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A grandeza escalar fica perfeitamente definida quando dela se conhecem o valor numérico e a correspondente unidade (exemplos: volume, massa, temperatura, energia). A grandeza vetorial, além do valor numérico e da unidade, necessita de direção e sentido para ser definida (exemplos: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento). Vetor É um ente matemático caracterizado por módulo, direção e sentido. Adição vetorial Pode ser feita pela regra do paralelogramo ou pela linha poligonal ("vetores consecutivos"), conforme indicamos abaixo: Subtração vetorial VD = V2 - V1 = V2 + (-V1): adiciona-se V2 ao oposto de V1: Vetores (I) Exercício básicos Notação vetorial em negrito. Exercício 1: São dados os vetores a e b. Represente o vetor s soma dos vetores a e b. Analise os casos: Exercício 2: Retome o exercício anterior e considere que os módulos dos vetores a e b sejam iguais a 10 unidades (10u). Calcule em cada caso o módulo do vetor soma s. Exercício 3: Considere o diagrama dos vetores a, b e c, esquematizado abaixo. É possível concluir que: a) a + b + c = 0 b) a + b = c c) a + c = b d) b + c = a Exercício 4: Considere o diagrama dos vetores a, b e c, esquematizado abaixo. É possível concluir que: a) a + b + c = 0 b) a + b = c c) a + c = b d) b + c = a Exercício 5: Represente o vetor s = a + b e o vetor d = a - b. Calcule a seguir seus módulos. Cada lado do quadradinho tem medida igual a u. Resolução dos exercício básicos Notação vetorial em negrito. Exercício 1: resolução Exercício 2: resolução Nos casos a) e b) aplicamos o Teorema de Pitágoras: s2 = a2 + b2 => s2 = (10)2 + (10)2 => s = 10√2u c) cos 30º = (s/2)/10 => √3/2 = (s/2)/10 => s = 10√3u d) O triângulo destacado é equilátero. Logo, s = 10u Exercício 3: resolução Os vetores a e b são “consecutivos”, isto é” a extremidade do primeiro coincide com a origem do segundo”. Logo, o vetor c, com origem no primeiro e extremidade no segundo, é o vetor soma: c = a + b. Resposta: b Exercício 4: resolução Os três vetores são “consecutivos”. Note que “a extremidade de c coincide com a origem de a”. Logo, o vetor soma dos três vetores é nulo. Resposta: a Exercício 5: resolução Os módulos dos vetores s e d são iguais a 5u, de acordo com o Teorema de Pitágoras: s = d = √[(3u)2 + (4u)2] = 5u Exercícios de revisão Revisão/Ex 1: (UEL-PR) Duas forças, uma de módulo 30 N e outra de módulo 50 N, são aplicadas simultaneamente num corpo. A força resultante certamente tem módulo R, tal que: a) 20 N ≤ R ≤ 80 N b) R > 50 N c) R = 80 N d) R > 30 N e) 30 N ≤ R ≤ 50 N Revisão/Ex 2: (FAAP-SP) A intensidade da força resultante entre duas forças concorrentes, perpendiculares entre si, é de 75 N. Sendo a intensidade de uma das forças igual a 60 N, calcule a intensidade da outra. Revisão/Ex 3: (U.Mackenzie-SP) A figura mostra 5 forças representadas por vetores de origem comum, dirigidas aos vértices de um hexágono regular. Sendo 10 N o módulo da força FC, a intensidade da resultante dessas 5 forças é: a) 50 N b) 45 N c) 40 N d) 35 N e) 30 N Revisão/Ex 4: (Fatec-SP) Dados os vetores A, B e C, apresentados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 Revisão/Ex 5: (UFSC-SC) Observando a figura, assinale a(s) proposição(ões) que apresenta(m) operação(ões) vetorial(is) verdadeira(s). 01) a + b = c 02) a - b + d = e 04) c + d + e = 0 08) b = d + e + a 16) a + b + d + e = 0 Dê como resposta a soma dos números que precedem as proposições corretas. Resolução dos exercícios de revisão Revisão/Ex 1: resolução A força resultante tem módulo máximo quando os vetores que a representam têm mesma direção e mesmo sentido. Assim: Rmáx = 50 N + 30 N = 80 N A força resultante tem módulo mínimo quando os vetores que a representam têm mesma direção e sentidos opostos. Assim: Rmín = 50 N - 30 N = 20 N Portanto: 20 N ≤ R ≤ 80 N Resposta: a Revisão/Ex 2: resolução Pelo Teorema de Pitágoras, temos: F = (F1)2 + (F2)2 => (75)2 = (60)2 + (F2)2 => F2 = 45 N Revisão/Ex 3: resolução F = FA + FB + FC + FD + FE = (FA + FD) + FC + (FB + FE) Mas, (FA + FD) = FC e (FB + FE) = FC Portanto, F = 3.FC => F = 3.10 N => F = 30 N Resposta E Revisão/Ex 4: resolução S = A + B + C => ISI = 1 Resposta: a Revisão/Ex 5: resolução 01) Incorreta, pois a = b + c 02) Incorreta, pois d + e + a = b => a - b + d = -e O4) Correta, c + d + e = 0 08) Correta, b = d + e + a 16) Incorreta, pois d + e + a = b Resposta: 12 (04+08) Componentes de um vetor Produto de um número real por um vetor Exercícios básicos Notação vetorial em negrito. Exercício 6: É dado o vetor v. Represente os vetores 2v e -v Exercício 7: No diagrama i e j são vetores de módulos unitários. Determine as expressões dos vetores a, b e c em função de i e j. Exercício 8: No estudo da Física muitas vezes precisamos efetuar o produto de um número real por um vetor. É o caso do princípio fundamental da Dinâmica F = m.a, da definição de quantidade de movimento Q = m.v, da definição de impulso de uma força constante que age numa partícula durante um intervalo de tempo dada por I = F.Δt e da força eletrostática F = q.E. Neste último caso, considere o vetor campo elétrico E, representado abaixo e cujo módulo é igual a 105 N/C. Represente as forças eletrostáticas FA e FB que agem nas partículas A e B, submetidas à ação do vetor campo elétrico E, nos casos a) A carga elétrica de A é q = +2 μC b) A carga elétrica de B é q = -3 μC Exercício 9: Seu Joaquim empurra um carrinho, por meio de uma barra de ferro, aplicando uma força F, de módulo F = 100 N, na direção da barra. Qual é o módulo da componente da força F na direção perpendicular ao solo? Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8. Exercício 10: Os vetores a e b, de módulos iguais a 10 unidades (10 u), estão representados na figura. Determine as componentes destes vetores em relação aos eixos Ox e Oy e as componentes do vetor soma (s = a + b). Dados: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,87 Exercício 11: Numa partícula agem três forças F1, F2 e F3, de mesmo módulo igual a 10 N. a) Determine as componentes destas forças em relação aos eixos Ox e Oy. b) As componentes da força F4 capaz de equilibrar o sistema constituído pelas três forças F1, F2 e F3. Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8 x Resolução dos exercício básicos Notação vetorial em negrito. Exercício 6: resolução 2v tem a mesma direção e o mesmo sentido de v e módulo duas vezes maior -v tem a mesma direção e sentido oposto ao de v e módulo igual ao de v Exercício 7: resolução a = 3j b = 2i c = 3i + 3j Exercício 8: resolução 1) FA = IqI.E = 2.10-6.105 => FA = 0,2 N => 2 quadradinhos FA tem a mesma direção e o mesmo sentido de E 2) FB = IqI.E = 3.10-6.105 => FB = 0,3 N => 3 quadradinhos FB tem a mesma direção e sentido oposto ao de EExercício 9: resolução A componente de F perpendicular ao solo (FY) é igual a F.sen θ, ou 100.0,6 => FY = 60 N Exercício 10: resolução ax = a.cos 60º => ax = 10.0,50 => ax = 5,0 u; aY = a.sen 60º => aY = 10.0,87 => aY = 8,7 u; bx = b.cos 30º => bx = 10.0,87 => bx = 8,7 u; bY = b.sen 30º => bY = 10.0,50 => bY = 5,0 u; sx = ax+bx = 13,7 u; sY = aY+bY = 13,7 u Exercício 11: resolução a) F1x = -10 N; F1y = 0 F2x = 0; F2y = -10 N F3x = F3.cos θ = 10.0,8 => F3x = 8 N F3y = F3.sen θ = 10.0,6 => F3y = 6 N b) F1x + F2x + F3x + F4x = 0 => (-10) + 0 + 8 + F4x = 0 => F4x = 2 N F1y + F2y + F3y + F4y = 0 => 0 + (-10) + 6 + F4y = 0 => F4y = 4 N Exercícios de revisão Revisão/Ex 6: (FSM-SP) Assinale a alternativa errada. Dado o número real k e o vetor v então: a) o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0. b) o vetor w = k.v tem sentido contrário de v, se k < 0. c) a direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o valor de k. d) se a direção de w = k.v é diferente da direção de v, então k < 0. Revisão/Ex 7: (ACAFE-SC) O vetor A tem módulo igual a 40 unidades e forma um ângulo de 60º com o eixo x, no 2º quadrante, conforme é mostrado na figura abaixo. Os componentes do vetor A no eixo x e no eixo y, respectivamente, são: Dados: sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2 A) -20√3 e 20 B) 20 e 20√3 C) -20 e 20√3 D) 20√3 e -20 E) -20√3 e -20 Revisão/Ex 8: (UNIFESP-SP) Na figura são dados os vetores a, b e c. Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor d = a - b + c tem módulo a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita. d) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido horário. e) √2 u, e sua orientação forma 45º com a horizontal, no sentido anti- horário. Revisão/Ex 9: (UFLA-MG) Os vetores a, b e c representados abaixo têm resultante nula. Sabendo-se que o módulo do vetor b é igual a √6, podemos afirmar que os módulos de a e c valem, respectivamente: a) 3 e (3√2 + √6)/2 b) √6/2 e 2√3 c) 3√2 e 3 d) 6 e 3 e) 3 e 3√2 Dados: sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2 sen 45° = cos 45° = √2/2 Resolução dos exercícios de revisão Revisão/Ex 6: resolução o vetor w = k.v tem o mesmo sentido de v, se k > 0. e sentido contrário de v, se k < 0. A direção de w = k.v é sempre igual à direção de v qualquer que seja o valor de k. A alternativa errada é a d. Resposta: d Revisão/Ex 7: resolução Ax = -A.cos 60° = -40.(1/2) = -20 Ay = A.sen 60°= 40.(√3/2) = 20.√3 Resposta: c Revisão/Ex 8: resolução Da figura observamos que a subtração entre os vetores a e b é o vetor nulo. Assim, d = a – b + c = c. O vetor c tem módulo 2u, direção vertical e sentido para baixo. Resposta: b Revisão/Ex 9: resolução Vamos inicialmente decompor os vetores a e b: Sendo a resultante nula, podemos escrever: b.sen 60° = a.sen 45° => √6.(√3/2) = a.(√2/2) => a = 3 c = b.cos 60° + a.cos 45° => c = √6.(1/2) + 3.(√2/2) => c = (√6 + 3√2)/2 Resposta: a
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