Lista de Exercícios Derivada e Aplicações

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Lista de Exercícios – Derivada e Aplicações. 
 
Alguns exercícios foram retirados dos livros: Flemming, D. M ., Gonçalves, M.B., 
Cálculo A- funções, limite, derivação e integração, 6ªed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006. Simon e Blume “Matemática para Economistas”, 2004. Bookman 
 
1- Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) 
73
15
)(
2



x
xx
xf
 se 
3
7x
 b) 
42 )13()(  xxh
 c) 
qqL 2)( 
 
(d) 
 32 2)13()( xxxh 
 e) 
)2()( 2   xexh x
 f) 
xe
x
xh
2
)( 
 
(g) 
474)( 2  xxxf
 (h) 
   4
3
2 2215)(  yyyf
 (i) 
)3ln()( 2  xxf
 
(j) 
1
)(
2 

x
x
xf
 (k) 
xxexf 32)( 
 (l) 
)()sen()( xcoxxxf 
 
(m) 
x
x
xf
cos
sen
)( 
 (n) 
)ln(sen)( axxf 
 (o) 
2
)senh()(
xx ee
xxf


 
 
(p) 
)(
1
)(cot)(
xtg
xgxf 
 (q) 
)cos(
1
)sec()(
x
xxf 
 (r) 
)sen(
1
)(cos)(
x
xecxf 
 
 
 
2- Suponha que o custo total semanal em dólares atingido pela Companhia Z para 
fabricação de x refrigeradores seja dado pela função custo total. 
C(x) = 8000 + 200x – 0,2x2 0 ≤ x ≤ 400 
a) Qual a função que dá o custo marginal? 
b) Determine o custo marginal para x = 250. 
c) Se 
x
xC
xCm
)(
)( 
 é a função que dá o custo médio, qual o custo médio para x = 250? 
 
3- Se a relação entre o preço (p) e a quantidade demandada (x) para um certo produto é 
400)2(  px
encontre as funções que expressam a receita e a receita marginal. 
 
4- Se relação entre o preço (p) e a quantidade demandada (x) por um produto é dada por 
xep 01,050 
e o custo para a produção é dado por 
)1ln(100)(  xxC
. Determine o lucro 
marginal para a demanda de 90 unidades. 
 
 
5- A receita mensal para a venda de um determinado produto é 
226)( xxxR 
 e o custo 
para a sua produção é 
xxC 614)( 
. Obtenha o lucro marginal para x = 0. 
 
6- Calcule a elasticidade da função 
rkqqF )(
 , onde 
0, rk
 e comprove que esta é a 
função demanda de elasticidade constante. 
 
7- Seja 
bqaqF )(
 a função demanda linear. Prove que a elasticidade pontual é –1 no 
ponto 
b
a
2
. 
 
8- A demanda por um certo produto é dada pela função 
ppD  50)(
, com 
500  p
Determine o intervalo em que a demanda é elástica, inelástica e unitária. 
 
9- A relação entre o preço e a demanda, para um certo produto é 
100)1( 2  px
. 
Determine quando a demanda é inelástica. 
 
10- A relação entre preço e a demanda de um certo produto é 
2/40 xep 
, sendo p o 
preço unitário e x a demanda mensal. Determine o preço que torna a receita mensal 
máxima. 
 
11- A demanda de uma empresa é dada por 
)1ln( 2  px
tal que p > 1. 
(a) Determine a elasticidade da demanda. 
(b) Determine a elasticidade da demanda para p = 100. Interprete sua resposta. 
(c) Determine a elasticidade da demanda para p = 1000. Interprete sua resposta. 
(d) Se a elasticidade da demanda é 1, interprete sua resposta em relação ao preço 
 
 
12- Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam 
que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo 
t
(medido em dias 
a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por 
 
3
64)(
3
tttf 
. 
(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 
t
= 4 ? R: 48 pessoas/dia 
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 
t
= 8 ? R: 0 (epidemia 
controlada) 
 
13- Analistas de produção verificaram que em uma montadora 
x
, o número de peças 
produzidas nas primeiras 
t
 horas diárias de trabalho é dado por 










84),1(200
40),(50
)(
2
tparat
tparatt
tf 
 
(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 
7 horas? R: 350 peças/hora de trabalho; 200 peças/hora de trabalho 
(b) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho? 
 
14- Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no 
reservatório, em litros, 
t
horas após o escoamento ter começado é dada por 
2)80(50 tV 
. 
Determinar: 
(a) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. 
R: -7200l/h. 
(b) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. 
R: 38750 l. 
 
15- Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em 
grama 








,9060;6044,24
600;)4(
2
1
20
)(
2
tt
tt
tW
 onde 
t
é medido em dias. 
(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando 
t
= 50? R: 54 g/dia 
(b) Quanto a ave aumentará no 61º dia ? 
(c) Qual a razão de aumento do peso quando 
t
= 80 ? R: 24,4 g/dia 
 
16- Um tanque contém inicialmente 20 litros de água. Abre-se uma torneira e esta despeja 
5 litros de água por minuto dentro deste tanque. 
 a) Qual a expressão que dá o número de litros de água no tanque por minuto? 
b) Qual o volume de água no tanque após 13 minutos? R: 85 l 
c) Qual a taxa de variação do volume V em relação ao tempo t? R: 5litros/min 
17- Um corpo se move em movimento retilíneo segundo a lei S = 
2tt
2
1 3 
, onde S é a 
distância em metros e t o tempo em segundos. Determine sua velocidade e aceleração no 
instante t = 2 segundos. R: 4m/s e 6m/s². 
 
18- O caminho percorrido por uma partícula sobre uma reta é dado por: S = t3 – 6t2 + 9t 
+ 4, onde S é medido em metros e o tempo em segundos. Determine a velocidade da 
partícula no momento em que a aceleração é nula. R: -3m/s. 
 
19- Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante 
t
é dada por 
216)( tttf 
, 
80  t
, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros. 
 
(a) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t. Achar a velocidade do 
corpo no instante 
t
= 3. R: 22m/s 
(b) Determinar a aceleração no instante 
t
. 
 
19- Um empreendedor do segmento de aparelhos de barbear, como qualquer outro 
empresário, busca incessantemente maximizar seus lucros. Para tal, contratou uma 
empresa que com o auxílio de matemáticos, conseguiram, depois de algum tempo, 
equacionar a relação que melhor representa o comportamento da demanda em função dos 
preços: 
2218)( ppd 
 
a) Qual a elasticidade para o preço p = R$ 2,00? 
b) O que o empreendedor pode concluir a respeito da demanda aumentando o preço do 
barbeador em 3%? Se com o preço p = R$ 2,00 a demanda era de 2500 compradores, 
com este aumento de 3% no preço qual será a quantidade de compradores?