Assim, surge nat-
uralmente a pergunta: qual a confiabilidade de uma
estimativa pontual? O intervalo de confianc¸a foi in-
stitu´ıdo para definir de forma objetiva a credibilidade
da estimativa.
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INTERVALO DE CONFIANC¸A e´ o intervalo de va-
lores que conte´m o paraˆmetro da populac¸a˜o, com uma
determinada probabilidade de acerto, e e´ constru´ıdo a
partir de uma amostra aleato´ria retirada da populac¸a˜o.
Se pudessemos construir uma quantidade grande de
intervalos (aleato´rios!) da forma ]X − 1, 96σX, X +
1, 96σX [, todos baseados em amostras de tamanho n,
95% deles conteriam o paraˆmetro µ.
Dizemos que 1 − α = 0, 95 e´ o n´ıvel de confianc¸a
e α e´ o n´ıvel de significaˆncia. Nessa figura esta˜o es-
quematizados o funcionamento e o significado de um
intervalo de confianc¸a (IC) para µ, com 1 − α = 0, 95
e σ2 conhecido.
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Escolhida uma amostra e encontrada sua me´dia x0,
e admitindo-se σx conhecido, podemos construir o in-
tervalo
]x0 − 1, 96σX, x0 + 1, 96σX [.
Este intervalo pode ou na˜o conter o paraˆmetro µ.
Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho n e
que constru´ımos um intervalo de confianc¸a com n´ıvel de
confianc¸a 95% e obtemos o seguinte intervalo: 0, 476 <
µ < 0, 544.
1. ERRADA: “Ha´ uma chance de 95% de que o ver-
dadeiro valor de µ esta´ entre 0,476 e 0,544.”
2. CERTA: “Estamos 95% confiantes de que o inter-
valo de 0,476 e 0,544 realmente conte´m o verdadeiro
valor de µ”. Isto significa que, se selecionarmos
muitas diferentes amostras de mesmo tamanho n
e constru´ıssemos os intervalos de confianc¸a corre-
spondentes, 95% deles realmente conteriam o valor
da me´dia populacional µ. O n´ıvel de 95% se refere a`
taxa de sucesso do processo em uso para estimar a
me´dia populacional, e na˜o se refere a` pro´pria me´dia
populacional.)
Consideremos o seguinte experimento de simulac¸a˜o.
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Geramos 20 amostras de tamanho n = 25 de uma
distribuic¸a˜o normal de me´dia µ = 5 e desvio padra˜o
σ = 3. Para cada amostra constru´ımos o intervalo de
confianc¸a para µ, com n´ıvel de significaˆncia α = 0, 5
, que e´ da forma X ± 1, 176. Na figura abaixo temos
esses intervalos representados e notamos que treˆs deles
(amostras de nu´meros 5, 14 e 15) na˜o conte´m a me´dia
µ = 5.
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2.1 Intervalo de confianc¸a para a Me´dia de Populac¸o˜es
Normais com Variaˆncia Conhecida
Considere que desejamos estimar a media µ de uma
populac¸a˜o X com variaˆncia σ2 conhecida.
Para determinar o intervalo de confianc¸a (IC) para
µ , utilizamos o estimador X . Conforme ja´ estabele-
cido, o estimador da me´dia populacional (µ) e´ a me´dia
amostral (X), e a distribuic¸a˜o de probabilidade das
me´dias e´ NORMAL com paraˆmetros:
X ∼ N
µ, σ
2
n

Logo, a varia´vel padronizada de X sera´
Z =
X − µ
σ√
n
∼ N(0, 1)
Fixando-se um n´ıvel de confianc¸a 1 − α , temos a
seguinte representac¸a˜o da situac¸a˜o:
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ou seja,
P
(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2
)
= 1− α
Substituindo-se o valor de Z, tirado de Z = X−µσ , e
resolvendo-se para as duas inequ¨ac¸o˜es, temos:
P
X − zα/2 σ√
n
≤ µ ≤ X + zα/2 σ√
n
 = 1− α
Este intervalo de confianc¸a, tambe´m pode ser ex-
presso da seguinte forma:
IC(µ; 1− α) = X ± zα/2 σ√
n
2.1.1 Margem de Erro
O Erro num intervalo de estimac¸a˜o diz respeito ao
desvio (diferenc¸a) entre a me´dia amostral e a verdadeira
me´dia da populac¸a˜o. Como o intervalo de confianc¸a
tem centro na me´dia amostral, o erro ma´ximo prova´vel
e´ igual a` metade da amplitude do intervalo. Logo, o
intervalo
X ± zα/2 σ√
n
ou X ± �
onde o erro � sendo dado por
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� = zα/2
σ√
n
Exemplo: Em determinada populac¸a˜o, o peso dos
homens adultos e´ distribu´ıdo normalmente com um
desvio padra˜o de 16kg. Uma amostra aleato´ria sim-
ples de 36 homens adultos e´ sorteada desta populac¸a˜o,
obtendo-se um peso me´dio de 78, 2kg. Construa um
intervalo de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a 0,95 para
o peso me´dio de todos os homens adultos dessa pop-
ulac¸a˜o.
Exemplo: De uma populac¸a˜o normal com variaˆncia
25 extrai-se uma amostra aleato´ria simples de tamanho
n com o objetivo de se estimar a me´dia populacional µ
com um n´ıvel de confianc¸a de 90% e margem de erro
de 2. Qual deve ser o tamanho da amostra?
2.2 Intervalo de Confianc¸a para uma Proporc¸a˜o - Amostras
Grandes
O procedimento de construc¸a˜o do intervalo de confianc¸a
para a proporc¸a˜o populacional e´ totalmente ana´logo ao
do intervalo de confianc¸a para a me´dia de uma pop-
ulac¸a˜o normal com variaˆncia conhecida.
Ja´ foi estabelecido que o estimador para proporc¸a˜o p
e´ a proporc¸a˜o amostral p̂, e a distribuic¸a˜o de probabili-
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dade da proporc¸a˜o amostral e´ Normal com paraˆmetros:
p̂ ∼ N
p; p(1− p)
n
 (1)
Assim, para o caso de populac¸o˜es infinitas, a varia´vel
padronizada de p̂ e´ dada por:
Z =
p̂− p√
p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (2)
Fixando-se um n´ıvel de confianc¸a 1 − α, temos a
seguinte representac¸a˜o da situac¸a˜o:
Ou seja:
P
(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2
)
= 1− α
Substituindo-se o valor de Z, tirado de Z = p̂−p√
p(1−p)
n
,
e resolvendo-se para as duas inequ¨ac¸o˜es, temos:
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P
p̂− zα/2
√√√√√√p(1− p)
n
≤ p ≤ p̂ + zα/2
√√√√√√p(1− p)
n
 = 1−α
Reconhecemos a quantidade
√
p(1−p)
n como erro-padra˜o
do estimador pontual p̂. Infelizmente, os limites supe-
rior e inferior do intervalo de confianc¸a dependem do
paraˆmetro desconhecido p. No entanto, uma soluc¸a˜o
satisfato´ria e´ substituir p por p̂ no erro-padra˜o, resul-
tando em um erro-padra˜o estimado. Assim,
P
p̂− zα/2
√√√√√√p̂(1− p̂)
n
≤ p ≤ p̂ + zα/2
√√√√√√p̂(1− p̂)
n
 = 1−α
Este intervalo de confianc¸a bilateral, tambe´m pode
ser expresso da seguinte forma:
IC(p̂; 1− α) = p̂± zα/2
√√√√√√p̂(1− p̂)
n
Exemplo: Um gerente de produc¸a˜o deseja estimar
a proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas em uma de suas li-
nhas de produc¸a˜o. Para isso, ele seleciona uma amostra
aleato´ria simples de 100 pec¸as dessa linha de produc¸a˜o,
obtendo 30 defeituosas. Determine o intervalo de con-
fianc¸a para a verdadeira proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas
nessa linha de produc¸a˜o, a um n´ıvel de significaˆncia de
5%.
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