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Equações Diferenciais Parciais Utilizaremos o método de separação de variáveis para transformar uma equação diferencial parcial (EDP) em um conjunto equações diferenciais ordinárias (EDOs). Essas EDOs estarão sujeitas a condições iniciais (em um único ponto) e condições de contorno (em dois pontos diferentes). Normalmente, procuramos primeiro a solução geral da EDO, depois usamos as condições de contorno para determinar os valores das constantes arbitrárias (𝑐1 𝑒 𝑐2), encontramos os autovalores que geram solução real e explicitamos essa solução encontrando os seus coeficientes através de uma comparação com a série de Fourier. Considerando uma equação diferencial do tipo: 𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑦(𝑥0) = 𝑎 𝑦(𝑥1) = 𝑏 Se 𝑔(𝑥), 𝑎 e 𝑏 são iguais a ZERO então a equação é dita homogênea. Caso uma das condições não seja satisfeita, é dita não-homogênea. Um sistema homogêneo SEMPRE tem pelo menos a solução x = 0. É impossível para o sistema homogêneo não ter solução. 1º passo: Encontrar a solução geral da equação diferencial 2º passo: Aplicar as condições de contorno: substituir os pontos 𝑥0 e 𝑥1 e calcular os valores de 𝑐1 𝑒 𝑐2 𝜆 > 0 → 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝜆𝑛 = 𝑛2𝜋2 𝐿2 𝑒 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓 𝑦𝑛 = sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝜆 = 0 → 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝜆 < 0 → 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 Um problema com valores de contorno diferentes de zero tem uma única solução O mesmo problema com valors de contorno iguais a zero tem apenas a solução trivial y = 0 Um problema com valores de contorno diferentes de zero tem infinitas/nenhuma solução O mesmo problema com valores de contorno iguais a zero tem soluções alem da trivial Séries de Fourier É uma série (somátório) de cossenos somada a uma série (somatório) de senos. Se 𝑓(𝑥) e 𝑓’(𝑥) são contínuas por partes com 𝑓 definida fora do intervalo [-L, L] de modo a ser periódica e considerando o período 𝑇 = 2𝐿: 𝑓(𝑥) = 𝑎0 2 +∑(𝑎𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 Onde: 𝑎0 = 1 𝐿 ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝑎𝑛 = 1 𝐿 ∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 𝑏𝑛 = 1 𝐿 ∫𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 Obs: A série de Fourier converge para 𝑓(𝑥) em todos os pontos continuos do gráfico. Já nos pontos de descontinuidade a série de Fourier converge para o valor médio entre os limites à esquerda e o limite à direita. Teorema de Fourier: Podemos dizer que se 𝑓(𝑥) e 𝑓’(𝑥) são diferenciáveis e contínuas por partes então a série de Fourier converge para o seguinte valor em qualquer ponto: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥+) + 𝑓(𝑥−) 2 Dica para integral por partes: ∫𝑢 𝑑𝑣 = u.v – ∫𝑣 𝑑𝑢 Escolhemos u seguindo a ordem I>L>A>T>E I = função inversa L = função logarítmica A = função algébrica T = função trigonométrica E = função exponencial Para lembrar: "Uma vaca menos a integral vestida de uniforme" Não esquecer: ∫ cos 𝑛𝑥 = 1 𝑛 sin 𝑛𝑥 ∫ sen 𝑛𝑥 = − 1 𝑛 cos 𝑛𝑥 Funções Pares e Ímpares 𝑓(𝑥) é 𝑷𝑨𝑹 𝑠𝑒 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥: 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓(𝑥) é 𝑰𝑴𝑷𝑨𝑹 𝑠𝑒 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 𝑒𝑥: 𝑠𝑒𝑛𝑥 PAR * PAR = PAR PAR + PAR = PAR IMPAR * IMPAR = PAR IMPAR + IMPAR = IMPAR PAR * IMPAR = IMPAR ∫ 𝑃𝐴𝑅 𝐿 −𝐿 = 2 ∫ 𝑃𝐴𝑅 𝐿 0 .:. ∫ 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 𝐿 −𝐿 = 0 Numa série de Fourier, se eu tenho uma função 𝑓(𝑥) de período 2𝐿 e ela é: PAR: 𝑎𝑛 = 2 𝐿 ∫𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 𝑏𝑛 = 0 IMPAR: 𝑎𝑛 = 0 𝑏𝑛 = 2 𝐿 ∫𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 Equação do Calor Mede a temperatura u em cada ponto x no tempo t. 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑘 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 Condição inicial (sempre em t) → 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) → 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 Condições de contorno (sempre em x) → 𝑢(0, 𝑡) = 𝑔1(𝑡) 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑔2(𝑡) Quando os problemas de contorno são medidos na própria função 𝑢(𝑥, 𝑡) e 𝑔1(𝑡) e 𝑔2(𝑡) existem, chamamos de Problema de Dirichlet. Pode ocorrer, também, o caso dos problemas de contorno serem medidos na derivada da função 𝑢(𝑥, 𝑡). Neste caso, chamamos de Problema de Newmann e temos: 𝑢𝑥(0, 𝑡) = ℎ1(𝑡) 𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = ℎ2(𝑡) Método de Separação de Variáveis Principal método para resolução de EDPs Condições de Contorno Homogêneas Considerando a equação do calor com as seguintes condições de contorno homogêneas e condição inicial: { 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 1º passo: Supomos que a solução para a função u(x,t) é dada na forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) 2º passo: Derivamos a “solução” escolhida acima e substituímos na equação 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 𝑢𝑥 = 𝑋 ′(𝑥)𝑇(𝑡) 𝑢𝑥𝑥 = 𝑋 ′′(𝑥)𝑇(𝑡) 𝑢𝑡 = 𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) E ficamos com: 𝑋(𝑥)𝑇’(𝑡) – 𝑘 𝑋’’(𝑥)𝑇(𝑥) 3º passo: Separar as funções de X em um lado e as funções de T no outro 𝑇′(𝑡) 𝑘 𝑇(𝑡) = 𝑋′′(𝑥) 𝑋(𝑥) = 𝑐𝑡𝑒 = −𝜆 4º passo: Para que essa equação seja possível, é necessário que os dois lados da função sejam iguais a uma constante. Escolho −𝜆 como essa constante. 5º passo: Reorganizando as equações, agora com a inclusão da constante, tenho o seguinte sistema: { 𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 𝑇′(𝑡) + 𝜆 𝑘 𝑇(𝑡) = 0 Agora eu tenho duas equações ordinárias que dependem apenas de uma variável. 6º passo: Aplico as condições de contorno (relacionadas com o x) primeiro, deixando a condição inicial (relacionada com o t) para depois. 𝑢(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(0) = 0 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑋(𝐿)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(𝐿) = 0 Problema de Autovalores Com as equações do 5º passo e com as condições de contorno encontradas no 6º passo, nós temos agora o seguinte sistema: { 𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0 1º passo: Encontrar a equação característica: 𝑟2 + 𝜆 = 0 Temos agora TRÊS casos: Caso 1: Δ = 0 e 𝜆 = 0 Encontro a equação característica: 𝑟2 = 0 → 𝑟 = ±0 Para raizes iguais a zero tenho a solução: 𝑋(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 Aplico as condições de contorno para encontrar as constantes → 𝑋(0) = 0 𝑒 𝑋(𝐿) = 0 0 = 𝑐 0 + 𝑑 → 𝑑 = 0 0 = 𝑐 𝐿 + 𝑑 → 0 = 𝑐 𝐿 → 𝑐 = 0 Substituo essas constantes na solução que eu encontrei: 𝑋(𝑥) = 0𝑥 + 𝑑 → 𝑋 = 0 𝑵Ã𝑶 É 𝑼𝑴𝑨 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑨𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑬𝑺𝑺𝑨 Caso 2: Δ < 0 → 𝑓𝑎ç𝑜 𝜆 = −𝛼2 Encontro a equação característica: 𝑟2 − 𝛼2 = 0 → 𝑟 = ±𝛼 Para raizes reias tenho a solução: 𝑋(𝑥) = 𝑐1𝑒 𝑟1𝑥 + 𝑐1𝑒 𝑟2𝑥 ou 𝑋(𝑥) = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛼𝑥) + 𝑐2 sinh(𝛼𝑥 Aplico as condições de contorno para encontrar as constantes → 𝑋(0) = 0 𝑒 𝑋(𝐿) = 0 0 = 𝑐1 1 + 𝑐2 0 → 𝑐1 = 0 0 = 0 cosh(𝛼𝐿) + 𝑐2 sinh(𝛼𝐿) → 𝑐2 = 0 Substituo essas constantes na solução que eu encontrei: 𝑋(𝑥) = 0 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛼𝑥) + 0 sinh(𝛼𝑥) → 𝑋(𝑥) = 0 𝑵Ã𝑶 É 𝑼𝑴𝑨 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑨𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑬𝑺𝑺𝑨 Caso 3: Δ > 0 → 𝑓𝑎ç𝑜 𝜆 = 𝛼2 Encontro a equação característica: 𝑟2 + 𝛼2 = 0 → 𝑟 = ±𝑖𝛼 Para raizes complexas tenho a solução: 𝑋(𝑥) = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑥)+ 𝑐2 sin(𝛼𝑥) Aplico as condições de contorno para encontrar as constantes → 𝑋(0) = 0 𝑒 𝑋(𝐿) = 0 0 = 𝑐1 1 + 𝑐2 0 → 𝑐1 = 0 0 = 0 cos(𝛼𝐿) + 𝑐2 sin(𝛼𝐿) → 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒! 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 αL = nπ temos que sin(αL) = 0 Logo, quando 𝜆 = 𝛼2 = 𝑛²𝜋² 𝐿2 a equação fica: 𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑬 𝑬𝑼 𝑻𝑬𝑵𝑯𝑶 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑨𝑶! 7º passo: Agora que eu sei que 𝜆 = 𝑛²𝜋² 𝐿2 reescrevo o sistema que encontrei no 5º passo e descubro as soluções para 𝑋𝑛(x) e 𝑇𝑛(t) : { 𝑋′′(𝑥) + 𝑛²𝜋² 𝐿2 𝑋(𝑥) = 0 → 𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑇′(𝑡) + 𝑛²𝜋² 𝐿2 𝑘 𝑇(𝑡) = 0 → 𝑇𝑛 = 𝐵𝑛 𝑒 − 𝑛²𝜋²𝑘𝑡 𝐿² 8º passo: Reescrevo a equação 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) em função das soluções 𝑋𝑛(x) e 𝑇𝑛(t) encontradas considerando 𝐴𝑛 = 𝐵𝑛 + 𝐶𝑛: 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝐴𝑛 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 𝑒 − 𝑛²𝜋²𝑘𝑡 𝐿² 9º passo: Por fim, aplico a condição inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) para achar 𝐴𝑛 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) = ∑𝐴𝑛 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 1 Essa equação nos lembra uma série de Fourier em senos (impar). Sabendo disso, encontramos a extensão ímpar com período 2L da função f(x) e podemos agora calcular 𝐴𝑛: 𝐴𝑛 = 2 𝐿 ∫𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 10º passo: Substituímos o 𝐴𝑛 na equação encontrada no 8º passo e finalmente temos a solução final do problema. Condições de Contorno Não-Homogêneas Consideramos agora a equação do calor com as seguintes condições de contorno não-homogêneas e condição inicial: { 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 𝑢(0, 𝑡) = 𝑇1 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑇2 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 1º passo: Vamos considerar que para um tempo t muito grande (𝑡 → ∞) será alcançada uma temperatura estacionária 𝑣(𝑥) que é independente do tempo e das condições iniciais. Assim, para satisfazer a equação do calor 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 nós temos que: { 𝑣’’(𝑥) = 0 𝑣(0) = 𝑇1 𝑣(𝐿) = 𝑇2 2º passo: Assumimos que a solução de 𝑣(𝑥) é da forma 𝑣(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e então aplicando as condições de contorno 𝑣(0) e 𝑣(𝐿): 𝑣(𝑥) = (𝑇2 − 𝑇1) 𝑥 𝐿 + 𝑇1 3º passo: Deste modo, passamos a escrever a solução de 𝑢(𝑥, 𝑡) como: 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥) + 𝑤(𝑥, 𝑡) 4º passo: Ja temos 𝑣(𝑥) do 2º passo, precisamos agora achar o 𝑤(𝑥, 𝑡). Como 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) – 𝑣(𝑥), temos que 𝑤(𝑥, 𝑡) se torna uma EDP com condições de contorno homogêneas e condição inicial igual a uma diferença entre funções: 𝑤(0, 𝑡) = 𝑢(0, 𝑡) − 𝑣(0) = 𝑇1 − 𝑇1 = 0 𝑤(𝐿, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) − 𝑣(𝐿) = 𝑇2 − 𝑇2 = 0 𝑤(𝑥, 0) = 𝑢(𝑥, 0) − 𝑣(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑣(𝑥) 5º passo: Agora que temos w(x,t) como uma EDP com condições de contorno homogêneas, basta utilizar o mesmo procedimento que utilizamos para resolver a EDP do caso anterior. A solução será da forma: 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥) + 𝑤(𝑥, 𝑡) Onde: 𝑣(𝑥) = (𝑇2 − 𝑇1) 𝑥 𝐿 + 𝑇1 𝑤(𝑥, 𝑡) = ∑𝐴𝑛 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 𝑒 − 𝑛²𝜋²𝑘𝑡 𝐿² 6º passo: Utilizamos a condição inicial 𝑤(𝑥, 0) para encontrar os coeficientes 𝐴𝑛 através de comparação. Se não for possível comparar, utilizamos a fórmula: 𝐴𝑛 = 2 𝐿 ∫𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 Condições de Contorno com Derivadas Homogêneas (Barras com Extremidades Isoladas) Quando não há fluxo passando pelas extremidades da barra, ou seja, quando a derivada nas extremidades é nula, temos as seguintes condições de contorno: 𝑢𝑥(0, 𝑡) = 𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = 0 A partir daí, resolvemos através do mesmo método de separação de variáveis utilizado anteiormente. 1º passo: Supomos que a solução para a função u(x,t) é dada na forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) 2º passo: Derivamos a “solução” escolhida acima e substituímos na equação 𝑢𝑡 = 𝑘 𝑢𝑥𝑥 . Ficamos com: 𝑋(𝑥)𝑇’(𝑡) – 𝑘 𝑋’’(𝑥)𝑇(𝑥) 3º passo: Separamos as funções de X em um lado e as funções de T no outro 𝑇′(𝑡) 𝑘 𝑇(𝑡) = 𝑋′′(𝑥) 𝑋(𝑥) = 𝑐𝑡𝑒 = −𝜆 4º passo: Para que essa equação seja possível, é necessário que os dois lados da função sejam iguais a uma constante. Escolho −𝜆 como essa constante. Reorganizando as equações, agora com a inclusão da constante, tenho o seguinte sistema: { 𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 𝑇′(𝑡) + 𝜆 𝑘 𝑇(𝑡) = 0 Agora eu tenho duas equações ordinárias que dependem apenas de uma variável. 5º passo: Aplico as condições de contorno (relacionadas com o x) primeiro, deixando a condição inicial (relacionada com o t) para depois. 𝑢𝑥(0, 𝑡) = 𝑋 ′(0)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋′(0) = 0 𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = 𝑋(𝐿)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋′(𝐿) = 0 6º passo: Voltamos a ter três casos: 𝜆 < 0 → 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑋(𝑥) = 𝑘1 sinh(𝛼𝑥) + 𝑘2 cosh(𝛼𝑥) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘1 = 𝑘2 = 0.𝑵Ã𝑶 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑬𝑺𝑺𝑨 𝜆 = 0 → 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑋(𝑥) = 𝑘1𝑥 + 𝑘2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑘2 = 𝑐𝑡𝑒 𝜆 > 0 → 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑋(𝑥) = 𝑘1 sin(𝛼𝑥) + 𝑘2 cos(𝛼𝑥) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘1 = 0 𝑒 𝑘2 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑐𝑜𝑚 𝜆 = 𝑛2𝜋2 𝐿2 𝑒 𝑇𝑛(𝑡) = 𝑒 − 𝑛2𝜋2𝑥 𝐿² 7º passo: Reescrevemoso a equação 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) em função das soluções 𝑋𝑛(x) e 𝑇𝑛(t) encontradas: 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑𝐶𝑛 cosn ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 𝑒 − 𝑛²𝜋²𝑘𝑡 𝐿² 8º passo: Por fim, aplico a condição inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) para achar 𝐴𝑛 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) = 𝑐0 2 +∑𝐶𝑛 cos ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 1 Essa equação nos lembra uma série de Fourier em cossenos (par). Sabendo disso, encontramos a extensão par com período 2L da função f(x) e podemos agora calcular 𝐶𝑛: 𝐶𝑛 = 2 𝐿 ∫𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 9º passo: Substituímos o 𝐶𝑛 na equação encontrada no 7º passo e finalmente temos a solução final do problema. Equação da Onda Mede a posição vertical y da corda na posição x no tmepo t 𝑎2𝑦𝑥𝑥 = 𝑦𝑡𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 (𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑚 𝑡) → 𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 (𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑚 𝑥) → 𝑦(0, 𝑡) = 0 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0 É possível termos dois tipos de problema: 𝑜𝑏𝑠: 𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝐴: 𝑦(0, 𝑡) = 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0 𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 0 Problema B: 𝑦(0, 𝑡) = 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0 𝑦(𝑥, 0) = 0 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) obs: No caso de termos um problema com 𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) e 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) a solução final é dada pela soma da solução do Problema A com a solução do Problema B. 1º passo: Supomos que a solução é da forma 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) de modo que podemos utilizar o método da separação de variáveis. 2º passo: Derivamos a solução e substituimos na equação da onda 𝑎2𝑦𝑥𝑥 = 𝑦𝑡𝑡 . Temos: 𝑇′′(𝑡) 𝑎² 𝑇(𝑡) = 𝑋′′(𝑥) 𝑋(𝑥) = 𝑐𝑡𝑒 = −𝜆 3º passo: Para que essa equação seja possível, é necessário que os dois lados da função sejam iguais a uma constante. Escolho −𝜆 como essa constante. 4º passo: Reorganizando as equações, agora com a inclusão da constante, tenho o seguinte sistema: { 𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 𝑇′′(𝑡) + 𝑎2𝜆 𝑇(𝑡) = 0 5º passo: Como temosas condições de contorno iguais nos dois tipos de problema (A e B), temos que: 𝑦(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(0) = 0 𝑦(𝐿, 𝑡) = 𝑋(𝐿)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑇(𝑡) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(𝐿) = 0 𝑋(0) = 𝑋(𝐿) = 0 6º passo: Para a equação 𝑋′′(𝑥) + 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 sabemos que os autovalores onde 𝜆 < 0 ou 𝜆 = 0 não oferecem solução que interessa. Porém, quando 𝜆 = 𝑛2𝜋2 𝐿2 temos que a solução 𝑋(𝑥) é da forma: 𝑋𝑛(𝑥) = 𝐶𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 7º passo: Para a equação 𝑇′′(𝑡) + 𝑎2𝜆 𝑇(𝑡) = 0 sabemos do passo anterior que somente 𝜆 = 𝑛²𝜋² 𝐿² gera solução que interessa. Substituindo o valor de 𝜆 na equação acima podemos encontrar as raízes da equação e temos que a solução T(x) é da forma: 𝑇𝑛(𝑡) = 𝐴𝑛 cos 𝑎𝑛𝜋𝑡 𝐿 + 𝐵𝑛 sin 𝑎𝑛𝜋𝑡 𝐿 8º passo: A solução final é dada na forma 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) onde temos, para os dois problemas: Problema A: 𝑦𝑎(𝑥, 𝑡) = 𝐷0 +∑𝐷𝑛 ∞ 𝑛=1 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 cos 𝑎𝑛𝜋𝑡 𝐿 Onde, sabendo da condição inicial 𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) e através da extensão ímpar com período 2L da função f(x) encontramos que 𝐷𝑛 é dado por: 𝐷𝑛 = 2 𝐿 ∫𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 Problema B: 𝑦𝑏(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝑛 +∑𝐸𝑛 ∞ 𝑛=1 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 sin 𝑎𝑛𝜋𝑡 𝐿 Onde, sabendo da condição inicial 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥) e através da extensão ímpar com período 2L da função g(x) encontramos que 𝐸𝑛 é dado por: 𝐸𝑛 = 2 𝑛𝜋𝑎 ∫𝑔(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 Equação de Laplace Ligado ao cálculo de potenciais ou de estados estacionários onde a equação não depende de t. 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 Como não existe dependencia do tempo, não existem condições inicias a serem satisfeitas! Porém, existem condições de contorno tanto na direção x quanto na direção y. Essas condições de contorno delimitam uma região onde temos o seguinte problema: Aqui dividimos em dois casos referents aos problemas A e B. No Problema A, onde 𝑦𝑡(𝑥, 0) = 𝑇′(0) = 0 temos: 𝐵𝑛 = 0 No Problema B, onde 𝑦(𝑥, 0) = 𝑇(0) = 0 temos: 𝐴𝑛 = 0 Região xy = Retângulo 1º passo: Supor que a solução é da forma 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦) 2º passo: Derivamos a solução e substituimos na equação de laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0. Temos: − 𝑌′′(𝑦) 𝑌(𝑦) = 𝑋′′(𝑥) 𝑋(𝑥) = 𝑐𝑡𝑒 = +𝜆 3º passo: Para que essa equação seja possível, é necessário que os dois lados da função sejam iguais a uma constante. Escolho +𝜆 como essa constante. 4º passo: Reorganizando as equações, agora com a inclusão da constante, tenho o seguinte sistema: { 𝑋′′(𝑥) − 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 𝑌′′(𝑦) + 𝜆 𝑌(𝑦) = 0 5º passo: Como agora só temos condições de contorno, vamos trabalhar primeiro com as condições homogêneas (=0): 𝑢(0, 𝑦) = 𝑋(0)𝑌(𝑦) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑌(𝑦) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑋(0) = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝑋(𝑥)𝑌(0) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑌(0) = 0 𝑢(𝑥, 𝑏) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑏) = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑌(𝑏) = 0 𝑋(0) = 𝑌(0) = 𝑌(𝑏) = 0 𝑒 𝑋(𝑎) =? 6º passo: Para a equação 𝑌′′(𝑦) + 𝜆 𝑌(𝑦) = 0 sabemos que os autovalores onde 𝜆 < 0 ou 𝜆 = 0 não oferecem solução que interessa. Só nos interessa soluções quando 𝜆 > 0 onde encontramos que quando 𝜆 = 𝑛2𝜋2 𝑏² temos que a solução Y(y) é da forma: 𝑌𝑛(𝑥) = 𝐴𝑛 sin 𝑛𝜋𝑦 𝑏 7º passo: Para a equação 𝑋′′(𝑥) − 𝜆 𝑋(𝑥) = 0 sabemos do passo anterior que só nos interessa soluções quando 𝜆 = 𝑛2𝜋2 𝑏² e então temos que a solução X(x) é da forma: 𝑋𝑛(𝑥) = 𝐵𝑛 cosh 𝑛𝜋𝑥 𝑏 + 𝐶𝑛 sinh 𝑛𝜋𝑥 𝑏 onde 𝐵𝑛 = 0 8º passo: A solução final é dada na forma 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦) onde temos: 𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑𝐷𝑛 ∞ 𝑛=1 sin 𝑛𝜋𝑦 𝑏 sinh 𝑛𝜋𝑥 𝑏 Sabendo da condição inicial 𝑢(𝑎, 𝑦) = 𝑓(𝑦) e através da extensão ímpar com período 2b da função f(y) encontramos que 𝐷𝑛 é dado pelos coeficientes da série de Fourier de f(y) e então: 𝐷𝑛 sinh 𝑛𝜋𝑎 𝑏 = 2 𝑏 ∫ 𝑓(𝑦) sin nπy b 𝑑𝑦 𝑏 0
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