SEGUNDA-LISTA-DE-EXERCICIOS-DE-MAT001-CCO-SEG.-SEMESTRE-DE-2014

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MAT001 - CA´LCULO 1 - CCO
SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
CAPI´TULO 2: DERIVADAS
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014
PROF. JAIR
1. Obter y
′
, sendo
(a) y = 2sen(x+ a)cos(x− a)− sen2x. Resp.: y′ = 0
(b) y = tgx−1
secx
· Resp.: y′ = cosx+ senx
(c) y = ln
(
x+
√
x2 − 1) . Resp.: 1√
x2−1
(d) y = ln
√
1+senx
1−senx . Resp.: y
′
= secx
(e) y = ln
√
1−cosx
1+cosx
. Resp.: y
′
= cossecx
2. Obter y
′
(3), se y =
√
x2−5
10−x2 . Resp.:
15
2
3. Sendo y = arcsenx
arccosx
, obter dy
dx
para x = 1
2
· Resp.: 3
√
3
pi
4. Obter y
′ (pi
6
)
, sendo y = 1+senx
cosx
·. Resp.: 2
5. Verifique que f
′
(x)g(x)− 1 = x, sabendo que
f(x) =
1
2
ln (g(x)) +
3
2
arctg
(
x− 2
2
)
+ 37 e g(x) = x2 − 4x+ 8.
6. Sendo f(x) = cos(arcsenx), obter f
′
(√
3
2
)
Resp.: −√3
7. Sabe-se que a reta r e´ tangente a` curva y = arctg
(
1
x
)
no ponto x =
√
3
3
e e´ perpendicular a` reta s que passa pelo ponto P = (−2, 5). Obter a
equac¸a˜o da reta s. Resp.: s : y = 4
3
x+ 23
3
8. Obter as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico de f nos pontos de
sua intersec¸a˜o com o eixo x, sendo
f(x) = ln(x2 − 5x+ 7).
Resp.: y = −x+ 2 e y = x− 3
1
9. As retas tangentes ao gra´fico de f(x) = x3 − 4x2 + 5x − 7 nos pontos
x = 1 e x = 3 sa˜o concorrentes num ponto P . Obter as coordenadas
deste ponto. Resp.: P =
(
5
2
,−5)
10. Seja y = t
x+t
, onde t = t(x). Obter dy
dx
para x = 1 e t = 2, sabendo que
dt
dx
= 4 para estes valores de x e t. Resp.: 2
9
11. Seja f : R → R deriva´vel e seja g(t) = f (t2 + 1
t
)
. Sabendo que
f
′ (9
2
)
= 40, obter g
′
(2). Resp.: 150
12. Obter os pontos da curva y =
√
x2 + 16 onde as retas tangentes sa˜o
paralelas a` reta r : 3y + 5x = 2. Resp.: (−5, 3) e (5, 3)
13. Seja g uma func¸a˜o deriva´vel tal que
g(1) = 2, g
′
(1) = 3 e g
′′
(1) = 8.
Se f e´ uma func¸a˜o tal que f(x) = x4g(x), obter f
′′
(1). Resp.: 56
Nas questo˜es 14 a 19, suponha que a equac¸a˜o dada define implicita-
mente uma func¸a˜o diferencia´vel y = f(x).
14. Obter a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto
P = (2, 3), sabendo que x2 + xy + 2y2 = 28. Resp.: x+ 2y − 8 = 0
15. Se 3 (x2 + y2)
2
= 100xy, obter y
′
no ponto P = (3, 1). Resp.: 13
9
16. Se (4− x)y2 = x3, obter y′ no ponto P = (2, 2). Resp.: 2
17. Se (x2 + y2)2 = 4x2y, obter y
′
no ponto P = (1, 1). Resp.: 0
18. Sendo y2 − arctgy + 2x2 = 2, obter y′′ no ponto P = (1, 0).Resp.: 36
19. Sendo x2 − 6x+ 4y2 − 8y + 9 = 0, obter y′ no ponto
P = (2 +
√
2, 2−
√
2).
Resp.: 1
4
20. Sendo n inteiro e positivo, obter no ponto (a, b) a reta tangente a` curva(x
a
)n
+
(y
b
)n
= 2.
Resp.: x
a
+ y
b
= 2
2
21. Um ponto P move-se sobre a para´bola y = 3x2−2x, de modo que suas
coordenadas x(t) e y(t) sa˜o deriva´veis, com dx
dt
6= 0. Obter o ponto
da para´bola em que a velocidade da ordenada y de P e´ o triplo da
velocidade da abscissa x de P . Resp.:
(
5
6
, 5
12
)
22. Um ponto P move-se sobre o gra´fico de y = 1
x2+1
, com a sua abscissa
variando com uma velocidade de 5 m/s. Obter a velocidade com que
a ordenada esta´ variando no instante em que x = 10 m. Resp.: − 100
1012
23. Um ponto move-se sobre a circunfereˆncia x2 + y2 = 5, y ≥ 0, com
dx
dt
> 0. Obter o ponto da curva em que a velocidade de y e´ o dobro da
de x. Resp.: (−2, 1)
24. Uma escada de 8 m esta´ enconstada numa parede. Se a extremidade
inferior da escada for afastada do pe´ da parede a uma velocidade cons-
tante de 2 m/s, obter a velocidade com que a extremidade superior
estara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede.
Resp.: − 6√
55
25. Seja um triaˆngulo AOB, onde O e´ a origem do plano cartesiano, A
esta´ no semi eixo positivo Ox e B esta´ no primeiro quadrante. Sabe-se
que OB = 3 cm e AB = 5 cm. Seja θ o aˆngulo medido no sentido
anti-hora´rio de OA para OB. Se θ esta´ variando a uma taxa constante
de 1
2
rad/s, obter a velocidade de A, quando θ = pi
2
. Resp.: −3
2
cm/s
26. Obter os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de
ma´ximo relativo, mı´nimo relativo e de inflexa˜o horizontal (caso exis-
tam) para a func¸a˜o dada por
f(x) = (x+ 2)2(x− 3)3.
Resp.: x = −2(ma´x), x = 0(mı´n) e x = 3(inf)
27. A teoria da probabilidade afirma que a func¸a˜o f definida por
f(p) =
n!
k!(n− k)! · p
k(1− p)n−k
e´ a probabilidade de exatamente k acertos em n tentativas, sendo n e
k inteiros, n > 0, 0 ≤ k ≤ n e 0 < p < 1. Obter o nu´mero p que
maximiza f . Resp.: p = k
n
28. Obter a raza˜o entre a altura h e o raio r de um cilindro circular reto
de volume V se a sua a´rea total e´ mı´nima. Resp.: 2
3
29. A soma das medidas das bases e da altura de um trape´zio e´ igual a 40
cm e uma das bases excede a outra em 8 cm. Obter a a´rea ma´xima A
deste trape´zio. Resp.: 200 cm2
30. A concentrac¸a˜o C de uma certa substaˆncia qu´ımica no fluxo sangu´ıneo
em t horas apo´s ser injetada no mu´sculo e´ dada por
C =
3t
54 + t3
.
Obter o instante em que a concentrac¸a˜o e´ ma´xima. Resp.: 3 horas
31. Usando derivada, mostre que o ve´rtice da para´bola y = ax2 + bx+ c e´
o ponto P =
(−b
2a
,−∆
4a
)
.
32. Obter a, b e c de modo que f(x) = ax2 + bx + c tenha um ma´ximo
relativo no ponto P = (5, 20) e que passe pelo ponto Q = (2, 10).
Resp.: a = −10
9
, b = 100
9
e c = −70
9
33. Obter os extremos relativos da func¸a˜o f(x) = (x2− 9)2 e esboc¸ar o seu
gra´fico. Resp.: f(−3) = f(3) = 0(min) e f(0) = 81(max)
34. Sabendo que a func¸a˜o f(x) = x3 + 2x2 + ax+ b apresenta um ma´ximo
relativo no ponto P = (−1, 6), obter o valor de 3b− 2a. Resp.: 16
35. Obter dois nu´meros tais que o produto deles e´ 192 e a soma do primeiro
com o triplo do segundo e´ mı´nima. Resp.: 24 e 8
36. Considere um triaˆngulo retaˆngulo no primeiro quadrante limitado pelos
eixos coordenados e pela reta que passa pelo ponto P = (2, 3). Obter
os ve´rtices do triaˆngulo de a´rea mı´nima. Resp.: (0, 0), (4, 0) e (0, 6)
37. Deˆ as dimenso˜es do cone circular reto de volume ma´ximo cuja geratriz
mede 3 m. Resp.: h =
√
3m e r =
√
6m
38. Obter as dimenso˜es do cilindro circular reto de a´rea lateral ma´xima que
pode ser inscrito numa esfera de raio R. Resp.: h = R
√
2 e r = R
√
2
2
39. Obter as dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea ma´xima, cujo per´ımeto e´ 2p.
Resp.: quadrado de lado p
2
40. Obter o nu´mero real positivo cuja diferenc¸a entre ele e seu quadrado
seja ma´xima. Resp.: 1
2
4
41. Seja a curva y = 1 − x2, 0 ≤ x ≤ 1. Trac¸ar uma tangente a ela, de
modo que a a´rea do triaˆngulo que ela forma com eixos coordenados seja
mı´nima. Resp.: tangente no ponto de abscissa x =
√
3
3
42. Obter o retaˆngulo de a´rea ma´xima e lados paralelos aos eixos coorde-
nados, inscrito na elipse 4x2 + y2 = 1. Resp.: base 1√
2
e altura√
2
43. Deseja-se construir uma caixa de forma cil´ındrica de volume 1 m3. Nas
laterais e no fundo sera´ utilizado um material que custa R 10 o metro
quadrado e na tampa um material que custa R 20 o metro quadrado.
Obter as dimenso˜es que minizam o custo do material utilizado.Resp.:
r = 3
√
1
3pi
e h = 3
√
9
pi
44. Obter o ponto (a, b) da curva y = x2 que se encontra mais pro´ximo do
ponto (3, 0). Mostre que a reta que passa por (a, b) e (3, 0) e´ normal a`
curva em (a, b). Resp.: (1, 1)
45. Obter o ponto da curva y = 2
x
mais pro´ximo da origem. Resp.:
(
√
2,
√
2)
46. Certa pessoa, que se encontra em A, para atingir C, utilizara´ na tra-
vessia do rio de 100 m de largura um barco com velocidade ma´xima de
10 km/h. De B a C utilizara´ uma bicicleta com velocidade ma´xima de
15 km/h. Obter B para que o tempo gasto no percurso seja o menor
poss´ıvel.Resp.: a 40
√
5 m da perpendicular que passa por A
47. Duas part´ıculas P e Q movem-se sobre os eixos Ox e Oy, respectiva-
mente. A func¸a˜o de posic¸a˜o de P e´ x =
√
t e a de Q e´ y = t2− 3
4
, t ≥ 0.
Obter o instante em que a distaˆncia entre P e Q e´ a menor poss´ıvel.
Resp.: t = 0
48. Um determinado produto e´ produzido e vendido a um prec¸o unita´rio
p. O prec¸o de venda varia em func¸a˜o da quantidade q demandada pelo
mercado, com p =
√
20− q, 0 ≤ q ≤ 20. Sabe-se que para produzir
5
e vender uma unidade do produto gasta-se em me´dia R 3, 50. Obter
a quantidade que deve ser produzida para que o lucro seja ma´ximo.
Resp.: q = 4
49. Um so´lido sera´ constru´ıdo acoplando-se a um cilindro circular reto de
altura h e raio r, uma semi-esfera de raio r. Sabendo que a a´rea da
superf´ıcie do so´lido deve ser 5pi, obter r e h para que o volume seja
ma´ximo. Resp.: r = 1 e h = 1
50. Dois ve´rtices de um retaˆngulo R esta˜o sobre o eixo x e os outros dois
esta˜o sobre o gra´fico de y = x
1+x2
, x > 0. Obter as dimenso˜es do
retaˆngulo para que o volume do cilindro obtido pela rotac¸a˜o de R em
torno do eixo x seja ma´ximo. Resp.: e´ o retaˆngulo de ve´rtices (a, 0),
( 1
a
, 0), (a, a
1+a2
) e ( 1
a
, a
1+a2
), onde a =
√
3− 2√2
6