Revisão matemática

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MECÂNICA NEWTONIANA - REVISÃO MATEMÁTICA 
Profa. Andrea R. Zeni 
 
Na disciplina de Mecânica Newtoniana os estudantes devem estar familiarizados com as técnicas algébricas básicas, 
estudadas no ensino fundamental e médio. As atividades a seguir são exemplos que exploram estas técnicas. Procure resolvê-las 
antes do início das aulas. Se tiver dificuldade revise os conteúdos. 
 
1. Obtenha o valor de x nos exercícios seguintes: 
 
 
(a) 1353 =−x 
 
 
(b) 25 +=− bxax 
 
(c) 
x
a
+
=
1
1
 
 
(d) 
84
3
62
5
+
=
+ xx
 
 
R. (a) x = 6; (b) x = 7/(a - b); (c) x = (1- a)/a; (d) x = -11/7. 
 
Equações lineares simultâneas 
Para resolver duas equações simultâneas envolvendo duas incógnitas, x e y, achamos x em termos de y em uma das 
equações e substituímos esta expressão na outra equação. 
 
2. Resolva os seguintes pares de equações simultâneas envolvendo duas incógnitas: 
 
a) 
2
8
=−
=+
yx
yx
 
b) 
aT
aT
549
1098
=−
=−
 c) 
2848
626
=−
=+
yx
yx
 
 
R. (a) x = 5, y = 3; (b) T = 65, a = 3,27; (c) x = 2, y = -3. 
 
Potências 
mnmn xxx
xx
x
+
=
=
=
1
0 1
 
nmmn
nn
mnmn
xx
xx
xxx
=
=
=
−
)(
/
/1
 
3. Verifique o seguinte: 
 
(a) 24333 32 =× 
 (b) 385 −− =× xxx 
(c) 15510 / xxx =− 
(d) 709975,15 3/1 = (use a calculadora) 
(e) 1234 )( xx = 
 
Função linear 
Uma função linear tem a forma geral dada por: 
bmxy += 
 
onde m e b são constantes. Essa função é chamada linear 
porque o gráfico de y contra x é uma linha reta. m representa 
a inclinação da reta e b o valor de y para o qual x é nulo. Se 
dois pontos quaisquer sobre a reta são especificados pelas 
coordenadas (x1,y1) e (x2,y2), como na figura 1, então a 
inclinação da reta é dada por: 
 
x
y
xx
yy
minclinação
∆
∆
=
−
−
==
12
12
 
y1
y2
xx2 
y
0 x1
b
∆y
∆x
 
Figura 1 
 
2 
 
Se m > 0, a linha reta tem uma inclinação positiva, como na figura 1. Se m < 0, a linha reta tem 
uma inclinação negativa e se m = 0 a inclinação é nula. Os dois últimos casos são mostrados na 
figura 2. 
 
m = 0
x 
y
m < 0
 
4. Considere o gráfico Y x X mostrado na figura abaixo. 
 
(a) Usando os pontos B e C, calcule a inclinação deste gráfico. 
(b) Repita o cálculo da inclinação usando, agora, outros pontos (A e D, por exemplo). 
(c) Compare as respostas de (a) e (b) e tire uma conclusão. 
 
R. (a) 3; (b) 3 e (c) o valor da inclinação é o mesmo para qualquer par de pontos da reta. 
 
5. Escreva a relação matemática entre X e Y para os gráficos (a) e (b) mostrados abaixo: 
0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8y
x
 
 
R. (a) y = -2 + 3x; (b) y = 8 – 2x 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
2
3
4
5
6
7
8
x
y
 
 
 
 
 
 
Função Quadrática: parábola 
A forma geral de uma função quadrática ou de segundo grau é: 
cbxaxy ++= 2 . 
• os valores de x onde y = 0 (as raízes da equação) são calculados pela fórmula de Bhaskara: 
a
acbb
x
2
42 −±−
= 
• o valor de c determina o ponto onde a parábola corta o eixo y. 
• quando 042 <− acb , a parábola não corta o eixo x, e não existe ponto em que y = 0 no conjunto dos números reais. 
• A função quadrática possui um mínimo ou máximo no ponto 
a
b
x
2
−
= , no qual o valor da função é c
a
b
+
−
4
2
. 
• A função quadrática terá um máximo se 0<a e mínimo quando 0>a . 
• Vértice é o ponto mais alto ou mais baixo de uma parábola. 
 
5 10 15 20
0 
 15
30
45
60
D
C 
B
A
Y 
X
(a) (b) 
 Figura 2 
 
3 
 
Exemplo: O gráfico ao lado mostra a função 542 −−= xxy . As 
raízes são 5=x e 1−=x . 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45 y
x
 
 
6. Resolva as seguintes equações de segundo grau: 
(a) 0322 =−+ xx 
(b) 0252 2 =+− xx 
(c) 0942 2 =−− xx 
 
R. (a) x’ = 1, x’’ = -3; (b) x’ = 2, x’’ = ½; (c) x’ = 1 + 22 /2, x’’ = 1- 22 /2.