Equações do 1º Grau e Conjuntos Numéricos

Prévia do material em texto

CONJUNTOS NUMÉRICOS COMO 
CONJUNTO UNIVERSO
RECONHECER UM NÚMERO COMO RAIZ 
DE UMA EQUAÇÃO
E MUITO MAIS...
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Matemática
Aplicada
Equações do 1º Grau102
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Prof.a Isabel Cristina Dias Alves Lisboa 
Prof.a Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo!
Dando continuidade ao nosso estudo de Matemática, com 
muita disposição veremos nesse módulo, mais uma vez,
o quanto a matemática contribui 
para melhorar o seu desempenho 
nos estudos em seu curso. Tenha 
sucesso e conte sempre conosco!
Equações do 1º Grau 103
APRESENTAÇÃO
Você estudou nos módulos anteriores e fez uso de expressões envolvendo números e as 
operações fundamentais (expressões numéricas) como também resoluções de diversos 
problemas fazendo uso das letras, combinadas com números e operações (expressões 
algébricas). Agora vamos usar esses conhecimentos para estudar Equações.
Para representar os problemas da vida real em linguagem matemática, muitas vezes utili-
zamos letras que substituem incógnitas (os valores que você não conhece, e quer desco-
brir). É aí que entram, geralmente, as letras x e y. 
A álgebra é o ramo da matemática que utiliza símbolos para a resolução de problemas, e 
as equações são as aplicações mais conhecidas dessa área da matemática.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você deverá ser capaz de:
• Identificar sentenças matemáticas que são igualdades, o 1º e o segundo membro; 
e as propriedades das igualdades;
• Identificar os conjuntos numéricos como conjunto universo de uma equação;
• Determinar o conjunto solução de uma equação dado o conjunto universo;
• Reconhecer um número como raiz de uma equação;
• Reconhecer os princípios de equivalência das igualdades para resolver equação de 
1º grau com uma incógnita;
• Aplicar o conhecimento das equações em problemas do nosso cotidiano.
Inicialmente precisamos entender o 
que é uma Igualdade.
Vamos lá?
Você saberia explicar como começamos a 
definir e reconhecer as Equações?
IGUALDADE
É toda sentença matemática que possui o símbolo de = (igual)
Em uma igualdade temos:
• A expressão situada à esquerda do símbolo “ = ” é chamada 1º termo
• A expressão situada à direita do símbolo “ = ” é chamada 2º termo
Veja os exemplos:
Exemplo 1 3 + 8 = 11
 1º termo 2º termo
Exemplo 2 8 + (‒2)3 = 0
 1º termo 2º termo
PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA
Você conhece ou já viu uma balança de dois pratos? Então fique atento na 
história que vamos descrever a seguir.
A Balança e sua História
Vejamos inicialmente o conceito de “Balança”:
O que é uma Balança?
A balança é um aparelho destinado a medir a massa dos corpos. 
Teve origem na antiga civilização egípcia, em torno de 5.000 
a.C., por isso é considerada um dos instrumentos mais 
antigos.
Utilizada para medir a massa dos corpos, a balança 
de dois pratos, possui dois braços sob os quais 
são suspensos os dois pratos equili-
brados e equidistantes (na mesma 
distância) do eixo central. Em um 
prato colocam-se pesos variados e 
padronizados e no outro o produto 
que será pesado. Ao atingir o equilíbrio 
entre os pratos observa-se o somatório dos números correspondentes aos 
pesos respectivos. Desta forma considera-se pesado o produto.
Com o avanço da tecnologia e com o intuito de obter pesagens mais preci-
sas, essas balanças foram substituídas pelas que hoje conhecemos: as balanças digitais.
   {
   {
Equações do 1º Grau104
Equações do 1º Grau 105
Agora, veja a ilustração abaixo e pense:
A BALANÇA ESTÁ EM DESEQUILÍBRIO?
1 KG
Sim, pois os dois pratos têm o mesmo peso.
2 KG
Se um prato for mais pesado que o outro, estará desequilibrada.
Então, vejamos outros exemplos:
Equações do 1º Grau106
Agora, se adicionarmos 1peso de 1Kg no lado esquerdo da balança, ela ficará em 
equilíbrio?
Nesse caso a balança está em equilíbrio? Justifique sua resposta.
Nesse caso um lado ficará mais pesado que o outro, portanto não ficará em equilíbrio.
Portanto não ficará em equilíbrio: ( 2 + 4 + 1 ) não é igual a 6.
Para que fique novamente em equilíbrio poderemos acrescentar 1 peso de 1kg também 
no prato do lado direito. Assim:
O peso“1”foi acrescentado aos dois membros da igualdade.
Então, vamos continuar nosso 
estudo?
Simples não é caro(a) aluno(a)?
Equações do 1º Grau 107
Consideremos a seguir a igualdade: 
a = b
Se quisermos acrescentar um número “c” qualquer no 1º membro para que continue no 
equilíbrio devemos acrescentar “c” também no 2º membro.
Sendo a = b, então:
a + c = b + c
Se quisermos subtrair por um número “c” em um dos membros, então para continuar o 
equilíbrio devemos também subtrair no outro membro, assim:
a = b
a – c = b – c
De modo análogo, se quisermos multiplicar por um número “c” no 1º membro, devemos 
também multiplicar por esse mesmo número “c” no 2º membro para que continue em 
equilíbrio, assim:
a = b
a . c = b . c
Ou se quisermos dividir por um número “c” no 1º membro, devemos também dividir por 
esse mesmo número “c” no 2º membro c ≠ 0, para que continue em equilíbrio, assim:
a = b
a
c c
b
=
O que acabamos de verificar, é denominado na Matemática de Princípio Aditivo e Princípio 
Multiplicativo.
ATENÇÃO
PRINCÍPIO ADITIVO DAS IGUALDADES: Uma Igualdade não é alterada quando adicionamos 
ou subtraímos a cada um de seus membros um mesmo número. 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DAS IGUALDADES: Uma Igualdade não é alterada quando multi-
plicamos ou dividimos cada um de seus membros por um mesmo número.
Agora que já reconhecemos uma igualdade e 
sabemos aplicar os dois princípios, da adição 
e da multiplicação, poderemos conceituar e 
estudar as equações.
Equações do 1º Grau108
CONHECENDO AS EQUAÇÕES
Equação é toda sentença matemática aberta a que contém incógnita representada por 
meio de uma igualdade.
A palavra “equação” apresenta o prefixo ‘equa’ que em latim quer dizer ‘igual’.
E a letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "desconhecida".
Veja os exemplos:
a) x + 1 = 3 (contém igualdade e incógnita x)
b) 2 ‒ y = y + 4 (contém igualdade e incógnita y)
 
A partir do nosso cotidiano, ou seja, da linguagem comum, podemos transformar nossos 
problemas em fatos matemáticos, por exemplo, transformando-os em equação.
Vejamos a seguinte situação – problema:
Maria partiu sua barra de chocolate de 12cm em duas partes. Um dos pedaços teve 
o comprimento igual ao triplo do comprimento da outra parte. Qual será a expressão 
da sentença matemática que podemos escrever para calcular o comprimento de cada 
pedaço?
SOLUÇÃO:
Consideramos uma barra de chocolate de comprimento 12cm, conforme a figura abaixo:
12cm
(TOTAL = 12cm)
A seguir vamos dividi-la em 4 partes iguais, que chamaremos de x cada parte, consi-
derada assim:
12cm
          
x x x x
Equações do 1º Grau 109
Dessa forma poderemos escrever assim:
x x x x = 12cm
E em forma de igualdade, escreveremos:
x + x + x + x = 12cm
4x = 12
Logo se dividirmos ambos os membros por 4, teremos:
logo:
x = 3
x é o comprimento de cada pedaço da barra.
Logo x = 3 é chamado solução da equação então consideramos 3 a raiz ou a solução.
Agora, vamos aprender a resolver as equações 
de um modo mais prático. Será o tema que 
estudaremos a seguir.
Para isso, inicialmente precisaremos de 
algumas informações imprescindíveis.
Fique atento!
IDENTIFICAÇÃO:
Em primeiro lugar, vamos identificar uma equação.
Para verificar se uma sentença matemática é equação deveremos considerar dois 
parâmetros:
1º) Se a sentença contém o sinal de igualdade;
2º) Se a sentença contém incógnita ( letra que simboliza um número desconhecido) a ser 
calculado.
Vejamosalguns exemplos:
4 12
4 4
x
=
Equações do 1º Grau110
Vejamos alguns exemplos:
a) x + 1 = 3 (contém igualdade e incógnita x, então é uma equação)
b) 
3 52
5 2
y y− = + (contém igualdade e incógnita y, então é uma equação)
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
As equações com uma incógnita mais simples (variável no 1º grau) são as chamadas: 
Equações Lineares ou Equações do 1º Grau.
Veja o exemplo: 
A equação 2x – 20 = 36 é Linear porque o expoente da variável x é 1.
ATENÇÃO
As equações que estudaremos nesse módulo serão consideradas do 1º grau com uma 
incógnita.
CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO 
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO:
A equação do 1º grau pode ter um valor para o qual ela se torna verdadeira ou simples-
mente não apresentar solução. Nesse caso, ao ser resolvida para se encontrar o valor 
possível para a incógnita, esse valor pertencerá ou não a um conjunto dado. Caso perten-
ça a esse conjunto, então consideraremos esse resultado como a solução da equação, 
caso não pertença ao conjunto dado, a solução será considerada Vazia, sem solução.
TOME NOTA
Conjunto Universo ( U ): é o conjunto dado como referencial, ou seja, o conjunto onde pode-
remos encontrar a solução da equação. Nele está contida a solução da equação.
Conjunto Solução ( S ): é o subconjunto (parte) do conjunto universo, formado apenas pelo 
elemento solução da equação do 1º grau.
Veja os exemplos abaixo:
Exemplo 1:
Considerando o conjunto universo formado pelos números naturais, U = N, e a equação 
x – 2 = 1, temos a seguinte resolução:
x – 2 = 1 
x – 2 + 2 = 1 + 2
x + 0 = 3
x = 3
Equações do 1º Grau 111
Verificando se x = 3 pertence ao conjunto U = N concluímos que sim. 
Então 3 ∈ N = U, logo a solução da equação é o próprio 3.
Portanto: S ={ 3 }
Exemplo 2:
Consideremos o conjunto U = N e a equação x + 1 = 0.
resolvendo a equação:
x + 1 – 1 = 0 –1
x + 0 = – 1
x = –1
Como x = – 1 ∉ U = N , então não haverá dentro desse conjunto universo valor de x que 
satisfaça a igualdade, logo não haverá solução.
Portanto: S = ∅ ( ∅ = conjunto vazio)
RESOLVER UMA EQUAÇÃO
Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita, que 
tornem a igualdade verdadeira, e essa solução da equação também é chamada de raiz da 
equação. 
As equações podem ser interpretadas e resolvidas facilmente, para isto basta aplicar as 
técnicas de resolução: teorema da igualdade.
ATENÇÃO
Teorema da Igualdade: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os 
membros da equação, ele permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos (ou 
dividimos) por um valor não nulo, ambos os membros da equação, ela permanece em equilí-
brio. Esse processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite encontrar as raízes 
da equação. 
Esse é o Teorema da Igualdade.
Veja a síntese para resolver uma Equação:
1º) Equação dada: tem-se a expressão matemática
2º) Conjunto Universo: conjunto mencionado como referência para procurar a solução da 
equação: “U”
3º) Resolução: Determinação do valor da incógnita- aplicação do teorema da igualdade: 
resolução das operações envolvidas, determinando assim o valor da variável em ques-
tão.
4º) Verificação da resposta encontrada para a incógnita (x) - raiz: x ∈ U ou x ∉ U 
( x pertence ao conjunto universo ou x não pertence ao conjunto universo)
5º) Apresentação da solução final: Conjunto Solução: “S”.
Equações do 1º Grau112
Veja alguns exemplos:
a) Resolvendo a equação 2x = 10 em N
 Equação dada: 2x = 10
 Conjunto Universo: U = N
 Resolução:
 2x = 10
 x = 10
2
 x = 5
 Valor de x ou raiz da equação: 5
Conjunto Solução:
Verificando se existe solução: como x = 5 pertence ao conjunto dos números Naturais 
considerado nosso Universo, logo a solução é o valor encontrado 5.
Podemos simbolizar assim: 5 ∈ N = U ( 5 pertence ao conjunto N)
S ={ 5 }
b) Resolvendo a equação 3y + 1 = – 8 em Z
 Equação dada: 3y + 1 = – 8
 Conjunto Universo: U = Z
 Resolução: 
 3y + 1 = 8
 3y = – 8 – 1 (princípio aditivo)
 3y = – 9
 y = 
9
3
− (princípio multiplicativo)
 y = – 3
 Valor de x ou raiz da equação: – 3
Conjunto Solução: Como – 3 ∈ Z (– 3 pertence ao conjunto Z), então:
S ={ ‒3 }
c) Resolvendo a equação 3 – 2z = 0 em Z ( nesse caso U = Z)
 Equação dada: 3 – 2z = 0
 Conjunto Universo: U = Z
 Resolução:
 3 – 2z = 0
 –2z =0 – 3 (princípio aditivo)
 –2z = –3 (princípio multiplicativo) 
Equações do 1º Grau 113
2z = 3 
z = 3
2
Valor de x ou raiz da equação: 3
2
Conjunto Solução: S = { } ou S = ∅ porque 3
2
∉ Z ( 3
2
 não pertence ao conjunto Z)
TOME NOTA
Poderemos utilizar { } ou ∅ para representar o conjunto Vazio, nesse estudo optaremos por 
∅ como representação do conjunto vazio.
Veja outros exemplos:
1º) Nesse exemplo consideraremos o conjunto universo como o conjunto dos números 
naturais (U= N). Acompanhe a solução das equações:
a) x + 1 = 9
 x = 9 – 1
 x = 8
Pergunta: “8” pertence ao conjunto dos números naturais? Sim 8 é um número natural 
(8∈ N), então a solução será o número 8. Logo:
 Se 8 ∈ N=U, então:
 S = { 8 }
b) 4 + x = 0
 x = 0 – 4
 x = – 4
Veja: – 4 não pertence ao conjunto dos números naturais (U = N), logo não há valores 
dentro do conjunto universo que satisfaça a igualdade, então a solução é vazia.
Como não há solução para a equação considerando o conjunto universo citado, a solução 
será vazia.
 Então: – 4 ∉ N = U
 S = ∅
REFLITA 
O símbolo ∅ é uma representação do Conjunto Vazio.
Equações do 1º Grau114
2º) Para os próximos exemplos consideraremos o conjunto universo como o conjunto dos 
números inteiros (U = Z):
a) 3x + 2 = ‒1
 3x = –1 – 2 (princípio aditivo)
 3x = – 3
 x = 
3
3
− (princípio multiplicativo)
x = –1
Assim: –1∈ Z=U
S ={– 1}
b) 4 – 2y = 7
–2y = 7 – 4 (princípio aditivo)
–2y = 3 (princípio multiplicativo)
–2y = ‒3
y = 
3
2
− (princípio multiplicativo)
y = 
3
2
−
Mas 3
2
− ∉ Z=U
Então: S = ∅
c) 3 = – 2x + 1
 2x = 1 – 3 (princípio aditivo)
 2x = – 2
 x = 
2
2
− (princípio multiplicativo)
 x = – 1
 S = {–1}
d) 9x + 7 = 10x – 2
 9x – 10x = – 2 – 7 (princípio aditivo)
 –x = – 9 (princípio multiplicativo)
x = 9
S ={ 9 }
Equações do 1º Grau 115
USANDO A PRATICIDADE PODEREMOS CONSIDERAR:
a) Resolvendo a equação em U = N
 x + 3 = 8
 
 o número 3 está somando nesse membro
 x = 8 ‒ 3 (princípio aditivo)
 
 o número 3 passa para o outro membro subtraindo (3 foi transferido para o 2º membro 
dessa forma: trocou-se a operação a que estava submetido).
 x = 5 (valor encontrado para x)
 Assim temos: 5 ∈ N portanto:
 S ={ 5 } 
b) Resolvendo a equação em U = Q
 x –5 = 7
 
 o número 5 está subtraindo nesse membro
 x =7 + 5 (princípio aditivo)
 o número 5 passou para o outro membro somando:
 x = 12 (valor encontrado para x)
 Assim temos: 12 ∈ Q portanto:
 S ={ 12 }
c) Resolvendo a equação em N
 2 . x = 16
 
 O número 2 está multiplicando nesse membro
 x = 16 : 2 ou
 x = 16
2
 (princípio multiplicativo)
 o número 2 passou para o outro membro dividindo
 x = 8 (valor encontrado para x)
 Assim temos: 8 ∈ N portanto: S = { 8 }
d) Resolvendo a equação em Z
5x + 1 = – 9
 
O número1 está somando nesse membro
5x = – 9 – 1 (princípio aditivo)
Equações do 1º Grau116
O número 1 passou para o outro membro subtraindo
5x = – 10
 
O número 5 está multiplicando nesse membro
x = 10
5
− (princípio multiplicativo)
 
o número 5 passou para o outro membro dividindo
x = – 2 (valor encontrado para x)
Assim temos: –2 pertence ao conjunto Z (– 2 ∈ Z ) portanto 
S = {– 2 }e) Resolvendo em Q
1º passo: Determinar o mínimo múltiplo comum dos dois membros (ou seja ,entre 3 e 4) :
m.m.c (1, 3, 4) = 12
2º passo: Dividir o m.m.c. encontrado pelo denominador e imediatamente multiplicado 
pelo numerador, reduzindo os termos a um denominador comum.
 (princípio multiplicativo)
3º passo: Cancelar o denominador comum, eliminando-se as frações.
8x – 12 = 3x – 60
4º passo: Resolver a equação sem fração.
8x – 12 = 3x – 60
8x – 3x = – 60 + 12 (princípio aditivo)
5x = – 48
x = 48
5
− (princípio multiplicativo)
S = 
48
5
 − 
 
2 5
3 4
x xx− = −
2 5
3 1 4 1
x x x
− = −
3, 4
3, 2
3, 1
1, 1
2
2
3
2 . 2 . 3 = 12
8 12 3 60
12 12
x x− −
=
Equações do 1º Grau 117
APLICAÇÕES COM EQUAÇÕES: 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ENVOLVENDO 
OPERAÇÕES E IGUALDADE
Veja alguns exemplos:
1) A soma do triplo de um número com o seu dobro resulta 50. Determine esse número.
Temos:
Soma: Adição ( + )
Número: x
Triplo do número: 3x
Dobro do número: 2x
Finalmente a Equação ( expressão algébrica com igualdade): 3x + 2x = 50
Solução: 3x + 2x = 50
  5x = 50
  x = 50/5
  x = 10
Portanto o número encontrado é 10.
2) A soma do dobro de um número com a sua quarta parte é igual a 36.Qual é o número?
Temos: 
Soma: Adição ( + )
Número: x
Dobro do número: 2x
Quarta parte do número: 
4
x
Finalmente a Equação ( expressão algébrica com igualdade): 2x + =36
Solução: 2x + 
4
x
 =36
m.m.c. (1,4) = 4
8x + x = 144
9x = 144
x = 
144
9
x = 16
Portanto esse número é 16.
4
x
8 144
4 4
x x+
=
Equações do 1º Grau118
3) Em um terreno com a forma retangular a medida do contorno é 160 metros. A frente 
mede o triplo da lateral desse terreno. Se for colocado uma grade na frente desse 
terreno, quantos metros de grade serão necessários?
Temos: 
Lateral do terreno: número: x
Triplo da lateral: 3x
Frente do terreno: triplo da lateral: 3x
Retângulo: quadrilátero:
Perímetro do retângulo: soma das medidas dos lados: x + 3x + x + 3x = 160
Finalmente a Equação: 8x = 160
Solução: 
160
8
x = (princípio multiplicativo) 
x = 20
Assim a medida da lateral desse terreno é igual a 20m, e a medida da frente é o triplo 
dessa medida teremos:
3x = 3.(20)
3x = 60 m
Assim a quantidade de grade necessária para medir a frente desse terreno é 60 metros.
4) Em um torneio de basquetebol, uma equipe venceu 1
4
 dos jogos que disputou, empa-
tou 2
3
 dos jogos e perdeu 2 jogos. Diante disso, quantos jogos a equipe venceu?
Assim teremos:
Quantidade de jogos disputados: número x
Jogos vencidos: 1
4
 dos jogos disputados
Jogos empatados: 2
3
 dos jogos disputados
Jogos perdidos: 2 jogos dos disputados
Finalmente a Equação: 
1 2 2
4 3
x x x+ + =
Solução: Resolvendo a equação:
Vamos proceder da seguinte maneira:
1º passo: Determinar o mínimo múltiplo comum dos dois membros (entre 3 e 4) :
3x
x
Equações do 1º Grau 119
2ºpasso: Dividir o m.m.c. encontrado pelo denominador e imediatamente multiplicado 
pelo numerador, reduzindo os termos a um denominador comum.
3º passo: Cancelar o denominador comum, eliminando-se as frações.
3x + 8x + 24 = 12x (princípio multiplicativo)
4º passo: Resolver a equação sem fração.
11x + 24 = 12x
11x – 12 x = – 24 (princípio aditivo)
–x = – 24 (princípio multiplicativo)
x = 24
Portanto a quantidade de jogos disputados foram 24, mas a equipe venceu 1
4
 desse total 
que equivale a:
1
4
 de x = 1
4
. 24 = 24
4
 = 6
Assim sendo o total de jogos ganhos foram 6 do total disputados.
Caro(a) aluno(a), como você pode observar, 
usar expressões algébricas em nosso cotidiano 
como equações, para resolver os nossos 
problemas matemáticos é bem interessante 
não é mesmo?
3, 4
3, 2
3, 1
1, 1
2
2
3
2 . 2 . 3 = 12
1 2 2
4 3 1 1
3.1 4.2 12.2 12
12 12
x x x
x x x
+ + =
+ +
=
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
GESTÃO PEDAGÓGICA
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Ester Cristina Santos de Oliveira
PRODUÇÃO DE 
DESIGN MULTIMÍDIA
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
INFRA-ESTRUTUTURA E SUPORTE
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias N. Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
Síntese
Chegamos ao final deste módulo, nele você interagiu com expressões algébricas estu-
dadas anteriormente em forma de equações. Também conhecemos os termos da equa-
ção e como resolvê-la. Retomamos o primeiro módulo falando de conjuntos numéricos 
através do Conjunto Universo e Conjunto Solução. Assim a partir dessa visão você 
poderá dar início a sua operacionalização com os métodos aprendidos no cotidiano ou 
na sua área de atuação.
Em especial, as equações abordadas foram as Lineares, ou seja, as equações de 1º 
Grau, e também interpretamos alguns problemas traduzidos numa linguagem comum 
(escrita em palavras) para uma linguagem matemática (simbólica– expressões algébri-
cas)e como resolvê-los, utilizando o aprendizado de equações.
Espero que você tenha aproveitado bem as informações para que possa utilizá-las 
posteriormente.
Referências
IEZZI, Gelson. Et al. Matemática e Realidade. 4ª ed. Ed Atual, São Paulo, 2000.
YOSSETF, Antônio Nicolau; FERNANDEZ, Vicente Paz, Matemática: Conceitos e 
Fundamentos. Ed. Scipione, São Paulo, 1993.
BARRETO FILHO, Benigno; SILVAS, Cláudio Xavier da. Matemática, FTD, São Paulo, 2000.
BIANCHINI. Edwaldo. Matemática. 6ª ed. Ed. Moderna, São Paulo, 2006.
PIERRO NETTO, Scipione di. Matemática: Conceitos e Histórias. Ed. Scipione, São Paulo, 
1995.
GIOVANNI JR., José Ruy. CASTRUCCI, Benedicto. A Conquista da Matemática. Edição 
Renovada. Editora FTD, São Paulo, 2009.
SITES:
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php
http://www.somatematica.com.br/fundam/racionais.php
http://www.somatematica.com.br/fundam/operacoes/operacoes.php
http://ucsnews.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/conjun.html
http://calculu.sites.uol.com.br/Textos/matprof.html