Exercícios de Probabilidade e Estatística II

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Probabilidade e Estat´ıstica II
Primeira Lista de Exerc´ıcios
1. Mostre que a seguinte func¸a˜o satisfaz as propriedades de uma func¸a˜o de probabilidade conjunta.
x y pX,Y (x, y)
1 1 1/4
1,5 2 1/8
1,5 3 1/4
2,5 4 1/4
3 5 1/8
Determine o seguinte:
a) P (X < 2, 5;Y < 3)
b) P (X < 2, 5)
c) E(X), E(Y ), V (X), V (Y )
d) A distribuic¸a˜o de probabilidades marginais da v.a X
e) A distribuic¸a˜o de probabilidades condicionais de Y , dado que X = 1, 5.
f) E(Y |X = 1, 5)
g) X e Y sa˜o independentes?
2. Lanc¸am-se dois dados perfeitos. X indica o nu´mero obtido no primeiro dado e Y o maior, ou o nu´mero
comum nos dois dados.
a) Escreva a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y ;
b) As duas varia´veis sa˜o independentes? Por queˆ?
b) Calcule as esperanc¸as e variaˆncias de X e Y ;
d) Calcule a covariaˆncia entre X e Y .
e) Calcule E(X + Y );
f) Calcule V (X + Y ).
3. A func¸a˜o de probabilidade conjunta de (X,Y ) e´ dada por:
pX,Y (xi, yj) =
{
k(2xi + yj) se xi = 1, 2; yj = 1, 2
0 caso contra´rio
(1)
onde k e´ uma constante.
a) Encontre o valor de k.
b) Encontre a func¸a˜o probabilidade marginal de X e Y ;
c) X e Y sa˜o independentes?
d) Determine Cov(X,Y );
e) Determine ρ(X,Y );
c) Encontre a func¸a˜o de probabilidade condicional: pY |X(yj |xi) e pX|Y (xi|yj);
d) Encontre P (Y = 2|X = 2) e P (X = 2|Y = 2);
h) Determine a me´dia e variaˆncia condicional de Y dado xi = 2.
4. Suponha que a f.d.p conjunta de X e Y seja especificado da seguinte forma:
fX,Y (x, y) =
{
cx2y se x2 ≤ y ≤ 1
0 caso contra´rio
(2)
a) Determinar o valor da constante c.
1
b) Calcular P (X ≥ Y )
c) X e Y sa˜o independentes?
d) Determine fY |X(y|x) e fX|Y (x|y);
e) Calcule E(X|Y = y) e E(Y |X = x).
f) Determine Cov(X,Y )
g) Determine ρ(X,Y ).
2