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– 1 FRENTE 1 Álgebra MÓDULO 49 Permutações 1. PERMUTAÇÕES SIMPLES São arranjos simples de n ele - men tos tomados k a k em que n = k. Assim, permutações simples são agru pamentos que diferem entre si apenas pela ordem de seus ele - mentos. Podemos dizer que uma per mu - ta ção de n elementos é qualquer agru pa mento orde nado desses n ele - mentos. Por exemplo, as permuta ções dos elementos distintos A, B e C são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. O número de permutações sim - ples de n elementos é dado por 2. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Sejam α elementos iguais a a, β elementos iguais a b, γ elementos iguais a c, . . ., λ elementos iguais a l, num total de α + β + γ + ... + λ = n elementos. O número de permutações dis - tintas que podemos obter com esses n elementos é 3. PERMUTAÇÕES CIRCULARES O número de permutações cir cu - lares de n elementos é dado por n! Pn = An,n = ––––––––– = n!(n – n)! Pn = n! n! Pn (α, β, γ, ..., λ) = –––––––––––––––– α! . β! . γ! … λ! P’n = (n – 1)! 1. COMBINAÇÕES SIMPLES São agrupamentos que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos. Podemos dizer que uma com - binação de n elementos dis tintos to - mados k a k ( n ≥ k) é uma escolha não ordenada de k dos n elementos dados. Por exemplo, as combinações dos 4 elementos distintos A, B, C e D, tomados 3 a 3, são ABC, ABD, ACD e BCD. É bom notar que ABC e BAC, bem como todas as permutações de A, B e C, representam a mesma com - binação. O mesmo acontece com cada um dos agrupamentos ABC, ACD e BCD. O número de combinações sim - ples de n elementos, tomados k a k, ou classe k (n ≥ k), é dado por 2. ARRANJOS COM REPETIÇÃO O número de arranjos com repe - tição de n elementos k a k é dado por 3. COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO O número de combinações com repetição de n elementos k a k é dado por An,k n! n Cn,k = –––––– = –––––––––– =� �Pk k!(n – k)! k n! Cn,k = ––––––––––k!(n – k)! A*n, k = n k n + k – 1 C*n,k = Cn+k – 1,k = ( )k 1. CONCEITO DE PROBABILIDADE Seja uma experiência em que pode ocorrer qualquer um de n resultados possíveis. Cada um dos n resultados possíveis é chamado ponto amostral e o conjunto S de todos os pontos amostrais é chamado espaço amostral; qualquer sub - con junto A do espaço amostral S é chamado de evento. Chama-se probabilidade de ocor - rer um evento A de um espaço amos tral S ≠ Ø ao número , em que n(A) é o nú mero de elementos n(A) P(A) = ––––– n(S) MÓDULO 52 Probabilidade, Definição e União de Eventos MÓDULOS 50 e 51 Combinações Simples e Arranjos e Combinações com Repetição C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 1 de A, e n(S) é o número de elementos de S. Na prática, costuma-se dizer que probabilidade é o quociente entre o número de casos favoráveis, que é n(A), e o número de casos possíveis, que é n(S). 2. PROPRIEDADES Sendo S ≠ Ø um espaço qual quer, A, um evento de S e A — , o com - plementar de A em S, valem as seguintes propriedades: • P(Ø) = 0 • P(S) = 1 • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • P(A) + P(A — ) = 1 3. UNIÃO DE DOIS EVENTOS Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S ≠ Ø. A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por Observe que o número de ele - mentos de A ∪ B, n(A ∪ B), é dado por n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) ⇔ ⇔ = + – ⇔ ⇔ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Se A ∩ B = Ø, A e B são chama - dos eventos mutuamente exclusivos. Neste caso, Se A ∩ B = Ø e A ∪ B = S, A e B são chamados eventos exaustivos. Então, Generalizando: sejam n eventos A1, A2, A3, ..., An de um espaço amostral S, tais que A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An = S. Assim, P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) = = P(S) = 1 Além disso, se A1, A2, A3, ... , An são, dois a dois, mutuamente exclu si - vos, então eles são eventos exausti vos. Assim sendo, P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) = = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 ✍ Exercício Resolvido Numa urna, existem 10 bolas nu - meradas de 1 a 10. Retirando-se, ao acaso, uma bola dessa urna, qual a probabilidade de se ter a) um múltiplo de 2 ou um múlti - plo de 3? b) um número ímpar ou um múlti - plo de 6? Resolução O espaço amostral é S = {1; 2; 3; ... ; 10} e n(S) = 10. a) 1) O evento “múltiplo de 2” é A = {2; 4; 6; 8; 10} e n(A)= 5. 2) O evento “múltiplo de 3” é B = {3; 6; 9} e n(B) = 3. 3) A ∩ B = {6} e n(A ∩ B) = 1. 4) P(A) = = , P(B) = = e P(A ∩ B) = = . 5) P(A∪B) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Logo, P(A ∪ B) = = + – = = 70% b) 1) O evento “número ímpar” é A = {1; 3; 5; 7; 9} e n(A) = 5. 2) O evento “múltiplo de 6” é B = {6} e n(B) = 1. 3) A ∩ B = Ø e n(A ∩ B) = 0 (A e B são mutuamente ex - clusivos). 4) P(A) = = , P(B) = = e P(A ∩ B) = 0. 5) P(A ∪ B) = =P(A)+P(B)–P(A∩B)=P(A)+P(B) Logo, P(A∪B)= + = = 60%. Respostas: a) 70% b) 60% P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) n(A ∪ B) –––––– n(S) n(A) –––– n(S) n(B) –––– n(S) n(A ∩ B) –––––– n(S) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1 5 –– 10 n(A) –––– n(S) 3 –– 10 n(B) –––– n(S) 1 ––– 10 n(A ∩ B) –––––––– n(S) 7 –– 10 1 –– 10 3 –– 10 5 –– 10 5 –– 10 n(A) –––– n(S) 1 –– 10 n(B) –––– n(S) 6 –– 10 1 –– 10 5 –– 10 2 – C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 2 – 3 MÓDULO 53 Probabilidade Condicional e Intersecção de Eventos 1. PROBABILIDADE CONDICIONAL Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S ≠ Ø, chama-se proba bilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrer A, saben - do-se que já ocorreu ou vai ocorrer o evento B.Indica-se por P(A/B). Observe que P(A/B) = ⇔ ⇔ P(A/B) = ⇔ ⇔ P(A/B) = 2. EVENTOS INDEPENDENTES Os eventos A e B de um espaço amos tral S são independentes se . 3. INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS ❑ Propriedade Se A e B são independentes, então P(B/A) = P(B) e . P(A ∩ B) P(A/B) = ––––––––––– P(B) n(A ∩ B) ––––––––– n(B) n(A ∩ B) ––––––––– n(S) –––––––––––– n(B) –––– n(S) P(A ∩ B) –––––––– P(B) P(A/B) = P(A) OU P(B/A) = P(B) P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B) A e B independentes ⇔ ⇔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B) A e B dependentes ⇔ ⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B) P(A ∩ B) = P(A) . P(B) MÓDULO 54 Lei Binomial de Probabilidade Considere uma experiência que é realizada várias vezes, sempre nas mes mas condições, de modo que o resul tado de cada uma seja indepen - dente das demais. Considere, ainda, que cada vez que a experiência é rea - li zada ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabili da de é p ou o complemento A — cuja probabilidade é 1 – p. 1. PROBLEMA Realizando-se a experiência des - cri ta exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A somente k vezes? 2. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA a) Se ocorre apenas k vezes o evento A, num total de n experiên - cias, então deverá ocorrer exata men - te n – k vezes o evento A — . b) Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A — é 1 – p, então a probabilidade de ocor - rer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A — , numa certa ordem, é p . p . p . ... . p . k fatores . (1 – p) . (1 – p) . (1 – p) . ... . (1 – p) = (n – k) fatores = pk . (1 – p)n – k c) As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de manei - ras de escolher k vezes o evento A é, pois, Cn, k. d) Existem, portanto, Cn,k even - tos diferentes, todos com a mesma probabilidade pk . (1 – p)n – k e, assim sendo, a probabilidade procu - ra da é Observações a) Fala-se em lei binomial de pro - babilidade, porque a fórmula repre sen - ta o termo Tk + 1 do de sen vol vi men to de [p + (1 – p)]n. b) O número Cn, k pode ser subs - tituído por Cn, n – k ou Pn k, n – k, já que Cn, k = Cn, n – k = Pn k, n – k = . Cn,k . p k . (1 – p)n – k n! ––––––––– k! (n – k)! C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 3 4 – O número real x que substitui ca da um dos números reais x1, x2, x3, … xn é a sua média. Podemos ter: • Média aritmética x1 + x2 + x3 + … + xn = = x + x + x + … + x ⇒ ⇒ • Média geométrica x1 . x2 . x3 . … xn = = x . x . x . … x ⇒ ⇒ • Média harmônica 1 1 1 1 ––– + ––– + ––– + … + ––– = x1 x2 x3 xn 1 1 1 1 = –– + –– + –– + … + –– ⇒ x x x x ⇒ • Média aritmética ponderada P1 . x1 + P2 . x2 + … + Pn . xn = = P1 . x + P2 . x + … + Pn . x ⇒ ⇒ x1 + x2 + x3 +…+ xnx = –––––––––––––––––––––– n xn = x1 . x2 . x3 . … xn 1 x = –––––––––––––––––––––––––––– 1 1 1 1 ––– + ––– + ––– + … + ––– x1 x2 x3 xn––––––––––––––––––––––––––n P1 . x1+P2 .x2+…+Pn . xn x = –––––––––––––––––––––––––––– P1 + P2 + … + Pn MÓDULO 55 Médias MÓDULO 56 Noções de Estatística I 1. CONCEITO Estatística é um ramo da Mate - mática Aplicada. A palavra Estatística provém da palavra latina Status e é usada em dois sentidos: • ESTATÍSTICAS (no plural) refe - rem-se a dados numéricos e são informações sobre determinado as - sunto, coisa, grupo de pessoas etc. obtidas por um pesquisador. • ESTATÍSTICA (no singular) sig - nifica o conjunto de métodos usa dos na condensação, aná li ses e inter - pretações de dados numéri cos. De um modo geral, conceitua-se Estatística da seguinte forma: É ciência, quando estuda popu la - ções; é método, quando serve de instrumento a uma outra ciência. É tam bém arte, ciência-método e mé to - do-ciência, segundo vários trata dis - tas, daí advindo uma varie dade de de finições. Eis algumas: “Conjunto dos processos que tem por objeto a observação, a clas si - ficação formal e a análise dos fenô - menos coletivos ou de massa, e por fim a indução das leis a que tais fe - nômenos obedecem globalmente” (Mil ton da Silva Rodrigues). “A Estatística é a parte da Mate - mática Aplicada que se ocupa em ob - ter conclusões a partir de dados observados” (Ruy Aguiar da Silva Leme). “A Estatística é o estudo numé - rico dos fatos sociais” (Levasseur). “É observação metódica e tão uni versal quanto possível dos fatos con siderados em globo, reduzidos a grupos homogêneos e interpretados mediante a indução matemática” (Ferraris). 2. POPULAÇÃO E AMOSTRA ❑ População É um conjunto de elementos com uma característica comum. O termo é mais amplo que no sen so comum, pois envolve aglo me - ra do de pessoas, objetos ou mesmo ideias. Exemplo Todos os alunos do Ensino Médio do Brasil. ❑ Amostras São subconjuntos da população, que conservam, portanto, a carac te - rís tica comum da população e são re - tira das por técnicas adequadas, cha madas de amostragem. Exemplo 500 alunos do Ensino Médio do Brasil. ❑ Parâmetros São características numéricas da população. Exemplo QI médio dos estudantes do En - sino Médio do Brasil. ❑ Estimativas Em geral, por problemas de tem - po e dinheiro, trabalha-se com amos - tras e não com a população. C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 4 – 5 Os elementos numéricos carac- terísticos de uma amostra são esti ma - tivas dos elementos corres pon dentes na população, que são os parâ me - tros. 3. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Quando se vai fazer um levan ta - men to de uma população, um dos pas sos é retirar uma amostra dessa população e obter dados relativos à variável desejada nessa amostra. Cabe à Estatística sintetizar es ses dados na forma de tabelas e gráficos que contenham, além dos va lores das variáveis, o número de ele mentos correspondentes a cada variável. Ilustramos, a seguir, esse proce - dimento, acompanhando com um exem plo. ❑ Dados brutos É o conjunto dos dados numéri - cos obtidos e que ainda não foram organizados. Exemplo A partir de uma lista de chama - da, em ordem alfabética, obteve-se o conjunto de alturas, em cm, de 20 estudantes: 168, 168, 163, 164, 160, 160, 164, 166, 169, 169, 166, 168, 162, 165, 165, 164, 168, 166, 161, 168. ❑ Rol É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente). No exemplo apresentado, temos o seguinte rol: 160, 160, 161, 162, 163, 164, 164, 164, 165, 165, 166, 166, 166, 168, 168, 168, 168, 168, 169, 169. ❑ Amplitude total (H) É a diferença entre o maior e o me nor dos valores observados. No exemplo: H = 169 – 160 ⇒ H = 9 ❑ Frequência absoluta ( fi ) É o número de vezes que o elemento aparece na amostra: ❑ Frequência relativa ( fr ) É dada por: em que n é o número de elementos da amostra ( n = ∑ fi ) Observe que ∑ fr = 1 ❑ Frequência relativa percentual ( ƒ% ) ❑ Frequência absoluta acumulada (fa) É a soma da frequência do valor da variável com todas as frequências anteriores: ❑ Frequência relativa acumulada ( fra ) É a soma da frequência relativa do valor da variável com todas as frequências relativas anteriores. ❑ Frequência percentual acumulada ( ƒ%a ) ❑ Distribuição de frequências É o arranjo dos valores da variá - vel e suas respectivas frequências. fi fr = –––n xi fi 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 2 1 1 1 3 2 3 0 5 2 ∑ 20 xi fi fr 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 2 1 1 1 3 2 3 0 5 2 2 ÷ 20 = 0,10 1 ÷ 20 = 0,05 1 ÷ 20 = 0,05 1 ÷ 20 = 0,05 3 ÷ 20 = 0,15 2 ÷ 20 = 0,10 3 ÷ 20 = 0,15 0 ÷ 20 = 0 5 ÷ 20 = 0,25 2 ÷ 20 = 0,10 ∑ 20 1,00 ƒ% = fr . 100 xi fi fr f% 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 2 1 1 1 3 2 3 0 5 2 0,10 0,05 0,05 0,05 0,15 0,10 0,15 0 0,25 0,10 10 5 5 5 15 10 15 0 25 10 ∑ 20 1,00 100 xi fi fr f% fa 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 2 1 1 1 3 2 3 0 5 2 0,10 0,05 0,05 0,05 0,15 0,10 0,15 0 0,25 0,10 10 5 5 5 15 10 15 0 25 10 0 + 2 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 5 + 3 = 8 8 + 2 = 10 10 + 3 = 13 13 + 0 = 13 13 + 5 = 18 18 + 2 = 20 ∑ 20 1,00 100 ƒ%a = fra . 100 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 5 6 – 4. CLASSES O número de elementos de uma amostra, de um modo geral, é gran de. Para condensá-los, os valo res obtidos devem ser, normalmente, distribuídos em classes. A distribuição de frequências dos dados de uma amostra distri - buídos em classes é idêntica à que é feita com cada valor da variável, ado - tan do-se as seguintes normas: ❑ O número de classes (nc) É da ordem de ���n, em que n é o número total de elementos da amos - tra. ❑ A amplitude da classe (h) É, aproximadamente, o quocien te entre a amplitude total (H) e o número de classes (nc). ❑ O ponto médio da classe (PM) É a média aritmética entre o limi - te inferior e o limite superior de cada classe. É o valor da variável que re pre - senta a classe: PM = Xi. ❑ Exercício Num teste de raciocínio numéri co, obtiveram-se os seguintes da dos brutos: nc � ���n H h � –––– nc xi fi fr f% fa fra f%a 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 2 1 1 1 3 2 3 0 5 2 0,10 0,05 0,05 0,05 0,15 0,10 0,15 0 0,25 0,10 10 5 5 5 15 10 15 0 25 10 2 3 4 5 8 10 13 13 18 20 0,10 0,15 0,20 0,25 0,40 0,50 0,65 0,65 0,90 1,00 10 15 20 25 40 50 65 65 90 100∑ 20 1,00 100 76 – 60 – 41 – 55 – 78 – 48 – 69 – 85 – 67 – 39 – 60 – 85 – 57 – 74 – 65 – 84 – 77 – 65 – 52 – 33 – 80 – 61 – 45 – 77 – 53 – 59 – 73 – 55 – 91 – 41 – 94 – 65 – 94 – 98 – 89 – 88 – 66 – 66 – 73 – 42 – 71 – 35 – 68 – 54 – 47 – 74 – 64 – 35 – 50 – 61 Fazer a distribuição de fre - quên cias dos dados dessa amos - tra, distribuindo-os em classes. ❑ Resolução • Cálculo do rol 33 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 – 42 – 45 – 47 – 48 – 50 – 52 – 53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 – 60 – 60 – 61 – 61 – 64 – 65 – 65 – 65 – 66 – 66 – 67 – 68 – 69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 – 76 – 77 – 77 – 78 – 80 – 84 – 85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 – 94 – 98 • Cálculo da amplitude total H = 98 – 33 = 65 • Cálculo do número de classes nc ≅ ���n nc ≅ �����50 ≅ 7 • Cálculo da amplitude de classe h = = ≅ 9,3 Adotaremos h = 10. 65 –––– 7 H –––– nc • Distribuição de frequências Classes PM fi fr f% fa fra f%a 30 � 40 40 � 50 50 � 60 60 � 70 70 � 80 80 � 90 90 � 100 35 45 55 65 75 85 95 4 6 8 13 9 6 4 0,08 0,12 0,16 0,26 0,18 0,12 0,08 8 12 16 26 18 12 8 4 10 18 31 40 46 50 0,08 0,20 0,36 0,62 0,80 0,92 1,00 8 20 36 62 80 92 100 ∑ 50 1,00 100 5. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS As tabelas de distribuição de frequências vistas no item 4 podem ser representadas graficamente. A finalidade principal disso é fornecer as infor mações analíticas de uma maneira mais rápida. Descre - veremos apenas três tipos de grá - ficos: histogramas, polí gonos de fre quên cias e polígonos de frequên - cias acumuladas. ❑ Histogramas É a representação gráfica de uma distribuição de frequências por meio de retângulos justapostos. No eixo das abscissas, temos os limi tes das classes e no eixo das or de nadas, as frequências (fi ou fr ou ƒ%). ❑ Polígono de frequências É um gráfico de linhas que se obtém unindo os pontos médios dos pa tamares dos retângulos do his to - grama. C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 6 – 7 ❑ Polígono de frequências acumuladas Polígono de frequências acu mu ladas ou OGIVA DE GALTON é uma representação gráfica que tem no eixo das abscissas os limites das classes e no eixo das ordenadas, as fre quências acumuladas (fa ou fra ou ƒ%a) que se situam abaixo de um determinado limite superior. ❑ Exemplo Fazer a representação gráfica da distribuição de frequências apresen tada na tabela a seguir: Observações – Conforme vemos na figura, o his to grama e o polí - gono de fre quên cias em termos de fi, fr e ƒ% têm exatamente o mesmo as pec to, mudando apenas a es cala vertical. – Observe que, como o 1o. valor é bem maior que zero, adotamos aproximá-lo do zero segundo a con - venção: Classes PM fi fr f% fa fra f%a 30 � 40 40 � 50 50 � 60 60 � 70 70 � 80 80 � 90 90 � 100 35 45 55 65 75 85 95 4 6 8 13 9 6 4 0,08 0,12 0,16 0,26 0,18 0,12 0,08 8 12 16 26 18 12 8 4 10 18 31 40 46 50 0,08 0,20 0,36 0,62 0,80 0,92 1,00 8 20 36 62 80 92 100 ∑ 50 1,00 100 6. MEDIDAS DE POSIÇÃO As medidas de posição servem para localizar os dados sobre o eixo da variável em questão. As mais im - por tantes são: a média, a me dia na e a moda. A média e a mediana tendem a se localizar em valores centrais de um conjunto de dados. Por essa ra - zão, costuma-se dizer que são me didas de tendência central. A moda, por sua vez, indica a posição de maior concentração de dados. ❑ Média aritmética – Dados não agrupados Sendo X1, X2, X3, ..., Xn os n valo res de uma variável X, define-se mé dia aritmética, ou simplesmente mé dia, como sendo: Exemplo A média aritmética dos valores 3; 5; 7; 8 é –– 3 + 5 + 7 + 8 X = ––––––––––––– = 5,75 4 – Dados agrupados Sendo X1, X2, X3, ..., Xn os n va lores da variável X com frequên cias f1, f2, f3, ..., ƒn, respectiva mente, de fine- se média aritmética, ou sim ples mente média, como n ∑ Xi— i = 1 X = ––––––– n C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 7 8 – sendo sendo ∑ fi = n. Exemplo A média aritmética da distribui ção de dados a seguir é: 1 . 1 + 3 . 2 + 5 . 3 + 1 . 4— X = ––––––––––––––––––––––––– 10 — X = 2,6 – Dados agrupados em classes A média aritmética é calculada co mo no item anterior, lembrando que cada classe é representada pelo seu ponto médio (Xi = PM). Exemplo 5. 3 + 10 . 5 + 14 . 7 + 8 . 9 + 3 . 11— X = –––––––––––––––––––––––––––––––– ⇒ 40 ⇒ — X = ⇒ X = 6,7 ❑ Moda (Mo) Define-se moda (ou modas) de um conjunto de valores dados como sendo o valor de frequência má - xima (ou os valores da fre quên cia máxi ma). Exemplos a) A moda do conjunto de dados 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12 é 9. Observe que 9 é o elemento mais frequente. b) O conjunto de dados 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10 tem duas modas: e c) Para a distribuição a moda é 248, pois é o valor de frequência máxima (23). d) Para os dados agrupados em clas ses, a seguir, podemos di zer, pelo menos, que a classe mo dal é 2 � 3. ❑ Mediana (Md) Colocando-se os valores da va riá - vel em ordem crescente, a me diana é o elemento que ocupa a posição cen tral. Em outras palavras: a media na divide um conjunto de n dados em dois subconjuntos com igual número de elementos. • Cálculo da mediana para dados não agrupados – Se n for ímpar, a mediana é o valor central dos n dados do rol. É o elemento de ordem . Exemplo A mediana dos dados 5; 7; 8; 10; 15 é 8, que é o 3o. termo do rol. – Se n for par, a mediana é a mé - dia aritmética dos dois dados centrais do rol. É a média ari t mé - tica entre os dados de ordem e + 1 Exemplo Os valores centrais do rol 5; 7; 8; 10; 14; 15 são o 8 e o 10. A mediana dos valores deste rol é • Cálculo da mediana para dados agrupados em classes Calcula-se e, pela frequência acumulada, identifica-se a classe que contém a mediana. Em seguida, calcula-se a mediana usando uma fórmula. O mais prático, porém, é usar o gráfico de frequências acu muladas percentuais (OGIVA DE GALTON). Exemplo n ∑ fiXi i = 1X – = ––––––––––n 268 –––– 40 Mo = 9 Mo1 = 3 Mo2 = 8 Mo = 248 n + 1 ––––– 2 5 + 1(––––––) = 32 n –– 2 n –– 2 8 + 10 Md = –––––––– = 92 n –– 2 xi fi 1 2 3 4 1 3 5 1 ∑ 10 Classes PM = xi fi 2 � 4 4 � 6 6 � 8 8 � 10 10 � 12 3 5 7 9 11 5 10 14 8 3 ∑ 40 Classes fi 0 � 1 1 � 2 2 � 3 3 � 4 4 � 5 3 10 17 8 5 xi 243 245 248 251 307 fi 7 17 23 20 8 Classes fi fa 34 � 45 45 � 55 55 � 65 65 � 75 75 � 85 85 � 95 5 12 18 14 6 3 5 17 35 49 55 58 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 8 – 9 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 9 10 – 1o.) no ponto B, temos fa = 58, que corres - ponde a ƒ%a = 100. 2o.)o ponto A é médio de OB e, nesse ponto, temos fa = 29, que correspon de a ƒ%a = 50. 3o.) o valor da variável asso - ciado a ƒ%a = 50 é a media na. 4o.) da OGIVA, concluímos, pois, que Md ≅ 62. Construída a OGIVA, a partir dos dados, note que: MÓDULO 57 Noções de Estatística II 1. MEDIDAS DE DISPERSÃO ❑ Introdução As medidas de posição vistas até aqui, média, mediana e moda, têm con ceitos diferentes, detalhes pró - prios, que ajudam semelhan te men te a representar um conjunto de dados. Entretanto, a informação forneci - da pelas medidas de posição, em geral, necessitaser completada pe - las MEDIDAS DE DISPERSÃO. Estas servem para indicar o quanto os da - dos se apresentam dispersos em tor - no da região central. Carac terizam, portanto, o grau de variação existen - te no conjunto de valores e, por isso, são também chamadas MEDIDAS DE VARIABILIDADE. C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 10 – 11 Exemplo Suponha que as notas de 2 alu - nos no decorrer do ano foram: Aluno A: 2; 3; 4; 3; 8;10 → — X = 5 Aluno B: 5; 6; 4; 5; 4; 6 → — X=5 Ambos obtiveram a mesma mé dia (X – = 5), entretanto percebe-se claramente que o aluno A, de péssi - mos resultados iniciais, conseguiu recuperar-se no fim, enquanto o aluno B manteve-se praticamente no mes - mo nível. Isso significa que as notas do alu - no B não foram dispersas como as no tas do aluno A. Portanto, a medida de posição po derá ser completada por uma me - dida de dispersão (amplitude, desvio médio, desvio padrão, variância) que passaremos a descrever. ❑ Amplitude Amplitude (H), ou intervalo total, é definida como a diferença en tre os valores extremos da série, ou seja: Exemplo Sejam os valores 4; 5; 7; 9; 10; 13 Por depender de apenas dois va - lores do conjunto de dados, a ampli - tude contém relativamente pouca informação quanto à dispersão, pois se sujeita a grandes flutuações de uma amostra para outra. Suponhamos que numa classe, os pesos dos alunos se distribuam entre 45 e 75 kg, a amplitude seja H = 75 – 45 = 30 kg. Se entrar nessa classe um aluno com 100 kg, a nova am plitude será 100 – 45 = 55kg, quase o dobro da anterior apenas por causa de um aluno. ❑ Desvio Uma maneira de medir o grau de dispersão ou concentração de cada valor da variável em relação às me - didas de tendência central é fazer a diferença entre o valor da variável e a média. Esta diferença é chamada des - vio e representada por D. Exemplo Um aluno que obteve as notas 2, 3, 4, 3, 8, 10 conseguiu uma média X – = = 5. Os desvios de cada uma das no - tas são: Observe que ∑Di = 0. ❑ Observação Ao calcular a média dos desvios, para conhecer um desvio global do conjunto, o resultado é sempre ZE RO, pois ∑Di = 0. Assim, para obter um resultado que exprima a média dos desvios, costuma-se proceder de dois modos: a) calcular a média dos módulos de cada desvio; b) calcular a média dos quadra - dos dos desvios e em se gui da extrair a raiz quadrada. O primeiro é chamado desvio médio (Dm) e o segundo é chamado desvio padrão (s). ❑ Desvio médio (Dm) ou ❑ Desvio padrão (s) ❑ Variância É o quadrado do desvio padrão. H = Xmáx – Xmín H = 13 – 4 = 9 Di = Xi – X — 2 + 3 + 4 + 3 + 8 + 10 –––––––––––––––––––––– 6 ∑ |Di| Dm = ––––––– n ∑ fi|Di| Dm = ––––––––n ∑ fi Di2 s2 = –––––––––– n xi Di = Xi – — X 2 3 4 3 8 10 – 3 – 2 – 1 – 2 3 5 ∑ fiDi 2 s = –––––––– n C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 11 12 – 1. RAZÃO Razão entre dois números a e b (b ≠ 0), nessa ordem, é o quociente (ou a : b). O número a é cha mado de primeiro termo ou antecedente, e o número b é chamado segundo termo ou consequente. A razão in - versa de a e b é (a ≠ 0). 2. PROPORÇÃO Dizemos que os números a, b, c e d (b ≠ 0 e d ≠ 0), nessa ordem, formam uma PROPORÇÃO se, e so - men te se, a razão entre a e b é igual à razão entre c e d. Indicação: = (ou a : b = c : d), em que a e d são chamados extre - mos e b e c são chamados meios. 3. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES Dados os números a, b, c e d (b ≠ 0 e d ≠ 0), então: 1) (Fundamental) ⇔ 3) ⇔ (b + d ≠ 0) 4) ⇔ (se ab tem o mesmo sinal de cd) 4. GRANDEZAS PROPORCIONAIS ❑ Notação Em geral, letras maiúsculas do nos so alfabeto representam GRAN - DEZAS QUAISQUER, e letras minús - culas do nosso alfabeto, cada uma com um índice numérico, represen - tam os VALORES dessas grandezas. Assim, quando escrevemos: A = (a1, a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...), estamos referindo-nos às grande zas A e B e aos seus valores a1, a2, a3, ... e b1, b2, b3, ... num dado pro ble ma. Estamos dizendo ainda que, nesse problema, “quando a gran deza A assume o valor a1(ou a2 ou a3 ou ...), a grandeza B assume o valor b1(ou b2 ou b3 ou ...), respec ti va mente”, e que “a1 e b1 (ou a2 e b2 ou a3 e b3 ou ...) são VALORES COR RES PO N - DENTES das grandezas A e B”. ❑ Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP) Uma grandeza A é DIRETAMEN- TE PROPORCIONAL a uma gran de za B se, e somente se, AS RAZÕES entre os valores de A e os corres pon - dentes valores de B forem CONS - TANTES, isto é, se A = (a1, a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...); então: ⇔ ⇔ em que k é constante. ❑ Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) Uma grandeza A é INVER SA - MEN TE PROPORCIONAL a uma gran deza B se, e somente se, OS PRODUTOS entre os valores de A e os corres pon dentes valores de B fo - rem CONS TAN TES, isto é, se A = (a1, a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...); então: ⇔ ⇔ em que k é constante. ❑ Observações 1) É evidente que, “se A é GDP (ou GIP) a B, então B é GDP (ou GIP, respectivamente) a A”. 2) Quando dizemos que “A e B são gran dezas diretamente (ou inver - sa men te) proporcionais”, esta mos querendo dizer que “A é uma gran deza diretamente (ou inver - sa men te, respectivamente) pro - por cio nal à grandeza B”. 3) Quando dizemos que “A e B são gran dezas proporcionais”, omi tin - do a especificação “DIRETA - MENTE” ou “INVERSAMENTE”, é porque ou essa especificação está suben tendida no problema, ou o problema não depende des - sa es pecificação. 4) É evidente que duas grandezas quaisquer podem NÃO SER dire - tamente NEM inversamente pro - porcionais. 5) PROPRIEDADE: se a grandeza A = (a1, a2, a3, …) É INVERSA - MEN TE PROPORCIONAL à gran - deza B = (b1, b2, b3, …), então a grandeza A = (a1, a2, a3, …) é DI - RETAMENTE PROPORCIONAL à grandeza ( 1 1 1 )B' = –––, –––, –––, … , b1 b2 b3 com b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, b3 ≠ 0, … Demonstração Se A = (a1, a2, a3, … ) e B = (b1, b2, b3, …) são GIP, então temos que: a1b1 = a2b2 = a3b3 = … ⇒ a––b b––a c –– d a –– b ad = bc a c–– = –– b d a c a + b c + da) –– = –– ⇔ –––––– = –––––– b d b d (a ≠ 0 e c ≠ 0) a c a + b c + db) –– = –– ⇔ –––––– = –––––– b d b d �2) a + c c c–––––– = ––– =–– b+ d b d a c–– = –– b d ac a2 c2–––– = –––– =––– bd b2 d2 a c–– = –– b d A é GDP a B a1 a2 a2–––– = –––– = –––– = ... = k b1 b2 b3 A é GIP a B a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = k MÓDULO 58 Grandezas Proporcionais C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 12 – 13 a1 a2 a3 ⇒ ––––– = ––––– = ––––– = … ⇒ 1 1 1 –––– –––– –––– b1 b2 b3 ⇒ A = (a1, a2, a3, …) e 1 1 1 B' = ( –––, –––, –––, …), com b1, b1 b2 b3 b2 e b3 ≠ 0, são GRANDEZAS DI - RETAMENTE PRO POR CIONAIS. 5. DIVISÃO PROPORCIONAL a) DIVIDIR um número N em PARTES (suponhamos: x, y e z) DIRETAMENTE PROPOR CIO - NAIS aos núme ros a, b e c significa deter minar os núme - ros x, y e z, de tal modo que: (I) as sequências (x, y, z) e (a, b, c) sejam diretamente propor - cio nais; (II) x + y + z = N. Para isso, usando a definição de GDP e as propriedades das proporções, podemos usar a seguinte TÉCNICA OPERA TÓ - RIA: x y z ––– = ––– = ––– a b c� ⇔ x + y + z = N x + y + z x y z –––––––––– = –– = –– = –– a + b + c a b c⇔ � ⇔ x + y + z = N N x ––––––––– = –– a + b + c a N y ⇔ �––––––––– = ––a + b + c bN z ––––––––– = –– a + b + c c e então calculamos x, y e z. b) DIVIDIR um número M em PAR - TES INVERSAMENTE PROPOR - CIONAIS aos númerosm, n e p É O MESMO QUE DIVIDIR M em PARTES DIRETAMENTE PRO - POR CIO NAIS aos INVERSOS: , , , com m ≠ 0, n ≠ 0 e p ≠ 0. 1 –– m 1 –– n 1 –– p MÓDULO 59 Regra de Três 1. REGRA DE TRÊS SIMPLES (R3S) ❑ Definição É o método prático empregado para resolver o seguinte problema: “Quando comparamos duas gran dezas A e B propor cio nais, relacionando dois valores de A com dois valores corres pondentes de B, determinamos um dos qua tro va - lo res, uma vez que se jam conhe - cidos os outros três.” ❑ Técnica operatória a1 ................ b1Valores � a2 ................ b2 (um dos quatro é a incógnita do proble ma). Se A e B forem GDP, montamos a proporção: = (da qual calculamos o valor desco - nhe cido). Se A e B forem GIP, montamos uma das proporções: = ou = (invertemos uma das razões e calcu - lamos o valor desconhecido). 2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA (R3C) ❑ Definição É o método prático empregado para resolver proble ma análogo ao da regra de três simples, só que en vol - vendo MAIS DE DUAS GRAN DEZAS PROPOR CIONAIS. ❑ Propriedades Se uma grandeza A(a1, a2, ...) é diretamente proporcional a uma gran - deza B(b1, b2, ...) e a uma gran deza C(c1, c2, ...), então: ❑ Técnica operatória (fundamental) a1 ..... b1 ..... c1 ..... d1 Valores � x ..... b2 ..... c2 ..... d2 Comparamos cada grandeza (B, C, D etc.) com a grandeza funda men - tal A (a que contém a incógnita) sepa - ra damente. Suponhamos que ocorram: B e A (GDP), C e A (GIP) e D e A (GDP). Nesse caso, montamos a propor - ção: a1 b1 c2 d1 ––– = ––– . ––– . –––, com base na qual x b2 c1 d2 calculamos x. Grandeza D Grandeza C Grandeza B Grandeza A a1 b1 c1–––– = –––– . –––– a2 b2 c2 b2––– b1 a1––– a2 b1––– b2 a2––– a1 b1––– b2 a1––– a2 Grandeza B Grandeza A C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 13 14 – 1. PORCENTAGEM ❑ Noção intuitiva Exemplo “O índice de analfabetismo da cidade X é de 12% (lê-se 12 por cento)” significa que, em média, 12 de cada 100 habitantes são anal fa betos. ❑ Nomenclatura usual Exemplo Em “25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”, temos: o PRINCIPAL é P = 80� a TAXA é i = 25(%) a PORCENTAGEM é p = 20 Observação Usa-se também o símbolo “ ‰ ”, que significa “por mil”. Exemplos 1) “O índice de mortalidade infantil do país Y é de 15‰ ao ano” significa que, em média, de cada 1000 crianças que nascem por ano, 15 morrem. 2) Em “25‰ de R$ 80,00 é R$ 2,00”, temos: o PRINCIPAL é P = 80� a TAXA é i = 25(‰) a PORMILAGEM é p = 2 ❑ Técnica operatória Para resolver problemas, estabe lecemos a seguinte REGRA DE TRÊS SIMPLES: 100 (ou 1000) ..............................P i ................................................... p' da qual, por REGRA DE TRÊS SIM PLES, obtemos o valor desconhecido. Exemplo Calcule 25% de 80. Temos: 100% correspondem a 80 25% correspondem a x Então: 100 80 25 . 80 –––– = ––– e, portanto, x = ––––––––, isto é, x = 20. 25 x 100 Ao escrevermos p%, estamos representando o número ou p : 100. Assim, temos: a) (20%)2 = 4%, pois: (20%)2 = 20 2 2 2 4 = (––––) = (–––) = –––– = 4% 100 10 100 b) 25% de 400 é igual a 100, pois: 25 25% . 400 = –––– . 400 = 100 100 c) 32 é 80% de 40, pois: 32 ––– p GDP 32 40� ⇒ ––– = –––– ⇒p 100 40 ––– 100 ⇒ p = 80 ou 32 = p% . 40 ⇒ p ⇒ 32 = –––– . 40 ⇒ p = 80 100 d) 40 é 125% de 32, pois: 40 ––– p GDP 40 32� ⇒ ––– = –––– ⇒p 100 32 ––– 100 ⇒ p = 125 ou 40 = p% . 32 ⇒ p ⇒ 40 = –––– . 32 ⇒ p = 125 100 e) Um valor, ao passar de 32 para 40, aumentou 25%, pois: (100 + p)% . 32 = 40 ⇒ 100 + p ⇒ ––––––––. 32 = 40 ⇒ p = 25 100 f) Um valor, ao passar de 40 para 32, decresceu 20%, pois: (100 – p)% . 40 = 32 ⇒ 100 – p ⇒ –––––––– . 40 = 32 ⇒ p = 20 100 p –––– 100 Grandeza do problema Grandeza % (ou ‰) MÓDULO 60 Porcentagem e Juros C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 14 – 15 g) Um valor de 50, após um aumento de 15%, passa a ser 57,5, pois: 115 (100 + 15)% . 50 = –––– . 50 = 57,5 100 h) Um valor de 50, após um decrés cimo de 15%, passa a ser 42,5, pois: 85 (100 – 15)% . 50 = –––– . 50 = 42,5 100 i) Um valor de 50, após um au mento de 15% e, em seguida, um desconto de 15%, passa a ser 48,875, pois: (100 + 15)% . 50 . (100 – 15%) = 115 85 = ––––– . 50 . –––– = 48,875 100 100 j) Um aumento de 10% seguido de um aumento de 10% não é um aumento de 20%, pois: 110% . 110% . x = 121% x = = (100 + 21)% . x Corresponde a um único aumen to de 21%! k) Um desconto de 10% seguido de um desconto de 10% não é um desconto de 20%, pois: 90% . 90% . x = 81% x = = (100 – 19)% . x Corresponde a um único descon to de 19%! 2. JUROS SIMPLES Denominamos juros simples aqueles que não são somados ao ca pital durante o tempo de seu em prego. Assim, a taxa incide apenas sobre o capital aplicado inicialmente. Sendo J = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo, M = montante, temos: e 3. JUROS COMPOSTOS Neste sistema, após cada perío do (dia, mês, ano etc.), os juros são somados ao capital acumulado até então (juros sobre juros). Em se guida, a taxa incide sobre o novo valor obtido, e assim suces siva mente. Então: e Exemplo Calcule o montante ao final de três meses, com a aplicação de um capital de R$ 10 000,00 à taxa de 4% ao mês, pelo sistema: a) de juros simples; b) de juros compostos. Resolução: a) J = J = = 1200 M = C + J = = 10000 + 1200 = 11200 b) M = C . (1 + i)t M = 10000 . 1 + 3 = = 10000 . (1,04)3 = = 10000 .1,124864 = 11248,64 Obs.: J = M – C = 11248,64 – 10000 = 1248,64 Respostas: a) R$ 11200,00 b)R$ 11248,64 �4–––––100� 10000 . 4 . 3 –––––––––––– 100 Cit ––––– 100 J = M – C M = C . (1 + i)t M = C + J Cit J = ––––––– 100 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 15 16 – FRENTE 2 Álgebra 1. PROPRIEDADES • Se A é invertível, então A–1 é úni ca. • Se A é invertível, então (A–1)–1 = A. • Se A e B são invertíveis e de mesma ordem, então (A . B)–1 = B–1 . A–1. • Se A é invertível, então (At)–1 = (A–1)t. • Se A é invertível, então det (A–1) = . 1 ––––––– det (A) MÓDULO 25 Propriedades da Matriz Inversa e Equações Matriciais 1. SISTEMAS LINEARES • Um sistema (S) de m equa - ções lineares (m ∈ �*) com n incógnitas (n ∈ �*), x1, x2, x3, …, xn, é um conjunto de equações da forma: com m ≥ 2 e n ≥ 2 no qual os coeficientes aij são núme - ros reais não todos nulos simultanea - mente e os termos bi são números reais quaisquer. • Se todos os mesmos bi forem nulos (i = 1, 2 …, m), então (S) é um sistema linear homogêneo. • Dizemos que a n-upla de nú - me ros reais (α1, α2, …, αn) é uma SOLUÇÃO do sistema (S) se forem verdadeiras todas as sentenças de (S) fazendo-se xi = αi. • Um sistema (S) é COMPATÍ VEL (ou possível) se existir pelo me nos uma solução; (S) é INCOM PATÍVEL (ou impossível) se não admite so - lução. Se "V" é o conjunto solução (ou conjunto verdade) do sistema (S), en - tão devemos ter uma das seguintes situações: – Compatível e determina - do: quando V é um conjunto unitário. – Compatível e indetermi - na do: quando V é um conjunto infinito. – Incompatível: quando V é o conjunto vazio. ❑ Matrizes de um sistema Num sistema linear, definem-se as duas matrizes seguintes: que recebem o nome de: MI = matriz incompleta. MC = matriz completa (ou as - socia da ao sistema). Se a matriz M.I. for quadrada, o seu determinante é dito deter mi - nan te do sistema (D). (s)� a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ……………………….....……………... am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ………………………… ………………………… am1 an2 … amn MI = a11 a12 … a1n b1 a21 a22 … a2n b2 …………………….…… ……………………….… am1 an2 … amn bm MC = MÓDULO 26 Sistema Normal, Regra de Cramer e Escalonamento C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 16 Exemplo • O sistema é possível e determinado, pois apre sen ta uma única solução que é S = {(1, 2)}. • O sistema é possível e indeterminado, pois apre senta infinitas soluções da forma S = {(k, k – 2)}. Observe, nesse exemplo, que a se gunda equação é a primeira com am bos os membros multiplicados por 2. • O sistema é impossível, pois não existe par or de nado (x, y) que torne as duas sen tenças verdadeiras "simultanea men te". • No sistema , de finem-se: Ml = e MC = e o determinante do sistema D = det MI = 2. SISTEMA NORMAL • O sistema linear (S) com "m" equações e "n" incógnitas será "NORMAL" quando: e ❑ Resolução de um sistema normal • Teorema de Cramer Qualquer sistema normal admite uma e uma só solução dada por: x1 = ; x2 = x3 = ; …; xn = onde: – D é o determinante do sistema. – Di é o determinante que se ob tém de D, trocando a iésima coluna da matriz M.I. por b1, b2, b3, …, bn. Exemplo • O sistema é normal, pois o número de equações é igual ao número de incógnitas e o determinante do sistema: D = = – 2 ≠ 0 O Teorema de Cramer nos garan te que a solução é única e obtida por: x = = = 1, pois Dx = = – 2 y = = = 2, pois Dy = = – 4 {x – y = 22x – 2y = 4 {x – y = 2x – y = 4 {x + 2y = 53x + 4y = 11 13 2 4 1 3 2 4 5 11 1 3 2 4 m = n D ≠ 0 5 11 2 4 – 2 ––– – 2 Dx––– D 1 3 5 11 – 4 ––– – 2 Dy––– D 1 3 2 4 {x + 2y = 53x + 4y = 11 Dn––– D D3––– D D2––– D D1––– D x + 2y = 5 x + y = 3{ – 17 MÓDULO 27 Escalonamento (Método de Gauss) 1. DEFINIÇÃO: SISTEMAS EQUIVALENTES Dizemos que dois sistemas são equivalentes se e somente se apre - sen tarem o mesmo conjunto solução. Para transformar um sistema num sistema equiva lente mais simples, pode-se • permutar duas equações; • multiplicar qualquer uma das equações por um número real dife - rente de zero; • multiplicar uma equação por um número real e adicioná-la à outra equação. Exemplo Vamos resolver o sistema: x – y + z = –2 (a1) (l) x – 2y – 2z = –1 (b1)� 2x + y + 3z = 1 (c1) transformando-o num sistema equi - valente mais simples, seguindo o se - guin te roteiro: • para obter (b2), multiplique (a1) por –1 e adicione o resultado a (b1); • para obter (c2), multiplique (a1) por –2 e adicione o resultado a (c1). x – y + z = –2 (a1) (ll) – y – 3z = 1 (b2)� 3y + z = 5 (c2) • para obter (b3), multiplique (b2) por (–1); para obter (c3), multiplique (b2) por 3 e adicione o resultado a (c2). x – y + z = –2 (a1) (lll) y + 3z =–1 (b3)� – 8z = 8 (c3) Assim, como (l), (ll) e (lll) são equi - valentes: • de (c3), obtém-se z = –1; • substituindo-se em (b3), ob - tém-se y = 2 e substituindo-o em (a1), obtém-se x = 1. Logo, V = {(1; 2; –1)} C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 17 2. DISCUSSÃO Se for possível transformar um sistema (S) num sistema equivalente mais simples do tipo pode-se discuti-lo em função da variação de a e de b. Assim, se • a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado. • a = 0 e b = 0 ⇒ o sistema é possível e indeterminado. • a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível. x – y + z = – 2 y + 3z = – 1 az = b� 18 – 1. SUBMATRIZ Seja a matriz A = [ aij ]mxn Submatriz de A é qualquer ma - triz que se obtém de A eliminando-se "r" linhas e "s" colunas. Seu deter - minante é chamado "menor" de A, se a matriz for quadrada. ❑ Característica de A "É a ordem máxima dos meno res não todos nulos que se pode ex trair de A". 2. TEOREMA DE KRONECKER Característica de uma matriz é "p" se, e somente se: l. Existir pelo menos um "menor" de ordem p diferente de zero (de terminante de ordem p ≠ zero). ll. Todos os "menores" orlados ao "menor" do item (l) de ordem p + 1 são iguais a zero. ❑ Propriedades da característica A característica de uma matriz não se altera quando l. trocamos entre si duas filas paralelas. ll. trocamos ordenadamente li - nhas por colunas. lll. multiplicamos uma fila por uma constante k ≠ 0. lV. acrescentamos ou eliminamos filas nulas. V. acrescentamos ou eliminamos uma fila que seja combinação linear de outras filas paralelas. Vl.somamos a uma fila uma com - bi nação linear de outras filas paralelas. Exemplos 1 2 3 • Se M = 4 1 5 , então 0 – 3 – 3 p = 2, pois existe um "menor" de ordem 2 diferente de zero. Por exem - plo: 1 2 e o "menor" de ordem 3 é�4 1 � igual a zero: 1 2 3 4 1 5 = 0 0 – 3 – 3 1 2 –1 5 –1 • Se M = 3 1 0 4 –1 , 4 3 –1 9 2 então p = 3, pois existe um menor de ordem 3 diferente de zero: 1 2 –1 3 1 –1 = – 20 ≠ 0 4 3 2 e a ordem 3 é a máxima possível. • A característica da matriz 1 2 3 4 1 5 0 – 3 – 3 é igual à característica das seis ma tri - zes abaixo. 1 3 2 • 4 5 1 (prop. l) 0 – 3 – 3 1 4 0 • 2 1 – 3 (prop. ll) 3 5 – 3 1 10 3 • 4 5 5 (prop. lll) 0 – 15 – 3 1 2 3 0 • 4 1 5 0 (prop. lV) 0 – 3 – 3 0 1 2 3 6 • 4 1 5 10 (prop. V) 0 – 3 – 3 – 6 1 2 3 – 2 • 4 1 5 – 1 (prop. VI) 0 – 3 – 3 + 3 3. TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI Seja (S) um sistema linear e se jam: • "p" a característica da matriz incompleta (Ml); • "q" a característica da matriz completa (MC); • "m" o número de equações; • "n" o número de incógnitas. ❑ Teorema de Rouché-Capelli • p ≠ q ⇔ Sistema Impossível (SI) • p = q = n ⇔ Sistema Possível e Determinado (SPD) • p = q < n ⇔ Sistema Possível e Indeterminado (SPI) MÓDULO 28 Característica de uma Matriz e Teorema de Rouché-Capelli C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 18 Observação No (SPI), o número Gi = n – p é chamado grau de indeterminação do Sistema. Exemplos Sejam p e q as características das matrizes incompleta e completa, respectivamente. • O sistema é impossível, pois MI = ⇒ p = 1, MC = ⇒ q = 2, e portanto p ≠ q • O sistema é possível e indeterminado, pois MI = ⇒ p = 1, MC = ⇒ q = 1, e como n = 2, temos p = q < n • O sistema é possível e determinado, pois MI = ⇒ p = 2, MC = ⇒ q = 2, e como n = 2, temos p = q = n 11 – 1– 1 11 – 1– 1 24 � x – y = 22x – 2y = 4 12 – 1– 2 12 – 1– 2 24 � x + 2y = 5x + y = 3 11 21 11 21 53 x – y = 2 x – y = 4{ – 19 1. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO (SLH) Para um sistema linear homogê neo: • as matrizes M.l. e M.C., em bo ra diferentes, terão certamente a mes ma característica (p = q). Um S.L.H. é, pois, sempre possível; • a ênupla (0, 0, …, 0) sempre é solução da equa - ção ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = 0, ai ∈ � (chamada trivial); • A "C.N.S." para o S.L.H. admitir – só uma solução trivial é p = n. – outras soluções além da trivial é p < n. Exemplo x + 2y + z = 0 O sistema � 3x + y – z = 0 ax + 2y – z = 0 é sempre possível, pois: • (0, 0, 0) é solução; 1 2 1 • MI = 3 1 – 1 tem a 2 – 1 ca racterística p ≥ 2, pois existe um menor de ordem 2 diferente de zero: � 1 2 �3 1 A característica p é igual a 2 se o menor de ordem 3 for igual a zero, ou seja: 13� 1 2 1 � – 3a + 13 = 0 ⇔ a = ––––3 1 – 1 = 3 a 2 – 1 A característica p é igual a 3se o menor de ordem 3 for diferente de zero, ou seja, se a ≠ . Assim,se a = , o sistema ad mite infinitas soluções além da forma tri vial (0, 0, 0), soluções da forma S = { k, – , }. E, se a ≠ , o sistema admite somente a solução trivial (0, 0, 0). 13 ––– 3 13 ––– 3 4k ––– 3 5k ––– 3 13 ––– 3 MÓDULO 30 Sistema Linear Homogêneo 1. TEOREMA DE CRAMER • det MI = D ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado. 2. TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI • p ≠ q ⇔ o sistema é impossível. • p = q = n ⇔ o sistema é possí vel e determinado. • p = q < n ⇔ o sistema é pos sível e indeterminado, sendo: p – característica da MI q – característica da MC n – número de incógnitas 3. MÉTODO DE GAUSS A equação az = b do sistema (S), de três equações a três incógnitas (x, y, z) após o escalonamento, po derá permitir a discussão: • a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado. • a = b = 0 ⇒ o sistema é possí vel e indeterminado. • a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível. MÓDULO 29 Discussão de Sistemas Lineares C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 19 20 – FRENTE 3 Geometria Analítica MÓDULO 25 Circunferência: Equações Reduzida e Geral A circunferência é um dos mais importantes lugares geométricos (L.G.), merecendo, pois, um estudo detalhado. 1. DEFINIÇÃO Dado um ponto C de um plano (chamado centro) e uma medida r não nula (chamada raio), denomina-se circunferência ao lugar geo métrico (L.G.) dos pontos do plano que distam r do ponto C. 2. EQUAÇÃO REDUZIDA (OU CARTESIANA) DA CIRCUNFERÊNCIA Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r. Considerando um ponto genérico P(x; y) pertencente à circunferência, teremos: P ∈ circunferência ⇔ dPC = r ⇔ ⇔ �����������������������(x – a)2 + (y – b)2 = r ⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 A equação é denominada equação reduzida da circunferência. • Caso particular: Se o centro da circunferência é a origem, C(0; 0), então a equação reduzida resulta Exemplos 1) Obter a equação reduzida da circunferência de centro C(– 2; 3) e raio 5. Resolução A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, resulta: ⇔(x – (–2))2+ (y –3)2 = 52 ⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25, denominada equação reduzida. 2) Obter a equação reduzida da cir cunferência de centro na origem e raio 5. Resolução A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos: (x – 0)2 + (y – 0)2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25 3. EQUAÇÃO GERAL (OU NORMAL) DA CIRCUNFERÊNCIA Desenvolvendo a equação reduzida da circunfe rên - cia: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 ⇔ ⇔ x2 + y2 –2ax– 2by+a2+b2 – r2 = 0 Fazendo-se – 2a = m; – 2b = n e a2 + b2 – r2 = p, resulta: que é denominada equação geral da circunferência. Exemplo Determine a equação geral da cir cun ferência de centro C(–1; 3) e raio 5. Resolução A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos a equa ção reduzida: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25, que, desen volvida, resulta: x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 25 ⇔ ⇔ x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, denominada equação geral da circunferência. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 x2 + y2 = r2 x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 20 – 21 MÓDULO 26 Determinação do Centro e do Raio 1. DETERMINAÇÃO DO CENTRO E DO RAIO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA ❑ Equação reduzida Dada a equação reduzida de uma circunferência: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 , de imediato conclui-se que o centro é C(a ; b) e o raio é r. Exemplo A circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 tem centro C (2; – 5) e raio r = 3. ❑ Equação geral Dada a equação geral de uma circunferência, x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0, o centro e o raio são obtidos comparando-se essa equação com a equa ção x2 + y2 – 2a . x – 2b . y + a2 + b2 – r2 = 0. Notando-se que os coeficientes de x2 e y2 são iguais a 1, a obtenção do centro e do raio é feita da seguinte forma: • Na determinação das coordenadas do centro, os coeficientes de x e y (m e n) devem ser divididos por (–2), pois a partir das equações, conclui-se que: Assim, as coordenadas do centro são: • Obtido o centro C(a; b), o raio é determinado a par tir da fórmula: , (com a2 + b2 – p > 0), visto que das equações, temos: p = a2 + b2 – r2 ⇔ r2 = a2 + b2 – p Observações • Quando a2 + b2 – p = 0, a equação representa apenas o ponto C(a; b). • Quando a2 + b2 – p < 0, a equação nada repre - sen ta. � m – 2a = m ⇔ a = –––– – 2 n – 2b = n ⇔ b = –––– – 2 r = ��������������a 2 + b2 – p m n C�––––; ––––�– 2 – 2 a b Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r, com equa ção (x – a)2 + (y – b)2 = r2 e um ponto P(x0; y0) do plano cartesiano. A posição do ponto P em relação à circunferência é obtida pelo cálculo da distância do ponto P ao centro C da circunferência e comparada com a medida do raio r. Dessa forma, temos: • P(x0; y0) pertence à circun fe rên cia ⇔ ⇔ (x0 – a) 2 + (y0 – b) 2 = r2 • P(x0; y0) é interno à circun fe rência ⇔ ⇔ (x0 – a) 2 + (y0 – b) 2 < r2 • P(x0; y0) é externo à circun fe rência ⇔ ⇔ (x0 – a) 2 + (y0 – b) 2 > r2. Exemplo Representar gra ficamente os pon tos que satisfa - zem à inequação x2 + y2 ≤ 9. Resolução A equação x2 + y2 = 9 repre senta uma circunferên cia de centro C(0; 0) e raio r = 3. Des sa forma, a inequa ção x2 + y2 ≤ 9 representa os pon tos da circunferência e os pon tos internos a esta, e sua representação gráfica é: MÓDULO 27 Posição dos Pontos do Plano em Relação a uma Circunferência C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 21 22 – 1. DEFINIÇÃO Dados dois pontos F1 e F2 (focos) de um plano, com F1F2 = 2f, e uma medida 2a (2a > 2f), chama-se ELIP - SE ao lugar geométrico dos pontos P do plano, tal que: 2. ELEMENTOS PRINCIPAIS • Centro é o ponto C; • Distância focal = F1F2 = 2 . f; • Eixo maior = A1A2 = 2 . a; • Eixo menor = B1B2 = 2 . b; • Vértices são os pontos A1 e A2; • Polos são os pontos B1 e B2; • Focos são os pontos F1 e F2. A partir do triângulo retângulo CB1F1, da figura, temos: 3. EQUAÇÃO REDUZIDA ❑ Seja a elipse com eixo maior (e focos) contido no eixo dos “x” e centro na origem: A equação reduzida dessa elipse é: ❑ Seja a elipse com eixo maior (e focos) contido no eixo “y” e centro na origem: A equação reduzida da elipse, neste caso, é: PF1 + PF2 = 2a a2 = b2 + f2 x2 y2 ⎯⎯ + ⎯⎯ = 1 a2 b2 x2 y2 –––– + –––– = 1 b2 a2 MÓDULO 28 Elipse C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 22 – 23 4. OBSERVAÇÕES Se o centro da elipse for o ponto C (g; h) e os eixos da elipse forem paralelos aos eixos coordenados, te re - mos as seguintes figuras e equa ções reduzidas: a) b) 5. EXCENTRICIDADE Chama-se EXCENTRICIDADE da elipse à razão: . Como 0 < f < a, então 0 < e < 1. (x – g)2 (y – h)2 –––––––––– + ––––––––– = 1 b2 a2 fe = ––a (x – g)2 (y – h)2 ––––––––– + ––––––––– = 1 a2 b2 MÓDULO 29 Hipérbole 1. DEFINIÇÃO Dados dois pontos F1 e F2 (fo cos) de um plano, com F1 F2 = 2f, e uma medida 2a (2a < 2f), chama-se HIPÉRBOLE ao lugar geométrico dos pontos P do plano, tal que: 2. ELEMENTOS PRINCIPAIS • Centro é o ponto C; • Distância focal = F1F2= 2 . f; • Eixo transverso = A1A2 = 2 . a; • Eixo conjugado = B1B2 = 2 . b; • Vértices são os pontos A1 e A2; • Polos são os pontos B1 e B2; • Focos são os pontos F1 e F2; • Assíntotas são as retas d1 e d2. A partir do triângulo retângulo CB1D da figura, temos: 3. EQUAÇÃO REDUZIDA ❑ Seja a hipérbole com eixo trans verso (e focos) conti - do no eixo dos “x” e centro na origem. Sendo: • focos: F1(f; 0) e F2(– f; 0)� • vértices: A1(a; 0) e A2 (– a; 0) • polos: B1(0; b) e B2(0; – b) a equação reduzidada hipérbole resulta: ❑ Seja a hipérbole com eixo trans verso (e focos) contido no eixo “y” e centro na origem. | PF1 – PF2 | = 2a f2 = a2 + b2 x2 y2 –––– – ––––– = 1 a2 b2 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 23 24 – Sendo: • focos: F1(0; f) e F2(0; – f)� • vértices: A1(0; a) e A2(0; – a) • polos: B1(b; 0) e B2(– b; 0) a equação reduzida da hipérbole resulta: 4. COMPLEMENTOS Se a hipérbole tiver centro no ponto C(g; h) e os eixos paralelos aos eixos coordenados, teremos as se - guin tes figuras e equações redu zi das: a) b) 5. HIPÉRBOLE EQUILÁTERA ❑ Uma hipérbole é denominada equilátera quan do as medidas dos eixos transversal e conjugado são iguais, isto é, quando as me di das a e b são iguais (a = b). As equações reduzidas das hi pér boles equiláteras, com centro na origem, resultam: ou As assíntotas, nesses casos, são as bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares. ❑ Um caso importante de hipérbole equilátera é obtido fazendo-se uma rotação (nos casos acima) de mo do a deixar os eixos cartesianos como assín to tas e focos nas bis setrizes dos quadrantes: • Focos na bissetriz dos qua dran tes ímpares (y = x). A equação, nesse caso, resulta , com k > 0. • Focos na bissetriz dos qua dran tes pares (y = – x). A equação, nesse caso, resulta , com k < 0. 6. EXCENTRICIDADE , como f > a, então e > 1. (y – h)2 (x – g)2 –––––––––– – –––––––––– = 1 a2 b2 x2 – y2 = a2 y2 – x2 = a2 x . y = k x . y = k (x – g)2 (y – h)2 –––––––––– – –––––––––– = 1 a2 b2 y2 x2 –––– – –––– = 1 a2 b2 f e = ––– a C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 24 – 25 1. DEFINIÇÃO Dados um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz), com F ∉ d, per tencentes a um mesmo plano, chama-se PARÁBOLA ao lugar geométrico dos pontos P do pla - no, equidistantes do ponto F e da reta d. 2. ELEMENTOS PRINCIPAIS • Foco é o ponto F; • Diretriz é a reta d; • Vértice é o ponto V; • Parâmetro = 2 . f (VF = Vd = f). 3. EQUAÇÃO REDUZIDA ❑ Seja a parábola com eixo de si metria contido no eixo “x”, vértice na origem e voltada para a “direita”. Sendo: {• foco: F (f; 0)• diretriz: x = – f a equação reduzida da pará bola será: ❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver voltada para a “es que r da”, teremos: {• foco: F (– f; 0)• diretriz: x = f e sua equação reduzida será: ❑ Seja a parábola com eixo de si me tria contido no eixo “y”, vértice na origem e voltada para “cima”. Sendo: {• foco: F(0; f) • diretriz: y = – f a equação reduzida da pará bola será: ❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol - ta da para “bai xo”, teremos: {• foco: F(0; – f)• diretriz: y = f y2 = 4 . f . x y2 = – 4 . f . x x2 = 4 . f . y PF = Pd MÓDULO 30 Parábola C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 25 26 – e sua equação reduzida será: 4. COMPLEMENTOS ❑ Se a parábola apresentar vértice no ponto V (g; h), eixo de simetria paralelo ao eixo “x” e voltada para a “direita”, sua equação reduzida será: ❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol - tada para a “es quer da”, sua equação reduzida será: Desenvolvida a equação redu zi da, resultará da forma: ,com a ≠ 0. ❑ Se a parábola apresentar vértice no ponto V (g; h), eixo de simetria paralelo ao eixo “y” e voltada para “cima”, sua equação reduzida será: ❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol - tada para “bai xo”, sua equação reduzida será: Desenvolvida a equação redu zi da, resultará da forma: , com a ≠ 0. 5. EXCENTRICIDADE Chama-se EXCENTRICIDADE na parábola à razão: x = a . y2 + b . y + c (x – g)2 = 4 . f . (y – h) (x – g)2 = – 4 . f . (y – h) y = a . x2 + b . x + c PFe = –––– = 1 Pd (y – h)2 = – 4 . f . (x – g) (y – h)2 = 4 . f . (x – g) x2 = – 4 . f . y C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 26 – 27 FRENTE 4 Geometria Métrica e de Posição 1. SECÇÃO PARALELA À BASE DE UMA PIRÂMIDE Quando interceptamos todas as arestas laterais da pirâmide por um plano paralelo à base, que não con tém esta, nem o vértice, obte mos uma secção poligonal, tal que: • As arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma razão. • A secção obtida e a base são polígonos seme - lhantes. • A razão entre as áreas da sec ção (As) e da base (Ab) é igual ao quadrado da razão entre suas distân cias ao vér tice. • A razão entre os volumes das pirâmides semelhantes VA’B’C’... e VABC ... é igual ao cubo da razão entre suas alturas. • A “parte” (região) da pirâmide compreendida entre a base e a cita da secção é denominada TRON - CO DE PIR MI DE DE BASES PARA LE LAS. 2. CÁLCULO DO VOLUME DE UM TRONCO DE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS Sendo AB e Ab as áreas das ba ses, H, a altura (distância entre os planos das bases) e V, o volume de um tronco de pirâmide de bases pa ra lelas, tem-se: 3. TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS Seccionando-se um cone por um plano paralelo à base dele, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e um tron co de cone de bases para lelas. Sendo R e r os raios das bases e h a altura do tronco de cone de ba ses para - lelas, tem-se que o seu volu me é dado por: e sua área lateral é dada por: 4. SÓLIDOS SEMELHANTES Em sólidos semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, e a razão entre os volumes é igual ao cubo da razão de se me lhan - ça. Assim, se dois sólidos de áreas, respectivamente, iguais a A1 e A2, e volumes, respectivamente, iguais a V1 e V2 são semelhantes numa razão K, então: e VA’ VB’ VC’ h –––– = –––– = –––– = … = ––– VA VB VC H As h2–––– = –––– Ab H2 VVAB’C’... h3 ––––––––– = –––– VVABC... H3 H V = ––– (AB + Ab + �����������AB . Ab )3 π hVt = ––––– (R 2 + r2 + R r) 3 A� = π (R + r) g V1–––– = K3 V2 A1–––– = K2 A2 MÓDULO 25 Troncos C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 27 28 – MÓDULO 26 A Esfera e suas Partes 1. SUPERFÍCIE ESFÉRICA É a superfície gerada pela revo lução completa de uma semicircun ferência (ABA’) em torno de seu diâ metro (AA’), como mostra a figura. A área de uma superfície esfé rica de raio R é dada por: 2. ESFERA É o sólido limitado por uma su per fície esférica. O volume de uma esfera de raio R é dado por: 3. PARTES DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA • Fuso esférico • Zona esférica • Calota esférica 4. PARTES DA ESFERA • Cunha esférica • Setor esférico ASE = 4 π R 2 π R2 α° Af = ––––––––90° Azona = 2π R h Acal = 2π R h π R3 α° Vc = –––––––– 270° 4 Vesf = ––– π R 3 3 2 V = –– π R2 h 3 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 28 • Segmento esférico de uma base • Segmento esférico de duas bases π h V = ––––– (3r2 + h2) 6 π h V = –––– [3 (r1 2 + r2 2 ) + h2] 6 – 29 MÓDULO 27 Inscrição e Circunscrição de Sólidos 1. ESFERA INSCRITA NO CUBO r + r = a ⇔ 2. CUBO INSCRITO NA ESFERA (2R)2 = (a���2 ) 2 + a2 ⇔ar = ––– 2 a���3 R = –––––– 2 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 29 3. ESFERA INSCRITA NO CILINDRO e 4. CILINDRO INSCRITO NA ESFERA 5. CILINDRO INSCRITO NO CUBO e 6. CUBO INSCRITO NO CILINDRO e 7. ESFERA INSCRITA NO CONE No triângulo retângulo BCA, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se: (2R)2 = (2r)2 + h2 h = a aR = ––– 2 h = a a���2R = –––––– 2r = R h = 2 . R g2 = h2 + R2 30 – C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 30 Da semelhança dos triângulos retân gulos DOA e BCA, resulta: 8. CONE INSCRITO NA ESFERA No triângulo retângulo MAO, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se: 9. ESFERA INSCRITA NUMA PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA No triângulo retângulo AMV, de acordocom o Teo - rema de Pitágoras, tem-se: Da semelhança dos triângulos retân gulos POV e AMV, resulta: ⇔ � 2g2 = h2 + (––)2 2r h – r ––– = –––––– � g r h – r –––– = –––––– �/2 gR 2 = r2 + (h – R)2 r h – r ––– = –––––– R g – 31 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 31 1. ENTES PRIMITIVOS Entende-se por “entes primitivos” tudo o que não pode ser definido. Na geometria, usamos três conceitos pri - mi tivos: o PONTO, a RETA e o PLA - NO. Apesar de não poder defini-los, po demos estudá-los e rela cioná-los, e é isso o que a “geo me tria de posi ção” faz. Representam-se o PONTO, a RETA e o PLANO da seguinte forma: Observe que para os pontos usa - mos geralmente letras maiús culas, para as retas, letras minús culas e para plano, letras do alfabeto grego. 2. POSTULADOS Entende-se por “postulado” toda propriedade que não possui de mons - tração e que, portanto, só pode ser aceita por ser evidente. ❑ Postulados de existência a)Na reta ou fora dela exis tem infinitos pontos: b)No plano ou fora dele exis tem infinitos pontos: ❑ Postulado da inclusão Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, ela está contida neste plano. ❑ Postulados da determinação a)Determinação da reta Dois pontos distintos determi - nam uma reta. b)Determinação do plano Três pontos não colineares de - ter mi nam um plano. 3. CASOS DE DETERMINAÇÃO DE PLANOS Além do caso abordado no item anterior, têm-se mais três outras formas de se determinar um plano, que são as seguintes: ❑ Por um ponto e uma reta Uma reta e um ponto não per ten - cente a ela determinam um plano. ❑ Por duas retas concor ren tes Duas retas concorrentes de ter - minam um plano. ❑ Por duas retas paralelas distintas Duas retas paralelas distintas de - terminam um plano. 32 – MÓDULOS 28 e 29 Paralelismo, Perpendicularismo no Espaço e Projeções Ortogonais C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 32 4. POSIÇÕES RELATIVAS ❑ Entre retas a)Coincidentes Possuem todos os pontos em co - mum. b)Concorrentes Possuem um único ponto em co - mum. c)Paralelas (distintas ou coincidentes) Quando coincidem ou quando não possuem pontos em comum e existe um plano que as contém. d)Reversas Quando não existe plano que as contém. ❑ Entre reta e plano a)Contida Quando todos os pontos da reta per ten cem ao plano. b) Incidente Quando a reta e o plano pos suem um único ponto em comum. c)Paralela Quando a reta e o plano não pos - suem pontos em comum. ❑ Entre planos a)Coincidentes Possuem todos os pontos em co - mum. b)Secantes Interceptam-se numa reta. c)Paralelos Quando coincidem ou possuem in tersecção vazia. 5. INTERSECÇÃO DE PLANOS ❑ Intersecção de dois planos Se dois planos distintos pos suem um ponto em comum, então eles se interceptam numa reta. P ∈ α, P ∈ β e α ≠ β ⇒ ∃ | r |α ∩ β = r ❑ Intersecção de três planos Se três planos distintos se inter - cep tam dois a dois em três retas, então ou elas são concorrentes num mesmo ponto, ou são paralelas. – 33 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 33 6. TEOREMA FUNDAMENTAL DO PARALELISMO DE RETA COM PLANO A condição necessária e sufi cien te para que uma reta seja para lela a um plano é que não esteja con tida nele e seja paralela a uma reta desse plano. 7. TEOREMA FUNDAMENTAL DO PARALELISMO DE PLANOS A condição necessária e sufi cien te para que dois planos distintos sejam paralelos é um deles conter duas retas concorrentes entre si e pa ralelas ao outro. r � α, r // β s � α, s // β } ⇔ α // βr � s = {P} 8. TEOREMA DE TALES Um feixe de planos paralelos determina sobre duas transversais segmentos correspondentes respec tiva - mente proporcionais. α //β // γ // ζ // …⇒ = = …AB––––– A’B’ BC ––––– B’C’ CD ––––– C’D’ 34 – C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 34 9. PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO ❑ Definição Uma reta é perpendicular a um pla no se, e somente se, ela é per pen dicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto de intersecção dela com o plano (pé). ❑ Teorema fundamental do perpendicularismo entre reta e plano A condição necessária e su fi ciente para que uma reta seja per pen dicular a um plano é que forme ân gulo reto com duas concor rentes do plano. ❑ Teorema das três perpendiculares Sendo r perpendicular a α no ponto P, s contida em α e passando por P, t contida em α, não passando por P e perpendicular a s em Q, e R um ponto qualquer de r, então a reta RQ ↔ é perpendicular à reta t. ❑ Propriedades do perpendicularismo de reta com plano a) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. b) Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos. t ⊥ r � α t ⊥ s � α } ⇒ t ⊥ αr � s = {P} r ⊥ α } ⇒ r // ss ⊥ α α ⊥ r } ⇒ α // ββ ⊥ r – 35 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 35 10.PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS Dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro. ❑ Propriedades do perpendicularismo de planos a) Se uma reta é perpendi cular a um plano, qualquer plano que a contenha é perpendicular ao primeiro. b) Se dois planos secantes são perpendiculares a um ter cei ro plano, a sua intersecção também será perpendicular a este terceiro plano. c) Se dois planos são perpen dicu lares, toda reta de um, per pen dicular à intersecção, é per pendi cular ao outro. 11. PROJEÇÕES ORTOGONAIS ❑ Projeção de um ponto A projeção ortogonal de um ponto num plano é o “pé da perpen dicular” ao plano pelo ponto. O ponto P’ é a projeção ortogonal de P em α. O plano α é chamado plano de projeção e a reta perpendicular r é chamada reta projetante. β ⊥ α γ ⊥ α � ⇒ r ⊥ αβ ∩ γ = r α ⊥ β α ∩ β = s � ⇔ r ⊥ βr ⊂ α r ⊥ s r � α } ⇒ α ⊥ βr ⊥ β r ⊥ α β ⊥ α r � β γ ⊥ α r � γ � ⇒ � δ ⊥ α r � δ 36 – C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 36 ❑ Projeção de uma figura A projeção ortogonal de uma figura num plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura. Exemplo A projeção ortogonal de um cilindro num plano paralelo ao eixo é um retângulo. A projeção do mesmo cilindro num plano paralelo à base é um círculo. ❑ Projeção de uma reta A projeção ortogonal de uma reta num plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da reta neste plano. a) Se a reta for perpendicular ao plano, a sua pro - jeção orto gonal será um ponto. Na figura, P é a projeção orto gonal de r em α. b) Se a reta não for perpen di cular ao plano, a sua projeção ortogonal será outra reta. Na figura, r’ é a projeção ortogonal de r em �. ❑ Ângulo entre reta e plano Se uma reta é perpendicular a um plano, o ângulo entre ela e o plano é reto. Se a reta é oblíqua em relação ao plano, o ângulo entre ela e o plano é o ângulo que ela forma com a sua projeção ortogonal. Na figura, temos: a) A reta s forma ângulo reto com �. b) O ângulo � que a reta r forma com o plano � é o ângulo que a reta r forma com sua pro jeção ortogonal r’. ❑ Retas de maior declive Chamamos de retas de maior declive de um plano � em relação a um plano � às retas de � que formam o maior ângulo possível com �. Prova-se que, se os dois planos são secantes, as retas de maior declive de um em relação ao outro são per pendiculares à intersecção. Na figura, r é uma reta de maior declive de � em relação a �. ❑ Ângulos entre planos Define-se ângulo entre dois planos como sendo o ângulo que uma reta de maior declive de um forma com o outro. Na figura, r é uma reta de maior declive de � em relação a � r’ é a projeção ortogonal da reta r em � � é o ângulo entre � e � – 37C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 37 1. DIEDROS ❑ Definição Dois planos secantes α e β de ter minam no espaço quatro semiespa ços. Chama-se DIEDRO a intersecção não vazia de dois desses semies pa ços. Na figura, os semiplanos α e β são faces e a reta a é a aresta do diedro determinado pela intersecção dos semiespaços I e I’. ❑ Secção normal (ou reta) de um diedro Chama-se secção normal (ou re ta) de um diedro a intersecção desse diedro com um plano perpendicular à sua aresta. Observações a) Todas as secções retas do mesmo diedro são congruentes. b) A medida de um diedro é a medida da sua secção reta. c) Dois diedros são congruentes quando suas secções retas são con gruentes. 2. TRIEDROS ❑ Definição Dadas três semirretas Va → , Vb → e Vc → de mesma origem V e não copla nares, consideremos os semiespa ços I, II e III, como se segue: I com origem no plano (bc) e contendo Va → II com origem no plano (ac) e contendo Vb → III com origem no plano (ab) e contendo Vc → Chama-se triedro determinado por Va → , Vb → e Vc → a intersecção dos semiespaços I, II e III. V(a; b; c) = I ∩ II ∩ III 38 – MÓDULO 30 Poliedros Convexos e Regulares C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 38 O ponto V é denominado vértice do triedro: as semirretas Va → , Vb → e Vc → são as arestas, os ângulos aV ^ b, aV ^ c e bV ^ c (ou a^b, ac^, e bc^ ) são as faces, e d1, d2, e d3 são os diedros do triedro. ❑ Relações entre as faces de um triedro a) Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas. Assim, sendo f1, f2 e f3 as faces de um triedro, temos: b) A soma das medidas (em graus) das faces de um triedro qual quer é menor que 360°. Assim: ❑ Relações entre os diedros de um triedro a) Em qualquer triedro, a medida (em graus) de um diedro aumentada de 180° supera a soma das medidas dos outros dois. Assim, sendo d1, d2 e d3 as me didas (em graus) dos diedros de um triedro, temos: b) A soma dos diedros de um trie dro está com - preendida entre 2 re tos (180°) e 6 retos (540°). Assim, sendo d1, d2 e d3 as me didas (em graus) dos diedros de um trie dro, temos: 180° < d1 + d2 + d3 < 540° 3. POLIEDROS CONVEXOS ❑ Definição Consideremos um número finito n (n ≥ 4) de polígonos convexos, tal que: – dois polígonos não estão num mesmo plano; – cada lado de polígono é co mum a dois e somente dois polígo nos; – o plano de cada polígono dei xa todos os demais polígonos num mes mo semiespaço. Assim, ficam determinados n se mi espaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contém os demais. A intersecção desses n semies paços é denominada poliedro conve xo. ❑ Elementos Um poliedro convexo possui: fa ces, que são os polígonos con vexos; arestas, que são os lados dos polí gonos, e vértices, que são os vér tices dos po - lígonos. A reunião das faces é denomi nada super fície do poliedro. ❑ Relação de Euler Para todo poliedro convexo de V vértices, A arestas e F faces, ou para sua superfície, vale a relação: ❑ Soma dos ângulos das faces Em todo poliedro convexo de V vértices, a soma dos ângulos de to das as suas faces é dada por: 4. POLIEDROS DE PLATÃO Um poliedro é denominado polie dro de Platão quando: a) todas as faces têm o mesmo número de lados; b) em todos os vértices, concorre o mesmo número de arestas; c) vale a relação de Euler: (V – A + F = 2). f1 < f2 + f3� f2 < f1 + f3f3 < f1 + f2 f1 + f2 + f3 < 360° d1 + 180° > d2 + d3� d2 + 180° > d1 + d3d3 + 180° > d1 + d2 V – A + F = 2 S = (V – 2) . 360° – 39 C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 39 Observação Existem apenas cinco classes de poliedros de Platão. 5. POLIEDROS REGULARES (THODI) São os poliedros de Platão em que as faces são regulares e con gruen tes. Existem, portanto, apenas cinco tipos de poliedros regulares: 1) Tetraedros regulares 2) Hexaedros regulares (cubos) 3) Octaedros regulares 4) Dodecaedros regulares 5) Icosaedros regulares 40 – C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 40
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