01 - CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110 ead-14901 01

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CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS
REVISÃO DE DERIVADAS EREVISÃO DE DERIVADAS E
INTEGRAISINTEGRAIS
Autor: Me. Tal i ta Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
I N I C I A R
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introdução
Introdução
Os primeiros conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral surgiram há
séculos, a princípio, sem ligação com os conceitos que temos atualmente.
Depois de um período, matemáticos puderam provar, por meio de resultados
válidos até hoje, que os conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral são
o inverso um do outro.
O cálculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes. Já o
cálculo integral originou-se em problemas de quadratura, que é uma operação
que determina a área de um quadrado equivalente a uma dada �gura
geométrica. Porém, hoje, sabemos que as aplicabilidades dessas teorias
estendem-se a áreas variadas do conhecimento, como física, química,
engenharias, biologia, economia, dentre outras. Apesar de você, estudante, já
ter estudado esses conceitos, vamos revisar, nesta unidade, as principais
de�nições e propriedades presentes no cálculo diferencial e integral. Além disso,
estudaremos o conceito de integração por frações parciais.
Salientamos que, como se trata da revisão de uma matéria extensa, não
conseguiremos abordar todos os conceitos presentes. Com isso, enriqueceria o
seu estudo buscar exemplos e exercícios em outras bibliogra�as para completar
a sua revisão e aprofundar o seu conhecimento. Esperamos que o seu
aprendizado seja produtivo.
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Neste tópico, relembraremos as principais de�nições e propriedades das
derivadas de funções reais de uma variável real. No que segue,
representaremos por f(x) uma função real de uma variável real, de�nida sobre
um subconjunto X dos números reais.
Uma Breve Revisão Sobre asUma Breve Revisão Sobre as
Derivadas de Funções Reais deDerivadas de Funções Reais de
uma Variável Realuma Variável Real
Fonte: luckybusiness / 123RF.
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Considere uma função f(x) como uma função qualquer e sua derivada f′(x) é a
nova função que, em um determinado ponto x, o valor da derivada é de�nido
por
f′(x)=limh→0
f(x+h)−f(x)
h
se o limite existir.
Assim, se o limite existe para x=a, a função f diz-se diferenciável em a.
Consideramos a função f derivável em um intervalo aberto, se esta for
diferenciável para todos os números do intervalo.
Exemplo 1.1: determine f′(x) se f(x)=x².
Solução: pela de�nição que acabamos de enunciar,
f′(x)=limh→0
f(x+h)−f(x)
h =limh→0
(x+h)2−x2
h .
Como:
(x+h)2−x2
h =2x+h,h≠0,
segue que:
f′(x)=limh→0
f(x+h)−f(x)
h =limh→0
(x+h)2−x2
h =2x
Portanto, f′(x)=2x.
Usando a notação tradicional y=f(x) para indicar que a variável independente é x,
e y é a variável dependente, então y′
dy
dx e 
df
dx são consideradas notações
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alternativas quando consideramos a derivada de f em relação a x.
O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um
limite, na maioria das vezes, é um processo demorado. Porém, há regras de
derivação que auxiliam em uma solução mais simples para o cálculo. Quando
utilizamos tais soluções, conseguimos determinar a derivada de uma função
sem necessitar recorrer à sua de�nição. A seguir, enunciamos algumas dessas
regras.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando que n é um número real qualquer, então:
reflitaRe�ita
Em muitos problemas de cálculo que envolvem curvas, precisamos calcular a reta
tangente em um certo ponto da curva. Contudo, a reta tangente a uma curva y=f(x) em um
ponto P(a,f(a)) é a reta que passa por P e tem a inclinação
m=limx→a
f(x)−f(a)
x−a ,
desde que esse limite exista. Isto é, a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto 
P(a,f(a)) é o mesmo que a derivada de f em a. Com isso, se usarmos a forma ponto-
inclinação da equação de uma reta, podemos escrever uma equação da reta tangente à
curva y=f(x) no ponto P(a,f(a)), como:
y−f(a)=f′(a)(x−a)
Logo, re�ita sobre esse processo.
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[xn]′=nxn−1.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que c é uma
constante e f é uma função derivável, podemos dizer que:
[cf(x)]′=cf′(x).
REGRA DA SOMA: considerando que f e g são funções deriváveis, então:
f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x).
REGRA DO PRODUTO: considerando que f e g são funções diferenciáveis com 
g(x)≠0, então:
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
REGRA DO QUOCIENTE: considerando que f e g forem deriváveis, então:
[
f(x)
g(x)],=
f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g(x)2
.
REGRA DA CADEIA: se g for derivável em x, e f for derivável em g(x), então, a
função composta h=f∘g, de�nida por h(x)=f(g(x)), será derivável em x, e h′ será dada
pelo produto:
h′(x)=f′(g(x))g′(x).
Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais,
logarítmicas e trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação
para estas funções:
               
d
dxsen x=cos x;                      
d
dx(cosec x)=−cosec x cotg x;
               
d
dxcos x=−sen x;                 
d
dx(cotg x)=−cosec
2 x;
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d
dxtg x=sec
2x;                       
d
dx(e
x)=ex;
               
d
dxsec x=sec x tg x;            
d
dx(ln x)=
1
x.
Exemplos 1. 2: derive:
a) h(x)=5
1
x2
.
b) f(x)=ex x.
c) F(x)=
2x+3
x2+1
.
d) h(x)=sen(x2+1).
Solução: a) Pelas regras da constante e da potência:
h′(x)=5(
1
t2
)′=−
10
t3
.
b) Pela regra do produto, temos:
f′(x)=(ex)′ x+ex(x)′=ex x+ex.
c) Pela regra do quociente:
F′(x)=
(2x+3)′x2+1−2x+3(x2+1)′
(x2+1)2
=
−2x2−6x+2
(x2+1)2
.
d) Pela regra da cadeia, considerando f(x)=sen x e g(x)=x2+1, temos que:
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=2x cos (x2+1).
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Como f’ também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos
derivá-la. Se a derivada de f’ existir, esta será chamada derivada segunda de f e
será denotada por f’’. Seguindo esse raciocínio, a derivada enésima da função f,
onde n é um número inteiro positivo maior do que 1, é a derivada primeira da
derivada (n-1) ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por fn. Por
exemplo, temos que f″(x)=96x2+30x−2, se f(x)=8x4+5x3−x2+7, pois f′(x)=32x3+15x2−2x.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que o cálculo diferencial possui aplicabilidade em diversas áreas do
conhecimento. Logo, dominar seus conceitos e propriedades é relevante em nossa
formação acadêmica. Com base na teoria que acabamos de revisar neste tópico,
assinale a alternativa correta.
a) Com a definição de derivada de uma função, concluímos que f′(x)=3x−1, se f(x)=x3−x.
b) Se g(x)= 3x2+1 3, temos que g(x)= 3 3x2+1 2
c) A derivada de t(x) = 0,5 é dada pela função t(x)= 0,5.
d) Temos que g(4)=−1, uma vez que g(x) = h(x) 1/x, onde h(4) = 32 e h(4) = 4.
e) Se f(x) = 2x3+ex e g(x) = x2−4x+1, [
f(x)
g(x)]
′ = 
2x4−32x3+6x2+ex x2+2x+5
2x3+ex 2
.
( ) ( )
( )
( )
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Os problemas de otimização consistem em determinar a melhor maneira de
fazer algo, ou seja, requerem minimizar ou maximizar uma situação. Como é de
nosso conhecimento, as derivadas nos ajudam localizar os valores de máximo e
mínimo de funções. Logo, os problemas de otimização são uma das aplicações
mais importantes do cálculo diferencial. 
Problemas de OtimizaçãoProblemas de Otimização
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Antes de resolver um problema de otimização, vamos enunciar os principais
resultados e de�nições já estudados por nós, que envolvem a derivada primeira
e segunda e fornecem-nos técnicas para determinar os valores extremos de
uma função.
Teorema 1.1: se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f′(c) existir, então, 
f′(c)=0.
O Teorema 1.1 apresenta que devemos procurar por valores máximos e
mínimos de f nos números c, em que f′(c)=0 ou onde f′(c) não existe. Chamamos
os valores c tais que f′(c)=0 ou f′(c) não existe de número crítico de f.
Quando uma função f é contínua, considerando um intervalo fechado [a,b],
temos um método para determinar seus valores extremos (valor de máximo e
valor de mínimo) em [a,b]. Primeiramente, encontramos os valores de f nos
números críticos de f em (a,b). Depois, encontramos os valores de f nas
extremidades a e b. Então, o maior valor é o valor de máximo e o menor valor é
o valor de mínimo.
Exemplo 1.3: o valor máximo de f(x)=x3+x2−x+1 em −2, 1/2 é f(−1)=2.[ ]
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Solução: observe que f é contínua no intervalo −2, 1/2 e f(x)=3x2+2x−1. Como f′(x)
existe para todos os números reais, os únicos números críticos de f serão os
valores x para os quais f(x)=0. Mas
f(x)=0⇔3x2+2x−1 =0,
em que concluímos que os números críticos de f são x= e x=−1. Ainda
f(−2) = −1, f(−1) = 2, f( ) = 
22
27, f 1/2 = 
7
8.
Portanto, o valor máximo f em −2, 1/2 é f(−1) = 2.
O próximo resultado diz se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um
número crítico. Chamamos-o de Teste da Primeira Derivada.
Teorema 1.2: considere que c seja um número crítico de uma função contínua f.
Dessa forma, podemos a�rmar que:
a)  caso o sinal de f′ mude de positivo para negativo em c, dizemos que f tem um
máximo local em c.
b)  caso o sinal de f′ mude de negativo para positivo em c, dizemos que f tem um
mínimo local em c.
c)  se f′ não mudar de sinal em c, então, f não tem máximo ou mínimo locais em c
.
Exemplo 1.4: encontre os valores máximos e mínimos da função 
f(x) = x3−6x2+9x+1.
Solução: note que f(x)=3x2−12x+9 e f(x) = 0 ⇔ x=3, x=1. Ademais, se x⟨1, f(x)⟩0; se 
1<x<3, f′(x)<0; e se x>3, f(x)>0. Então, pelo Teste da Primeira Derivada, f ′ =5 é um
valor de máximo local de f, e f(3)=1 é um valor de mínimo local de f.
O próximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada.
[ ]
( )
[ ]
( )
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Teorema 1.3: suponha que f″ seja contínua nas proximidades dos valores de c:
a)  se f′(c)=0 e f″(c)>0, então, f tem um mínimo local em c.
b)  se f′(c)=0 e f″(c)<0, então, f tem um máximo local em c.
Exemplo 1.5: sendo f(x)=x4 +
4
3x
3−4x2, utilize o Teste da Segunda Derivada para
encontrar os máximos e mínimos locais de f.
Solução: temos que f(x)=4x3+4x2−8x e f(x)=12x2+8x−8. Então, os pontos críticos de f
(valores onde f(x) = 0) são −2,0e1. Contudo, f(−2)>0, f(0)⟨0, f(1)⟩0. Logo, f possui um
valor de mínimo local em f(−2)=−
32
2 , um valor de máximo local em f(0)=0 e um
mínimo local em f(1)=−
5
3.
Agora, veremos dos exemplos de problemas de otimização.
Exemplo 1.6: uma empresa possui seu lucro descrito pela função 
L(x) = −0,02x2 + 300x − 200000, em que x representa o número de unidades
produzidas. Quantas unidades a empresa precisa produzir para que seu lucro
seja máximo?
Solução: observe que, como a L(x) = −0,04x + 300, teremos a , ou seja, x=7500 é o
número crítico de L. Contudo, L(x)⟨0, x⟩7500 e L(x)>0, x<7500. Portanto, pelo Teste da
Primeira Derivada, a empresa precisa produzir 7500 unidades para que seu lucro
seja máximo.
Exemplo 1.7: construa uma caixa fechada, de base quadrada e com 200 cm³ de
volume. O material utilizado para a tampa e para a base deve custar R$ 3,00
para cada centímetro quadrado e o material utilizado para os lados custa R$
1,50 para cada centímetro quadrado. Com quais dimensões esta caixa possui
custo total mínimo?
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Solução: adotando como x o comprimento (em centímetros) de um lado da base
quadrada e C(x) o custo total do material, a área da base será x2 cm2. Adotando y
como a profundidade (em centímetros), o volume da caixa será x2y = 200 cm3,
onde y = 
200
x2
.
Dessa forma, podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é 2x2 e,
para os lados, é 4xy. Com isso, $C\left( x \right)~=~3~\left( 2x{}^\text{2}
\right)~+~1,5~\left( 4xy \right)$ ou, equivalentemente,
C(x) = 6x2 + 
12000
x ,
em que:
C(x) = 12x − 
12000
x2
 , C(x) = 12x + 
12000
x3
.
Assim, C’(x) não existe x=0, mas como 0 não pertence ao domínio de C, os únicos
números críticos serão os valores de x, tais que C(x)=0, ou seja, x=10. Por outro
lado, C(10)>0 então, pelo Teste da Derivada Segunda, x=10 é um mínimo local de
C. Com isso, o custo total do material será mínimo, quando o lado da base
quadrada for 10 cm, a profundidade for 20 cm e a área da base for 100 cm².
praticar
Vamos Praticar
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Na economia, se x unidades forem vendidas e o preço por unidade for p(x), então, a
receita total será R(x)=xp(x), sendo R chamada função receita. Representado por C(x), a
função custo é o valor gasto para a produção de x unidades. Se x unidades forem
vendidas, então, o lucro total será L(x)=R(x)−C(x), então, L será chamada função lucro.
Certa empresa possui as funções de custo e receita dadas por R(x)=−0,5x2+2000x e 
C(x)=800x+500000, respectivamente. Analise as alternativas abaixo e assinale a correta.
a) O lucro desta empresa será máximo para x=1200.
b) O lucro desta empresa será máximo para x=800.
c) O lucro desta empresa será máximo para x = 36√5.
d) O lucro desta empresa será máximo para x=60.
e) O lucro desta empresa será máximo para x = 20√3.
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Uma função F(x) é chamada antiderivada da função f(x) se F(x)=f(x), seja qualquer 
x pertencente ao domínio de f. Como a derivada de uma constante é zero, a
antiderivada de uma função não é única. Por exemplo, F(x)=x2 e H(x)=x2+10 são
antiderivadas da função f(x)=2x, uma vez que F(x)=H(x)=2x=f(x).
Representamos o conjunto de todas as antiderivadas de f(x) utilizando o
símbolo:
∫f(x) dx=F(x)+C,
que é chamado integral inde�nida de f(x), em que F é uma antiderivada de f.
Para qualquer função derivável F, ∫F′(x) dx=F(x)+C . Da ligação entre o cálculo
diferencial e o cálculo integral por meio das antiderivadas, podemos listar
propriedades para integração inde�nida resultante de propriedades existentes
para as derivadas. 
Uma Breve Revisão Sobre asUma Breve Revisão Sobre as
Integrais de Funções Reais de umaIntegrais de Funções Reais de uma
Variável RealVariável Real
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REGRA DA CONSTANTE: considerando qualquer constante k, ∫k dx=kx+C.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando qualquer n≠−1,∫xn dx=
xn+1n+1 +C.
REGRA DO LOGARÍTMO: considerando qualquer x≠0,∫
1
x dx=ln |x|+C.
REGRA DA EXPONENCIAL: considerando qualquer constante k≠0 , ∫ekx dx=
1
ke
kx+C.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: considerando qualquer
constante f, ∫k f(x) dx=k∫f(x) dx.
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫f(x) ± g(x) dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx.
Exemplo 1.8: calcule:
a) ∫
3
x dx.
b) ∫
x3−8x2+2x
x dx.
Solução: a) Pelas regras do logaritmo e da multiplicação por uma constante,
∫
3
x dx=3∫
1
x dx=3 ln |x|+C.
b) Usando a regra da soma, da diferença, da multiplicação por uma constante,
da constante e da potência, temos:
∫
x3−8x2+2x
x dx=∫x
2 dx−8∫x dx+∫2 dx=
x3
3 −4x
2+2x+C.
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Muitas integrais exigem, além das regras enunciadas acima, métodos especiais
para resolvê-las. Um destes é o método da substituição. Tal método consiste em
escolhermos uma substituição u=u(x)), para simpli�car o integrando f(x) e
expressar toda a integral em termos de u e du=udx. Com isso, a integral deve
estar ∫f(x) dx=∫g(u) du na forma. Se possível, calcule essa integral, determinando
uma antiderivada G(u) de g(u). Para �nalizar, substituímos u por u(x), obtendo uma
antiderivada G(u(x)) para f(x), de modo que ∫f(x) dx= G(u(x)) + C.
Por exemplo, podemos calcular a integral inde�nida ∫(5x+3)6 dx pelo método da
substituição. Denotando u=5x+3, temos du=5dx ou dx=1/5. Assim:
∫(5x+3)
6 dx=∫u
6 
1
5 du =
1
5∫u
6 du=
1
35(5x+3)
7 +C.
Agora, considere f(x) uma função contínua no intervalo a≤x≤b. Julgue que este
intervalo tenha sido dividido em n partes iguais de largura Δx=
b−a
n e seja x
∗
i um
número qualquer pertencente ao intervalo de ordem i, para qualquer i=1, 2, …,
n. A soma:
[f(x∗1)Δx + f x
∗
2 Δx+....+f(x
∗
nΔx)]
é conhecida como soma de Riemann.
Dessa forma, a integral de�nida de f(x) no intervalo a≤x≤b, representada pelo
símbolo
b
∫
a
f(x) dx
é dada pelo limite da soma de Riemann, sempre que n→∞, caso o limite exista.
A integral de�nida ∫b
a
f(x) dx é um número. Se a > b, temos que ∫b
a
f(x) dx=−∫a
b
f(x) dx; se 
a=b, temos que ∫b
a
f(x) dx=0. Como, para as integrais inde�nidas, existem regras de
( )
( )
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integração que nos auxiliam a determinar as integrais de�nidas, suponha que f
e g são funções contínuas, sendo válida a:
REGRA DA CONSTANTE: para qualquer constante k, ∫b
a
k dx=k(b−a).
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫b
a
f(x)±g(x) dx=∫b
a
f(x) dx+∫b
a
g(x) dx.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante k
,
b
∫
a
k f(x) dx=k 
b
∫
a
f(x) dx.
REGRA DO INTERVALO: para qualquer c∈[a,b], ∫b
a
f(x) dx=∫c
a
f(x) dx+∫b
c
f(x) dx.
Exemplo 1.9: sendo ∫10
0
f(x) dx=17 e ∫8
0
f(x) dx=12, temos que ∫10
8
f(x) dx=5.
Solução: primeiramente, devemos escrever:
10
∫
0
f(x) dx=
8
∫
0
f(x) dx+
10
∫
8
f(x) dx.
Então:
10
∫
8
f(x) dx=17 − 12 = 5.
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Para �nalizar este tópico, vamos enunciar a primeira e a segunda parte do
Teorema Fundamental do Cálculo. Este é um dos mais importantes resultados
do cálculo, pois relaciona o conceito de integral de�nida ao conceito de
antiderivação, ou seja, o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo
diferencial e o cálculo integral.
Teorema 1.4 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1): se f for contínua em
[a,b], então, a função g de�nida por g(x)=∫x
a
f(t) dt (a≤x≤b) é contínua em [a,b] e
derivável em (a,b) e g(x)=f(x).
Teorema 1.5 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2): se f for contínua em
[a,b], então:
b
∫
a
f(x) dx=F(b)−F(a)
em que F é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que F=f.
Exemplo 1.10: calcule:
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a)  ∫3
1
ex dx.
b) ∫8
5
2x+1 dx.
Solução: a) Note que F(x)=ex é uma antiderivada de f(x)=ex, então, pela Parte 2 do
Teorema Fundamental do Cálculo,
∫3
1
ex dx= F(3)−F(1)=e3−e.
b) Com o raciocínio do item anterior e com o auxílio das regras de integração,
temos:
∫8
5
2x+1 dx= 82−52 +(8−5)=42.
praticar
Vamos Praticar
Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situações problemas do nosso
cotidiano e do nosso meio pro�ssional. Com base na teoria sobre integrais inde�nidas
e de�nidas revisadas neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) ∫x2−2x dx = x3−2x2 + C.
b) ∫− cos x dx = sen x + C.
c) ∫t3 cos t4 +2 dt =
1
4 cos t
4 +2 + C.
d) ∫1
0
x3+1 dx=
5
4.
( )
( ) ( )
( )
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e) ∫ 1
−1
x2 dx=1
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Uma função f(x) é denominada função racional, se f(x)=
R(x)
Q(x), em que R(x) e Q(x)
são polinômios. Se o grau de R é menor que o grau de R, f é chamada de função
Integração de Funções RacionaisIntegração de Funções Racionais
por Frações Parciaispor Frações Parciais
Figura 1.2 Fórmulas 
Fonte: Pakpong Pongatichat / 123RF.
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racional própria; f(x) é denominada função racional imprópria, se o grau de R é
maior ou igual que o grau de Q.
Se uma função f(x)=
P(x)
Q(x) é racional imprópria, podemos dividir os polinômios P
por Q até o resto R(x) ser obtido, em que o grau de R é menor que o grau de Q.
Com isso, podemos reescrever f(x) como a soma de um polinômio S(x) e uma
função racional própria 
R(x)
Q(x), ou seja, f(x)=S(x)+
R(x)
Q(x).
Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria,
podemos decompô-la em frações parciais, usando a seguinte estratégia:
primeiramente, fatoramos o denominador Q como produto de fatores lineares e
quadráticos, em que os fatores quadráticos não possuem raízes reais, isto é, são
irredutíveis.
Na resolução dos exemplos a seguir, veremos três casos desta técnica.
Exemplo 1.12: determine:
a) ∫
x2+2x−1
2x3+3x2−2x
 dx.
b) ∫
x3−1
x2(x−2)3
 dx.
c) ∫
x2+1
x3+3x
 dx.
Solução: a) Note que o grau do denominador é maior do que o grau do
numerador, logo, a função f(x)=
x2+2x−1
2x3+3x2−2x
 é racional própria, e não precisamos
dividir o numerador pelo denominador. Observe que
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2x3+3x2−2x=x(2x−1)(x+2)
ou seja, o polinômio Q(x)= a1x+b1 a2+b2 ... an+bn pode ser decomposto em fatores
lineares e nenhum fator é repetido. Neste caso, escrevemos:
R(x)
Q(x)= 
A1
a1 x+b1
+
A2
a2+b2
+...
An
an+bn
Então,
x2+2x−1
2x3+3x2−2x
=
x2+2x−1
x(2x−1)(x+2)=
A1
x +
A2
2x−1+
A3
x+2.
Com isso, temos que:
x2+2x−1= 2A1+A2+2A3 x
2+ 3A1+2A2−A3 x−2A1
em que a igualdade de polinômios é:
A1=1/2 , A2=1/5 e A3=−1/10.
Portanto,
∫
x2+2x−1
2x3+3x2−2x
 dx=
1
2∫
1
x dx +
1
5∫ 
1
2x−1dx − 
1
10∫ 
1
x+2dx.
=
1
2ln |x|+
1
10ln |2x−1|−
1
10ln |x+2|+C.
b)Temos que:
x2 = x . x . (x−2). (x−2). (x−2)
ou seja, o polinômio Q(x) decompõe-se em fatores lineares com termos
repetidos. Se o fator aix+bi repete p vezes, teremos, correspondente a esse fator,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
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uma soma de p frações parciais da forma:
 
A1
ai x+bi
+
A2
ai x+bi
2+...
Ap
(ai x+bi)
p.
Então,
x3−1
x2(x−2)3
=
A1
x +
A2
x2
+B1
(x−2)+
B2
(x−2)2
+
B3
(x−2)3
em que:
x3−1=A1 x(x−2)
3 +A2(x−2)
3+B1 x
2(x−2)2 +B2 x
2(x−2) +B3x
2
Se x=0, A2=1/8; se x=2, B3=7/4. Para determinar A1, B1 e B2, substituímos os valores
já encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios
obtendo A1=3/16, B1=−3/16 e B2=5/4.
Com isso,
∫
x3−1
x2(x−2)3
=
3
16∫
1
xdx+
1
8∫
1
x2
dx−
3
16∫
1
(x−2)dx+
5
4∫
1
(x−2)2
dx+
7
4∫
1
(x−2)3
dx =
3
16ln |x|−
1
8x−
3
16ln |x−2|−
5
4(x−2)+
7
8(x−2)2
+C
c) Neste caso,
x3+3x = x x2+3
em que o fator x2+3 é irredutível, pois não possui raízes reais, isto é, o polinômio 
Q(x) é decomposto por fatores lineares e quadráticos, porém nenhum fator
quadrático é repetido. Todo fator quadrático irredutível ax2+bx+c terá uma fração
parcial da forma:
Ax+B
ax2+bx+c
.
( )
( ) ( ) ( )
( )
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Então,
x2+1
x3+3x
==
A
x+
Bx+C
x2+3
.
Procedendo como nos itens anteriores, obtemos que A=
1
3, B=
2
3 e C = 0. Então,
∫
x2+1
x3+3x
 dx=
1
3∫ 
1
x dx+
2
3∫
x
x2+3
dx=
1
3ln |x|+
1
3ln x
2+3 +C.
Também podemos decompor Q(x) por fatores lineares e quadráticos irredutíveis,
mas com alguns fatores quadráticos repetidos. Nesse caso, se ax2+bx+c for um
fator quadrático irredutível que se repete p vezes, o fator (ax2+bx+c)p possui p
frações parciais da forma
A1x+B1
ax2+bx+c
+
A2x+B2
ax2+bx+c 2
+ ...+
Apx+Bp
(ax2+bx+c)
p.
Por exemplo, para x2+3x+5 3, temos:
A1x+B1
x2+3x+5
+
A2x+B2
x2+3x+5 2
+
A3x+B3
x2+3x+5 3
.
Note que, na letra a) do exemplo 1.12, foi possível fatorar o denominador como
multiplicação de fatores lineares distintos. No item b), decompomos o
denominador como multiplicação de fatores lineares repetidos. Já no item c) do
exemplo 1.12, a fatoração do denominador continha fatores quadráticos
irredutíveis, sem repetição. Acabamos de observar, acima, outra forma de
fatorar um polinômio, como multiplicação de fatores lineares e quadráticos
irredutíveis, com alguns termos quadráticos repetidos. Um resultado da Álgebra
garante que é sempre possível fatorar um polinômio de uma dessas quatro
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
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maneiras. A forma de decompor a fatoração de cada caso em frações parciais,
exposta nos exemplos acima, vem do teorema de frações parciais.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser
decompostas em frações parciais para serem resolvidas. Observe a integral a seguir:
∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 dx
Agora, assinale a alternativa correta.
a) A função f(x)=
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 é uma função racional própria.
b) A função f(x)=
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 é uma função racional imprópria e 
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
=
1
x−1+
2
(x−1)2
−
1
x+1. 
c) Temos que ∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 dx=
x2
2 +x+ln |x−1|−
2
x−1−ln |x+1|+C.
d) Temos que ∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 dx=
x2
2 +ln |x−1|−
2
x−1+C.
e) Temos que ∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1
 dx=
x2
2 +x−
2
x−1+C.
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indicações
Material Complementar
FILME
Uma mente brilhante
Ano: 2001
 Comentário: o �lme conta a história de um matemático
que, mesmo doente, com esquizofrenia, venceu o Nobel
de Economia, por sua Teoria dos Jogos.
T R A I L E R
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LIVRO
Cálculo
James Stewart
Editora: Cengage Learning
ISBN: 8522112584
Comentário: este livro aborda toda a teoria do cálculo
diferencial e integral que relembramos nesta unidade.
Você poderá conferir muitos exemplos resolvidos, o que
contribuirá com seus estudos.
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, pudemos revisar as de�nições e propriedades do cálculo
diferencial e do cálculo integral, que já havíamos aprendido em outro momento
do curso. Também aprendemos um novo método de integração, a integração
por frações parciais. Por meio do Teorema Fundamental do Cálculo,
relembramos que o cálculo diferencial e integral estão interligados, pois um
desfaz o que o outro faz. Como perceberam, não foi possível explorar toda a
teoria presente na disciplina do cálculo diferencial e integral, pois esta é vasta.
Esperamos que tenham recordado o conteúdo e praticado os tópicos por meio
dos exemplos e exercícios, tornando essa revisão produtiva ao seu
conhecimento e formação. Sugerimos que pesquise sobre outras aplicações do
cálculo diferencial e integral, que não comentamos na unidade, pois isso
motivará os seus estudos. Agradecemos toda a dedicação e até uma próxima
oportunidade!
referências
Referências Bibliográ�cas
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GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2001.
LEITHOULD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra
Ltda., 1994.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006.
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