Lista Semana 13 Fixação

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 13
Temas abordados : Integrais Definidas, Teorema Fundamental do Ca´lculo e A´reas
Sec¸o˜es do livro: 5.3; 5.5 e 5.6
1) Calcule as integrais definidas abaixo.
(a)
∫ 0
−2
(2x+ 5)dx (b)
∫ 32
1
x−6/5dx
(c)
∫ pi
0
sen(x)dx (d)
∫ pi/2
−pi/2
(8θ2 + cos(θ))dθ
(e)
∫ −1
1
(r + 1)2dr (f)
∫ 1
√
2
s2 +
√
s
s2
ds
(g)
∫ 2
−4
|y|dy (h)
∫ 1
0
4
1 + y2
dy
2) Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituic¸a˜o, quando necessa´rio.
(a)
∫ 1
0
x
√
1− x2dx (b)
∫ e
1
ln(t)
t
dt
(c)
∫ 0
−pi/2
sen(t) cos(t)dt (d)
∫ 0
1
−xe−x2/2dx
(e)
∫ 1
0
x√
1− x4dx (f)
∫ pi/2
0
sen2(θ)dθ
(g)
∫ pi
0
cos2(θ)dθ
3) Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [0, 4] determine o valor de
∫ 2
−2
xf(x2)dx.
4) Determine a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas dadas.
(a) f(x) =
√
x, g(x) = x2
(b) f(x) = 6− x2, g(x) = 3− 2x
(c) f(x) = x3 − x, g(x) = 0
(d) f(x) = tan(x), g(x) = 1, x = 0
(e) f(x) = |x− 2|, g(x) = 2− (x− 2)2
5) Considere a func¸a˜o
f(x) =
∫ x3
a
sen3(t)dt
e note que, se F (x) =
∫ x
a
sen3(t)dt e c(x) = x3, enta˜o f(x) = (F ◦ c)(x). Use a regra da
cadeia e o Teorema Fundamental do Ca´lculo para determinar f ′(x).
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 13 - Pa´gina 1 de 2
6) Use o Teorema Fundamental do Ca´lculo e a regra da cadeia para mostrar que as func¸o˜es
abaixo na˜o dependem de x.
(a) f(x) =
∫ x
0
1
(1 + t2)
dt+
∫ 1
x
0
1
(1 + t2)
dt, definida para x > 0.
(b) f(x) =
∫ senx
− cos x
1√
(1− t2)dt, para x ∈ (0, pi/2).
7) Use uma mudanc¸a de varia´veis (substuic¸a˜o) para demonstrar as duas afirmac¸o˜es abaixo.
Em seguida, fac¸a uma interpretac¸a˜o geome´trica de cada uma delas.
(a) se f e´ par enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx
(b) se f e´ ı´mpar enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 0.
RESPOSTAS
1)
(a) 6 (b) 5/2 (c) 2
(d) 2pi3/3 + 2 (e) −8/3 (f) 23/4 −√2− 1
(g) 10 (h) pi
2)
(a) 1/3 (b) 1/2 (c) −1/2
(d) 1− e−1/2 (e) pi/4 (f) pi/4− 1/4
(g) pi/2
3) a integral vale zero
4) (a) 1/3
(b) 32/3
(c) 1/2
(d)
1
2
(pi
2
− ln(2)
)
(e) 7/3
5) Pela regra da cadeia f ′(x) = F ′(c(x))c′(x). Basta agora lembra que, pelo Teorema Fun-
damental do Ca´lculo F ′(x) = sen3(x), de modo que f ′(x) = 3x2 sen3(x3)
6) Para o item (b) escreva
∫ sen(x)
− cos(x) =
∫ 0
− cos(x) +
∫ sen(x)
0
.
7) Para o item (a) note inicialmente que
∫ a
−a
f(x)dx =
∫ 0
−a
f(x)dx +
∫ a
0
f(x)dx. Fazendo
y = −x na primeira integral e lembrando que f(−y) = f(y) obtemos
∫ 0
−a
f(x)dx =
∫ 0
a
f(−y)(−1)dy = −
∫ 0
a
f(y)dy =
∫ a
0
f(y)dy.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 13 - Pa´gina 2 de 2