MATEMÁTICA APLICADA UNIDADE I - UNIP

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Matemática Aplicada
Professora conteudista: Ângela Maria Pizzo
Sumário
Matemática Aplicada
Unidade I
1 CONJUNTOS ..........................................................................................................................................................1
1.1 Introdução: a ideia de conjunto indo além da matemática ..................................................1
1.2 Definições matemáticas .......................................................................................................................3
2 PERTINÊNCIA E INCLUSÃO .............................................................................................................................4
3 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS .................................................................................................................6
3.1 Interseção ...................................................................................................................................................6
3.2 União ............................................................................................................................................................6
3.3 Diferença ou complemento relativo ................................................................................................7
4 CONJUNTOS NUMÉRICOS ...............................................................................................................................9
4.1 Números naturais ....................................................................................................................................9
4.2 Números inteiros .....................................................................................................................................9
4.3 Números racionais ............................................................................................................................... 10
4.4 Números irracionais ............................................................................................................................ 10
4.5 Números reais .........................................................................................................................................11
4.6 Produto cartesiano entre conjuntos ............................................................................................. 12
5 APLICAÇÃO ........................................................................................................................................................ 14
6 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 17
Unidade II
7 AJUSTE DE CURVAS ........................................................................................................................................ 30
8 MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................................................................................................... 42
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1 CONJUNTOS
1.1 Introdução: a ideia de conjunto indo além 
da matemática
É premissa da matemática a precisão. Não nos é suficiente 
saber o que é um objeto/conjunto de objetos; faz-se necessária 
a aplicação concreta desses conceitos. A teoria dos conjuntos foi 
estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Cantor (1845-1918), 
que baseou seus primeiros conceitos como a seguir:
Conjunto: conceito rudimentar (primitivo) sem necessidade 
de definição. Essa ideia pode ser deduzida intuitivamente e 
através de exemplos. O homem, quando começa a se fixar 
nos locais, em grupos (coletividade), percebe a necessidade 
de conhecer seu espaço e suas posses, fazendo surgir esses 
conceitos sociais primários.
Podemos, através da intuição, exemplificar alguns conjuntos 
dentro do contexto moderno de civilização:
• o conjunto dos funcionários de uma empresa;
• o conjunto dos números naturais;
• o conjunto dos números reais;
• o conjunto dos países da América Latina que participam da 
Organização das Nações Unidas (ONU);
• o conjunto dos números racionais;
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• o conjunto dos números pares;
• o conjunto dos alunos da Universidade Paulista (UNIP);
• o conjunto dos números ímpares;
• o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 4;
• o conjunto dos números reais que são solução da equação 
x4 + x = 0.
É correto afirmar que um conjunto é composto por objetos. 
Esse conceito de objeto também é primitivo, logo, aceito 
intuitivamente.
Até este momento, possuímos dois conceitos primitivos: 
conjunto e objeto. Mesmo diante de um objeto e de um 
conjunto, necessitamos determinar a representação de esse 
objeto pertencer ao conjunto. Aqui surge aqui um terceiro 
conceito: pertencer.
Assim como os anteriores, trata-se de um conceito primitivo, 
portanto, básico da natureza e do desenvolvimento cognitivo 
humano.
Exemplos
• Piracaia pertence ao conjunto das cidades do Brasil;
• Katmandu não pertence ao conjunto das cidades do 
Brasil;
• 57 pertence ao conjunto dos números naturais;
• 57 não pertence ao conjunto dos números primos;
• √2 pertence ao conjunto dos números reais;
• √2 não pertence ao conjunto dos números racionais.
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Diante das colocações supracitadas, estamos prontos para 
esclarecer a teoria fundamentada em três conceitos primitivos 
(conjunto, objeto e pertencer): estamos falando da teoria 
intuitiva dos conjuntos.
Podemos notar que essa teoria tem início no desenvolvimento 
lógico do ser humano, em suas necessidades de descrever áreas, 
animais, valores, propriedades, relações interpessoais e até 
empresariais.
A teoria dos conjuntos e suas ferramentas são amplamente 
vistas em nossa formação básica, cabendo aqui apenas uma 
breve revisão para recordá-las.
1.2 Definições matemáticas
Designa-se conjunto uma coleção de objetos.
Sua representação pode ser feita de três modos:
1. Representação ordinária: na representação ordinária, 
os elementos do conjunto são explicitamente listados. Exemplos 
incluem o conjunto das faces de um dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 
6}, o conjunto de regiões do Brasil A = {SU, SE, CO, NE, NO}, o 
conjunto das notas musicais A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}.
2. Representação abstrata: na representação abstrata, 
os elementos do conjunto são representados através de uma 
caracterização que é previamente definida. Em termos gerais, 
se os elementos de um conjunto A são caracterizados por uma 
propriedade P, então o conjunto A pode ser assim enunciado: 
A = {x tal que x satifaz a propriedade P}; ou, ainda, utilizando 
símbolos: A = {x/x satisfaz P} (o símbolo / representa “tal 
que”; às vezes a barra é substituída por ponto-e-vírgula). A 
representação abstrata é amplamente utilizada em matemática 
porque permite que se expressem quaisquer tipos de conjuntos, 
bastando definir a propriedade que caracteriza os elementos do 
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conjunto. Por exemplo, se definirmos a propriedade P como “P: 
regiões do Brasil”, então o conjunto das regiões do Brasil pode 
ser reescrito como A = {x/x satisfaz P}.
3. Representação por diagramas de Venn: a vantagem 
na utilização dos diagramas de Venn como representação de 
conjuntos é seu apelo visual, muito útil paravisualizar operações 
entre conjuntos; entretanto, é importante salientar que o poder 
analítico desse tipo de dispositivo é extremamente limitado. O 
conjunto de números ímpares menores ou iguais a 13 pode ser 
representado como:
A
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2 PERTINÊNCIA E INCLUSÃO
Quando um elemento a está num conjunto A, dizemos 
que ele pertence ao conjunto A e representamos esse fato 
simbolicamente como:
a ∈ A
Se, ao contrário, o elemento não está no conjunto A, 
então dizemos que o mesmo não pertence ao conjunto A e 
representamos o fato como:
a ∉ A
Essas são as chamadas relações de pertinência que conectam 
os conjuntos aos seus elementos. Quando o conjunto A não 
possui elemento algum, dizemos que ele é o conjunto vazio e, 
nesse caso, representamos tal conjunto pelo símbolo ∅.
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Dados dois conjuntos A e B, quando todo elemento de A é 
também elemento de B, dizemos que o conjunto A está incluso 
em B ou que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B; tal 
fato é simbolicamente representado como:
A ⊂ B
Quando, por outro lado, existe ao menos um elemento que 
pertence ao conjunto A e não pertence ao conjunto B, então 
A não está incluso em B ou o conjunto A não é subconjunto 
do conjunto B. Esse fato é simbolicamente representado 
como:
A ⊄ B
Essas são as chamadas relações de inclusão e conectam 
conjuntos a outros conjuntos. É importante ter em mente a 
distinção entre pertinência e inclusão. No primeiro caso, a 
relação é entre elemento e conjunto, e, no segundo, entre 
dois conjuntos quaisquer. Por exemplo, as sentenças a seguir 
possuem significados totalmente diferentes, embora pareçam 
dizer a mesma coisa:
a ∈ A e {a} ⊂ A
A primeira sentença diz que o elemento a pertence ao 
conjunto A, e a segunda sentença diz que o conjunto unitário 
{a} está incluso ou é subconjunto do conjunto A.
A relação de inclusão é frequentemente utilizada para 
determinar a igualdade entre conjuntos. Dois conjuntos A e B 
são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos, fato 
que pode ser estabelecido mostrando-se que:
A ⊂ B e B ⊂ A
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3 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Com base nessas definições e conceitos, foi formulada a 
teoria algébrica dos conjuntos – estudo da criação de novos 
conjuntos partindo-se de conjuntos já definidos, através das 
operações de interseção, união, diferença e complemento.
3.1 Interseção
Os elementos que compõem o conjunto interseção são 
aqueles comuns aos conjuntos relacionados.
Exemplo 1: dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = 
{0,1,2,3,4,5}, se pedirmos a interseção deles, teremos:
A ∩ B = {5}, dizemos que A “interseção” B é igual a 5.
Exemplo 2: dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = 
{-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles, teremos:
B ∩ C = {} ou B ∩ C = ∅; então, A e C são conjuntos 
distintos1.
Exemplo 3: dados os conjuntos D = {11,12,13,14,15} e E 
= {13,14,15}. A interseção dos conjuntos ficaria assim:
E ∩ D = {13,14,15} ou E ∩ D = E; pode ser concluído 
também que E ⊂ D.
3.2 União
Gerados dois conjuntos A e B, a união entre A e B é o conjunto 
delimitado:
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
Conjunto união: é composto por todos os elementos dos 
conjuntos referidos.
1Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em www.brasilescola.com.br.
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Exemplo 1: gerados os conjuntos A = {x | x é inteiro e -1 
< x < 2} e B = {1,2,3,4}, a união desses dois conjuntos é:
A U B = {0,1,2,3,4}
Exemplo 2: gerados os conjuntos A = {1,2,13} e B = 
{1,2,3,4,5}, a união desses conjuntos é:
A U B = {1,2,3,4,5,13}; nesse caso, podemos dizer que A U 
B = B2.
Observe que o número de elementos da união é calculado por:
n(A ∪ B) = n(A) - n(B) - n(A ∩ B)
3.3 Diferença ou complemento relativo
Gerados dois conjuntos A e B, a diferença ou complemento 
relativo de A e B é o conjunto definido como:
A | B = {x/x ∈ A e x ∉ B}
Gerados dois conjuntos A e B, é denominado conjunto 
diferença ou de diferença entre A e B o conjunto formado pelos 
elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é 
representado por A – B.
Exemplo 1: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7}; o conjunto 
diferença ou a diferença é:
A – B = {1,2}
Exemplo 2: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10}; o conjunto 
diferença ou a diferença é:
A – B = {1,2,3,4,5}
2Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em www.brasilescola.com.br.
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Exemplo 3: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}; o conjunto 
diferença ou a diferença é:
A – B = ∅
Exemplo 4: gerados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = 
{5,6}; o conjunto diferença ou a diferença é:
A – B = {1,2,3,4}. Como B ⊂ A, podemos escrever em forma 
de complementar:
A – B = CA B = {1,2,3,4}.
Outros exemplos
Diferença entre conjunto
Gerados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7}, a 
diferença desses conjuntos é demonstrada em outro conjunto, 
designado de conjunto diferença.
Logo, A – B serão os elementos do conjunto A, subtraídos os 
elementos que pertencerem ao conjunto B.
Portanto, A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Conjunto complementar
Conjunto complementar está relacionado à diferença de 
conjunto. Encontramos um conjunto complementar quando, 
por exemplo, gerados um conjunto A e B e o conjunto B A, então 
o conjunto B é complementar em relação ao A.
A = {2, 3, 5, 6, 8}
B = {6,8}
B ⊂ A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = 
{2, 3, 5}3.
3Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em www.brasilescola.com.br.
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4 CONJUNTOS NUMÉRICOS
4.1 Números naturais
O conjunto dos números naturais foi o primeiro conjunto 
gerado pelos homens, e tinha como função apontar quantidades. 
Por exemplo, quantos animais pertencem a um grupo. 
Inicialmente, o zero não estava incluso nesse conjunto, porém, 
a necessidade de representação de quantias nulas concedeu 
ao número zero a condição de pertencente ao conjunto dos 
naturais. Logo:
N = {0, 1, 2, 3, ...}
4.2 Números inteiros
Os números inteiros bastaram à sociedade por algum 
tempo. O passar do tempo e a ampliação das “trocas” de 
mercadorias entre os homens tornaram iminente a criação de 
uma representação numérica para as dívidas. Por exemplo, eu 
“emprestei” um saco de trigo para um outro grupo de pessoas 
e não o recebi de volta; acabei com minhas reservas. Como 
indicar esse “empréstimo”? Com isso, nasceram os conhecidos 
números negativos, e, juntamente com tais números, um novo 
conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela 
letra Z:
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
O conjunto dos números inteiros é composto pelos números 
naturais e todos os seus representantes negativos. Observe que 
esse conjunto não possui começo nem término.
Todo número natural é inteiro, ou seja, N é um 
subconjunto de Z. 
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4.3 Números racionais
Esses números surgem da necessidade de partilhar os bens 
dos indivíduos.Como dividir corretamente um lote de terras? 
Podem ser expressos na forma a/b, em que a e b são quaisquer 
inteiros, onde b difere de 0.
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente 
de 0}.
Então, de acordo com o exemplo, podemos citar o –1/2, 1, 2,5,...
Podemos afirmar que números decimais exatos são racionais 
porque:
0,1 = 1/10
2,3 = 23/10...
Também são racionais os números decimais periódicos:
0,1111... = 1/9
0,3232 ...= 32/99
Observe que outra representação do número 1 é exibida por 
toda dízima periódica 0,9999... 9.
Essa representação é de grande utilidade quando trabalhamos 
com estatística, avaliações de qualidade e produtividade e até 
financeiramente (imagine o arredondamento do número 1 
trabalhando em prol de um negócio!).
4.4 Números irracionais
São assim nomeados porque não podem ser expressos na 
forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. São formados 
por dízimas infinitas não-periódicas:
Exs.: π = 3,141592654... ou √3 = 1,73205...
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4.5 Números reais
O conjunto formado por todos os números racionais e 
irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R. 
Como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro 
é racional e como todo número racional é real, temos:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Todos os conjuntos numéricos exibidos podem ser sintetizados 
em um gráfico, conforme a seguir:
R
Q
Z
N
Conjuntos
Numéricos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Fonte: SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Élio Medeiros da; SILVA, Ermes 
Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
Intervalo: nome dado a outro conceito fundamental 
da comunicação das relações. Também muito utilizado em 
estatística.
Sendo a e b dois números reais, com a < b, teremos os 
seguintes subconjuntos de R nomeados intervalos:
• intervalo com fechamento nos extremos a e b: [a, b] = 
{x ∈ R/a < x < b};
• intervalo com fechamento em a e abertura em b: [a, b] = 
{x ∈ R/a < x < b};
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• intervalo com abertura em a e fechamento em b: ]a, b] = 
{x ∈ R/a < x < b};
• intervalo com abertura em a e b: ]a, b[ = {x ∈ R/a < x < b}.
Teremos ainda:
[a, + ∞[ = {x ∈ R/x > a}
[- ∞, b[ = {x ∈ R/b < 0}4
4.6 Produto cartesiano entre conjuntos
A partir de dois conjuntos A e B, o produto cartesiano entre 
A e B é o conjunto definido como A x B = (x, y) / x e A e y E B}.
Exemplo: sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 5, 6}, então:
A B× =
( , ),( , ),( , ),( , )
( , ),( , ),( , ),( , )
( , ),(
11 12 15 16
2 1 2 2 2 5 2 6
3 1 3,, ),( , ),( , )
( , ),( , ),( , ),( , )
2 3 5 3 6
4 1 4 2 4 5 4 6












No diagrama abaixo, no plano cartesiano é apresentado o 
produto cartesiano entre números reais.
y
x
0 x y
(x, y)
(y, x)
ℜ
ℜ
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O plano cartesiano é formado pelo conjunto ℜ × ℜ = {(x, y); 
x ∈ ℜ, y ∈ ℜ}. É importante observar que o conjunto resultante 
do produto cartesiano entre dois conjuntos corresponde a uma 
coleção de pares ordenados, ou seja, cada elemento do produto 
cartesiano toma a forma (x, y). Assim, as sentenças {x, y} e (x, 
y) correspondem a objetos inteiramente distintos. O primeiro é 
o conjunto formado pelos elementos x e y, e o segundo, ao par 
ordenado (x, y). Desse modo, é imediato concluir que {x, y} = {y, 
x}, mas (x, y) ≠ (y, x).
Podemos relacionar os pontos cartesianos tabelados abaixo 
em um gráfico cartesiano, dividido nos quatro quadrantes.
Ponto Coordenadas (x,y)
A (2,2)
B (0,3)
C (-2,2)
D (-3,0)
E (-3,-3)
F (-1,-2)
G (0,-1)
H (3,0)
2º quadrante 1º quadrante
C
D
E
F
A
H
G
B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
y
3
2
1
-1
-2
-3
-4
3º quadrante 4º quadrante
Fonte: SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Élio Medeiros da; SILVA, Ermes 
Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
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Observando a figura, podemos fazer alguns exercícios:
1) Há algum ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes 
ímpares? Em caso afirmativo, transcreva as coordenadas 
desses pontos.
Resposta: Sim; bissetriz é a reta que divide os quadrantes 
considerados exatamente ao meio, portanto, os pontos A 
(2; 2) e E (-3; -3) pertencem a ela.
2) Sempre, nesse caso, é possível identificar uma característica 
comum às coordenadas dos pontos que pertencem à 
bissetriz dos quadrantes ímpares? Em caso afirmativo, 
transcreva-a.
Resposta: A abscissa é igual à ordenada.
3) Pode-se identificar qual é a característica comum às 
coordenadas dos pontos que pertencem ao eixo x das 
abscissas? E às coordenadas dos pontos que pertencem 
ao eixo y das ordenadas?
Resposta: Os pontos que pertencem ao eixo x têm 
ordenada zero. P (x; 0). Os pontos que pertencem ao eixo 
y têm abscissa zero. P (0; y).
5 APLICAÇÃO
Ainda que fundamental e generalista, a teoria dos conjuntos 
conduz a poucas aplicações práticas diretas. É mais utilizada para 
desenvolver a álgebra de grupos, anéis e campos, em engenharia 
e em outras áreas de exatas, assim como para desenvolver uma 
base lógica para o cálculo, a geometria e a topologia. Todos esses 
desenvolvimentos são aplicados extensivamente nos campos 
da física, da química, da biologia, da engenharia elétrica e da 
ciência da computação.
Na área de ciências humanas, seus conceitos servem de base 
à estatística; esta, por sua vez, é direcionada a pesquisas de 
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mercado, avaliação e desempenho de funcionários, cálculos de 
riscos em investimentos, etc.
Exemplo
Em uma pesquisa de mercado, mil pessoas foram entrevistadas 
em todo o território nacional sobre a preferência por marcas 
de refrigerante. O gráfico abaixo mostra como a pesquisa foi 
distribuída entre as regiões brasileiras.
Centro - oeste
10%
Sudeste
30%
Norte
15%
Sul
20%
Nordeste
25%
Três marcas de refrigerante foram pesquisadas, as marcas 
A, B e C. Na pesquisa, verificou-se que 40% dos entrevistados 
preferem a marca A, 25% a marca B e 35% a marca C. Também 
foi constatado que entre aqueles que preferem a marca B, 70% 
são da região nordeste, 8% da região sul, 2% da região centro-
oeste, 10% da região norte e 10% da região sudeste. A empresa 
que encomendou a pesquisa deseja saber o seguinte:
a) Quantas pessoas pertencem ao conjunto dos sulistas que 
preferem a marca B?
b) Dentro do conjunto de pessoas que preferem a marca B, 
quantas são da região norte ou da região nordeste?
Solução
a) Pelos dados do gráfico, o número de pessoas que 
consomem a marca B é 25% de mil pessoas = 250 
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pessoas. Dessas 250 pessoas, 8% são sulistas, portanto, 
8% de 250 = 20 sulistas.
b) Do enunciado, dos que preferem a marca B, 10% são 
da região norte, logo, 10% de 250 =25 pessoas, e 70% 
são da região nordeste, logo, 70% de 250 = 175 pessoas. 
Representadas pelo conjunto A as pessoas da região 
norte e pelo conjunto B as pessoas da região nordeste, o 
número de pessoas que são da região norte ou nordeste é 
dado por n(A ∪ B), com n(A ∩ B) = 0, pois não há pessoas 
em comum das regiões norte e nordeste que preferem a 
marca B, portanto,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 25 + 175 – 0
n(A ∪ B) = 200 pessoas.
Logo, duzentas pessoas da região norte ou nordeste preferem 
a marca B.
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6 FUNÇÕES
 
Na matemática, uma relação é apenas um conjunto de 
pares requisitados. Se utilizamos {} como o símbolo para o 
“conjunto”, temos abaixo alguns exemplos de relações entre 
pares ordenados:
• {(0.1), (55.22), (3, - 50)}
• {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}
• {(- 1.7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)} 
Por vezes, podemos identificar, em várias situações práticas, 
variáveis que estão em relação de dependência. Aqui, buscamos 
explicitar situações que envolvam essa relação de dependência, 
determinando, assim, suas variáveis.
Essa identificação será baseada em parte da teoria de 
conjuntos vista na unidade I. Lá, verificamos que podemos 
relacionar números através de relações gráficas em um plano 
cartesiano, números que, de maneira geral, são chamados de x 
e y pelos matemáticos.
Apesar de amplamente rejeitado, em diversos momentos 
de nosso dia a dia empregamos o conceito de função, até sem 
perceber.
Exibiremos a seguir algumas situações do nosso cotidiano 
nas quais podemos destacar tais relações funcionais.
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• Quando completamos, velozmente, o cálculo de um 
lanche, em que pedimos dois salgados e um refrigerante, 
não sabemos imediatamente quanto iremos gastar?
• Ao completarmos uma previsão de gastos residenciais e 
compará-los com a renda familiar, sabemos se teremos 
condições de adquirir um bem?
• Ao finalizarmos um crediário e verificarmos se o valor 
final terá um acréscimo e de quanto – isto é, aceitaremos 
ou não os juros propostos pela empresa?
• Ao calcularmos a quantidade de material necessária para 
uma reforma, podemos estimar os gastos iniciais?
É fato que o conceito de função, juntamente com sua 
representação gráfica, é a ferramenta matemática mais 
potente na formatação de problemas empresariais, motivo que 
nos levará a estudá-lo de modo amplo. Além disso, deve ser 
continuamente exercitada, pois, na figura de gestor, a tomada 
de decisões amparada por ferramentas matemáticas é essencial 
para o sucesso pretendido.
Claramente, em uma relação entre pares ordenados, não há 
absolutamente nenhuma condição especial que a estabeleça, 
isto é, qualquer conjunto de números é uma relação, contanto 
que esses números sejam pares ordenados.
Já para uma função, temos condições precisas que definem 
sua existência. Ainda assim, funções são um tipo especial da 
relação.
Vejamos:
Uma relação f: A → B é chamada de função se:
(I) não há elemento x em A sem correspondente y em B (não 
podem “sobrar” elementos de A);
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(II) qualquer elemento x de A tem um único correspondente 
y em B (não pode haver elemento de A “associado” a mais 
de um elemento de B).
Observação: no entanto, elementos distintos de A podem 
ser associados a um mesmo elemento de B e podem “sobrar” 
elementos de B. 
Outra representação, mais conveniente e muito mais utilizada, 
é: uma função é uma relação entre duas variáveis x e y, de forma 
que o conjunto de valores para x seja atribuído e a cada valor x 
seja associado um e somente um único valor para y, como y = f(x). 
Nesse caso:
• o conjunto de valores de x é nomeado o domínio da 
função;
• as variáveis x e y são nomeadas, simultaneamente, 
independente e dependente.
A relação entre as variáveis x e y tem uma significação de 
grande apelo visual, que destaca propriedades da função. 
Pode-se, através da descrição gráfica da função, observar 
diretamente, por exemplo, se as variáveis estão em relação 
crescente (ou seja, aumento em x associado a aumento em y) 
ou se a variação de y é dependente quadrática da variação de 
x, etc. 
Função constante
É toda função y = k, em que k é uma constante real. Verifica-
se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando 
pelo ponto de ordenada k.
y
k x
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Função linear
Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante 
real diferente de zero, dizemos que uma função f: A → B, com 
f (x) = m. x é uma função linear.
O gráfico de uma função linear é um conjunto de pontos 
sobre uma reta que passa pelo ponto (0,0), ou a origem do 
gráfico cartesiano:
x
y
Função do 1º grau
Esse tipo de função apresenta um grande número de 
aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas muito 
complexos podem ser representados, em primeira aproximação, 
por esse tipo de função, daí seu uso frequente em economia, 
gestão de recursos humanos, descrições de mercado, etc.
Uma função é chamada de função afim (ou função do 1º 
grau) se sua sentença for dada por y = m . x + n, sendo m e n 
constantes reais com m ≠ 0. 
Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma 
reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos 
distintos.
1) A constante n é chamada de coeficiente linear e representa, 
no gráfico, a ordenada do ponto de interseção da reta com o 
eixo y.
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2) A constante m é chamada de coeficiente angular e 
representa a variação de y correspondente a um aumento 
do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de 
qualquer ponto da reta; quando m > 0, o gráfico corresponde a 
uma função crescente, e, quando m < 0, o gráfico corresponde 
a uma função decrescente.
Seja x1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja x2 = x1 + 
1. Sejam y1 e y2 as ordenadas dos pontos da reta correspondentes 
àquelas abscissas. Teremos:
y1 = m . x1 + n
y2 = m . x2 + n
Subtraindo membro a membro as duas relações anteriores, e 
tendo em conta que x2 = x1 + 1, obtém-se:
coeficiente angular m
y y
x x
= −
−
2 1
2 1
 
3) Assim, conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1 , y1 ) 
e B (x2 , y2 ), o coeficiente angular m é facilmente determinado. 
4) Da mesma forma, conhecendo-se um ponto P (x0 , y0 ) de 
uma reta e seu coeficiente angular m, a função correspondente 
é dada por y – y0 = m (x – x0). Ou seja:
equação da reta y=m.(x - x0) + y0
Aplicações 
 
O valor a ser pago na conta de água de uma empresa depende 
do consumo medido no período; o tempo de uma viagem de 
caminhão entre duas cidades depende da velocidade média 
desenvolvida no trajeto; consequentemente, é um cálculo que 
nos leva a um custo logístico.
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Quando uma indústria lança um produto no mercado, para 
fixar o preço desse produto, ela tem que levar em conta os custos 
para a sua produção e a distribuição, que dependemde diversos 
fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prédio, 
custo das matérias-primas e salários. Como esses custos podem 
variar, a indústria tem que estar “equacionando” essas variáveis 
para compor o preço do seu produto.
Podemos utilizar a linguagem matemática para representar 
essas relações de dependência entre duas ou mais grandezas.
Dizemos que:
• o preço de uma peça de carne é dada em função do “peso” 
da peça;
• a taxa de desemprego é dada em função do mês.
Vejamos algumas definições, úteis em uma análise gerencial 
e em que se utilizam os conceitos e métodos analíticos das 
funções.
Função demanda de mercado
A demanda (ou procura) de um determinado bem é a 
quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir 
num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros). Podemos 
entender a demanda como a quantidade de produtos que 
compradores desejam e podem adquirir em diversos níveis de 
preço. Devemos observar uma relação inversa/negativa entre 
preço e quantidade (lei geral da demanda). O que isso significa?
Quando se tratar de demanda, pense como um consumidor, 
ou seja: “Se o preço estiver subindo, eu vou comprar menos”.
A demanda de um bem é função de várias variáveis: preço 
por unidade do produto, renda do consumidor, preços de bens 
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substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variáveis 
mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do produto 
(p), verifica-se que o preço p relaciona-se com a quantidade 
demandada (x). Chama-se função de demanda à relação entre 
p e x, indicada por p = f(x).
 O que regula a demanda de consumo? Fatores como:
• preço;
• renda;
• preço de produtos similares;
• gosto;
• expectativa;
• número de consumidores;
• marca;
• atendimento;
• localização;
• forma de pagamento;
• qualidade;
• propaganda;
• status;
• etc.
Existe a função de demanda para um consumidor individual 
e para um grupo de consumidores (nesse caso, x representa a 
quantidade total demandada pelo grupo, em um nível de preço 
p). Em geral, quando nos referirmos à função de demanda, 
estaremos nos referindo a um grupo de consumidores e 
chamaremos de função de demanda de mercado.
Qd= -a.P +b
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Onde: 
• Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo;
• P é o preço do bem.
Essa função de primeiro grau é representada por uma reta 
decrescente, já que a < 0. Isso está em concordância com o 
gráfico de p em função de x (que chamaremos de curva de 
demanda); é o de uma função decrescente, pois, quanto maior 
o preço, menor a quantidade demandada. Cada função de 
demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as outras 
variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se 
for alterada a configuração dessas outras variáveis, teremos 
nova função de demanda.
Função oferta de mercado
Por outro lado, temos a definição de função oferta: é a 
quantidade de produtos que vendedores desejam e podem 
produzir para vender em diversos níveis de preço. Existe uma 
relação direta/positiva entre preço e quantidade (lei geral da 
oferta).
 
Quando se tratar de oferta, pense como um empresário: “Se 
o preço estiver subindo, eu vou vender mais produtos”.
Quais são os fatores que influenciam a oferta feita ao 
mercado?
• preço;
• preço dos insumos;
• tecnologia;
• expectativa;
• concorrência;
• demanda;
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• sazonalidade;
• impostos;
• temperatura;
• disponibilidade dos insumos;
• tecnologia;
• religião;
• etc.
Chama-se de oferta de um bem a quantidade do bem que 
os vendedores desejam oferecer no mercado em certo intervalo 
de tempo. A oferta depende de várias variáveis: preço do bem, 
preço dos insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada 
e outras. Mantidas constantes todas as variáveis, exceto o preço 
do próprio bem, chamamos de função de oferta a relação entre 
o preço do bem (p) e a quantidade ofertada (x) e a indicamos 
por p = g(x).
Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma 
função crescente, pois, quanto maior o preço, maior a quantidade 
ofertada. Tal gráfico é chamado de curva de oferta. Observemos 
que temos uma curva de oferta para cada configuração das 
outras variáveis que afetam a oferta.
Preço e quantidade de equilíbrio
 É o ponto de interseção entre as curvas de demanda e 
oferta. Assim, temos um preço e uma quantidade de equilíbrio. 
Por exemplo:
x
p
3
500
oferta
demanda
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Receita total
Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de 
função receita o produto de x pelo preço de venda e indicamos 
por R.
Custo total1
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total 
de produção (ou simplesmente custo) depende de x, e a relação 
entre eles chamamos de função custo total (ou simplesmente 
função custo), e a indicamos por C.
 
 Existem custos que não dependem da quantidade 
produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses 
custos que não depende da quantidade produzida, chamamos de 
custo fixo e indicamos por CF. A parcela do custo que depende 
de x chamamos de custo variável e indicamos por CV. Assim, 
podemos escrever: 
C = CF + CV
 
Verificamos também que, para x variando dentro de certos 
limites (normalmente não muito grandes), o custo variável é 
geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade 
x. Essa constante é chamada de custo variável por unidade.
Ponto crítico (break even point) ou ponto de 
nivelamento
O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x).
Função lucro
É definida como a diferença entre a função receita R e a 
função custo C. Assim, indicando a função lucro por L, teremos:
L(x) = R(x) − C(x)
1 Disponível em www.emersonmatematica.blogspot.com.br.
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Margem de contribuição
É a diferença entre o preço de venda e o custo variável por 
unidade.
Vamos, agora, resolver exercícios, repetindo e exemplificando 
essas definições administrativas de grande importância em 
atividades empresariais.
Exercício 1
Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é 
$ 100,00, nenhuma é vendida; quando a mercadoria é fornecida 
gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 
1º grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o 
preço de $ 30,00.
 
Solução
Sejam: p = preço de venda e D = demanda. 
Do enunciado, temos: 1º) p = 100 ⇒ D = 0 e 2º) p = 0 ⇒ D = 50.
Como a função é do 1º grau, y = ax + b e, fazendo x = p e 
y = D, temos: D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da 
função. 
Substituindo p = 100 e D = 0 ⇒ 0 = a.100 + b (Equação I).
Substituindo p = 0 e D = 50 ⇒ 50 = a.0 + b ⇒ b = 50.
Voltando à equação I, temos: 
0 = a.100 + 50 ⇒ a = 0,5, e daí, D = -0,5p + 50.
A equação de demanda ou função demanda é:
D = 0,5p + 50.
Substituindo p = 30 na equação D = 0,5p + 50, temos:
D = 0,5. 30 + 50 = 65.
Assim, para o preço de $ 30,00, a demanda é de 65 
unidades.
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 Exercício 2
Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas 
por funções lineares, tais que:
D(p) = 34 - 5p
S(p) = -8 + 2p
Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas 
funções? 
Solução
De acordo com a definição dada, o equilíbrio de mercado é 
um par (p,y) tal que y = D(p) = S(p), ou seja:
34 - 5p = -8 +2p
34 + 8 = 2p + 5p
42 = 7p
p = 6
Logo, o preço do equilíbrio é $ 6,00.
Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir p = 
6,00 em umas das funções, utilizando a função oferta; temos:
S = -8 + 2.6 = 4.
Logo, a quantidade de equilíbrio é de 4 unidades.
Exercício 3
 Considere a função RT = 20,5.q, em que o preço é fixo ($ 
20,50) e q é a quantidade de produtos vendidos (0 ≤ q ≤ 120 
unidades). Qual é a quantidade de produtos vendidos quando a 
receita total atinge o valor de $ 1.025,00?
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Solução
RT = 1025
20,5.q = 1025
q = 1025
 20,5
q = 50 unidades vendidas.
 Portanto, a receita total atinge o valor de $ 1.025,00 
quando são vendidas 50 unidades do produto.
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