Exercicios resolvidos de fisica 191

Prévia do material em texto

1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIS 191 
 
INTRODUÇÃO A MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 
 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 2
ÍNDICE 
REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA ----------------------------------------------------------------------- 03 
 EQUÇÃO DO SEGUNDO GRAU--------------------------------------------------------------------------------------- 03 
 TRIÃNGULO RETÂNGULO--------------------------------------------------------------------------------------------- 04 
CAPÍTULO 1- VETORES ---------------------------------------------------------------------------------------- 06 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 06 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 10 
CAPÍTULO 2- MOVIMENTO RETILÍNEO ------------------------------------------------------------------- 12 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 12 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 23 
CAPÍTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÒES------------------------------------- 28 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 28 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 39 
CAPÍTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO ---------------------------------------------------- 41 
CAPÍTULO 5- APLICAÇÕES DASLEIS DE NEWTON -------------------------------------------------- 41 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 41 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 62 
CAPÍTULO 6- TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA ------------------------------------------------------ 69 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 69 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 74 
CAPÍTULO 7- ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA ------------------------ 76 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 76 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 85 
CAPÍTULO 8- MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES ----------------------------------------- 88 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 88 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 99 
CAPÍTULO 11- EQUILÍBRIO ------------------------------------------------------------------------------------ 101 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 101 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 114 
 3
 
 
 
 
1. Equação do Segundo Grau: 
 Uma equação quadrática ou equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois. A 
forma geral deste tipo de equação é: 
, 
onde x é uma variável, sendo a, b e c constantes, com a ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se linear). As 
constantes a, b e c, são chamadas respectivamente de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente 
constante ou termo livre. A variável x representa um valor a ser determinado, e também é chamada de incógnita. 
 A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio do segundo grau, isto é, tem como termo de maior 
grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero (a ≠ 0)" é o que 
caracteriza a equação de segundo grau, visto que a incógnita é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, e 
portanto se a fosse igual a zero, anular-se-ia o e assim a equação passaria a ser linear. 
 Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer 
à fórmula geral de resolução: 
 
 
 
Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara. 
 Na fórmula acima, a expressão que aparece sob a raiz quadrada é chamada de discriminante da 
equação quadrática, e é comumente denotada pela letra grega delta maiúsculo: 
 
Dessa forma, pode-se reescrever a fórmula resumidamente como: 
 
 Uma equação quadrática com coeficientes reais tem duas raízes reais, ou então duas raízes complexas. 
O discriminante da equação determina o número e a natureza das raízes. Há apenas três possibilidades: 
(Lembrando que todo polinômio de grau n, tem n raízes; Como uma equação do 2º grau é de grau 2, logo ela 
possui duas raízes.) 
 Se a equação tem duas raízes reais distintas. 
 No caso de equações quadráticas com coeficientes inteiros, se o discriminante for um quadrado 
perfeito, então as raízes são números racionais — em outros casos eles podem ser irracionais. 
 Se a equação tem duas raízes reais e iguais, ou popularmente "uma única raiz", algumas 
vezes chamada de raiz dupla: 
 
 Se a equação não possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas 
raízes complexas distintas, que são conjugadas uma da outra: 
e 
 
onde i é a unidade imaginária. 
 
REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 
 
 4
 Assim as raízes são distintas se e somente se o discriminante é não nulo, e são reais se e somente se o 
discriminante é não-negativo. 
 
Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau: 
 
1) Encontre as raízes da equação: 2x2 - 6x - 56 = 0 
 
Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos: 
 
 
 
Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para ∆ o valor 484, 
que é maior que zero. 
 
Logo: 
As raízes da equação 2x2 - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7. 
 
Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica 
 http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx 
 
2. Triângulo retângulo: 
 Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto (90°) e outros dois 
ângulos agudos,  e  (Figura 1), e a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma 
figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um 
triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo 
agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela 
metade do produto dos menores lados (ab/2). A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a 
base da trigonometria. 
 
 
 
 
 
 
2.1 . Teorema de Pitágoras: 
 O Teorema de Pitágoras diz que: 
 A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. — Pitágoras 
 ou, em linguagem matemática, baseado na Figura 1: 
hipotenusa (c)² = cateto (a)² + cateto (b)² 
 
Figura 1: Exemplo de um triângulo 
retângulo.
 

 5
2.2 . Relações trigonométricas do triângulo retângulo: 
 
 Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um 
ângulo e um lado, usando a Trigonometria. 
 As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. 
 
 2.2.1. Seno deum ângulo 
 É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem: 
 
 
Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: 
c
asenθ  e 
c
bsen  
 
2.2.2. Cosseno de um ângulo 
 É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão 
entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem: 
 
 
Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: 
c
bcosθ  e 
c
acos  
 
2.2.3. Tangente de um ângulo 
É dada pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte 
ordem: 
 
 
Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: 
b
atgθ  e 
a
btg  
 
Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
 6
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
 
CAPÍTULO 1- VETORES 
 
1. 
2. 
3.
 7
 
4. 
5. 
 8
 
6. 7.
 9
8. 
 10
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Um arco circular é centrado no ponto de coordenadas .0,0  yx (a) Uma estudante 
caminha ao longo desse arco da posição 0,5  ymx até uma posição final 
.5,0 myx  Determine o vetor deslocamento da estudante. (b) Uma segunda estudante 
caminha da mesma posição inicial ao longo do eixo x para a origem e, em seguida, ao longo 
do eixo y para .05  xemy Qual é o vetor deslocamento da segunda estudante? 
 
2. Para os dois vetores A

 e B

mostrados na figura abaixo, cujos módulos são iguais a 2 m, 
determine o vetor resultante de: (a) BA
  , (b) BA   , (c) BA  2 , (d) AB   , (e) AB  2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um vetor A

possui módulo de 8 m e faz um ângulo de 37º acima do eixo x positivo; o vetor 
jˆ(5m) -iˆ3m)(B  ; o vetor jˆ(3m)iˆ)6(C  m . Determine os seguintes vetores: 
 (a) CAD
  , (b) ABE   , (c) BAF  2 , (d) um vetor G tal que GCABG  32  . 
 
4. Uma roda de raio igual a 45,0 cm rola sem deslizar ao longo de um plano horizontal (Figura 
abaixo). No instante t1, o ponto P pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a 
roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda girou meia volta. Quais são o módulo e a 
orientação do vetor deslocamento do ponto P durante este intervalo de tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um barco a vela navega 2 km para o leste, em seguida 4 km para o sudoeste e, então, navega 
uma distância adicional em uma direção desconhecida. A sua posição final é a 5 km 
diretamente a leste do ponto de partida. Determine o vetor deslocamento do trecho 
desconhecido. 
6. Um explorador de cavernas anda ao longo de uma passagem de 100 m em direção ao leste, 
em seguida 50 m em uma direção a 37º a oeste do norte e, enfim, 150 m a 53º a oeste do sul. 
Após um quarto deslocamento não medido, ele se encontra no lugar onde iniciou o percurso. 
Determine o quarto vetor deslocamento. 
45º 
30º 
A

 (2m) 
B

(2m) 
x 
y 
P 
P 
No instante t1 No instante t2
 11
7. Três vetores A

, B

e C

possuem as seguintes componentes nas direções x e y: Ax = 6 m, 
Ay = – 3 m; Bx = – 3 m, By = 4 m; Cx = 2 m, Cy = 5 m. (a) Expresse os vetores A

, B

e C

 em 
termos de vetores unitários i

 e j

. (b) Determine o vetor resultante CBAR
  . 
(c) Determine o módulo do vetor resultante. (d) Determine a orientação do vetor resultante. 
 
8. Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a) jiA ˆ3ˆ5  , 
 (b) jiB ˆ7ˆ10  , (c) jiC ˆ7ˆ4  . 
 
 
RESPOSTAS 
1. a) jir ˆ5ˆ5  
 
NoroesteOrientação
mrr
,º45:
07,7
 
 b) jir ˆ5ˆ5  
 
NoroesteOrientação
mrr
,º45:
07,7
 
 
2. a) 
lestedonorteaOrientação
mBA
jiBA
º5,7:
173,3
ˆ414,0ˆ146,3




 
 
 b) 
oestedonorteaOrientação
mBA
jiBA
º5,82:
435,2
ˆ414,2ˆ318,0




 
 
 c) 
lestedonorteaOrientação
mBA
jiBA
º4,21:
913,42
ˆ828,1ˆ56,42




 
 
 d) 
lestedosulaOrientação
mAB
jiAB
º5,82:
435,2
ˆ414,2ˆ318,0




 
 e) 
lestedosulaOrientação
mAB
jiAB
º59:
982,32
ˆ414,3ˆ05,22




 
3.a) 
lestedonorteaOrientaçãomD
jiD
º1,87:81,7
ˆ8,7ˆ4,0


 
 b) 
oestedosulaOrientaçãomE
jiE
º9,70:4,10
ˆ8,9ˆ4,3


 
 c) 
lestedonorteaOrientaçãomF
jiF
º5,88:81,14
ˆ8,14ˆ4,0


 
 d) 
lestedosulaOrientaçãomG
jiG
º9,65:18,3
ˆ9,2ˆ3,1


 
4. jcmicmr ˆ)90(ˆ)3,141(  
lestedonorteaOrientaçãocmrr º5,32:5,167 
 
5. 
lestedonorteaOrientaçãokmC
jiC
º9,25:48,6
ˆ83,2ˆ83,5


 
6. 
nordesteOrientaçãomD
jiD
,º45:7,70
ˆ50ˆ50


 
7. a) 
jiC
jiB
jiA
ˆ5ˆ2
ˆ4ˆ3
ˆ3ˆ6






 
 b) jiR ˆ6ˆ5  
 c) mR 81,7 
 d) lestedonorteaOrientação º2,50: 
 
8. 
oestedosulaOrientaçãoCc
lestedosulaOrientaçãoBb
lestedonorteaOrientaçãoAa
º3,60:06,8)
º35:21,12)
º31:83,5)



 
 
 12
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Dois carros A e B, movem-se no mesmo sentido. No instante t = 0, suas respectivas velocidades 
são v0 e 3v0 e suas respectivas acelerações são 2a e a. Se no instante t = 0 o carro A está uma 
distância D à frente do carro B, determine o(s) instante(s) em que eles estarão lado a lado. 
Expresse sua(s) resposta(s) em função de v0, a e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2- MOVIMENTO RETILÍNEO 
 
0 
0 
XA 
XB 
D 
Carro A 
x0 (A) = D 
v0 (A) = v0 
aA = 2a 
Carro B 
x0 (B) = 0 
v0 (B) =3v0 
aB = a 
A posição de uma partícula em movimento retilíneo 
com aceleração constante é dada por: 
2
00 2
1 attvxx  
Para o carro A temos: 20 attvDxA  , 
e para o carro B, 22103 attvxB  . 
No(s) instante(s) em que os carros A e B estiverem 
lado a lado, xA = xB. 
024
02
3
0
2
0
2
2
1
2
2
1
0
2
0



Dtvat
Dtvat
attvattvD
 
As raízes da equação acima fornecerão os possíveis 
instantes em que os móveis estarão lado a lado. 
 
024 0
2  Dtvat 
a
aDvv
a
aDvv
t
a
aDvv
a
aDvv
t
242
2
2424
2
)2(84
2
8164
2
00
2
00
2
00
2
00


 
Para os casos em que 2042 vaD  haverá dois instantes 
possíveis, t1 e t2, iguais a: 
a
aDvv
t
a
aDvv
t
242
e
242 200
2
2
00
1

Para o caso em que 2042 vaD  , o encontro ocorrerá 
no instante: 
a
v
t 0
2 . 
 13
2. Do alto do terraço de um edifício de altura H um objeto é arremessado verticalmente para cima, 
num local onde a aceleração da gravidade possui módulo g. Na descida ele passa rente ao edifício 
atingindo o solo com uma velocidade cujo módulo é v1. Determine, em função de v1, g e H, (a) a 
velocidade de lançamento do objeto; (b) o instante em que o objeto atinge o solo e (c) a velocidade 
do objeto no instante em que passa por um ponto localizado na metade da altura do edifício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um objeto é arremessado verticalmente para cima com velocidade de módulo 0v , num local onde a 
aceleração da gravidade possui um módulo igual a g. Determine (a) a posição e (b) os instantes em 
que a velocidade do objeto tem seu módulo reduzido à metade. Expresse suas respostas em 
termos de v0 e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ x 
H
v 
0v
 
1v
 
0Considerando a origem do eixo x no 
solo e o sentido do movimento para 
cima como positivo podemos escrever: 
)3()(2
)2(
)1(
2
1
2
0
2
0
2
0
Hxgvv
gtvv
gttvHx



 
 
(a) Sabendo que o objeto atinge o solo 
(x = 0) com velocidade v = -v1 , 
usando a eq. (3) temos: 
gHvv
gHvv
gHvv
Hgvv
2
2
2
)0(2)(
2
10
2
1
2
0
2
0
2
1
2
0
2
1




 
(b) Calculada a velocidade de 
lançamento e sabendo que o objeto 
atinge o solo com velocidade v = -v1, 
usando a eq. (2): 
 121
2
11
21
2
vgHv
g
t
gtgHvv


 
 
(c) Quando o objeto passa por um 
ponto localizado na metade da altura 
do edifício, x = H/2. Usando a eq. 
(3):  
gHvv
gHvgHgHvv
HHggHvv




 
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
22
 
0 
+ y 
0v

1v
 
2v

)3(2
)2(
)1(
2
1
2
0
2
0
2
ygvv
gtvv
gttvy o



 
21 yyH  
(a) A velocidade do objeto terá o seu módulo reduzido a 2
0v nos 
instantes em que passar pela posição y1 = y2 = H, primeiramente 
subindo 

  jvv ˆ
2
0
1
 e, posteriormente, descendo 

  )ˆ(
2
0
2 j
vv . 
Substituindo v1 e v2 na equação (3), gyvv 220
2  temos: 
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
4
3
4
122
2
vvvgHgHv
v 

 
 de tal forma que: 
g
v
H
8
3 20 
(b) No primeiro instante t1, 2
0
1
vv  e no instante t2, 
2
0
2
vv  . 
Substituindo v1 e v2 na equação (2), gtvv  0 , temos: 
g
vtgtvv
22
0
110
0  e 
g
vtgtvv
2
3
2
0
220
0  
 14
4. (a) Na Terra, onde a aceleração da gravidade é g, um objeto solto do repouso de uma certa altura, 
atinge o solo após um tempo t. Quanto tempo, um objeto solto do repouso num Planeta Z, onde o 
valor da aceleração da gravidade corresponde à metade do valor na Terra, gastaria para atingir o 
solo, tendo caído da mesma altura? Expresse sua resposta em termos de t. (b) Se o objeto solto na 
Terra atinge o solo com uma velocidade, cujo módulo é v, com que velocidade (em termos de v) o 
objeto solto no Planeta Z atinge o solo? 
 
 
 
 
 
g
HtgtH
attvyy
2
2
1
2
1
2
2
00


 
 
 
 
 
5. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício de altura H. A pedra 
atinge o solo no instante t1 após o lançamento. A aceleração da gravidade local vale g. 
(Dados: H, t1 e g). 
 
 
 
 
 
a) Determine a velocidade de lançamento da pedra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
00 v 
v 
+ y 
g 
Terra 00 v 
zv
 
+ y 
g
2
1 
Planeta Z 
0 0 
H H 
t tz 
 
gtv
atvv

 0
 
tt
g
HttgH
attvyy
z
zz
2
22
2
1
2
1
2
1
2
2
00








 
vvtgv
atvv
zz 2
22
2
1
0


 
(b) (a) 
0
H
0v
 
g 
+x
A posição x da pedra em um instante t é dada por: 
2
0 2
1 gttvHx  
Em t = t1 a posição da pedra é x = 0. 
1
10
2
110
2
110
2
1
2
1
2
10
t
Hgtv
Hgttv
gttvH



 
 15
b) Determine a velocidade com que a pedra atinge o chão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) um esboço dos gráficos tx  , tv  e ta  referentes ao movimento da pedra desde o instante 
em que é arremessada até atingir o chão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma bola é arremessada verticalmente de cima para baixo com uma velocidade de módulo 0v , do 
alto de um edifício cuja altura, acima do solo, é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. 
Determine: (a) o instante após o arremesso que a bola atinge o solo; (b) a velocidade com que a 
bola atinge o solo. (c) Se a bola tivesse sido arremessada de baixo para cima, do mesmo local, com 
a mesma velocidade inicial 0v qual seria a sua velocidade ao atingir o solo? Em todos os itens, (a), 
(b) e (c) dê suas respostas em termos das grandezas H, g e 0v que se fizerem necessárias. Use o 
sistema de coordenadas convencionado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t 
x v a 
t 
t 
A velocidade da pedra em um instante t é dada por: 
gtvv  0 
No instante t = t1 a velocidade da pedra será: 



 




 
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
t
Hgtv
t
Hgtv
gt
t
Hgtv
 
H 
t1 
v0 
t1 
t1 
-g 
0 
+ x 
chão 
H 
0v
 
1v
 
t = 0 
t1 
Equações do movimento: 
)(2
2
1
2
0
2
0
2
0
Hxgvv
gtvv
gttvHx



 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Uma bola é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo, 
é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Na descida ela passa rente ao edifício por um 
ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 após ter sido lançada. Determine: (a) 
o módulo da velocidade de lançamento (em função de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola 
atinge o solo (em função de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Em 0,1  xtt 
g
vgHv
t
g
gHvv
t
g
gHvv
t
g
gHvv
t
Htvgt
gttvH
gttvH
gttvHx
0
2
0
1
2
00
1
2
00
1
2
00
1
10
2
1
2
110
2
110
2
0
2
0
2
2
)2(42
2
842
022
220
2
10
2
1








 
 
(b) Em 1,0 vvx  
gHvv
gHvv
Hgvv
Hxgvv
2
2
)0(2
)(2
2
01
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
2




 
(c) Da mesma forma que no 
item (b) a velocidade da 
bola em função da posição 
x da mesma será: 
 
)(220
2 Hxgvv  
 
Assim, ao chegar ao chão 
(x = 0) sua velocidade v2 
também será: 
gHvv
gHvv
Hgvv
Hxgvv
2
2
)0(2
)(2
2
02
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2




 
 
0 
+ x 
chão 
H t = 0 
Equações do movimento: 
ga
v
Hx



?0
0
 
)()(
)(
)(
32
2
1
2
1
2
0
2
0
2
0
Hxgvv
gtvv
gttvHx



 
a) Em t = t1, x = H/2. 
Pela equação (1): 
 



 





1
10
2
1
1
0
2
110
2
110
2
110
2
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
t
Hgtv
Hgt
t
v
gtHtv
gtHHtv
gttvHH
gttvHx
 
 
b) Para x = 0, v = ? 
 
Pela equação (3): 
 
gH
t
Hgtv
gH
t
Hgtv
Hgvv
Hxgvv
2
2
1
2
2
1
02
2
2
1
1
2
1
1
2
2
0
2
2
0
2







 







 


)(
)(
 
 
 17
8. Uma bola é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo, 
é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Na descida ela passa rente ao edifício por um 
ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 após ter sido lançada. Determine: (a) 
o módulo da velocidade de lançamento (em função de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola 
atinge o solo (em função de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A posição de uma partícula varia com o tempo de acordo com a equação abaixo: 
242020 ttx  , ondex é medido em metros e t em segundos. 
 
(a) Determine a velocidade média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2s. 
 
m)4(-220202)(t
20m0)(t
2 442 

x
x
 
s/mv
t
xv
12
2
2044


 
 
(b) Determine a velocidade da partícula nos instantes t = 0 e t = 2s. 
 
0 
+ x 
chão 
H t = 0 
Equações do movimento: 
ga
v
Hx



?0
0
 
)3()(2
)2(
)1(
2
1
2
0
2
0
2
0
Hxgvv
gtvv
gttvHx



 
b) Em t = t1, x = H/2. 
 
Pela equação (1): 
 



 





1
10
2
1
1
0
2
110
2
110
2
110
2
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
t
Hgtv
Hgt
t
v
gtHtv
gtHHtv
gttvHH
gttvHx
 
 
c) Para x = 0, v = ? 
 
Pela equação (3): 
 
gH
t
Hgtv
gH
t
Hgtv
Hgvv
Hxgvv
2
2
1
2
2
1
)0(2
)(2
2
1
1
2
1
1
2
2
0
2
2
0
2







 







 


 
 
 18
tv
tt
dt
d
dt
dxv
820
42020 2

 )( 
 
 
(c) Determine a aceleração média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2s. 
 
2
02
8
2
204 s/ma
t
vv
t
va




 
 
(d) Faça um esboço dos gráficos tx  , tv  e ta  referentes ao movimento da partícula, do instante t 
= 0 até a partícula chegar à origem de sua trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s/mtv
s/mtv
428202
200


)(
)(
 
+ a (m/s2) 
t(s) 
+ x (m) 
t (s) t(s) 
+ v (m/s) 
20 
20
-8 
242020 ttx  tv 820  
28 sma / 
 19
10. O gráfico abaixo representa aproximadamente a velocidade de um atleta em função do tempo em 
uma competição olímpica. (a) Faça um esboço do gráfico Posição x Tempo. Em t = 0, x0 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Em certo planeta Z, no qual se pode desprezar a resistência do ar, um astronauta mede o tempo t1 
que uma pedra leva para atingir o solo, após ser arremessada verticalmente para cima da borda de 
um precipício com velocidade cujo módulo é v0. Sabendo que o módulo da velocidade da pedra ao 
atingir o solo é o dobro da velocidade de lançamento determine: (a) o módulo da aceleração da 
gravidade no planeta Z e (b) a altura do precipício. (c) Faça um esboço do gráfico da posição x 
tempo desde o instante do lançamento até o instante em que a pedra toca o solo. (Dados: t1 e v0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
+ x 
 x 
t 
0v

 
(c) 
02v

 
t = t1 
t = 0 
H 
H 
t1 0 
(b) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração tem o menor valor? Determine-o. 
O menor valor da aceleração ocorre no intervalo de tempo de 6 a 16 s. Não há variação da velocidade, 
portanto, a aceleração é nula. 
 
(c) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração é máximo? Determine-o. 
A maior variação de velocidade por unidade de tempo ocorre no intervalo de tempo de 0 a 6 s. 
2/2
06
012 sm
t
va 

 
(d) Qual é o deslocamento do atleta durante os 18s? 
mxxxÁreax 178
2
2)1210(1210
2
126""  
(e) Qual a velocidade média do atleta durante a competição? 
sm
s
m
t
xv /89,9
18
178 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 20
Tempo (s)
Ve
lo
ci
da
de
 (m
/s
)
18 
P
os
iç
ão
 (m
) 
Tempo (s) 
6 16 18 
 20
 
 
Equações do movimento: 
)3()(2
)2(
2
1
)1(
2
0
2
2
0
0
Hxavv
tatvHx
tavv
Z
Z
Z



 
 
No instante t = t1 , v = – 2v0. 
Pela Equação (1): 
1
0
01
100
3
3
2
t
va
vta
tavv
Z
Z
Z



 
 
No instante t = t1 , x = 0. 
 
Pela equação (2): 
10
1010
1010
2
1
1
0
10
2
1
2
3
2
3
3
2
10
tvH
tvtvH
tvtvH
t
t
v
tvH




 
 
 
 
 
12. 
(a) A afirmativa a seguir faz sentido? “A velocidade média de um veículo às 9h da manhã era de 
 60 km/h.”. Explique. 
 
NÃO. Quando se refere a velocidade média isso compreende um determinado intervalo de 
tempo e não um instante como na afirmativa acima. 
 
(b) “É possível um corpo possuir ao mesmo tempo velocidade nula e aceleração não nula?” 
Explique. 
 
SIM. Como exemplo, um objeto em queda livre vertical, quando se encontra no ponto mais alto 
da trajetória possui velocidade nula e aceleração diferente de zero (a = -g). 
 
 
(c) “É possível um objeto reduzir a velocidade enquanto o módulo de sua aceleração cresce?” 
Explique. 
 
 SIM. Desde que a aceleração seja contrária à velocidade. 
 
 
(d) “É possível um carro ter uma velocidade orientada para o oeste e uma aceleração orientada 
para o leste?” Explique. 
 
 SIM. Neste caso o carro estaria freando. 
 
 
(e) “É possível ter deslocamento nulo e velocidade média diferente de zero?” Explique. 
 
 NÃO. A velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo 
gasto para deslocar. Sendo o deslocamento nulo, a velocidade média também será. 
 
 
 
 
 21
13. Considere o gráfico da velocidade de um objeto, em movimento retilíneo, mostrado na figura 
abaixo. Admitindo que em t = 0, x = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Determine a velocidade média no intervalo de 0 a 10 s. 
 
 
0)0(
0400400)10(410.40)10(
440
2
2



tx
stx
ttx
 
 
 0
10
00
010
010 

 xx
t
xvm 
 
 
(d) Faça os gráficos a x t e x x t para o intervalo de 0 a 10 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Determine a aceleração do objeto. 
 
2
0
/8
1080
10.4040
sma
a
a
atvv




 
(b) Escreva as equações do movimento, 
x (t) e v(t). 
 
2
00 /8,/40,0 smasmvx  
2
2
00
440
2
1
ttx
attvxx


 
 
tv
atvv
840
0


 
v (m/s) 
t (s) 
40 
- 40 
10 0 
a (m/s2) x (m) 
t (s) t (s) 
-8 
10 10 0 0 
100 
5 
 22
14. Para medir a aceleração da gravidade em um planeta W, uma pesquisadora atira uma pedra, 
da superfície do planeta, de baixo para cima, com uma velocidade de 8 m/s. A pedra atinge 
uma altura máxima de 16 m. Desprezando a influência da atmosfera do planeta sobre o 
movimento da pedra determine: (a) a aceleração da gravidade no planeta W; (b) o tempo que a 
pedra gasta para retornar à superfície e (c) a velocidade da pedra ao atingir a superfície do 
planeta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) v = 0 em x = 16 m 
 
 v2 = 64 – 2gWx 
0 = 64 – 2gW(16) 
32gW = 64 
gW = 64/32 = 2 m/s2 
 
 
 
 
 
 
st
t
t
tv
4
82
280
28




 
 
 Tempo total de movimento 
 
 tTotal = 2t 
 tTotal = 2 x 4 
 tTotal = 8 s 
 
 
 
 
 
smv
v
tv
/8
8.28
28



 
 
 
 
Equações do movimento: 
Wgasmvx  ,/8,0 00 
 
xgv
tgv
tgtx
W
W
W



264
8
2
18
2
2
 
+ x 
0 
0v
 
v = 0 
Hmáx 
(b) Tempo para atingir a altura máxima 
(c) Velocidade ao retornar à superfície do planeta 
 23
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
1. Um automóvel se desloca com velocidade constantede 23 m/s. Suponha que o motorista 
feche os olhos (ou que olhe para o lado) durante 2 s. Calcule o deslocamento do veículo do 
automóvel neste intervalo de tempo. 
 
2. Não confunda velocidade média com a média de um conjunto de velocidades (média das 
velocidades). Calcule a velocidade média de uma atleta nos seguintes casos: (a) A atleta 
anda 150 m com velocidade de 1,5 m/s e depois corre 100 m com velocidade de 4 m/s ao 
longo de uma pista retilínea. (b) A atleta anda 2 minutos com velocidade de 1,5 m/s e a 
seguir corre durante 3 minutos com velocidade de 4,5 m/s ao longo de um caminho em 
linha reta. 
 
3. O limite de velocidade numa rodovia é alterado de 100 km/h para 80 km/h. Se um 
automóvel levava um tempo t para deslocar uma distância x com velocidade constante de 
100 km/h, quanto tempo levará o automóvel para deslocar a mesma distância x com 
velocidade constante de 80 km/h? 
 
4. Um trem se desloca com velocidade constante, de oeste para leste, sendo o módulo do 
vetor velocidade igual a 60 km/h durante 50 minutos. A seguir toma uma direção nordeste, 
com a velocidade de mesmo módulo da anterior, durante 30 minutos. Finalmente, mantendo 
a velocidade constante em módulo, segue para o oeste, durante 10 minutos. Determine o 
vetor velocidade média do trem durante todo o percurso. 
 
5. Um automóvel se desloca numa estrada retilínea e sua velocidade aumenta de 5 m/s até 15 
m/s num intervalo de tempo de 20 s. A seguir sua velocidade passa de 15 m/s para 35 m/s 
num intervalo de tempo de 80 s. Calcule o módulo da aceleração média: (a) na primeira 
etapa do percurso, (b) na segunda etapa do percurso. (c) Calcule a média aritmética das 
acelerações obtidas nos itens anteriores. (d) Calcule a aceleração média do percurso total, 
isto é, desde o momento inicial (v0 = 5 m/s) até o instante final (v = 35 m/s). 
 
6. As figuras (a) e (b) abaixo mostram gráficos da posição x em função do tempo t para uma 
partícula em movimento retilíneo. (a) Em que ponto ou pontos existe mudança brusca do 
valor da velocidade? (b) Indique, para cada intervalo, se a velocidade é (+), (–) ou zero e se 
a aceleração é (+), (–) ou zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. A figura abaixo mostra o gráfico da posição x em função do tempo t para uma partícula em 
movimento retilíneo. Esboce os gráficos da velocidade e da aceleração em função do 
tempo. 
 
 
 
 
 
 
 24
8. Um veículo é impulsionado por um foguete e desliza sobre um trilho retilíneo. Este veículo é 
usado para verificação experimental dos efeitos fisiológicos das grandes acelerações sobre 
seres vivos. Partindo do repouso, este veículo pode atingir uma velocidade de 1800 km/h 
em 2 segundos. (a) Admita que a aceleração seja constante e compare o valor número 
desta aceleração com o valor da aceleração da gravidade g. (b) Calcule o deslocamento do 
veículo neste intervalo de tempo. 
 
9. Duas estações de trem estão separadas por uma distância de 3,6 km. Um trem, partindo do 
repouso de uma das estações, sofre uma aceleração constante de 1,0 m/s² até atingir 2/3 
do percurso entre as estações. A seguir o trem desacelera até atingir a outra estação com 
velocidade nula. Determine: (a) a velocidade máxima do trem atingida na primeira etapa do 
percurso, (b) o módulo da desaceleração durante a diminuição da velocidade na segunda 
etapa do percurso, (c) o tempo total gasto durante o percurso entre as duas estações. 
(d) Faça os gráficos da posição x tempo, velocidade x tempo e aceleração x tempo para o 
movimento do trem, do início ao fim do percurso. 
 
10. Suponha que um advogado contrate você para opinar sobre um problema relacionado com 
a física, surgido em um dos seus casos. A questão seria saber se um motorista excedeu ou 
não a velocidade limite de 60 km/h, antes de fazer uma parada de emergência ao aplicar os 
freios do veículo. As marcas do pneu na estrada, produzidas pelo deslizamento das rodas, 
tinham um comprimento de 8,0 m. O inspetor fez o cálculo da velocidade do automóvel 
levando em consideração que a desaceleração produzida pelos freios não poderia exceder, 
em módulo, o valor local da aceleração da gravidade g e deteve o motorista por excesso de 
velocidade. Refaça os cálculos do inspetor e verifique se estes cálculos estavam corretos 
ou não. Com base na hipótese de que a desaceleração era igual a g, qual seria a 
velocidade do automóvel no momento da aplicação dos freios. 
 
11. Um automóvel faz uma ultrapassagem a 120 km/h. Entretanto, um outro automóvel vem em 
sentido contrário a 100 km/h. Suponha que os dois motoristas acionem simultaneamente os 
freios e os dois automóveis passem a sofrer uma desaceleração constante de módulo igual 
a 6 m/s². Determine a distância mínima entre os automóveis no início da freada para que 
não haja colisão entre os veículos. 
 
12. Um trem parte do repouso e se desloca com aceleração constante. Num dado instante sua 
velocidade era de 10 m/s e a 60 m adiante sua velocidade passa para 17 m/s. Determine: 
(a) a aceleração, (b) o tempo necessário para deslocar os 60 m, (c) o tempo necessário 
para atingir a velocidade de 10 m/s, (d) o deslocamento do trem desde o repouso até atingir 
a velocidade de 10 m/s. 
 
13. No momento em que um sinal de tráfego acende a luz verde, um automóvel parte do 
repouso com aceleração constante de 2 m/s². No mesmo instante um ônibus, deslocando-
se com velocidade constante de 54 km/h ultrapassa o automóvel. (a) A que distância do seu 
ponto de partida o automóvel ultrapassará o ônibus? (b) Calcule a velocidade do automóvel 
neste instante. (c) Em um mesmo diagrama, faça os gráficos posição x tempo e velocidade 
x tempo do automóvel e do ônibus desde o início do movimento até o momento da 
ultrapassagem. 
 
14. Um automóvel viajando em linha reta a 120 km/h está a 60 m de uma barreira quando o 
motorista aperta os freios. Três segundos após o carro colide com a barreira. (a) Determine 
o módulo da desaceleração do carro. (b) Que velocidade desenvolvia o automóvel no 
momento do impacto? (c) Qual deveria ser a desaceleração mínima do automóvel para que 
não ocorresse a colisão? 
 
15. Uma pessoa debruçada sobre um muro de uma passarela deixa cair uma bola exatamente 
quando a dianteira de um caminhão passa bem abaixo do muro. Se o veículo está se 
movendo a 12 m/s e tem 10 m de comprimento, determine: (a) a altura da passarela em 
relação ao caminhão para que a bola atinja a traseira do caminhão, (b) a trajetória descrita 
 25
pela bola em relação a um observador situado na passarela, (c) a trajetória descrita pela 
bola em relação a um observador situado no caminhão. 
 
16. Um balão sobe com velocidade de 15 m/s e está a 100 m acima do solo quando dele se 
deixa cair um saco de areia. Determine: (a) o tempo que o saco de areia demora para 
atingir o solo e (b) a velocidade com que o saco de areia atinge o solo. (c) Faça os gráficos 
da posição x tempo, velocidade x tempo e aceleração x tempo para o movimento do saco 
de areia, desde o instante em que ele é solto até atingir o solo. 
 
17. Uma pedra é largada de uma ponte a 50 m acima do nível da água. Uma segunda pedra é 
arremessada verticalmente para baixo 1,5 s após a primeira pedra ter sido largada. Ambas 
atingem a água ao mesmo tempo. (a) Determine a velocidade de arremesso da segunda 
pedra. (b) Determine as velocidades com que as pedras atingem a água. (c) Faça os 
gráficos da posição x tempo e velocidade x tempo para cada pedra, considerando t = 0 o 
instante em que a primeira pedra foi largada. 
 
18. Dois corpos são largados com um intervalo de tempo de 1,5 s, de uma mesma altura. 
Quanto tempo depois do primeiro começar a cair estarão os dois corpos separados por 
15 m. 
 
19. Um moleque atira uma pedra para cima na direção vertical, com uma velocidade inicial de 
12 m/s do telhado de um edifício,30 m acima do chão. (a) Quanto tempo a pedra leva para 
atingir o chão. (b) Com que velocidade a pedra atinge o solo. (c) Em que (quais) instante(s) 
a pedra estará 5 m acima do ponto de lançamento e qual a sua velocidade nesse(s) 
instante(s)? 
 
20. Um corpo cai da altura de 50m, partindo do repouso. Quanto ele percorre no último 
segundo da queda? 
 
RESPOSTAS 
1. .46mx  
 
 
2. (a) ./2 smv  
 (b) ./3,3 smv  
3. tt .25,12  
4. 
.
º19:
/2,43
ˆ1,14ˆ8,40
lestedonortea
Orientação
hkmv
jiv


 
5. (a) ²./5,01 sma  
 (b) ²/25,02 sma  
 (c) ²./375,0
2
21 smaa  
 (d) ²/3,0 sma  
 
 
 
6. Figura (a): 
 (a) Ponto C 
 (b) 
 
 
 
 
6. Figura (b): 
 (a) Em nenhum ponto. 
 (b) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0A AB BC CD 
v + + 0 - 
a 0 - 0 + 
 0A AB BC CD 
v + 0 + + 
a - 0 + 0 
t 
v 
t 
a 
 26
8. (a) ga 5,25 
 (b) mx 500 
9. (a) smv /3,69 
 (b) ²/2 sma  
 (c) st 104 
 
 
 9. (d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. 
hkmv
erradosCálculos
/45
.
0 
 
11. md 9,156 
 
12. (a) ²/575,1 sma  
(b) st 44,4 
(c) st 35,6 
(d) mx 75,31 
 
13. (a) mxA 225 
(b) smvA /30 
 
 
 
 
13. c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. (a) ²/, sma 98 
 (b) hkmsmv //, 2476  
 (c) ²/, sma 39 
 
15. (a) mh 43, 
 (b) (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. (a) st 26, 
t (s) 
x (m) 
2400 
69,3 104 
3600 
t (s) 
v (m/s) 
69,3 
69,3 104 
t (s) 
a (m/s²) 
1,0
69,3 104 
- 2,0
t (s) 
x (m) 
225 
15 
Ônibus 
Automóvel 
t (s) 
v (m/s) 
30 
15 
Ônibus 
Automóvel 
15 
 27
 (b) smv /47 
 (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. (a) smv /8,210  
 (b) smvesmv /4,38/6,31 21  
 (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. st 7511 , 
 
19. (a) st 933, 
 (b) smv /,327 
 (c) 
smvst
smvst
/,;,
/,;,
66861
66540
22
11

 
20. md 626, 
 
 
 
 
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8
Tempo (s)
P
os
iç
ão
 (m
)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0
Tempo (s)
Ve
lo
ci
da
de
 (m
/s
)
-10
0
0 2 4 6 8
Tempo (s)
Ac
el
er
aç
ão
 (m
/s
²)
-31,6 
1,5 3,16 t (s) 
v (m/s) 
0,0 
-38,4 
-21,8 
50 
1,5 3,16 
t (s) 
x (m) 
0,0 
 28
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1. Uma partícula move-se no plano xy com aceleração constante ja ˆβ , (  0). No instante 
t = 0, passa pela origem do sistema de coordenadas com velocidade jiv ˆ2ˆ0  , (  0). 
(a) Descreva os movimentos horizontal e vertical da partícula, faça um esboço de sua trajetória e 
represente no diagrama os dados iniciais do problema. Determine, em função de ,  e dos vetores 
unitários que se fizerem necessários, (b) o vetor posição ( r ) no instante em que ocorre inversão no 
movimento vertical da partícula e (c) o vetor velocidade ( v ) no instante posterior no qual a partícula 
cruzará a coordenada y = 0. 
x
y
 
 
 
(b) A inversão no movimento vertical ocorrerá quando vy = 0. 
 
 
 
Neste instante, a partícula estará localizada em: 
 
 
 
 
 
O vetor posição no referido instante será: 
 
iˆ 
jˆ 
ja
jiv
r
ˆ
ˆ2ˆ
0
0
0
β





 
Mov. Horizontal 


x
xx
vtx
avx 00 00 
Movimento Vertical 
yv
tvtty
avy
y
yy






24
2
2
12
20
22
2
00
 (a) Uma vez que a aceleração horizontal da partícula é nula, 
sua velocidade será constante, e o movimento horizontal será 
retilíneo e uniforme. No movimento vertical a aceleração é 
constante, positiva e a velocidade inicial negativa, de tal forma 
que, inicialmente, a partícula irá desacelerar até atingir uma 
velocidade vertical nula e a partir de então terá um movimento 
0v

a 
(0,0) 




2
20
2
t
t
tvy
 





22
2.
x
x
tx
 











222
2
2
224
2
2
122
2
12
y
y
tty
 
)ˆ(2ˆ2
22
jir 

 
(c) A coordenada y será nula em t = 0 em um 
instante posterior t igual a: 




4
2
12
2
12
2
2
t
tt
tty
 
As componentes do vetor velocidade neste 
instante serão: 



2
42e
y
yx
v
vv
 
O vetor velocidade no referido instante será: 
 
jiv ˆ2ˆ  
e 
 
CAPÍTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES 
 
 29
2. Um rifle está apontado horizontalmente para uma parede localizada a uma distância D da saída do 
mesmo. O projétil atinge a parede a uma distância d abaixo do ponto visado. A aceleração da 
gravidade local tem módulo g. Determine em função das grandezas D, d, g e dos vetores unitários 
que se fizerem necessários, (a) o tempo de percurso do projétil, (b) o vetor velocidade do projétil ao 
sair do rifle e (c) o vetor velocidade do projétil ao atingir a parede. 
 
 
 
 
 
 
Equações do movimento 
Movimento 
Horizontal 
x0 = 0 
v0x = vo 
ax = 0 
 
0
0
vv
tvx
x 

 
 
 
Movimento Vertical 
y0 = 0 
v0y = 0 
ay = -g 
 
gyv
gtv
gty
y
y
2
2
1
2
2



 
 
(b) Sabendo que tvx 0 
i
d
gDv
d
gDv
g
dvD
g
dtemDx

2
2
2
2
0
0
0




 
 
(a) O tempo de percurso do projétil corresponde 
ao instante em que o mesmo atinge a posição 
x = D e y = - d. 
 
g
dt
gtd
gtyquevezUma
2
2
1
2
1
2
2



 
 
 
(c) A componente x da velocidade com que o 
projétil atinge a parede é: 
d
gDvvv xx 200

 
A componente y da velocidade com que o projétil 
atinge a parede pode ser determinada por: 
gdv
dyPara
gyv
y
y
2
22



 
 
jgdi
d
gDv
 2
2
 
 
 
 
 
iˆ 
jˆ 
(0,0) 
?v 
?0 v 
 30
3. Um projétil é lançado a partir da origem de um sistema de coordenadas com velocidade inicial de 
módulo vo, fazendo um ângulo  acima da horizontal. A origem do sistema de coordenadas está 
localizada na base de uma rampa cuja inclinação é  (veja figura abaixo). Considerando o módulo 
da aceleração da gravidade local igual a g, determine o instante que o projétil atinge a rampa. 
Expresse sua resposta em função de vo, g,  e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0v

 
  
y 
x 
t = ? 
x(t) 
y(t) 
A posição do projétil num instante t, a partir do 
lançamento é dada por: 
Posição horizontal 
tvtx
tatvxtx xx
.cos)(
)(
0
2
2
1
00


 
 
Posição vertical 
2
2
1
0
2
2
1
00
.)(
)(
gttsenvty
tatvyty yy


 
0,0 
Movimento horizontal (x) 
0
cos
0
00
0



x
x
a
vv
x
 
Movimento vertical (y) 
ga
senvv
y
x
y



00
0 0
 
No instante t considerado, 
)(
)(tan
tx
ty . 
Assim: 
)tan.cos(
2
)tan.cos(2
tan.cos
tan.cos
cos
tan
.cos
.
tan
0
0
002
1
2
1
00
0
2
1
0
0
2
2
1
0














sen
g
vt
senvgt
vsenvgt
gtsenvvv
gtsenv
tv
gttsenv
 
 31
4. De um avião, mergulhando em um ângulo 0 com a vertical e a uma altura H, é abandonada uma 
bomba que bate no solo após um intervalo de tempo t. Determine, para o projétil, os vetores 
velocidade (a) ao deixar o avião, (b) ao atingir o solo e (c) o vetor deslocamento total. Escreva suas 
respostas em termos das variáveis 0, H, t e g, e dos vetores unitários do sistema de coordenadas 
abaixo, que se fizerem necessários. 
Represente no gráfico os dados pertinentes (vetores, trajetória, ângulo etc.). Suponha o referencial do 
observador imediatamente abaixo do ponto de lançamento. Utilize g para a aceleração da gravidade. 
Dados: 0 , H, t, e g 
Representação gráfica: 
Em ti = t0 = 0, x0 = 0 (1), y0 = H (2) e
000 sen  vv x (3) e 000 cos vv y (4)
(a) Cálculo do módulo da velocidade inicial: 
Na vertical, temos: 
2
00 2
1 tgtvyy y  (5)
Como ao atingir o solo y = 0 , substituindo (2) e 
(4) em (5), obtém-se 
cos
1
20


  tg
t
Hv . (6) 
Finalmente, valendo-se de (3), (4) e (6), o vetor 
velocidade inicial pode ser escrito nas formas: 
jvivvvv yxyx ˆˆ 00000   , 
ou, )ˆcosˆ( jisenvv 0000   , 
ou ainda 
)ˆˆ(tan jitg
t
Hv 

  00 2 
 . (7)
 
(b) Cálculo do vetor velocidade do projétil ao 
atingir o solo: 
jvivvvv yxyx ˆˆ   (8)
Na horizontal (M.U.  vx = cte. e ax = 0). 
Assim, 


  tan
2
sen0
tg
t
Hvv xx , (9)
já obtido em (a) (vide equação 7). 
Na vertical [MUV  )( jgga y
  ]. 
tgvv yy  0 
 

 
2
tg
t
Hv y (10)
Substituindo (9) e (10) em (8), obtém-se: 
jtg
t
Hitg
t
Hv ˆ
2
ˆtan
2 0


 

  (11)
(d) Cálculo do vetor deslocamento total , r . 
 yxr   (12) 
ou )ˆ()ˆ( jyixr   (13)
ou ainda )ˆ()ˆ( jyixr   (14)
HHyyy  00 (15)
tvxxxx x00 0  (16)
 
De (14), (9), (16) e (15), tem-se: 
 
jHitgHr ˆˆtan 

  2
2
1 (17) 
 
o g 
0v
 
v 
Hy 0 
x 
r 
y 
0,0 
 32
5. No instante em que um foguete atinge o ponto mais alto da trajetória explode e lança verticalmente, 
em sentidos opostos, duas partículas com velocidades iniciais numericamente iguais a v0 (= 15 
m/s). Sendo g (= 10 m/s2) a aceleração da gravidade, determine o intervalo de tempo decorrido 
entre os instantes em que as duas partículas chegam ao solo. Despreze o atrito com o ar. (Resposta 
numérica: 3 s). 
Dados: v1 = v2 = v0, e g. 
Ilustração: Gráfico de espaço versus tempo. 
 
Ao chegar ao solo as equações das posições das 
partículas serão: 
2
11111 2
1
ffif tgtvyy  (1)
2
22222 2
1
ffif tgtvyy  (2)
Como, para ambas, o módulo das velocidades iniciais 
são iguais (v1 = v2 = v0) e as posições iniciais e finais 
também, igualando (1) e (2), tem-se 
2
220
2
110 2
1
2
1
ffff tgtvtgtv  
)(
2
1)( 22
2
1210 ffff ttgttv  
))(()(
2
212121
0
ffffff ttttttg
v  
 
g
v
ttt ff
0
21
2
)(  (3)
Outra solução mais simples seria: 
A partícula 1 irá subir, atingindo o ponto de altura 
máxima com velocidade nula. Em seguida 
retornará ao ponto de partida com velocidade 
idêntica em módulo, direção e sentido que a 
partícula 2. Desse modo, fica óbvio que ambas 
levam o mesmo tempo deste ponto até o solo. 
Portanto, o intervalo de tempo decorrido entre os 
instantes em que as duas partículas chegam ao 
solo será o tempo que a partícula 1 levará para 
retornar ao ponto de partida. Ou seja, 
2'''
1
'
1
'
1 )(2
1 tgtvyy fif  
2''
011 )(2
10 tgtvyy ii  
 
g
vtt 02 ' 
 
 
 
+y 
1v
 
2v
 
g 
ti = 0 t’ = 2v0/g 
t 
tempo (t) 
t1f t2f 
 33
6. Um projétil é disparado do alto de um barranco que está a uma altura H acima do nível de um vale, 
com velocidade inicial de módulo v0 inclinada de um ângulo  acima da horizontal. Desprezando a 
resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade local igual a g, determine: (a) a altura 
máxima acima do barranco atingida pelo projétil; (b) o vetor velocidade e o vetor aceleração do 
projétil no ponto mais alto; (c) o deslocamento do projétil desde o lançamento até atingir o solo; (d) 
o vetor velocidade com que a o projétil atinge o solo  v . Expresse suas respostas em termos das 
grandezas H, v0,  e g que se fizerem necessárias e dos vetores unitários mostrados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iˆ
jˆ 
 
g
+ y 
+ x 
(0,0) 
0v
 
H
Hmáx Movimento Horizontal 
θcos
θ.cos
0
0
vv
tvx
x 

 
Movimento Vertical 
gtvv
gttvHy
y 

-θsen
2
1-θ.sen
0
2
0
 
(a) 
θsen
2
2-θsen 0
2-θsen
2
2
0
máx
22
0
22
0
2
g
vH
gHv
ygvv
máx
y



 
(b) 
jga
g
ivv
vvv yx
ˆ
a0a
ˆθcos
0θcos
yx
0
0






(c) 
g
gHvv
t
g
gHvv
t
g
gHvv
t
Htvgt
gttH
tvx
Hy
o
o
o
2θsensenθ
0
2θsensenθ
2
8θsen4senθ2
02-θ.sen2
2
1-θ.senv-
θ.cos.
22
0
22
0
22
0
0
2
2
0
0







 
jHi
g
gHvv
vr
jyixr
o ˆˆ2θsensenθθcos
ˆˆ
22
0
0 


 



 
(d) 
jgHvvv
gHvv
gHvv
Hgvv
vv
y
y
y
x
ˆ2θseniˆθcos
2θsen
2θsen
)(-2-θsen
θcos
22
00
22
0
22
0
2
22
0
2
0






r
v
 34
7. Um estudante atira uma bolinha de papel em uma lixeira cilíndrica (diâmetro D e altura 2D). A parte 
inferior da lixeira está no mesmo nível do ponto em que a bolinha foi arremessada e a uma 
distância horizontal 6D do ponto de lançamento. A bolinha é arremessada com um ângulo de 45º 
acima da horizontal (veja figura abaixo). Determine o valor máximo e o valor mínimo da 
velocidade de lançamento ( 0v ) para que a bolinha entre pela parte superior da lixeira. Despreze a 
resistência do ar e expresse suas respostas em termos de g e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
2
24545  oosen cos 
6D 
2D 
 D 
y 
?0 v 
45º 
(0,0) 
Movimento Horizontal 
o
xx
o
x
o
x
cosvvv
tcosvx
acosvvx
45
45
0,45,0
00
0
000



 
Movimento Vertical 
ygsenvvegtsenvv
gttsenvy
gasenvvy
o
y
o
y
o
y
o
y



24545
2
145
,45,0
22
0
2
0
2
0
000
 
Equação da trajetória: 
yx
gxve
yx
gxvqueformatalde
v
gxx
v
xgxysejaou
cosv
xg
cosv
xsenvy
cosv
xtteinsNo
gttsenvyetcosvx
oo
o
o
oo









2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
22
0
2
0
0
0
2
00
:
,
2
22
1:
452
1
45
45
45
tan
2
14545
 
O valor mínimo de v0 é aquele que 
permitirá que a bolinha atinja a lixeira em 
x = 6D e y = 2D. 
 
gDv
D
Dgv
DD
Dgv
3
4
36
26
6
0
2
0
2
0

 
O valor máximo de v0 é aquele que 
permitirá que a bolinha atinja a lixeira em 
x = 7D e y = 2D. 
 
5
7
5
49
27
7
0
2
0
2
0
gDv
D
Dgv
DD
Dgv

 
 35
8. Uma pedra é arremessada paracima, do alto de um edifício de altura H, com velocidade de 
módulo 0v , inclinada de um ângulo  acima da horizontal. A aceleração da gravidade local vale 
g. 
 (Dados: H, v0,  e g). 
 
a) Determine o instante após o arremesso que a pedra atinge o solo, em função de v0, , g e H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o módulo da velocidade com que a pedra 
atinge o chão, em função de v0, g e H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Um jogador de basquete arremessa uma bola com um ângulo 45°. A bola sai das mãos do jogador 
de uma altura h acima do solo. A cesta encontra-se a uma distância horizontal D das mãos do 
jogador e a uma altura H acima do solo. A aceleração da gravidade local vale g. Determine (a) o 
módulo da velocidade de arremesso para que ele consiga acertar a cesta e 
(b) o módulo da velocidade da bola ao atingir a cesta. Dados: g, h, H e D. 
 
 
 
 
 
 
 
0
H 
0v
 
g 
+y 
+x
  
Hyx
gaa
senvv
vv
yx
y
x




00
00
00
0
0
cos


 
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
Htsenvgt
gttsenvH
gttsenvHy
2
0
2
2
)2(42
2
842
022
0
22
00
22
00
22
00
22
00
0
2
2
2
1
0
2
2
1
0














 
Por conservação da energia mecânica, considerando 
o nível de referência no solo, temos: 
gHvv
vvgH
mvmvmgH
2
2
2
1
2
1
2
0
22
0
22
0



 
 
sen 45° = cos 45° = 
2
2 
Equações do movimento: 
)hy(gsenvv
gtsenvv
cosvv
gtt.senvhy
t.cosvx
y
y
x





2
2
1
22
0
2
0
0
2
0
0
 h 
D 
H 
45° 
x 
 y 
(0,0) 
 36
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Uma bola é arremessada de cima para baixo com uma velocidade de módulo 0v , inclinada de um 
ângulo 0 em relação à horizontal, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo é H, conforme 
figura abaixo. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine: (a) o instante após o 
arremesso que a bola atinge o solo e (b) as componentes horizontal e vertical da velocidade com 
que a bola atinge o solo. Dê suas respostas em termos das grandezas H, g, 0 e 0v que se 
fizerem necessárias. Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Em 0,1  ytt 
g
senvgHsenv
t
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
g
gHsenvsenv
t
Htsenvgt
gttsenvH
gttsenvH
gttsenvHy
000
22
0
1
0
22
000
1
0
22
000
1
0
22
000
1
100
2
1
2
1100
2
1100
2
00
2
0
2
2
242
2
842
022
220
2
10
2
1
















)(
 
0,0 
+ y 
H 
0v
 
+ x 
0 
)( Hygsenvv
gtsenvv
gttsenvHy
y
y



2
2
1
0
22
0
2
00
2
00



 
00
00


cos
cos
vv
tvx
x 
 
Equações do movimento 
(c) Cálculo da componente 
vertical: 
 Em yy vvy 1,0  
gHsenvv
gHsenvv
Hgsenvv
Hygsenvv
y
y
y
y
2
2
02
2
0
22
01
0
22
0
2
1
0
22
0
2
1
0
22
0
2








)(
)(
 
 
 Cálculo da componente 
horizontal: 
 
 001 cosvvv xx  
t1 xv1
 
yv1
 
(a) Em x = D, y = H 


cosv
Dt
t.cosvx
0
0
 
 
HhD
gDv
HhD
v
gD
v
gDDhH
v
Dg
v
DsenvhH




2
0
2
0
2
2
0
2
22
0
2
0
0 2
1
 coscos
 
 
(b) Por conservação da energia mecânica, 
tomando o solo como nível de referência: 
 
)(
)(
).().(
hHg
HhD
gDv
hHgvv
gHvghv
vgHvgh
mvmgHmvmgh
EE fMeciMec






2
2
22
22
2
1
2
1
2
2
0
2
2
0
2
22
0
22
0
 
 37
11. Uma pedra presa a um cordão de comprimento L é girada por um menino, fazendo um círculo 
horizontal a uma altura H acima do solo. A pedra dá N voltas em um intervalo de tempo  t e, 
durante o movimento, o módulo da velocidade permanece constante. Ao passar pelo ponto A o 
cordão arrebenta e a pedra é arremessada ao solo. Determine: (a) o módulo da aceleração 
centrípeta da pedra durante o movimento circular; (b) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo 
e (c) o vetor deslocamento da pedra desde o instante em que ela é arremessada até o instante em 
que atinge o solo Expresse suas respostas em termos das grandezas 
L, N,  t , H, g e dos vetores unitários que se fizerem necessários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iˆ 
jˆ 
H 
L 
(a) A aceleração centrípeta da pedra em MCU é 
dada por: 
R
va
2
0 . O raio da trajetória é L e, 
uma vez que a pedra executa N rotações em 
um intervalo de tempo t a velocidade de 
rotação será: 
t
LNv 
 2.0 . 
Assim: 2
222222
)(
4)/(4
t
LN
L
tLNa 
 
(b) No momento em que o cordão arrebentar a pedra 
será arremessada horizontalmente, em queda livre, 
com velocidade de módulo v0 (calculado no item a). 
 
gaevHy
aevvx
yy
xx


0,
0,0
00
000 
Para o movimento de queda livre da pedra temos: 
 Hygvegtvevv
gtHyetvx
yyx 

2
2
1
2
0
2
0 
Quando a pedra atinge o solo sua velocidade será: 
 
gHvsejaou
gHHgve
t
LNvv
y
yx
2:
2022. 20



 
Assim, jgHi
t
NLv ˆ2ˆ2 
 
0v
 
0
+ y 
(c) O vetor deslocamento da pedra desde o 
instante em que é arremessada até atingir 
o solo será: 
yxr   
 
Cálculo do tempo de queda: 
g
HtHgt
gtH
gtHy
2
2
1
2
10
2
1
2
2
2



 
 
jHi
g
H
t
NLrAssim
HHy
e
g
H
t
NLtvx
ˆˆ22:
0
22
0






 
 38
12. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo localizado a uma distância D. A bala acerta o 
alvo em um ponto localizado a uma altura h abaixo do ponto visado. A aceleração da gravidade 
local vale g. Determine (a) o tempo de vôo da bala e (b) o módulo da velocidade da bala ao sair da 
carabina. Expresse suas respostas em função de D, h e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tvx
avvx
tatvxx
xx
xx
0
000
2
00
00
2
1



,, 
 
(a) 
g
ht
gth
gth
gty
gavy
tatvyy
yy
yy
2
2
2
1
2
1
00
2
1
2
2
2
00
2
00






,,
 
 
(b) 
h
gDv
g
hvDtvD
2
2
0
00


 
 
 
 
 
 
?0 v 
h 
D 
x 
y 
 39
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
1. (a) Em uma competição de salto à distância tem alguma importância quão alto é o salto? 
 Quais os fatores que determinam o alcance do salto? Explique. 
 (b) Em que ponto de sua trajetória um projétil alcança a sua velocidade mínima? E a 
 máxima? 
 (c) No mesmo instante em que a bala sai horizontalmente do cano de uma arma, você larga 
 um corpo da mesma altura do cano. Desprezando a resistência do ar, qual dos dois 
 chegará primeiro ao solo? Explique. 
 (d) Um projétil é disparado de baixo para cima, a um ângulo  acima da horizontal com 
 velocidade inicial v0, num local a gravidade é g. Na sua altura máxima,determine o seu 
 vetor velocidade e seu vetor aceleração. 
 
2. A partícula A se move ao longo da reta y = 30 m com velocidade 
constante v de módulo igual a 3,0 m/s na direção paralela ao eixo x 
positivo. Uma partícula B parte da origem com velocidade nula e 
aceleração constante a de módulo igual a 0,40 m/s², no mesmo 
instante em que a partícula A passa pelo eixo y. Que ângulo  
entre a e o eixo y positivo resultaria em um choque entre as duas 
partículas. 
3. Uma partícula parte da origem com uma velocidade inicial smiv /)ˆ00,3( e uma aceleração 
constante 2/)ˆ500,0ˆ00,1( smjia  . Quando a partícula atinge a sua coordenada x 
máxima, quais são (a) a sua velocidade e (b) o seu vetor posição. 
 
4. Uma arma localizada a 40 m acima de uma planície horizontal, dispara horizontalmente um 
projétil com uma velocidade inicial de 300 m/s. (a) Quanto tempo o projétil permanece no 
ar? (b) A que distância horizontal ele atinge o solo? (c) Qual o o vetor velocidade do projétil 
quando ele atinge o solo? 
 
5. Um rifle tem velocidade de disparo de 460 m/s e atira uma bala num alvo situado a 46 m. 
 A que altura acima do alvo o rifle deve apontar para que a bala acerte nele? 
 
6. Uma bola rola para fora de uma mesa de 1,0 m de altura. A bola atinge o solo em um ponto 
1,2 m horizontalmente distante da borda da mesa. Determine: (a) a velocidade da bola no 
 instante em que saiu da mesa; (b) a velocidade da bola no instante em que toca o solo. 
 
7. Uma bola é atirada do chão para o ar. Quando ela atinge uma altura de 9,0 m, a velocidade 
é dada por: jiv ˆ3ˆ6  , em m/s. (a) Até que altura a bola subirá? (b) Qual será a distância 
horizontal total percorrida pela bola. (c) Qual é a velocidade da bola no instante em que ela 
toca o chão? 
8. Uma bola de futebol é chutada com velocidade inicial 0v

 e com um ângulo de inclinação de 
 45º acima da horizontal. Qual deve ser o valor de 0v

 para que a bola atinja a linha de gol, 
 situada a 80 m do local do chute? 
 
9. De um bombardeiro, mergulhando em um ângulo de 60º com a vertical, solta-se uma bomba 
a uma altitude de 700 m. A bomba atinge o solo 5,0 s após ser solta. (a) Qual é a velocidade 
do bombardeiro? (b) Qual a distância que a bomba percorre horizontalmente durante o seu 
trajeto? (c) Qual o vetor velocidade da bomba no instante em que atinge o solo? 
 
10. A velocidade de lançamento de um certo projétil é cinco vezes a velocidade que ele possui 
na sua altura máxima. Calcule o ângulo de lançamento. 
 
x 
y 
 
A 
B 
v 
a 
 40
11. Dois segundos após ser projetado do nível do chão, um projétil se deslocou 40 m na 
 horizontal e 53 m na vertical acima do seu ponto de lançamento. (a) Quais são as 
 componentes horizontal e vertical da velocidade de lançamento do projétil? (b) No instante 
 em que o projétil alcança a sua altura máxima acima do nível do solo, qual a distância 
 percorrida na horizontal a partir do ponto de lançamento? 
 
12. Um astronauta é colocado para girar em uma centrífuga horizontal em um raio de 5,0 m. 
 (a) Qual o módulo de sua velocidade linear se a aceleração centrípeta possui um módulo de 
 7,0g. (b) Quantas rotações por minuto são necessárias para produzir esta aceleração? 
 (c) Qual é o período do movimento? 
 
13. As pás de um ventilador completam 1200 voltas por minuto. Considere a ponta de uma pá, 
 que está em uma raio de 0,15 m. (a) Que distância a ponta da pá percorre em uma volta? 
 Quais são os módulos (b) da velocidade e (c) da aceleração da ponta? (d) Qual o período do 
 movimento? 
RESPOSTAS 
1. .............................................. 8. smv /,3280  
2.  = 60º 
9. a) smv /2300  
 b) mx 996 
 c) smjiv /)ˆˆ( 165199  
3. a) smjv /)ˆ,( 51 
 b) mjir )ˆ,ˆ,( 25254  10. º,578 
4. a) st 832, 
 b) md 5848, 
 c) smjiv /)ˆ,ˆ( 328300  
11. a) 
smv
smv
y
x
/,
;/
536
20
0
0


 
 b) mx 73 
5. mh 50, 
12. a) smv /,718 
 b) rpmf 36 
 c) sT 671, 
6. a) smiv /)ˆ,( 720  
 b) smjiv /)ˆ,ˆ,( 5472  
13. a) ms 9420, 
 b) smv /,8418 
 c) ²/ smac 2366 
 d) sT 050, 
7. a) mH 459, 
b) mx 516, 
c) smjiv /)ˆ,ˆ( 8136  
 
 
 41
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Uma caixa de peso P é arrastada para cima, em um plano inclinado de  graus com a 
horizontal, por uma força horizontal constante de módulo F, conforme ilustrado abaixo. O 
coeficiente de atrito entre a caixa e o plano vale c. Em função das grandezas fornecidas 
obtenha, em termos de c, P e , uma expressão para o módulo da força F que fará com que a 
caixa suba o plano com velocidade constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO 
 
CAPÍTULO 5- APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 
 
 
  
F

 
Uma vez que a caixa é arrastada plano 
acima com velocidade constante, podemos 
concluir que: 
   00 yx FeF 
 
 FsenPcosN
FPNF yyy

 0 
 
A força de atrito cinético é dada por: 
)(.  FsenPcosNf ccc  
 
P

y 
cf

 
N

 
xP

 
yP

 
F

 
x 
 
  yF 
xF

 
  
 cosPPePsenP yx  
 FsenFeFF yx  cos 





sencos
PcosPsen
F
PcosPsensencosF
PcosPsenFsenFcos
FsenPcosPsenFcos
fPFF
c
c
cc
cc
c
cxxy






)(
0)(
0
 
 
 
 42
2. Dado o sistema em equilíbrio ilustrado abaixo, determine a tensão em cada uma das cordas 
T1, T2 e T3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Imagine que você esteja sustentando um livro de 4 N em repouso sobre a palma da sua mão. 
Complete as seguintes sentenças: 
a) Uma força de cima para baixo de módulo igual a 4 N é exercida sobre o livro pela Terra. 
b) Uma força de baixo para cima de módulo 4 N é exercida sobre o livro pela palma da sua 
 mão. 
c) É a força de baixo para cima do item (b) a reação da força de cima para baixo do item (a)? 
 Não. 
sen 37º = cos 53º = 0,6 
sen 53º = cos 37º = 0,8 
37° 53° 
P=500N 
 T2 T3 
 
 
 T1 37° 53° 
y 
P

 
3T

 
1T

 
2T

'
1T

 
x 
xT3

 
yT3

xT2

yT2

Uma vez que o sistema se encontra em equilíbrio, temos, para o 
objeto suspenso: 
 
500NTT '11 


NPT
PTFy
500
0
'
1
'
1
 
 
2323
23
2323
3
4
60
80
3753
0
TTTT
cosTcosT
TTTTF xxxxx



,
,
 
400NT
300NT
3
2











300
3
4
3
4
1500050
150001832
50006
3
48
500068
5006080
3753
0
23
2
22
22
23
23
123
123
TT
T
TT
TT
TT
TT
TsenTsenT
TTTF yyy
,,
 
 
 
 43
d) A reação da força do item (a) é a força de módulo 4 N exercida sobre a Terra pelo livro. 
 Seu sentido é para cima. 
e) A reação da força do item (b) é a força de módulo 4 N exercida sobre a mão pelo livro. 
f) As forças dos itens (a) e (b) são iguais e opostas em virtude da Primeira Lei de Newton. 
g) As forças dos itens (b) e (e) são iguais e opostas em virtude da Terceira Lei de Newton. 
Suponha agora que você exerça sobre o livro uma força de baixo para cima de módulo igual a 5 
N. 
h) O livro permanece em equilíbrio? Não. 
i) É a força exercida pela suamão igual e oposta à força exercida sobre o livro pela Terra? 
 Não. 
j) É a força exercida sobre o livro pela Terra igual e oposta à força exercida sobre a Terra pelo 
 livro? Sim. 
k) É a força exercida sobre o livro pela sua mão igual e oposta à força exercida sobre sua 
 mão pelo livro? Sim. 
Finalmente, suponha que você retire subitamente sua mão enquanto o livro se move para 
cima? 
l) Quantas forças atuam agora sobre o livro? Uma (a força gravitacional). 
m) O livro está em equilíbrio? Não. 
 
 
4. Um bloco A, de massa igual a 3m, desliza sobre um plano, 
inclinado de um ângulo  em relação à horizontal, com 
velocidade constante, enquanto a prancha B, de massa m, 
permanece em repouso sobre A. A prancha está ligada por um 
fio ao topo do plano. 
a) Faça um diagrama de todas as forças que atuam sobre 
o bloco A e sobre a prancha B, identificando-as. 
b) Determine o coeficiente de atrito estático entre A e B e entre A e a superfície do plano 
inclinado, sabendo que ambos são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A )(SAcf

 
SN

 
BAN

 )(BAc
f

 
AP

 
B 
ABN

 
)( ABcf

 
BP

 
T

 
AdePeso:
AblocooeplanoentreoatritodeForça:
AblocooeBpranchaaentreatritodeForça:
AblocoosobreBpranchadanormalReação:
AblocoosobreplanodonormalReação:
)(
)(
A
BAS
BAc
BA
S
P
f
f
N
N





 
BdePeso:
fionoTração:
AblocooeBpranchaaentreatritodeForça:
BpranchaasobreAblocodonormalReação:
)(
A
ABc
AB
P
T
f
N




B 
ABN

 
)( ABcf

 
BP

 
T

 
xBP

 
yBP

 
A 
)(SAcf

 
SN

 
BAN

 )(BAc
f

 
AP

 
xAP

 
yAP

 
 
Uma vez que, o bloco A desce o plano 
inclinado com velocidade constante e a 
prancha B permanece em repouso, pela 1ª 
Lei de Newton, para ambos os corpos, o 
.0F 
Temos ainda que: 
)()(
3
BAcABc
ABBA
BA
ff
NN
mgPemgP



 
 
A
B
 44
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Os blocos A, B e C são dispostos como 
indicado na figura ao lado e ligados por 
cordas de massas desprezíveis. As massas 
de A e B são iguais a M e o coeficiente de 
atrito cinético entre cada bloco e a superfície 
é c. O bloco C desce com velocidade 
constante. Determine a massa do bloco C 
(em termos de c,  e M). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corpo A 0 yF 
mgcosθN
mgcosθmgcosθN
mgcosθNN
PNNF
S
S
BAS
yABASy
4
3
3
0




 
 
mgcosθf
Nf
cSAc
ScSAc
4)(
)(


 
 
Corpo A 0 xF 





tan
5
3
5
3
53
043
0)()(
c
c
c
cc
SAcBAcxAx
mgcosθ
mgsenθ
mgcosθmgsenθ
mgcosθmgcosθmgsenθ
ffPF
 
Corpo B 
mgcosθPN
PNF
yBAB
yBABy

 0
 
mgcosθf
Nf
cABc
ABcABc


)(
)( 
 A 
B 
C 
 
CT

 
CP

 
C 
A 
AT

P
)( Acf

 
AN

 
 
CT

 
AT

P

 
B 
)( Bcf

 
BN

 




MgPNF
MgfTF
Ay
cACAx
0
0 )(  
θ
θ
senθ
cos
cos
)(
)(
Mgf
MgNF
MgfTTF
cBc
By
BcACx





0
0
 
  gmPTF CCCy 0   θcos1θsen
θ)cosθsen(
θcosθsen.
θsen.
θsen.
e
)()(
)(








Mm
Mm
MgMgMggm
fMgfgm
fMgTTgm
C
ccC
ccC
BcAcC
BcACC
 45
6. Uma caixa de massa M é arrastada sobre uma superfície horizontal através de uma corda inclinada 
de um ângulo  acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é c 
e o módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine o módulo da força exercida pela corda 
sobre a caixa de tal forma que a mesma desloque com velocidade constante, em função de M, g, c 
e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. O bloco A da figura abaixo possui peso P. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a 
superfície na qual ele repousa vale 1/3. Determine o máximo valor do peso do bloco B (em função 
de P) para o qual o sistema permanece em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
Dados: sen = 3/5 
 cos = 4/5 
 
B 
A 
AP

 
AT

 AT 

 
BT

 
BT 

 
CT

 
CxT

 
CyT

 
BP

 
N

 
ef

 
Para que o sistema permaneça 
em repouso: 
PT
NT
fT
eA
eA
máxeA




 .)(
 


sen
PT
senTPTT
B
C
CBBB


 



tan
PT
cos
sen
PT
cosTT
B
A
B
A
CA



 
PP
PP
PP
PtanP
P
tan
PTT
máximoB
B
B
cB
e
B
AA
4
1
4
1
4
3
3
1
)( 






 
4
3
4
5
5
3




tan
tan
 
 
 
N

 
F

 
P

 
cf

 xF

 
yF

 
x
y 


FsenF
FcosF
MgP
y
x



 
 




FsenMgf
Nf
FsenMgN
MgFsenN
PFNF
cc
cc
yy
0
0
 
 





sencos
Mg
F
Mg)sencos(F
FsenMgFcos
)FsenMg(Fcos
fFF
c
c
cc
cc
c
cxx
0
0
0
 
 46
8. Duas cordas A e B suportam um corpo de peso P conforme mostrado na figura abaixo. A corda B 
passa por uma polia de inércia desprezível e sem atrito. Os pontos extremos da corda B estão 
unidos à corda A e à corda que suporta o corpo no ponto O. Determine as tensões nas cordas A e 
B, sabendo que o sistema está em repouso. Respostas em função do peso P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
A B B 
O 
5
4cos
5
3cos




sen
sen
 
   
BT

 
O 
yBT

 
AT

 
P

 
yAT

 
xBT

 
BT 

 
xAT

 
yBT 

 
BB
ByBBxB
ByBBxB
AyAAxA
TT
senTTcosTT
senTTcosTT
senTTcosTT







 
Aplicando a 1ª condição de equilíbrio: 
 1
4
7
443
5
4
5
4
5
3
0
0
0
BA
ABB
ABB
ABB
xAxBxB
x
TT
TTT
TTT
cosTcosTcosT
TTT
F







 xB
T  
PT
PT
PTTT
PTTT
TTdoSubstituin
PTTT
PTTT
PsenTsenTsenT
PTTT
F
B
B
BBB
BBB
BA
ABB
ABB
ABB
yAyByB
y
49
20
2049
20211216
45
4
7334
4
7:
5334
5
5
3
5
3
5
4
0
0













 
PT
PT
TT
A
A
BA
49
35
49
20
4
7
4
7





 
 47
9. Um corpo A, de peso 4P, está sobre um plano inclinado de um ângulo  e preso por um fio que 
passa por uma pequena roldana sem atrito no qual se encontra suspenso um outro corpo (B) de 
peso variável, conforme a figura abaixo. O coeficiente de atrito estático entre o corpo A e o plano é 
4
1 . Determine (a) o maior valor do peso de B e (b) o menor valor do peso de B para que o 
sistema permaneça em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
5
3
5
4cos




sen
 
 
 
BP

 
P

4 
yP

4 
xP

4 
N
T

T

)(máxef

 
Para o bloco A: 
PPf
Pcosf
Nf
PcosN
F
máxe
emáxe
emáxe
y
5
4
5
44
4
1
4
4
0
)(
)(
)(








 
 
 
BP

 
P

4 
yP

4 
xP

4 
N

 T

T

)(máxef

 
Se: PB  4Px  PB(máximo) 
PPPP
PPP
fPsenT
F
B
B
máxe
x
5
16
5
4
5
34
5
4
5
34
4
0
)(





 
Se: PB  4Px  PB(mínimo) 
PPPP
PPP
PsenfT
F
B
B
máxe
x
5
8
5
4
5
34
5
34
5
4
4
0
)(





 
Para o bloco B, qualquer que seja a 
situação: 
BPT
F

 0 
 48
10. A massa do bloco A na figura ao lado é 
M e a massa do bloco B é 2M. O 
coeficiente de atrito cinético entre o 
bloco A e a mesa é 0,50. Os blocos são 
ligados por um fio de massa desprezível 
e os atritos na roldana e entre o bloco B 
e o plano inclinado podem ser 
desprezados. A aceleração da gravidade 
local tem módulo g. Determine (a) a 
tensão no fio e (b) a aceleração dos 
blocos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando as Leis de Newton aos movimentos 
dos blocos A e B temos: 
Bloco A 
MgMaT
MafT
MaF
MgNf
MgPNF
c
x
Acc
AAy
50,0
50,0.
0







 
 
Bloco B 
MaTP
MaF
MgPNF
xB
x
yBBy
2
2
º30cos0





 
(b) 
 
ga
MaMg
MaMgMaMg
MaTP xB
6
1
350,0
250,0
2




 
 
 
(a) 
MgT
MggMT
MgMaT
3
2
2
1
6
1
50,0





 
 
 
A 
B 
 30º 
866,030cos50,030sen  oo e 
aaa
TT
MgP
MgMgP
AB
yB
xB




º30cos2
º30sen2
 
A 
B 
 30º 
AP

 
BP

 
yBP

 
xBP

 
BN

 
AN

 
cf

 T

 
T 
Aa
 
Ba
 
 49
11. Uma caixa de massa m desliza para baixo, apoiada em uma superfície inclinada de um ângulo  
com a horizontal, empurrada por uma força horizontal cujo módulo é F. O coeficiente de atrito 
cinético entre a caixa e a superfície é c e o módulo da aceleração da gravidade local é g. (a) Faça 
um diagrama de corpo isolado para a caixa. Determine (b) a força de atrito cinético sobre a caixa; 
(c) a aceleração da caixa e (d) o módulo da força F

para que a caixa deslize para baixo com 
velocidade constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 0 NPFF yyy 
  cosmgFsenN
PFN yy


 
 
)cos(  mgFsenNf ccc  
 
 
(c) xx maF  
)cos()(cos
)cos()(cos
)cos(cos



cc
cc
c
cxx
sengsen
m
Fa
masenmgsenF
mamgFsenmgsenF
mafPF




 
(d) Para que a caixa deslize com velocidade 
constante, a aceleração deverá ser igual a zero. 
 
)cos(
)cos(
)cos()(cos
)cos()(cos
0)cos()(cos
0)cos()(cos












sen
sen
mgF
sengsen
m
F
sengsen
m
F
sengsen
m
F
sengsen
m
Fa
c
c
cc
cc
cc
cc
 
 
 
(a) 
xP

 
F

N

 P

 
cf

 
xF

 
yF

 
yP

   


cos
cos
mgPmgsenP
FsenFFF
yx
yx


 
y 
x 
0 yx aaa 
 
F

 50
12. Um trenó cheio de estudantes em férias (massa total M) escorrega para baixo numa encosta de 
montanha cujo ângulo de inclinação é . Determine, em função dos vetores unitários que se 
fizerem necessários, o vetor aceleração do trenó quando: 
Faça uso de ilustrações, eixos cartesianos de referência, e represente os dados pertinentes. Faça o diagrama 
do corpo isolado para cada situação. Utilize g para a aceleração da gravidade. 
(a) a montanha está coberta de gelo (supor c = 0); 
Dados: M,  e c = 0 (fc = 0) 
Representação gráfica: 
 
 
mgP  (1)
 cosmgPy (2)
 senmgPx (3)
Como não há atrito ao longo do declive, 
0 Nf cc , a análise a seguir, da resultante 
das forças ao longo do eixo y, que fornecerá o 
valor da normal (N), torna-se dispensável. 
Em y: 0 yy PNF (4)
  cosmgN (5)
Em x: xxx maPF  (6)
 xmamg sen (7)
  sengax 
ou )ˆ(sen iga  (8)
(b) a montanha está coberta de neve (c > 0). 
Dados: M,  e c > 0 (fc > 0) 
Representação gráfica: vide figura acima. 
De modo similar ao item (a), tem-se: 
mgP  (1)
 cosmgPy (2)
 senmgPx (3)
Nf cc  (4)
Em y: 0 yy PNF (5)
  cosmgN (6)
Em x: xcxx mafPF  (7)
Usando (3), (4) e (6) em (7), obtém-se 
 xe mamg  )cos(sen (8)
 )cos(sen  ex ga 
ou )ˆ()cos(sen iga e  (8)
 
 
x 
y 
 
 g 
P

 
N

 
yP

 
cf

 
xP

 sentido do movimento
 51
+y 
+x ef

 
31 PP
  
)( 31 PPN
  
1T

 1 
+y 
+x 
cf

 
1P

 
1PN
  
1T

 1 
1a
 
+y 
2P

 
22 PT
  
2 
+y 
2P

 
2T

 
2 2a
 
13. Os blocos 1 e 2 da figura ao lado têm massas m1 e m2, 
respectivamente. Considere que o fio seja inextensível, 
que não haja atrito na polia e que as massas do fio e da 
polia sejam desprezíveis. Sejam e e c os coeficientes 
de atrito estático e cinético entre o bloco 1 e a mesa, 
respectivamente. 
a) Determine a massa mínima do bloco 3 (m3) para 
impedir que o bloco 1 deslize. 
b) Determine a aceleração do bloco 2, quando o bloco 
3 é removido subitamente de cima do bloco 1. 
 
Resolução: 
Dados: m1 , m2 , e , c e g 
Ilustração: Diagrama do corpo livre. 
(a) Bloco 1: 
P = mg (1) 
Em y: 0 yF 
0)( 31  PPN 
31 PPN  (2)
Como Nf ee  
)( 31max PPNf eee   (3)
Em x: 0 xF 
01  efT 
)( 311 PPfT ee   (4)
Bloco 2: 
Em y: 0 yF 
022  PT 
22 PT  (5) 
Mas 21 TT  , então, de (4) e (5), obtém-se 
1
2
3 P
PP
e
  1
2
3 m
mm
e
 (6)
(b) Bloco 1: 
Em y: 0 yF 
01  PN 
gmPN 11  (7)
Então gmNf ccc 1  (8)
Em x: 11amFx  
111 amfT c  
)( 111 agmT c   (9)
Bloco 2: 
Em y: 22amFy  
2222 amPT  
)( 222 agmT  (10) 
Mas 21 TT  e 21 aa  , então, de (4) e (5), tem-se 
 g
mm
mma e 





21
12 (11)
 
m1 
m2 
m3 
 52
14. Os blocos A e B são dispostos sobre 
superfícies sem atrito, como indicado na 
figura ao lado e ligados por cordas de 
massas desprezíveis. As massas de A e B 
são iguais a M. Determine a aceleração dos 
blocos e a tensão na corda que os une. 
Expresse suas respostas em termos das 
grandezas M, g e  que se fizerem 
necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Uma pilha de 3 blocos iguais, de mesma massa m, encontra-se apoiada 
sobre o pisode um elevador, como representado na figura ao lado. O 
elevador está subindo em movimento uniformemente retardado com uma 
aceleração de módulo a. Determine o módulo da força que o bloco 1 
exerce sobre o bloco 2. Considere g o módulo da aceleração da gravidade 
local. 
 
Diagrama de corpo livre dos blocos 1, 2 e 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bloco B 
  θcos0 MgNF By 
Ma-θsen
θsen
MgT
MaTMgmaF xx

 
Bloco A 
MaTmaF xx  
θsen
2
1
θsen2-θsen
ga
MgMaMaMaMg


 θsen
2
1θsen
2
1 MggMTMaT 

 
A 
B 
 
TTT AB 
A 
AT

P

AN

 
 
BT

P

B 
BN

 
a 
3
2
1
a 
Aplicando a 2ª Lei de Newton ao 
movimento dos blocos temos: 
Bloco 3 
mamgN
maNP


3
3 
Bloco 2 
)(2
22
2
2
2
32
23
agmN
mamgN
mamamgmgN
maNmgN
maNNP





 
3 
2 
1
P

 
P

 
P

 
1N

 
2N

 
2N 

 
3N 

 
3N

 
(+) 
a 
Pela 3ª Lei de Newton: 
3322 NNeNN  
 53
16. Um bloco A, de massa igual a M é colocado sobre um bloco B, de massa igual a 2M. Este, por 
sua vez é colocado sobre o bloco C, de massa igual a 3M, que se encontra apoiado sobre o 
piso de um elevador (figura abaixo). Sabendo que o módulo da aceleração da gravidade local 
vale g e que o elevador está subindo com aceleração igual a 0,5g, calcule o módulo da força 
que o piso do elevador exerce sobre o bloco C. (Dados: M e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Um bloco A de massa 2M está apoiado em um plano, inclinado de 30° com a horizontal. Um 
segundo bloco (B) de massa 4M está ligado ao primeiro por uma corda que passa por uma polia. O 
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado vale 
3
3 . A corda é leve e o atrito 
com a polia é desprezível. A aceleração da gravidade é g. 
 
a) Indique na figura o sentido da aceleração de cada bloco. Explique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine a aceleração dos blocos em função de g. 
 
aA 
B 
C 
 
 30° 
 2M 4M 
 A B 
2
330
2
130  cossen 
N

 
AP

 
BP

 
CP

 
a 
Considerando o sistema constituído pelos três blocos: 
MggMN
ggMN
gaMN
MaMgN
ammmPPPN
amF
CBACBA
sistsist
9
2
36
)
2
1(6
)(6
66
)()(
..






 
 
30° 
BP

 
BT

 
AT

 
AP

 yAP

 
xAP

 
N

 
cf

 
Para o bloco A: 
MgMgN
MgcosNFy
32
32
0302


 
Assim: 
MgMgNf cc  3.3
3
 
MgMgsenP xA  302 
 
y
Uma vez que: cxAB fPP  , o bloco A moverá para cima e o bloco B para baixo, com aceleração 
de módulo a. 
x
a 
a
 54
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determine a tração na corda em função de M e g. 
 
Pela equação (1) ou (2) podemos calcular o valor da tração na corda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. No sistema ilustrado abaixo, três blocos são ligados por cordas leves. As massas de A, B e C são, 
respectivamente, 2M, 3M e 5M. Os blocos descem em movimento acelerado, com uma aceleração 
cujo módulo é 0,1g, onde g é o módulo da aceleração da gravidade local. Determine: (a) o módulo 
da força F

 aplicada sobre o bloco A e (b) as tensões nas cordas que unem os blocos A e B e os 
blocos B e C. Apresente suas respostas em função das grandezas M e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a 2ª Lei de Newton para os movimentos dos blocos A e B temos:
Bloco A: 
)1(22
2
MaMgT
MaMgMgT
amPfTF
A
A
AAxAcAx



 
Bloco B: 
)2(44
44
MaMgT
MaTMg
amTPF
B
B
BBBBB



 
Uma vez que TB = TA, igualando as equações (1) e (2): 
 
ga
MgMa
MaMgMaMg
3
1
26
4422



 
MgT
MgMgT
gMMgT
MaMgTEq
A
A
A
A
3
8
3
22
3
122
22:)1.(




 
 
Ou: 
MgT
MgMgT
gMMgT
MaMgTEq
B
B
B
B
3
8
3
44
3
144
24:)2.(




 
 
F

 
C 
A 
B 
C 
F

 
A 
B 
BCT

 
ABT

 
BAT

 
CBT

 
BP

 
AP

 
CP

 
ga  1,0 
ga  1,0 
ga  1,0 
Para o bloco A: 
)1(8,1
)1,0(22
22
)(
1
1
1
1
MgTF
gMTMgF
MaTMgF
amTPF
amF
AA
A





 
Para o bloco B: 
)2(7,2
)1,0(33
33
)(
21
21
21
21
MgTT
gMTMgT
MaTMgT
amTPT
amF
BB
B





 
Para o bloco C: 
)3(5,4
)1,0(55
55
)(
2
2
2
2
MgT
gMMgT
MaMgT
amPT
amF
CC
C





 
1TTT BAAB  
2TTT CBBC  
 55
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. Dois corpos A e B, ligados por uma corda que passa por uma pequena roldana sem atrito, estão 
sobre superfícies inclinadas, sem atrito, conforme ilustrado abaixo. As massas de A e B são, 
respectivamente, M e 2M e o módulo da aceleração da gravidade local é g. (a) Em que sentido o 
sistema se move? Explique. (b) Determine a aceleração dos corpos e (c) a tensão na corda que os 
une. Dê suas respostas em função das grandezas M e g que se fizerem necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B 
30° 53°
Use, se necessário: 
cos30° = 0,87 e sen30° = 0,50 
cos53° = 0,60 e sen53° = 0,80 
Pela equação (3): 
MgTTT CBBC 5,42  
 
Pela equação (2): 
MgTTT
MgT
MgMgT
MgTT
BAAB 2,7
2,7
7,25,4
7,2
1
1
1
21




 
Pela equação (1): 
MgF
MgMgF
MgTF
0,9
8,12,7
2,21



 
 
 
BN

 
AB 
30° 
53° 30° AP

 
BP

 
53° BxP

 
ByP

 
AyP

 
AxP

 
AN

 B
T

 AT

 
a a
MgMgsenPP
MgsenPP
TTT
BBx
AAx
BA
0,150,0.230
80,0.53



 
(a) Uma vez que PBx  PAx os corps A e B se moverão 
para a esquerda com aceleração constante de módulo 
igual a a. (Veja no diagrama de forças). 
Para o corpo A: 
)1(80,0
80,0
MgMaT
MaMgT
amPTF AAxx



 
 
 
Para o corpo B: 
)2(20,1
20,1
MaMgT
MaTMg
amTPF BBxx



 
(a) Igualando as equações (1 e (2): 
ggga
MgMa
MaMgMgMa
067,0
15
1
3
20,0
20,03
20,180,0



 
 
(b) Substituindo o valor de a em (1): 
MgMgMgT
MggMT
MgMaT
867,0
15
13
3
6,2
80,0
3
20,0
80,0





 
 56
20. Um pequeno bloco é solto do repouso em um plano inclinado de um ângulo  com a horizontal. 
Após descer uma distância L ao longo do plano, com aceleração constante, o módulo de sua 
velocidade é Lg
5
4 , onde g é o módulo da aceleração da gravidade local. Determine (a) o 
módulo da aceleração do bloco (em função de g) e (b) o valor do coeficiente de atrito cinético 
entre o bloco e a superfície do plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
3
4
5
5
3




tan
tan
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
 
Dados: sen = 3/5 
 cos = 4/5 
 
yP

 
P

 
xP

 
cf

 
N

 
+x 
+y 
a) Cálculo da aceleração do bloco. 
ga
aLLg
aLLg
xavv
5
2
2
5
4
2
5
4
2
2
2
0
2







 
b) Cálculo do coeficientede atrito 
cinético. 
 
4
1
4
2
4
3
5
4
5
2
4
3
0












c
c
c
c
c
cx
x
ccc
y
y
g
g
gcos
atan
gcos
agsen
gcosagsen
MaMgcosMgsen
MafP
MaF
MgcosNf
MgcosPN
F








 
 57
21. Dois blocos A e B estão ligados por uma corda que passa por roldanas sem atrito. O bloco A 
encontra-se sobre uma superfície sem atrito, inclinada de um ângulo  com a horizontal e o bloco B 
sobre uma superfície horizontal também sem atrito. As massas de A e B são, respectivamente, 4M 
e 2M e o módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine (a) a aceleração dos blocos (em 
função de g) e (b) a tensão na corda que os une (em função de M e g). Dê suas respostas em 
função das grandezas M e g que se fizerem necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
 
Dados: sen = 21 
 cos = 23 
T 
BP

 
AP

 
AxP

 
AyP

 
AN

 
BN

 
T
  


MgsencosPP
MgsensenPP
AAy
AAx
4
4


 
Aplicando a 2ª Lei de Newton aos 
movimentos dos blocos A e B: 
Bloco A 
)1(44
44
MaMgsenT
MaTMgsen
amTPF AAxx




 
 
Bloco B 
)2(2MaT
amTF Bx

 
a) Uma vez que T = T’, igualando 
as equações (1) e (2): 
 
ga
ga
gsena
MaMgsen
MaMaMgsen
3
1
2
1
3
2
3
2
64
244








 
 
b) Substituindo a na equação (2): 
 
MgT
gMT
MaT
3
2
3
12
2



 
 58
22. Um bloco (1) de massa igual a M está preso a um fio, de comprimento L1, que está fixo na outra 
extremidade. Um segundo bloco (2), de massa 2M, está ligado ao primeiro por um fio de 
comprimento L2 (L2 = L1 = L), Os blocos giram num círculo horizontal sobre uma mesa sem 
atrito. O módulo da velocidade do bloco 1 é v e o módulo da velocidade do bloco 2 é 2v. 
Determine, em função de M, v e L, (a) a tensão no fio de comprimento L1 e (b) a tensão no fio 
de comprimento L2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m1 = M 
v1 = v 
R1 = L1 = L 
 
(a) Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento do 
bloco 1 temos: 
)1(
2
21
1
2
1
121
L
vMTT
R
vmTT
maF xx



 
 
Uma vez que 22 TT  , substituindo (2) em (1): 
L
vMT
L
vM
L
vMT
2
1
22
1
5
4


 
 
 
m2 = 2M 
v2 = 2v 
R2 = L1 + L2 = 2L 
 
(b) Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento do 
bloco 2 temos: 
 
)2(4
2
42
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
L
vMT
L
vMT
L
vMT
R
vmT
maF xx





 
 
 
 
 
1 2 
L1 L2 
2T

 

2T

 1T

 
2P

 
2N

 
1P

 
1N

 
 59
23. Um objeto de massa m preso a um fio de comprimento L é posto para girar em um círculo 
vertical. O módulo da velocidade do objeto ao passar pelo ponto A é v e ao passar pelo ponto B 
é 3v. Sabendo que o módulo da aceleração da gravidade local é g determine a diferença entre 
as tensões no fio nos pontos B e A (TB – TA). No ponto A, o fio forma um ângulo  com a 
vertical. (Faça o diagrama de corpo livre do objeto nos pontos A e B; expresse sua resposta em 
termos de v, m, , L e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Av
 
Bv
 
A 
B 
L 
 
BT

 
A 
B 
L 
 
P

 
AT

 
P
LR
vv
vv
B
A



3 
No ponto A: 



 





cos
cos
cos
2
2
2
g
L
vmT
L
mvmgT
R
mv
PTF
A
A
A
Ac
 
 
A força centrípeta nos pontos A e B é a resultante das forças que atuam na direção do centro. 
No ponto B: 



 



g
L
vmT
L
vmmgT
L
vmmgT
R
mv
PTF
B
B
B
B
Bc
2
2
2
2
9
9
)3(
 
A diferença entre TB e TA será, portanto: 
 



 





 


 
)cos1(8
)cos1(8
cos9
cos9
2
2
22
22




g
L
vmTT
mg
L
vmTT
mg
L
vmmg
L
vmTT
g
L
vmg
L
vmTT
AB
AB
AB
AB
 
 60
 
 
sT

 
syT

 
sxT

 ixT

 
iT

 
iyT

 
P

 
+y 
+x 
g 
24. Uma esfera de peso P é presa a uma barra 
vertical por meio de duas cordas. Quando o 
sistema gira em torno da barra, as cordas se 
distendem conforme indicado na figura. 
Determine (a) o módulo da tração na corda 
inferior (Ti) e (b) a velocidade de rotação, v, 
para que o módulo da tensão na corda superior 
seja Ts = 2P. A aceleração da gravidade é g. 
 
Resp.: LgP 99,0;
4
3
 
 
 
Resolução: 
Dados: P, Ts = 2P e g 
Ilustração: Diagrama do corpo livre. 
Baseando na figura fornecida no enunciado e no 
diagrama acima, tem-se: 
8,08,0 
L
Lsen (1)
6,01cos 2   sen (2)
PPTT ssx 2,1)6,02(cos   (3)
PPsenTT ssy 6,1)8,02(   (4)
iiix TTT 6,0cos   (5)
iiiy TsenTT 8,0  (6)
(a) Em y: 0 yF 
0 PTT iysy (7)
Substituindo (4) e (6) em (7), obtém-se 
 PPTi 4
3
8,0
)0,16,1(  (8) 
 
 
(b) Em x: cx maF  







r
v
g
PTT ixsx
2
, (9)
sendo LLr 6,0cos   (10)
Substituindo (4), (6), (8) e (10) em (9), obtém-se 
 )6,0()6,0
4
32,1(2 L
P
gPv 

 
 Lgv 99,0 (11)
 
 
 
1,6 L 
L 
L 
 61
25. Um pequeno objeto, abandonado do repouso no ponto P, desliza ao longo de um “loop” sem 
atrito, de raio R. No ponto mais alto do “loop” (ponto A) a velocidade do objeto é v = Rg2 . No 
ponto C a velocidade do objeto é v2 e no ponto mais baixo (ponto B) a velocidade 
vale v3 . Determine a razão entre as forças exercidas sobre o objeto pela parede do “loop” 
(a) nos pontos C e A (NC/NA) e (b) nos pontos B e A (NB/NA). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
A 
B 
C 
P Diagramas de forças 
Ponto C 
Ponto A 
Ponto B 
AN

 
CN

 BN

 
P

P

P

mgmg
R
RgmN
R
vmmgNmaF
A
A
Acy


2
2
mg
R
RgmN
R
v
mNmaF
C
C
Ccx
44
2


 
Ponto C 
Ponto A 
Ponto B 
mgmg
R
RgmN
R
vmmgNmaF
B
B
Bcy
76
2


(a) 44 
mg
mg
N
N
A
C 
(b) 77 
mg
mg
N
N
A
B 
 62
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
1. Dois homens e um rapaz desejam empurrar um caixote na direção marcada x conforme ilustrado 
na figura abaixo. Os dois homens empurram com forças 1F

 e 2F

, cujas intensidades e direções 
são indicadas na figura. Achar a intensidade e a orientação da força mínima que o rapaz deve 
exercer. 
 
 
 
2. Pendura-se um quadro em uma parede, por meio de dois fios presos aos cantos superiores. Se 
os dois fios fazem o mesmo ângulo () com a vertical, qual deve ser este ângulo para que a 
tração em cada fio seja igual ao peso do quadro? 
 
3. Achar as trações em cada corda da figura abaixo, caso o peso do bloco suspenso seja de200 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. O bloco A da figura Ao lado pesa 100 N. O coeficiente de 
atrito estático entre o bloco e a superfície na qual ele 
repousa é de 0,30. O peso do bloco B é de 20 N e o sistema 
está em equilíbrio.(a) Achar a força de atrito exercida sobre 
o bloco A. (b) Achar o peso máximo de B para o qual o 
sistema permanece em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
30o
60o
)80(2 NF

 
)100(1 NF

 
45o 
60o
A 
B 
C 
45o 
A 
B 
C 
(a) (b) 
B 
A 
 
45o 
 63
5. Um bloco A pesando 30 N é puxado a velocidade constante em um plano inclinado sem atrito por 
meio de um peso B de 10 N dependurado numa corda ligada ao bloco e passando por uma roldana 
sem atrito, colocada no topo do plano, conforme figura abaixo. Achar (a) o ângulo de inclinação do 
plano (); (b) a tração na corda; (c) a força normal exercida pelo plano sobre o bloco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Os blocos A e B da figura abaixo, pesam 4 N e 8 N. O coeficiente de atrito cinético entre todas as 
superfícies é de 0,25. Achar a intensidade da força F

necessária para arrastar o bloco B para a 
esquerda com velocidade constante: (a) se A repousa sobre o bloco B e move-se com ele; (b) se A 
é mantido em repouso; (c) se A e B são ligados por um fio leve passando em torno de uma roldana 
fixa sem atrito. 
 
 
 
 
 
 
 
7. O bloco A da figura abaixo de peso igual a P desliza para baixo ao longo de um plano inclinado S 
de inclinação de 37o, a velocidade constante, enquanto o bloco B, também de peso P, repousa 
sobre A. B é ligado por uma corda no topo do plano. (a) Fazer o diagrama de todas as forças que 
atuam em A e em B. (b) Determinar o valor do coeficiente de atrito cinético considerando que ele é 
o mesmo entre A e B e entre A e S. (c) Determinar a tração na corda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Na figura ao lado um garoto de 49 kg está escalando uma “chaminé” 
entre duas paredes de rocha. O coeficiente de atrito estático entre seus 
sapatos e a pedra é de 1,2 e entre suas costas e a pedra é de 0,80. Ele 
reduziu a força com que empurrava a pedra até que suas costas e seus 
sapatos estivessem na iminência de deslizar. (a) Desenhe um diagrama 
de corpo livre para o garoto. (b) Qual a força com que ele empurra a 
pedra? (c) Que fração do seu peso é suportada pela força de atrito nos 
seus sapatos? 
 
 
 
 
A A A 
B B B 
F

 F

 F

(a) (b) (c) 
A 
B 
S 37o 
A 
B 
 64
9. Um trenó, carregado de pingüins, pesando 80 N está em repouso sobre um plano inclinado de 
20º em relação à horizontal. Entre o trenó e o plano inclinado, o coeficiente de atrito estático é de 
0,25 e o cinético é de 0,15. (a) Qual a intensidade mínima da força F

, paralela ao plano, que 
poderá evitar que o trenó deslize para baixo do plano? (b) Qual a intensidade mínima da força 
F

, paralela ao plano para iniciar o movimento do trenó para cima do plano? (c) Qual o valor de 
F

necessário para mover o trenó para cima do plano, com velocidade constante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um bloco pesando 200 N repousa sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito estático 
entre o bloco e a superfície vale 0,60 e o cinético 0,40. (a) Determine a força de atrito sobre o 
bloco. (Estático ou cinético?) (b) Determine a força de atrito sobre o bloco se o mesmo for 
empurrado para a direita por uma força horizontal F

de intensidade 100 N. (Estático ou cinético?) 
(c) Determine a força de atrito sobre o bloco se o mesmo for empurrado para a direita por uma 
força horizontal F

de intensidade 150 N. (Estático ou cinético?) (d) Determine a força de atrito 
sobre o bloco se o mesmo for empurrado para a direita por uma força horizontal F

de 
intensidade 200 N. (Estático ou cinético?) 
 
 
11. No sistema da figura ao lado os pesos dos blocos 1 e 2 são, 
respectivamente, P1 = 200 N e P2 = 400 N. Sabendo que o 
sistema está em equilíbrio e desprezando-se os atritos 
determine: (a) a tração no fio que une 1 e 2, (b) a tração no fio 
que une 2 e 3 e (c) o peso do bloco 3 (P3). 
 
 
 
 
 
 
12. Uma bala de rifle, movendo-se a 360 m/s, atinge um bloco de madeira macia, no qual penetra 
10 cm. A massa da bala é de 1,8 g. Suponha que a força que se opõe à penetração seja constante. 
(a) Quanto tempo a bala gasta para parar? (b) Qual a intensidade da força desaceleradora 
exercida pela madeira sobre a bala? 
 
 
13. Um corpo de 10 kg de massa move-se com velocidade constante de 5 m/s numa superfície 
horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e a superfície é 0,20. (a) Qual a força 
horizontal necessária para manter o movimento? (b) Se a força for removida, quanto tempo 
levará o corpo para atingir o repouso? 
 
14. Um disco de hóquei deixa o bastão de um jogador com a velocidade de 10 m/s e desliza 40 m 
antes de parar. Ache o coeficiente de atrito cinético entre o disco e o gelo. 
 
15. Um elevador com massa igual a 2000 kg sobe acelerando a uma taxa de 1 m/s². Determine a 
tração no cabo de sustentação. 
 
16. Um homem de 80 kg está em pé sobre uma balança num elevador. Quando este inicia o 
movimento, a balança acusa 100 kg. (a) Achar a aceleração do elevador (intensidade e 
orientação). (b) Qual a aceleração, se a balança indicar 60 kg? (c) Se a balança indicar zero, o 
homem deverá preocupar-se? Explique. 
 
1 
2 
3 
37º 53º 
60,0º37º53
80,0º53º37


sencos
sencos
 
F

 
20º
 65
17. Um bloco pesando 50 N é sustentado por um cordão que pode ser movido para cima e para baixo. 
Que conclusões se podem tirar em relação ao sentido de movimento do bloco e aos módulos e 
sentidos da aceleração quando a tração no cordão for: (a) 25 N, (b) 50 N, (c) 75 N. 
 
18. Uma mala de 40 kg está sobre o piso de um caminhão que se move para a direita. O coeficiente de 
atrito estático entre a mala e o piso do caminhão é 0,30 e o cinético é 0,20. Determinar a 
intensidade e o sentido da força de atrito que surge quando (a) o caminhão está sendo acelerado 
a 2 m/s², (b) está sendo retardado a 4 m/s². 
 
19. Uma caixa de 20 kg é arrastada ao longo de uma superfície horizontal rugosa, com coeficiente de 
atrito cinético igual a 0,3, puxada por uma corda que faz um ângulo de 30o acima da horizontal 
com uma força de 80 N. Determine (a) a força normal, (b) a força de atrito cinético, 
(c) a aceleração da caixa. (d) Se a força for reduzida até que a aceleração se anule, qual a tração 
na corda? 
 
20. Uma caixa de massa m é empurrada para cima ao longo de uma rampa com inclinação de um 
ângulo  com a horizontal, com um coeficiente de atrito cinético c, por uma força horizontal de 
módulo F. Em termos das grandezas m, , c, F e g, que se fizerem necessárias, achar 
expressões para: (a) a força normal, (b) a força de atrito, (c) a aceleração da caixa, (d) a força 
necessária para empurrar a caixa com velocidade constante. 
 
21. Um bloco de 3,5 kg é empurrado sobre uma superfície horizontal por uma força F

 de intensidade 
igual a 15 N que faz um ângulo de 40o com a horizontal conforme figura abaixo. O coeficiente de 
atrito cinético entre o bloco e o piso é de 0,25. Calcule a intensidade (a) da força de atrito que o 
piso exerce sobre o bloco e (b) a aceleração do bloco. (c) Qual a intensidade da força F

que fará 
com que o bloco se mova com velocidade constante? 
 
 
 
 
 
 
 
22. Os dois blocos A e B, da figura ao lado, com massas 
iguais a 16 kg e 88 kg, respectivamente, não estão 
presos um ao outro. O coeficiente de atrito estático 
entre os blocos é 0,38, mas a superfície embaixo do 
bloco B é lisa. Qual é a menor intensidade da força 
horizontal F

necessária para evitar que o bloco A 
escorregue parabaixo do bloco B? 
 
23. Dois blocos estão em contato sobre uma mesa plana sem atrito. Uma força horizontal F

cuja 
intensidade é 6 N é aplicada a um dos blocos conforme indicado abaixo. (a) Se m1 = 3,0 kg e 
m2 = 2,0 kg, ache a força de contato entre os blocos. (b) Se a mesma força F

for aplicada agora 
a m2 qual será a força de contato entre eles? 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
F

m1 
m2 
F

 
40o 
)15( NF

 
 66
24. Três blocos estão conectados como mostra a figura abaixo, sobre uma mesa horizontal sem atrito 
e são puxados para a direita com uma força F

 cuja intensidade é 100 N. Considerando as 
massas m1 = 10 kg, m2 = 15 kg e m3 = 25 kg, determine: (a) a aceleração dos blocos, (b) a tração 
no fio que une m1 e m2 e (c) a tração no fio que une m2 e m3. 
 
 
 
 
 
 
25. Um bloco de massa m1 = 50 kg está apoiado sobre um 
plano inclinado liso que forma um ângulo de 30o com a 
horizontal, conforme indicado abaixo. Este corpo é 
ligado a outro de massa m2 através de um fio ideal que 
passa por uma roldana sem atrito. Considere m2 = 30 kg. 
(a) Calcule a aceleração de cada corpo. (b) Determine a 
tração no fio. 
 
 
 
 
26. Um bloco de 6 kg desliza, descendo um plano inclinado de 37º. O coeficiente de atrito cinético 
entre o bloco e a superfície vale 0,25. (a) Determine a aceleração do bloco. (b) Considerando que 
o bloco tenha uma velocidade inicial de 2 m/s, determine a velocidade do bloco após deslizar 2 m 
plano abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. Uma curva circular de raio R é projetada para uma velocidade máxima de 60 km/h. (a) Se o raio da 
curva for R = 140 m, qual deve ser o ângulo correto de inclinação da estrada da curva? 
(b) Caso a curva não seja inclinada, qual deve ser o menor coeficiente de atrito estático entre os 
pneus e a estrada para evitar a derrapagem para a velocidade de 60 km/h? 
 
28. Um estudante possui massa de 65 kg. Ao andar numa roda-gigante que gira com velocidade 
constante possui um peso aparente de 530 N, no ponto mais alto da trajetória da roda-gigante. 
(a) Calcule o seu peso aparente no ponto mais baixo da trajetória. (b) Qual seria o seu peso 
aparente no ponto mais alto da trajetória, se a velocidade da roda gigante dobrasse de valor? 
 
29. Uma atração muito popular nos circos é o Globo da Morte, que consiste 
numa gaiola de forma esférica no interior da qual se movimenta uma 
pessoa, pilotando uma motocicleta. Considere um globo de raio R = 3,6 m. 
(a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos 
A, B, C e D indicados na figura, sem incluir as forças de atrito. Para efeitos 
práticos, considere o conjunto piloto + motocicleta como sendo um ponto 
material. (b) Qual a velocidade mínima que a motocicleta deve ter no ponto 
C para não perder o contato com o interior do globo? 
 
m1 
m2 
m3 
F

 
m1 
m2 
30o
37º 
60,0º3780,0º37  sencos 
 67
30. Na figura ao lado a massa m está apoiada sobre a mesa sem atrito. 
Um fio de massa desprezível liga a massa m com a massa M. 
Determine a velocidade angular de m para que a massa M 
permaneça em repouso. 
 
 
 
 
 
 
31. Uma bola de 1,5 kg é ligada a uma haste vertical rígida 
conforme indicado na figura ao lado. Cada cordão que liga a 
massa à haste possui comprimento de 1,0 m e massa 
desprezível. A distância entre os pontos de conexão dos 
cordões com a haste é de 1,0 m. O sistema gira em torno do 
eixo da haste com velocidade angular constante e ficam 
esticados formando um triângulo equilátero com a haste. O 
módulo da tração no cordão superior vale 30 N. (a) Faça um 
diagrama de todas as forças que atuam sobre a bola. (b) 
Calcule a tração no cordão inferior. (c) Qual é neste caso, a 
força resultante sobre a bola? (d) Qual é a velocidade da bola? 
 
32. A figura representa a seção vertical de um trecho de rodovia. Os 
raios de curvatura dos pontos A e B são iguais e valem 100 m e o 
trecho que contém o ponto C é horizontal. Um automóvel de massa 
2 x 103 kg percorre a rodovia com velocidade escalar constante de 
36 km/h. Sendo AN

, BN

 e CN

a reação normal da rodovia sobre o 
carro nos pontos A, B e C, respectivamente, determine suas 
intensidades. 
 
33. Rotor é um brinquedo que pode ser visto em parques de diversões. 
Consiste em um grande cilindro de raio R que pode girar em torno 
de seu eixo vertical central. Após a entrada das pessoas no rotor, 
elas se encostam nas suas paredes e este começa a girar. O rotor 
aumenta sua velocidade de rotação até que as pessoas atinjam 
uma velocidade v, quando, então, o piso é retirado. As pessoas 
ficam suspensas, como se estivessem “ligadas” à parede interna 
do cilindro enquanto o mesmo está girando, sem nenhum apoio 
debaixo dos pés e vendo um buraco abaixo delas. Determine o 
coeficiente de atrito estático mínimo necessário para evitar a 
queda. 
 
 
m
 68
RESPOSTAS 
 
 
1.
)ˆ(6,463 jNF 

 
 
9. 
NFc
NFb
NFa
7,38)
2,46)
6,8)



 18. 
)ˆ)(80)(
ˆ)80)(
iNb
iNa
 
27. 
2,0)
º2,11)


cb
a


 
2.  = 60º 10. 
Nfd
Nfc
Nfb
fa
c
c
e
e
80)
80)
100)
0)




 19. 
NTd
smac
Nfb
NNa
c
59)
²/1,1)
48)
160)




 28. 
NNb
NNa
170)
770)


 
11.
NP
NT
NT
450
360
120
3
3,2
2,1



 
20. 














sen
sen
mgFd
sengsen
m
Fac
Fsenmgfb
FsenmgNa
c
c
cc
cc
cos
cos
)
)cos()(cos)
)cos()
cos)
 
29. hkmsmvb /6,21/6)  3.a)
NT
NT
NT
C
B
A
200
283
200



 
b) 
NT
NT
NT
C
B
A
200
4,668
4,546



 
12. 
NFb
sta
³1017,1)
106,5) 4

 
 
21. 
NFc
smab
Nfa c
45,14)
²/083,0)
2,11)



 
 
30. 
mr
Mg 
 
4. 
NPb
Nfa
B
e
30)
20)


 13. 
stb
NFa
5,2)
20)


 22. NF 6,497 31. 
smvc
NRb
Ta i
/9,3)
26)
0)



 
5. 
NNc
NTb
a
3,28)
10)
º5,19)



 14. 125,0c 23. NFb
NFa
6,3)
4,2)
2,1
2,1


 
 
32. 
NN
NN
NN
C
B
A
³1020
³1022
³1018



 
 
6. 
NFc
NFb
NFa
5)
4)
3)



 15. NT ³1022 24. 
NTc
NTb
smaa
50)
20)
²/2)
3,2
2,1



 33. 2v
Rg
e  
7. 
PTc
b c
8,0)
25,0)


 16. 
jac
jab
jaa
ˆ8,9)
ˆ5,2)
ˆ5,2)






 25. NTb
smaa
25,281)
²/625,0)


 
 
8. 
%60)
245)
b
NNa 
 
17. 
²/5)
0)
²/5)
smac
ab
smaa



 
26. a) a = 4m/s² 
 b) v = 4,47 m/s 
 
 
 
 
 
 69
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Uma caixa de massa m é empurrada para cima deslocando-se uma distância d, sobre um plano, 
cuja inclinação é  acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do 
repouso e sobe com aceleração constante a = 0,2 g. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e 
o plano é c e a aceleração da gravidade é g. Determine em função das grandezas (m, d, , c e g) 
que se fizerem necessárias, (a) o trabalho realizado sobre a caixa pela força que a empurra; (b) o 
trabalho realizado sobre a caixa pela força de atrito; (c) o trabalho realizado sobre a caixa pelo seu 
próprio peso; (d) a energia cinética da caixa, ao fim do deslocamento d. 
Faça uso de ilustrações, eixos cartesianos de referência, e represente os dados pertinentes. 
Faça o diagrama do corpo isolado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 6- TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA 
 
d

 
F

 
cf
N

 
P

 
F



cos
cos0
MgNf
MgNF
ccc
y


)sencos(
sencos
sencos
0,2mgF
m0,2gmgmgF
mamgmgFmaF
c
c
cx






 
 0,2mgdW
dFdFW
cF
F


 sencos
.0cos.. 0a)
dmgW
dfdfW
cF
ccfc
.cos
.180cos 0

b)
h 
senmgdmghUW gP c)
mgdK
Kdma
KdR
KKW
KKKW
f
f
f
ifR
ifTotal
2,0
.
0cos.
0
0





d)
70 
 
L 
L 
A 
B 
2. Na figura ao lado os blocos A e B estão ligados por um fio ideal 
que passa por uma polia de massa desprezível. Inicialmente, o 
bloco A (massa 4m) está se deslocando para a direita e o bloco 
B (massa m) está se deslocando para baixo, ambos com 
velocidade v0. A partir de então, devido ao atrito entre o bloco A 
e a mesa, ambos são levados ao repouso após percorrerem 
uma distância L. Use o teorema do trabalho-energia para 
calcular o coeficiente de atrito cinético entre o bloco A e a 
mesa. Dê sua resposta em termos de v0 , L e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. O bloco de massa M, indicado na figura abaixo, está preso a uma mola cuja constante elástica é k. No 
instante inicial (A) sua posição é tal que a mola não exerce força sobre ele e, neste instante, sua 
velocidade tem módulo v0 e é dirigida para a direita. O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície 
é c e o módulo da aceleração da gravidade é g. O bloco percorre uma distância L para a direita antes 
de atingir o repouso na posição indicada (B). Determine, no deslocamento L, o trabalho realizado sobre 
o bloco (a) pela força elástica e (b) pela força de atrito. (c) Use o teorema do trabalho-energia para 
encontrar uma expressão para o valor de L em função de M, v0, c, g e k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0v
 
M 
B A 
L 
 
2
2
2
1
0
2
1
kLW
kLW
UW
Fe
Fe
eFe



 

 
 
 
MgLW
NLW
LfW
cf
cf
cf
c
c
c




 180cos..
 
 
 
 
 
k
MgkMvMg
L
k
kMvMgMg
L
k
kMvMgMg
L
MvMgLkL
MvMgLkL
MvMgLkL
KW
cc
cc
cc
c
c
c
Total













2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
422
02
2
2
10
2
1
 
(c) (a) 
(b) 
Para o bloco A: 
2
2
24
4
2
10
AAc
ATf
mvLTmgL
mvWW
Ac



 
Para o bloco B: 
2
2
2
1
2
10
BB
BTP
mvLTmgL
mvWW
BB


 
Uma vez que: 
0vvv
TTT
BA
BA


 
B 
BP

 
BT

 A 
AP

 
AT

 
N

 
cf

 
Bloco A: 
mgf
mgPNF
cc
Ay
4
40

 
Pelo teorema do trabalho-energia: KWTotal  
gL
v
vgLgL
mvmgLmgL
mvTLmgL
emvTLmgL
c
c
c
c
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
8
5
4
1
2
54
2
54
2
1
24









 
71 
 
 
4. Um pequeno objeto é impulsionado no ponto A de tal forma que adquire uma velocidade cujo módulo é 
v0. A partir daí ele desliza com atrito nos dois trechos planos (AB e DE) e sem atrito no trecho 
correspondente à depressão (BD), até parar no ponto E. Conhecidas as grandezas que aparecem da 
figura abaixo (L, h1 e h2), sabendo que o coeficiente de atrito é o mesmo nos trechos AB e DE e que 
o módulo da aceleração da gravidade é g, determine: (a) o coeficiente de atrito entre o objeto e as 
superfícies planas e (b) a velocidade do objeto ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória (ponto C). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Durante o deslocamento do objeto, desde o ponto A até o ponto E, as forças que realizam trabalho 
sobre ele são: a força de atrito cinético (nos trechos AB e DE) e a força peso (no trecho BCD). 
Assim, pelo teorema do trabalho-energia podemos afirmar que: 
)
)()(
)()(
()(
..
1
2
0 02
102 mghmvmgL
UKmgLmgL
KULfLf
KWWW
KW
c
gcc
gDEcABc
gDEfABf
Total
cc







 
L
h
Lg
v
Lg
ghv
ghvgL
ghvgL
c
c
c
244
2
24
24
1
2
01
2
0
1
2
0
1
2
0






 
 
(b) Durante o deslocamento do objeto, desde o ponto A até o ponto C, as forças que realizam trabalho 
sobre ele são: a força de atrito cinético (no trecho AB) e a força peso (no trecho BC). Assim, pelo 
teorema do trabalho-energia podemos afirmar que: 
2
42
2
22
2
24
22
22
22
0
2
1
2
1
21
2
0
21
2
0
1
2
0
21
2
0
2
1
2
0
21
2
0
2
21
2
0
2
21
2
0
2
21
2
0
2
)(
)(
)(
)(
)(
]([)(
.)(
)(
hhgv
v
ghgh
v
gh
v
hhgvv
gL
L
h
Lg
v
hhgvv
gLhhgvv
hhgvvgL
hhmgmvmvmgL
UKmgL
KULf
KWW
KW
C
C
C
cC
Cc
Cc
gc
gABc
gABf
Total
c




 



 











 
h1 
0v
 
L 
L 
h2 
C 
A B 
D E 
NR (a) 
NR (b) 
72 
 
5. Um bloco de massa M é arremessado sobre uma superfície horizontal com velocidade de módulo v0. 
A partir daí desliza uma distância L sobre a superfície quando colide com uma mola de constante 
elástica k, comprimindo-a de uma distância d (veja figura abaixo). O módulo da aceleração da 
gravidade local vale g. Sabendo que há atrito do início ao fim do movimento do bloco, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície (em função de M, k, L, d, v0 e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Caso não houvesse atrito entre o bloco e a superfície qual seria a máxima compressão da mola? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma caixa de massa M é arrastada com velocidade constante sobre uma superfície horizontal 
através de uma corda inclinada de um ângulo  acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético 
entre a caixa e a superfície é c e o módulo da aceleração da gravidade local é g. Considerando que a 
caixa deslocou horizontalmente uma distância L, determine: (a) o trabalho realizado pela força 
exercida pela corda sobre a caixa em função de M, g, , c e L; 
(b) o trabalho realizado pela força de atrito em função de M, g, , c e L e (c) o trabalho total realizado 
sobre a caixa. 
 
L 
0v
 
M 
 
k 
d
)(
)(
)(
)(
.
..
dLMg
kdMv
kdMvdLMg
MvkddLMg
MvkddLMg
EW
KUW
KUW
KWW
c
c
c
c
Mecf
ef
ef
ElástFf
c
c
c
c









2
2
2
2
1
2
1
22
0
22
0
2
0
2
2
0
2



 
Na equação obtida anteriormente, fazendo c = 0, temos: 
0
2
0
2
22
0
22
0
0
0
)(2
v
k
Md
Mvkd
kdMv
dLMg
kdMv
c





 
 
 
L 
73 
 
 
 
 








sencos
Mg
F
MgsencosF
FsenMgFcos
FsenMgFcos
fFF
FsenMgf
Nf
FsenMgN
MgFsenN
PFNF
c
c
cc
cc
c
cxx
cc
cc
yy












)(
0
0)(
0
0
0
 
 
 
 
7. Um pequeno bloco de massa M é solto do repouso em um plano inclinado de um ângulo  com a 
horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície do plano vale 1/4.O módulo da 
aceleração da gravidade local é g. O bloco desce ao longo do plano uma distância L. Determine, no 
deslocamento AB (a) o trabalho realizado pelo atrito; (b) o trabalho realizado pela força gravitacional 
e (c) a velocidade do bloco no ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) 
)tan1(
cos..
)(cos




c
c
F
c
c
F
MgL
W
L
sen
Mg
W


 (c) 
0


Total
cTotal
W
v
EW
constante 
(b) 0TotalW 
FfFf WWWW cc  0 
)tan1(
cos..
)(cos 


c
c
c
c
f
MgL
L
sen
Mg
W
c  
Dados: sen = 3/5 
 cos = 4/5 
L 
 
B 
A 
 
yP

 
P

 
xP

 
cf

 
N

 
+x 
+y 
0



ccc
y
y
MgcosNf
MgcosPN
F


(a) Trabalho da força de atrito cinético: 
 
MgLL.MgW
L.cosMgW
cos.d.fW
c
c
c
f
cf
cf
5
1
5
4
4
1
180



 
(b) Trabalho da força gravitacional: 
 
MgLLMgW
L.MgsenW
cos.d.PW
Peso
Peso
xPeso
5
3
5
3
0



 
(c) Pelo Teorema do Trabalho-Energia: 
 
Lgv
vLg
MvMgLMgL
MvMvWW
EW
B
B
B
ABfPeso
cTotal
c
5
4
2
1
5
2
2
1
5
1
5
3
2
1
2
1
2
2
22





 
74 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
1. Um bloco pesando 800 N é arrastado por 6 m sobre um piso horizontal, à velocidade constante, por 
uma força que faz um ângulo de 30° abaixo da horizontal. O coeficiente de atrito entre o bloco e o 
piso é 0,25. Quantos joules de trabalho são realizados (a) pela força? (b) Pelo atrito? 
 
2. (a) Calcular a energia cinética de um automóvel de 1200 kg viajando a 36 km/h. (b) Quantas vezes 
esta energia se torna maior se a velocidade for dobrada? 
 
3. Um corpo cuja massa é 2 kg está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem 
atrito. Ele é puxado ao longo de 4 m por uma força horizontal constante de 25 N. (a) Use a relação 
trabalho-energia para determinar a velocidade final do corpo. (b) Suponha que o corpo tenha uma 
velocidade inicial de 10 m/s, calcule a sua velocidade final. 
 
4. Um corpo cuja massa é 8 kg move-se em linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito. 
Num ponto de sua trajetória sua velocidade é de 4 m/s e depois que ele percorreu 3 m a velocidade 
é de 5 m/s, na mesma direção. Use a relação trabalho-energia para determinar a força que atua no 
corpo, supondo-a constante e atuando na mesma direção e sentido do deslocamento. 
 
5. A força em newtons requerida para esticar certa mola de uma distância x além de seu comprimento 
normal é dada por . (a) Qual a força necessária para distender a mola 0,1 m? 0,2 m? 0,4 
m (b) Quanto trabalho é necessário para distendê-la 0,1 m? 0,2 m? 0,4 m? 
 
6. Um bloco de 80 N é erguido verticalmente a uma velocidade constante de 3 m/s através de uma 
altura de 6 m. (a) Qual a intensidade da força necessária para isto? (b) Qual o trabalho realizado? 
O que ocorre com este trabalho? 
 
7. O sistema na figura ao lado é liberado do repouso com o bloco de 12 kg a uma 
altura de 3 m acima do solo. Usar o princípio de conservação da energia para 
determinar a velocidade com que o bloco atinge o solo. Despreze o atrito e a 
inércia da roldana. 
 
 
 
 
 
 
8. A mola de uma pistola de mola tem uma constante elástica de 
500 N/m. Comprime-se 5 cm a mola e contra ela coloca-se uma bola de 
0,1 kg. (a) Calcular a velocidade máxima adquirida pela bola. (b) 
Determinar a velocidade máxima se uma força resistiva constante de 10 
N atua sobre a bola. 
 
9. Na figura ao lado, um bloco desce uma distância de 
5,0 m em plano inclinado do ponto A até o ponto B, sendo 
empurrado por uma força F

que é paralela à rampa e cuja 
intensidade é de 2,0 N. A intensidade da força de atrito que 
atua sobre o bloco é de 10 N. Se a energia cinética do bloco 
aumenta de 35 J entre A e B, quanto trabalho foi realizado 
pela força gravitacional sobre o bloco ao se deslocar de A 
para B? 
 
10. Um fardo de 4,0 kg começa a subir um plano inclinado de 30º com uma energia cinética de 128 J. 
Até que distância ele conseguirá deslizar para cima do plano inclinado, se o coeficiente de atrito 
cinético entre o fardo e o plano for de 0,30? 
3 m 
12 kg 
4 kg 
75 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1. 
JWb
JWa
4,402.1)
4,402.1)


 9. JWg 75 
2. 
vezesb
JEca
4)
60000) 
 10. md 2,4 
3. 
smvb
smva
/1,14)
/10)


 
4. NF 12 
5. 
JJJWb
NNNFa
8,2,5,0)
40,20,10)


 
6. 
JWb
NFa
480)
80)


 
7. smv /48,5 
8. 
smvb
smva
/58,1)
/54,3)


 
 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Um bloco de massa m, partindo do repouso, desliza, sem atrito, até atingir a base de uma 
rampa. A partir de então, desliza numa superfície horizontal, onde o coeficiente de atrito 
cinético é c, percorrendo uma distância d até atingir uma mola, comprimindo-a de x 
(deformação máxima). A aceleração da gravidade é g. Determine a constante elástica da 
mola em termos de m, g, c e x, sabendo que H = 10x e 
d = 4x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um projétil de massa m é disparado do alto de um barranco que está a uma altura H acima do nível 
de um vale, com velocidade inicial de módulo v0 inclinada de um ângulo  acima da horizontal. 
Desprezando a resistência do ar, considerando a aceleração da gravidade local igual a g e usando o 
teorema do trabalho-energia, determine: (a) a altura máxima (em relação ao solo) atingida pelo 
projétil; (b) o módulo da velocidade com que a o projétil atinge o solo e (c) o trabalho realizado pela 
força gravitacional desde o lançamento até o projétil atingir o solo. Expresse suas respostas em termos 
das grandezas m, H, v0 , e g que se fizerem necessárias. (Indique qual foi o nível de referência usado 
para a energia potencial gravitacional nula). 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7- ENERGIAPOTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA 
ENERGIA
H 
d x 
)2(10
.1020
20.10
10)5(.2
2
1)(.
2
1)(
2
2
2
c
c
c
c
c
c
Mecf
x
mgk
mgmgkx
mgkxmg
xmgkxxmg
mgHkxxdmg
mgHkxxdf
EW
c












Nível de Referência 
h = 0 (UG = 0) 0 
H 
y 
Hmáx 
0v

 
xv

v
No ponto mais alto da trajetória: 
vy = 0 e v = vx = vox = vocos 
 
Desde o lançamento até atingir o solo, a 
única força que realiza trabalho sobre o 
objeto é a força gravitacional. 
77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um carro em um parque de diversões se desloca sem atrito ao longo do trilho indicado na figura 
abaixo. Ele parte do repouso no ponto A situado a uma altura H acima da base do círculo. Despreze as 
dimensões do carro e do trilho. (a) Qual é o menor valor de H (em função de R) para que o carro 
consiga dar uma volta completa? (b) Se H = 3,5 R, qual será a velocidade do carro (em função de R e 
g) no ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Pelo teorema do trabalho-energia: 
KWTotal  
 
 
θ
θ2
θ2
θ2
2θ
θ
2
2
0
22
0
22
0
22
0
2
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
2
12
2
2
2
1
2
1
0
0
sen
g
v
HH
senvgHgH
vgHgH
vvgHgH
vgHvgH
mvmgHvmmgH
EE
E
UK
KU
KW
máx
máx
máx
máx
máx
máx
iMecfMec
Mec
G
G
Grav











.
.
.
.
.
.
...
.
cos
cos
cos
)cos( 
(b) Pelo teorema do trabalho-energia: 
KWTotal  
2
0
2
0
2
2
0
2
..
.
.
2
2
2
1
2
1
0
0
vgHv
vgHv
mvmgHmv
EE
E
UK
KU
KW
iMecfMec
Mec
G
G
Grav








 
mgHW
mgHW
UW
Grav
Grav
gGrav



.
.
.
)0( 
(c) 
R
mvmgN
maF
B
B
cN
2


Ponto B 
H 
A 
B
C 
BN

P

(a) Tomando a base que sustenta o trilho 
como nível de referência o carro terá, ao 
ser solto do repouso no ponto A, apenas 
energia potencial gravitacional. 
No topo do trilho (ponto B), o carro terá 
energia potencial gravitacional e um 
mínimo de energia cinética que lhe 
permitirá completar a volta. 
NR 
(b) Conforme descrito em (a), a energia 
mecânica do carro será conservada 
durante todo o movimento. 
Rgv
mvmgRmgR
mvmgRRmg
EE
C
C
C
AC
5
27
2
1
2
7
2
2




A velocidade no ponto B será mínima se NB = 0. 
Rgv
R
mvmg
B
B


2
:Assim
78 
 
4. Um objeto de massa m é abandonado do repouso, a uma altura H acima do centro de uma colina 
redonda de raio R. O atrito é desprezível e o módulo da aceleração da gravidade local 
é g. (a) Determine a força exercida pela colina sobre o objeto quando este estiver no ponto mais alto da 
colina, considerando que H = R. (b) Determine o valor máximo de H para que o objeto não perca o 
contato com a colina no ponto mais alto da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Cálculo da velocidade do objeto no ponto mais 
alto da colina considerando que H = R . 
 
Pela conservação da energia mecânica temos que: 
0
2
1
0
2
1
2
1
2
2
2





B
B
B
B
BA
v
mv
mvmgRmgR
mvmgRmgH
EE
 
 
 
No ponto B,   yy maF . 
 
 
mgN
Nmg
R
v
mNmg B



0
2
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Para que o objeto não perca contato 
com a colina no ponto mais alto a força 
normal exercida pela colina sobre o objeto 
deverá ser maior ou igual a zero. 
 
RgvRgv
Rgv
R
v
mmg
R
v
mmgN
R
v
mNmgF
máxBB
B
B
B
B
y





)(
2
2
2
2
0
 
 
 
A altura máxima (Hmáx) de onde o objeto poderá ser 
abandonado sem que perca contato com a colina no 
ponto mais alto corresponderá àquela para a qual a 
velocidade em B será máxima. 
 
Pela conservação da energia mecânica temos que: 
 
RH
RRH
mRgmgRmgH
vmmgRmgH
máx
máx
máx
máxBmáx
2
3
2
1
2
1
2
1 2



 )(
 
 
H 
R
m 
P

N

 
B
A 
79 
 
5. Um pequeno objeto é liberado a partir do repouso de uma altura h acima do nível do solo (ponto A) e 
desliza sem atrito em uma pista que termina em um “loop” de raio r, conforme representado na figura. 
Determine o ângulo θ relativo à vertical e ao ponto em que o objeto perde o contato com a pista 
(ponto B). Expresse sua resposta como função da altura h, do raio r e do módulo da aceleração da 
gravidade g. (Sugestão: A força normal é nula quando o objeto perde o contato com a pista e a 
aceleração centrípeta é dada por r
v 2 .) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ponto onde o objeto perde o 
contato com a pista a reação normal da 
pista sobre o objeto é nula. Assim, a 
força centrípeta sobre o objeto será a 
componente do peso na direção do 
centro de curvatura da pista. 
Cálculo da velocidade do objeto no ponto 
onde perde o contato com a pista. 
Pelo Princípio de Conservação da Energia 
Mecânica: 
 
 
 )1(2
)1(2
)1(22
2)1(2
)(
2
1
2
2
2
2
)()(
).().(
cosθrhgv
cosθrhgv
cosθgrghv
ghcosθgrv
mghrcosθrmgmv
UUK
EE
B
B
B
B
B
AgBgB
AMecBMec







 
 
 


 

 


 






 1
3
2
1
3
2
3
)(2
)(23
222
2)1(2
)1(22
)1(2
1
2
r
hcos
r
h
r
rhcosθ
rhrcosθ
rhrcosθrcosθ
hcosθrrcosθ
cosθrhrcosθ
cosθrhg
r
mmgcosθ
r
mvF Bcentrípeta
 
rcos 
r 
Ug = 0 
  
P

 
r 
A 
B  r h  r 
Ug = 0 
80 
 
6. Um pequeno objeto de massa M é preso à extremidade de uma haste de 
comprimento L e de massa desprezível. A outra extremidade da haste é 
fixada em um eixo de rotação (ponto O). O objeto é posicionado 
verticalmente acima do eixo de rotação e impulsionado de tal forma que é 
arremessado com velocidade de módulo v0 como mostrado na figura ao 
lado. O módulo da aceleração da gravidade local é g. 
 
a) Determine o módulo da velocidade do objeto ao passar pelo ponto 
mais baixo da trajetória (em função de v0, L e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine a tensão na haste no ponto mais baixo da trajetória (em função de 
M, v0, L e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Um bloco de massa m parte do repouso, descendo uma distância L até atingir a base de um plano 
inclinado cujo ângulo de inclinação é , em relação à horizontal. 
O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é c e a aceleração da gravidade é g. Determine 
(a) a velocidade do bloco na base do plano em termos de c, L, g e  e (b) a máxima distância d 
percorrida pelo bloco em uma superfície horizontal semelhante (mesmo c), depois de atingir a base do 
plano, em termos de c, L e . 
(A solução deverá envolver as relações de Trabalho e Energia). 
 
 
 
 
 
 
L
O
0v
 
N.R 
A 
B Bv
 
Pela conservação da energia mecânica: 
EA = EB 
Lgvv
Lgvv
MvMgLMv
MvLMgMv
B
B
B
B
4
4
4
2
12
2
1
2
0
2
0
2
22
0
22
0




 
B Bv
 
O 
y 
 



 






L
v
gMT
L
v
MMgT
L
v
MMgMgT
Lgv
L
MMgT
L
v
MMgT
MaPT
maF
B
.cent
yy
2
0
2
0
2
0
2
0
2
5
5
4
4 
P

 
T

 
L 
 
L 
d 
81 
 
 
 
 
 
)cos(sen2
cos2sen2
sen2.cos.2
sen
2
1..
2
1.
)
2
2
2
2




c
c
c
c
c
Mecf
gLv
glgLv
mgLmvLmg
mgLmvLN
mgHmvdf
EWa
c






 
)cos(
)cos(.
)cos(2.2
2
1..
2
10.
)
2
2




c
c
cc
cc
c
c
f
senLd
senLd
sengLmmgd
mvdN
mvdf
KWb
c






 
 
 
8. Um objeto de massa M está preso à extremidade de um fio de comprimento L e a outra extremidade 
do fio é mantida fixa no ponto O. Esticando-se o fio, o objeto é mantido horizontalmente e a seguir 
liberado a partir do repouso. O módulo da aceleração da gravidade local vale g. Determine (a) a 
velocidade do objeto no ponto inferior de sua trajetória e (b) a tensão no fio nesse ponto. Use em 
suas respostas apenas as grandezas M, L e g que se fizerem necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) Cálculo da Tensão no fio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Pela conservação da energia mecânica: 
EA = EB 
Lgv
Lgv
MvMgL
MvMgL
B
B
B
B
2
2
2
2
1
2
2
2




 
M L O 
B 
A 
N.R 
Bv
 
L 
L O 
B 
Bv
 
L 
P

T

82 
 
9. Um bloco de massa M é encostado em uma mola de constante elástica k, comprimindo-a de uma 
distância x desconhecida. Uma vez liberado do repouso (ponto A), desliza, sem atrito,até atingir o 
ponto B. A partir de então, desliza sobre uma superfície horizontal de comprimento d = h, em que o 
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é 
c = 2/3 (trecho BC). Do ponto C desliza sem atrito até o ponto D onde o bloco novamente atinge, 
momentaneamente, o repouso. A aceleração da gravidade local vale g. Determine: (a) O módulo da 
velocidade do bloco no ponto C em função de g e h. (b) A compressão x da mola em função de M, k, 
g e h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
D 
M 
B A d = h 
x = ?
C 
N.R. 
(b) Do ponto C ao ponto D há conservação da energia mecânica: 
 
ghv
ghv
mghmv
C
C
C
2
2
2
1
2
2



 
(a) Do ponto A ao ponto C há dissipação de energia pela força de atrito 
cinético no trecho BC: 
 
k
Mghx
Mghkx
MghMghkx
kxghMMgh
kxMvMgh
EEW
EWE
EWW
EW
Cc
PECf
CfPE
CfFe
C)CA(Total
c
c
c
3
10
3
5
2
1
3
2
2
1
2
12
2
1
3
2
2
100
2
1
2
2
2
22






 

 




 
 
83 
 
10. Um pequeno objeto de massa M, abandonado do repouso no ponto P, desliza ao longo de um trilho 
sem atrito que possui um “loop” circular, de raio R. O ponto P está localizado a uma altura 4R acima 
da base do trilho. O objeto não perde o contato com o trilho em ponto algum. O módulo da aceleração 
da gravidade local é g. (a) Represente as forças que atuam sobre o objeto nos pontos A e B. 
Determine a força exercida pelo trilho sobre o objeto (b) no ponto A e (c) no ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
A 
B 
P 
4R 
N.R. 
(a) Diagramas de forças 
Ponto B 
Ponto A 
AN

 
BN

 
P

P

(b) Por conservação da energia mecânica 
do ponto P ao ponto A: 
 
Rgv
Rgv
MgRMv
RMgMvRMg
EE
A
A
A
A
)P.(Mec)A.(Mec
2
4
2
2
1
4
2
12
2
2
2





 
 
MgN
R
RgMMgN
R
vMF
A
A
A
radiais
3
4
2



 
(c) Por conservação da energia mecânica 
do ponto P ao ponto A: 
 
Rgv
Rgv
MgRMv
RMgMvMgR
EE
B
B
B
B
)P.(Mec)B.(Mec
6
6
3
2
1
4
2
1
2
2
2





 
 
MgN
R
RgMN
R
vMF
B
B
B
radiais
6
6
2



 
84 
 
11. Um bloco de massa M é arremessado sobre uma superfície horizontal com velocidade de módulo v0, 
que desliza sem atrito até chegar ao ponto A. A partir daí desliza sobre uma superfície onde o 
coeficiente de atrito cinético vale c até o ponto B, percorrendo uma distância L. Em B, o bloco colide 
com uma mola de constante elástica k. O módulo da aceleração da gravidade local vale g e a 
diferença de nível entre os dois trechos planos é H. Determine a máxima compressão da mola em 
função de v0, M, g, H, L, c e k. (A partir de B não há atrito entre o bloco e a superfície). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k
LggHvM
x
k
LggHvM
x
MgLMgHMvkx
MgHMvkxMgL
MgHMvkxMgL
EW
EEEW
EEEW
EWWW
EW
c
c
c
c
c
Mecf
cPGPEf
cPGPEf
cPesoElástFf
cTotal
c
c
c
c
)22(
)22(
22
)2(2
)
2
1(
2
1
2
0
2
02
2
0
2
2
0
2
2
0
2
.
..















 
 
 
 
 
L
0v
 
M 
k 
A B 
H 
85 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
 
1. Um bloco pesando 10 N é forçado contra uma mola horizontal de massa desprezível, comprimindo-
a de 15 cm. Quando liberado, o bloco percorre numa superfície horizontal uma distância de 60 cm 
antes de alcançar o repouso. A constante de força da mola vale 133 N/m. Determine o coeficiente 
de atrito cinético entre o bloco e a mesa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um bloco de 2,0 kg é solto de uma altura de 40 cm sobre uma mola cuja constante de força vale 
2000 N/m. Determine o valor da compressão máxima da mola. 
 
3. Um projétil de 8,0 kg é atirado de um canhão com velocidade inicial de 245 m/s e elevação de 45°. 
Em seguida, outro projétil idêntico ao primeiro é atirado com a mesma velocidade inicial, mas a 90°. 
(a) Determinar as alturas máximas alcançadas pelos projéteis. (b) Mostrar que a energia total no 
topo da trajetória é a mesma nos dois casos. (c) Usando o princípio de conservação da energia, 
calcular a altura máxima alcançada por um projétil idêntico, atirado com a elevação de 30°. 
 
4. Uma bola é presa a uma corda e colocada em rotação num círculo vertical. Provar que a tração na 
corda no ponto mais baixo excede à tração na corda no ponto mais alto de uma quantidade igual a 
seis vezes o peso da bola. 
 
5. Um pequeno corpo de massa m escorrega sem atrito sobre o dispositivo em laço, mostrado na 
figura abaixo. Ele parte do repouso de um ponto A a uma altura 3R acima da base do laço. Quando 
atinge o ponto B na extremidade do diâmetro horizontal do laço, calcular: (a) a aceleração radial e 
(b) a força normal sobre o corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Um bloco de 5 kg é empurrado para cima, em um plano inclinado, sem atrito, fazendo um ângulo de 
30º com a horizontal. Ele é empurrado ao longo de 2 m sobre o plano por uma força constante, 
paralela ao plano, cuja intensidade é de 100 N. Se a sua velocidade no início era de 2 m/s, (a) qual 
será sua velocidade no final dos 2 m. (b) Considerando que o coeficiente de atrito cinético entre o 
bloco e o plano seja 0,10 qual será a velocidade no final dos 2 m? 
 
7. Um helicóptero eleva uma astronauta de 72 kg verticalmente por 15 m a partir do oceano por meio 
de um cabo. A aceleração da astronauta é g/10. Quanto trabalho é realizado sobre a astronauta (a) 
pela força do helicóptero e (b) pela força gravitacional agindo sobre ela? Quais são (c) a energia 
cinética e (d) a velocidade da astronauta imediatamente antes de alcançar o helicóptero? 
 
15 cm 
60 cm 
86 
 
8. Uma corda é usada para abaixar verticalmente um bloco de massa M, inicialmente em repouso, 
com uma aceleração constante para baixo de módulo g/4. Quando o bloco tiver caído uma 
distância d, encontre (a) o trabalho realizado pela força que da corda sobre o bloco, (b) o trabalho 
realizado pela força gravitacional sobre o bloco, (c) a energia cinética do bloco e (d) a velocidade 
do bloco. 
 
9. Um bloco de 3,6 kg é arrastado por uma corda por 4 m com velocidade constante sobre um piso 
horizontal. A força que a corda exerce sobre o bloco possui uma intensidade de 8 N e está na 
direção 15° acima da horizontal. Quais são (a) o trabalho realizado pela força da corda, (b) o 
trabalho realizado pela força de atrito cinético entre o bloco e o piso e (c) o coeficiente de atrito 
cinético entre o bloco e o piso? 
 
10. Uma bala de 30 g, com uma velocidade horizontal de 500 m/s, chega ao repouso após penetrar 12 
cm em uma parede sólida. (a) Qual a variação de sua energia mecânica? (b) Que intensidade da 
força média exercida pela parede leva a bala ao repouso? 
 
 
11. Dois picos cobertos de neve estão a 850 m e 750 m acima do vale que os separa. Uma pista de 
esqui desce do cume do pico mais alto e depois volta a subir até o cume do pico mais baixo, com 
comprimento total de 3,2 km e uma inclinação média de 30º. (a) Um esquiador parte do repouso no 
cume do pico mais elevado. Com que velocidade ele chegará ao cume do pico mais baixo 
esquiando sem usar os bastões de esqui? Ignore o atrito. (b) Aproximadamente que coeficiente de 
atrito cinético entre a neve e os esquis fariacom que o esquiador parasse bem no cume do pico 
mais baixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Na figura abaixo, um bloco de 2,5 kg desliza de encontro a 
uma mola cuja constante de força é igual a 320 N/m. 
Quando o bloco pára, a mola fica comprimida de 7,5 cm. O 
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície 
horizontal é igual a 0,25. Enquanto o bloco está em contato 
com a mola e sendo levado ao repouso, (a) qual o trabalho 
realizado pela força da mola e (b) qual o trabalho da força 
de atrito? (c) Qual a velocidade do bloco no instante em que 
o atinge a mola? 
 
13. Na figura abaixo, um bloco desliza ao longo de uma pista indo de um certo nível para um nível 
mais elevado, atravessando um vale intermediário. A pista possui atrito desprezível até que o bloco 
atinja o nível mais alto. Daí por diante, uma força de atrito faz com que o bloco pare em uma 
distância d. Ache d sabendo que a velocidade inicial do bloco 0v

 tem módulo igual a 6,0 m/s, que a 
diferença de altura h é igual a 1,1 m e que o coeficiente de atrito cinético c é igual a 0,60. 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
14. Um trabalhador de uma fábrica solta sem querer um caixote de 180 kg que estava sendo mantido 
em repouso no alto de uma rampa de 3,7 m inclinada de 39º em relação à horizontal. O coeficiente 
de atrito cinético entre o caixote e a rampa e entre o caixote e o piso horizontal da fábrica é igual a 
0,28. (a) Com que velocidade o caixote estará se movendo ao atingir a parte mais baixa da rampa? 
(b) Que distância ele irá deslizar sobre o piso da fábrica após alcançar a parte mais baixa da 
rampa? (c) As respostas para os itens (a) e (b) aumentarão, diminuirão ou permanecerão as 
mesmas se a massa do caixote for reduzida à metade? 
 
 
RESPOSTAS 
 
1. 25,0c 
9. 
NFb
JEa
4
3
1013,3)
1075,3)


 
2. mx 1,0 10. 
036,0)
/7,44)


cb
smva
 
3. 
mHc
mH
mHa
750)
3000
,1500)



 11. 
smvc
JWb
JWa
/05,1)
469,0)
9,0)



 
4. 
mgNb
gaa c
.4)
.4)


 12. md 17,1 
5. 
smvb
smva
/8,7)
/8)


 13. 
Nãoc
mdb
smva
)
44,5)
/52,5)


 
6. 
smvd
JEcc
JWb
JWa
/53,5)
101,1)
101,1)
102,1)
3
4
4




 14. WP
51074,2 
7. 
2)
4)
)
4
3)
gdvd
MgdEcc
MgdWb
MgdWa




 
8. 
23,0)
9,30)
9,30)



cc
JWb
JWa

 
 
88 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Uma bola de aço de massa igual a m é largada de uma altura H sobre uma barra de aço horizontal. A 
bola permanece em contato com a barra por um intervalo de tempo t e é rebatida até uma altura 
4H/9. Determine a força média (vetor) exercida sobre a bola, durante a colisão, em função de m, g, H, t 
e dos vetores unitários que se fizerem necessários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Teorema do Impulso-Momento Linear temos: 
 
jgHm
t
F
jgHjgHmvmvmtF
PJ
if



2
3
5
2(2
3
2.



 

 
 
 
 
2. Um projétil de massa m atinge e se engasta num bloco de madeira de massa M que está em 
repouso numa superfície horizontal, preso a uma mola em espiral cuja constante elástica é k. O 
impacto produz uma compressão máxima na mola igual a x. O coeficiente de atrito cinético entre o 
bloco e a superfície é c. Determine (a) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão e (b) a 
velocidade inicial do projétil. Expresse suas respostas em termos das grandezas m, M, g , c , k e x 
que se fizerem necessárias. 
 
 
 
 
CAPÍTULO 8- MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES 
 
Pela conservação da energia mecânica, a velocidade da 
bola ao atingir a barra será: 
jgHvgHvmvmgH iii
 22
2
1 2  
 
Após colidir com a barra a bola retornará, com velocidade 
fv
 que lhe permitirá atingir uma altura 4H/9. Pela 
conservação da energia mecânica: 
 
jgHvgHvHmgmv fff
 2
3
22
3
29/4
2
1 2 
+y 
+x 
iv

 
H 
fv

 4H/9 
x 
m 
M 
89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Duas esferas A (massa m) e B (massa 2m), suspensas por fios de mesmo comprimento L, são 
abandonadas das posições indicadas na figura abaixo. Após a colisão A e B permanecem unidas. A 
aceleração da gravidade é g. Determine: (a) o vetor velocidade das esferas imediatamente após a 
colisão, em função de L, g,  e dos vetores unitários que se fizerem necessários; (b) a fração da 
energia cinética inicial que se mantém após a colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Após a bala se engastar no bloco, o sistema bala-bloco terá uma velocidade, vf , que lhe 
permitirá deslizar uma distância x, produzindo uma compressão x na mola. 
Pelo Teorema do trabalho-energia: KWTotal  
Assim, 
 
2
22
22
22
.
)(
2
)(
2
2
1)()(
2
1
)(
2
10
2
1)(
x
Mm
kgxv
x
Mm
kgxv
kxgxMmvMm
vMmkxgxMm
KKWW
cf
cf
cf
fc
ifFElástfc









 
(b) Antes da colisão a velocidade da bala é vi e a velocidade do bloco é nula. Após a 
colisão o sistema bala-bloco terá uma velocidade, vf . 
Uma vez que, durante a colisão, 0.  dtPdFext

, o momento linear do sistema bala-
bloco será conservado. 
Assim, 
2
)(
2)(
)(
x
Mm
kgx
m
Mmv
vMmmv
PP
ci
fi
DepoisAntes





 
+y 
+x 
  
L L 
B A 
H H = L – L(cos) 
H = L(1 – cos) 
90 
 
(a) As esferas A e B são abandonadas de uma mesma altura inicial, portanto, terão no momento da colisão a 
mesma velocidade inicial (módulo). Pela Conservação da Energia Mecânica: 
 
 
  )(cos
)(cos
:
cos
igLv
eigLv
Assim
gLgHv
mgHmv
Bi
Ai









12
12
122
2
1 2
 
 
 
 
)cos()cos(..)(
)cos()cos(.)cos(




1
3
112
9
13
2
1
2
1
13122
2
112
2
1
2
1
2
1
2
22
mgLgLmvmmK
mgLgLmgLmvmvmK
fBADepois
BiBAiAAntes
 
 
9
1
3
3/1 
Antes
Depois
K
K
 
 
 
4. A carreta A é empurrada com uma velocidade de módulo 5v0 em direção à carreta B que inicialmente 
está em repouso. Após a colisão, A recua com velocidade v0, enquanto que B move-se para a direita 
com velocidade de 3v0. Num segundo experimento, A é carregada com uma massa M e empurrada 
contra B (em repouso) com velocidade de 5v0. Após a colisão, A permanece em repouso, enquanto 
que B move-se para a direita com velocidade de 5v0. Determine a massa de cada carreta, em função 
de M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B A B 
M
mB mA mB 
 
Am 
1° Experimento 
)(
.)(.
12
36
35
00
000
AB
BA
BAA
BfBAfAAiA
depoisantes
mm
vmvm
vmvmvm
vmvmvm
PP





 
2° Experimento 
)(
.).(
2
55 00
Mmm
vmvMm
vmvmvm
PP
AB
BA
BfBAfAAiA
depoisantes




 
Substituindo (1) em (2): 
Mm
Mmm
A
AA

2 
 
e, MmB 2 
Pela conservação do momento linear (colisão 
perfeitamente inelástica): 
)()cos1(2
3
1)cos1(2
3
1
3)cos1(22)cos1(2.
)(..
igLigLv
vmigLmigLm
vmmvmvm
f
f
fBABiBAiA








(b) 
91 
 
5. Os discos A (massa m e velocidade de módulo 3 v), B (massa 1,5 m e velocidade de módulo v) e C 
(massa 2,5 m) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito. Todos os discos 
atingem a origem no mesmo instante. 
(a) Determine o vetor velocidadeinicial do disco C (em função de v) para que os três discos unidos se 
desloquem com velocidade de módulo v no sentido positivo do eixo x após a colisão. (b) Determine a 
variação de energia cinética do sistema constituído pelos três discos (em função de m e v) ocasionada 
pela colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ y 
+ x 
A 
B 
C 
sen = 0,80 e cos = 0,60 
Dados: 
Antes da colisão 
)()(
2
5
)(8,0)(6,0
)(sen)(cos
2
3
)(3
jvivvmm
jvivv
jvivvmm
ivvmm
yCxCiCC
iB
iBB
iAA









Depois da colisão 
)(ivvvvv ffCfBfA
  
(a) Considerando o sistema constituído pelos discos A, B e C, durante a colisão o  externasF é 
nulo, de tal forma que o momento linear do sistema é conservado. 
)(,)(,
,,)(,)(,)]()([
)()]()([)(,)(,)(
)()]()([)](,)(,[)]([
)(
jvivv
vvevvjvivjviv
ivjvivjviviv
imvjvivmjvivmivm
vmmmvmvmvm
PP
iC
yCxCyCxC
yCxC
yCxC
fCBAiCCiBBiAA
DepoisAntes






480563
4805632198
2
5
5
2
521903
5
2
58060
2
33






 
(b) A energia cinética inicial do sistema é: 
22222 7521480563
2
5
2
1
2
3
2
13
2
1 mvvvmvmvmKi ,]),(),[()( 



 
A energia cinética do sistema após a colisão é: 
22 525
2
1 mvvmKi ,)(  
A variação de energia cinética, portanto será: 
222 2519752152 mvmvmvK ,,,  
92 
 
6. Um objeto de massa M desloca-se horizontalmente para a direita sobre uma superfície sem atrito, com 
uma velocidade v0 (em relação à Terra). Num determinado instante o objeto explode em dois 
fragmentos de massas iguais. Devido a explosão o fragmento 1 adquire uma velocidade relativa ao 
fragmento 2 para a direita de módulo 2v0. Determine, em função das grandezas M e v0 que se fizerem 
necessárias, (a) a velocidade do fragmento 2 em relação à Terra e (b) o acréscimo de energia ao 
sistema devido a explosão. 
 
 
 
 
a) Inicialmente, o objeto desloca-se 
horizontalmente, para a direita, com 
velocidade 0v em relação à Terra. 
O momento linear inicial do 
mesmo, em relação à Terra é: 
 
0MvPinicial  
 
Na explosão, 0).(  dtdPF xext . 
De tal forma que o momento linear do 
sistema constituído pelos dois 
fragmentos, em relação à Terra, 
permanece o mesmo de antes da 
explosão. 
 
0
222
2
2
)(
2
,2
0,20
0,2,22,1
0,2,22,1
0,22,11






T
T
TT
TT
TT
inicialfinal
v
vvv
vvvv
MvvMvvM
Mvvmvm
PP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A energia cinética inicial é: 
 
2
02
1 MvK Antes  
 
 Após a explosão a energia cinética dos 
fragmentos passa a ser: 
 
2
0
2
0
2
2,1
2
,22,1
2
,1
)2(
4
)(
4
)(
4
22
1
MvK
vMK
vMK
vvMK
vMK
Depois
Depois
Depois
TDepois
TDepois





 
 
A variação de energia cinética do 
sistema é: 
2
0
2
0
2
0 2
1
2
1 MvMvMvK  
Assim a energia cinética acrescida 
ao sistema na explosão é: 
2
02
1 MvK acrescida  
 
12M 0
v x(+) 
93 
 
7. Um projétil de massa m que se desloca em direção horizontal com velocidade vi, atinge um bloco de 
madeira de massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal. O projétil após 
atravessar o bloco tem sua velocidade reduzida para 2
iv . O bloco desliza uma distância d sobre a 
superfície, a partir de sua posição inicial, até retornar novamente ao repouso. Determine (a) o 
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície e (b) a energia cinética perdida durante a 
colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
a. Para se determinar o coeficiente de atrito 
cinético entre o bloco e a superfície 
precisamos, primeiramente, determinar a 
velocidade do bloco imediatamente após a 
colisão. Pela conservação do momento linear 
do sistema projétil-bloco temos: 
i
i
ii
i
i
DepoisAntes
v
M
mv
mvvM
vMmvmv
vMvmmv
PP
2
2
22
2





 
 
Durante o movimento do bloco a única força 
que realiza trabalho sobre o mesmo é a força 
de atrito cinético, assim: 
2
c
2
c
2
c
8
1μ
22
1μ
2
10μ








i
i
f
v
M
m
gd
v
M
mgd
vMMgd
KW
c
 
b. A energia cinética antes da colisão é: 
2
2
1
iAntes mvK  
Imediatamente depois da colisão a energia 
cinética do sistema é: 


 






M
MmmvK
v
M
mMmvK
vMvmK
iDepois
iiDepois
i
Depois
2
2
2
2
2
8
1
22
1
8
1
2
1
22
1
 
A variação de energia cinética do sistema projétil-
bloco foi de: 


 


 


 


 


 
M
mMmvK
M
MmmvK
M
MMmmvK
M
MmmvK
mv
M
MmmvK
i
i
i
i
ii
8
3
8
3
4
8
1
4
8
1
2
1
8
1
2
2
2
2
22
 
 
 
iv
 
d 
v = 0 v  
Imediatamente antes 
v  
2
iv

 Imediatamente depois 
94 
 
8. Um bloco de massa m1 = M movendo-se para a direita sobre uma superfície horizontal sem atrito, com 
velocidade de módulo v0 colide frontalmente com outro bloco de massa desconhecida (m2), inicialmente 
em repouso. Após a colisão o bloco de massa m1 recua com a velocidade reduzida para 2
0v e o bloco 
de massa desconhecida adquire uma velocidade 2
0v . (a) Determine a massa m2 em função de M. (b) 
Verifique se a colisão foi perfeitamente elástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Uma bala de massa m e velocidade v0 passa através de um bloco de massa M, de um pêndulo balístico 
cujo fio possui comprimento L, e emerge do bloco com a velocidade reduzida para 2
0v . O módulo da 
aceleração da gravidade local vale g. (a) Determine a velocidade do bloco, imediatamente após ser 
atravessado pela bala (em função de m, M e v0) e, (b) sabendo que o bloco, após ser atravessado pela 
bala subiu até a posição B, determine o valor de v0 (em função de m, M, L e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Pela conservação do momento 
linear: 
Mm
vmMv
vmvMMv
vmvMMv
vmvmvmvm ffii
3
22
3
22
22
0
2
0
20
0
2
0
0
0
2
0
0
22112211









 
b) Cálculo da energia cinética do sistema 
m1 e m2, antes e após a colisão 
2
0
2
0
2
0)(
2
0
2
0
)(
2
22
2
11)(
2
0
2
22
2
11)(
2
1
8
3
8
1
2
3
2
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
MvMvMvE
v
M
v
ME
vmvmE
MvvmvmE
DepoisC
DepoisC
ffDepoisC
iiAntesC








 
Uma vez que a EC(Antes) = EC(Depois), a 
colisão é perfeitamente elástica. 
m1 m2 
0v
 
2
0v

 2
0v

 m1 m2 
L 
2
0v

 0v
 
L
B 
NR
L 
95 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um corpo A de massa M desloca-se para a direita com velocidade constante, de módulo 6v0 e faz uma colisão 
frontal, perfeitamente elástica, com um corpo B de massa 2M inicialmente em repouso. Determine o impulso 
exercido, devido a colisão, (a) sobre o corpo A e (b) sobre o corpo B. (Dados: M e v0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Pela conservação do momento 
linear: 
0
0
0
0
0
022112211
2
2
1
2
2
0
v
M
mv
vMmv
vM
v
mmv
vM
v
mmv
vmvmvmvm ffii







 
b) Após ser atravessado pela bala o 
bloco adquire uma velocidade v’ 
que lhe permite subir até a 
posição B. Pela conservação da 
energia mecânica: 
Lg
m
MLg
m
Mv
m
MLgv
Lgv
M
m
MgLv
M
mM
MgLvM
228
8
2
4
22
1
2
1
0
2
2
2
0
2
02
2
2
0
2







 
+ x 
A 
B 
06v
 
Pela conservação do momento linear: 
)1(62
26
26.
0
0
0
vvv
vvv
MvMvvM
vmvmvmvm
BfAf
BfAf
BfAf
BfBAfABiBAiA




 
 
Uma vez que a colisão é elástica podemos usar o 
fato de que ocorre inversão na velocidade 
relativa após a colisão. 
0
0
6
6
vvv
vvv
vvvv
BfAf
AfBf
AfBfBiAi



 
Resolvendo o sistema de equações (1) e (2): 
0
0
0
0
0
0
0
0
4
6
2
63
1222
62
)2(6
62
vv
vvv
vv
vv
vvv
vvv
vvv
vvv
Bf
AfBf
Af
Af
BfAf
BfAf
BfAf
BfAf





 


 

 
Assim, o impulso exercido sobre o corpo A é:    
0
00
8
62
MvJ
vvMvvMpJ
A
AiAfAA


 
Uma vez que, na colisão, o impulso total é 
igual a zero: 
08MvJJ AB  
96 
 
11. Uma bola de borracha com massa m é liberada do repouso a uma altura h acima do solo. Após o 
primeiro quique, ela sobe a 90% da sua altura original. Determine qual impulso (módulo, direção e 
sentido) o solo exerce sobre essa bola durante o seu primeiro quique. Expresse sua resposta em 
termos das variáveis m, g e h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Um vagão de estrada de ferro (A) , de massa 2M, está freado no topo de uma ladeira, a uma altura H1 
em relação ao solo. Quando ele é solto, rola pela ladeira e se engata com um outro vagão (B), de 
massa M, que está parado, livre, na base da ladeira. Os dois, engatados, sobem até a altura H. 
Determine (a) a altura H e (b) a energia mecânica perdida na colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da velocidade antes da colisão com o solo (v1): 
ghv
mvmgH
2
2
1
1
2
1


 
Cálculo da velocidade após a colisão com o solo (v2): 
ghv
hmgmv
80,1
90,0
2
1
2
2
2


 
Cálculo do Impulso exercido pelo solo sobre a bola: 
   ghghmJ ghghmJ
vvmJ
mvmvJ
pJ
280,1
)280,1
)( 12
12





 
Direção: Vertical 
Sentido: Para cima 
h 
1v
 
2v
 
 0,90 h 
v0 = 0 
v = 0 
+ y 
H1 
H = ? 
A 
B 
A colisão entre os vagões será perfeitamente 
inelástica uma vez que os dois vagões 
permanecerão engatados e, assim sendo, 
terão a mesma velocidade após a colisão. 
fBfAf vvv  
NR (Ug = 0) 
97 
 
a. Cálculo da velocidade de A imediatamente 
antes da colisão 
Durante a descida de A, a única força que realiza 
trabalho é a força gravitacional, assim: 
1
2
1
2
2
2
12
gHv
MvMgH
EE
Ai
Ai
finalinicial



 
 
Pela Lei de Conservação do Momento Linear: 
123
2
)2(2
gHv
vMMMv
PP
f
fAi
DepoisAntes



 
Uma vez que, durante a subida dos vagões, 
novamente, a única força que realiza trabalho é 
a força gravitacional, temos: 
1
1
2
9
4
2
9
4
2
1
33
2
1
HH
gHgH
MgHMv
EE
f
finalinicial






 
 
 
 
 
 
b. Considerando o nível de referência 
(h = 0) na base da ladeira, a Energia Mecânica 
inicial do sistema constituído pelos dois 
vagões será: 
12MgHEinicial  
E, a Energia Mecânica final do sistema 
constituído pelos dois vagões será: 
1
1
3
4
9
433
MgHE
HMgMgHE
final
final




 
 
Assim, a variação de energia mecânica do 
sistema em virtude da colisão ocorrida será: 
1
11
3
2
2
3
4
MgHE
MgHMgHE


 
A energia mecânica perdida na colisão é, portanto: 
 13
2 MgHEPerdida  
 
 
13. Um bloco A de massa mA = 1 kg move-se com uma 
velocidade vA = 3 m/s num plano horizontal liso, 
colidindo com uma esfera B de massa mB = 5 kg. A 
esfera estava inicialmente parada e suspensa por um 
fio, como mostra a figura ao lado. Após a colisão, a 
esfera atinge uma altura h = 0,05m. 
 
 
 
a) Qual o módulo e o sentido da velocidade do bloco A após a colisão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela conservação do momento linear: 
2m/sv Af 






1.53
.53
53
513.1
.
Af
BfAf
BfAf
BfAf
BfBAfAAA
DepoisAntes
v
vv
vv
vv
vmvmvm
PP
 
Pela conservação da energia mecânica 
da esfera após a colisão: 
smv
hgv
hgv
hgmvm
EE
Bf
Bf
Bf
BBfB
finalinicial
/1
05,0.10.2..2
..2
...
2
1
2
2





 
BA h = 0,05 mAv

 
+ x 
98 
 
b) A colisão foi perfeitamente elástica? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Um bloco de massa m1 = 3 kg movendo-se para a direita com velocidade v1i = 6 m/s sofre uma 
colisão perfeitamente elástica com um bloco de massa m2 = 6 kg que se movimenta também para a 
direita com velocidade v2i = 3 m/s. (a) Determine as velocidades finais dos blocos após a colisão. 
(b) Considerando que a colisão tenha durado 0,002 s, determine a força média exercida por m1 
sobre m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A energia cinética antes da colisão é: 
JE
E
vmE
antesC
antesC
iAAantesC
5,4
3.1
2
1
2
1
)(
2
)(
2
)(



 
Imediatamente depois da colisão a energia cinética do sistema é: 
JE
E
vmvmE
depoisC
depoisC
BfBAfAdepoisC
5,45,22
)²1.(5
2
1)²2.(1
2
1
2
1
2
1
)(
)(
2
2
2
)(



 
 
Uma vez que a energia cinética foi conservada, a colisão é perfeitamente elástica. 
(a) Pela conservação do momento linear: 
1.212
)3(6336
633.66.3
....
21
21
21
12212211
Eqvv
vv
vv
vmvmvmvm
PP
ff
ff
ff
ffii
DepoisAntes





 
Uma vez que a colisão é perfeitamente elástica 
podemos usar o fato de que ocorre inversão na 
velocidade relativa após a colisão. 
2.3
36
12
12
1221
Eqvv
vv
vvvv
ff
ff
ffii



 
5m/sv2f 


 

153
3
122
2
21
21
f
ff
ff
v
vv
vv
 2m/sv1f 


35
3
1
21
f
ff
v
vv
 
m2 6 kg m1 3 kg 
smv i /61  smv i /32  
b) 22 pJ  
6000NF 



002,0
)35(6
)(002,0.
..
222
2222
F
vvmF
vmvmtF
if
if
 
99 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
1. (a) Qual é o módulo do momento linear de um caminhão de 10000 kg que se desloca com velocidade 
de 12 m/s? (b) Qual o impulso necessário para retirá-lo do repouso e imprimir-lhe a velocidade de 12 
m/s? Qual deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000 kg para que ele tenha (c) o mesmo 
momento linear do caminhão? (d) a mesma energia cinética do caminhão? 
 
 
2. Dois blocos A e B de mesma massa (m = 2 kg), movem-se sobre uma superfície horizontal e sofrem 
uma colisão elástica. Inicialmente o bloco A se desloca para a direita com velocidade de módulo igual a 
2 m/s e o bloco B para a esquerda com velocidade de módulo igual a 4 m/s. Determine a variação de 
momento linear do bloco A e do bloco B. 
 
 
3. Uma partícula de 12 g move-sea 3 m/s, para a direita na direção de uma outra que tem 6 g e uma 
velocidade de 7,5 m/s para a esquerda. Determine a variação de momento linear de cada partícula 
após ter ocorrido uma colisão frontal, perfeitamente elástica. 
 
 
4. Uma bala de 5,0 g movendo-se a 670 m/s atinge um bloco de madeira de 500 g, inicialmente em 
repouso sobre uma superfície sem atrito. A bala atravessa o bloco e emerge, viajando no mesmo 
sentido, com sua velocidade reduzida a 420 m/s. (a) Qual é a velocidade final do bloco ? (b) Qual é a 
porcentagem de energia perdida na colisão? 
 
 
5. Um carrinho de massa igual a 340 g movendo-se sobre um trilho de ar linear a uma velocidade inicial 
de 1,2 m/s sofre uma colisão elástica com outro carrinho inicialmente em repouso de massa 
desconhecida. Após a colisão, o primeiro carrinho continua no seu sentido original com 0,60 m/s. (a) 
Qual é a velocidade do segundo carrinho após a colisão? (b) Qual a massa do segundo carrinho? 
 
 
6. Duas esferas de titânio se aproximam com velocidades de mesmo módulo e sofre uma colisão elástica 
frontal. Após a colisão, uma das esferas, cuja massa é de 300 g, permanece em repouso. Determine a 
massa da outra esfera. 
 
 
7. Um próton-projétil com uma velocidade de 500 m/s colide elasticamente com um próton-alvo, 
inicialmente em repouso. Os dois prótons se movem, então, ao longo de trajetórias perpendiculares, 
com a trajetória do projétil a 60 graus em relação ao sentido inicial. Após a colisão, quais são as 
velocidades (a) do próton-alvo e (b) do próton-projétil? 
 
 
8. Um objeto de massa m1 = 2M desloca-se horizontalmente para a direita, sobre uma superfície sem 
atrito, com uma velocidade cujo módulo é 3v0 indo colidir com um objeto de massa m2 = M, inicialmente 
em repouso na mesma superfície. Após a colisão o bloco de massa m2 passa a se mover com 
velocidade de módulo 4v0. Determine em função das grandezas M e v0 que se fizerem necessárias: 
 
 
 
(a) a velocidade do objeto 1 após a colisão, (b) e a força média (módulo, direção e sentido) exercida 
sobre o corpo de massa m2, pelo corpo de massa m1 durante a colisão, sabendo que a mesma durou 
um tempo t. (c) A colisão é perfeitamente elástica? Explique. 
 
 
2M 
m1 m2 
03v
 + x M
100 
 
9. Uma bala de massa m é disparada contra um bloco de madeira de massa M que se encontra em 
repouso, na base de um plano inclinado de um ângulo . A bala fica encravada no bloco e, o conjunto 
bala-bloco desliza uma distância L sobre o plano inclinado até parar no ponto B. O coeficiente de atrito 
entre o bloco e o plano inclinado vale 2
1 . O módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine 
o módulo da velocidade inicial do projétil (v0) em função de m, M, L e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Uma esfera de aço de massa M e uma corda de massa desprezível de 
2m de comprimento formam um pêndulo simples que oscila sem atrito 
em torno do ponto O, conforme mostrado na figura abaixo. Esse 
pêndulo é solto a partir do repouso na posição horizontal, e quando a 
esfera atinge sua posição mais baixa ela sofre uma colisão 
perfeitamente elástica com um bloco, também de massa M, que se 
encontra em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de 
atrito cinético entre o bloco e a superfície horizontal vale 0,10. 
Considere g = 10m/s2. Determine: (a) A velocidade do bloco 
imediatamente após a colisão. (b) A distância percorrida pelo bloco até 
que ele atinja novamente o repouso. 
RESPOSTAS 
1. 
smvd
smvc
smkgIb
smkgPa
/8,26)
/60)
/.102,1)
/.102,1)
5
5




 5. 
gmb
smva f
3,113)
/8,1)
2
2


 9. Lg
m
Mmv 2)(0
 
2. 
smkgP
smkgP
B
A
/.12
/.12


 6. gm 1002  10. mdb
smv f
20)
/32,62


 
3. 
smkgP
smkgP
B
A
/.104,8
/.104,8
2
2




 7. 
smvb
smva
projétil
alvo
/250)
/433)


 
 
 
 
4. 
%)6,60(7,679)
/5,2)
)(
2
JEb
smva
perdidac
fr


 
 
 
8. 
2
0)()(
0
01
9.)
,4)
)
MvEESimc
direitaaparahorizontal
t
MvFb
vva
antescdepoisc
f



 
 
5
4
5
3




cos
sen
 
m 
 
 
 
L 
M 
 
M 
 
m 
 
0v
 
A 
B 
m2 = M 
101 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
1. Uma viga de alumínio com 9,00 de comprimento, pesando 300 N, repousa simetricamente sobre 
dois suportes separados por uma distância de 5,00 m. Um adolescente pesando 600 N parte do 
ponto A e caminha para a direita. a) Em um mesmo diagrama, construa dois gráficos mostrando as 
forças de baixo para cima FA e FB exercidas sobre a viga nos pontos A e B, em função da 
coordenada x do adolescente. (b) Pelo diagrama, até que distância à direita do ponto B ele pode 
caminhar sem que a viga tombe? c) Qual será a distância máxima até a extremidade direita da viga 
que o ponto de suporte B pode ser colocado para que o adolescente possa atingir essa extremidade 
sem que comece a tombar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Pelo diagrama percebe-se que FA = 0 
quando x = 6,25 m de tal forma que o 
adolescente poderá percorrer 1,25 m 
além do ponto B. 
c) Considere que o adolescente 
chegou à extremidade direita no 
instante em que FA = 0 e FB, 
portanto, é igual a 900 N. 
Tomando-se o Somatório dos 
torques em relação à nova posição 
do suporte B, temos: 
 
md
d
dd
ddB
5,1
35,4
02)5,4(
0600)5,4.(300'




 
xF
xFexF
xF
xF
FF
F
A
AB
B
B
A
BA
y
120750
)150120(900150120
7506005
0.6005,2.3005.
0
900
0







 
x 
x 0 
A B d 
 
CAPÍTULO 11- EQUILÍBRIO 
 
102 
 
2. A barra da figura abaixo é homogênea, pesa 500 N e está em equilíbrio na posição indicada na 
figura abaixo. O peso do objeto suspenso é 50 N. Determine a tração na corda e a força que o 
suporte exerce sobre a barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um disco circular de raio R pode girar, sem atrito em torno de um eixo horizontal que passa pelo 
seu centro. Um fio é enrolado na periferia do disco e em sua extremidade está pendurado um objeto 
de massa 10M. Um eixo uniforme de comprimento L (= 10R) e massa 2M está amarrado ao disco 
com uma das extremidades no centro do disco. Quando se coloca na outra extremidade do eixo um 
objeto de massa M o conjunto fica em equilíbrio na posição indicada abaixo. Determine o ângulo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 50 N corda 
suporte 
1 m 1 m 
c.g. 
 
M 
10M 
c.g. 
Aplicando as condições de 
equilíbrio para a barra: 
450
500
50
0
2
1
21




TF
NP
NT
PTFTF
S
Sy
 
2T

 1
T

 
P

SF

 
Tomando-se o eixo de rotação no 
ponto de apoio: 
 
NF
F
TF
e
NT
T
T
TPT
S
S
S
250
200450
450
200
16008
083.5002.50
08.3.2.
0
2
2
2
2
21
0








 
 
 
O 
103 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que o sistema (eixo + disco) está em equilíbrio: 
º60
2
1cos
cos2010
cos10.cos5.2.10
0cos10.cos5.2º90sen.10
00






PRPR
RPRPRP
RPRPRP
 
 
 
 
4. Uma escada uniforme de comprimento L e peso P está encostada em uma parede lisa. Sua 
extremidade superior está situada a uma distância 0,80L acima do solo como mostra a figura abaixo. 
Um homem de peso 2P sobe pela escada. Determine o coeficiente de atrito estáticomínimo entre o 
solo e a base da escada, de tal forma que o homem possa subir até o centro da escada sem que a 
mesma escorregue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La
La
LaL
60,0
)64,000,1(
)80,0(
22
222



 
)1(
0
)(
)(
Pmáxe
Pmáxex
Nf
NfF

 
)2(3
03
PN
PNF
S
Sy

 
)3(
8
9
80,0
.90,0
.90,080,0.
0
2
60,0.380,0.
P
L
PLN
PLLN
LPLN
P
P
Poz



 
Substituindo (2) e (3) em (1): 
8
3
8
93.
8
9.
)(



ee
Se
Pmáxe
PP
PN
Nf


 
x 
0,80L 
L 
PN

 
)(máxef

 
SN

 
P

3 
a 
O 
y 
 
P

10 
P
P

2
0 
R 
F

104 
 
5. Uma barra homogênea de peso P é presa a uma parede por meio 
de uma dobradiça (A). Na outra extremidade encontra-se 
suspensa uma carga de peso 2P. A barra é mantida na horizontal 
por meio de um fio preso à parede e ao centro de gravidade da 
mesma. Determine: (a) o módulo da tensão no fio e (b) a força 
exercida pela dobradiça sobre a barra em termos dos vetores 
unitários i

 e j

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i

 
j

 sen 45° = cos 45° = 2
2 
45°
A 
P

 
P

2 
H

V

 
T

xT

 
yT

 
45° 
Diagrama de forças para a barra 
Aplicando as condições de equilíbrio para a barra temos: 
  220 TTHHTF xxx (1) 
  PVTPVTF yyy 303 (2) 
PTaPT
PT
TP
TPP
LTLPPL
y
y
y
yA
25)(5
2
2
)3(5
22
5
22
2
0
22
2




 
 
Substituindo (3) em (2): 
PV
PVP
2
35


 
Portanto, a força vertical está no sentido contrário daquele convencionado. 
 
Substituindo o valor de T na equação (1): 
PPH 5
2
225  
 
(b) )(2)(5 jPiPF
  
105 
 
 
6. A extremidade A da barra AB da figura abaixo repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito, e 
a extremidade B está articulada. A barra é homogênea e possui peso P

. Uma força horizontal F

é 
aplicada à barra na extremidade A, sendo F = 2P. Determine, em função de P,  e dos vetores 
unitários que se fizerem necessários, (a) a força exercida sobre a barra pela superfície horizontal e 
(b) a força exercida sobre a barra pela articulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando as condições de equilíbrio: 
 
  00 OeF  
 
PFF
FF
F
H
H
x
2
0
0



 
 
 
 
V
V
y
FPN
FPN
F



0
0
 
 
 
 
 
 
F

 
i

 
j

k

B 
A 
HF

 
VF

 
F

 
N

P

O (eixo de rotação) 
 
F = 2P 
 
 
 




tan
tantan
cos
cos
cos
cos






4
22
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
PPPF
PsenPsenF
PsensenFP
senLPLsenFPL
senLPLsenFLF
V
V
V
V
VH
O
 
 

tan4
tan2tan
2
2
2tan
2
PPPN
PPPN
 
Assim: 
 
  )(tan4
tan2
)(2)(
)(tan4
tan2
)(
. j
PiPFb
jPNFa
Art
SH



 
106 
 
7. Na figura ao lado, sejam P e P’ (= 3P) os pesos do caixote e da 
baliza, respectivamente, e  o ângulo que o eixo imaginário que 
passa pelo centro da baliza faz com a horizontal. A baliza está 
ligada a um pivô sem atrito à sua extremidade inferior. A baliza 
não é uniforme, sendo a distância entre o seu centro de 
gravidade e o pivô igual a um terço do seu comprimento total. 
Despreze a massa do fio e o atrito nas roldanas. 
c. Determine a tensão no fio de sustentação superior e as 
componentes horizontal e vertical da força exercida sobre a 
baliza em sua parte inferior. 
d. Determine o ângulo que a força resultante que atua na 
extremidade inferior da baliza faz com a horizontal. 
Dados: P , P’ = 3P e . 
Ilustração: 
 = 90° = 90°   
sen  = cos  
a) Determinação de FV : 
03  PPFF Vy 
 PFV 4 (1)
Determinação de T : 
0)3(
3
1  PLPLTLoz  
0)cos2sen(  PTL 
  tan
2PT (2) 
Determinação de FH :   0TFF Hx 
TFH  (3) 
b) Determinação de  : 


  tan2
2
tan)4(tan
P
P
F
F
H
V 
  )tan2arctan( (4) 
 
 
 
8. A barra AB da figura ao lado é uniforme, pesa 2P, e tem 
comprimento L. A barra é articulada na extremidade A e, a uma 
distância L4
3 desta extremidade encontra-se suspenso um 
objeto de peso P. A barra é mantida em equilíbrio, presa à 
parede por um cabo de sustentação. Determine: (a) A tração 
no cabo de sustentação e (b) as componentes vertical e 
horizontal da força que a articulação exerce sobre a barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fio de sustentação 
Baliza 
Pivô 
  
HF

 
VF

 P

'P

 
L 
T

 
P 
 L
4
3 L4
1 
 
 A B 
 cabo de sustentação
 
107 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Uma escada para fuga de incêndio de comprimento é L e peso P encontra-se em equilíbrio, apoiada 
em uma calçada e o seu topo é mantido preso a um pivô. O atrito entre a base da escada e a 
calçada é desprezível. O centro de gravidade da escada coincide com o seu centro geométrico. A 
uma distância 3
L da base da escada encontra-se um bombeiro de peso 3P. A escada faz um 
ângulo  com a horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a 
escada (a) pela calçada e (b) pelo pivô. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
 
3
L 
pivô
O 
A B 
 
VF

 
P

 
P

2 
T

 yT

 
xT

 HF

 


TsenT
TcosT
y
x


 
Aplicando as condições de equilíbrio para a 
barra AB temos: 
)1(
0


TcosF
TcosFF
H
Hx

 
 
)2(3
03
PTsenF
PTsenFF
V
VY




 
 
)(
4
7
4
7
0
4
3
0
4
3
2
2.
a
sen
PT
PTsen
PPTsen
LPLPLTsenA








 
 
(b) Substituindo T em (1) e (2): 


tan
PF
cos
sen
PF
H
H
4
7
4
7


 
 
 
O 
3
L 
P

N

 
VF

 
P

3 
 
 
Lcos 
cosL
3
2 
cosL
2
 
O 
VF

 
N

 
P

108 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Uma trave uniforme de peso P e de comprimento igual a L está presa a um pino na extremidade 
inferior e sofre a ação de uma força F

 de intensidade 2P, na sua parte superior. A trave é mantida na 
vertical por um cabo que faz um ângulo  com o solo. Determine, em função de P, (a) a tensão no cabo 
e (b) as componentes horizontal e vertical da força que o pino exerce sobre a trave. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F

 
2
L 
2
L 
5
3
5
4




sen
cos
 
Aplicando as condições de equilíbrio para a escada temos: 
 
)1(4
04
0
PNF
PNFF
F
V
Vy
x





 
 
 
jˆ
2
5
2
5
2
2
02
2
0
3
23
20
PNPN
PPN
PPN
cosLPcosLPNLcos






 
Vertical, para cima.Substituindo o valor de N na equação (1): 
jˆPFPF
PPF
PPF
VV
V
V
2
3
2
3
2
54
4
2
5




 
Vertical, para cima. 
 
109 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Uma placa quadrada uniforme, de peso P e lado 2L, está pendurada numa haste de comprimento 
3L e massa desprezível. Um cabo está preso à extremidade da haste e a um ponto na parede 
situado a uma distância 4L acima do ponto onde a haste é fixada à parede, conforme mostra a 
figura. Determine, em função de P, (a) a tensão no cabo; (b) as componentes horizontal e vertical da 
força exercida pela parede sobre a haste. Use caneta para a resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
2
L 
2
L 
xT

 
yT

 
T

 
P

 
F

HF

 
VF

 
)1(2
5
4
5
4
0
PTF
FTF
TcosFF
TFF
F
H
H
H
xH
x





 
)2(
5
3
0
TPF
TsenPF
TPF
F
V
V
yV
y




 
a) 
)3(5
4
5
4
4
2
0
2
0
PT
PT
PTcos
FT
FLLT
x
x
O








 
 
b) Substituindo (3) em (1): 
PF
PPF
PTF
H
H
H
2
25
5
4
2
5
4



 
Substituindo (3) em (2): 
PF
PPF
TPF
V
V
V
4
5
5
3
5
3



 
Boas 
Férias! 
2L 
4L 
2L 
L3 
2L 
L3
O 
xT

 
T

HF

 
VF

 
yT

 
P

 
Diagrama de corpo livre 
 
)1(
5
3
5
3
0
TF
TF
TcosF
TF
F
H
H
H
xH
x





 
)2(
5
4
0
TPF
PTsenF
PTF
F
V
V
yV
y




 
Diagrama de corpo livre 
L3 
4L D = 5L 
 
110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Uma porteira tem comprimento igual a 2L, altura L e peso P. Os centros geométrico e de gravidade 
coincidem e as dobradiças ficam em A e B. Para reduzir o esforço na dobradiça superior colocou-se 
um cabo CD, cuja tensão foi ajustada de modo que a força horizontal exercida pela dobradiça A 
sobre a porteira seja metade da força horizontal exercida pela dobradiça B  AB HH 2 . Na figura já 
estão representadas as componentes horizontais e verticais das forças exercidas pelas dobradiças 
A e B. Determine: (a) a tensão no cabo; (b) as componentes horizontais (HÁ e HB) das forças 
exercidas pelas dobradiças A e B sobre a porteira. (c) Determine a força vertical conjunta (VÁ + VB) 
exercida pelas dobradiças A e B. Respostas em função de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LD
LD
LLD
5
25
)3()4(
22
222



 
 
5
3
5
3
5
4
5
4


L
Lcos
L
Lsen


 
a) 
)3(
6
5
3
2
5
4
3
2
3
2
023
0
PT
PT
PTsen
PT
LPLT
y
y
O








 
 
b) Substituindo (3) em (1): 
PF
PF
TF
H
H
H
2
1
6
5
5
3
5
3





 
Substituindo (3) em (2): 
PF
PPF
PPF
TPF
V
V
V
V
3
1
3
2
6
5
5
4
5
4






 
 
L 
2L 
A 
B 
BV

 
AH

 
BH

 
AV

 
D 
C 
5
4cos
5
3



sen
 
P

 
T

 
yT

 
xT

 
TTsenT
TTcosT
y
x
5
3
5
4




 
AB HH 2 
111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. A escora da figura abaixo é uniforme e tem peso igual a P. A escora é articulada em uma das 
extremidades e na outra extremidade está suspenso um objeto de peso igual a 2P. Um cabo prende 
a escora à parede. Determine: (a) a tração no cabo e (b) as componentes horizontal e vertical da 
força exercida sobre a escora pela articulação. Respostas em função de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando as condições de equilíbrio para a 
porteira, temos: 
)1(
5
4
2
5
4
0
TH
HHT
HHTF
A
AA
BAxx



 
 
)2(
5
3
5
3
0
TPVV
PVVT
PVVTF
BA
BA
BAyy



 
 
)(
...
3
14
5
5
14
5
42
5
32
2
020
PTPT
PTT
PHT
LPLHLT
By
ByA




 
Substituindo (3) em (1) e (2): 
 
PHH
PPH
AB
A
7
42
7
2
14
5
5
4


 
 
 
PVV
PPVV
PPVV
BA
BA
BA
14
11
14
3
14
5
5
3



 
O 
V

 
 P

 
P

2 
H

 
T

 
5
4cos
5
3



sen
 
112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Uma prancha homogênea de 12 m de comprimento com peso igual 90 N repousa sobre dois apoios A e B, cada 
um a 1 m da extremidade mais próxima. Um bloco de 360 N é colocado sobre a prancha, a 3 m da extremidade 
direita, como mostrado na figura abaixo. Determine a força exercida por cada apoio sobre a prancha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando as condições de equilíbrio para a 
escora, temos: 
)1(
00
TH
THFx

 
 
)2(3
020
PV
PPVFy

 
 
HPTPT
PT
PTsen
PPTsen
LPPLTLsen
LPPLTLsen
O







3
10
6
20
5
45
5
32
cos52
0coscos42
0cos
2
cos2
0cos
2
cos2
0




 
O 
 
Lcos 
cosL
2
 
Lsen 
PV
PH
PT
3
3
10
3
10



 
1 m1 m 10 m
B
3 m
A 
BA 
)90( NPP

 
)360( NPB

 
BF

 
AF

 
10 m
5 m 
8 m 
113 
 
 Aplicando as condições de 
equilíbrio para a barra: 
)1(450
36090
0



BA
BA
BPBAy
FF
FF
PPFFF
 
Tomando-se o eixo de rotação no 
ponto onde se encontra o apoio A: 
 
333NFB 





3330.10
10.2880450
010.8.3605.90
010.8.5.
00
B
B
B
BBP
F
F
F
FPP
 
 
 
Substituindo FB na equação (1): 
117NFA 
 450333AF 
114 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Quando necessário use g = 10 m/s². 
 
 
1. Um mergulhador de peso igual a 480 N está de pé sobre 
a extremidade de um trampolim de 4,5 m e peso 
desprezível. O trampolim está preso a dois pedestais que 
distam 
1,5 m entre si, conforme a figura ao lado. Determine o 
módulo, a direção e o sentido das forças exercidas sobre 
o trampolim (a) pelo pedestal da direita D e (b) pelo 
pedestal da esquerda E. 
 
 
 
 
 
 
2. A escora da figura ao lado é uma haste fina, uniforme e tem 
massa m. Um cabo liga um corpo de massa M à escora, e o outro, 
liga esta última a uma parede. A escora é presa ao chão por uma 
articulação e faz um ângulo  com a horizontal. Desprezando as 
massas dos cabos e o atrito na articulação, determine: (a) a 
tensão no cabo que liga a escora à parede; (b) as componentes 
horizontal e vertical da força aplicada pelo chão na articulação da 
escora; (c) o ângulo formado entre a força resultante na 
articulação e a escora. 
 
 
 
3. Romeu, cujo peso é 700 N, pega uma escada uniforme de 10 m de 
comprimento que pesa 200 N e a encosta em uma parede lisa (sem atrito) 
da residência de Julieta. O pé da escada está sobre o solo a 2,8 m da 
parede. Após Romeu subir 7 m ao longo da escada, esta fica na iminência 
de deslizar. Determine o coeficiente de atrito estático entre o solo e o pé 
da escada. M 
m 
2,8 m 
10 m 
 1,5 m 
 4,5 m 
E D 
115 
 
4. A figura mostra uma barra de 50 cm de comprimento e massa desprezível, 
suspensa por uma corda OQ, sustentando um peso P de 3000 N no ponto 
indicado. Sabendo que a barra está em equilíbrio e se apóia sem atrito 
nas paredes do vão, determine a razão entre a tensão na corda e a 
reação normal na parede no ponto S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um objeto de 360 N está pendurado em um fio preso a uma 
barra de peso desprezível de 15 m de comprimento, 
articulada em uma parede vertical e sustentada por um 
cabo, conforme figura ao lado. Determine a tração no cabo 
e as componentes horizontal e vertical da força exercida 
sobre a barra pela articulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. A extremidade de um poste de peso P e altura h está apoiada sobre uma 
superfície horizontal. A extremidade superior do poste está sustentada por 
uma corda amarrada à superfície horizontal, fazendo um ângulo  com o 
poste. Uma força horizontal F

 é aplicada no centro do poste. Sabendo 
que o coeficiente de atrito estático entre a base do poste e a superfície 
horizontal é e, determine o módulo máximo de F

 para que o poste não 
comece a deslizar. Dê sua resposta em função de P,  e e. 
 
 
 
7. Uma barra uniforme de peso P

 está presa por uma dobradiça a uma 
parede e apoiada numa superfície cujo atrito é desprezível. A barra é 
empurrada por uma força F

 horizontal, num ponto onde se localiza o 
centro de gravidade da barra e cuja intensidade é o dobro do seu 
peso. A barra forma com a horizontal um ângulo . Determine, em 
termos de , P e dos vetores unitários que se fizerem necessários: 
 a) a força exercida pela superfície; 
 b) a força exercida pela dobradiça sobre a barra. 
10 cm 30 cm 
20 cm 
O 
Q 
R 
S 
P
333666000 NNN 
10 m
5 m 15 m
60º 
F

  
 
F

 
116 
 
8. Na figura ao lado, seja PB o peso do bloco,  o ângulo que o fio faz com 
a barra horizontal e L e PL o comprimento e o peso da barra, 
respectivamente. O fio pode suportar uma tensão máxima T. (a) 
Determine a maior distância x para que o fio não se rompa. (b) Para o 
bloco nesta posição x, determine as componentes vertical e horizontal 
da força exercida pelo pino sobre a barra. 
 
 
 
9. Na figura ao lado, uma esfera uniforme de peso P e raio R é mantida em 
repouso, apoiada em uma parede, presa à parede por um fio, a uma altura 3R 
do centro da mesma. Determine: (a) o módulo da tensão no fio e (b) o vetor 
força (em termos de vetores unitários) que a parede exerce na esfera. 
 
 
 
 
10. Na estrutura em equilíbrio mostrada na figura ao lado, a barra 
AB tem peso desprezível e o bloco P pesa 40 N. Determine: 
a) O módulo da tensão T na corda BC. b) Os módulos das 
componentes horizontal e vertical da força que a articulação 
exerce sobre a barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1. 
jFb
jFa
E
D 

960)
1440)


 
4. 3
SN
T
 
 
7. 
jPiPFb
PNa
D
 

 


 
2
1tan2)
tan
2
1)


 
9. a) PT
3
5 
 b) 
jPiPF

3
1
3
1 
2. 








 


tan
2(
)(2tan)
)(
)2(
tan2
)
)2(
tan2
)
1
Mm
Mmc
gMmF
MmgFb
MmgTa
V
H
5. 
baixoparaNF
direitaaparaNF
NT
V
H
450
6,467
3,935



8. 



TsenPPF
TFb
P
LPTsenxa
LBV
H
B
L




 
cos)
2
)
 10. a) T = 50 N 
 b) FH = 40 N 
e 
 FV = 10 N 
3. 2,0e 
 
6. 
)(tan
tan2
e
e
máx
PF 

 
 
 
x 
L 
 
3R 
R 
1 m 
3 m 
3 m 
B A 
C 
P = 40 N 
	Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau:
	2.1 . Teorema de Pitágoras:
	2.2 . Relações trigonométricas do triângulo retângulo:
	Equações do movimento
	Movimento Horizontal
	Movimento Vertical
	(b) Sabendo que 
	(a) O tempo de percurso do projétil corresponde ao instante em que o mesmo atinge a posição x = D e y = - d.
	(c) A componente x da velocidade com que o projétil atinge a parede é: 
	Bloco A
	Bloco B