Resolução da Lista 09

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Resolução da Lista 9 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
Questão 2 
Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação sec2(x + y) – cos2(x + y) = �
�
. 
Calcule f ’(�
�
), sabendo que f(�
�
) = 0. 
Solução 
Derivando implicitamente a equação obtemos 
sec2(x + y) – cos2(x + y) = �
�
 
2 sec (x + y). sec (x + y). tan (x + y) (1 + y’) – 2cos (x + y)(-sen (x + y)) (1 + y’) = 0 
2sec2 (x + f(x)).tan (x + f(x)) (1 + f ’(x)) + 2cos( x + f(x)).sen(x + f(x))(1 + f ’(x)) = 0 
De acordo com o enunciado, temos que x = �
�
 e f (�
�
) = 0, logo: 
2sec2 (�
�
 + f(�
�
)).tan (�
�
 + f(�
�
)) (1 + f ’(�
�
)) + 2cos(�
�
 + f(�
�
)).sen(�
�
 + f(�
�
))(1 + f ’(�
�
)) = 0 
2sec2 (�
�
).tan (�
�
) (1 + f ’(�
�
)) + 2cos(�
�
).sen(�
�
)(1 + f ’(�
�
)) = 0 
2. (
�
��
)2.1.(1 + f ’(�
�
)) + 2. 
��
�
 . ��
�
 .(1 + f ’(�
�
)) = 0 
4 + 4 f ’(�
�
) + 1 + f ’(�
�
) = 0 
5 f ’(�
�
) = -5 
f ’(�
�
) = -1 
 
 
Questão 8 
Uma câmara de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus 
espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação s = 15t2, sendo s 
a altura e t o tempo. A câmara está a 600 m do local de lançamento. Encontre a taxa 
de variação da distância entre a câmara e a base do ônibus espacial, 10 s após o 
lançamento (suponha que a câmara e a base do ônibus estão no mesmo nível no 
tempo t=0). 
Solução 
Temos o seguinte esquema: 
 
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Resolução da Lista 9 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
 B 
 
 y(t) 
 x(t) 
 
 L C 
 600 m 
Sendo, C = câmara, L = local de lançamento e B = base do ônibus espacial, como: 
[ y(t) ]2 = [ x(t) ]2 + (600)2 
���	
��
�
��
 = ����
��
�
��
 + ������
�
��
 
2 y(t) y’(t) = 2 x(t) x’(t) 
y(t) y’(t) = x(t) x’(t) 
Sabendo que: 
x’(t) = 30t, no instante t = 10 s: x’(10) = 300 m/s e x(10) = 15(10)2 = 1500. 
[ y(t)]2 = (1500)2 + (600)2 
y(t) = �������� � ������ 
y(t) = 1615,55 m 
Dessa forma, voltando a relação inicial: 
y(t) y’(t) = x(t) x’(t) 
No instante t = 10 s 
y(10) y’(10) = x(10) x’(10) 
1615,55. y’(t) = 1500 . 300 
y’(t) = 278,54 m/s 
Logo, a taxa de variação entre a câmara e a base do ônibus é 278,54 m/s. 
 
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