1.a Aula N5CV1 Circuitos Magnéticos

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Conversão de Energia I
N5CV1
Prof. Dr. Cesar da Costa
 1.a Aula: Circuitos Magneticos 
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Definições:
Um circuito magnético linear consiste em uma estrutura que, em sua maior parte, é composta por material magnético de permeabilidade baixa.
A presença de um material de alta permeabilidade tende a fazer com que o fluxo magnético seja confinado aos caminhos delimitados pela estrutura, do mesmo modo que, em um circuito elétrico , as correntes são confinadas aos condutores.
1. Circuitos Magnéticos Lineares
Permeabilidade Magnética é uma grandeza magnética, representada por µ (letra minúscula grega), que permite quantificar o “valor” magnético de uma substância. A sua unidade é H/m (henry por metro). 
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Definições:
1. Circuitos Magnéticos Lineares
Permeabilidade Magnética elevada é uma característica dos circuitos magnéticos lineares.
A permeabilidade Magnética no vácuo é dada por:
A permeabilidade Magnética dos materiais magnéticos lineares apresentam valores típicos entre 2.000 e 80.000 H/m.
A permeabilidade Magnética para efeito de cálculo de projetos é dada por:
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1. Circuitos Magnéticos Lineares
Fig. 1- Circuito magnético simples
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1. Circuitos Magnéticos Lineares
Consideremos o dispositivo da fig. 1, onde o núcleo é formado por um material de permeabilidade magnética . 
Pela aplicação da lei de Ampère a este circuito teremos:
(1)
Considerando que H, intensidade do campo magnético, possui módulo constante ao longo do caminho médio L, percorrido pelo fluxo magnético , mostrado na figura teremos:
(2)
(3)
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1. Circuitos Magnéticos Lineares
O produto N I é o responsável pela condução do fluxo no circuito magnético, desempenhando o papel de uma fonte. Daí ele ser conhecido por força magneto motriz (Fmm).
A relação entre a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B é uma propriedade do material, em que se encontra o campo magnético. Costuma-se supor que: 
(4)
Substituindo-se o valor de H, obtido na Eq. (3), tem-se:
(5)
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1. Circuitos Magnéticos Lineares
O fluxo magnético que passa através da secção reta A , ao longo do circuito magnético será:
(6)
Substituindo-se pelo valor da densidade de fluxo B, obtida na Eq. (5), tem-se:
(7)
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1. Circuitos Magnéticos Lineares
Ou ainda, o fluxo pode ser representada como:
(8)
Onde o termo do denominador é dada por:
(9)
É chamado de relutância do circuito magnético. Ele representa a dificuldade imposta à circulação do fluxo magnético.
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2. Circuitos Elétricos
Considere agora o circuito elétrico da fig. 2 formado por um único laço ou malha de corrente.
Fig. 2 – Circuito elétrico simples
Para esse circuito elétrico temos a resistência oposta à corrente elétrica dada por:
(10)
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2. Circuitos Elétricos
Onde: 
Portanto, para a corrente elétrica, sendo V a Fem (Força eletromotriz) responsável pela corrente I, tem-se: 
(11)
(12)
Podemos então montar um circuito elétrico análogo ao circuito magnético, conforme as correspondências entre as grandezas magnéticas e elétricas apresentadas na Tabela 1.
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2. Circuitos Elétricos
Tabela 1. 
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Resumo das Fórmulas:
a) Força Magneto Motriz (Fmm)
b) Fluxo Magnético no núcleo 
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Resumo das Fórmulas:
c) Relutância
d) Permeância
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Resumo das Fórmulas:
e) Intensidade de Campo Magnético no Núcleo
f) Densidade de Fluxo Magnético no Núcleo
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Exercício 1:
Para o dispositivo da fig. 1, tem-se uma corrente I = 5 A, através de N = 100 espiras, fazendo circular um fluxo magnético por um retângulo cujos comprimentos médios da base e da altura são respectivamente 10 cm e 8 cm e secção reta de 2 , feito de um material de permeabilidade relativa
 = 1000. Calcular:
a) - A relutância do circuito magnético
b) - A permeância do circuito magnético
c) - A intensidade de campo magnético no núcleo
d) - A densidade de fluxo magnético no núcleo
e) - O fluxo magnético no núcleo
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Solução 1:
a) Relutância do circuito magnético:
b) Permeância do circuito magnético:
c) Intensidade de campo magnético:
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Solução 1:
d) Densidade do fluxo magnético no núcleo:
e) Fluxo magnético no núcleo:
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Exercício 2:
Calcular o valor do fluxo magnético em cada braço da estrutura magnética da fig. 3. Dados: N = 500 espiras, I = 1,0 A, material 1 com r1 = 200 e 
material 2 com r2 = 100. Secão reta é igual a 4 cm2.
Figura 3 - Estrutura ferromagnética do exercício 2
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Solução 2:
Circuito magnético
Circuito elétrico equivalente
Material 1:
Material 2:
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Solução 2:
No caso:
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Solução 2:
Inducao magnética no braco esquerdo:
Inducao magnética no braco direito:
Fluxo magnético no braco direito:
Fluxo magnético no braco esquerdo:
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3. Circuitos Magnéticos Não-Lineares
São considerados não lineares todos os circuitos magnéticos que utilizem materiais ferromagnéticos, dotados de permeabilidade magnética alta, tais como o ferro fundido, o aço silício, o aço fundido, a ferrite etc. 
A maioria dos circuitos magnéticos de aplicação prática são não - lineares e a permeabilidade dos materiais ferromagnéticos torna-se variável em função da indução ou densidade de fluxo magnético B no núcleo.
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Exercício 3:
As dimensões da estrutura magnética na fig. 4 estão indicadas na tabela em seguida. O enrolamento de excitação possui 100 espiras. Determine a corrente neste enrolamento para estabelecer um fluxo de 1.5x10-4 (Wb). Despreze a dispersão do fluxo magnético, considerando-o todo confinado ao núcleo. Utilize as curvas de magnetização mostradas a seguir:
Figura 4 - Estrutura ferromagnética
Figura 5 - Circuito elétrico análogo
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Solucão 3:
A estrutura mostra um circuito com os dois materiais em série:
Como A1 é igual a A2, temos:
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Solucão 3:
Das curvas de magnetizacão temos:
a) Para o ferro fundido:
b) Para o aco - silício:
Portanto, a corrente I será dada por:
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Exercício 4:
Considere a estrutura magnética em aço fundido mostrada na fig. 6. Para um fluxo magnético de 1,5 x 10-4 Wb, qual é o valor de B nos pontos 1 e 2, dados que S1 = 16 cm2, S2 = 20 cm2, L1 = 15 cm, L2 = 30 cm. Determine também a corrente na bobina sabendo-se que ela possui 200 espiras.
Figura 6 – estrutura ferromagnética do exercício 4
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Solucão 4:
O fluxo magnético é o mesmo em qualquer secão. Logo: 
A inducão magnética na secão 1: 
A inducão magnética na secão 2: 
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Solucão 4:
Da curva de magnetizacão para o aco fundido tem-se: 
Sabendo-se que:
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4. FATOR DE EMPACOTAMENTO (OU FATOR DE LAMINAÇÃO)
Quando um material ferromagnético é colocado na presença de um campo magnético variável no tempo, correntes parasitas (ou correntes de Foucault) serão induzidas em seu interior, provocando perdas de energia com o aquecimento do material. 
A redução deste fenômeno é obtida com o núcleo de dispositivos eletromagnéticos construído com chapas ou lâminas de material ferromagnético, isoladas entre si (por exemplo, com verniz), conforme pode ser ilustrado na fig. 7.
Fig. 7 – Núcleo Laminado
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4. FATOR DE EMPACOTAMENTO (OU FATOR DE LAMINAÇÃO)
Assim, devido ao processo de empilhamento das chapas para montagem do núcleo, a área efetiva do material ferromagnético, Amag atravessada pelo fluxo torna-se menor que a área geométrica, Ageom ocupada pelo núcleo. Pode-se então definir um fator de empacotamento ke como sendo a relação:
(13)
Outra razão de natureza prática para a laminação do circuito magnético é a de facilitar a colocação das bobinas no dispositivo visando à construção e a manutenção.
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4. FATOR DE EMPACOTAMENTO (OU FATOR DE LAMINAÇÃO)
(13)
A tabela a seguir fornece alguns valores para o fator de empacotamento em função da espessura da chapa ou lâmina utilizada.*
Exercício 5:
Uma estrutura magnética é feita de um pacote em aço-silício com chapas de 0,15 mm, como pode ser mostrada na fig. 8. Determine a corrente que deve circular no enrolamento com 500 espiras para estabelecer um fluxo de 9x10-4 Wb no braço direito da estrutura. Dados: L1 = L3 = 50 cm, L2 = 15 cm, espessura comum A = 25 cm2.
Figura 8 - Estrutura magnética do exercício 5
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Solução 5:
Malha 1:
Malha 2:
Nó 1:
Dado:
Como:
Considerando um fator de empacotamento:
Como:
Tem-se:
(I)
(II)
(III)
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Solução 5:
Malha 1:
Malha 2:
Nó 1:
(I)
(II)
(III)
Da curva de magnetização para aço silício:
A partir da equação II na malha 2:
Da curva de magnetização para aço silício:
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Solução 5:
Malha 1:
Malha 2:
Nó 1:
(I)
(II)
(III)
Da equação III:
Da curva de magnetização para aço silício:
Da equação I:
Corrente no enrolamento:
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4.1 CIRCUITOS MAGNÉTICOS COM ENTREFERROS
Alguns dispositivos eletromagnéticos, tais como instrumentos de medidas, motores, relés etc, por serem constituídos de uma parte fixa e outra móvel, possuem um espaço de ar, com comprimento Lg, na sua estrutura magnética. 
Este espaçamento ou interstício promove o acoplamento entre as partes sob o ponto de vista magnético para que o fluxo se estabeleça por um caminho fechado. A este espaço é dado o nome de “entreferro" (ou "air gap" em inglês).
Figura 9 - Estrutura magnética com entreferro
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4.1 CIRCUITOS MAGNÉTICOS COM ENTREFERROS
Ao cruzar o entreferro, o fluxo magnético sofre um fenômeno chamado de espraiamento (frangeamento, espalhamento, efeito de bordas), conforme pode ser visto da fig. 10. Isto faz com que a área efetiva por onde passa o fluxo se torne maior que a área A geométrica do entreferro.
 Fig. 10
Seja uma área de secção reta A = a x b retangular e o entreferro de comprimento lg. Então, de uma forma prática, podemos calcular a área aparente ou efetiva do entreferro Ag, através da relação:
(14)
 Campo magnético em um entreferro:
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Exercício 6
Vamos investigar a influência de um entreferro sobre um circuito magnético. Imagine uma estrutura retangular em aço silício, com secção reta de 5 cm x 2 cm, comprimento médio de 50 cm, excitada por uma bobina de 100 espiras. Determinar os valores de corrente necessários para que sejam estabelecidos fluxos magnéticos de 3x10-4 Wb, 6x10-4 Wb e 9x10-4 Wb. Em seguida, admita um entreferro de 1 mm na estrutura e refaça os cálculos para encontrar os mesmos valores de fluxo. Analise os resultados.
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Solução 6:
Sem entreferro:
1) Para
Da curva de magnetização do aço-silício: 
O valor da corrente será: 
2) Para
3) Para
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Com entreferro:
Área efetiva do entreferro:
1) Para
A nova corrente com entreferro será dada por:
2) Para
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Com entreferro:
3) Para
A partir dos resultados podemos observar que:
a) Para se obter os mesmos valores de fluxo, com a introdução do entreferro, é necessário um aumento muito grande nos valores da corrente.
b) Praticamente toda a Fmm é utilizada para vencer o entreferro (torna-se mais acentuado quanto maior o entreferro)
c) A introdução do entreferro tornou o circuito magnético (material magnético + entreferro) praticamente linear.
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Exercício 7
Considere uma estrutura magnética construída com chapas de aço silício, com fator de empacotamento 0,9. As dimensões da seção transversal do núcleo são 5 cm e 6 cm. O comprimento médio do caminho do fluxo é 1 m. Determine a Fmm para estabelecer um fluxo de 25x10-4 Wb no entreferro, cujo comprimento tem 5 mm.
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Solução 7:
Indução magnética no entre ferro:
Intensidade do campo magnético no entre ferro:
Indução magnética no núcleo:
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Solução 7:
Da curva de magnetização para aço silício:
Força Magneto Motriz (Fmm):
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Exercício 8
Considere a mesma estrutura, porém com uma bobina de 750 espiras, e uma corrente de 6 A. Qual é o valor do fluxo no entreferro?
Solução 
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Substindo-se (5) em (1)
(6)
A equação (6) recebe o nome de reta negativa de entreferro (Figura abaixo)
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Fazendo-se em (6): 
Fazendo-se em (6): 
Do gráfico tiramos: 
Portanto: 
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Exercício 9
Um núcleo toroidal de aço fundido apresenta uma seção transversal circular de 10 cm2. O comprimento médio do circuito magnético é 35 cm, com um gap de 1 mm. Uma bobina enrolada com 200 espiras em torno do núcleo alimenta o circuito magnético com uma corrente de 3 A. Determine o fluxo no entreferro.
Figura 11 - Circuito Magnético e circuito análogo do exemplo
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Solução 9:
Raio do núcleo toroidal de aço fundido:
Raio efetivo do entreferro:
Área efetiva do entreferro:
O circuito magnético é descrito por:
Como o circuito é de aço fundido,
, tem-se: 
(1)
(2)
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Solução 9:
Na equação do circuito magnético (1) substituído por (2):
(3)
Fazendo em (3):
Fazendo em (3):
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Fazendo-se em (6): 
Do cruzamento da reta negativa de entreferro com a curva de magnetização do material magnético do núcleo obtemos: 
O fluxo no entreferro é:
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