Módulo 2 — Cinemática Unidimensional

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Módulo 2 — Cinemática Unidimensional
Objetivos: Entender as definições de velocidade e acelera-
ção escalares média e instantânea; saber utilizar os fundamentos
do cálculo diferencial em questões de cinemática básica; conhe-
cer as equações horárias do movimento com aceleração cons-
tante e saber utilizá-las convenientemente.
O curso de Física 1, a grosso modo, trata do estudo do mo-
vimento. Em uma primeira abordagem, o movimento será estu-
dado sem se preocupar com as suas causas. Trataremos apenas
a forma do movimento. A parte da mecânica que investiga o
movimento puro é chamada cinemática.
Em primeiro lugar, trabalharemos apenas o movimento em
uma direção. A cinemática tem uma abordagem determinística,
ou seja, devemos, a partir de um dado movimento, escolher va-
riáveis que forneçam a posição, velocidade e aceleração de um
móvel que descreve esse movimento. Assim, utilizaremos tanto
o estudo gráfico quanto o matemático para os diversos tipos de
movimento.
Posição: Para estudarmos o movimento de uma partícula
precisamos identificar onde essa partícula está. Na figura abaixo,
vamos considerar o eixo x como sendo a trajetória percorrida
pelo homem, e queremos saber sua posição num instante de
tempo qualquer t. Como pode ser observado o homem repre-
senta uma partícula em movimento e a figura mostra o momento
em que o ele se encontra na posição x(t) caminhando na direção
x, a partir da origem definida no ponto x=0.
Deste exemplo podemos obter também a idéia de trajetória
que significa o conjunto de sucessivas posições ocupadas pela
partícula no decorrer do tempo. Em outras palavras, é o cami-
nho percorrido pela partícula em relação ao referencial. Nesse
caso o referencial é a superfície da Terra na posição x=0.
Uma partícula em repouso nunca varia sua posição, de forma
que se isso for representado em um gráfico de posição por
tempo, o resultado é uma reta horizontal, paralela ao eixo dos
tempos.
Observe que, para essa descrição gráfica é necessário que se
adote um eixo de coordenadas e portanto um referencial. Vale
ressaltar que o simples fato de assumirmos esta descrição como
a fenomenologicamente correta estamos definindo desde já o es-
paço (euclidiano unidimesional) e os entes (escalares e vetores)
que descrevem essa natureza.
Considere agora uma partícula num movimento mais com-
plexo, na qual varie sua posição de forma linear com o tempo.
A representação gráfica desse movimento é uma reta com incli-
nação diferente de zero.
A velocidade escalar média (v) é definida matemáticamente
como a inclinação da reta acima (no caso, o coeficiente b). As-
sim,
v =
∆x
∆t
Complicando um pouco mais o movimento, consideraremos
agora um movimento no qual a posição da partícula varie com o
tempo de forma quadrática.
Universidade de Brasília - Física 1 - Prof. Pedro Henrique
O conceito de velocidade média permanece o mesmo, com
a ressalva de que ela não é constante, como no exemplo ante-
rior. Para esse movimento, e outros mais complicados, é mais
interessante saber o conceito de velocidade instantânea.
A velocidade instantânea num determinado tempo t é de-
finida como a inclinação da reta tangente à curva posição vs.
tempo no instante t. É expressa matematicamente por
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
(Módulo 2 - Eq. 1)
Podemos interpretar a velocidade instantânea como a velocidade
média num intervalo de tempo muito pequeno. Observe que pelo
resultado Módulo 2 - Eq. 1, temos que a velocidade instantânea
tem exatamente a mesma definição que a derivada do espaço no
tempo, ou seja:
v(t) =
dx(t)
dt
Derivada: Considere uma função x = x(t) qualquer.
Chama-se derivada da função x(t) o limite:
lim
∆t→0
x(t+ ∆t)− x(t)
∆t
Usualmente, esse limite é representado por
d
dt
x(t). Neste curso,
adotaremos esta notação.
Exemplos e Propriedades
Seja a função x(t) = a + bt + ct2. De acordo com a definição
de derivada:
d
dt
x(t) = lim
∆t→0
a+ b(t+ ∆t) + c(t+ ∆t)2 − (a+ bt+ ct2)
∆t
= lim
∆t→0
b∆t− 2ct∆t+ c∆t2
∆t
= lim
∆t→0
(b+ 2ct+ c∆t)
Daí,
d
dt
x(t) = b+ 2ct (Módulo 2 - Eq. 2)
Sendo f e g duas funções, podemos definir as seguintes proprie-
dades para as seguintes derivadas:
1.
d
dt
(f ± g) = df
dt
± dg
dt
2.
d
dt
(f · g) = df
dt
· g + dg
dt
· f
3.
d
dt
(
f
g
)
=
df
dt
· g − dg
dt
· f
g2
É um bom exercício demonstrar as propriedades acima.
Treine, também, a derivada utilizando o limite para a função:
x(t) = (A+ t)n.
Repare que a solução será:
x(t) = n(A+ t)n−1.
Além disso, podemos definir a variação da velocidade no
tempo, chamada aceleração. A aceleração escalar média é defi-
nida de forma análoga à velocidade, ou seja:
a =
∆v
∆t
,
que tem valor instantâneo
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
,
ou analogamente, utilizando a notação anteriormente introdu-
zida: a =
dv(t)
dt
ou a =
d2x(t)
dt2
.
Pergunte-se
Repare que definimos as grandezas físicas velocidade média,
velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantâ-
nea a partir da grandeza posição. Resumidamente, se derivarmos
a posição em relação ao tempo teremos a velocidade instantânea.
Se derivarmos a velocidade em relação ao tempo teremos a ace-
leração instantânea. Um bom exercício é pensar no contrário.
Se for dado a função aceleração igual a:
a(t) = (A+ t)n.
Como seria a função velocidade? Perceba que neste caso é ne-
cessário informar a velocidade inicial da partícula. No caso da
velocidade inicial ser igual a v0, o exemplo acima terá a solução:
v(t) =
(A+ t)n+1
n+ 1
+ v0
Equações Horárias
Vamos agora obter as equações horárias do movimento com ace-
leração constante usualmente descritas nos livros-texto. Essas
equações referem-se ao caso de aceleração constante. Consi-
dere um objeto com velocidade inicial v0 no instanto t = 0. Sua
velocidade v no instante t é dada por:
a = a =
v − v0
t− 0 ⇒
v = v0 + at (Módulo 2 - Eq. 3)
Uma vez que a aceleração é constante, a média da velocidade é
dada por
v =
1
2
(v + v0) (Módulo 2 - Eq. 4)
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Substituindo v como encontrado em Módulo 2 - Eq. 3, temos:
v = v0 +
1
2
at.
Agora, lembrando que v¯ =
∆x
∆t
e substituindo,vem:
x− x0
t
= v0 +
1
2
at,
ou ainda,
x = x0 + v0t+
1
2
at2
Da equação da velocidade, acima apresentada, temos que t =
v − v0
a
. Substituindo na equação dos espaços:
x− x0 = v0
(
v − v0
a
)
+
1
2
a
(
v − v0
a
)2
a(x− x0) = vv0 − v20 +
1
2
(v2 − 2vv0 + v0)
1
2
v2 − 1
2
v20 = a(x− x0),
ou ainda
v2 = v20 + 2a∆x (Módulo 2 - Eq. 5)
Vale verificar que
dx(t)
dt
=
d
dt
(x0 + v0t+
1
2
at2) = v0 + at
1. Exercício Resolvido 2.1: Uma partícula alfa (núcleo de
um átomo de Hélio) move-se no interior de um tubo reti-
líneo oco com 2,0 m de comprimento, que é parte de um
acelerador de partículas.
(a) Qual a aceleração da partícula, supondo que seja
constante, se ela entra com velocidade escalar 1, 0×
104 m/s e sai com 5, 0× 106 m/s?
(b) Quanto tempo ela percorre no tubo?
Solução:
(a) Escolhemos como eixo x o eixo do tubo, como sen-
tido positivo o do movimento da partícula e a origem
como a entrada do tubo. São dados v0, v e x; procu-
ramos a. Reescrevemos a equação Módulo 2 - Eq. 5
com x0 = 0 e substituímos os dados:
a =
v2 − v20
2x
=
(5, 0× 106 m/s)2 − (1, 0× 104 m/s)2
2(2, 0 m)
= +6, 3× 1012m/s2.
(b) Utilizamos agora a equação Módulo 2 - Eq. 4, resol-
vida em x0 = 0, o que dá:
t =
2x
v0 + v
=
2(2, 0 m)
1, 0× 104 m/s + 5, 0× 106 m/s
t = 8, 0× 10−7 s = 0, 80µs.
2. Exercício Resolvido 2.2: Um foguete é lançado do re-
pouso, de uma base submarina situada 125 m abaixo da
superfície da água. Ele se move verticalmente para cima,
com aceleração desconhecidamas suposta constante (os
efeitos combinados de seus motores, da gravidade da
Terra, do empuxo e da resistência da água) e alcança a
superfície após 2,15 s. Quando ele rompe a superfície
seus motores são automaticamente desligados (para tornar
mais difícila detecção) e continua a subir. Qual a altura
máxima que ele alcança?
Solução: Poderíamos analisar o movimento do foguete
no ar como se fosse um projétil em queda livre, desde que
conhecessemos a velocidade inicial dessa parte do movi-
mento. para resolver este problema, portanto, devemos
analisar a parte subaquática do movimento, a fim de de-
terminar a velocidade como a velocidade inicial da porção
aérea. Essas partes devem ser trabalhadas separadamente,
pois a aceleração muda na superfície da água.
No movimento subaqueatico, conhecemos o desloca-
mento, o tempo e a velocidade inicial (zero). A acele-
ração não é necessária, mas queremos conhecer a veloci-
dade final; a equação Módulo 2 - Eq. 4 fornece a relação
adequada:
v =
2(y − y0)
t
=
2(125 m)
2, 15 s
= 116 m
A velocidade na superfície é de 16 m/s, para cima. Ana-
lisemos agora a porção do movimento correspondente à
queda livre para cima. considerando aquela velocidade
como velocidade inicial. Aplicamos a equação Módulo 2
- Eq. 5 na sua forma usual num movimento de queda livre,
e encontramos a altura máxima determinando o ponto no
qual a velocidade se anula:
y − y0 = v
2
0 − v2
2g
=
(116 m/s)2 − 0
2(9, 8 m/s2)
= 687 m.
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