EstApli-U4

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EA
D
Estimação Estatística
4
1. OBJETIVOS
•	 Conhecer	a	estimação	por	pontos	e	por	intervalos.
•	 Compreender	os	intervalos	de	confiança.
•	 Aplicar	os	intervalos	de	confiança	em	proporções	e	amostras.
•	 Identificar	o	fator	de	correção.
•	 Estimação	em	pequenas	amostras.
2. CONTEÚDOS
•	 Estimação	por	pontos.
•	 Estimação	por	intervalos.
•	 Intervalos	de	confiança	para	médias.
•	 Intervalos	de	confiança	para	proporções.
•	 Intervalos	de	confiança	para	grandes	e	pequenas	amostras.
•	 Fator	de	correção.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
1)	 É	 importante	que	você	saiba	que	a	utilização	da	análise	estatística	está	relacionada	
com	o	uso	de	amostragem.	As	amostras	são	utilizadas	como	uma	forma	de	chegar	até	
a	população.	Utilizamos	as	amostras	para	estimar	valores	para	a	população,	que	é	o	
interesse.
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2)	 Nesta	 unidade,	 estudaremos	 sobre	 os	 IC	 (Intervalos	 de	 Confiança)	 e	 é	 importante	
ficarmos	atentos	com	interpretações	equivocadas	dos	 Intervalos	de	Confiança,	afir-
mando	que	"com	90%	de	probabilidade	a	verdadeira	média	populacional	m 	se	encon-
tra	dentro	do	intervalo".	Essa	interpretação	está	equivocada	e	deve	ser	evitada.
3)	 Para	utilizar	a	distribuição	normal,	devemos	utilizar	as	fórmulas	da	padronização	para	
encontrar	a	variável	padrão	Z,	que	permite	associar	medidas	probabilísticas	às	amos-
tras,	seja	pela	média	ou	por	uma	proporção.
4)	 As	distribuições	amostrais	estudadas	na	Unidade	3	são	válidas	para	grandes	amostras	
( 30n ≥ ),	conforme	discutimos	no	chamado	teorema	do	limite	central.	Assim,	a	nor-
malidade	exige,	entre	outras	coisas,	grandes	amostras	para	sua	aplicação.
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
É	praticamente	impossível	observar	e	coletar	dados	de	toda	uma	população,	seja	pelo	alto	
custo,	pelo	tempo	ou	até	mesmo	por	outras	dificuldades.	Nesse	caso,	optamos	por	analisar	uma	
amostra,	que	é	parte	da	população;	se	esta	for	representativa,	os	resultados	poderão	ser	gene-
ralizados	para	toda	essa	população.
Como	não	conhecemos	a	população	em	estudo,	os	resultados	obtidos	na	amostra	vêm	
acompanhados	de	um	grau	de	incerteza	ou	risco.
Nesta	unidade,	estudaremos	a	inferência	estatística	por	meio	dos	métodos	de	estimação	
estatística,	que	são	o	conjunto	de	técnicas	e	procedimentos	que	permitem	dar	às	pesquisas	um	
grau	de	confiabilidade	nos	resultados	que	se	obtêm	mediante	os	estudos	de	amostra.
Bom	estudo!
5. ESTIMAÇÃO POR PONTOS
Na	estimação	por	pontos,	utilizaremos	um	único	número	real	para	avaliar	um	fenômeno,	
por	exemplo,	o	valor	da	média amostral,	como	uma	estimativa	por	ponto	da	média	populacio-
nal.
Da	mesma	forma,	podemos	utilizar	o	valor	da	variância	e	do	desvio	padrão	como	parâme-
tros	de	estimação.
Para	ilustrar	o	problema	das	estimativas	pontuais,	observe	o	exemplo.
Exemplo
Imagine	que	você	esteja	participando	de	um	jogo,	sentado	em	uma	sala	onde	existe	uma	
parede	localizada	à	sua	frente	com	uma	distância	de	4	metros.	Nessa	parede,	está	desenhado	
um	ponto	bem	pequeno.	De	posse	de	duas	bolas,	uma	de	gude	e	uma	de	basquete,	você	deverá	
escolher	uma	para	tentar	acertar	o	ponto	em	apenas	uma	tentativa.	Contudo,	antes	de	você	
lançar	uma	das	bolas,	alguém	apaga	o	ponto,	mas	diz	que	o	mesmo	continua	na	parede.	Então?	
Qual	dos	objetos	você	escolheria?
Provavelmente,	você	escolheria	a	bola	de	basquete,	por	acreditar	que	a	chance	de	acertar	
é	maior.	E	sim,	você	tem	razão,	pois	mesmo	não	acertando	em	cheio	no	ponto,	você	poderá	
acertá-lo	devido	à	circunferência	da	bola.	Utilizando	a	bola	de	gude,	terá	que	acertar	em	cheio,	
ou	seja,	deverá	ser	mais	preciso	no	lançamento.	Apesar	de	privilegiar	a	precisão,	o	grau	de	acer-
to	com	a	bola	de	gude	é	quase	zero.
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Você	consegue	visualizar	a	situação?	Você	percebeu	como	será	difícil	acertar	com	a	bola	
de	gude?
Pois	bem,	a	bola	de	gude	é	o	que	chamamos	de	estimativa por ponto	(ou	pontual),	isto	
é,	com	base	em	uma	única	amostra	e,	consequentemente,	em	uma	única	média	amostral	 X ,	
desejamos	acertar	o	verdadeiro	valor	da	média	populacional	 m .	Muito	difícil,	pouco	provável,	
pouco	confiável.
As	amostras	diferentes	levam	normalmente	a	estimativas	diferentes,	e	essa	variabilidade	
não	pode	ser	controlada	nesse	processo.	O	controle	estatístico	nos	leva	a	fixar	a	estimação	me-
diante	um	intervalo real,	ou	seja,	as	estimativas	pontuais	devem	ser	transformadas	em	estima-
tivas	com	maior	confiabilidade	de	acerto,	as	estimativas	por	intervalo.
6. ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS
As	estimativas	por	intervalos	são	utilizadas	quando	necessitamos	de	um	valor	aproximado	
e	em	expressão	analítica	qualquer.
A	ideia	é	construir	um	intervalo	em	torno	da	estimativa	por	ponto,	de	modo	que	esse	in-
tervalo	tenha	uma	probabilidade	conhecida	de	conter	o	verdadeiro	valor	do	parâmetro.
Assim,	o	intervalo	com	probabilidade	conhecida	deverá	conter	o	valor	real	do	parâmetro	
e	será	denominado	intervalo de confiança.
Intervalos de confiança
A	probabilidade	que	designaremos	por	 ( )1 α− 	ou	 ( )100 %α− 	representará	a	probabili-
dade	do	parâmetro	populacional	pertencente	ao	intervalo	construído,	e	é	chamada	de	nível de 
confiança.	O	valor	de	α 	é	conhecido	como	nível	de	significância	do	intervalo.
Vamos	supor	que	os	intervalos	de	confiança	simétricos	em	probabilidades,	isto	é,	a	proba-
bilidade	do	parâmetro,	ficam	de	fora	do	intervalo	e	a	probabilidade	de	ficar	à	sua	direita	é	igual	
à	de	ficar	à	sua	esquerda.	Essa	simetria,	além	de	propiciar	intervalos	mais	precisos,	gera	uma	
facilidade	nos	cálculos.
Intervalos de confiança (IC) para a média populacional m , com grandes amostras 30n ≥ e 
desvio padrão populacional σ conhecido
Conforme	propõe	Morettin	(2010),	consideremos	uma	população	normal,	com	média	 m 	
desconhecida	que	desejamos	estimar,	mas	supondo	desvio	padrão	populacional	σ conhecido.
Nosso	objetivo	é	determinar	um	intervalo	para	estimar	a	média	populacional	 m 	do	tipo	
[ ]mΑ < < Β 	 que	 possua	 uma	 determinada	 confiabilidade	 ( )1 α− 	 de	 estar	 correto,	 ou	 seja,	
( ) ( )1m αΡ Α < < Β = − .
O	problema	é	determinar	A	e	B	que	garantam	a	probabilidade	de	acerto	desejada.
Para	encontrar	os	limites	dos	intervalos,	seguimos	o	seguinte	procedimento:
•	 Reescrevemos	 o	 intervalo	 em	 função	 da	 variável	 normal	 padronizada	 Z,	 ou	 seja,	
( ) ( )1 2 1 αΡ Ζ < Ζ < Ζ = − .
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•	 Com	base	na	fórmula	da	padronização	estudada	na	Unidade	3,	fazemos	uma	substitui-
ção	direta	no	intervalo	para	Z,	ou	seja,
 ( )1 2
 
 
Ρ Ζ < < Ζ = − 
  
 
.
•	 Isolando	m 	na	expressão	anterior,	podemos	então	determinar	as	fórmulas	para	os	limi-
tes	dos	intervalos,	ficando	assim,
 ( )1 2 1X Xn n
σ σm α Ρ − Ζ ⋅ < < + Ζ ⋅ = − 
 
.
Devido	 à	 escolha	 por	 trabalhar	 com	 intervalos	 simétricos,	 ou	 seja,	 1 2Z Z= ,	 podemos	
reescrever	o	intervalo	que	estima	a	média	populacional	 m 	da	forma	 IC X ;X = −Ε +Ε  ,	onde	
E	é	chamada	de	margem	de	erro	da	estimativa	e	é	calculada	da	forma:
n
σ
Ε = Ζ⋅
Onde:
•	 Z	é	um	valor	da	tabela	de	distribuição	normal	padronizada	para	uma	área	igual	a	
(1 )
2
α−
	
ou	 (100 )%
2
α− .
•	 n	é	o	tamanho	da	amostra	aleatória	utilizada	 30n ≥ .
•	 σ 	é	o	desvio	padrão	populacional	suposto	conhecido.
Graficamente,	conforme	é	possível	ver	na	Figura	1,	o	IC	(Intervalo	de	Confiança)	pode	ser	
representado	como:
Figura	1	Curva 1.
Para	que	você	possa	entender	melhor,	observe,	a	seguir,	dois	exemplos	de	aplicações	prá-
ticas.
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Exemplo 1
Consideremos	uma	população	normal	X,	com	uma	variância	populacional	igual	a	9.	Desta	
população	 tiramos	uma	amostra	 contendo	35	observações,	 obtendo	uma	 soma	de	 todos	os	
valores	igual	a	152.	Determine	um	IC	(Intervalos	de	Confiança)	de	limites	de	0,90	ou	90%	para	
m .
Resolução
Dados:
•	 ( )1 0,90α− = .
•	 Média	amostral	
152X 4,34
35
= = .
•	 Desvio	padrão	populacional	 9 3σ = = .
•	 Qual	será	o	valor	de	Z	para	
( )1 0,900,45
2 2
α−
= = 	(que	denotamos	por	 0,45Z )?
Observe,	 mediante	 os	 cálculos	 demonstrados	 anteriormente,	 que	 a	 curva	 é	 normal	 e	
que	são	consideradas	duas	metades	simétricas,	ou	seja,	se	o	limite	é	de	90%,	será	 90% 45%
2
= 	
ou	0,45.	 Lembrando	que,	nas	 tabelas	da	Normal	Padronizada	estudadas	na	Unidade	2,	 para	
encontrar	 o	 valor	 de	 0,45Z 	 basta	 procurar	 a	 área	 da	 tabela	mais	 próxima	 de	 0,45	 na	 coluna	
indicada	por	 ( )0 iΡ < Ζ < Ζ 	e	você	encontrará	o	valor	0,449497,	que	corresponde	a	um	valor	de	
Z 1,64= ,	conforme	trecho	reproduzido	no	quadro	a	seguir.
Quadro 1	Trecho	da	Normal	Padronizada	1
Zi P(0<Z<Zi)
1,44 0,425066
... ...
1,62 0,447384
1,63 0,448449
1,64 0,449497
1,65 0,450529
1,66 0,451543
... ...
1,70 0,455435
Assim,	para	determinar	o	IC,	basta	calcularmos	a	margem	de	erro:
3 3
1,64 1,64 1,64 0,51 0,84
5,9235
E Z
n
σ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	basta	somarmos	e	subtrairmos	da	média	amostral:
[ ] [ ]; 4,34 0,84;4,34 0,84 3,50;5,18C X X Ι = −Ε +Ε = − + =  Graficamente,conforme	
pode	ser	visto	na	Figura	2,	temos:
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Figura	2	Curva 2.
Notamos	que	há	90%	de	confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	intervalo	[3,50	;	5,18]	
estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	da	média	populacional	m 	ou,	se	preferir,	corremos	um	
risco	de	10%	de	que	o	intervalo	estime	de	forma	incorreta	o	verdadeiro	valor	da	média	popula-
cional	m .
Para	ilustrar	o	equívoco	dessa	interpretação,	suponhamos	que	exista	uma	população,	por	
exemplo,	uma	população	de	empresas	cujo	faturamento	médio	populacional	m 	seja	igual	a	1,5	
milhões	de	reais	anuais.	Uma	amostragem	foi	efetuada	em	 70n = 	empresas	dessa	população	
e	foi	construída	uma	estimativa	por	intervalo	para	m ,	resultando	nas	duas	situações	a	seguir.
1ª	Situação
Um	intervalo	de	90%	da	forma	[2,1	milhões;	2,7	milhões].	Observe	o	verdadeiro	valor	de	
m 	( 1,5m = )	e	pense	na	seguinte	pergunta:	“Qual	a	probabilidade	de	 m 	estar	dentro	desse	in-
tervalo?”.
Se	você	pensou	na	reposta	"nenhuma	possibilidade",	está	correto,	pois	não	há	como	o	
valor	1,5	estar	no	intervalo.	Assim,	a	probabilidade	de	m 	estar	no	intervalo	é	de	0%.	Agora,	veja	
uma	outra	situação.
2ª	Situação
Um	intervalo	de	90%	da	forma	[1,1	milhões;	2,7	milhões].	Observe	o	verdadeiro	valor	de	
m 	( 1,5m = )	e	pense	na	seguinte	pergunta:	“Qual	a	probabilidade	de	m	estar	dentro	desse	in-
tervalo?”.
Se	você	pensou	na	reposta	"está	no	intervalo",	você	está	correto	novamente,	pois	o	valor	
1,5	realmente	está	no	intervalo.	Assim,	a	probabilidade	de	m 	estar	no	intervalo	é	igual	a	100%.
Então,	como	o	valor	da	média	populacional	é	fixo,	ou	estará	no	intervalo	(100%	de	chance)	
ou	não	estará	(0%	de	chance).	Não	há	como	um	valor	fixo	ter	90%	de	chance	de	pertencer	a	um	
intervalo,	ou	pertence	ou	não	pertence.
Para	ilustrar	ainda	mais,	suponhamos	que	você	está	em	uma	quermesse	e	vai	participar	de	
um	tradicional	jogo	de	argolas.	O	objetivo	é	atirar	pequenos	arcos	plásticos	(as	argolas)	em	alvos	
espalhados	em	um	tablado.	Quando	você	arremessa	uma	das	argolas,	tem	uma	determinada	
probabilidade	de	acertar	o	alvo,	não	é	mesmo?	O	mesmo	ocorre	com	as	estimativas.
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A	Média	Populacional	é	o	alvo	que	está	parado	(fixo)	e	você	está	construindo	um	IC	com	
base	na	amostra	(a	argola)	para	tentar	acertar	a	média	populacional.	Assim,	quem	tem	probabi-
lidade	de	acerto	é	o	IC,	conforme	a	interpretação	correta.
Exemplo 2
De	uma	população	com	desvio	padrão	 5σ = ,	foram	coletados	 50n = 	elementos	e	obte-
ve-se	uma	média	amostral	X 42= .	Calcule	o	IC	para	estimar	a	média	populacional	com	um	nível	
de	significância	de	0,05	ou	5%.
Resolução
Dados:
•	 50n = .
•	 5σ = .
•	 X 42= .
•	 0,05α = 	ou	 ( )5% 1 0,95α⇒ − = 	ou	95% .
•	 Se	 ( )1 0,95α− = ,	 0,95 0,475
2
= .
Procurando	o	valor	mais	próximo	de	0,475	na	tabela	da	Normal	Padronizada,	verificamos	
que	 0,475 1,96Ζ = ,	conforme	trecho	destacado	da	tabela:
Quadro 2	Trecho	da	Normal	Padronizada	2
Zi P(0<Z<Zi)
1,80 0,464070
... ...
1,93 0,473197
1,94 0,473810
1,95 0,474412
1,96 0,475002
1,97 0,475581
1,98 0,476148
... ...
2,04 0,479325
Assim,	para	determinar	o	IC,	basta	calcularmos	a	margem	de	erro:
5 5
1,96 1,96 1,96 0,71 1,39
7,0750
E Z
n
σ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	basta	somá-la	e	subtraí-la	da	média	amostral:
[ ] [ ]; 42 1,39;42 1,39 40,61;43,39C X X Ι = −Ε +Ε = − + = 
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Portanto,	temos	95%	de	confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	intervalo	[40,61;	43,39]	
estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	da	média	populacional	m .
Exemplo 3
O	departamento	de	recursos	humanos	de	uma	grande	empresa	informa	que	o	tempo	de	
execução	de	tarefas	que	envolvem	participação	manual	varia	de	tarefa	para	tarefa,	mas	que	o	
desvio	padrão	permanece	constante	em	aproximadamente	3	minutos.	Uma	nova	 tarefa	está	
sendo	implantada	na	empresa.	Uma	amostra	aleatória	do	tempo	de	execução	de	50	dessas	no-
vas	tarefas	forneceu	o	valor	médio	de	15	minutos.	Determine	o	IC	(Intervalo	de	Confiança)	de	
95%	para	o	tempo	médio	de	execução	dessa	nova	tarefa.
Resolução
Dados:
•	 50n = 	(número	de	tarefas).
•	 X 15= 	(tempo	médio	de	execução	da	amostra).
•	 3σ = 	(desvio	padrão	populacional).
•	 (1 ) 95% 0,95α− = = 	(nível	de	confiança	do	intervalo).
•	 47,5Z 1,96= 	(tabela	da	curva	normal).
Assim,	para	determinar	o	IC,	basta	calcularmos	a	margem	de	erro:
3 3
1,96 1,96 1,96 0, 42 0,82
7,0750
E Z
n
σ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	basta	somá-la	e	subtraí-la	da	média	amostral.
[ ] [ ]; 15 0,82;15 0,82 14,18;15,82C X X Ι = −Ε +Ε = − + = 
Portanto,	temos	95%	de	confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	intervalo	[14,18;	15,82]	
estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	do	tempo	médio	de	execução	da	tarefa.
A	precisão	desta	estimativa	é	de	95%	de	confiança	de	que	não	estamos	errando	por	mais	
que	0,82	minutos	nesta	estimação.
Exemplo 4
Em	uma	 cidade,	 existem	 diversos	 supermercados	 que	 comercializam	 um	 determinado	
produto,	 cujo	preço	de	 venda	admite	distribuição	normal.	Uma	amostra	aleatória	de	preços	
desse	 produto,	 levantados	 em	 49n = 	 supermercados,	 revelou	 um	 preço	 médio	 amostral	
igual	a	 X 6,50= .	Sabe-se	que	o	desvio	padrão	populacional	para	os	preços	desse	produto	é	
R$ 0,60σ = ,	por	meio	de	estudos	realizados	em	outras	cidades.	Com	esses	dados:
1)	 Forneça	uma	estimativa	por	IC	com	92%	de	nível	de	confiança	para	o	preço	médio	real	
(populacional)	do	produto	na	cidade.
Resolução
Dados:
•	 49n = .
•	 X 6,50= .
•	 0,60σ = .
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Adotando	nível	de	confiança	 ( )1 0,92α− = ,	temos	 0,92 0,46
2
= .
Procurando	o	valor	mais	próximo	de	0,46	na	tabela	da	Normal	Padronizada,	verificamos	
que	 0,46 1,75Ζ = .
Assim,	para	determinar	o	IC,	basta	calcularmos	a	margem	de	erro.
0,60 0,60
1,75 1,75 1,75 0,09 0,16
749
E Z
n
σ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	basta	somarmos	e	subtrairmos	da	média	amostral:
[ ] [ ]; 6,50 0,16;6,50 0,16 6,35;6,66IC X X = −Ε +Ε = − + = 
Desse	modo,	temos	92%	de	confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	intervalo	[6,34;	6,66]	
estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	do	preço	médio	populacional	m .
2)	 Forneça	uma	estimativa	por	IC	com	96%	de	nível	de	confiança	para	o	preço	médio	real	
(populacional)	do	produto	na	cidade.	Compare	o	resultado	com	o	obtido	no	item	1.
Resolução
Dados:
•	 49n = .
•	 X 6,50= .
•	 0,60σ = .
Adotando	nível	de	confiança	 ( )1 0,96α− = ,	temos	 0,96 0,48
2
= .
Procurando	o	valor	mais	próximo	de	0,48	na	tabela	da	Normal	Padronizada,	verificamos	
que	 0,48 2,05Ζ = .
Assim,	para	determinar	o	IC,	basta	calcularmos	a	margem	de	erro:
0,60 0,60
E Z 2,05 2,05 2,05 0,09 0,18
749n
σ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	basta	somá-la	e	subtraí-la	da	média	amostral.
[ ] [ ]; 6,50 0,18;6,50 0,18 6,32;6,68IC X X = −Ε +Ε = − + = 
Concluímos	que	temos	96%	de	confiançaou	de	probabilidade	de	que	o	intervalo	[6,32;	
6,68]	estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	do	preço	médio	populacional	m .
Comparando	com	a	estimativa	do	 item	1,	podemos	verificar	que,	quando	aumentamos	
o	nível	de	confiabilidade,	ou	seja,	quando	aumentamos	o	nível	de	acerto	de	92%	para	96%,	o	
intervalo	aumentou	de	tamanho,	pois	a	margem	de	erro	ficou	maior.	Assim,	apesar	de	termos	
mais	chances	de	acerto,	temos	menor	precisão.	Intervalos	maiores	têm	maior	chance	de	acerto,	
mas	menor	precisão.
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3)	 Refaça	o	 item	1	admitindo	uma	amostra	com	 64n = 	supermercados	e	compare	os	
resultados.
Resolução
Dados:
•	 65n = .
•	 X 6,50= .
•	 0,60σ = .
Adotando	nível	de	confiança	 (1 ) 0,92α− = 	,	temos	 0,92 0,46
2
= .
Procurando	o	valor	mais	próximo	de	0,46	na	tabela	da	Normal	Padronizada,	verificamos	
que	 0,46 1,75Ζ = .
Assim,	para	determinar	o	IC,	basta	calcularmos	a	margem	de	erro:
0, 60 0,60
1,75 1,75 1,75 0,075 0,13
864
E Z
n
σ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	basta	somá-la	e	subtraí-la	da	média	amostral.
[ ] [ ]; 6,50 0,13;6,50 0,13 6,37;6,63IC X X = −Ε +Ε = − + = 
Assim,	temos	92%	de	confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	intervalo	[6,37;	6,63]	estime	
corretamente	o	verdadeiro	valor	do	preço	médio	populacional	m .
Comparando	com	a	estimativa	do	item	1,	podemos	verificar	que,	quando	aumentamos	o	
tamanho	da	amostra	mantendo	o	mesmo	nível	de	confiabilidade	(92%),	a	margem	de	erro	fica	
menor.	Assim,	temos	uma	estimativa	mais	precisa.
4)	 Refaça	o	 item	1	admitindo	um	desvio	padrão	populacional	 0,20σ = 	e	compare	os	
resultados.
Resolução
Dados:
•	 49n = .
•	 X 6,50= .
•	 0,20σ = .
Adotando	nível	de	confiança	 ( )1 0,92α− = ,	temos	 0,92 0,46
2
= .
Procurando	o	valor	mais	próximo	de	0,46	na	tabela	da	Normal	Padronizada,	verificamos	
que	 0,46 1,75Ζ = .
Assim,	para	determinar	o	IC,	basta	calcularmos	a	margem	de	erro:
0, 20 0, 20
1,75 1,75 1,75 0,03 0,05
749
E Z
n
σ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Claretiano - Centro Universitário
89© U4 - Estimação Estatística
Calculada	a	margem	de	erro,	basta	somá-la	e	subtraí-la	da	média	amostral.
[ ] [ ]; 6,50 0,05;6,50 0,05 6,45;6,55IC X X = −Ε +Ε = − + = 
Portanto,	 temos	92%	de	confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	 intervalo	 [6,45;	6,55]	
estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	do	preço	médio	populacional	m .
Comparando	com	a	estimativa	do	item	1,	podemos	verificar	que,	quando	diminuímos	o	
desvio	padrão	populacional	mantendo	o	mesmo	nível	de	confiabilidade	(92%)	a	margem	de	erro	
ficou	menor.	Assim,	temos	uma	estimativa	mais	precisa.
A	partir	dos	exemplos	anteriores,	podemos	retirar	 importantes	propriedades	de	ordem	
prática	a	respeito	da	margem	de	erro	que	é	utilizada	para	compor	as	estimativas	via	Intervalo	
de	Confiança	(IC):
a)	 Margem	de	erro	E	maior	⇒ 	maior	o	tamanho	do	intervalo	⇒ 	menor	a	precisão	da	
estimativa.
b)	 Fixados	n	e	σ ,	aumentando-se	o	nível	de	confiabilidade	 (1 )α− ⇒ 	maior	margem	de	
erro	E	⇒ 	menor	a	precisão	da	estimativa.
c)	 Fixados	n	e	 (1 )α− ,	diminuindo-se	o	desvio	padrão	σ 	⇒ 	menor	margem	de	erro	E	
⇒ 	maior	a	precisão	da	estimativa.
d)	 Fixados	σ 	e	 (1 )α− ,	aumentando-se	o	tamanho	da	amostra	n ⇒ 	menor	margem	de	
erro	E	⇒ 	maior	a	precisão	da	estimativa.
Não	podemos	correr	o	risco	de	gerar	estimativas	com	muita	margem	de	erro,	pois	a	aplica-
bilidade	da	mesma	fica	comprometida,	com	intervalos	muito	grandes	e	fora	da	realidade.	Assim,	
devemos	ter	estimativas	confiáveis	e	precisas.
A	partir	das	propriedades	anteriores,	podemos	identificar	na	prática	duas	formas	de	ga-
rantir	confiabilidade	e	precisão	nas	estimativas:
•	 Trabalhar	com	dados	com	pouca	variabilidade,	já	que	quanto	menor	o	desvio	padrão,	
mais	precisa	será	a	estimativa.
•	 Determinar	um	tamanho	adequado	para	a	amostra,	 já	que	quanto	maior	a	amostra,	
mais	precisa	será	a	estimativa.
Fórmula para determinação do tamanho da amostra
Considerando	as	propriedades	anteriores,	em	alguns	casos	é	 interessante	determinar	a	
quantidade	ideal	de	elementos	a	considerar	em	uma	amostra,	a	fim	de	garantir	um	determinado	
nível	de	confiança	( )1 α− 	e	também	garantir	uma	determinada	precisão	para	a	estimativa,	que	é	
determinada	pelo	valor	da	margem	de	erro	E.	Assim,	considerando	o	valor	de	E	fixado,	podemos	
deduzir	 a	partir	 da	 fórmula	da	margem	de	erro	uma	 fórmula	para	o	 cálculo	do	 tamanho	da	
amostra	(n).
2Z
E
n σ⋅ =  
 
Exemplo 5
Em	um	determinado	setor	produtivo,	sabe-se	por	amplos	estudos	que	o	grau	de	variabi-
lidade	entre	os	faturamentos	das	empresas	é	igual	a	R$	1,7	milhões	( 1,7σ = ).	Uma	pesquisa	
será	realizada	para	estimar	o	faturamento	médio	atual	dessas	empresas,	mas	a	pesquisa	será	
© Práticas Corporais Alternativas90
feita	por	amostragem	para	minimizar	os	custos.	Considerando	que	o	resultado	deva	ter	um	nível	
de	confiabilidade	 ( )1 α− 	de	97%	e	que	a	margem	de	erro	(precisão)	da	estimativa	seja	de,	no	
máximo,	0,4	milhões	de	reais,	quantas	empresas	(n)	deveriam	ser	pesquisadas?
Resolução
Temos	que	 ( )1,2 1 97%e αΕ = − = .	Temos	 0,97 0,485
2
= .
Procurando	o	valor	mais	próximo	de	0,485	na	tabela	da	Normal	Padronizada,	verificamos	
que	 0,485 2,17Ζ = .
Então,	para	calcular	o	tamanho	ideal	da	amostra,	substituímos	diretamente	na	fórmula:
( )
2 22
2Z 2,17 1,7 3,689 9,22 85,01
E 0,4 0, 4
n σ⋅ ⋅    = = = = =          
Então,	a	amostra	deveria	contar	com	86	empresas.	Note	que	n	deve	ser	um	número	inteiro	
e	arredondado	para	mais,	pois	trata-se	do	tamanho	da	amostra.
Intervalos de Confiança (IC) para uma Proporção Populacional θ , com grandes amostras 
( )30n ≥
De	forma	análoga	ao	feito	para	a	estimativa	da	média	populacional,	podemos	construir	
um	 intervalo	de	confiança	para	estimar	uma	proporção	populacional	utilizando	a	 fórmula	da	
padronização	para	proporções	discutida	na	Unidade	3.	Efetuando	as	operações	algébricas	ne-
cessárias,	podemos	deduzir	que	a	margem	de	erro	para	a	estimativa	de	proporções	será:
( )1p pE Z
n
⋅ −
= ⋅
A	seguir,	veja	algumas	aplicações	práticas.
Exemplo 6
Retiramos	de	uma	população	uma	amostra	de	 100n = 	elementos	e	encontramos	20	su-
cessos.	Ao	nível	de	significância	de	1%,	deve-se	construir	um	intervalo	de	confiança	para	a	pro-
porção	real	de	sucessos	na	população.
Resolução
Dados:
•	 100n = .
•	 20x = .
•	
20 0, 20
100
xp
n
= = = (proporção	amostral).
Ainda,	sendo	 0,01α = ,	então	 ( )1 0,99α− = 	ou	99%,	e	 0,99 0,495
2
= .
Procurando	o	valor	mais	próximo	de	0,495	na	tabela	da	Normal	Padronizada,	verificamos	
que	 0,485 2,58Ζ = .
Claretiano - Centro Universitário
91© U4 - Estimação Estatística
Assim,	para	determinar	o	intervalo	de	confiança,	basta	calcular	a	margem	de	erro.
( ) ( )1 0,20 1 0,20 0,20 0,80 0,16E Z 2,58 2,58 2,58
100 100 100
2,58 0,0016 2,58 0,04 0,1032
p p
n
⋅ − ⋅ − ⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	somamos	e	subtraímos	a	proporção	amostral:
[ ] [ ]; 0, 20 0,1032;0,20 0,1032 0,0968;0,3032IC X X = −Ε +Ε = − + =  Ou	 em	 valores	
percentuais,	 [ ]IC 9,68%;30,32%= .
Desse	modo,	 temos	99%	de	 confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	 intervalo	 [9,68%;	
30,32%]	estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	do	percentual	de	sucessos	na	população.
Exemplo 7
Para	estimar	a	porcentagem	de	alunos	de	um	curso	favorável	à	modificação	do	sistema	
escolar,	tomou-se	uma	amostra	de	 100n = 	alunos,	dos	quais	70	foram	favoráveis.	Calcule	um	
intervalo	de	confiança	para	a	proporção	de	alunos	do	curso	favoráveis	à	modificação	ao	nível	de	
significância	de	4%.
Resolução
Dados:	
•	 100n = .
•	 70x = .
•	
70 0,70
100
xp
n
= = = (proporção	amostral).
Ainda,	sendo	 0,04α = ,	então	 (1 ) 0,96α− = 	ou	96%,	e	 0,96 0,48
2
= .
Procurando	o	valor	mais	próximo	de	0,48	na	tabela	da	Normal	Padronizada,	verificamos	
que	 0,48Z 2,05= .
Assim,	para	determinar	o	intervalo	de	confiança,	basta	calcular	a	margem	de	erro:
( ) ( )1 0,70 1 0,70 0,70 0,30 0,21E Z 2,05 2,05 2,05
100 100 100
2,05 0,0021 2,05 0,046 0,094
p p
n
⋅ − ⋅ − ⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅= ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	basta	somá-la	e	subtraí-la	da	proporção	amostral:
[ ] [ ]; 0,70 0,094;0,70 0,094 0,606;0,794IC X X = −Ε +Ε = − + =  Ou,	 em	 valores	 per-
centuais,	 [ ]IC 60,6%;79,4%= .
Assim,	temos	96%	de	confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	 intervalo	[60,6%;	79,4%]	
estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	do	percentual	de	alunos	 favoráveis	às	mudanças	na	
população.
De	forma	análoga	ao	feito	com	as	estimativas	da	média,	também	podemos	determinar	o	
tamanho	ideal	de	uma	amostra	para	estimar	uma	proporção	fixando-se	a	precisão	(margem	de	
erro)	desejada.	A	fórmula	é	a	seguinte:
© Práticas Corporais Alternativas92
2
2
Z (1 )
E
p pn ⋅ −=
7. FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÃO FINITA
A	expressão	do	intervalo	de	confiança	para	a	média	foi	obtida	considerando-se	a	obtenção	
da	amostra	com	reposição.
Entretanto,	Silva	et	al.	(1997,	n.	p.)	relatam	que	em	algumas	situações,	como	o	caso	em	
que	a	avaliação	do	elemento	amostral	é	um	teste	destrutivo,	é	inviável	a	reposição	desse	ele-
mento.
Na	maioria	das	vezes,	o	principal	motivo	de	não	fazermos	a	reposição	é	o	custo.
A	consequência	da	não	reposição	do	elemento	na	população	antes	da	seleção	do	próximo	
elemento	praticamente	não	altera	a	probabilidade	de	seleção	desse	elemento	quando	a	popu-
lação	for	muito	grande	em	relação	ao	tamanho	da	amostra.
Se	a	amostra	for	muito	grande	em	relação	ao	tamanho	da	população,	a	não	reposição	do	
elemento	antes	da	seleção	do	próximo	modificará	sensivelmente	as	probabilidades	de	escolha	
dos	elementos	da	amostra,	modificando,	consequentemente,	sua	distribuição	de	probabilida-
des.
Assim,	se	o	tamanho	da	amostra	for	menor	do	que	5%	do	tamanho	da	população,	a	não	
reposição	pode	ser	desprezada.
Entretanto,	caso	o	tamanho	da	amostra	seja	maior	do	que	5%	do	tamanho	da	população,	
devemos	corrigir	o	intervalo	para	compensar	os	efeitos	desta	não	reposição.	Observe	a	seguir	o	
fator	de	correção.
1c
N nF
N
−
=
−
No	qual:
•	 N	é	o	tamanho	da	população.
•	 n	é	o	tamanho	da	amostra.
O	fator	de	correção	deve	ser	aplicado	diretamente	na	margem	de	erro	E,	tanto	em	esti-
mativas	para	a	média	quanto	para	estimativas	de	proporções,	multiplicando	a	margem	de	erro	
E	pelo	fator	de	correção	 cF .
Observe	a	seguir	um	exemplo	prático	do	fator de correção.
Exemplo 8
As	despesas	mensais	com	alimentação	dos	1.000	alunos	de	uma	faculdade	no	período	es-
colar	são	normalmente	distribuídas	com	desvio	padrão	de	R$	3,00.	Uma	amostra	sem	reposição	
de	100	estudantes	revelou	uma	despesa	média	mensal	de	R$50,00.	Determine	o	IC	(intervalo	de	
confiança)	de	90%	para	a	despesa	média	com	alimentação	no	período	escolar	dos	alunos	dessa	
faculdade.
Claretiano - Centro Universitário
93© U4 - Estimação Estatística
Resolução
Dados:
•	 1.000N = (número	de	alunos	da	população).
•	 3σ = (desvio	padrão	populacional).
•	 100n = (número	de	estudantes	da	amostra).
•	 X 50= (média	amostral).
•	 ( )1 90%α− = (nível	de	confiança	do	intervalo).
•	 45% 1,65Ζ = (tabela	da	curva	Normal	Padronizada).
Observe	que	o	tamanho	da	amostra	representa	mais	do	que	5%	do	tamanho	da	população	
e,	neste	caso,	é	necessário	aplicarmos	o	fator	de	correção:
1.000 100 0,9491
1 1.000 1c
N nF
N
− −
= = =
− −
Assim,	para	determinar	o	intervalo	de	confiança,	basta	calcular	a	margem	de	erro:
3 3
1,65 1,65 1,65 0,3 0, 495
10100
E Z
n
σ
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Calculada	a	margem	de	erro,	vamos	corrigi-la	pelo	fator	de	correção.	
0, 495 0,9491 0, 4698E = ⋅ =
E	assim,	o	intervalo	será:
[ ] [ ]IC X ;X 50 0,4698;50 0,4698 49,5302;50,4698 = −Ε +Ε = − + = 
Portanto,	 temos	 90%	 de	 confiança	 ou	 de	 probabilidade	 de	 que	 o	 intervalo	 [49,5302;	
50,4698]	estime	corretamente	o	verdadeiro	valor	da	despesa	mensal	com	alimentação	na	po-
pulação	de	alunos.
8. ESTIMATIVAS PARA PEQUENAS AMOSTRAS OU PARA O DESVIO PADRÃO 
POPULACIONAL (σ ) DESCONHECIDO
Em	todos	os	casos	de	estimativas	discutidos	anteriormente,	utilizamos	a	distribuição	Nor-
mal	Padronizada	(Z)	para	representar	os	níveis	de	confiança	dos	intervalos.	Contudo,	a	normali-
dade	só	pode	ser	utilizada	quando	o	tamanho	da	amostra	for	grande	( 30n ≥ )	e	o	desvio	padrão	
populacional	(σ )	for	conhecido.
Se	a	amostra	for	pequena	( 30n < )	ou	se	o	desvio	padrão	populacional	for	desconhecido,	
substituiremos	pelo	desvio	padrão	amostral	 (que	denotaremos	por	S),	a	normal	padronizada	
não	pode	mais	ser	utilizada.	Nesses	casos,	substituímos	a	tabela	da	normal	padrão	(Z)	por	outra	
tabela	chamada	de	Tabela	t-Student,	que	denotaremos	simplesmente	por	t.
Diferentemente	da	tabela	normal,	para	utilizar	a	tabela	t	(Quadros	de	3	a	6)	utilizaremos	o	
nível	de	significância	(α )	colocado	nas	colunas	da	tabela	(apenas	alguns	valores	mais	utilizados)	
e	o	número	de	graus	de	liberdade	(GL)	que	é	determinado	subtraindo	1	do	tamanho	da	amostra,	
ou	seja,	GL 1n= − 	(e	estão	colocados	nas	linhas	da	tabela).
© Práticas Corporais Alternativas94
A	mudança	de	tabela	não	gera	nenhuma	alteração	significativa	nas	fórmulas	vistas	ante-
riormente	e	nem	no	procedimento	de	cálculo,	existe	apenas	uma	mudança	de	Z	para	t,	ou	seja:
1)	 Margem	de	erro	para	estimar	a	média	populacional	
SE t
n
→ = ⋅ .
2)	 Margem	de	erro	para	estimar	a	proporção	populacional	 ( )1p pE t
n
⋅ −
→ = ⋅ .
3)	 Cálculo	do	tamanho	da	amostra	para	estimar	a	Média	
2
E
tn σ⋅ → =  
 
.
4)	 Cálculo	do	tamanho	da	amostra	para	estimar	a	proporção	 ( )
2
2
1
E
t p p
n
⋅ −
→ = .
Nas	próximas	páginas,	apresentamos	uma	versão	da	Tabela	t-Student	(Quadros	de	3	a	6)	
gerada	em	planilha	eletrônica,	com	níveis	de	significância	de	0,5%	a	20%.
Quadro 3	Valores	da	Distribuição	t-Student	–	de	01	a	40	graus	de	liberdade.
GL 20% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 0,5%
1 3,07768 4,16530 6,31375 9,05789 12,7062 15,8945 21,2049 31,8205 63,6567 127,321
2 1,88562 2,28193 2,91999 3,57825 4,30265 4,84873 5,64278 6,96456 9,92484 14,0890
3 1,63774 1,92432 2,35336 2,76260 3,18245 3,48191 3,89605 4,54070 5,84091 7,45332
4 1,53321 1,77819 2,13185 2,45589 2,77645 2,99853 3,29763 3,74695 4,60409 5,59757
5 1,47588 1,69936 2,01505 2,29739 2,57058 2,75651 3,00287 3,36493 4,03214 4,77334
6 1,43976 1,65017 1,94318 2,20106 2,44691 2,61224 2,82893 3,14267 3,70743 4,31683
7 1,41492 1,61659 1,89458 2,13645 2,36462 2,51675 2,71457 2,99795 3,49948 4,02934
8 1,39682 1,59222 1,85955 2,09017 2,30600 2,44898 2,63381 2,89646 3,35539 3,83252
9 1,38303 1,57374 1,83311 2,05539 2,26216 2,39844 2,57380 2,82144 3,24984 3,68966
10 1,37218 1,55924 1,81246 2,02833 2,22814 2,35931 2,52748 2,76377 3,16927 3,58141
11 1,36343 1,54756 1,79588 2,00666 2,20099 2,32814 2,49066 2,71808 3,10581 3,49661
12 1,35622 1,53796 1,78229 1,98893 2,17881 2,30272 2,46070 2,68100 3,05454 3,42844
13 1,35017 1,52992 1,77093 1,97416 2,16037 2,28160 2,43585 2,65031 3,01228 3,37247
14 1,34503 1,52310 1,76131 1,96166 2,14479 2,26378 2,41490 2,62449 2,97684 3,32570
15 1,34061 1,51723 1,75305 1,95094 2,13145 2,24854 2,39701 2,60248 2,94671 3,28604
16 1,33676 1,51213 1,74588 1,94165 2,11991 2,23536 2,38155 2,58349 2,92078 3,25199
17 1,33338 1,50766 1,73961 1,93353 2,10982 2,22385 2,36805 2,56693 2,89823 3,22245
18 1,33039 1,50371 1,73406 1,92636 2,10092 2,21370 2,35618 2,55238 2,87844 3,19657
19 1,32773 1,50019 1,72913 1,91999 2,09302 2,20470 2,34565 2,53948 2,86093 3,17372
20 1,32534 1,49704 1,72472 1,91429 2,08596 2,19666 2,33624 2,52798 2,84534 3,15340
21 1,32319 1,49419 1,72074 1,90916 2,07961 2,18943 2,32779 2,51765 2,83136 3,13521
22 1,32124 1,49162 1,71714 1,90452 2,07387 2,18289 2,32016 2,50832 2,81876 3,11882
23 1,31946 1,48928 1,71387 1,90031 2,06866 2,17696 2,31323 2,49987 2,80734 3,10400
24 1,31784 1,48714 1,71088 1,89646 2,06390 2,17154 2,30691 2,49216 2,79694 3,09051
25 1,31635 1,48517 1,70814 1,89293 2,05954 2,16659 2,30113 2,48511 2,78744 3,07820
26 1,31497 1,48336 1,70562 1,88968 2,05553 2,16203 2,29581 2,47863 2,77871 3,06691
27 1,31370 1,48169 1,70329 1,88669 2,05183 2,15782 2,29091 2,47266 2,77068 3,05652
28 1,31253 1,48014 1,70113 1,88391 2,04841 2,15393 2,286382,46714 2,76326 3,04693
29 1,31143 1,47870 1,69913 1,88134 2,04523 2,15033 2,28217 2,46202 2,75639 3,03805
Claretiano - Centro Universitário
95© U4 - Estimação Estatística
GL 20% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 0,5%
30 1,31042 1,47736 1,69726 1,87894 2,04227 2,14697 2,27826 2,45726 2,75000 3,02980
31 1,30946 1,47611 1,69552 1,87670 2,03951 2,14383 2,27461 2,45282 2,74404 3,02212
32 1,30857 1,47494 1,69389 1,87461 2,03693 2,14090 2,27120 2,44868 2,73848 3,01495
33 1,30774 1,47384 1,69236 1,87265 2,03452 2,13816 2,26801 2,44479 2,73328 3,00824
34 1,30695 1,47281 1,69092 1,87080 2,03224 2,13558 2,26501 2,44115 2,72839 3,00195
35 1,30621 1,47184 1,68957 1,86907 2,03011 2,13316 2,26219 2,43772 2,72381 2,99605
36 1,30551 1,47092 1,68830 1,86743 2,02809 2,13087 2,25953 2,43449 2,71948 2,99049
37 1,30485 1,47005 1,68709 1,86589 2,02619 2,12871 2,25702 2,43145 2,71541 2,98524
38 1,30423 1,46923 1,68595 1,86443 2,02439 2,12667 2,25465 2,42857 2,71156 2,98029
39 1,30364 1,46846 1,68488 1,86304 2,02269 2,12474 2,25240 2,42584 2,70791 2,97561
40 1,30308 1,46772 1,68385 1,86173 2,02108 2,12291 2,25027 2,42326 2,70446 2,97117
Quadro 4	Valores	da	Distribuição	t-Student	–	de	41	a	80	graus	de	liberdade.
GL 20% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 0,5%
41 1,30254 1,46702 1,68288 1,86048 2,01954 2,12117 2,24825 2,42080 2,70118 2,96696
42 1,30204 1,46635 1,68195 1,85930 2,01808 2,11952 2,24633 2,41847 2,69807 2,96296
43 1,30155 1,46572 1,68107 1,85817 2,01669 2,11794 2,24449 2,41625 2,69510 2,95916
44 1,30109 1,46511 1,68023 1,85709 2,01537 2,11644 2,24275 2,41413 2,69228 2,95553
45 1,30065 1,46453 1,67943 1,85606 2,01410 2,11500 2,24108 2,41212 2,68959 2,95208
46 1,30023 1,46398 1,67866 1,85508 2,01290 2,11364 2,23949 2,41019 2,68701 2,94878
47 1,29982 1,46345 1,67793 1,85414 2,01174 2,11233 2,23797 2,40835 2,68456 2,94563
48 1,29944 1,46295 1,67722 1,85324 2,01063 2,11107 2,23652 2,40658 2,68220 2,94262
49 1,29907 1,46246 1,67655 1,85238 2,00958 2,10987 2,23512 2,40489 2,67995 2,93973
50 1,29871 1,46199 1,67591 1,85155 2,00856 2,10872 2,23379 2,40327 2,67779 2,93696
51 1,29837 1,46155 1,67528 1,85076 2,00758 2,10762 2,23250 2,40172 2,67572 2,93431
52 1,29805 1,46112 1,67469 1,85000 2,00665 2,10655 2,23127 2,40022 2,67373 2,93176
53 1,29773 1,46070 1,67412 1,84926 2,00575 2,10553 2,23009 2,39879 2,67182 2,92932
54 1,29743 1,46031 1,67356 1,84856 2,00488 2,10455 2,22895 2,39741 2,66998 2,92696
55 1,29713 1,45992 1,67303 1,84788 2,00404 2,10361 2,22785 2,39608 2,66822 2,92470
56 1,29685 1,45955 1,67252 1,84722 2,00324 2,10270 2,22679 2,39480 2,66651 2,92252
57 1,29658 1,45920 1,67203 1,84659 2,00247 2,10182 2,22577 2,39357 2,66487 2,92042
58 1,29632 1,45885 1,67155 1,84598 2,00172 2,10097 2,22479 2,39238 2,66329 2,91839
59 1,29607 1,45852 1,67109 1,84540 2,00100 2,10015 2,22384 2,39123 2,66176 2,91644
60 1,29582 1,45820 1,67065 1,84483 2,00030 2,09936 2,22292 2,39012 2,66028 2,91455
61 1,29558 1,45789 1,67022 1,84428 1,99962 2,09860 2,22204 2,38905 2,65886 2,91273
62 1,29536 1,45759 1,66980 1,84375 1,99897 2,09786 2,22118 2,38801 2,65748 2,91097
63 1,29513 1,45730 1,66940 1,84323 1,99834 2,09715 2,22035 2,38701 2,65615 2,90926
64 1,29492 1,45702 1,66901 1,84274 1,99773 2,09645 2,21955 2,38604 2,65485 2,90761
65 1,29471 1,45675 1,66864 1,84225 1,99714 2,09578 2,21877 2,38510 2,65360 2,90602
66 1,29451 1,45648 1,66827 1,84179 1,99656 2,09514 2,21802 2,38419 2,65239 2,90447
67 1,29432 1,45623 1,66792 1,84133 1,99601 2,09451 2,21729 2,38330 2,65122 2,90297
68 1,29413 1,45598 1,66757 1,84089 1,99547 2,09390 2,21658 2,38245 2,65008 2,90151
69 1,29394 1,45574 1,66724 1,84047 1,99495 2,09330 2,21589 2,38161 2,64898 2,90010
70 1,29376 1,45550 1,66691 1,84005 1,99444 2,09273 2,21523 2,38081 2,64790 2,89873
71 1,29359 1,45528 1,66660 1,83965 1,99394 2,09217 2,21458 2,38002 2,64686 2,89740
© Práticas Corporais Alternativas96
GL 20% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 0,5%
72 1,29342 1,45506 1,66629 1,83926 1,99346 2,09162 2,21395 2,37926 2,64585 2,89611
73 1,29326 1,45484 1,66600 1,83888 1,99300 2,09110 2,21334 2,37852 2,64487 2,89486
74 1,29310 1,45463 1,66571 1,83851 1,99254 2,09058 2,21274 2,37780 2,64391 2,89364
75 1,29294 1,45443 1,66543 1,83815 1,99210 2,09008 2,21216 2,37710 2,64298 2,89245
76 1,29279 1,45423 1,66515 1,83780 1,99167 2,08960 2,21160 2,37642 2,64208 2,89130
77 1,29264 1,45404 1,66488 1,83746 1,99125 2,08912 2,21105 2,37576 2,64120 2,89017
78 1,29250 1,45385 1,66462 1,83713 1,99085 2,08866 2,21051 2,37511 2,64034 2,88908
79 1,29236 1,45367 1,66437 1,83680 1,99045 2,08821 2,20999 2,37448 2,63950 2,88801
80 1,29222 1,45349 1,66412 1,83649 1,99006 2,08778 2,20949 2,37387 2,63869 2,88697
Quadro 5	Valores	da	Distribuição	t-Student	–	de	81	a	120	graus	de	liberdade.
GL 20% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 0,5%
81 1,29209 1,45331 1,66388 1,83618 1,98969 2,08735 2,20899 2,37327 2,63790 2,88596
82 1,29196 1,45314 1,66365 1,83588 1,98932 2,08693 2,20851 2,37269 2,63712 2,88497
83 1,29183 1,45298 1,66342 1,83559 1,98896 2,08653 2,20804 2,37212 2,63637 2,88401
84 1,29171 1,45282 1,66320 1,83530 1,98861 2,08613 2,20758 2,37156 2,63563 2,88307
85 1,29159 1,45266 1,66298 1,83502 1,98827 2,08574 2,20713 2,37102 2,63491 2,88215
86 1,29147 1,45251 1,66277 1,83475 1,98793 2,08537 2,20669 2,37049 2,63421 2,88126
87 1,29136 1,45235 1,66256 1,83449 1,98761 2,08500 2,20626 2,36998 2,63353 2,88039
88 1,29125 1,45221 1,66235 1,83423 1,98729 2,08464 2,20585 2,36947 2,63286 2,87953
89 1,29114 1,45206 1,66216 1,83397 1,98698 2,08429 2,20544 2,36898 2,63220 2,87870
90 1,29103 1,45192 1,66196 1,83372 1,98667 2,08394 2,20504 2,36850 2,63157 2,87788
91 1,29092 1,45179 1,66177 1,83348 1,98638 2,08361 2,20465 2,36803 2,63094 2,87709
92 1,29082 1,45165 1,66159 1,83324 1,98609 2,08328 2,20427 2,36757 2,63033 2,87631
93 1,29072 1,45152 1,66140 1,83301 1,98580 2,08295 2,20390 2,36712 2,62973 2,87555
94 1,29062 1,45139 1,66123 1,83279 1,98552 2,08264 2,20353 2,36667 2,62915 2,87480
95 1,29053 1,45127 1,66105 1,83256 1,98525 2,08233 2,20317 2,36624 2,62858 2,87407
96 1,29043 1,45114 1,66088 1,83235 1,98498 2,08203 2,20282 2,36582 2,62802 2,87336
97 1,29034 1,45102 1,66071 1,83213 1,98472 2,08173 2,20248 2,36541 2,62747 2,87266
98 1,29025 1,45090 1,66055 1,83192 1,98447 2,08144 2,20215 2,36500 2,62693 2,87198
99 1,29016 1,45079 1,66039 1,83172 1,98422 2,08116 2,20182 2,36461 2,62641 2,87131
100 1,29007 1,45067 1,66023 1,83152 1,98397 2,08088 2,20150 2,36422 2,62589 2,87065
101 1,28999 1,45056 1,66008 1,83132 1,98373 2,08061 2,20118 2,36384 2,62539 2,87001
102 1,28991 1,45045 1,65993 1,83113 1,98350 2,08035 2,20087 2,36346 2,62489 2,86938
103 1,28982 1,45035 1,65978 1,83094 1,98326 2,08008 2,20057 2,36310 2,62441 2,86876
104 1,28974 1,45024 1,65964 1,83076 1,98304 2,07983 2,20027 2,36274 2,62393 2,86816
105 1,28967 1,45014 1,65950 1,83058 1,98282 2,07958 2,19998 2,36239 2,62347 2,86756
106 1,28959 1,45004 1,65936 1,83040 1,98260 2,07933 2,19970 2,36204 2,62301 2,86698
107 1,28951 1,44994 1,65922 1,83022 1,98238 2,07909 2,19942 2,36170 2,62256 2,86641
108 1,28944 1,44984 1,65909 1,83005 1,98217 2,07885 2,19914 2,36137 2,62212 2,86585
109 1,28937 1,44975 1,65895 1,82988 1,98197 2,07862 2,19887 2,36105 2,62169 2,86530
110 1,28930 1,44965 1,65882 1,82972 1,98177 2,07839 2,19861 2,36073 2,62126 2,86476
111 1,28922 1,44956 1,65870 1,82956 1,98157 2,07816 2,19835 2,36041 2,62085 2,86423
112 1,28916 1,44947 1,65857 1,82940 1,98137 2,07794 2,19809 2,36010 2,62044 2,86371
113 1,28909 1,44938 1,65845 1,82924 1,98118 2,07773 2,19784 2,35980 2,62004 2,86320
Claretiano - Centro Universitário
97© U4 - Estimação Estatística
GL 20% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 0,5%
114 1,28902 1,44930 1,65833 1,82909 1,98099 2,07751 2,19759 2,35950 2,61964 2,86270
115 1,28896 1,44921 1,65821 1,82894 1,98081 2,07731 2,19735 2,35921 2,61926 2,86220
116 1,28889 1,44913 1,65810 1,82879 1,98063 2,07710 2,19711 2,35892 2,61888 2,86172
117 1,28883 1,44904 1,65798 1,82864 1,98045 2,07690 2,19688 2,35864 2,61850 2,86124
1181,28877 1,44896 1,65787 1,82850 1,98027 2,07670 2,19665 2,35837 2,61814 2,86078
119 1,28871 1,44888 1,65776 1,82836 1,98010 2,07650 2,19642 2,35809 2,61778 2,86032
120 1,28865 1,44881 1,65765 1,82822 1,97993 2,07631 2,19620 2,35782 2,61742 2,85986
Quadro 6	Valores	da	Distribuição	t-Student	–	acima	de	120	graus	de	liberdade.
GL 20% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 0,5%
121 1,28859 1,44873 1,65754 1,82809 1,97976 2,07612 2,19598 2,35756 2,61707 2,85942
122 1,28853 1,44865 1,65744 1,82795 1,97960 2,07594 2,19577 2,35730 2,61673 2,85898
123 1,28847 1,44858 1,65734 1,82782 1,97944 2,07576 2,19556 2,35705 2,61639 2,85855
124 1,28842 1,44850 1,65723 1,82769 1,97928 2,07558 2,19535 2,35680 2,61606 2,85813
125 1,28836 1,44843 1,65714 1,82756 1,97912 2,07540 2,19515 2,35655 2,61573 2,85772
126 1,28831 1,44836 1,65704 1,82744 1,97897 2,07523 2,19494 2,35631 2,61541 2,85731
127 1,28825 1,44829 1,65694 1,82732 1,97882 2,07506 2,19475 2,35607 2,61510 2,85691
128 1,28820 1,44822 1,65685 1,82719 1,97867 2,07489 2,19455 2,35583 2,61478 2,85651
129 1,28815 1,44815 1,65675 1,82708 1,97852 2,07472 2,19436 2,35560 2,61448 2,85612
130 1,28810 1,44809 1,65666 1,82696 1,97838 2,07456 2,19417 2,35537 2,61418 2,85574
131 1,28805 1,44802 1,65657 1,82684 1,97824 2,07440 2,19399 2,35515 2,61388 2,85536
132 1,28800 1,44796 1,65648 1,82673 1,97810 2,07424 2,19380 2,35493 2,61359 2,85499
133 1,28795 1,44789 1,65639 1,82662 1,97796 2,07409 2,19362 2,35471 2,61330 2,85462
134 1,28790 1,44783 1,65630 1,82650 1,97783 2,07393 2,19345 2,35450 2,61302 2,85426
135 1,28785 1,44777 1,65622 1,82640 1,97769 2,07378 2,19327 2,35429 2,61274 2,85390
136 1,28781 1,44771 1,65613 1,82629 1,97756 2,07363 2,19310 2,35408 2,61246 2,85355
137 1,28776 1,44765 1,65605 1,82618 1,97743 2,07349 2,19293 2,35387 2,61219 2,85321
138 1,28772 1,44759 1,65597 1,82608 1,97730 2,07334 2,19276 2,35367 2,61193 2,85287
139 1,28767 1,44753 1,65589 1,82598 1,97718 2,07320 2,19260 2,35347 2,61166 2,85254
140 1,28763 1,44747 1,65581 1,82587 1,97705 2,07306 2,19243 2,35328 2,61140 2,85221
141 1,28758 1,44742 1,65573 1,82577 1,97693 2,07292 2,19227 2,35309 2,61115 2,85188
142 1,28754 1,44736 1,65566 1,82568 1,97681 2,07279 2,19212 2,35289 2,61090 2,85156
143 1,28750 1,44731 1,65558 1,82558 1,97669 2,07265 2,19196 2,35271 2,61065 2,85124
144 1,28746 1,44725 1,65550 1,82548 1,97658 2,07252 2,19181 2,35252 2,61040 2,85093
145 1,28742 1,44720 1,65543 1,82539 1,97646 2,07239 2,19166 2,35234 2,61016 2,85063
146 1,28738 1,44715 1,65536 1,82530 1,97635 2,07226 2,19151 2,35216 2,60992 2,85032
147 1,28734 1,44709 1,65529 1,82520 1,97623 2,07213 2,19136 2,35198 2,60969 2,85002
148 1,28730 1,44704 1,65521 1,82511 1,97612 2,07201 2,19122 2,35181 2,60946 2,84973
149 1,28726 1,44699 1,65514 1,82503 1,97601 2,07188 2,19107 2,35163 2,60923 2,84944
150 1,28722 1,44694 1,65508 1,82494 1,97591 2,07176 2,19093 2,35146 2,60900 2,84915
175 1,28641 1,44588 1,65361 1,82306 1,97361 2,06917 2,18793 2,34784 2,60421 2,84306
200 1,28580 1,44508 1,65251 1,82166 1,97190 2,06723 2,18568 2,34514 2,60063 2,83851
225 1,28533 1,44446 1,65165 1,82057 1,97056 2,06572 2,18394 2,34304 2,59786 2,83498
250 1,28495 1,44397 1,65097 1,81970 1,96950 2,06452 2,18255 2,34136 2,59564 2,83217
275 1,28464 1,44356 1,65041 1,81899 1,96863 2,06354 2,18141 2,33998 2,59383 2,82986
© Práticas Corporais Alternativas98
GL 20% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 0,5%
300 1,28438 1,44323 1,64995 1,81840 1,96790 2,06272 2,18046 2,33884 2,59232 2,82795
350 1,28398 1,44270 1,64922 1,81747 1,96676 2,06143 2,17898 2,33705 2,58995 2,82494
400 1,28367 1,44230 1,64867 1,81677 1,96591 2,06047 2,17786 2,33571 2,58818 2,82269
450 1,28344 1,44199 1,64825 1,81623 1,96525 2,05972 2,17699 2,33466 2,58680 2,82094
500 1,28325 1,44175 1,64791 1,81580 1,96472 2,05912 2,17630 2,33383 2,58570 2,81955
¥ 1,28156 1,43954 1,64487 1,81191 1,95996 2,05375 2,17009 2,32635 2,57583 2,80703
Vamos	resolver	alguns	exemplos	para	aprender	a	utilizar	a	tabela	t.
Exemplo 9
Suponhamos	que	em	uma	pesquisa	com	 25n = 	chefes	de	famílias	foi	determinada	uma	
renda	média	R$	1850,23	mensais,	 com	um	desvio	padrão	amostral	de	R$	357,36.	Com	base	
nos	dados,	determine	uma	estimativa	para	a	renda	média	populacional	com	nível	de	confiança	
( )1 90%α− = .
Resolução
Dados:
•	 25n = .
•	 357,36S = .
•	 X 1850,23= .
•	 (1 ) 0,90α− = .
Note	que	há	dois	problemas	nos	dados:
•	 30n < .	
•	 Desconhecemos	o	desvio	padrão	populacional,	conhecemos	apenas	o	da	amostra.
Assim,	não	podemos	usar	a	normal	e	devemos	utilizar	a	tabela	t.
Inicialmente,	 temos	 que	 determinar	 o	 valor	 de	 t.	 Calculamos	 o	 número	 de	 graus	 de	
liberdade	(GL),	definido	por	 1 25 1 24GL n= − = − = .
A	seguir,	determinamos	o	nível	de	significância	 1 0,90 0,10 10%α = − = = .	Assim,	buscamos	
nos	Quadros	de	3	a	6	a	coluna	de	10%	e	a	linha	onde	GL 24= ,	encontrando	o	valor	1,71088,	
que	será	o	valor	de	t:
Quadro 7	Trecho	da	Tabela	com	valores	da	Distribuição	t-Student
GL 20% 15% 10%
1 3,07768 4,16530 6,31375
2 1,88562 2,28193 2,91999
... ... ... ...
23 1,31946 1,48928 1,71387
24 1,31784 1,48714 1,71088
25 1,31635 1,48517 1,70814
... ... ... ...
30 1,31042 1,47736 1,69726
Claretiano - Centro Universitário
99© U4 - Estimação Estatística
Então,	 1,71088t = .	Com	os	valores,	podemos	determinar	a	margem	de	erro	E:
357,361,71088 1,71088 71,472 122, 28
25
SE t
n
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Então	a	estimativa	é:
[ ] [ ]IC 1850,23 122,28;1850,23 122,28 1727,95;1972,51= − + =
Com	90%	de	probabilidade	o	intervalo	I	deve	estimar	corretamente	a	renda	média	popu-
lacional.
Exemplo 10
Em	uma	indústria	de	cerveja,	a	quantidade	inserida	em	latas	tem-se	comportado	como	
uma	variável	aleatória.	Para	avaliar	a	adequação	do	produto	às	exigências	de	mercado,	foram	
separadas	 100n = 	latas	para	análise,	fornecendo	um	conteúdo	médio	amostral	de	337	ml	com	
um	desvio	padrão	amostral	de	9	ml.	Com	base	nos	dados,	estime	com	95%	de	nível	de	confiança	
o	volume	médio	real	de	cerveja	nas	latas.	Com	base	na	estimativa,	podemos	admitir	que	as	latas	
de	cerveja	possuem	um	volume	médio	igual	a	350	ml?	Justifique.
Resolução
Dados:
•	 100n = .
•	 9S = .
•	 X 337= .
•	 (1 ) 95%α− = .
Note	que	temos	um	problema	nos	dados:	não	conhecemos	o	desvio	padrão	populacional,	
apenas	o	da	amostra.	Assim,	não	podemos	usar	a	normal	e	devemos	utilizar	a	tabela	t.
Inicialmente,	temos	que	determinar	o	valor	de	t.	Calculamos	o	número	de	graus	de	liber-
dade	(GL),	definido	por	GL 1 100 1 99n= − = − = .
A	seguir,	determinamos	o	nível	de	significância	 1 0,95 0,05 5%α = − = = .	Assim,	busca-
mos	na	tabela	a	coluna	de	5%	e	a	linha	onde	GL 99= ,	encontrando	o	valor	1,98422,	que	será	
o	valor	de	t.
Com	os	valores,	podemos	determinar	a	margem	de	erro	E:
9 9E 1,98422 1,98422 1,98422 0,9 1,786
10100
St
n
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Então	a	estimativa	é:
[ ] [ ]IC 337 1,786;337 1,786 335,214;338,786= − + =
Assim,	temos	95%	de	confiança	ou	de	probabilidade	de	que	o	intervalo	[335,214;	338,786]	
estime	corretamente	o	verdadeiro	volume	médio	de	cerveja	nas	latas	produzidas.
O	exemplo	ainda	pede	para	averiguar	se	o	volume	médio	das	latas	pode	ser	admitido	igual	
a	350	ml.	Pelo	intervalo	construído	não,	pois	esse	valor	hipotético	está	fora	do	intervalo,	não	
sendo	uma	estimativa	razoável	para	m .
© Práticas Corporais Alternativas100
9. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	desempenho	no	estudo	desta	
unidade:
1)	 O	valor	de	títulos	depositados	em	um	banco	para	a	cobrança	simples	tem	uma	distribuição	normal	com	média	
m 	e	um	desvio	padrão	 20σ = 	unidades	monetárias.	Uma	amostra	de	 40n = 	títulos	escolhidos	aleatoriamen-
te	forneceu	uma	média	amostral	igual	a	110	unidades	monetárias.	Assim:
a)	 Determine	uma	estimativa	pontual	para	o	valor	médio	real	dos	títulos	depositados.
b)	 Determine	uma	estimativa	por	intervalo	para	o	valor	médio	real	dos	títulos	depositados,	com	um	nível	de	
confiança	de	85%.
c)	 O	responsável	pelo	setor	afirma,	com	um	nível	de	confiança	de	80%,	queo	valor	médio	real	 m 	dos	títulos	
depositados	é	125	unidades	monetárias.	Ele	pode	estar	certo?	Justifique.
2)	 Um	pequeno	empresário	está	estudando	a	possibilidade	de	fazer	cobrança	bancária	para	os	pedidos	já	recebi-
dos	e	que	deverá	atender	no	próximo	mês.	Sua	experiência	indica	que	o	valor	dos	pedidos	tem	uma	distribuição	
normal	com	um	desvio	padrão	 20σ = 	 reais.	Esse	empresário,	a	fim	de	estimar	o	valor	médio	dos	pedidos,	
considerou	uma	amostra	de	 60n = 	pedidos,	obtendo	um	valor	médio	amostral	 igual	a	120	reais.	Com	base	
nestes	dados:
a)	 Construa	uma	estimativa	por	intervalo	para	o	valor	médio	real	dos	pedidos,	com	um	nível	de	confiança	de	
95%.	Interprete	o	resultado.
b)	 Se	o	empresário	acredita	que	o	processo	de	cobrança	bancária	é	mais	indicado	apenas	se	o	custo	dessa	co-
brança	for	no	máximo	3%	do	valor	médio	dos	pedidos,	então,	com	base	na	estimativa	do	item	(a),	qual	deve	
ser	o	custo	da	cobrança	para	que	o	empresário	adote	esse	processo?
3)	 Um	projeto	de	investimento	está	sendo	avaliado	pelo	método	do	Payback.	Uma	simulação	envolvendo	vários	
cenários	futuros	forneceu	os	seguintes	tempos	de	retorno	(em	anos)	do	investimento:	{2,8;	4,3;	3,7;	6,4;	3,2;	
4,1;	4,4;	4,6;	5,2;	3,9}.	Com	base	na	amostra	estudada,	encontre	uma	estimativa	para	o	tempo	médio	de	retorno	
com	nível	de	confiança	de	90%.
4)	 Procurando	dimensionar	a	ajuda	de	custo	para	seus	vendedores,	uma	empresa	acompanhou	uma	amostra	de	
17	deles	e	verificou	que	a	despesa	média	diária	era	igual	a	R$	200,00,	com	um	desvio	padrão	amostral	igual	a	
R$	20,00.	Determine	uma	estimativa	por	intervalo	para	a	despesa	média	da	empresa	com	os	seus	vendedores,	
com	um	nível	de	confiança	de	99%.
Gabarito
1)	
a)	 110, 00m = .
b)	 IC [105, 45; 114, 55]= .
c)	 IC [105, 95; 114, 05]= ,	então	ele	não	está	certo,	pois	o	valor	hipotético	está	fora	do	intervalo.
2)	
a)	 IC [114, 94; 125, 06]= .
b)	 O	custo	da	cobrança	deve	ser	3%	de	125,06,	ou	seja,	R$3,75	por	título.
3)	 IC [3, 67; 4,85]= .
4)	 IC [185,83; 214,17]= .
10. CONSIDERAÇÕES
Nesta	unidade,	conhecemos	a	teoria	de	estimação	e	os	intervalos	de	confiança	que	viabi-
lizam	a	análise	de	determinadas	situações.	Na	unidade	seguinte,	com	base	nos	estudos	dessas	
teorias,	compreenderemos	os	testes	de	hipóteses	que	determinam	a	probabilidade	de	acerto	
nas	tomadas	de	decisão	em	situações	financeiras	ou	operacionais.
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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101© U4 - Estimação Estatística
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