FIS I - AULA 10 - VETORES I

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Paulo lemos
assunto: Vetores
frente: Física i
OSG.: 118264/17
AULA 10
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Vetores
As grandezas vetoriais desempenham um papel de fundamental 
importância no estudo da física: velocidade e aceleração de um corpo 
em movimento e as forças que agem sobre ele são representadas por 
vetores. É importante ressaltar, no entanto, que os componentes de 
um vetor físico dependem do sistema de coordenadas usado para 
descrevê-lo. Os vetores são utilizados em diversos setores do 
conhecimento, como física e engenharia, por exemplo, e em cima dos 
elementos dos vetores que se constrói o Cálculo Vetorial.
Grandezas escalares e vetoriais
Grandezas escalares: ficam totalmente definida quando expressas 
por um valor, seguido de uma unidade.
Exemplos: Temperatura, calor, trabalho de uma força, energia.
Grandezas vetoriais: são aquelas que não ficam totalmente 
determinadas com um valor e uma unidade. Para que fiquem 
totalmente definidas necessitam de um módulo (número com unidade 
de medida), direção e sentido.
Exemplos: Velocidade, aceleração, força, momento de uma força, 
quantidade de movimento.
Vetor
Segmento de reta orientado, cujo sentido é fornecido pela 
seta de umas de suas extremidades. Todo vetor é representado por 
letras acompanhadas por uma pequena seta sobre elas.
V
2V
OrigemOrigem ExtremidadeExtremidade
–V
Características de um vetor
Direção 
Localização no espaço, fornecida pela reta que contém o 
vetor. Pode ser dada pelo o ângulo que essa reta suporte forma com 
a horizontal ou a vertical. 
v
x
v
y
y
θ
X
V
Sentido 
Dado pela orientação da seta. 
→
a
→
c
→
j
→
i
→
b
Sentido do vetor a: de baixo para cima;
Sentido do vetor b: da direita para esquerda;
Sentido do vetor c: para cima e fazendo 30 com horizontal.
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Módulo de estudo
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Intensidade ou módulo 
Composto pelo número e pela unidade de medida.
Adição de vetores
Pode-se determinar o vetor soma ou vetor resultante de 
dois ou mais vetores por meio de dois processos:
Método do polígono 
Dados dois ou mais vetores, determina-se o vetor soma, 
colocando-se a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro, 
conservando módulo, direção e sentido. Repete-se esse procedimento 
para os demais vetores. O vetor soma terá origem na origem do 
primeiro vetor e extremidade na extremidade do último.
→
A
→
A→
B
→
S
→
A
→
B
→
B
+ =
+=
Método do paralelogramo
Dados dois vetores, determina-se o vetor soma ou resultante, 
colocando-se a origem do segundo vetor na origem do primeiro, 
conservando módulo, direção e sentido. Traça-se a partir das 
extremidades dos vetores retas paralelas aos mesmos. O vetor soma 
terá origem na origem dos vetores e extremidade na intersecção das 
retas traçadas. 
b
bS = +α
αα
θ
a a
Usando a regra
do paralelogramo:
S
b
Vetor oposto
O vetor oposto de um vetor A
��
, tem a mesma intensidade, 
mesma direção, mas sentido contrário, em relação ao vetor A
��
, sendo 
representado pelo vetor –A
��
. Veja a figura a seguir.
→
A →– A
Exercícios
01. (UCSal-BA) Uma partícula percorreu a trajetória MNPQ, 
representada na figura. Os instantes de passagem pelos diferentes 
pontos estão anotados (em segundos). A velocidade escalar média 
da partícula durante os 2 s de movimento foi, em centímetro por 
segundo, igual a:
Norte
Sul
Oeste Leste
M N
1 s0 s
P
1,5 s 2,0 s
1,0 cm
���
1,0 cm
�
�
�
O
A) 6,0 
B) 5,5 
C) 4,5
D) 2,5
E) 2,0
02. (Fatec-SP) No gráfico anexo estão representados três vetores, 
a b e c
� � �
, . Os vetores i e l
�
 são unitários. Analise as informações:
a c
i
b
 
I. a = 2i + 3j
II. b = 2j
III. b + c = + l
→
→
→ → →
→
→ →
 Podemos afirmar que
A) são corretas apenas a I e a II.
B) são corretas apenas a II e a III.
C) são corretas apenas a I e a III.
D) são todas corretas.
E) há apenas uma correta.
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Módulo de estudo
03. (UFPI) Na figura, A e B são cidades situadas em uma planície e 
ligadas por cinco diferentes caminhos, numerados de 1 a 5. Cinco 
atletas corredores, também numerados de 1 a 5, partem de A para 
B, cada um seguindo o caminho correspondente a seu próprio 
número. Todos os atletas completaram o percurso em um mesmo 
tempo. Assinale a opção correta.
1 2 3 4 5
A
B
A) Todos os atletas foram, em média, igualmente rápidos.
B) O atleta de número 5 foi o mais rápido.
C) O vetor velocidade média foi o mesmo para todos os atletas.
D) O módulo do vetor velocidade média variou, em ordem 
decrescente, entre o atleta 1 e o atleta 5.
E) O módulo do vetor velocidade média variou, em ordem 
crescente, entre o atleta 1 e o atleta 5.
04. (UFC-CE) Na figura a seguir, em que o reticulado forma quadrados 
de lado L = 0,50 cm, estão desenhados dez vetores, contidos no 
plano xy. 
y
x
 O módulo da soma de todos esses vetores é, em centímetros:
A) 0,0 B) 0,50
C) 1,0 D) 1,5
E) 2,0
05. (Fafeod-MG) Um corpo percorre a trajetória indicada na figura. 
Entre as posições indicadas na figura, qual é aquela em que o 
vetor aceleração está incorreto?
3
→
v
→
v
→
v
→
v
→
v→
v
→
a
→
a →
a
→
a
1
2
5
4
A) Posição 1. B) Posição 2.
C) Posição 3. D) Posição 4.
E) Posição 5. 
06. (FESP) Em um corpo estão aplicadas apenas duas forças de 
intensidades 12 N e 8,0 N. Uma possível intensidade da resultante 
será:
A) 22 N 
B) 3,0 N
C) 10 N 
D) zero
E) 21 N
07. (CFT-CE) Dados os vetores a, b, c, d e e a seguir representados, 
obtenha o módulo do vetor soma:
a
b
c
d
e
 
� � � � � �
R a b c d e= + + + +
A) zero 
B) 20
C) 1 
D) 2
E) 52
08. Qual é a relação entre os vetores M N P e R
�� �� � �
, , representados na 
figura?
→
N
→
R
→
M
→
P
A) M N P R O
�� �� � � ��
+ + + =
B) P M R N
� �� � ��
+ = +
C) P R M N
� � �� ��
+ = +
D) P R M N
� � �� ��
− = −
E) P R N M
� � �� ��
+ + =
09. (Cesgranrio) Das grandezas citadas nas opções a seguir, assinale 
aquela que é de natureza vetorial:
A) Pressão
B) Força eletromotriz
C) Corrente elétrica
D) Campo elétrico
E) Trabalho
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Módulo de estudo
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10. (UFPB) Uma bola de bilhar sofre quatro deslocamentos sucessivos 
representados pelos vetores 
� � � �
d d d e d1 2 3 4, , apresentados no 
diagrama a seguir.
– 3
– 2
– 1
1
3
22
→
d
2
→
d
4
→
d
1
→
d
3
1 2 3– 1– 2– 3 x
y
0
A) d i j= − +4 2ˆ ˆ B) d i j= − +2 4ˆ ˆ
C) 
�
d i j= +2 4ˆ ˆ D) 
�
d i j= +4 2ˆ ˆ
E) 
�
d i j= +4 4ˆ ˆ
11. (Unifor) Três forças, de intensidades iguais a 5 N, orientam-se de 
acordo com o esquema a seguir.
 O módulo da força resultante das três, em newtons, é:
A) 2,0 
B) 5
C) 7 
D) 3,0
12. Para o diagrama vetorial a seguir, a única igualdade correta é:
→
a
→
b
→
c
A) �
� �
a b c+ = 
B) 
� � �
b a c− =
C) �
� �
a b c− = 
D) 
� � �
b c a+ = −
E) �
� �
c b a− −
13. (Mackenzie-SP) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se 
o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 
seis vetores é:
A) 40 u B) 32 u
C) 24 u D) 16 u
E) zero
14. (Mackenzie) Um corpo, que está sob a ação de 3 forças coplanares 
de mesmo módulo, está em equilíbrio. Assinale a alternativa na 
qual esta situação é possível.
A) B) 
 
a)
d) e)
120º 120º
120º
120º
135º
105º
45º
 
a)
d) e)
120º 120º
120º
120º
135º
105º
45º
C) D) 
 
a)
d) e)
120º 120º
120º
120º
135º
105º
45º
 
a)
d) e)
120º 120º
120º
120º
135º
105º
45º
E) 
 
a)
d) e)
120º 120º
120º
120º
135º
105º
45º
15. (Uneb-BA) Um jogador de golfe necessita de quatro tacadas 
para colocar a bola no buraco. Os quatro deslocamentos estão 
representados na figura a seguir.
d2
d1
d3
d4Buraco
 Sendo d
1
 = 15 m, d
2
 = 6,0 m, d
3
 = 3,0 m e d
4
 = 1,0 m, a distância 
inicialda bola ao buraco era, em metros, igual a: 
A) 5,0 
B) 11
C) 13
D) 17
E) 25
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Módulo de estudo
Resolução
01. 
3 cm1 cm
4 cm
2 cmP O
d
NM
d d d cm
v
s
t
vm n
2 2 23 4 25 5
4 5 2
2
11
2
5 5
= + → = → =
= ∆
∆
= + + = → = , cm/s
Resposta: B
02. Veja a decomposição a seguir:
a c
b
ii
Resposta: D
03. 
 
Como v
d
t
e d o mesmo
t o mesmo
A velocidade m dia v a mes
m
m
�
� �
�
=
∆ ∆



é
é
é é mma para todos osatletas.
Resposta: C
04. Vetor soma na horizontal:
 sv = 4,5 – 4,5 = 0
 
 Vetor soma na vertical:
 sh = 1,0 + 1,0 = 2,0
 
 Vetor soma total:
 s
T
 = 2,0
Resposta: E
05. Posição 3, pois a aceleração é orientada para o centro da curva.
Resposta: C
06. O vetor resultante de maior intensidade:
 R = 12 + 8 = 20 N
 O vetor resultante de menor intensidade:
 R = 12 – 8 = 4 N
Resposta: C
07.
cc
dd
eeRR
aa
bb
RR
 Usando Pitágoras, teremos:
 R R
2 2 24 6 52= + → =
Resposta: E
08. Observe a figura a seguir:
→
N
→
R
→
R
→
M
→
P
 Note que o vetor resultante R M N P R
� �� �� � �
= + = +
Resposta: C
09. Campo elétrico é a única grande dentre as citadas que possui, 
módulo, direção e sentido.
Resposta: D
10. Veja as decomposições a seguir:
y
y
y
x x x
 Resposta: D
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Módulo de estudo
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11. Na horizontal:
 Rx = 5 – 3 = 2 N
 Na vertical:
 Ry = 5 – 4 = 1 N
 Usando Pitágoras, teremos:
 R N
2 2 22 1 5= + =
 Resposta: D
12. Observe a figura a seguir:
→
a
→
b
→
c
c
– b
 Resposta: C
13. Observe a figura a seguir:
4 u 4 u8 u
4 u 4 u8 u
 
 O vetor resultante terá módulo igual a:
 R = 2 ⋅ ( 4u + 8u + 4u ) = 32u
 Resposta: B
14. Quando três forças de mesma intensidade e coplanares equilibram 
um corpo, elas formarão, entre si, ângulos iguais a 120º.
 Resposta: B
15. Observe a figura a seguir:
d
2
 = 6,0 m
d
3
 = 3,0 m
d
4
 = 1,0 m
→
S
→
d
2
Buraco
d
1
 = 15 m
→
S
→
d
2
Buraco
12 m
5 m
 Usando Pitágoras, teremos:
 S2 = 122 + 52 → S = 13 m
 Resposta: C
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Paulo Lemos
DIG.: Raul – REV.: Alexsandra