Álgebra - Teste Resolvido - 2009-2 (Universidade de Coimbra)

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Departamento de Matema´tica da Universidade de Coimbra Corpos e Equac¸o˜es Alge´bricas
Durac¸a˜o: 1h Teste 2 12/05/09
NOME DO ALUNO:
(Justifique convenientemente as suas respostas.)
(1) Determine mdc(x7 − 4x6 + x3 − 3x + 5, 2x3 − 2) em Z7[x].
(2) Indique, justificando, quais dos seguintes polino´mios sa˜o irredut´ıveis sobre Q:
p(x) = 5x5 − 10x3 + 6x2 − 2x + 6, q(x) = x4 − x2 − 2, r(x) = 4x3 − 3x− 12 .
(3) Seja D um domı´nio de integridade. Mostre que:
(a) Se gr(p(x)) ≥ 2 e p(x) tem uma raiz em D, enta˜o e´ redut´ıvel em D[x].
(b) Um polino´mio redut´ıvel em D[x] na˜o tem necessariamente ra´ızes em D.
(4) Determine:
(a) A factorizac¸a˜o do polino´mio q(x) = x4 − x2 − 2 ∈ Q[x] em factores irredut´ıveis.
(b) Q(
√
2, θ) para cada uma das ra´ızes θ de q(x).
(c) O inverso de θ + 1 em cada uma das extenso˜es da al´ınea anterior.
Departamento de Matema´tica da Universidade de Coimbra Corpos e Equac¸o˜es Alge´bricas
SOLUC¸O˜ES Teste 2 12/05/09
(1) Como
x7 − 4x6 + x3 − 3x + 5 = (2x3 − 2)(4x4 + 5x3 + 4x + 2) + 5x + 2
e
2x3 − 2 = (5x + 2)(6x2 − x + 6)
enta˜o mdc(x7− 4x6 + x3− 3x+ 5, 2x3− 2) e´ o polino´mio mo´nico associado de 5x+ 2, ou seja,
3(5x + 2) = x + 6.
(2) p(x), pelo crite´rio de Eisenstein (com p = 2), e´ irredut´ıvel sobre Q.
As poss´ıveis ra´ızes racionais de q(x) = x4 − x2 − 2 sa˜o 1, −1, 2 e −2. Nenhuma delas e´ raiz
pelo que o polino´mio na˜o tem ra´ızes racionais. Assim, a u´nica hipo´tese dele ser redut´ıvel sobre
Q e´ factorizar-se na forma
q(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
para alguns racionais a, b, c, d. Resolvendo o sistema correspondente

a + c = 0
b + ac + d = −1
ad + bc = 0
bd = −2.
chega-se a uma soluc¸a˜o:
q(x) = (x2 + 1)(x2 − 2).
Portanto, q(x) e´ redut´ıvel sobre Q.
r(x) e´ irredut´ıvel sobre Q se e so´ se 8x3−6x−1 o for. As poss´ıveis ra´ızes racionais deste u´ltimo
polino´mio sa˜o: ±1,±12 ,±14 ,±18 . Nenhuma delas e´ de facto uma raiz pelo que o polino´mio, na˜o
tendo ra´ızes em Q e sendo de grau 3, e´ irredut´ıvel sobre Q.
(3) (a) Se p(x) tem uma raiz a em D enta˜o, pelo Teorema do Resto, p(x) = (x − a)q(x) para
algum polino´mio q(x) ∈ D[x]. Pela regra dos graus, q(x) tem necessariamente grau ≥ 1,
pelo que na˜o e´ uma unidade de D[x]. Portanto, (x−a)q(x) e´ uma factorizac¸a˜o na˜o trivial
de p(x) em D[x], o que mostra que este polino´mio e´ redut´ıvel em D[x].
(b) Por exemplo, o polino´mio q(x) do Exerc´ıcio 2 e´ redut´ıvel em Q[x] mas na˜o tem ra´ızes
racionais.
(4) (a) Sabemos ja´ (Exerc´ıcio 2) que q(x) na˜o tem ra´ızes racionais e q(x) = (x2 + 1)(x2 − 2).
Portanto, esta e´ a factorizac¸a˜o de q(x) em factores irredut´ıveis.
(b) Seja θ uma raiz de q(x). Pelo Teorema da Torre,
[Q(
√
2, θ) : Q] = [Q(
√
2, θ) : Q(
√
2)][Q(
√
2) : Q] = 2[Q(
√
2, θ) : Q(
√
2)],
pois x2 − 2 e´ o polino´mio mı´nimo de √2 sobre Q. Qual e´ o polino´mio mı´nimo de θ
sobre Q(
√
2)? Como θ e´ raiz de q(x) = (x2 + 1)(x2 − 2) enta˜o θ = ±i /∈ Q(√2) ou
θ = ±√2 ∈ Q(√2). No primeiro caso, x2 + 1 e´ o polino´mio mı´nimo de θ sobre Q(√2)
pelo que [Q(
√
2, θ) : Q] = 4 e
Q(
√
2, θ) = Q(
√
2, i) = {a + b
√
2 + c i + d
√
2i | a, b, c, d ∈ Q}.
No segundo caso,
Q(
√
2, θ) = Q(
√
2) = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q}.
(c) No caso θ = ±i, θ + 1 = 1± i, pelo que
(θ + 1)−1 =
1
1± i =
(1∓ i)
(1± i)(1∓ i) =
1∓ i
1 + 1
=
1
2
∓ 1
2
i.
No caso θ = ±√2, θ + 1 = 1±√2, pelo que
(θ + 1)−1 =
1
1±√2 =
(1∓√2)
(1±√2)(1∓√2) =
1∓√2
1− 2 = −1±
√
2.
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